Предельные свойства динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Голенищева-Кутузова, Татьяна Игоревна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2007
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
003 168170
Московский Государственный Университет им М В, Ломоносова Механико-математический факультет
На правах рукописи УДК 517 9
Голеншцева-Кутузова Татьяна Игоревна
ПРЕДЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
01 01 02 — дифференциальные уравнения
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва, 2008
003168170
Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М В Ломоносова
Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Ильягаенко Юлий Сергеевич
Официальные оппоненты доктор физико-математических наук
Ландо Сергей Константинович доктор физико-математических наук Немировский Стефан Юрьевич
Ведущая организация Санкт-Петербургский
Государственный университет
Защита состоится " 11 " апреля 2008 г в 16 час 45 мин на заседании диссертационного совета Д 501 001 85 в Московском государственном университете им M В Ломоносова по адресу 119991, ГСП-1, РФ, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 16-24
С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)
Автореферат разослан " 11 " марта 2008 г
Ученый секретарь диссертационного
совета Д 501 001 85 в МГУ,
доктор физико-математических наук,
профессор
И II Сергеев
Общая характеристика работы
Актуальность темы.
Настоящая диссертация посвящена исследованию предельного поведения динамических систем с вещественным и комплексным временем
Исследование предельного поведения динамических систем представляет из себя не только сложную и красивую теоретическую, но и важную практическую задачу
Существенный вклад в развитие данной области внесли такие ведущие отечественные и зарубежные математики как А Пуанкаре, А М Ляпунов, А А Андронов, Л С Пон-трягин, А Н Колмогоров, Н М Крылов, Н Н Боголюбов, Д Биркгофф, А Я Хинчин, И Г Петровский, Е М Ландис, В И Арнольд, Д В Аносов, Я Г Синаи, С Смейл и многие другие
Одним из направлении исследований в этой области является изучение временных средних для типичной точки и типичного меры
Главы 1 и 2 диссертащш посвящены изучению предельного поведения динамических систем с вещественным непрерывным временем, а именно, вопросу существования временных средних для типичной точки и для типичной меры
По-видимому, первыми из утверждений, описывающих временные средние индивидуальных точек и мер, следует считать теорему Еиркгофа-Хинчина, утверждающую, что предел временных средних для почти любой точки по эргодической инвариантной мере совпадает с этой мерой, и теорему Крылова-Боголюбова, которая гласит, что любая предельная точка временных средних любой меры является инвариантной мерой В случае наличия абсолютно непрерывной инвариантной меры (скажем, в случае гамильтоновой динамики или для растягивающего отображения) эти же утверждения описывают и пределы временных средних типичных в смысле меры Лебега точек и временных средних абсолютно непрерывных мер
Однако, часто динамическая система априори не обладает инвариантной мерой, абсолютно непрерывной относительно меры Лебега Тем не менее, из физических соображений для таких систем естественным является именно постановка вопроса про асимптотическое поведение типичной в смысле меры Лебега точки
Исследования этого вопроса были начаты Я Г Синаем Рюэллем2иР Боуэном8, и положили начало понятию SRB-меры Грубо говоря, SRB-меры — это инвариантные меры, наблюдаемые в продолжающемся долгое время реальном физическом эксперименте
Существует несколько различных (и не эквивалентных1) определений SRB-меры, из которых мы упомянем два Естественной называется мера, к которой сходятся временные средние любой абсолютно непрерывной (относительно лебеговой) меры Наблюдаемой называется мера, в соответствии с которой распределены траектории почти всех (в смысле меры Лебега) точек Точные определения могут быть найдены, к примеру, в обзоре М Бланка и JI Бунимовича 4 (см также работы М Мисуревича 5, Е Жарвенпаа и Т Толонен e, J1 -С Янга 7) Там же показано, что наблюдаемая мера одновременно оказывается и естественной, однако обратное, вообще говоря, неверно (см работы М Мисуревича и А Здуник 8, а также работу В А Клепцыка 9)
Пример Боуэна был приведен в работе А Гаундердорфера10 как первый пример динамической системы, для которой отсутствуют временные средние индивидуальных точек — иными словами, как пример отсутствия наблюдаемой SRB-меры Однако отсюда, как уже было сказано выше, не следует, что не сходится последовательность временнйх средних меры Лебега, иными словами, что отсутствуют естественные SRB-меры Глава
ХЯ Г СИНАЙ Гиббсовские меры в эргодической теории Успехи Мат Наук, 27 (1972), вып 4, с 21-69
2D Ruelle A measure associated with Axiom A attractors Amer J Math, 98 (1976), pp 619-654
3R Bowen Equilibrium states and ergodic theory of Anosov diifeomorphisms Springer Lecture Notes m
Math 470 (1975)
4M Blank, L Bunimovich Multicomponent dynamical systems SRB measures and phase transitions Nonhneanty, 16 (2003), pp 387-401
SM MlSIUREWICZ Ergodic natural measures, preprint (2004)
6E Jarvenpaa, T Tolonen Relations between natural arid observable measures Nonlmeanty, 18 (2005), pp 897-912
7L -S Young What are SRB measures, and which dynamical systems have them' J Stat Phys 108 (2002), pp 733-754
SM MlSiUitEWICZ, A Zdunik Convergence of images of certain measures Statistical physics and dynamical systems (Koszeg, 1984), PP 203-219, Progr Phys 10, Birkhauser Boston, Boston, MA, 1985
9V KLEPTSYN An example of non-coincidence of minimal and statistical attractors, Brgodic Theory Dy nam Systems,26 (2006), pp 759-768
10A Gaunderdorfer, Time averages for heterochmc attractors, SIAM J Math Anal 52 (1992), 14761489
1 настоящей работы как раз и доказывает это последнее утверждение в примере Боуэна естественной меры также нет
Этот результат как и результат главы 2, является продвижением в направлении обозначенном противоположными по духу гипотезами Д Ргоэлля и Ж Палиса
Гипотеза Д Рюэлля говорит, что существует открытая область в пространстве гладких динамических систем, для типичной системы из которой для почти всех точек не существует временных средних
Гипотеза Ж Палиса утверждает, что для типичной гладкой системы существуют временные средние почти всех (в смысле меры Лебега) начальных точек
(Впрочем следует отметить, что эти две гипотезы не являются формально противоречащими друг другу из-за различных использованных определений типичности Д Рюэлль опирается на топологическую — принадлежность остаточному множеству,— а Ж Паше на метрическую — множество параметров подвой меры )
Пример Боуэна имеет коразмерность 2 в пространстве векторных полей для него требуется наличие двух сепаратрисных связок, поэтому в типичном двунараметриче-ском семействе ему соответствуют изолированные значения параметров
Исследуя векторные шля на торе, оказывается, можно слегка уменьшить коразмерность такого примера
Для этого мы переходим к рассмотрению потоков Черри Поток Черри был введен в работах Т Черри 11 12 как пример потока на двумерной поверхности с квазиминимальным множеством канторового типа А Пуанкаре 13 поставил вопрос о том может ли гладкое векторное поле на двумерной поверхности иметь минимальное множество канторового типа, и отрицательный ответ на этот вопрос был получен А Данжуа 14 Соответственно, штоки Черри остаются наилучшим приближением к тому, что инте-
UT Cherry Analytic quasi-periodic discontinuous type on a torus, Proc Loud Math Soc , 44 (1938), no 2, pp 175-215
i2T Cherry Topological properties of solutions of ordinary differential equations, Amer J Math, 59 (1937), pp 957-982
13H Poincare Sur les courbes définies par les equations différentielles, I, II, III, IV J Math Pure et
Appl, 2 (1881, 82, 85, 86), pp 151-217
14A Dbnjoy Sur les courbes defimes par des equation différentielles a la surface du tore J Math Pure et Appi, 11 (1932), pp 333-375
ресовало Пуанкаре
Исследование потоков на двумерных поверхностях затем было продолжено многими авторами, и к настоящему моменту эта область хорошо исследована Обзор известных результатов о классификации таких потоков приведен в обзоре С X Арансона и В 3 Гринеса 15
В главе 2, рассматривая потоки Черри с двумя ячейками, мы строим пример коразмерности 2 — 0 систем с отсутствием временных средних типичных точек и мер Смысл термина "коразмерность 2 — 0" объясняется ниже
Глава 3 посвяшена изучению динамических систем с комплексным временем на комплексной плоскости С2 В этой главе мы рассматриваем векторные поля
Х = ПХ-У) (01) У = 9(2,у),
где )',д € 0{С2), и функции / и д не имеют общей гиперповерхности нулей Опи задают слоение с особенностями комплексной плоскости на аналитические кривые
Исследование полиномиальных векторных полей с комплексным временем фиксированной степени восходит к 16-ой проблеме Гкльберта и было начато в 1950- 70-ых годах в работах, И Г Петровского-Е М Лаадиса, М Г Худай-Веренова16, Ю С Ильяшенко17 Одна из основных теорем, показывающих, что поведение таких систем в комплексной области нетривиально и противоречит вещественной интуиции, утверждает, что типичное полиномиальное слоение степени п > 2 плоскости С2 минимально (т е все неособые слои плотны на всей плоскости) и эргодично (т е любое инвариантное измеримое множество будет либо полной, либо нулевой меры Лебега)
Эта теорема доказывается в упомянутых выше работах М Г Худай-Веренова и
15С X Ар^нсон, В 3 Гринес Топологическая классификация потоков на замкнутых многообразиях, Успеха Мат Наук, 41 (1986), no 1 (247), с 149-169
1бМ G Khudai-Verbnov, A property of the solutions of a differential equation (Russian), Mat Sb 56 (1962), pp 301-308
17Ильяшенко Ю С Тополопга фазовых портретов аналитических дифференциальных уравнений на комплексной плоскости Труды сем им ЙГ Петровского, Был 4, 1978, стр 83-136
Ю С Ильяшенко, а также в работах А А Щербакова 18 и И Накаи 19, в которых шаг за шагом ослабляются требования типичности В главе 3 доказывается аналог этой теоремы для случая аналитических слоений, при этом типичность понимается в топологическом смысле, а именно, свойство называется типичным, если оно выполнено для остаточного множества в пространстве векторных полей (снабженных топологией равномерной сходимости на компактах)
В упомянутых выше работах Худай-Веренова, Ильяшенко и Накаи доказывается также свойство абсолютной негрубости типичного полиномиального слоения Вопрос о том, имеет ли место аналогичное свойство для аналитических слоений (и если да, то в какой формулировке), остается открытым
Отдельный лист полиномиального слоения представляет собой риманову поверхность Как ни странно, о ее топологии известно довольно немного В частности, остается открытой гипотеза, сформулированная Д В Аносовым в 1963 г на семинаре В И Арнольда в классе полиномиальных слоений фиксированной степени плоскости С2 тождественный цикл может быть разрушен малым возмущением
И тем более остается открытой гипотеза о том, что для типичного полиномиального слоения фиксированной все слои, кроме счетного числа, односвязны
С другой стороны, имеется результат Э Жиса о топологии слоев, типичных в смысле гармонической меры Оказывается, что типичный в этом смысле слой может быть лишь одного из семи топологических типов Но подобный вопрос для типичного в смысле меры Лебега слоя остается открытым
В отличие от полиномиального случая, Т С Фирсовой 20 удалось описать топологию слоев для аналитических слоений у типичного аналитического слоения комплексной плоскости все слои кроме не более, чем счетного числа — диски, а остальные слои — цилиндры
18 A A SHCHERBAKOV Dynamics of local grous of conformal mappings and geneic properties of differential equations on €2, Tr Mat Inst im V A SteMova, Ross Akad Na.uk 254, (2006) [Proc Stetdov Inst Math 254,(2006), pp 103-120]
19I Vakai Separatnces for nonsolvable dynamics on €, 0, Ann Inst Fourier (Grenoble),44 (1994), no 2, pp 569-599
20Фирсова T С Топология аналитических слоений в С2 Свойство Купки-Смейла, Труды МИАН, 2006, 254, 162-180
В главе 3 мы показываем, что у типичного аналитического слоения ровно счетное число топологических цилиндров В частности, из этого следует, что у типичного аналитического слоения комплексной плоскости есть счетное число гомологически независимых предельных циклов
Заметим также, что уже для слоений CP2 (как и в CP") фиксированной (геометрической) степени многие естественные вопросы остаются открытыми Так, в работе Ф Лоре и Дж Ребело 21 было доказано существование открытой области, в которой типичное слоение минимально и эргодично Однако неизвестно, являются ли минимальность и эргодичность глобально типичными
Цель работы
Целью настоящей работы является исследование предельного поведения динамических систем с вещественным и комплексным временем исследование существования временных средних для типичной точки и типичной меры в динамических системах с вещественным непрерывным временем, изучение предельного поведения динамических систем с комплексным временем, а именно,исследование типичных свойств аналитических векторных полей с комплексным временем и заданных ими слоений
Научная новизна
Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем
• Исследованы вопросы существования временных средних типичной меры в примере Боуэна Доказано, что для типичной меры ее временные средние не имеют предела
• Построен пример динамической системы на торе коразмерности 2 — 0 (те такие динамические системы встречаются в типичном двупараметрическом семействе "ханторовым образом"), для которой нет пределов временных средних, как для типичной точки, так и для типичной меры В основе данного примера лежит ячейка Черри
21F Loray, J Rebelo Minimal, rigid foliations by curves on CP", J Eur Math Soc 5 (2003), no 2, pp 147-201
• Исследованы аналитические слоения комплексной плоскости Доказано, что типичное (в топологическом смысле) аналитическое слоение минимально и эргодично Также доказано, что у типичного аналитического слоения есть счетное число гомологически независимых предельных циклов
Методы исследования
В работе используются методы теории динамических систем, эргодической теории, теории дифференциальных уравнений с комплексным временем, теории аналитических и полиномиальных слоений комплексной плоскости
Для исследования сходимости временных средних мер применяются методы теории меры и функционального анализа В главе 3, при исследовании комплексных слоений, применяются методы комплексного анализа и алгебраической геометрии
Теоретическая и практическая ценность
Работа носит теоретический характер Результаты могут быть полезны в теории динамических систем с вещественным и комплексным временем, а также в теории комплексных аналитических слоений
Апробация работы
Основные результаты настоящей диссертации докладывались
• на семинаре механико-математического факультета МГУ под руководством проф Ю С Ильяшенко (неоднократно, 2002-2007 гг ),
• на семиааре отдела дифференциальных уравнении Математического института РАН под руководством академика Д В Аносова и Ю С Ильяшенко (2005 г )
• на семинаре Корнельского университета (США) под руководством проф Дж Гу-генхеймера (John Guckenheimer) (ноябрь 2004 г),
• на семинаре по алгебре и геометрии Женевского университета (руководители — проф Г Аржанцева, проф Р De la Harpe)(Женева, Швейцария, ноябрь 2006 г ),
• на семинаре по аналитической геометрии Рейнского Университета (руководитель — проф L Ршо)(Ренн, Франция, ноябрь 2004 г ),
• на семинаре Universida Autonomía Metropolitana (руководители проф L Ortiz-Bombadila, проф E Rosalez-Gonzales) (México, Мексика, ноябрь 2007 г ),
• на международной конференции 'Геометрия природ" (Казань, август 2004 г ),
• на международной конференции Петровского (21-я сессия) (Москва, май 2004 г )
• на международной конференции "Lyapunov exponents and related topics m dynamics and geometry" (Москва, январь 2005 г ),
• на 10-м международном топологическом конгрессе (Прага, 2006 г ) Публикации
Основное содержание работы опубликовано, список из двух работ автора по теме диссертации приведен в конце автореферата
Структура и объём диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав, в совокупности включающих в себя 16 параграфов и списка литературы, включающего 52 наименования Полный объем диссертации 73 страницы
Основное содержание диссертации
Настоящая диссертация посвящена исследованию предельного поведения динамических систем с вещественным и комплексным временем
Главы 1 и 2 посвящены изучению предельного поведения динамических систем с вещественным непрерывным временем, а именно, вопросу существования временных средних для типичной точки и для типичной меры
В первой главе исследуется поведение временных средних меры в примере Боуэна векторном поле на плоскости с двумя седлами, связанными двумя сепаратрисными связками В работе приведен явный критерий сходимости усредненных мер и описано множество их частичных пределов Как следствие, для типичной начальной меры ее временные средние не сходятся
Напомним описание примера Боуэна
Рассмотрим иа плоскости векторное поле с двумя седлами О] и 02, такими, что одна исходящая сепаратриса каждого из них совпадает с входящей сепаратрисой другого Обозначим собственные значения седел через -ßi < 0 и Aj > 0 для первого седла и
—^ < 0 и Л2 > 0 для второго Предположим, что Л = ^Мр > 1 Это условие Означала
ет, что все траектории, достаточно близкие к "сепаратрисному двуугольнику" (объединению сепаратрис и седел), будут к нему приближаться Такая динамическая система называется примером Боуэна или гетероклиническим аттрактором
Напомним, как устроена процедура Крылова-Боголюбова — процедура нахождения инвариантной меры у динамической системы на компактном множестве Пусть дt — фазовый (полу)поток, am — мера Пусть д\т — сдвиг меры го под действием фазового штока д* за время t, то есть gtm(U) = т({х | gt(x) EU}) Рассмотрим временные средние mt меры т
1 Г* mt = -r glmdr t Ja
Известно, что если при i„-> 00 существует предел lim щ_, то полученная предельная
п-*оо п—юо
мера будет инвариантна Процедура КрыловатЕоголюбова и состоит во взятии любого частичного предела мер гщ при t —> 00
Рассмотрим меры, абсолютно непрерывные относительно лебеговой, с носителем внутри "сепаратрисного двуугольника" Будем выбирать начальную меру т из этого класса Мы рассматриваем следующую задачу выяснить, как устроено множество частичных пределов мер гщ при i-»oo В частности, выяснить, существует ли предел гщ при t—> со
В первой главе получено необходимое и достаточное условие на меру, для которой в процедуре КрыловагБоголюбова имеет место предел, а в случае, когда предела нет, описано множество частичных пределов
Отметим, что носитель любой инвариантной меры в примере Боуэна может состоять только из двух точек — седел 0\ и 02 Поэтому единственное, от чего зависит существование предела, это стабилизируется ли доля меры, сосредоточенная около первого (и, соответственно, около второго) седла
Назовем меру m в примере Боуэна допустимой, если мера т абсолютно непрерывна относительно лебеговой и ее носитель лежит внутри fi Основным результатом главы 1 является следующая теорема
Теорема 12 1. В С3-гладком примере Боуэна для типичной допустимой меры т усредненные меры пц не будут иметь предела при i —> оо, а множеством частичных пределов будет отрезок в пространстве мер
Типичность в данном случае означает, что условие выполнено вне подпространства бесконечной коразмерности в пространстве мер
Эта. теорема вытекает из явного описания предельных точек семейства ?П4 при 4 —* оо, полученного в главе 1
Пример Боуэна имеет коразмерность 2 в пространстве векторных полей для него требуется наличие двух сепаратрисных связок, поэтому в типичном двупараметриче-ском семействе ему соответствуют изолированные значения параметров
Исследуя векторные поля на торе, оказывается, можно слегка уменьшить коразмерность такого примера Для этого, в главе 2, мы переходим к рассмотрению потоков Черри на двумерном торе
Основным результатом главы 2 является построение, с использованием потоков Черри с двумя ячейками, примера коразмерности 2 — 0 систем с отсутствием временных средних типичных точек и мер "Коразмерность 2 — 0" здесь означает, что в типичном двупараметрическом семействе этому примеру соответствует Канторово множество параметров Из явного описания множества параметров, для которых нет предела временных средних типичной точки и типичной меры, следуют основные результаты главы 2
Следствие 2 3 3 Существует пример динамической системы коразмерности 2 — 0, для которых нет сходимости временных средних типичной точки
Следствие 2 3 5 Существует пример динамических систем с отсутствием временных средних у типичной меры, абсолютно непрерывной относительно Лебеговой, коразмерности 2 — 0
Глава 3 посвящена изучению динамических систем с комплексным временем на комплексной плоскости С2 В этой главе мы рассматриваем векторные поля
!*=/(*,у) (02)
I у = д{ь,у),
где 1,9 € О (С2), и функции / и д не имеют общей гиперповерхности нулей Они задают слоение с особенностями комплексной плоскости на аналитические кривые
В главе 3 доказывается аналитический аналог известной теоремы Худай-Веренов, Ильяшенко, Щербаков, Накаи, а именно, доказывается следующая теорема
Теорема 3.2 2 Типичное аналитическое слоение комплексной плоскости С2 минимально и эргодично (т е любое инвариантное измеримое множество имеет либо полную, либо нулевую меру Лебега)
Типичность здесь понимается в топологическом смысле, а именно, свойство называется типичным, если оно выполнено для остаточного множества в пространстве векторных полей (снабженных топологией равномерной сходимости на компактах)
Стоит отметить, что исследование полиномиальных слоений основывается на рассмотрении бесконечно удаленной прямой, которая оказывается слоем с несколькими особыми точками (и, соответственно, с богатой группой монодромии)
Для аналитических слоений прямое применение такого метода невозможно типичное аналитическое слоение имеет существенные особенности на всей бесконечно удаленной прямой
Отдельный лист полиномиального слоения представляет собой риманову поверхность Как ни странно, о ее топологии известно довольно немного В частности, остается открытой следующая гипотеза, сформулированная Д В Аносовым в 1963 г на семинаре В И Арнольда
Гипотеза Аносова В классе полиномиальных слоений фиксированной степени плоскости С2 тождественный цикл может быть разрушен малым возмущением
И тем более остается открытой гипотеза о том, что все слои полиномиального слоения, кроме счетного числа, одвосвязны
В главе 3 также исследуется топология слоев типичного аналитического слоения комплексной плоскости
Нам удается доказать следующую теорему
Теорема 3 2 1 У типичного аналитического слоения комплексной плоскости есть счетное число гомологически независимых предельных циклов
Как следствие этой теоремы, получается усиление результата Т С Фирсовой 22, а именно
Следствие 3 3 2 У типичного аналитического слоения комплексной плоскости все слои кроме в точности счетного числа — диски, а остальные слои — цилиндры
Автор выражает свою огромную благодарность своему научному руководителю, д ф~ м н , профессору Ю С Нльяшенко за постановку задач и постоянное внимание к работе, к ф-м н А С Городецкому за ценные обсуждения, к ф-м н В А Клепцыну за плодотворные дискуссии
Список работ автора по теме диссертации
[1] Т И Голенищева-Кутузова, Бесконечность числа цилиндрических слоев для типичного аналитического слоения в С2, Труды математического института им В А Стеклова, 254 (2006), с 192-195
[2] Т И Голенищева-Кутузова, В А Клепцын, Исследование сходимости процедуры Крылова-Боголюбова в примере Воуэна, Математические заметки, 38 (2007), по 5, с 678-689
В работе [2] В А Клепцыну принадлежат формулировки и доказательства технических лемм 1 и 2, а также формулировки теорем 3 и 4, а Т И Голенюцевой-Кутузовой принадлежат формулировки и доказательства основных теорем 1 и 2, а также доказательства теорем 3 и 4
22Фирсова Т С Топология аналитических слоений в С2 Свойство Кулки-Смеила, Труды МИАН, 2006, 254, 162-180
Напечатано с готового оригинал-макета
Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01 12 99 г Подписано к печати Об 03 2008 г Формат 60x90 1/16 Услпечл 0,75 Тираж 100 экз Заказ 097
119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им МВ Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к Тел 939-3890,939-3891 Тел/Факс 939-3891
Введение
0.1. Временные средние точки и меры.
0.2. Динамические системы с комплексным временем.
1. Временные средние: пример Боуэна
1.1. Введение. Пример Боуэна и 81Ш-меры.
1.1.1. Описание примера Боуэна.
1.1.2. Постановка задачи
1.1.3. Связь с ЗШЗ-мерами.
1.2. Формулировка теоремы об отсутствии предела.
1.3. Обозначения, определения и вспомогательные утверждения.
1.4. Формулировки основных результатов
1.5. Доказательства основных утверждений
1.6. Доказательства вспомогательных утверждений.
2. Пример отсутствия временных средних коразмерности 2 —
2.1. Коразмерность динамической системы.
2.2. Описание потока Черри.
2.2.1. Поток Черри - пример нетривиального квазиминимального множества
2.2.2. Двойной поток Черри: различные фазовые портреты
2.3. Формулировка результатов
2.4. Доказательство основных утверждений
2.4.1. Параметризация.
2.4.2. Основная идея.
2.4.3. Доказательство отсутствия временных средних точек.
2.4.4. Доказательство отсутствия временных средних меры.
3. Аналитические слоения
3.1. Резюме
3.2. Введение
3.3. Бесконечность числа цилиндрических слоев для типичного аналитического слоения в С2.
3.3.1. Формулировка результата.
3.3.2. Построение плотного множества с сепаратрисной связкой и вспомогательные леммы.
3.3.3. Существование счетного числа гомологически независимых предельных циклов.
3.3.4. Группа монодромии седловой связки слоения Та.
3.4. Минимальность и эргодичность типичного аналитического слоения С
3.4.1. Формулировка результата.
3.4.2. План доказательства: идея конструкции.
3.4.3. Обозначения и определения.
3.4.4. Вспомогательная конструкция ("черный ящик")
3.4.5. Устойчивая минимальность в компактной области при наличии "черного ящика"
3.4.6. Открытое и плотное множество слоений с "черным ящиком"
3.4.7. Построение искомого остаточного множества.
3.4.8. Доказательства технических лемм
Настоящая диссертация посвящена исследованию предельного поведения динамических систем с вещественным и комплексным временем.
Главы 1 и 2 посвящены изучению предельного поведения динамических систем с вещественным непрерывным временем, а именно, вопросу существования временных средних для типичной точки и для типичной меры.
Глава 3 посвящена изучению предельного поведения динамических систем с комплексным временем, а именно,типичным свойствам аналитических векторных полей с комплексным временем и заданных ими слоений.
0.1. Временные средние точки и меры.
Первыми из утверждений, описывающих временные средние индивидуальных точек и мер, вероятно, следует считать теорему Биркгофа-Хинчина, утверждающую, что предел временных средних для почти любой точки по эргодической инвариантной мере совпадает с этой мерой, и теорему Крылова-Боголюбова, которая гласит, что любая предельная точка временных средних любой меры является инвариантной мерой. В случае наличия абсолютно непрерывной инвариантной меры (скажем, в случае гамильтоновой динамики или для растягивающего отображения) эти же утверждения описывают и пределы временных средних типичных в смысле меры Лебега точек и временных средних абсолютно непрерывных мер.
Однако, часто динамическая система априори не обладает инвариантной мерой, абсолютно непрерывной относительно меры Лебега. Тем не менее, из физических соображений для таких систем естественным является именно постановка вопроса про асимптотическое поведение типичной в смысле меры Лебега точки.
Исследования этого вопроса были начаты Я. Г. Синаем [35], Д. Рюэллем [34] и Р. Боуэном [52], и положили начало понятию ЗШЗ-меры. Грубо говоря, вИЗ-меры — это инвариантные меры, наблюдаемые в продолжающемся долгое время реальном физическом эксперименте.
Существует несколько различных (и не эквивалентных!) определений ЗШЗ-меры, из которых мы упомянем два. Естественной называется мера, к которой сходятся временные средние любой абсолютно непрерывной (относительно лебеговой) меры. Наблюдаемой называется мера, в соответствии с которой распределены траектории почти всех (в смысле меры Лебега) точек. Точные определения могут быть найдены, к примеру, в обзоре [4] (см. также работы [25, 13, 48]). Там же показано, что наблюдаемая мера одновременно оказывается и естественной, однако обратное, вообще говоря, неверно (см. [26], [20]).
Пример Боуэна был приведен в [10] как первый пример динамической системы, для которой отсутствуют временные средние индивидуальных точек — иными словами, как пример отсутствия наблюдаемой вИЗ-меры. Однако отсюда, как уже было сказано вьппе, не следует, что не сходится последовательность временных средних меры Лебега, иными словами, что отсутствуют естественные ЗШЗ-меры. Глава 1 настоящей работы как раз и доказывает это последнее утверждение: в примере Боуэна естественной меры также нет.
Этот результат, как и результат следующей главы, является продвижением в направлении обозначенном противоположными по духу гипотезами Д. Рюэлля и Ж. Палиса:
Гипотеза 0.1.1 (Д. Рюэлль). Существует открытая область в пространстве гладких динамических систем, для типичной системы из которой для почти всех точек не существует временных средних.
Гипотеза 0.1.2 (Ж. Палис). Для типичной гладкой системы существуют временные средние почти всех (в смысле меры Лебега) начальных точек.
Впрочем, следует отметить, что эти две гипотезы не являются формально противоречащими друг другу из-за различных использованных определений типичности: Д. Рюэлль опирается на топологическую — принадлежность остаточному множеству,— а Ж. Палис на метрическую — множество параметров полной меры.)
Пример Боуэна имеет коразмерность 2 в пространстве векторных полей: для него требуется наличие двух сепаратрисных связок, поэтому в типичном двупараметриче-ском семействе ему соответствуют изолированные значения параметров.
Исследуя векторные поля на торе, автор установил, что можно слегка уменьшить коразмерность такого примера.
Для этого в главе 2 мы переходим к рассмотрению потоков Черри. Поток Черри был введён Т. Черри в работе [43] (см. также [42]) как пример потока на двумерной поверхности с квазиминимальным множеством канторового типа. А. Пуанкаре в работе [32] поставил вопрос о том, может ли гладкое векторное поле на двумерной поверхности иметь минимальное множество канторового типа, и отрицательный ответ на этот вопрос был получен А. Данжуа в его работе [12]. Соответственно, потоки Черри остаются наилучшим приближением к тому, что интересовало Пуанкаре.
Исследование потоков на двумерных поверхностях затем было продолжено многими авторами, и к настоящему моменту эта область хорошо исследована. Обзор известных результатов о классификации таких потоков приведен в обзоре С. X. Арансона и В. 3. Гринеса [1].
В главе 2, рассматривая потоки Черри с двумя ячейками, мы строим пример коразмерности 2 — 0 систем с отсутствием временных средних типичных точек и мер. "Коразмерность 2 — 0" здесь означает, что в типичном двупараметрическом семействе этому примеру соответствует Канторово множество параметров, увы, нулевой Хаусдорфовой размерности.
0.2. Динамические системы с комплексным временем
Глава 3 посвящена изучению динамических систем с комплексным временем на комплексной плоскости С2. В этой главе мы рассматриваем векторные поля:
У У! (0.2.1) у = д(х, у), где /, д е С (С2), и функции / и д не имеют общей гиперповерхности нулей. Они задают слоение с особенностями комплексной плоскости на аналитические кривые.
Исследование полиномиальных векторных полей с комплексным временем фиксированной степени восходит к 16-ой проблеме Гильберта и было начато в 1950-70-ых годах в работах, И.Г. Петровского-Е.М. Ландиса, М.Г. Худай-Веренова ([39]), Ю.С. Ильяшенко ([15]). Одна из основных теорем, показывающих, что поведение таких систем в комплексной области нетривиально и противоречит вещественной интуиции, такова:
Теорема (Худай-Веренов, Ильяшенко, Щербаков, Накаи). Типичное полиномиальное слоение степени п > 2 плоскости С? минимально (т.е. все неособые слои плотны на всей плоскости) и эргодично (т.е. любое инвариантное измеримое множество имеет либо полную, либо нулевую меру Лебега)
Эта теорема доказывается в работах [39,15, 47, 27], в которых шаг за шагом ослабляются требования типичности. В главе 3 доказывается аналог этой теоремы для случая аналитических слоений:
Теорема 0.2.1. Типичное аналитическое слоение комплексной плоскости С? минимально и эргодично.
Типичность здесь понимается в топологическом смысле, а именно, свойство называется типичным, если оно выполнено для остаточного множества в пространстве векторных полей (снабженных топологией равномерной сходимости на компактах).
Стоит отметить, что исследования полиномиальных слоений основывается на рассмотрении бесконечно удаленной прямой, которая оказывается слоем с несколькими особыми точками (и, соответственно, с богатой группой монодромии).
Для аналитический слоений прямое применение такого метода невозможно: типичное аналитическое слоение имеет существенную особенность вдоль всей бесконечно удаленной прямой.
В упомянутых выше работах [39, 15, 47, 27] доказывается также свойство абсолютной негрубости типичного полиномиального слоения. Вопрос о том, имеет ли место аналогичное свойство для аналитических слоений (и если да, то в какой формулировке), остается открытым.
Отдельный лист полиномиального слоения представляет собой риманову поверхность. Как ни странно, о ее топологии известно довольно немного. В частности, остается открытой следующая гипотеза, сформулированная Д.В. Аносовым в 1963 г. на семинаре В.И. Арнольда:
Гипотеза 0.2.2 (Гипотеза Аносова). В классе полиномиальных слоений фиксированной степени плоскости С2 тождественный цикл может быть разрушен малым возмущением.
И тем более остается открытой гипотеза о том, что все слои, кроме счетного числа, односвязны.
С другой стороны, имеется результат Э. Жиса о топологии слоев, типичных в смысле гармонической меры. Оказывается, что типичный в этом смысле слой может быть лишь одного из семи топологических типов. Но подобный вопрос для типичного в смысле меры Лебега слоя остается открытым.
В отличие от полиномиального случая, удалось описать топологию слоев для аналитических слоений (см. [40]):
Теорема. (Т. С. Фирсова) У типичного аналитического слоения комплексной плоскости все слои кроме не более, чем счетного числа — диски, а остальные слои — цилиндры
Оказывается, что у типичного аналитического слоения ровно счетное число топологических цилиндров, а именно:
Теорема 0.2.3. У типичного аналитического слоения комплексной плоскости все слои кроме в точности счетного числа — диски, а остальные слои — цилиндры
Доказательство этой теоремы приводится в начале главы 3. Из этой теоремы также следует, что:
Следствие 0.2.4. У типичного аналитического слоения комплексной плоскости есть счетное число гомологически независимых предельных циклов.
Заметим также, что уже для слоений СР2 (как и в СРп) фиксированной (геометрической) степени многие естественные вопросы остаются открытыми. Так, в работе Ф.Лоре и Дж. Ребело (см. [22]) было доказано, существование открытой области, в которой типичное слоение минимально и эргодично. Однако неизвестно, являются ли минимальность и эргодичность глобально типичными.
1. С. X. Арансон, В. 3. Гринес. Топологическая классификация потоков на замкнутых многообразиях, Успехи Мат. Наук, 41 (1986), no. 1 (247), с. 149169.
2. В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильни-ков. Теория бифуркаций // Динамические системы, 5, М.: ВИНИТИ, 1986.
3. П. С. Бачурин. О связи между временными средними и минимальными аттракторами, Успехи Мат. Наук, 54 (1999), по. 6, с. 151-152.
4. М. Blank, L. Bunimovich. Multicomponent dynamical systems: SRB measures and phase transitions. Nonlinearity, 16 (2003), pp. 387-401.
5. R. Bowen. Equilibrium states and ergodic theory of Anosov diffeomorphisms. Springer Lecture Notes in Math. 470 (1975).
6. C. Boyd. The structure of Cherry flows, Ergodic Theory and Dynamical Systems,5 (1985), pp. 27-46.
7. O. VlRO Gluing of plane real algebraic curves and constructions of curves of degrees6 and 7. Topology (Leningrad, 1982), pp. 187-200. Lecture Notes in Math
8. John Wermer. The hull of curve in Cn. Annals of Mathematics. Volume 68,3,1958
9. Волк Д.С. Плотность сепаратрисных связок в пространстве полиномиальных слоений в CP2, Труды МИ АН, 2006, 254, с. 181-191
10. A. Gaunderdorfer, Time averages for heteroclinic attractors, SIAM J. Math. Anal. 52 (1992), 1476-1489.
11. A.Gorodetski, Yu.Ilyashenko. Minimal and strange attractors, International Journal of Bifurcation and Chaos, 6 (1996), N. 6, pp. 1177-1183.
12. A. Den joy. Sur les courbes définies par des équation différentielles à la surface du tore. J. Math. Pure et Appl., 11 (1932), pp. 333-375.
13. E. jàrvenpàà, T. Tolonen. Relations between natural and observable measures. Nonlinearity, 18 (2005), pp. 897-912.
14. Ю.С. Ильяшенко, Мемуар Дюлака "О предельных циклах" и смежные вопросы локальной теории дифференциальных уравнений, Успехи Мат. Наук, 40 (1985), вып. б (246), с. 41-77.
15. Ильяшенко Ю.С. Топология фазовых портретов аналитических дифференциальных уравнений на комплексной плоскости. Труды сем. им. И.Г. Петровского, Вып. 4, 1978, стр. 83-136.
16. Ilyashenko Yu.S. Centennial History of Hilbert 16'th problem. Bulletin (New Sérias) of the american mathematical society, Volume 39, Number 3, Pages 301354.
17. Yu. Ilyashenko. The concept of minimal attractors and maximal attractors of partial differential equations of the Kuramoto-Sivashinski type, Chaos 1,1991, N. 2, pp. 168-173.
18. I. Itenberg, E. Shustin. Singular points and limit cycles of planar polynomial vector fields, Duke Math. J. 102 (2000), no. 1, pp. 1-37.
19. А. Б. Каток, Б. Хассельблат. Введение в современную теорию динамических систем. Факториал, 2005.
20. V. Kleptsyn. An example of non-coincidence of minimal and statistical attractors, Ergodic Theory Dynam. Systems,26 (2006), pp. 759-768.
21. В.А.Клепцын, Несовпадение минимального и Милноровского аттракторов для ячейки Черри. рукопись.
22. F. Loray, J. Rebelo Minimal, rigid foliations by curves on CPn, J.Eur.Math.Soc.5(2003),no. 2,pp. 147- -201.
23. J. MlLNOR. On the concept of attractor, Comm. Math. Phys. 99 (1985), no. 2, pp. 177-195.
24. Дж. Милнор. Голоморфная динамика. РХД, 2000.Перевод с английского: J. Milnor, Dynamics in one complex variable. Vieweg, Braunschweig, 1999.
25. M. Misiurewicz. Ergodic natural measures, preprint (2004).
26. M. Misiurewicz, A. Zdunik. Convergence of images of certain measures. Statistical physics and dynamical systems (Kôszeg, 1984), PP- 203-219, Progr. Phys. 10, Birkhâuser Boston, Boston, MA, 1985.
27. I. Nakai. Séparatrices for nonsolvable dynamics on C, 0, Ann. Inst. Fourier (Grenoble),44 (1994), no. 2, pp. 569-599.
28. A. Navas. Sur les groupes de diiféomorphismes du cercle, Enseignement mathématique, 50 (2004), pp. 29-68.
29. I. Nikolaev, E. Zhuzhoma. Flows on 2-dimensional manifolds. An overview. Lecture Notes in Math., 1007. Springer-Verlag, Berlin, 1999.
30. J. Palis. A global view of dynamics and a conjecture on the dynamics of finitude of attractors, Géometrié complexe et systèmes dynamiques, Orsay 1995, Astérisque 261 (2000), xiii-xiv, pp. 335-347.
31. J. Palis, W. de Melo. Geometric Theory of Dynamical Systems. An introduction, SpringerVerlag. New York-Heidelberg-Berlin (1982).
32. H. Poincaré. Sur les courbes définies par les équations différentielles, I, II, III, IV. J. Math. Pure et Appl, 2 (1881, 82, 85, 86), pp. 151-217.
33. D. Ruelle. Historical behaviour in smooth dynamical systems. Global analysis of dynamical systems, pp. 63-66, Inst. Phys., Bristol, 2001.
34. D. Ruelle. A measure associated with Axiom A attractors. Amer. J. Math., 98 (1976), pp. 619-654.
35. Я. Г. Синай. Гиббсовские меры в эргодической теории. Успехи Мат. Наук, 27 (1972), вып. 4, с. 21-69.
36. G. Stolzenberg. Uniform approximation on smooth curves. Acta.Math,1966. Volume 115, 3-4,p.l85-198.
37. D. Sullivan. Conformal dynamical systems, Lecture Notes in Math. 1007 (1983), Springer, Berlin, pp. 725-752.
38. F. Takens, Heteroclinic Attractors: time averages and moduli of topological conjugacy, Bol. Soc. Bras. Mat. 25 (1994), No. 1, 107-120.
39. M.G. Khudai-Verenov, A property of the solutions of a differential equation (Russian), Mat. Sb. 56 (1962), pp. 301-308.
40. Фирсова T.C. Топология аналитических слоений в С2. Свойство Купки-Смейла, Труды МИАН, 2006, 254, 162-180.
41. J. Hutchinson. Fractals and self-similarity, Indiana Univ. Math. J., 30, No. 5, (1981), pp. 713-747.
42. T. Cherry. Topological properties of solutions of ordinary differential equations, Amer. J. Math, 59 (1937), pp. 957-982.
43. T. Cherry. Analytic quasi-periodic discontinuous type on a torus, Proc. bond. Math. Soc., 44 (1938), no. 2, pp. 175-215.
44. M.Chaperon. Generic complex flows. Preprint
45. A. Schwartz. A generalization of Poincare-Bendixon theorem to closed two dimensional manifolds. Amer. J. Math. 85 (1963), 453-458.
46. M. Shub, D. Sullivan. Expanding endomorphisms of the circle revisited, Ergodic Theory Dynam. Systems 5 (1985), No. 2, pp. 285-289.
47. A. A. Shcherbakov. Dynamics of local grous of conformal mappings and geneic properties of differential equations on C2, Tr. Mat. Inst. im. V.A. Steklova, Ross. Akad. Nauk 254, (2006) Proc. Steklov Inst. Math. 254,(2006), pp. 103-120].73
48. L.-S. Young. What are SRB measures, and which dynamical systems have them? J. Stat. Phys. 108 (2002), pp. 733-754.
49. T. Young, Asymptotic measures and distributions of Birkhoff averages wth respect to Lebesgue measure, Disc, and Cont. Dyn. Sys., Volume 9 (2003), No. 2, 359-378.
50. M. A. Zaks, Fractal Fourier Spectra for Cherry Flows. Physica D, 149 (2001), no. 4, pp. 237-247.Работы автора по теме диссертации
51. Т. И. Голенищева-Кутузова, Бесконечность числа цилиндрических слоев для типичного аналитического слоения в С2, Труды математического института им. В.А.Стеклова, 254 (2006), с. 192-195.
52. Т. И. Голенищева-Кутузова, В. А. Клепцын, Исследование сходимости процедуры Крылова-Боголюбова в примере Боуэна, Математические заметки, 38 (2007), по. 5, с. 678-689.
