Предельные теоремы для максимальных приращений случайных полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

на правах рукописи

Ш^л.—

ЩЕРБАКОВА Ольга Евгеньевна

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ МАКСИМАЛЬНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ

Специальность 01 01 05 - теория вероятностей и математическая статистика

АФТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2006

003067325

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Мартикайнен Александр Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Егоров Владимир Алексеевич

кандидат физико-математических наук, доцент

Баушев Алексей Николаевич

Ведущая организация: Новосибирский Институт Математики

имени С.Л.Соболева СО РАН

Защита состоится « ¿А » Щф^С^ 2007 года в часов на заседании диссертационного совета Д 002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института имени В.А.Стеклова РАН по адресу: 191023, наб. реки Фонтанки, д. 27, к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института имени В.А.Стеклова РАН.

Автореферат разослан « 2007 года. Ученый секретарь

диссертационного совета (1/А^

доктор физико-математических наук ^Тч^'^/ А.Ю.Зайцев

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования

Изучение асимптотического поведения максимума приращений частичных сумм независимых случайных величии является классической задачей теории вероятностен

Объектом исследования являются два типа статистик В первом тине статистик рассматривается максимум по всем приращениям частичных сумм определенной длины Во втором - максимум берется но всем приращениям, длины которых не превосходит определенной величины. В последнем случае переходим к двойному максимуму.

Задача состоит в отыскании такой нормирующей последовательности, что предел в смысле сходимости почти наверное (н.н), если он существует, или верхний предел равнялся единице В зависимости от величины, определяющей длину приращений, асимптотическое поведение максимума меняется от неинвариаптиости к сильной инвариантности Когда приращение будет иметь ту же длину, что и сумма, асимптотическое поведение выражается законом повторного логарифма

Первым систематическим изучением таких статистик можно считать книгу Чбрге и Ревеса "Сильная аппроксимация в вероятности и статистике"|6| (1981).

В дальнейшем исследование пошло по следующим направлениям:

1 Для случайных блужданий

• Расширение класса рассматриваемых случайных величин и поиск универсальной нормирующей последовательности. Такое направление нашло законченное оформление в работах Фролова [4|

• Исследование следующих членов асимптотики Этой задачей

занимались многие авторы, например, Деврой, Деовельс, Штайнебах

131

• Отыскание нижнего предела. Этим вопросом для винеровского процесса занимались Дио [7|, Бук и Шор [2), для дробного броуновского движения Занг Ли-Син (10].

2. Для случайных полей

• Поиск универсальной нормирующей последовательности. Этой проблемой также занимался Фролов [1|, [5]

• Расширение класса приращений В книге Чёрге и Реиеса [6), а затем в работах Запга (11] рассматривались приращения по параллелепипедам, лежащим в областях, включающих в себя как кубы, так и гиперболические области Но эти авторы ограничились размерностью два

• Исследование следующих членов асимптотики. Для приращений логарифмических объемов результат получен Штайнебахом и Пфулем [9].

• Отыскание нижнего предела Частный случай размерности два был рассмотрен Зангом |11] для дробного и обычного броуновского движения.

Тема диссертации лежит в русле бурно развивающихся исследований в области предельных теорем для случайных полей. В частности, исследование случайных полей проводится но трем из перечисленных выше направлений, за исключением поиска универсальной нормирующей последовательности.

Существенной чертой диссертации является рассмотрение случайных полей с односторонним условием Крамера - рассмотрение этого класса.

можно встретить в работах Штайнсбаха (8| - [9|. Это обстоятельство исключает возможность доказательства теорем с помощью сильного принципа инвариантности из результатов для винеровского процесса

В диссертации исследуется асимптотическое поведение максимальных приращений случайных полей. В связи с рассмотрением случайных нолей возникают некоторые особенности, во-первых, невозможность определить полный порядок на целочисленной решетке и, во-вторых, возможность разных вариантов определения тех приращений, которые исследуются. Асимптотическое поведение случайных полей первоначально изучалось для максимальных приращений по различным параллелепипедам, лежащим внутри кубов возрастающего объема.

Важной чертой настоящего исследования является расширение класса объектов, рассматриваемых в предельных теоремах для приращений, до параллелепипедов и гиперболических областей Структура множеств для двуиараметрического винеровского процесса, представленная Чсрге и Рсвссом [6|, а позднее Запгом [11|, включает в себя как кубические, так и гиперболические области, но параллелепипеды оставались вне поля зрения этих авторов. В отличие от кубов, которые при возрастании объема образуют возрастающую последовательность множеств, параллелепипеды ведут себя иначе. Это обстоятельство существенно осложняет доказательство. В верхних оценках это затруднение преодолевается рассмотрением гиперболических областей, включающих все параллелепипеды данного объема и обладающих свойством кумулятивное™ В нижних оценках для параллелепипедов приходится конструировать сложные семейства из дизъюнктных 11 арал лело! in педов

Цель работы

Цели диссертации состоят в следующем:

• получить комбинаторные оценки для различных подмножеств целочисленной решетки произвольной размерности;

• расширить класс рассматриваемых статистик для произвольной размерности,

• получить результаты о вероятностях больших уклонений для больших приращений случайного поля;

• определить нормирующие последовательности в предельных теоремах для максимальных приращений случайных нолей;

• найти скорость сходимости в предельных теоремах для приращений случайных полей;

• отыскать верхний и нижний предел нормированных и центрированных статистик

Методы исследования

Существует два подхода к изучению таких задач.

Первый продемонстрирован в книге Чергс и Ревеса [6] и основан на применении сильного принципа инвариантности Такой подход весьма ограничивает класс рассматриваемых случайных величин, налагая па них дополнительные моментные условия, и применим не для всяких длин приращений.

Другой подход предполагает изучение объектов, построенных непосредственно на случайных величинах. Этот подход в основном применяют для тех зон приращений, где нет инвариантности Кроме того,

он даст возможность ослабить момептпые условия Этот метод будет использован в диссертации, кроме того, отражение этого подхода можно увидеть у таких авторов как Штайнсбах и Фролов

Методы исследования, использованные в диссертационной работе, можно охарактеризовать так.

• в верхней оценке вероятностей максимума приращений случайных нолей доказываются и используются неравенства для двойного максимума и оценки мощностей семейств множеств многомерной вещественной решетки, куда погружаются параллелепипеды целочисленной решетки,

• доказываются и применяются результаты о вероятностях больших уклонений для случайных нолей,

• для оценки снизу Используются различные дизъюнктные семейства многомерных параллелепипедов;

• сходимость почти наверное устанавливается с помощью некоторых обобщений леммы Бореля-Кантелли.

Научная новизна

Новизну работы можно увидеть I! нескольких аспектах.

• Во-первых, сформулирована и доказана теорема о точной асимптотике для больших приращений, из которой вытекают следствия о скорости сходимости и верхнем и нижнем пределе центрированных и нормированных статистик.

• Во-вторых, обобщены предельные теоремы Штайнебаха для приращений случайных полей но кубам на гиперболические области и снято ограничение на рост объема приращений, а также обобщены теоремы

Штайнебаха и Пфуля о скорости сходимости для логарифмических приращений случайных нолей по кубам на гиперболические области

• В-третьих, сформулирована и доказана важная теорема о вероятностях больших уклонений для больших приращений случайного поля с односторонним условием Крамера.

• В-четвертых, расширен класс рассматриваемых приращений. Рассматриваются приращения но параллелепипедам, которые в отличие от кубов и гиперболических областей при возрастании объема не образуют возрастающей последовательности множеств.

• В-пятых, в диссертации сформулирован и доказан ряд лемм комбинаторной аппроксимации, которые позволяют получать оценки для мощностей множеств па ¿-мерной целочисленной решетке и, кроме того, их можно использовать для вычисления метрической энтропии, то есть оценивать мощность €-сетей

Важным этапом исследования стало изучение следующих членов асимптотики. В теоремах о скорости сходимости для случайных полей ранее были представлены результаты лишь для логарифмических приращений, приращения рассматривались только по кубам. Для приращений большего объема часть результатов о скорости сходимости и о нижнем пределе является новой и для однопараметрического случая.

Практическая и теоретическая ценность

Результаты работы важны для расширения и углубления знаний об асимптотическом поведении случайных нолей и, в частности, случайных блужданий Проведенные исследования позволяют дополнить аппарат работы с многомерными множествами и могут быть полезны для

оценок метрической энтропии. Полученные оценки вероятностей больших уклонений могут быть использованы в статистических приложениях

Публикации

По теме диссертации опубликовано 5 печатных работ Список приведен в конце автореферата

Апробация работы

О результатах исследования докладывалось на конференциях' международной конференции, посвященная 90-летию со дня рождения Б.В. Гнеденко (Киев, 2002 год), Одиннадцатой всероссийской школе коллоквиуме по стохастическим методам (Сочи, 2004 год), Российско-Скандинавском Симпозиуме но теории вероятностей и прикладной вероятности (Петрозаводск, 2006), на городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике в ПОМП РАН (2006 год).

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения и четырех глав Общий объем - 105 страниц, включая библиографию из 26 наименований

Содержание работы

Обозначения

Относительно последовательности целых чисел {ojv}.¡veN будем предполагать, что ам = [a(iV)], где [•] - целая часть, а функция a(t),t > 1,< е R:

1 < a(t) < t,

a(t) и —не убывают . (1)

Всюду далее будем предполагать, что loga; = ln(:r v е), log2 N = log log TV, xn x Un означает, что для достаточно больших N существуют такие константы СЬС2 > 0, что g\ < \xn/dn\ < С2, асимптотические соотношения рассматриваются при N —> оо.

Пусть N(j - d-мерная (d > 1) целочисленная решетка с неотрицательными координатами. Для каждого элемента п = (ni,..., nd), где пк € N|J{0}

Введем пространство Kq - пространство d-мерных векторов с неотрицательными вещественными координатами и Rf - с координатами больше 1

Определим частичный порядок в Nq : i<j, где г = (ii,... ,td), j = Üi,---,jd) ik < jk, Vfc = l,...,d.

Пусть i < j, где i, j g Nq. Параллелепипедом в N¡f назовем (i,j] = {к g Nq, i < к < j}. Его объемом назовем величину |j — i\ = rifc=i(ji — h)

Пусть г 6 No, тогда обозначим г'1) = (г, 1,..., 1).

Пусть а е обозначим [а] = ([ai],..., [а,г]), Д = Для А с Kfj обозначим |[Л]| = Сагс1(Л п nq).

Пусть Х„, п € Nj{ -- независимые одинаково распределенные невырожденные случайные величины с

ЕХп = 0 (2)

DX„ = ЕХ2п = <т2 < оо (3)

с функцией распределения F и с производящей функцией <j>(t) = Eexp(tXn), конечной в правосторонней окрестности нуля

О < i0 = supji : ф(Ь) < оо}. (4)

Приращением случайного поля по параллелепипеду будем называть случайную величину

l <к<]

Для каждого N € N рассматриваются максимумы приращений случайного ноля на параллелепипедах, объем которых либо точно равен адг, либо не превосходит одг, лежащих внутри d-мерных параллелепипедов вида (0,п], объем которых не превосходит N,

Sn = max Si,,}, S$j = max Si,*i. \j\<n w " \j\<n [,'3i \j-i\<aN |^-1|=адг

Такие статистики будем называть максимальными приращениями объема ам в гиперболической области.

Построим еще несколько статистик

Для п 6 Ny также рассмотрим максимумы приращений па параллелепипедах, объем которых либо точно равен адг, либо не превосходит адг, лежащих внутри d мерного параллелепипеда (0, п],

Тп = max Т* = max S(tJ].

Ь-»1<ям L?-'I=°H

11

Такие статистики будем называть максимальными приращениями объема ajv по параллелепипедам. Заметим, что

Sjif = max Тп, Sft = max Т* J«|=JV |n|=7V

Пусть In - максимум приращений на параллелепипедах объема не более,

чем ct/v, лежащих внутри d-мериого куба (0, l'1' • [N¡¡]],

IN = max S(,tj], I*N = max 5(iJ]. (ij]c(o,i<') [лга]] (!,j]c(o,i<') [лгз]]

|j-«|<"JV L/-»|=OJV

Такие статистики будем называть максимальными приращениями объема ün по кубам.

Отметим, что объем куба (0, l'1' • [Л/з]] отличается от N не более чем на dNl~lld

Можно написать следующие очевидные соотношения

lim inf T¿ < lim inf I*N < lim inf бд,, lim sup In < lim sup Tn < lim sup Sjv, |n| = iV.

Обозначим m(u) — (log ф(и))', а2(и) = m'(u),

p(a) = inf <Xi)e"(rt = (f>(f)e-nt íe[0,ío)

Положим

c(q) = -1/ log p(a). (5)

Известно (см , например, в |3|), что c(a) - убывающая дифференцируемая функция от

ае(0,Л), А = limm(í),

«Tío

причем,

rto

limc(a) = оо lim с(а) = с0 = 1/ / tw!{t)dt. rajo a'lA J0

Во Введении обоснована актуальность темы исследования, дан краткий обзор состояния исследований по теме диссертации, сформулирована цель работы, онисапы методы исследования и структура работы

Первая глава посвящена доказательству различных

вспомогательных результатов

В первом параграфе этой главы рассматриваются результаты, связанные с вычислением мощностей различных подмножеств на 6-мерпой целочисленной неотрицательной решетке. Задача о число семерных параллелепипедов данного объема восходит к задачам теории чисел о вычислении числа способов разложить натуральное число на <1 сомножителей В дальнейшем, мощность оценивается с номощыо метода комбинаторной аппроксимации, который состоит в следующем вводятся дополнительные параметры, с помощью которых регулируется точность оценок, и производится погружение рассматриваемых подмножеств целочисленной неотрицательной решетки в подмножества вещественной решетки

Во втором параграфе представлены необходимые для доказательства основных результатов вероятностные теоремы, в частности, результаты из теории вероятностей больших уклонений и неравенства для двойного максимума для случайных полей.

Во второй главе диссертации доказываются три предельные теоремы для максимальных приращений в гиперболической области, где нормирующая последовательность строится в зависимости от асимптотического поведения последовательности, определяющей объем приращений. Кроме того, находится верхний предел для тех приращений, для которых сходимость отсутствует.

В первой теореме рассмотрены большие приращения, то есть те

приращения, объём которых имеет рост больше логарифмического. В этой теореме наблюдается инвариантность нормирующей последовательности от свойств случайного поля. В отличие от результата Штайпебаха [8] эта теорема не ограничивает рост объёма приращений

Теорема 1. Пусть Хп, п €Е Nfj - независимые одинаково распределенные случайные величины, удовлетворяющие условиям (2), (4) и

DXn = 1. (6)

Последовательность адг удовлетворяет (1). Предположим, что выполнено условие

<*n

1-л7 00 • vi

log N w

Определим нормирующую функцию v(t) и последовательности Vn

следующим образом.

v(t)=log-^ + dhg2t, vn = \v(N)}. (8)

Тогда

lim sup—г = lim sup—^N = 1 пн.

iv—>oo \/2aNVM JV—»oo

Если дополнительно предположить, что

log —

bilSv-00' <9>

1 &n 1- i- IN Im ,

lim . = lim —=== = lim —= lim —= 1 пн

N->ooy/2aNVN JV->oo-^О/уЗД V^ajvfjv

Новыми результатами в этой теореме являются утверждения для статистик Sjv и S^, а также для статистик /дг и I^ при условии,

что последовательность не ограничена обременительным условием, наложенным ШтаГшебахом |8|. для любого положительного 5 справедливо, что Щ -> О

Во второй теореме рассмотрены приращения логарифмического объема

Теорема 2. Пусть Хп,п 6 N¡1 - независимые одинаково распределенные случайные величины, удовлетворяющие условиям (2), (4) и (6). Последовательность адг удовлетворяет (1). Предположим, что

ак^С^Ы, (10)

где константа С находится как единственное положительное решение уравнения

Ы = ехр(-1/С), (11)

й € '-

l^if io = sup{i :0(i) <оо}|.

Пусть нормирующая последовательность Адг имеет следующий вид•

Адг = {Cajv log N}~*.

Тогда

lim SjvAjy = hm S^An = lim Адг = lim /jvAjv = а пн

N—юо N—>oo N-юо JV—»oo

В третьей теореме рассмотрены маленькие приращения

Теорема 3. Пусть Хп,п Е NjJ - независимые одинаково распределенные случайные величины, удовлетворяющие условиям (2), (4) и (6). Последовательность адг удовлетворяет (1). Предположим, что <j)(t) < оо, для всех t > О,

lim log ф"(т) = Г2 > 0, (12)

Т—>+00

Пусть нормирующая последовательность имеет вид AN = {2r2aJvlogAf}"5.

Тогда

lim SnАдг = lim S^An = lim I]уАдг = lim /д-A,v ~ 1 " »

JV->oo JV->oo N->oc ЛГ-ос

Во второй и третьей теоремах новыми результатами являются утверждения для статистик Sn и S^

В последних двух теоремах инвариантность отсутствует, нормирующая последовательность зависит от распределения случайного ноля

В теоремах этой главы получены результаты, обобщающие теоремы Штайпсбаха [8| па гиперболические области

Предел существует не для всех последовательностей, определяющих объем приращений Нормирующие последовательности для кубов и для гиперболических областей совпадают для тех приращений, где предел существует Верхний же предел для гиперболических областей будет отличаться от верхнего предела для кубов и будет зависеть от размерности.

В третьей главе получена скорость сходимости в предельных теоремах для максимальных приращений логарифмического объема в гиперболической области Этот результат обобщает результат Штайпсбаха и Пфуля [9| на гиперболические области.

Теорема 4. Пусть Xv,n £ независимые одинаково распределенные случайные величины, удовлетворяющие условиям (2), (4)-Предположим, что

адг = с log N + Alog2 N + o(log2 N), где с > Со, А G R. (14)

Пусть а 6 (О, А) единственное решение уравнения с = с(а) ut*£ (О, tо) единственное решение уравнения а = m(t*).

Тогда

5jv — actjv d— 3/2 — Л/с

lim —:-—— =- по вероятности,

TV-оо log2 N t*

. ,Sn — айн d — 3/2 — Л/с

limini—:-TT =- Tl.H ,

iV—»oo log2 iv Î*

Sn — aciN d— 1/2 — Л/с

lim sup—:-гт =- п.н.

log2 iV «*

Причем, эти утверждения останутся справедливыми, если S^ заменить на S'jy

Замечание 1. Таким образом, как видно из теоремы 4> хотя статистики Sn, S^ имеют ту же асимптотику возрастания, что и In, I*n, их флуктуации, имея тот же размах, оказываются сдвинуты на d — 1 Отсюда, в частности, следует, что

P(S*N < aaN б.ч ) = P(SN < aaN б ч) = 0 при d > 3/2 + Л/с

Главным результатом четвертой главы является теорема, которая даст ответ одновременно па несколько вопросов, а именно, на вопрос о скорости сходимости для тех приращений, где есть сходимость к пределу, и вопрос о точном значении верхнего и нижнего предела для нормированных и центрированных статистик, когда сходимости к пределу пет. Кроме того, доказан важный результат о вероятностях больших уклонений для больших приращений случайного поля

Эта область исследования оставалась до этого неразработанной Результаты теорем этой главы являются новыми пе только для случайного ноля, но и для случайных блужданий С соответствующими изменениями, связанными с переходом от дискретного к непрерывному времени, можно

сформулировать результаты для многопарамстрического винеровского процесса

Для случайного поля кроме одностороннего условия Крамера предполагается дополнительно конечность момента 2 + v, v > О, и накладывается ограничение снизу на размер приращения степень логарифма должна быть больше 1 + 2/v.

Обозначим lim — Р- Предполагается, что предел существует,

конечный илп бесконечный Функции z(t), z*(t),y(t),y*(t),w(t) и последовательности гдг, z*Nlyx,y*N,WN определяются следующими соотношениями

z(t) = + 1) log2 a(t) + (d - 1) log2 щ, zm = [z(N)\-,

z*(t) = z(t) +log2a(i), ^ = [z*(iV)];

V(t) = log ^y + {d - 1) log2(a(i) Ащ) yN = \y(N)]-, y*(t) = y(t) + log 2a(t), y*N = \y*(N)}; w{t) = y(t) — log;, t, wN = [u>(N)].

Пусть Sjv произвольная вещсствсннозначпая последовательность такая, что sjv —► оо, f^ —» оо, а a(sjv) € (О, Л) - единственное положительное решение при достаточно больших N уравнения

c(a(ejv)) = —i (15)

Sjv

î*(sjv) £ [0, to) - единственное положительное решение уравнения

a(sN) = m(t*(sN)). (16)

Определим нормализующий функционал

LUS) = - aNa(sN)). (17)

a log sN V aN

Определение 1. Положительную последовательность вк = [в(Л0] такую, что йдг -оо, назовем а-асимптотически регулярной, если выполнено следующее соотношение

Следующие примеры последовательностей показывают, что условие а-асимнтотической регулярности не является обременительным Пусть L -медленно меняющаяся функция.

Пример 1. Предположим, что a[t) = log1'tL(\ogt), где р > I, тогда последовательность zn является а-асимптотически регулярной

Пример 2. Пусть теперь a(t) = R(t) = tsL(t), где ô G (0,1), тогда последовательность zn будет являться а-асимптотически регулярной

Пример 3. Предположим, что z(t) = log''a(i)L(loga(i)), где // G (0,oo), тогда последовательность zjv а-асимптотически регулярна

Пример 4. Предположим, что a(t) = -щ, L(t) > 1, тогда последовательность zjv а-асимптотически регулярна

Определение 2. Пусть v > 0 Случайное поле Х„,п G NjJ назовем удовлетворяющим v-условию с последовательностями адг и s^, если выполнены следующие условия:

Теорема 5. Пусть Хп,п £ N¡5 - независимые одинаково распределенные невырожденные случайные величины, удовлетворяющие условиям (2), (3), (4) и у-условию с последовательностями ам и

a(vj)

a{vj-1)

(18)

Е\Х„\2+" < оо; ST'" = °(aN2 logSjv).

(19)

(20)

Пусть последовательность а^, удовлетворяет следующему условию lim ft = О Тогда

Нт1<г„(5лг) = Ьт 1,,^(Т„) = \imTL,= \ по вероятности,

где

(рЛд,- 1/2, р < оо, 2а!-3/2, р = оо. Предположим дополнительно, что последовательности ¿N1 а-асимптотически регулярны, тогда

lim sup L z>n(Sn) = lim sup L^(T„) = lim sup i,IJ%(IN) = x + 1 n н

\n\=n->oo

lim inf LJJV (SV) = X пн Кроме того, предположим, что

logf lim inf -r-—^ > 1. log., N

Тогда

limmfL1„iV(/iV) = lim inf L WN{Tn) =\ пн

|n|=JV—»oo

Эти утверждения останутся справедливыми, если SV заменить на S^, Т„ на Т* и /дг на I^

. Заметим, что и теореме не предполагается условие монотонности (1), требуется только а-асимптотическая регулярность последовательностей

Для выполнения условия (20) с последовательностями an и z^ достаточно, чтобы р > 1 + 2/v, и необходимо, чтобы р > 1 + 2/v.

Благодаря условию

log^

limr—= оо. (21)

log2 N

Zn ~ vn ~ Wn ~ z*n ~ J/^ ~ поэтому верхний и нижний

пределы будут описывать скорость сходимости, а теорема обобщать результат автора |4| на более широкий класс последовательностей ам-Отмстим, что условие (21) в точности означает существование н.н предела у последовательности 5дг/у/г^а^, что и приводит к проблеме вычисления следующего члена асимптотики. Если же условие (21) нарушается, теорема будет давать точные значения нижнего и верхнего предела для нормирующего функционала Условие (21) исключает адг = N(\ogN)-q,0 <q< оо.

Доказательство теоремы 5 существенным образом базируется на следующем результате о вероятностях больших уклонений для больших приращений случайного поля.

Теорема 6. Пусть sn произвольная веществсннозначная

последовательность такая, что sк —> оо, ш —> оо.

Пусть Хп,п G N[j - независилте одинаково распределенные невырожденные случайные величины, удовлетворяющие условиялг (2), (3), (4) и v-условию с последовательностями an и вдг.

Тогда равномерно по и из фиксированного конечного интервала и для а £ IRjj : |[а]| —> оо, Д —> 1, справедливо следующее 'утверждение

P(S(0,а] > aN(a(sN) + мс—^===)) = exp{-A(sN + и log sN + о (log йдг))}-

Предположим, что |А — 1| = тогда

P{S(о,а] > ajvHsjv) + иа-^щ=)) = exp{-(sjv + (и+ 1/2) logsjv + o(logs^))}-

Сформулируем следствие из теоремы 5 о скорости сходимости

Следствие 1. Предположим, что находимея в условия i пи opt мы 5. и дополнительно предположим, что выполнено условие (21). Тогда

limsupL^Sjv) = lim sup LiJV(T„) = lim sup L,/(V (In) = X + 1 " и

|?i|=iV—>oo

liminfLj(V(5jv) = liminfLu,w(/jv) = liminf L,„N(T„) = x п.н.;

\n\=n->oo

lim L,w (Sjv) = lim LI)N(T„) = lim L,yjv (In) = X no вероятности.

|ii|=iV-+oo

Эти утверждения останутся справедлгюыми, если Sn заменить на S Тц на Т* и In на

Точные значения нижнего и верхнего предела, когда условие (21) нарушается, получим из представленного ниже следствия теоремы 5

Следствие 2. Предположим, что находимся в условиях теоремы 5, и дополнительно предположим, что выполнено условие

log —

lim sup:-^<оо. (22)

log2 N

Тогда

lim sup(SV) = lim sup L,* (T„) = limsupLv»,(/jv) = x + 1 п.н

|ji[=iV—>oo

lim sup—^N = lim sup—fN = lim sup —7" = 1 п.н; a^/2aNz*N a<j2aNy*N in^jv-,«, oy

Sn

liminfЬгл,(5дг) = x n m ! liminf—. = 1 п.н.

a^2aNzN

Кроме того, предположим, что

log^

liminf--^->1 (23)

log., Я

Тогда

liminfLro(V(/jv) = liminf hWN(Tn) = x n w;

|/i|=iV-»oo

liminf—. ^ = liminf — " = 1 п.н

o^2onwn |»|=jv-.oo a\/2anwn

Эти утверждения останутся справедливыми, если Sn заменить на S Т„ на Т* и In на I^

Заметим, что величина нижнего предела, полученная ii Д1!ух предыдущих теоремах для двупараметрпческого случая, совпадает с полученной Запгом Ли-Сипом для двупараметрпческого гауссовского процесса

Нижний предел совпадает с пределом по вероятности для приращений по гиперболическим областям, а но кубам и параллелепипедам совпадает при наличии сходимости Вопрос о нижнем пределе до этого был рассмотрен только для случайных процессов Зангом |11| и размерность не превышала 2

Результаты о верхнем пределе, скорости сходимости и нижнем пределе существенным образом зависят от того, рассматриваем ли мы приращения по кубам или по параллелепипедам и гиперболическим областям Напротив, значение предела в теоремах второй главы пе зависит от того, рассматриваются ли приращения в кубах, параллелепипедах или гиперболических областях

В заключении сформулированы основные результаты диссертации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах.

1 О Е Sclierbakova, The asymptotic behaviour of random fields increment, Abstracts International Gnedenko Conference 90 anniversary. Kyiv (2002), 25

2 О E. Щербакова, Асимптотическое поведение приращений случайных полей, Teopifl ймовфпостей та математична статистика 68 (2003), 158 171

ЗОЕ Щербакова, Скорость сходимости для приращений случайных полей, Записки научных семинаров ПОМИ 298 (2003), 304 315

4 О Е Щербакова, Скорость сходимости для больших приращений случайных полей, Записки научных семинаров ПОМИ 320 (2004), 187 225

5 О Е Щербакова, Нижний предел для максимальных приращений случайных блужданий и полей, Обозрение прикладной и промышленной математики XI Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам. Сочи 11 (2004), 521 522

Цитируемая литература

IAH. Фролов, Об асимптотическое поведении приращений случайных полей, Записки научных семинаров ПОМИ 298 (2003), 191 207

2 Book Stephen A. and Shore Terence R., On large intervals in the Csörgö -Revesz theorem on increments of Wiener process, Z Wahrcsheinhclikcitsthe-orie und verw. Gebiete 46 (1978), 1-11

3 Paul Dehcuvels, Luc Devroye, and James Lynch, Exact Convergence Rate m the Limit Theorems of Erdbs-Renyi and Shepp, Ann of Probab 14 (1986), no 1, 209 223

4. A.N Frolov, On the asymptotic behavior of the large increments of sums of independent random variables, Tlicoiy Probab. Appl 47 (2002), 315 323

5 Andrej Frolov, Strong limit theorems for increments of random fields, Theory Stock Process 8(24) 8 (2002), no 24, 88 97.

G. Csörgo M and Revesz P., Strong approximation in probability and statistics, Akademiai Kiado, Budapest, 1981

7 Deo Cliandrakant M , Delayed averages of mixing sequences, Can J Stat 5 (1977), 141 145.

8 J. Stemebach, On the increments of partial sum processes with multidimensional indices, Z Walircskcinhclikcitstheorie und verw Gebiete 63 (1983), 59 70

9 Josef Stemebach and Wilfried Pfuhl, On Precise Asymptotics for Erdos-Renyi Increments of Random Fields, Pub Inst Stat Univ. XXXIII (1988), no. 2, 49 66

10 Li-Xin Zhang, Some liminf results on increments of fractional drownian mo-

hon, Acta Mathcthctica Acad Sci Hung 71(3) (1996), 215 240

11 Li-Xin Zhang, On large increments and limmfs of two-parameter qaussian process, Acta Mathcthctica Acad. Sci Hung 71(3) (2000), 167 198

Лицензия ЛР №020593 от 07.08.97

Подписано в печать 19.12.2006. Формат 60x84/16. Печать цифровая Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 1089Ь.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в Цифровом типографском центре Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул , 29. Тел : 550-40-14 Тел./факс- 297-57-76