Предельные теоремы для эмпирических процессов от слабозависимых наблюдений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Р Г Б О А

1 И Н Ш1-;

1 Академия наук республики Узбекистан

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ имени В. И. РОМАНОВСКОГО

ДЛЯ ЭМПИРИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ОТ СЛАБОЗАВИСИМЫХ НАБЛЮДЕНИЙ

01.01.05 — Теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Ташкент — 1994

Работа выполнена в отделе теории вероятностей Института математики имени В. И. Романовского АН Республики Узбекистан

Научный руководитель: кандидат физико - математических наук, доцент Зупаров Т. М.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Гафуров М. У.

кандидат физико - математических наук Старцев А. Н.

Ведущая организация — Новосибирский институт математики СО АН РФ.

Защита диссертации состоится «. 1994 г.

в «_jh{—-» часов на заседании Специализированного совета

Д 015.17.21 в Институте математики им. В. И. Романовского АН Республики Узбекистан по адресу: 700143, г. Ташкент, ул. Ф. Ходжаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. В. И. Романовского АН Республики Узбекистан.

Автореферат разослан « » _1994 г

Ученый секретарь Специализированного совета доктор физико-математических

наук

АШИМОВ Ш. А.

0БЩ1 ХАРЖГШЮТШ РАБОТЫ

Актуальность теш. Цдоя проверки гипотез на основе эширг-ю-гoii функции распределения играет ванную рель в прикладных зодо-зх статистики. Большая часть работ в этом направлении иосвяпена зучешгю предельных -теорем для эмпирически процессов, ойразо-энных из независимых случайных величин со значениями в тех или яых пространствах.

Часть исследований этого направления огранена а обзорных гатьях Гэпсслера И Стута "Itapiricnl ргосеовев: Лвиг'/еу of го-ults for independent and identically dieiributoi rondon va-iablea (Ann. Probab., 1997, vol,7, Ко 2), Гзнсслсра "Empirical roceases" (I nut. ¡lath.Stat, loot.Ilotco. Monograph Seriea, 19G3,

Co многими методами, результатами п их приложениями могло ззнакомиться такке в обзорной статье Р.Дадла "А сошче on сп-liricel proccosRs" (Leot.lioteb in rath., 19Й4, vol, 1097).

С начала CO-x годов в работах В.Н.Вшшякз, А.Ю.Червонои-<иса, Р.Дздля, В.Филиппа, Е.Еяипа, Д.Зинна, С.Аленспндерэ, 1.С.Борисова, В.И.Колчииского в др.,стал разрабатываться нсп.и.1, энтропийный подход к изучении предельного поведения эмпприче-гяих процессов с менее или более произвольным параметрическим ¿ноаествем, построенных по позавасашш наблюдениям произвольна природа.

В терминах энтропийных характеристик получонк, приемлемые еля проверки, необходимые и достаточные условия выполнения гек иди иных предельных соотношений.

В последила годы весомое развитие получила проблема сходимости эмпирических мер, образованных из зрвпсимих наблюдений з тех или иных пространствах. Развитие это.1 области исследований тесно связано с именами И.Боркешз, ВЛалнппа, ГГ.Билллигсли, Д.Део, П.К.Сона, Иокоямэ,, Иошихпра, Лу Чупнронга, Ш.Киманэ и других.

Наряду с этим, многие вопросы из области доследования эмпирических мер, порожденных зависимыми наблюдения!.«, остаются ¿ало изученными даае в том случае, когда исходило ноблцкепия принимают - значения из. R- .

_ .} -

Целк работы. Основной целью работа являатся исследование сдао'а»! сходимости эшшрйческого процесса от последовательности слвбезависишх векторов, получение оценка сварху хвоста распределения статистики Колмогорова-Смирнова, а такие'доказатольемя ограниченного закона повторного логарифма и получение оценки скорости сходпмоота в законе больших чисел для сумм слабозава-симых случайных пелай с произвольным параметрическим шшкество!

Методана псоладоваим. Б работе применяются модификации, о в некоторых .случаях обобщения, ранее язвао-гнах методов асимптотического а шли за вероятностных иер, порожденных сушами сяобоэздссша случайных вокго;-пв а полей»

Научная новизна. Научшм новизна работ« заключаемся в ослаблении условий на скорость убиьпшш коз^ивдента равномарис сильного перамепшзашм (пралтачйска до юяшмзлъмо воамошзих) при до1;азйТц.1ЬС1Бэ слиЧой сходимости эмпирических процессов и конечномерном случае и сбобцепаи этих результатов на случай подпой регулярности исходных во моров, а тьк<ко ы распространении результатов об асимптотическом поведении суш независимых: гдучайвих солей о произвол!.ьии аараметрачоскан мио-хеством на случай слабозввнсшл: полей со бгашшюй старостью убывания коаЗЗицаеигв пвреышивавап.

Теоретическая н прькч-пчьская давность♦ Результаты работы носят теоротичоскай -харгктар. Они ыогу'т найти принонеаие в .математической статистике,, в теории проварки статистических гипотез и в дальнейшем изучении оешцтозрчосивх сиовсхо вмаирича-ских мер, образованных от слабозавиешшс наблц/деыгЗ, а такда в изучении -асимптотических свойств сумм сла$озавасв1шх случйИ-кых полей с произвольным параметрическим множеством.

Апробация г.аботц. Основные рвзулмати диссертации докладывались на Белорусской республиканском семинаре "Прикладной и статистический анализ временных рядов" (Гшнск, октябрь, 1987г), на Всесоюзной кколо-кодлеквиуш по теории верся!ч;осто5 а математической с^шисзде (Бакуриана, 19В7г), на научно-теоретической и технической конференции профессоров, преподавателей, аспирантов и научных работников ТашГТУ (Ташкент, октябрь,1ЭУ2г), на семинаре по теории вероятностен и математической статистике

в Toii'lY и на ссмшюрс по теория перед «юстой и нотеклчпосноП • orr.Ti:aTii"o г И.чстпгуто патееатаки ям, В.lUFouaucBftKoro AJI Гослуб-.'i!i:::s :/зс:0!-п'.:тян»

ССГОВШУ р^зуиьтига Оиуб.'П!ГПЛ1!!Н 13 5 статьях, спл«-м* котерчх приза1,en в кенцо ортгроТ^рото.

Структур ив ебьем диессрт.-циа. Р.'К'отп спстокт из воедоиия и давдг. г'дл«, взлоч'лншх но 98 страницах .чздшшпюиого токстл. Список ли тер»тури зкютзет СО иаг.мепоп'Л!:!Й.

coj^Timii; 1WJTU

Do введенви да» ::р2?к:й обзор работ, сшзашшх с темой двссерттши, -иргводеш оспозпкс результлм и вх грсвяение о йзвсстнши рпчео.-

Глава..! поевдвдц:» изучению псимптотаческого поведения эмпирических проц.ссов и их обобщмшИ, образованных векгорзпачпц-(ш изблкдешммп, удсвяотворякщти некоторым усдоппям слабой зависимости.

Пусть jc.s {х. .',..„ Х'ы . i } (I)

I 1 tí ' ' tic ' '

- стишюнсрная последовательность Д - эначных случайных величии, определенных на вероятностном пространство (О, Т, Р) с непрернветы. распределением F4S.) , X. ¿ RK , к pi,

В качество усдоый слабо;! зависимости последовательности (I) ш шб:1роем следующие:

I) Условие равномерно'сильного перемешивания (р.с.п.), пли условно перемешивания "по Ибрагимову"

(Р(п)« sup I Р( А/а) - Pa) I — о.

л fe яг*

-ato

; • "'УС+П.

. P is) > о

при п.—f. <*о

- о -

2) Услопна полной рогуллриостп (и.р.)

1 \ ¡Е(х~Ех)2 Е(у-Еч)

при И.—-<я?( гд0 — 6"-пдасю'ра событи.'!, порожден-

ная значит,и случоДнш.ш величинами {Х.^ г & £ с £

— СИ £ & й. оа ) означает совокупное'.

всех - измеримых - значных случайных величии, кьк

адх коночный второй момент.

Ыеад коэ&ацаентеыи Р(п) и Ц(п) сущомвуо® соотношении

Обозначил функцию распределения через и полокиы

(так что (I) * Р(УС. й £ ) - ± , £ £ [О,

Определим эмпирическую функции распределения для каздого I1.fi *

[о, Ц с

где t С Е^, - /С -мори«;! сдиничннЯ куЗ.

1'Водсм в рассмотрение последовательность эмпирачссуязс про-

цу-еов

W^ty-nh^íí)- ü(i)l í2)

Для каждого И} { процесс ÏV/L (£ ) яв.-лстся случоЛша.;

акцептом пространства & Í[P, i]K) tljumuñ, определении* на

Ек.

и не лмоизлх разрывов второго рода. D первой главе диссертации устанавливается слабая сходимость распределения эмпирического процесса W^ (£ ) к распределению некоторого 1с - мерного гауссовского процесса iVfê),

tC £ и получена оценка для хвоста распределения стотисгиул Колмогорова-Смирнова. Эти результата существенно улучшают и обобщит соответегвушао результату работ К.Сена (1974 г.), Ду Чуонроигз (1984 г.) ц Sao Кнмапа (1986 г.). Основные результата этой главы содержатся в следующих.теоремах.

Т Е О Ё И A I.I.

Пусть эмпирический процесс (2) построек по R - зкачтш случайным величинам, удовлетворяющем услонв» п.р. и

<¡v> J.

£ е'(2п) (3)

H*i J ■

Тогда распределена* TV^ (t) слабо сходится в топологии Скорохода, определенной на- (Со, í]K) , к распределению '/с-мерного гауссовского процесса \V(ï) прв условии, что '3"(J,

где - - - к

и для какдег.о. s, t G Ек

?(S,t) =

£ W(s)W(t}-

- в

п.

■ьт.

Ц" А,

и ¿ -1 о С~г

Т Е О Р Ё ¡.I А 1.3.

Пусть ушлричс-сглй процесс (2) -- ткой «с, как в -гооршо 1.1. .

Вс;ш длл лдбого

то

^ Р { 5ир I И/ и)I>Л) - (2 (р) ^

для любого , щв -'иэкоторая иолом тельная

постоянная, ивисшдая от в р .

ЗАШШШ I.

Если мы рассмотрим, стационарную в узком сшоде последовательность Й*1 - эпачних случайных величин, удовлетворяющую условию р.о.п,, 50 вса результат данной гласи будут спраиодллвшиИ в том случае, когда коэффициент перемешивания удошильораат следутсадму услоыго:

<х> ' 1

ЗЛЖШГИЕ 2. '

Слодуот отметить, что для выполнения услопиН (3), (■!) и (5) достаточно, чтобы рооЭДициситц лере!!с,.:л!варпч убывали л нули логарифмическим образом, тогда кок в рснее взвсстшх работах вшвпорвчислешагх авторов коОДпплсяги Ееремоавяоппя долин» убывать к нулп стецошшк образом.

С шчзлп 80~г. годов в работах В.И.Ваппя!"! и Л.ЮЛервонеп-киса, Р.Додди, Я.Сплпгтп, Е.Бдннэ, Д.Зплпа, С.Алеисандорз, И.С.Ко-рисову, В.Н.Колчинского и других-стал раэрэбатиаатьы ношЯ энтропийный пдогод к язученяв предельного поводеяпя эмпирических процессов с достаточно об.'жм параметрическим множеством, построенных ио независим: гл наблюдениям произвольной природа. В термйияк зпгро-ппйних характеристик полученк, приемлемые для провэргп, необходимые и достаточные условия выполнения тех или иных проделт-ннх еоотнопениЗ.

Вторая глава диссертации посвящоиа изучению продельного поведения эмпирических процессов с произвоцьгом параметрическим множеством, построенных по наблтенапм произвольно!! природа и удовлетворяющих условию р.с,п.

Пусть { lK (£), t€Tj, К* (б) - последователь-

несть веществзнпозначных случайных поле!) с произвольны},! пар-'мет-ричесгим мнокеством Т , рассматриваемых как случайный элемент

{ 1к ■ 1С 2 i } в mn , É) , где

'?(Т) - множество всех функций на Т , 2? - минимальная G - алгебра, содержащая все цилиндрические множества $■(Т)

Назовем сумму

■ -¿п.

Sjt)^i 2 Z [I. (í) - Bi.Lü] ■ (?) i-i t- l ■ '

эмпирическим процессом с параметрически.-,! мггаеством Т •

потеть- Teer-, ...

ври всех te Т0 ' Определим энтропию множестве Та следу»Чйм образом.

- 10 - .

Случайное поло на&оийм - регуляраш.1, ьсага

для V £ ? О Найдцч'оя *акие подмножества

Ь[ (Е) £ Гй , L ~ i, rtli) i] случайные величины

Ä.fe >° ,-сакаа, что £ A. U, <

[J U- (£) - Т0 > и кроао того, при всех L С 1

Suf> I Ht)- HS) I £ Л. (£, с вероятности 1. t,Sc^(E) 1 )

JIoi'iipu.tH минимального числа поданохеств ( ('<?) j с ука-зшиш своЗствоы Нйьоььл ~ Siirpoiiueil множества и

обозначил через И^ ■

Определим распределение случайного элемента j? (t, lo) следующим образом:

Для лагах & - подалгебр Q.^ С 9" « с Р введем расстйдшм между ними следувдкм образом;

t/(Q Л,аг)* sup I Р (В/А) - Р(6) I ,

" Л С fly

3 £ <3j

Рассмотрим

/7. а» ъ>), L}i) - последовательность

Т0 ~ регулярных случайных полей. Через TTt^ будем обозначать 6 ~ алгебру, порожденную случайными алиментами

n\t, ш), а £ с £ б

Положим f

- п -

«w sup Ч ( wf;, ??С ) -

iû\C< <х>

Последовательность случайных нолей ( '¿L >> ^} будем называть удовлотьоряицей условию равномерно сильного перемешивания, осла

lim </(п) - й.

П. —г-сЯО

Всад в дальнейшем лил [ Ii (i) , Lï i } - стационарной н узком смысло последовательности - регулярных случайных полой, удовлетворяющей условии равномерно сильного перммзши-шнля, dos каких-либо оговорок, предполагается, что:

(А): При каадом i последовательность lie) ■'

удовлетворяет условии равномерно сального neper,¡ощиванид с icorxji-¿иппеитом перемешивания и что распределение

не пгшисит от .

Впорвие эмпирический-процесс (7) с параметрическим мноао-ством Т был изучен Борисовым.И.С. (1385 г.) для случая, когда (б) - последовательность независима одинаково распределенных случайте: полей. Во второй главе диссертации изучено продельное поведение суммы S^ (i.) а случае, когда слагаема о суммы удовлетворяют условию р.с.п.,и на их основе доказаны утверждения типа закона повторного логарцфлз. Особое место занимает частный случай рассматриваемой проблем«исследование асимптотического поведения эмпирических мер.

Приведем следствие 2.1 из основной теореш второй главы, которое обобщает на аашеишй случай соответствую; ада результат работы И.С.Борисова (Ï985 г.).

Пусть (£) > iH \ , t £ Та - стационарная в угшом сюсль последовательность Та- регулярных случайных полей, удовлетворяющая условию равномерно сильного лорбьашвания.

- 1.2 -С Л Г, Д С Т В И Е 2.1.

Пусть ) 2 (1)1 ¿1 с ВсрсД ПККТЬМ I.

Кроме того,

~ (и 2 )

Ц(П) £ ¿1а ■ К пря некотором О »1 ^ . (Ир« = 0 йудчн считать, что

Тогда суцоствует /10 ^ »и*!. [/С .' ¿. // ] < ^ ]

таксе, что дня каждого и ?о гпо^г н^сто иеревея-ство

Р* ( тлл лу> I ^ .) I 5 С • /¿Л , ¿ет;

4^0 • 0

гдз р*- внешняя мера для соответствуй.^» вероятности,

I ЦЛ) - ецц).

^ = Г.гж (¿и : £ - С2"1-) £

Нг тах { {, У^ (ГО ]

ч

Кроме того, в Солее узкой зола

^ * р „ ,-й

"Иг) '(кг)'

показатель экспо-

.2

кони п правой части (8) мокно заменив по .. Лапр^ор,если

H, * Cfl ' ¿

Li

по;:;)вдть в (Ü)

-a

, где Cl >0 , ?o мамин

Л =

^(M^'CJ J

¥ ¿

: i. i i óí6m велпч1:г;у

Z н. (i )■ i

¿-ÍJ '-t

в (В) мсшю заменить hü ' 1

Í'Z

i+Ы f

~~T~ (a

í-2r¿ \

~77zX~ У

iu

w

n. Lta

H

, соля 0¿CL<

i-2¿ USA '

, если CL ■

l-Ы

i-U

-í-^ . 1+U /„ i-M \ ЛЛ2Ш) Ía' Tm)

г

l1Сc

У

i+!b¿ / i-Ы \

~sr ' (û~ 17IT ;

i'U

, если a>

- 14 -С Л Е ДС ТВ Л Е 2.2.

Пусть выполнены усаовяя следствия 2.1. Тогда, если

¿ни ,>/(%&т)т £ (Н (г1) ■ ¿'т~ 1)>о.

го о аерп'п ноогью

» / тг-* лт^Ч '(¡-^¿л1 (п) .

кпь51ф{Ц Н* (2 )

Ее ."Я кэ

л л ¡и .

■ * ' ¿'в г

■<£ сс

то о всн'очттстьи

[¿не 51г 2 • $ир I а) I <

л—-я, Четл

ОсобиЙ итерво прадсхавдяет частный случай Та - регулярных случайных нолей, когда "[■ ^ () здесь { А'с* j -

схацвонарнач последовательность случайных полей со' значениями в произролыюм измеримом пространстве удовлетворяющая

условию у.с.п., а Т- 9" -• множество ограниченных игмергшх ¡Й'ншгай пэ .

Тогда случайный процесс

S)Xib-^J Z Itcv-rhXi)], U?.

назаваоют эмпирическим процессом с паримогричесшш ыноквогвом ¿Г . в частности, о ели - совокупность

индикаторов всех нзмерш.их нсдмнотеств Д £ Si S if , то

4Ф S = & (Рл(Л)-Р(А)1

где AS jh и Р^ - эмпирическое распределение, построенное по сдучпйшял величин:;!.] { XL- / , с é /1 , с распределением Р , называется-э^пиричес;:."!! мерой. В этом случае для эмпирического процесса St.L ( f) с параметрическим множеством £ и, для омпвричсской меры йп (А) все результаты второй гдавц остается справедливыми.

Обычный эмпирический процесс, определенный в (2), получается из ( А ) , А £ ЗЪ .в случае â7 = RK.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Т.М'.Зупарову за внимание и помочу в работе над диссертацией.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах автора:

1. Зуларов Т.М., Абзалимов P.P. Слабая сходимость эмпирических полей от слабозависишх случайных векторов. - Тез.докл.XXI школы-коллоквиума по теории вероятностей и математической статистике.- Бакуриани. - 1987.

2. Зупаров Т.М., Абзалимов P.P. Слабая сходимость эмпирических процессов от слабозависишх случайных векторов.- Вероятностные модели и математическая-статистика. - Ташкент: Фан. -

1987. - С.33-13.

3. Абзалимов P.P. Экспоненциальная оценка для распределения-

суш слабозависишх случайных полей. - Тез.докл.XXI киолы-' коллоквиума во теории взрачтнсстей и математической статно-

тика. - Еекуриани. - 1987.

4. Абзалимов P.P. Экспоненциальные оценки для распределена суш елабоцш:случайных полей., - Деп. в ВИНИТИ, 07.07.88. П 5504-80.- 20 с.

5, Абзалимов P.P. Об оценке сходакооти в законе больших чисел для сумм слабозависимых случайных полей. - Тез.док;. Научно-теоретической и'технической конференции профессоров, преподавателей, аспирантов и научных работников Таш-1Т7. - X9S3.- С.68.

КУЧСИЗ ЮРЛА1[ГЛН КУУАГМАДАРДШ ТУЗНЛГЛН оШПРИК КАРАЙШАР FOT ИМЯ' ТГОРШШ?

АБЗАЛ1Ш0П P.P.

Диссертация ну чей з о'омаигап яузак.млардан тузпяган эмпирик •карппилар учуп лкмвг теоршьларго бешишланган. Диссертация кщш эдемя, икни боб ва адпбнетлар руйхатидан ntíopsi.

Диссортацияда вдЗидаги acotuli ньхнходар олаииан:

- Кучсиз йоулзшмнлик мартини чкноаглаинзрунчи иым-ор íííj.'í--могли тасоднфш! вшрорлар орцэля tysaarm мпиркк караоннши' Гаусс «араснига кучонз яэднлаанш! учун стерли лармлр олчпган;

- Колмогоров-Смирнов ü'i'aTi!.;i'iii(ric¡i та.^симошшнг rta^neu олпнгаи;

*

ихтаёриЯ параметрик гупднмли кучеиз борлангшшис ьаргпаи 1узпоатлаятярувчи таооди|ий майдонлар йигиндаси учун сйкрорий логарифм чонунанииг о'ир тури ва. капа сонларнинт куччи цонуаи исбатланган.

шит №ЙШ,В FOR ЙШМСАЬ HtOCESSES РНОИ WEAK ШРЕНвЕ'П ОВБЕП VAÏI OMS

ABZAUMOV il.R.

In the dissertation limit theorems for empiricol pro-ceeaee frora weak dependent oboervationo are considered.

Dissertation contains introduction, two chapierSnnà

liegrapîy.

In ¿le

Issertation the following principal results are obtained :

- • eufficient conditions for weak convergence empirical proceeds from weak dependent vector valuec/randoia varieties

to a Couseion procesBosj

- the rat?; of convsrgetK'.e for distribution of the Kolmo-EoroT-Cmlmov statistic j

- the bounded law of iterated logarithm and the strong la« of large numbers for dumq of weak dependent random i'lelda with arbitrary parametric set.

P.--- Подписано к печати '/¿,ОУ.

Зак.— Ш-2<5"б"/ Тираж -/О О 199-''/г. Об. S л. Л. Отпечатано в АП ТПК

Ташкент, Навои, 30.