Предельные теоремы для приращений сумм независимых случайных величин и случайных процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ПРИРАЩЕНИЙ СУММ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ.

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург - 2004

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики Санкт-Петербургского государственного университета.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А. В. БУЛИНСКИЙ доктор физико-математических наук, профессор В. А. ЕГОРОВ доктор физико-математических наук, профессор А. И. САХАНЕНКО

Ведущая организация

Математический институт им. В. А. Стеклова РАН.

Защита состоится " 31 " 2005 г. в ,^[_*часов на

заседании диссертационного совета Д 002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова РАН по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова.

Автореферат разослан " ^^КС^^С^Л 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук А. Ю. Зайцев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1.1. Актуальность темы.

Исследование асимптотического п.н. (почти наверное) поведения приращений сумм независимых случайных величин, случайных процессов и случайных полей является одной из интересных и важных задач современной теории вероятностей. Интерес к этой области предельных теорем обусловлен теоретической важностью исследования поведения различных функционалов от траекторий случайных блужданий и случайных процессов, а также различными применениями подобных результатов в самой теории вероятностей, в математической статистике и в разнообразных приложениях. В рассмартиваемой области важное место занимают четыре типа предельных теорем, в которых речь идет о п.н. верхнем пределе или пределе нормированных приращений сумм независимых случайных величин, случайных процессов и полей. Это — усиленный закон больших чисел, закон повторного логарифма, законы Эрдёша-Реньи (Р. Erdös, А. Rönyi) и Шеппа (L. Shepp), закон Чёргё-Ревеса (М. Csörg6, Р. Rövfez). Первые два типа предельных теорем и их фундаментальное значение для теории вероятностей и математической статистики хорошо известны. Перейдем к остальным двум типам результатов.

Усиленные законы больших чисел для малых приращений (т.е. приращений логарифмической и меньшей длины) сумм независимых одинаково распределенных случайных величин называют законами Эрдёша-Реньи и Шеппа. Первый результат этого типа был получен Л. Шеппом (Shepp L.A, Ann. Math. Statist., 1964, Vol. 35, P.424-428). Однако настоящий толчок развитию этого направления исследований дала работа П. Эрдёша и А. Реньи (Erdös P., R&iyi A., J. Analyse Math., 1970, Vol.23, Р.103-111), с момента публикации которой появилось более сотни работ по данной тематике. П. Эрдёш и А. Реньи установили, что в случае малых приращений нормирующая последовательность зависит от всего распределения слагаемых, а иногда даже однозначно определяет это распределение. М. Чёргё и П. Ревес получили обобщенный закон повторного логарифма для больших приращений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевым средним и конечным вторым моментом. Оказалось, что нормировка в этом случае зависит лишь от дисперсии распределения слагаемых, подобно тому, как в теореме Хармана-Винтнера о законе повторного логарифма. Кроме того,

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

М. Чёргё и П. Ревес установили, что для больших приращений, длина которых растет достаточно медленно, верхний предел можно заменять на предел. Результаты такого типа называются законами Чёргё-Ревеса. Отметим, что теорема Хармана-Винтнера является частным случаем результата М. Чёргё и П. Ревеса.

Дальнейшему изучению асимптотического п.н. поведения приращений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин посвящены работы М. Чёргё, П. Ревеса, П. Девельса (P. Deheuvels), Л. Девроя (L. Devroye), Д. Линча (J. Lynch), Д. Мэйсона (D. M. Mason), У. Айнмаля (U. Einmahl), Й. Штайнебаха (J. Steinebach), Ш. Чёргё (S. Csörg6), С. Бука (S. A. Book), К. Шао (Q. M. Shao) и целого ряда других авторов. В их работах были получены усиления и уточнения законов Эрдёша-Реньи, Шеппа и Чёргё-Ревеса, найдены оценки скорости сходимости в них, изучены вопросы оптимальности моментных предположений. Обобщения этих результатов на случай независимых неодинаково распределенных слагаемых были получены Й. Штайнебахом, С. Буком, Д. Хансоном (D. L. Hanson), Р. Руссо (R. P. Russo), 3. Линем (Z. Y. Lin), А. И. Мартикайненом, А. Н. Фроловым и др. Различные варианты этих результатов были получены также для слабозависимых величин, самонормализованных сумм и взвешенных сумм.

Параллельно с исследованием п.н. поведения приращений сумм шло изучение п.н. поведения приращений случайных процессов и полей.

Прежде всего, отметим здесь результаты для приращений винеров-ского процесса, которые были получены в работах П. Эрдёша, А. Реньи, М. Чёргё, П. Ревеса, Е. Чаки (Е. Csaki), С. Бука, Т. Шора (Т. R. Shore), Й. Ортеги (J. Ortega), М. Вшебора (М. Wschebor) и др. Особую важность эти результаты приобретают в связи с известным методом Комлоша-Майора-Тушнади P. Major, G. ) сильной аппрокси-

мации сумм независимых одинаково распределенных случайных величин винеровским процессом. Этот метод и его обобщение на неодинаково распределенные случайные величины, принадлежащее А. И. Саханен-ко, позволили получить многие результаты для приращений сумм из результатов для приращений винеровского процесса. Результаты, аналогичные результатам для винеровского процесса, были получены также для устойчивых процессов со скачками одного знака.

Важным классом исследуемых случайных процессов стали процессы восстановления, к которым, в частности, относится пуассоновский процесс. Результаты в этом направлении были получены П. Девельсом,

Й. Штайнебахом и др. В работах П. Ревеса, М. Чёргё, П. Девельса, Д. Мэйсона, Е. Чаки и др. было исследовано поведение приращений некоторых процессов, связанных с винеровским процессом, эмпирических процессов, локальных времен, а также ряда других случайных процессов. В статьях П. Ревеса, К. А. Боровкова, П. Девельса, Д. Мэйсона и др. для приращений сумм независимых случайных величин и некоторых случайных процессов были доказаны функциональные предельные теоремы. Поведение приращений случайных полей было исследовано Й. Штайнебахом, П. Девельсом и др. Результаты для приращений гаус-совских и устойчивых случайных полей вытекают из соответствующих результатов для многопараметрических случайных процессов, полученных А. Чаном (А. Н. С. Chan), M. Чёргё, П. Ревесом и др.

Общей чертой результатов для приращений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин, является то, что малые и большие приращения практически всегда исследовались отдельно. Вместе с тем, закон повторного логарифма и усиленный закон больших чисел можно рассматривать как частные случаи результатов для больших приращений. Тем не менее, ранее не предпринималось попыток охватить единой теорией законы Эрдёша-Реньи и Шеппа, законы Чёргё-Ревеса, закон повторного логарифма и усиленный закон больших чисел. В этом и состоит одна из главных задач настоящей работы. Нашей следующей задачей является получение новых результатов об асимптотическом п.н. поведении приращений сумм как следствие единого подхода к сильным предельным теоремам, а также проверка оптимальности моментных предположений в этих результатах.

Разумеется, мы не ограничиваемся построением единой теории для приращений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. Наша следующая цель — построить аналогичные теории для приращений сумм независимых неодинаково распределенных случайных величин, процессов восстановления, однородных процессов с независимыми приращениями, случайных полей и сумм вдоль серий успехов и монотонных блоков в сопровождающей последовательности, а затем вывести из общих теорем новые результаты о поведении приращений сумм, упомянутых случайных процессов и полей.

1.2. Методика исследования.

Основным аппаратом в исследовании асимптотических п.н. свойств приращений сумм независимых случайных величин является метод, осно-

ванный на анализе некоторых вероятностей больших уклонений с использованием различных вероятностных неравенств и применении лемм Бореля-Кантелли. Аналогичный метод используется для изучения предельного поведения приращений рассматриваемых случайных процессов и полей.

1.3. Научная новизна и практическая значимость.

Основные научные результаты, изложенные в настоящей работе, заключаются в следующем:

1) Найдена формула универсальной нормирующей последовательно -сти в сильных предельных теоремах для приращений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин и построена единая теория, включающая в себя законы Эрдёша-Реньи и Шеппа, законы Чёргё-Ревеса, закон повторного логарифма и усиленный закон больших чисел. Получены новые результаты для случайных величин из областей притяжения нормального закона и асимметричных устойчивых законов с показателем из интервала (1,2). Установлена оптимальность моментных предположений в полученных результатах.

2) Найдена формула универсальной нормирующей последовательности в сильных предельных теоремах для приращений сумм независимых неодинаково распределенных случайных величин. Получены обобщения законов Чёргё-Ревеса на случай неодинаково распределенных случайных величин, включающие в себя теоремы А. Н. Колмогорова и Хартмана-Винтнера о законе повторного логарифма.

3) Найдена формула универсальной нормирующей последовательно -сти в сильных предельных теоремах для приращений случайных полей независимых одинаково распределенных случайных величин и построена единая теория, включающая в себя законы Эрдёша-Реньи, законы Чёргё-Ревеса, закон повторного логарифма и усиленный закон больших чисел. Получены новые результаты для случайных величин из областей притяжения нормального закона и асимметричных устойчивых законов с показателем из интервала (1,2).

4) Найдена формула универсальной нормирующей функции в сильных предельных теоремах для приращений процессов восстановления и построена единая теория, включающая в себя законы Эрдёша-Реньи, законы Чёргё-Ревеса, закон повторного логарифма и усиленный закон больших чисел. Получены новые результаты для процессов восстановления с временами восстановления из областей притяжения нормального

закона и асимметричных устойчивых законов с показателем из интерва-ла(1,2).

5) Найдена формула универсальной нормирующей функции в сильных предельных теоремах для приращений однородных стохастически непрерывных процессов с независимыми приращениями и построена единая теория, включающая в себя законы Эрдёша-Реньи и Шеппа, законы Чёргё-Ревеса, закон повторного логарифма и усиленный закон больших чисел. Получены новые результаты о поведении приращений однородных процессов с независимыми приращениями, приращения единичной длины которых принадлежат областям притяжения нормального закона и асимметричных устойчивых законов с показателем из интервала (1,2).

6) Найдена формула универсальной нормирующей последовательно -сти в сильных предельных теоремах для приращений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин вдоль серий успехов и монотонных блоков в сопровождающей последовательности и построена единая теория, включающая в себя законы Эрдёша-Реньи, законы Чёргё-Ревеса, закон повторного логарифма и усиленный закон больших чисел. Получены новые результаты для случайных величин из областей притяжения нормального закона и асимметричных устойчивых законов с показателем из интервала (1,2).

Результаты диссертации могут быть применены в дальнейших исследованиях приращений сумм независимых случайных величин, случайных процессов и полей, и в различных приложениях, в частности, в математической статистике, в моделях страховой и финансовой математики, требующих оценки возможных потерь на временных подынтервалах, в моделях теории массового обслуживания, в которых появляются процессы восстановления.

1.4. Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, шести глав и списка литературы, включающего свыше 200 наименований.

1.5. Апробация работы.

Основные результаты диссертации содержатся в работах [1-17]. Результаты систематически докладывались на общегородском семинаре по теории вероятностей и математической статистике Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН. Они были доложены на семинаре в Математическом институте им. В. А. Стек-

лова РАН (Москва) в 2004 г., на семинаре в Институте Математики им. С. Л. Соболева СО РАН (Новосибирск) в 2004 г., на Большом семинаре кафедры теории вероятностей Московского государственного университета в 2000 г., на семинаре "Асимптотический анализ случайных процессов и полей" кафедры теории вероятностей МГУ в 2001 г., на семинаре Марбургского университета (Марбург, Германия) в 1995 и 1996 гг., на семинарах Хельсинского университета (Хельсинки, Финляндия) и академии Або (Турку, Финляндия) в 1999 г., на семинарах Стокгольмского университета (Стокгольм, Швеция) и Уппсальского университета (Уп-псала, Швеция) в 2001 г., на семинарах Кёльнского университета (Кёльн, Германия) и Гёттингенского университета (Гёттинген, Германия) в 2003 г., на семинаре Ренского университета (Рен, Франция) в 2004 г., на международной конференции "Асимптотические методы в теории вероятностей и математической статистике" (Санкт-Петербург) в 1998 г., на 7-ой Всероссийской пгколе-коллоквиуме по стохастическим методам (Сочи) в 2000 г., на конференции по статистическому моделированию "4th St. Petersburg Workshop on Simulation" (Санкт-Петербург) в 2001 г., на 3-ем Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи) в 2002 г., на международной конференции, посвященной 90-летию Б. В. Гнеденко (Киев, Украина) в 2002 г., на 8-ой международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, Литва) в 2002 г., на 10-ой Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Сочи) в 2003 г., на международной конференции, посвященной 100-летию А. Н. Колмогорова, "Kolmogorov and contemporary mathematics" (Москва) в 2003 г.

1.6. В работе принята обычная символика. Начало доказательства отмечается словом доказательство, его окончание — •. Нумерация параграфов, теорем, лемм, следствий и замечаний устроена так: первая цифра обозначает номер главы (0 обозначает введение), вторая цифра обозначает порядковый номер соответствующего утверждения.

Перечень цитированной литературы приведен в алфавитном порядке сначала для статей и монографий, опубликованных на русском языке, а потом для статей и монографий, опубликованных на иностранных языках, при библиографических ссылках сначала указывается фамилия автора (авторов) на русском языке, затем - номер работы в списке литературы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

Перейдем к краткому описанию содержания предлагаемой работы по главам.

В первой главе исследовано асимптотическое п.н. поведение приращений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин.

Пусть X, Х1, Х2,...— последовательность независимых невырожденных одинаково распределенных случайных величин, ЕХ > 0, ^(х) = Р{Х < х), 5„ = Хх + Х2 + ■ • • + Хп, 50 = 0. Пусть а(х) — неубывающая непрерывная функция такая, что 1 < а(х) < х, х/о(х) не убывает,

Отметим, что Un = R„ = Sn и Wn = ш St при On = n, а если а„ = 1,

Всюду, где использованы символы lim, limsup, liminf, О, о, мы считаем, если не оговорено противное, что либо п -> оо, либо Т -> оо, в зависимости от того, какой из этих двух параметров присутствует в рассматриваемой формуле.

Одним из основных результатов главы 1 является следующая теорема из параграфа 1.1.

Теорема 1.4. Пусть {Ьп} — последовательность положительных постоянных. Предположим, что выполнены следующие условия:

1) последовательность {&„} эквивалентна некоторой неубывающей последовательности и

lim lim ,

e\i k—>00 б.

3) Для всех достаточно малых е > 0 существуют S > 0, #i > 0 и

выполнено для всех достаточно больших п.

4) Для любого е > 0 существуют т > 0 и Я3 > 0 такие, что неравенство

Р^а-ф^Язе-«1-^,

выполнено для всех достаточно больших п.

5) Для любого е > 0 существует q € (0,1) такое, что

> -efc.) > q

для всех достаточно больших п. Тогда

lim sup ~ = lim sup = lim sup ^ = lim sup — = 1 п.н. o„ b„ o„ b„

Если дополнительно loglogn = o(log(n/a„)), то

у wn Un lim —— = lim -r— — 1 я.м. о,г on

Этот результат содержит ключевые условия, которым должна удовлетворять нормирующая последовательность {6П}., При этом условия на распределения сумм слагаемых выражены в терминах оценок вероятностей больших уклонений. Опираясь на свойства ряда функций из теории больших уклонений, обсуждению которых посвящен параграф 1.2, в параграфе 1.3 найдена формула универсальной нормирующей последовательности в сильных предельных теоремах, которую мы сейчас приведем.

Пусть Л0 = 8ир{Л : Еенх < с»}.

Предположим сначала, что

Пусть последовательность положительных чисел такая, что

уп оо. Для п= 1,2,... положим

У„ = тт{Х,2/„},

и

Если Ло > 0, то для всех п= 1,2,... мы положим у„ = оо в определении усеченной величины У„. Это, естественно, соответствует тому, что Z„ — Yn = X для всех п.

Для п = 1,2,... обозначим

C„(z) = вир{гЛ - logEehZ" : h > 0, EehZ" < оо}, 7„(х) = sup{z : <„(z) < х}.

Выпишем теперь формулу нормирующей последовательности {&„}.

Ьп = <ЬНп (—), где ßn = log — + log log п. \ап/ On

Эта формула сама по себе является одним из основных результатов первой главы и всей диссертации. В параграфе 1.6 показано, что по этой формуле вычисляются нормировки в законах Эрдёша-Реньи и Шеппа, законах Чёргё-Ревеса, усиленном законе больших чисел и законе повторного логарифма.

Так как формула для {&„} справедлива для всего возможного диапазона длин приращений {о„}, то в дальнейшем нормировку {&„} мы называем универсальной, а теоремы о поведении приращений, нормированных универсальной последовательностью, — универсальными теоремами.

В параграфе 1.4 сформулированы и доказаны различные следствия из теорем параграфа 1.1 для слагаемых с экспоненциальным моментом, а в параграфе 1.5 — для слагаемых без экспоненциального момента. И в том, и в другом случае вместо условий на поведение хвостов распределений сумм используются условия на распределение отдельных слагаемых.

Функция 7п(ж), входящая в формулу для Ьп, устроена достаточно сложно, и, поэтому, важно уметь вычислять в различных частных случаях. Параграф 1.6 посвящен применениям универсальных теорем в тех важных частных случаях, в которых можно выписать простые формулы для нормировок. Там же проводится сравнение с результатами других авторов. Кроме того, там сформулированы результаты, показывающие оптимальность сделанных моментных предположений. При этом для удобства чтения в параграф 1.7 перенесены вычисления асимптотик тех функций из теории больших уклонений, которые используются при вычислении нормировок в теоремах параграфа 1.6, а доказательства результатов параграфа 1.6 приведены в параграфе 1.8.

Приведем некоторые важные результаты параграфа 1.6. Мы ограничиваемся случаем больших (a„/logn -+ оо) приращении, так как законы Эрдёша-Реньи и Шеппа просто следуют из результатов параграфа 1.4.

Мы будем использовать следующие обозначения:

если принадлежит области нормального (ненормального соотв.) притяжения устойчивого закона с характеристической функцией (х.ф.)

где с = — (cos(7T«/2))/a, 1 < а < 2. (В случае нормального притяжения мы считаем, что нормирующие постоянные имеют вид Если В ф 1, то нужно соответствующим образом отнормировать слагаемые Xi.) Случай а — 2 соответствует стандартному нормальному закону. Если то мы имеем дело с асимметричным устойчивым

законом.

Теорема 1.25. Предположим, что выполнены следующие три условия:

2) F € DN{a), а е {1,2].

Тогда для любой последовательности {а„} такой,. что a„/logn —► 00, выполняется соотношение

где А = (а — 1)/а. В последнем соотношении Wn можно заменить на Un, Т„ и Rn.

Если, кроме того, loglogn = o(log(n/a„)), то в (1) можно заменить lim sup на lim. Это остается справедливым и для U„.

Обратно, если соотношение (1) выполняется для любой последовательности {а„} такой, что o„/logn оо, и F(—x), х > 0, правильно меняется, то выполнены условия 1)—3).

Условие правильного изменений?{—х) можно отбросить при а = 2.

Здесь и далее мы называем правильно меняющимися функции правильно меняющиеся на бесконечности, если не оговорено противное. При а = 2 из теоремы 1.25 вытекает следующий результат.

Следствие 1.5. Для того, чтобы для любой последовательности {а„} такой, что а„/к^п -4 оо, выполнялось соотношение

Пш эир ■

Ж,

: = 1 П.Н.,

необходимо и достаточно, чтобы ЕХ = О, ЕХ2 = 1 и Ло > 0.

Заметим, что при нормировка в последнем результате сов-

падает с классической нормировкой из закона повторного

логарифма.

В параграфе 1.6 показано также, что условие Ло > 0 можно заменить более слабыми моментными условиями. Там рассматриваются момент-ные условия достаточно общего вида, включающие, в частности, условие типа условия Ю. В. Линника £ехр{(Х+)^} < оо, Е (0,1) и степенные условия Е(Х+У < оо, р > а, где Х+ = тах{Л', 0}. Минимальным рассматриваемым условием является условие

т > 1/2. При этом результат теоремы 1.25 сохраняется для последовательностей {ап}Гвозрастающих достаточно быстро. Минимальная скорость роста регулируется моментным условием на правый хвост распределения слагаемых. Получены также результаты для Характер результатов при этом сохраняется, но в нормирующей последовательности появляется медленно меняющийся множитель, зависящий от усеченной дисперсии при а = 2и медленно меняющейся части хвоста распределения при а 6 (1,2). Кроме того, меняется минимальная скорость роста а„, в формулу для которой теперь входит усеченная дисперсия при и правильно меняющаяся часть хвоста распределения в случае а & (1,2). Сформулируем один из результатов при минимальных моментных предположениях для

При ап = п условия следствия 0.1 близки к условиям теоремы Харт-мана-Винтнера. В главе 2 получен результат для приращений, содержащий теорему Хартмана-Винтнера (см. следствие 2.2 ниже).

Заметим, что условия ЕХ = 0 и EX2 = 1 следствия 0.1 являются необходимыми. Это вытекает из обращения закона повторного логарифма, полученного независимо А. И. Мартикайненом и А. Розальски (A. Rosalski).

Перейдем к усиленному закону больших чисел. Из теоремы 1.20 параграфа 1.6, в частности, следует, что если ЕХ > 0, Р(Х — ЕХ < х) € DN(a), a G (1,2]., выполнено условие 3) теоремы 1.25 и an/log п оо, то

Если log log п = o(log(n/an)) или ап = п, то в последнем соотношении lim sup можно заменить на lim для Wn и Un. Аналогичные результаты получены в случае Р(Х ~ EX < х) е D(a), а £ (1,2]. Кроме того, можно заменять условие 3) теоремы 1.25 более слабыми моментными условиями, упоминавшимися выше. Это дает усиленный закон больших чисел для приращений сумм и самих сумм.

Учитывая изложенное, мы можем рассматривать усиленный закон больших чисел, закон повторного логарифма, законы Эрдёша-Реньи и закон Шеппа, законы Чёргё-Ревеса как проявления некоторого универсального закона для приращений. Предположения о слагаемых при этом либо оптимальны, либо близки к оптимальным.

Перейдем к результатам главы 2, которая посвящена исследованию асимптотического поведения функционалов типа Wn и Un в случае неодинаково распределенных слагаемых.

В параграфе 2.1 получены универсальные результаты о поведении приращений сумм независимых неодинаково распределенных случайных величин. В них условия накладываются на распределения сумм, подобно условиям теоремы 1.4. При этом нормирующая последовательность не специфицируется. В параграфе 2.2 показано, как выбирать нормировку, а также доказан ряд результатов, включающих в себя закон Эрдёша-Реньи. В этих результатах условия накладываются уже на распределения самих слагаемых. Так как эти условия достаточно сложны, мы

сопровождаем эти результаты рядом примеров, в которых эти условия можно проверить.

Перейдем к законам Чёргё-Ревеса, которым посвящен параграф 2.3. Пусть {Х*} — последовательность независимых случайных величин с ЕХк = 0, БХк = 4, ВД = Р(Хк < х). Пусть Вп = Х^о? 00. Обозначим

Ясно, что для одинаково распределенных величин мы имеем прежнюю формулу. Отметим также, что для сц = п наша нормировка совпадает с классической нормировкой из закона повторного лога-

рифма.

Мы будем считать, что В*/(}п —¥ оо. В случае одинаково распределенных величин это соответствует условию Оп/Ъ^п —> оо.

Обозначим ип = у/В№рп)"К

Сформулируем теперь один из результатов.

Теорема 2.19. Пусть Ук(Ь) = ЕеНХк < оо при всех 0 < Л < Я0 и всех к,

Пусть последовательность {Вп/В$ эквивалентна некоторой неубыва-ющейпоследовательности, тах а\ = о(В*) и В* ~ Вп — В„_0п. Предположим, что

Если, дополнительно, В* ~ тт I

0<4<п/вц—1

(Я(*+1)а. - Вкая),

log(Bn/B*)/loglogmax(B„,n) -юо и

(*+1)<ч, .

У] I х2с1Р](х) -> 0 для любого е > О,

то

Нт ~ = Ит = 1 п.н. Ьп оп

Аналогичный результат можно сформулировать и для Тп.

Условие (2) является односторонним обобщением классического условия С. Н. Бернштейна.

В параграфе 2.4 получены результаты, обобщающие теорему Харт-мана-Винтнера и теорему А. Н. Колмогорова о законе повторного логарифма на случай приращений неодинаково распределенных случайных величин. Приведем здесь один из них.

Для формулировки этого результата нам понадобится один класс функций, предложенный А. И. Мартикайненом. Пусть Т обозначает класс функций /(х), заданных на положительной полуоси, положительных при всех достаточно больших х и удовлетворяющих условиям: /(х)хт не убывает при некотором и всех достаточно больших

при некоторых

Теорема 0.14. Предположим, что В* ~ Вп — Вц-^,,последовательность {Вп/В*} эквивалентна некоторой неубывающей последовательности, шах = о(В*), Вп/В„ = о(1с^1о§.Вп) ивыполненоусловие

1<*<п

(3).

Пусть для любого т > О

Пусть существует такая функция /(х) € Т, что

для любого е > 0.

Пусть для любого & > 0 00

J2p(x* > <

П=1

Тогда

Wn .. Un .. R* , lim sup — = lim sup — = lim sup — = 1 п. к. on »л On

При последняя теорема превращается в известный результат

А. И. Мартикайнена, который обобщает и теорему А. Н. Колмогорова, и теорему Хартмана-Винтнера. Кроме того, А. И. Мартикайнен предложил ряд простых односторонних условий, достаточных для закона повторного логарифма и обобщающих двусторонние условия В. В. Петрова и В. А. Егорова. Перечень этих условий дан в параграфе 2.4. Эти условия могут быть использованы для получения простых следствий из теоремы 0.14.

Из теоремы 0.14. вытекает следующий, полученный М. Чёргё и П. Ре-весом, результат для приращений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин, содержащий теорему Хартмана-Винтнера.

Следствие 2.2. Пусть Х^, к — 1,2,..., имеютодинаковоераспре-деление, ЕХ\ = О, ЕХ\ = 1 и а„ = сп, С 6 (0,1]. Тогда

Глава 3 посвящена изучению асимптотического поведения функционалов типа построенных по полю независимых одинаково распределенных случайных величин.

Пусть поле независимых невырожденных случайных

величин с общей функцией распределения F(1), X - случайная величина с Р(Х < х) = F(x). Здесь и далее обозначает множество ё-мерных векторов с целыми неотрицательными координатами. Положим

И^ = тах V Хи ип = тах

гей« ' г ей" '

где множество Д„ состоит из параллелепипедов с вершинами, лежащими на целочисленной решетке в с ребрами, параллельными осям координат, и с объемом не более ап (равным а„ соотв.). Ясно, что при d =1 это определение дает те функционалы, поведение которых обсуждалось в главе 1.

В параграфе 3.1 сформулированы и доказаны универсальные теоремы для приращений случайных полей. Универсальная нормирующая последовательность определяется при этом по формуле

Функция 7п(з0 в этом случае строится по F(x) так же, как в случае независимых одинаково распределенных случайных величин. Отличие в определении нормировки в случаях состоит в том, что

роль длины теперь играет объем. В параграфе 3.2 приведены следствия универсальных теорем и показано, что из них вытекают законы Эрдёша-Реньи, законы Чёргё-Ревеса, усиленный закон больших чисел и закон повторного логарифма. Там получены также новые результаты для случайных величин из областей притяжения нормального закона и асимметричных устойчивых законов с показателем из интервала (1,2). Характер результатов совпадает с характером результатов в случае независимых одинаково распределенных случайных величин.

В главе 4 исследовано асимптотическое поведение приращений процессов восстановления.

Пусть X,Xi,X2,... — последовательность независимых невырожденных одинаково распределенных случайных величин, со. Обозначим и определим процесс

восстановления следующим образом

N(t) = max{n > 0 : S„ < f}, t > 0.

Положим

иг = sup [N{t + Or) - N{t)),

0<КГ-ОТ

где о/г — неубывающая положительная функция, От < Т, ат —> сю. Отметим, что ранее величина Wt не рассматривалась. Предположим, что выполнены следующие условия:

A) ess inf* = 0;

B) 0 < ЕХ = ц < ос; Обозначим F{x) = Р{ц-X <х).

В параграфе 4.1 получена формула универсальной нормирующей функции и доказан ряд универсальных теорем. Начнем с нормировки.

Определим функции £(z) и 7(1) по формулам, приведенным выше для одинаково распределенных величин, с формальной заменой X на

Предположим, что неубывающая функция такая, что

Рг(м-7(

logT

+ log log -))=ат

Or

и Т/ст не убывает для всех достаточно больших Т. Положим

Ьг = MVt) = {

Ст

— если Vj — Ut или Vp = Wt, ст, если Vt = ut-

Следует помнить, что при замене Игт и 11т на и-г нормирующая функция Ьт меняется, т.к. формула для нее зависит от соответствующего функционала.

Основным результатом параграфа 4.1 является следующая теорема.

Теорема 4.4. Пусть выполнены условия А), В), Ьгэквивалентна некоторой неубывающей функции и

Предположим, что длялюбого е > 0 существует q €Е (0,1) такое, что неравенство

р(5[(1+еХ1+3£)сг] > -ефг) > q

(4)

выполнено при всех достаточно больших Т, для которых ест > log Г. ЗдесьS'„ = —Sn + пр для всехп = \}2,...,

Пусть выполнен один из следующих наборов условий:

1) logT/сг < min{l/co - £0,1/^0} для всех достаточно больших Т и некоторого е0 > 0. Если ат/Т 1, то предположим дополнительно, что выполнено условие (4).

2) or/logT 0 и Р{Х = 0) = 0. Тогда

.. WT .. UT ut ,

lim sup -¡— = limsup -¡— = Jim sup — = 1 bf bp &r

п.н.

Предположим, что выполнено одно из следующих условий: S) выполнен набор условий 1) и log log Г = o(log(T/cr)); 4) выполнен набор условий 2) и

5) от/log Т-Тогда

lim У"* H°gP(X<s)) =

х\0 х '

0 и Р(Х = 0) > 0.

WT .. UT ut . hm —— = lim— = lim— = 1 п.н. br от о?

В параграфе 4.2 показано, что из теоремы 4.4 вытекает закон Эрдёша-Реньи. Перейдем к законам Чёргё-Ревеса.

Из теорем 4.7 и 4.9 параграфа 4.2 следует, что если ^ е DN(a)l а 6 (1,2], то соотношение ____ ___ _______

WT г Ut ,

lim sup —- = lim sup — = 1 &г от

п.н.

выполнено с

Ьт = ,Г1-1'а\-х<%а{\о%{Т/ат) + loglogT)A,

где Л = (а - 1 )/а. Если, кроме того, loglogT = o(log(T/ar)), то выполнено

WT lh л hm —— = lim -— = 1 &г от

п.н.

Отсюда при От — Т вытекает закон повторного логарифма для процессов восстановления. В частности, при а = 2 мы получаем закон повторного логарифма со стандартной для процессов восстановления нормировкой Ьт = ауГ3!2 s/2T log log Т. Здесь следует учесть, что в рассматриваемом случае <т2 = DX — 1. Соответствующий результат при DX ф 1 получается заменой времени.

В параграфе 4.2 получены также законы Чёргё-Ревеса для .Т 6 -О(а)-В этом случае по сравнению со случаем ^ € £>ЛТ(а) в нормировке появляется дополнительный множитель, зависящий от усеченной дисперсии при а =и 2 от правильно меняющейся части хвоста распределения в случае а С (1,2).

Обратимся теперь к усиленному закону больших чисел. В параграфе 4.2 (теорема 4.11) показано, что если От/к^Т -> оо, то

Мт 1

hm sup — = — or ft

п.я.

Если log log T = o(log(r/ar)) или ат = Т, то в последнем соотношении lim sup можно заменить на lira.

Взяв ат = Т, мы получаем отсюда усиленный закон больших чисел для процессов восстановления.

Глава 5 посвящена изучению асимптотического п.н. поведения приращений процессов с независимыми приращениями.

Пусть £(t),t > 0 - стохастически непрерывный однородный процесс с независимыми приращениями, ц = ££(1), 0 < ц < оо. Предположим, что непрерывен справа и имеет пределы слева.

Пусть Ог — неубывающая непрерывная функция такая, что Т/&г не убывает и 0 < аг <Т. Обозначим

Отметим, что Wt = sup £(я), Rt — £(Х) при &т — Т. Заметим, что о <><т

является случайным процессом, не имеющим разрывов второго рода. Аналогично дело обстоит и с остальными функционалами.

В параграфе 5.1 найдена формула универсальной нормировки и получен ряд универсальных теорем. Начнем с формулы для нормирующей функции.

Обозначим ho = sup{/t: Ее< оо}.

Пусть Пусть непрерывная функция такая, что

Для всех Т > 0 обозначим

6(Г) = min{f(l),yr}, п(Т) = {

= если /х = 0,

если ц> 0.

Если ho > 0, то положим ут = оо в определении £i(T). Это, естественно, соответствует тому, что rj(Т) = £(1) для любого Т. Положим для всех Т > О

Ст(z) = sup{zft - log :h> 0, Ee^ < oo}, XT(x) = sup{2 : Cr(z) < x}.

Определим теперь универсальную нормирующую функцию по формуле

Ьт = ат\т [ — }, где ßr = log— + log log Г. \«т/ «г

Основным результатом параграфа 5.1 является следующая теорема.

Теорема 5.4. Предположим, что Ът эквивалентна неубывающей функции и

lim sup lim sup = 1.

0\1 T-+00 &T

Пусть выполнено одно из следующих условий:

1) /10 >0.

2) а? 00, Yin > bTl) < оо и неравенство

Р(£([(1 + фг]) > (1 + е)Ьг) < Н^^ + Н2ФгР(ф) > Ьг),

выполнено для всех положительных е и т, некоторых Hi = Hi(e,r) > О и Я2 = Я2(г,г) > 0 и всех достаточно больших Т.

Пусть для любого е > 0 существует q € (0,1) такое, что для всех t < (1 + e)atr неравенство

Р(№>~еЬг)>Я

выполнено при всех достаточно больших Т. Пусть неравенство

выполнено для всех достаточно малых положительных е и г и всех достаточно больших Т.

В параграфе 5.2 получены различные важные следствия из теоремы 5.4. Там показано, что из теоремы 5.4 вытекают законы Эрдёша-Реньи и Шеппа. Ранее эти результаты были доказаны только для некоторых представителей этого класса — для винеровского процесса, для пуассо-новского процесса, для устойчивых асимметричных случайных процессов. Заметим, что только асимметричные устойчивые случайные процессы имеют экспоненциальный момент. Поэтому только для них и может быть доказан закон Эрдёша-Реньи. Важным новым примером являются обобщенные пуассоновские процессы. Аналогично обстоит дело и с законами Чёргё-Ревеса, к которым мы сейчас переходим. Напомним, что в этом случае

Из теорем 5.8 и 5.10 параграфа 5.2 следует, что если /л = 0, ho > 0 и F 6 DN(a), а € (1,2], то заключение теоремы 5.4 выполнено с

где А = (а — 1)/а. Если условие ц = 0 заменить на ц > 0;, то теорема 5.4 справедлива с а второе соотношение выполнено также в случае

а/р = Т. Условие Ло > 0 в таких результатах можно заменять теми же более слабыми моментными условиями, что и в случае сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. При этом изменяется нижняя граница скорости роста для которой удается доказать соответствующий результат. Чем слабее моментные условия, тем ближе эта скорость роста к максимально возможной скорости В парагра-

фе 5.2 также получены аналогичные результаты для В этом

случае по сравнению со случаем в нормировке появляет-

ся дополнительный множитель, зависящий от усеченной дисперсии при и от правильно меняющейся части хвоста распределения в случае

а, € (1,2). Меняется также минимальная скорость роста ат, в формулу для которой также теперь входит усеченная дисперсия при а = 2 и правильно меняющаяся часть хвоста распределения в случае а € (1,2).

При ат = Т в случае ц = 0 мы получаем из упомянутых выше результатов параграфа 5.2 закон повторного логарифма, а в случае Ц> О — усиленный закон больших чисел для однородных процессов с независимыми приращениями. В частности, если £(1) имеет стандартное нормальное распределение, то мы приходим к закону больших чисел и закону повторного логарифма для винеровского процесса с обычными нормировками соответственно.

Перейдем к результатам главы б.

Пусть — последовательность независимых

одинаково распределенных случайных векторов. Обозначим Sn = Х\ +

Глава б посвящена исследованию асимптотического п.н. поведения максимумов

где и, vфиксированы, —со <u<v< +оо, j = jn, 1 < j < п, 1{В} обозначает индикатор события В. Отметим, что j может быть случайным.

При различных дополнительных предположениях о распределении вектора (X, У), последовательности ч и с л а р а щ а е т с я

в максимум Эрдёша-Реньи Un, исследованию поведения которого посвящена первая глава, в длину наидлиннейшей серии успехов среди первых п испытаний Бернулли или в длину наидлиннейшей серии (монотонного блока) среди УЬУ2, • ■ ■ i Yn.

имеет также естественную интерпретацию в игровых терминах. Будем интерпретировать случайные величины как выигрыши (возможно отрицательные) игрока в партиях некоторой игры, а как величины, характеризующие успешность в некотором смысле отдельной партии или серии партий. Например, при Yn = /{.Xn > 0} считаем партию успешной, если выигрыш в ней положителен, а серию успешной, если все партии серии успешны. Отметим, что в некоторых случаях можно определить успешность серии, но не отдельной партии. В самом деле, попытаемся назвать партию успешной, если выигрыш в ней больше, чем в предыдущей. Тогда Yn = 1{Хп > а векторы (Хп, Y„) перестают

быть независимыми. Эту трудность легко обойти. Положим

и назовем серию партий успешной, если выигрыш в каждой следующей партии серии больше выигрыша в предыдущей.

В предложенной интерпретации Мп - это максимальный выигрыш игрока в успешных сериях длины j. Поэтому исследование асимптотики Мп представляет интерес как с точки зрения теории вероятностей, так и с точки зрения актуарной и финансовой математики. В некоторых моделях последней требуются оценки возможных потерь на временных подынтервалах и естественным образом возникает процедура прореживания.

В главе б получены универсальные предельные теоремы для Мп в следующих двух случаях:

A) и = V = 1 и P(Y = 1) = р = 1 - Р(У = 0) € (0,1).

B) -00 < и < V < +оо и Р(У = у) = 0 для всех у.

Для п = 1,2,... пусть ln = logn/log(l/p) в случае А) и пусть 1п — решение уравнения = п в случае В). Нетрудно проверить, что

/„ ~ log п/ log log п в последнем случае.

Отметим, что и в случае А), и в случае В) 1„ — это п.н. асимптотика длины наидлиннейшей последовательности У-ков, принимающих значение в интервале [«,«].

Пусть р — Р(и < Y < v) > 0. Пусть X — случайная величина с функцией распределения F(x) = Р(Х < x|u < Y < v).

Пусть X невырождена, 0 < ЕХ < оо и Л0 = sup{A : Eeh* < оо} > 0.

Определим функции £(z) и 7(1) по тем же формулам, что и в случае независимых одинаково распределенных случайных величин, с формальной заменой X на X.

Пусть {а„} — последовательность вещественных чисел такая, что flo € (0,1). В дальнейшем мы рассматриваем последовательности j вида

jn = aJn-

Для п = 1,2,..., обозначим гп = [o„in],

Тп = (In - in) log(l/р) в случае А),

т„ = (L + -) log/„ - ln - (г„ + logi„ + in ~ гпlog(l/р) в случае В),

Одним из основных результатов параграфа 6.1 является следующая теорема.

Теорема 6.4. Пусть гп > 1, г„ не убывает и

lim, " = оо. logk

Положим Ъп = г„7((тп + logi„)/i„). Если Tn/in -> оо, то

limsup^ = l п.н. h

Если выполнено одно из следующих трех условий: 1) К = f~l{T„/in) <h0 и hno(hn) = o(VTj(K)), Ю Tnfin —>00 и и <00, 3) Tn/in 00 и

то

Ит7(-1ое(1-ЗД)=1;

пт-^- = 1 п.н.

Ьп

(5)

(6) (7)

В параграфе 6.2 получен ряд важных следствий из теоремы 6.4. Наибольший интерес здесь представляет закон Эрдеша-Реньи, т.к. он охватывает значительную часть диапазона возможного изменения длин приращений. Это связано с тем, что 1п представляет собой логарифмическую функцию от п.

Сформулируем теперь закон Эрдёша-Реньи.

Теорема 6.5. Пусть г„ > 1, г„ не убивает и

Положим Ьп = г„7((1 - а„) к^п/г'„).

Тогда выполнено (5). Если дополнительно ш < оо или выполнено (6), то выполнено (7).

В случае серий успехов, если о„ В € [0,1), то выполнено (8). Если г"„ -юо,тоЬп~ г„7((1 - а„) /р)/а„). Если В > 0, то (7) выполнено сЬп = В1п7((1-В)1о%(1/р)/В).

В случае монотонных блоков, если (1 - an) log log n -> оо, то выполнено (8). Если in -»■ 00, то 6„ ~ г'„7((1 - а„) log log п /а„). Если (1 - а„) log log и -4 В + log(l/p), где В € (0,1/со), то (7) выполнено с Ьп = 1П7(В).

В главе б получены также законы Чёргё-Ревеса и усиленный закон больших чисел, к которому мы переходим в заключение.

В параграфе 6.2 (теорема 6.8) установлено, что если гп > 1, in не убывает, г„/г„ —► 0 и limmfrn/login > 1, то

lim ^ = ЕХ п.н.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах

1. Фролов А.Н. Об асимптотическом поведении приращений сумм независимых случайных величин// Вестник ЛГУ, сер. 1, в. 4, № 22, (1993), 45-48.

2. Prolov A.N. On one-sided strong laws for large increments of sums// Statist. Probab. Lett., V. 37, (1998), 155-165.

3. Фролов А.Н. Об асимптотическом поведении приращений сумм вдоль серий успехов// Записки научных семинаров ПОМИ, Т. 260, (1999), 263-277.

4. Фролов А.Н. Об асимптотическом поведении приращений сумм независимых случайных величин// Доклады Академии наук, Т. 372, № 5, (2000), 596-599.

5. Фролов А.Н. Об асимптотическом поведении приращений сумм вдоль монотонных блоков// Записки научных семинаров ПОМИ, Т. 278, (2001), 248-260.

6. Фролов А.Н. Об асимптотическом поведении больших приращений сумм независимых случайных величин// Теория вероятностей и ее применения, Т. 47, в. 2, (2002), 366-374.

7. Фролов А.Н. О вероятностях умеренных уклонений сумм независимых случайных величин// Записки научных семинаров ПОМИ, Т. 294,(2002), 200-215.

8. Frolov A.N. Strong limit theorems for increments of random fields// Theory Stock Processes, V. 8 (24), Ns. 1-2, (2002), 89-97.

9. Frolov A.N. One-sided strong laws for increments of sums of i.i.d. random variables//StudiaSci. Math. Hungar., V. 39, (2002), 333-359.

10. Фролов А.Н. Предельные теоремы для приращений сумм независимых случайных величин// Теория вероятностей и ее применения, Т. 48, в. 1, (2003), 104-121.

11. Фролов А.Н. Об асимптотическом поведении приращений случайных полей// Записки научных семинаров ПОМИ, Т. 298, (2003), 191-207.

12. Фролов А.Н. Сильные предельные теоремы для приращений процессов восстановления// Записки научных семинаров ПОМИ, Т. 298, (2003), 208-225.

13. Фролов А.Н. Предельные теоремы для приращений процессов с независимыми приращениями// Доклады Академии наук, Т. 393, № 2, (2003), 165-169.

14. Frolov A.N. On asymptotics of large increments of sums in non-i.i.d. case// Acta Applicandae Mathematical V. 78, (2003), 129-136.

15. Frolov A.N. On asymptotics of the maximal gain without losses// Statist. Probab. Lett., V. 63, (2003), 13-23.

16. Фролов А.Н. Сильные предельные теоремы для приращений сумм независимых случайных величин// Записки научных семинаров ПОМИ, Т. 311, (2004), 260-285.

17. Фролов А.Н. Универсальные предельные теоремы для приращений процессов с независимыми приращениями// Теория вероятностей и ее применения, Т. 49, в. 3, (2004), 601-609.

Подписано в печать 24.11.2004 г. Формат бумаги 60X84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 1,75 усл. п. л. Тираж 100 экз. Заказ 3429. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26.

IÜ--96 t

Введение

0.1 Предельные теоремы для приращений сумм независимых случайных величин.

0.2 От приращений сумм к приращениям случайных процессов и полей.

0.3 Предельные теоремы для приращений случайных полей. . 35 0.4 Предельные теоремы для приращений процессов восстановления.

0.5 Предельные теоремы для приращений процессов с независимыми приращениями.

0.6 Асимптотика приращений сумм вдоль серий успехов и монотонных блоков.

1 Предельные теоремы для приращений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин

1.1 Универсальные теоремы и большие уклонения.

1.2 Функции из теории больших уклонений и классификация распределений.

1.3 Формула для нормирующей последовательности в сильных предельных теоремах.

1.4 Слагаемые с экспоненциальным моментом.

1.5 Слагаемые без экспоненциального момента

1.6 Применения универсальных теорем.

1.7 Асимптотика функций из теории больших уклонений

1.8 Доказательства результатов из

§1.6.

2 Предельные теоремы для приращений сумм независимых неодинаково распределенных случайных величин

2.1 Универсальные теоремы для приращений сумм неодинаково распределенных слагаемых.

2.2 Универсальные теоремы, включающие закон Эрдёша-Реньи.

2.3 Законы Чёргё-Ревеса.

2.4 Обобщения теорем Колмогорова и Хартмана-Винтнера о законе повторного логарифма.

3 Предельные теоремы для приращений случайных полей

3.1 Универсальные теоремы для случайных полей.

3.2 Следствия универсальных теорем.

4 Предельные теоремы для приращений процессов восстановления

4.1 Универсальные теоремы для приращений процессов восстановления.

4.2 Следствия универсальных теорем.

5 Предельные теоремы для приращений процессов с независимыми приращениями

5.1 Универсальные теоремы для приращений процессов с независимыми приращениями.

5.2 Применения универсальных теорем.

6 Предельные теоремы для приращений сумм вдоль серий успехов и монотонных блоков

6.1 Универсальные теоремы.

6.2 Применения универсальных теорем.

Пусть {Xfc} — последовательность независимых случайных величин,

Sn = Xi + Х2 + ■ • • + Хт Sq = О, ап} — неубывающая последовательность натуральных чисел, 1 < ап < п. Наша первая цель — исследовать асимптотическое п.н. (почти наверное) поведение приращений длины ап сумм Sn, т.е. поведение величин вида

Un = max (Sk+an — Sk), Тп = Sn+an — Sn,

0<к<п-ап а также целого ряда подобных Un и Тп функционалов от случайного блуждания. В этой работе мы опишем класс последовательностей положительных постоянных {Ьп} таких, что либо limsup^ = l п.н., (1)

П-¥00 0п либо, если это возможно, lim = 1 п.н., (2)

Т1-ЮО bn а также укажем условия, необходимые и/или достаточные для соотношений (1) и (2). При этом мы будем всегда стремиться к тому, чтобы получить универсальную (т.е. единую для всего возможного диапазона последовательностей {ап}) формулу для нормирующей последовательности {Ьп}.

Теоремы об асимптотическом поведении приращений, нормированных универсальной последовательностью, мы будем называть универсальными теоремами. Отметим, что это отличается от терминологии, иногда используемой при рассмотрении подобных задач. Часто (см., например, Класс [160], [161], Айнмаль и Мэйсон [129]) универсальными называют результаты, полученные при наименьших моментных ограничениях на распределение слагаемых.

Отметим, что Un = max Х^ при on = 1 и Un = Sn при ап = п. По

1 <к<п этому такие классические сильные предельные теоремы теории вероятностей, как усиленный закон больших чисел (УЗБЧ) и закон повторного логарифма (ЗПЛ), также лежат в русле нашего исследования и будут постоянно появляться в качестве следствий наших результатов для приращений. Более того, некоторые хорошо известные результаты из этой области будут использоваться в качестве источников оптимальных условий для наших теорем.

Наряду с суммами независимых случайных величин важнейшими объектами современной теории вероятностей являются случайные поля и процессы. Естественной задачей является исследование предельного п.н. поведения аналогичных Un и Тп функционалов от случайных полей независимых одинаково распределенных случайных величин и траекторий случайных процессов в том же самом ключе, что и в случав сумм. Решение этой задачи и есть наша вторая цель. Построив единую теорию сильных предельных теорем для сумм и обладая соответствующим методом, мы исследуем в этой работе поведение приращений случайных полей и двух важных классов случайных процессов с непрерывным временем — процессов восстановления и однородных процессов с независимыми приращениями.

В заключение мы вернемся к исследованию свойств случайного блуждания и исследуем асимптотическое п.н. поведение приращений сумм вдоль серий успехов и монотонных блоков в сопровождающей последовательности. Изучение поведения подобных функционалов от случайного блуждания дает представление об асимптотике максимального выигрыша игрока в беспроигрышных сериях и в сериях игр с нарастающими выигрышами, и представляет интерес, например, в некоторых моделях актуарной и финансовой математики.

Перед тем, как перейти к систематическому изложению, сделаем ряд технических замечаний.

Нумерация параграфов, теорем, лемм, следствий и замечаний устроена так: первая цифра обозначает номер главы (0 обозначает введение), вторая цифра обозначает порядковый номер параграфа или соответствующего утверждения. Например, теорема 1.3 - это третья теорема главы 1. Во введении мы также приводим ряд результатов глав 1-6 с нумерацией из основного текста.

Каждая глава и соответствующий этой главе параграф введения содержит обозначения всех используемых объектов. Обозначения в каждой главе предполагаются не зависящими от обозначений других глав, так что обозначения некоторых объектов из разных глав могут быть похожими или даже совпадать. Так, например, аналог функционала ип для случайных полей имеет такое же обозначение, а для случайных процессов обозначается 11т- Мы предпочитаем сохранить смысловую преемственность обозначений, т.к. это существенно сокращает их количество без ущерба для текста.

Диссертация состоит из введения и шести глав. Введение разбито на параграфы, каждый из которых содержит обзор результатов соответствующей его номеру главы. Исключение составляют параграфы 0.1 и 0.2. Параграф 0.1 посвящен результатам глав 1 и 2. Параграф 0.2 посвящен обзору литературы по рассматриваемой тематике.

1. Боровков А. А. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. — М.: Наука, 1972.

2. Боровков А. А. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1986.

3. Боровков К. А. О функциональном законе больших чисел Эрдёша-Реньи// Теория вероятностей и ее применения. — 1990. — Т. 35, в. 4. С. 758-762.

4. Булдыгин В. В. Усиленные законы больших чисел и сходимость к нулю гауссовских последовательностей// Теория вероятностей и математическая статистика. — 1978. — №. 19, — С. 33-41.

5. Булинский А. В. Замечание о нормировке в законе повторного логарифма// Теория вероятностей и ее применения. — 1977. — Т. 22 в. 2. С. 407-409.

6. Булинский А. В. Предельные теоремы для случайных процессов и полей. — М.: Изд. МГУ, 1981.

7. Булинский А. В., Дильман С. В. Универсальная нормировка в законе повторного логарифма// Успехи мат. наук. — 2002. — Т. 57, №. 2. С. 193-194.

8. Булинский А. В., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. — М.: ФИЗМАТЛИТ; Лаборатория базовых знаний, 2003.

9. Володин Н. А., Нагаев С. В. Замечание к усиленному закону больших чисел// Теория вероятностей и ее применения. —1977. — Т. 22, в. 4. — С. 829-831.

10. Гихмал И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. Т. 1. — М.: Наука, 1971.

11. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. Т. 2. — М.: Наука, 1973.

12. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. Изд. 6-е. — М.: Наука, 1988.

13. Егоров В. А. О законе повторного логарифма// Теория вероятностей и ее применения. — 1969. — Т. 14, в. 4. — С. 722-729.

14. Егоров В. А. Об усиленном законе больших чисел и законе повторного логарифма для последовательности независимых случайных величин// Теория вероятностей и ее применения. — 1970. — Т. 15, в. 3. — С. 520-527.

15. Егоров В. А. Обобщение теоремы Хартмана-Винтнера о законе повторного логарифма// Вестник ЛГУ, сер. матем., механ., астрон. — 1971. в. 2. - С. 22-28.

16. Егоров В. А. Несколько теорем об усиленном законе больших чисел и законе повторного логарифма// Теория вероятностей и ее применения. — 1972. — Т. 17, в. 1. — С. 84-98.

17. Зайцев А. Ю. Multidimensional version of a result of Sakhanenko in the invariance principle for vectors with finite exponential moments. I// Теория вероятностей и ее применения. — 2000. — Т. 45 в. 4. — С. 718-738.

18. Зайцев А. Ю. Multidimensional version of a result of Sakhanenko in the invariance principle for vectors with finite exponential moments. И// Теория вероятностей и ее применения. — 2001. — Т. 46 в. 3. — С. 535-560.

19. Зайцев А. Ю. Multidimensional version of a result of Sakhanenko in the invariance principle for vectors with finite exponential moments. Ill// Теория вероятностей и ее применения. — 2001. — Т. 46 в. 4. — С. 744-769.

20. Зинченко Н. М. Асимптотика приращений устойчивых случайных процессов со скачками одного знака// Теория вероятностей и ее применения. 1987. - Т. 32, в. 4. - С. 793-796.

21. Золотарев В. М. Одномерные устойчивые распределения. — М.: Наука, 1983.

22. Зубков А. М., Михайлов В. Г. Предельные распределения случайных величин, связанных с длинными повтореними в последовательности независимых испытаний// Теория вероятностей и ее применения. 1974. - Т. 19, в. 1. - С. 173-181.

23. Зубков А. М., Михайлов В. Г. О повторениях в-цепочек в последовательностях независимых случайных величин// Теория вероятностей и ее применения. — 1979. — Т. 24, в. 2. — С. 267-279.

24. Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные величины. — М.: Наука, 1965.

25. Козлов А. М., Питербарг В. И. О больших скачках случайного блуждания// Теория вероятностей и ее применения. — 2002. — Т. 47, в. 4. Р. 803-814.

26. Козлов М. В. О частичных суммах Эрдёша-Реньи. Большие уклонения, условное поведение/ / Теория вероятностей и ее применения. — 2001. Т. 46, в. 4. - Р. 678-696.

27. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — МЛ.: ОНТИ, 1936; М.: Наука, 1974.

28. Круглов В. М. Поведение сумм независимых случайных величин// Теория вероятностей и ее применения. — 1974. — Т. 19, в. 2. — С. 387-393.

29. Лоэв М. Теория вероятностей. — М.: Иностранная литература, 1962.

30. Мартикайнен А. И. О необходимых и достаточных условиях для усиленного закона больших чисел// Теория вероятностей и ее применения. 1979. — Т. 24, в. 4. — С. 814-821.

31. Мартикайнен А. И. Три теоремы о верхнем пределе сумм независимых случайных величин// Вестник ЛГУ. — 1979. — №. 1, С. 45-51.

32. Мартикайнен А. И. Обращение закона повторного логарифма для случайного блуждания// Теория вероятностей и ее применения. — 1980. — Т. 25, в. 2. С. 364-366.

33. Мартикайнен А. И. Об одностороннем законе повторного логарифма/ / Теория вероятностей и ее применения. — 1985. — Т. 30, в. 4. — С. 694-705.

34. Мартикайнен А. И. Обобщенный закон повторного логарифма и усиленный закон больших чисел. — ЛГУ: Диссертация на соиск. уч. степени доктора физ.-мат. наук, 1987.

35. Мартикайнен А. И., Петров В. В. О необходимых и достаточных условиях для закона повторного логарифма// Теория вероятностей и ее применения. — 1977. — Т. 22, в. 1. — С. 18-26.

36. Мартикайнен А. И., Фролов А. Н. Об асимптотике максимальной длины монотонного блока// Тезисы VII Всеросс. ппсолы-коллокв. по стохастич. методам, в Обозрении приклад, и промышл. матем. — 2000. — Т. 7, в. 2. С. 511.

37. Новак С. Ю. Скорость сходимости в задаче о максимуме длин серий успехов// Сиб. матем. журн. — 1991. — Т. 32, №. 3. — С. 113118.

38. Новак С. Ю. О распределении максимума частичных сумм Эрдёша-Реньи// Теория вероятностей и ее применения. — 1997. — Т. 42, в. 2. С. 274-293.

39. Петров В. В. Обобщение предельной теоремы Крамера// Успехи мат. наук. — 1954. — Т. 9, в. 4. — С. 195-202.

40. Петров В. В. Предельные теоремы для больших уклонений при нарушении условия Крамера. I// Вестник ЛГУ. — 1963. — № 19. — С. 49-68.

41. Петров В. В. Предельные теоремы для больших уклонений при нарушении условия Крамера. II// Вестник ЛГУ. — 1964. № 1. ~ С. 58-75.

42. Петров В. В. О вероятностях больших уклонений сумм независимых случайных величин// Теория вероятностей и ее применения. — 1965. — Т. 10, в. 2. — С. 310-322.

43. Петров В. В. Суммы независимых случайных величин. — М.: Наука, 1972.

44. Петров В. В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. — М.: Наука, 1987.

45. Питербарг В. И. О больших скачках случайного блуждания// Теория вероятностей и ее применения. —1991. — Т. 36, в. 1. — С. 54-64.

46. Прохоров Ю. В. Об усиленном законе больших чисел// Изв. АН СССР, сер. матем. — 1950. — Т. 14, в. 6. — С. 523-536.

47. Прохоров Ю. В. Усиленная устойчивочть сумм и неограниченно делимые распределения// Теория вероятностей и ее применения. — 1958. — Т. 3, в. 2. С. 154-165.

48. Прохоров Ю. В. Несколько замечаний к усиленному закону больших чисел// Теория вероятностей и ее применения. — 1959. — Т. 4, в. 2. — С. 103-113.

49. Прохоров Ю. В. Закон больших чисел и закон повторного логарифма// Успехи мат. наук. — 1983. — Т. 38, в. 4. — С. 281-287.

50. Розовский Л. В. О законе повторного логарифма для сумм независимых случайных величин с конечной дисперсией// Записки научных семинаров ПОМИ. — 1997. — Т. 244. — С. 257-270.

51. Розовский Л. В. Обобщение одной теоремы А.Н. Колмогорова о законе повторного логарифма// Теория вероятностей и ее применения. — 1997. Т. 42. в. 1. - С. 134-143.

52. Розовский Л. В. Оценка снизу вероятностей больших уклонений суммы независимых случайных величин с конечными дисперсиями// Записки научных семинаров ПОМИ. — 1999. — Т. 260. — С. 218-239.

53. Розовский Л. В. О нижней границе вероятностей больших уклонений для выборочного среднего при выполнениии условия Крамера// Записки научных семинаров ПОМИ. — 2001. — Т. 278. — С. 208-224.

54. Самарова С. С. О длине максимальной серии успехов для марковской цепи с двумя состояниями// Теория вероятностей и ее применения. — 1980. — Т. 26, в. 3. — С. 510-520.

55. Саханенко А. И. Скорость сходимости в принципе инвариантности для разнораспределенных величин с экспоненциальными моментами// Предельные теоремы для сумм случайных величин. Тр. ин-та математики Сиб. отд. АН СССР. 1984. — Т. 3 — С. 4-49.

56. Саханенко А. И. Оценки в принципе инвариантности// Предельные теоремы для сумм случайных величин. Тр. ин-та математики Сиб. отд. АН СССР. 1985. - Т. 5 - С. 27-44.

57. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. — М.: Наука, 1985.

58. Скороход А. В. Случайные процессы с независимыми приращениями. — М.: Наука, 1986.

59. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2. М.: Мир, 1967.

60. Фролов А. Н. О законе больших чисел Эрдёша-Реньи при нарушении условия Крамера// Вестник ЛГУ, сер. 1. — 1990. — в. 4, № 22. С. 26-31.

61. Фролов А. Н. О законе больших чисел Эрдёша-Реньи при нарушении условия Крамера для независимых неодинаково распределенных случайных величин// Вестник ЛГУ, сер. 1. — 1991. — в. 2, № 8. — С. 57-61.

62. Фролов А. Н. Законы Эрдёша-Реньи. — СПбГУ: Диссертация на соиск. уч. степени кандидата физ.-мат. наук, 1993.

63. Фролов А. Н. Об асимптотическом поведении приращений сумм независимых случайных величин// Вестник ЛГУ, сер. 1. — 1993. — в. 4, № 22. С. 45-48.

64. Фролов А. Н. Точная скорость сходимости в законе Эрдёша-Реньи для независимых неодинаково распределенных случайных величин// Вестник ЛГУ, сер. 1. 1993. — в. 1, № 1. — С. 124-125.

65. Фролов А. Н. Об асимптотическом поведении приращений сумм вдоль серий успехов// Записки научных семинаров ПОМИ. —1999. — Т. 260. — С. 263-277.

66. Фролов А. Н. Об асимптотическом поведении приращений сумм независимых случайных величин// Доклады Академии наук.2000. Т. 372, № 5. - С. 596-599.

67. Фролов А. Н. Сильные предельные теоремы для приращений сумм независимых случайных величин// Тезисы VII Всеросс. школы-коллокв. по стохастич. методам, в Обозрении приклад, и промышл. матем. — 2000. — Т. 7, в. 2. — С. 539.

68. Фролов А. Н. Об асимптотическом поведении приращений сумм вдоль монотонных блоков// Записки научных семинаров ПОМИ. —2001. Т. 278. - С. 248-260.

69. Фролов А. Н. О вероятностях умеренных уклонений сумм независимых случайных величин// Записки научных семинаров ПОМИ. —2002. Т. 294. - С. 200-215.

70. Фролов А. Н. Об асимптотике максимального выигрыша в беспроигрышных сериях// Тезисы III Всеросс. симпозиума по приклад, и промышл. матем., в Обозрении приклад, и промышл. матем. — 2002. — Т. 9, в. 2. С. 480.

71. Фролов А. Н. Об асимптотическом поведении больших приращений сумм независимых случайных величин// Теория вероятностей и ее применения. 2002. - Т. 47, в. 2. - С. 366-374.

72. Фролов А. Н. О законе больших чисел Эрдёша-Реньи для процессов восстановления// Теог. veroyatn. matem. statist. — 2003. — Т. 68. С. 142-151.

73. Фролов А. Н. Об асимптотическом поведении приращений процессов с независимыми приращениями// Тезисы X Всеросс. школы-коллокв. по стохастич. методам, в Обозрении приклад, и промышл. матем. — 2003. — Т. 10, в. 2. — С. 363-364.

74. Фролов А. Н. Об асимптотическом поведении приращений случайных полей// Записки научных семинаров ПОМИ. — 2003. — Т. 298. — С. 191-207.

75. Фролов А. Н. Предельные теоремы для приращений процессов с независимыми приращениями// Доклады Академии наук. 2003. — Т. 393, № 2. С. 165-169.

76. Фролов А. Н. Предельные теоремы для приращений сумм независимых случайных величин// Теория вероятностей и ее применения. — 2003. Т. 48, в. 1. - С. 104-121.

77. Фролов А. Н. Сильные предельные теоремы для приращений процессов восстановления// Записки научных семинаров ПОМИ. — 2003. — Т. 298. — С. 208-225.

78. Ширяев А. Н. Вероятность. — М.: Наука, 1989.

79. Щербакова О. Е. Скорость сходимости для приращений случайных полей// Записки научных семинаров ПОМИ. — 2003. — Т. 298, — С. 304-315.

80. Эмбрехтс П., Клюппельберг К. Некоторые аспекты страховой математики// Теория вероятностей и ее применения. — 1993. — Т. 38, в. 2. С. 374-416.

81. Acosta de A., Kuelbs J. Limit theorems for moving averages of independent random vectors// Z. Wahrsch. Verw. Geb. — 1983. — V. 64. P. 67-123.

82. Arratia R., Gordon L., Waterman M. S. The Erd6s-R6nyi law in distribution for coin tossing and sequences matching// Ann. Statist. — 1980. V. 18. - P. 539-570.

83. Arratia R., Waterman M. S. Critical phenomena in sequence matching// Ann. Probab. 1985. - V. 13. - P. 1236-1249.

84. Arratia R., Waterman M. S. The ErdSs-R6nyi law with shifts// Adv. Math. 1985. - V. 55. - P. 13-23.

85. Arratia R., Waterman M. S. The ErdSs-R&iyi strong law for pattern matching with a given proportion of mismatches// Ann. Probab. — 1989. V. 17. - P. 1152-1169.

86. Bacro J.-N., Brito M. On Mason's extension of the ErdSs-R6nyi law of large numbers// Statist. Probab. Lett. 1991. - V. 11 — P. 43-47.

87. Bacro J.-N., Deheuvels P., Steinebach J. Exact convergence rates in Erd6s-R6nyi type theorems for renewal processes// Ann. Inst. Henri PoincanS. 1987. - V. 23. - P. 195-207.

88. Binswanger K., Embrechts P. Longest runs in coin tossing// Insur. Math. Econom. 1994. - V. 15. - P. 139-149.

89. Book S. A. An extension of the ErdSs-R6nyi new law of large numbers// Proc. Amer. Math. Soc. — 1975. — V.48, N.2. — P. 438-446.

90. Book S. A. A version of the Erd6s-R6nyi law of large numbers for independent random variables// Bull. Inst. Math. Acad. Sinica. — 1975. V. 3, N. 2. - P. 199-211.

91. Book S. A., Shore T. R. On large intervals in the Csorg5-R6v6sz theorem on increments of a Wiener process// Z. Wahrsch. Verw. Geb. 1978. - V. 46. - P. 1-11.

92. Book S. A., Truax D. R. An Erd0s-R6nyi strong law for sample quantiles// J. Appl. Probab. 1976. - V. 13. - P. 578-583.

93. Cai Z. Strong approximation and improved ErdSs-R&iyi laws for sums of independent non-identically distributed random variables// J. Hangzhou Univ. 1992. - V. 19., N. 3. - P. 240-246.

94. Chan A. H.C. Erdôs-Rényi type modulus of continuity theorems for Brownian sheets// Studia Sci. Math. Hungar. — 1976. — V. 11. — P. 59-68.

95. Chernoff H. A measure of asymptotic efficiency for tests based on the sum of observations// Ann. Math. Statist. — 1952. — V. 23. — P. 493-502.

96. Choi Y. K., Kôno N. How big are increments of a two-parameter Gaussian processes// J. Theoret. Probab. — 1999. — V. 12. — P. 105129.

97. Cramér H. Sur un nouveau théorème-limite de la théorie des probabilités// Actual. Sci. Indust. — 1938. — N. 736. — Hermann, Paris.

98. Csôrgô M., Horvâth L., Steinebach J. Invariance principles for renewal processes// Ann. Probab. 1987. - V. 15. — P. 1441-1460.

99. Csôrgô M., Révész P. How big are the increments of a multiparameter Wiener process?// Z. Wahrsch. verw. Geb. —1978. — V. 42. — P. 1-12.

100. Csôrgô M., Révész P. How big are the increments of a Wiener process?// Ann. Probab. 1979. - V. 7. — P. 731-737.

101. Csôrgô M., Révész P. Strong approximations in probability and statistics. — Budapest: Akadémiai Kiadô, 1981.

102. Csôrgô M., Shao Q. M. A self-normalized Erdôs-Rényi type strong law of large numbers// Stoch. Proc. Appl. — 1994. — V. 50. — P. 187-196.

103. Csôrgô M., Steinebach J. Improved Erdôs-Rényi and strong approximation laws for increments of partial sums// Ann. Probab. — 1981. — V. 9. P. 988-996.

104. Csôrgô S. Bahadur efficiency and Erdôs-Rényi maxima// Sankhya, Ser.A. 1979. - V. 41. - P. 141-144.

105. Csôrgô S. Erdôs-Rényi laws// Ann. Statist. — 1979. — V. 7. — P. 772787.

106. Csdki E. On the increments of additive functionals// Studia Sci. Math. Hungar. 1991. - V. 26. - P. 185-199.

107. Csdki E., CsorgS M. Inequalities for increments of stochastic processes and moduli of continuity// Ann. Probab. — 1992. — V. 20. — P. 10311052.

108. Cs&ki E., Foldes A. On the length of the longest monotone block// Studia Sci. Math. Hungar. 1996. — V. 31. - P. 35^46.

109. Csdki E., Foldes A., Koml6s J. Limit theorems for ErdSs-R6nyi type problems// Studia Sci. Math. Hungar. 1987. - V. 22. - P. 321-332.

110. Csdki E., R6v6sz P. How big must be the increments of a Wiener Process?// Acta Math. Acad. Sci. Hungar. — 1979. — V. 33. — P. 3749.

111. Deheuvels P. On the Erdds-R&iyi theorem for random fields and sequences and its relationships with the theory of runs and spacings// Z. Wahrsch. verw. Geb. 1985. - V. 70. - P. 91-115.

112. Deheuvels P. Functional ErdSs-R6nyi laws// Studia Sci. Math. Hungar. 1991. - V. 26. - P. 261-295.

113. Deheuvels P. Functional law of the iterated logarithm for small increments of empirical processes// Statist. Neerlandica. — 1996. — V. 50. — P. 261-280.

114. Deheuvels P. Strong laws for local quantile processes// Ann. Probab. — 1997. V. 25. - P. 2007-2054.

115. Deheuvels P., Devroye L. Limit laws of ErdSs-R^nyi-Shepp type// Ann. Probab. — 1987. V. 15. - P. 1363-1386.

116. Deheuvels P., Devroye L., Lynch J. Exact convergence rate in the limit theorems of ErdSs-R6nyi and Shepp// Ann. Probab. — 1986. — V. 14. — P. 209-223.

117. Deheuvels P., Einmahl J. H.J. Functional limit laws for the increments of Kaplan-Meier product-limit processes and applications// Ann. Probab. 1990. - V. 28. - P. 1301-1335.

118. Deheuvels P., Mason D. M. Functional law of the iterated logarithm for the increments of empirical and quantile processes// Ann. Probab. — 1992. — V. 20. — P. 1248-1287.

119. Deheuvels P., Mason D. M. On the fractal nature of empirical increments// Ann. Probab. — 1995. — V. 23. — P. 355-387.

120. Deheuvels P., Steinebach J. Exact convergence rate of an Erd6s-R6nyi strong law for moving quantiles// J. Appl. Probab. — 1986. — V. 23. — P. 355-369.

121. Deheuvels P., Steinebach J. Exact convergence rates in strong approximation laws for large increments of partial sums// Probab. Th. Rel. Fields. 1987. - V. 76. - P. 369-393.

122. Deheuvels P., Steinebach J. Sharp rates for increments of renewal processes// Ann. Probab. — 1989. — V. 17. P. 700-722.

123. Dembo A., Kariin S. Strong limit theorems of empirical functionals for large exceedances of partial sums of i.i.d. random variables// Ann. Probab. 1991. - V. 19. - P. 1737-1755.

124. Dembo A., Karlin S., Zeitouni O. Limit distributions of maximal non-aligned two-sequence segmental score// Ann. Probab. — 1994. — V. 22. P. 2022-2039.

125. Deo C. M. A note on Erd£>s-R6nyi law of large numbers// Canad. Math. Bull. 1976. - V. 19. - P. 497-500.

126. Dersch E., Steinebach J. On improved versions of general ErdSs-R&iyi laws and large deviation asymptotics// In: Conributions to Stochastics (ed. by W.Sendler), Physica-Verlag, Heidelberg. — 1987. — P. 38 — 49.

127. Einmahl U. Extensions of results of Komlds, Major and Tusn^dy to the multivariate case// J. Multivar. Analysis. — 1989. — V. 28. — P. 20-68.

128. Einmahl U., Mason D. M. Some universal results on the behavior of increments of partial sums// Ann. Probab. — 1996. — V. 24. — P. 1388-1407.

129. Erdfis P., R6v6sz P. On the length of the longest head-run// In: Topics in Information Theory, Csiszdr, I., Elias, P. (eds.). Amsterdam: North Holland,- Coll. Math. Soc. J. Bolyai. 1975. - V. 16. - P. 218-228.

130. ErdOs P., R&iyi A. On a new law of large numbers// J. Analyse Math. 1970. — V. 23. - P. 103-111.

131. Foldes A. The limit distribution of the length of the longest head-run// Period. Math. Hungar. 1979. - V. 10. - P. 301-310.

132. Feller W. Limit theorems for probabilities of large deviations// Z. Wahrsch. verw. Geb. 1969. - V. 14. - P. 1-20.

133. Frolov A. N. On one-sided strong laws for large increments of sums// Statist. Probab. Lett. — 1998. V. 37. — P. 155-165.

134. Frolov A. N. One-sided strong laws for increments of sums of i.i.d. random variables// Studia Sci. Math. Hungar. — 2002. — V. 39. — P. 333-359.

135. Frolov A. N. One-sided strong limit theorems for increments of sums of i.i.d. random variables// Abstracts 8th Intern. Vilnius Conf. on Probab. Theory and Math. Statist., Vilnius, June 23-29. — 2002. — P. 87.

136. Frolov A. N. Strong laws for increments sums of independent random variables// Abstracts Intern. Gnedenko Conf., Kyiv, June 3-7. — 2002. — P. 13.

137. Frolov A. N. Strong limit theorems for increments of random fields// Theory Stoch. Processes. 2002. - V. 8 (24). Ns. 1-2. — P. 89-97.

138. Frolov A. N. On asymptotics of large increments of sums in non-i.i.d. case// Acta Applicandae Mathematical. — 2003. — V. 78. — P. 129136.

139. Frolov A. N. On asymptotics of the maximal gain without losses// Statist. Probab. Lett. — 2003. — V. 63. — P. 13-23.

140. Frolov A. N. Universal strong limit theorems for increments of random fields// Abstracts Intern. Conf. "Kolmogorov and contemporary mathematics", Moscow, June 16-21. — 2003. — P. 436.

141. Frolov A. N., Martikainen A. I. On asymptotics of the length of the longest increasing run in Rd// Abstracts Intern. Conf. on Probab. and Statist., St. Petersburg, June 24-28. — 1998. — P. 89-92.

142. Frolov A. N., Martikainen A. I. On the length of the longest increasing run in В*Ц Statist. Probab. Lett. 1999. — V. 41. — P. 153-161.

143. Frolov A. N., Martikainen A. I. On asymptotics behavior of the largest cave in a random field// Proc. 4th Intern. St. Petersburg Workshop on Simulation, June 18-23. 2001. — P. 210-214.

144. Frolov A. N., Martikainen A. I. On the largest cave in a random field// Studia Sci. Math. Hungar. 2001. - V. 37. - P. 213-223.

145. Frolov A. N., Martikainen A. I., Steinebach J. Erd6s-Rdnyi-Shepp type laws in non-i.i.d. case// Studia Sci. Math. Hungar. — 1997. — V. 33. — P. 127-151.

146. Frolov A. N., Martikainen A. I., Steinebach J. On the maximal gain over head runs// Studia Sci. Math. Hungar. — 1998. — V. 34. — P. 165-181.

147. Frolov A. N., Martikainen A. I., Steinebach J. On the maximal excursion over increasing runs// In: Asymptotic methods in probability and statistics with applications. Birkhauser, Boston. — 2000. — P. 225-242.

148. Frolov A. N., Martikainen A. I., Steinebach J. Strong laws for the maximal gain over increasing runs// Statist. Probab. Lett. — 2000. — V. 50. P. 305-312.

149. Frolov A. N., Martikainen A. I., Steinebach J. Limit theorems for maxima of sums and renewal processes// Записки научных семинаров ПОМИ. 2001. - V. 278. - P. 261-274.

150. Gantert N. Functional Erd6s-R6nyi laws for semiexponential random variables// Ann. Probab. — 1998. — V. 26. — P. 1356-1369.

151. Hanson D. L., Russo R. P. Some results on increments of Wiener process with applications to lag sums of independent identically distributed random variables// Ann. Probab. — 1983. — V. 11. — P. 609-623.

152. Hanson D. L., Russo R. P. Some limit results for lag sums of independent, non-i.i.d. random variables// Z. Wahrsch. verw. Geb. — 1985. V. 68. - P. 425-445.

153. Hartman P., Wintner A. On the law of the iterated logarithm// Amer. J. Math. 1941. - V. 63 - P. 169-176.

154. Huse V. R., Steinebach J. On an improved Erdös-R6nyi type law for increments of partial sums// Canad. J. Statist. — 1985. — V. 13. — P. 311-315.

155. Karlin S., Dembo A. Limit distributions of maximal segmental score among Markov-dependent partial sums// Adv. Appl. Probab. — 1992. — V. 24. P. 113-140.

156. Karlin S., Ost F. Maximal length of common words among random letter sequences// Ann. Probab. — 1988. V. 16. — P. 535-563.

157. Kesten H. The limit points of a normalized random walk// Ann. Math. Statist. 1970. - V. 41. - P. 1173-1205.

158. Kiesel R., Stadtmüller U. Erdös-R6nyi-Shepp laws and weighted sums of independent identically distributed random variables// J. Theoret. Probab. 1996. - V. 9. - P. 961-982.

159. Klass M. J. Toward a universal law of the iterated logarithm. I// Z. Wahrsch. verw. Geb. 1976. - V. 36. - P. 165-178.

160. Klass M. J. Toward a universal law of the iterated logarithm. 11// Z. Wahrsch. verw. Geb. 1977. — V. 39. - P. 151-165.

161. Klesov O., Rosalski A. A nonclassilcal law of the iterated logarithm for i.i.d. square integrable random variables// Stoch. Anal. Appl. — 2001. — V. 19. P. 627-641.

162. Kolmogoroif A. Sur la loi forte des grand nombres// C. R. Acad. Sei. Paris. — 1930. — V. 191, № 20 — P. 910-912.

163. Kolmogorov A. Über das Gesetz des iterierten Logarithmus// Math. Ann. — 1929. — V. 101. — P. 126-135.

164. Koml6s J., Major P., Tusnddy G. An approximation of partial sums of independent rv's, and the sample df. I.// Z. Wahrsch. Verw. Geb. —1975. V. 32. - P. 111-131.

165. Komlds J., Major P., Tusnddy G. An approximation of partial sums of independent rv's, and the sample df. II.// Z. Wahrsch. Verw. Geb. —1976. V. 34. - P. 33-58.

166. Koml6s J., Tusnddy G. On sequences of "pure heads"// Ann. Probab. 1975. - V. 3. - P. 608-617.

167. Ksir B. Shepp statistic for Markov chains. Application to a long-run cost criterion// J. Appl. Probab. 1989. - V. 27. - P. 767-775.

168. Lanzinger H. A law of the single logarithm for moving averages of random variables under exponential moment conditions// Studia Sci. Math. Hungar. 2000. - V. 36. - P. 65-91.

169. Lanzinger H., Stadtmuller U. Erd6s-R4nyi-Shepp laws for dependent random variables// Studia Sci. Math. Hungar. — 1998. — V. 34. — P. 253-259.

170. Lanzinger H., Stadtmuller U. Maxima of increments of partial sums for certain subexponential distibutions// Stoch. Processes Appl. — 2000. V. 86. - P. 307-322.

171. Lin Z. Y. The increments of the partial sums of depend sequence when moment-generating functions do not exist// Acta Math. Sinica. — 1989. — V. 5. P. 289-296.

172. Lin Z. Y. The ЕЫбв-Кёпу1 laws of large numbers for non-identically distributed random variables// Chin. Ann. Math. — 1990. — V. 11B. — P. 376-383.

173. Lin Z. Y. On the increments of partial sums of ^-mixing sequence// Теория вероятностей и ее применения. — 1991. — Т. 36, в. 2. — Р. 326-336.

174. Lin Z. Y., Choi Y. К., Hwang К. S. Some limit theorems on the increments of a multi-parameter fractional Brownian motion// Stoch. Anal. Appl. 2001. - V. 19. - P. 499-517.

175. Lin Z. Y., Lu C. R., Shao Q. M. Contribution to the limit theorems// Contemporary Math. — 1991. — V. 118. — P. 221-237.

176. Lynch J. Some comments on the Erd6s-R6nyi law and a theorem of Shepp// Ann. Probab. 1983. - V. 11. - P. 801-802.

177. Mason D. M. An extended version of the Erd6s-R6nyi strong law of large numbers// Ann. Probab. — 1989. V. 17. — P. 257-265.

178. Mason D. M., van Zwet W. A note on the strong approximation to the renewal processes// Publ. Inst. Statist. Univ. Paris. — 1987. — V. 32. P. 81-93.

179. Novak S. Yu. Longest runs in a sequence of m-dependent random variables// Probab. Theory Relat. Fields. — 1992. — V. 91. — P. 269281.

180. Ortega J., Wschebor M. On the increments of the Wiener process// Z. Wahrsch. Verw. Geb. 1984. - V. 65. - P. 329-339.

181. Petrov V. V. On the law of the iterated logarithm without assumptions about the existence of moments// Proc. Nat. Acad. Sci. USA. — 1968. — V. 10 — P. 1068-1072.

182. Petrov V. V. Limit theorems of probability theory. — New York: Oxford University Press, 1995.

183. Pfuhl W., Steinebach J. On precise asymtotics for the Erd6s-R6nyi increments of random fields// Pub. Inst. Stat. Univ. Paris. — 1988. — V. 33. P. 49-66.

184. Pittel B. G. Limiting behaviour of a process of runs// Ann. Probab. — 1981. -V. 9. P. 119-129.

185. Pruitt E. W. General one-sided laws of the iterated logarithm// Ann. Probab. 1981. - V. 9. - P. 1-48.

186. R6v6sz P. A generalization of Strassen's functional law of iterated logarithm// Z. Wahrsch. verw. Geb. 1979. - V. 50. - P. 257-264.

187. R6v6sz P. On the increments of Wiener and related processes// Ann. Probab. 1982. - V. 10. - P. 613-622.

188. R6v6sz P. Three problems on the lengths of increasing runs// Stoch. Process. Appl. 1983, - V. 15. - P. 169-179.

189. R6v6sz P. Random walk in random and non-random environment. — Singapore: World Scientific Publ., 1990.

190. Rosalski A. On the converse of the iterated logarithm law// Sankhya. — 1980. V. A 42., N. 1-2 - P. 103-108.

191. Russo R. P. Strong laws for quantiles corresponding to moving bloks of random variables// Ann. Probab. — 1988. — V. 16. — P. 162-171.

192. Scherbakova O. E. The asymptotic behaviour of random fields increment// Abstracts Intern. Gnedenko Conf. Kyiv, June 3-7. — 2002. — page P. 26.

193. Shao Q. M. On a problem of CsorgS and R6v6sz// Ann. Probab. — 1989. V. 17. - P. 809-812.

194. Shao Q. M. On a conjecture of R6v6sz// Proc. AMS. — 1995. -V. 123. P. 575-582.

195. Shepp L. A. A limit law concerning moving averages// Ann. Math. Statist. — 1964. V. 35. - P. 424-428.

196. Steinebach J. On a necessary condition for the Erd6s-R6nyi law of large numbers// Proc. Amer. Math. Soc. — 1978. — V. 68. — P. 97-100.

197. Steinebach J. On general versions of ErdSs-R6nyi laws// Z. Wahrsch. Verw. Geb. 1981. - V. 56. - P. 549-554.

198. Steinebach J. Between invariance principles and Erd3s-R6nyi laws// Coll. Math. Soc. J. Bolyai. 1982. — V. 36. - P. 981-1005.

199. Steinebach J. On the increments of partial sum processes with multidimensional indices// Z. Wahrsch. verw. Geb. — 1983. — V. 63. — P. 59-70.

200. Steinebach J. Improved Erdcfe-R&nyi and strong approximation laws for increments of renewal processes// Ann. Probab. — 1986. — V. 14. — P. 547-559.

201. Steinebach J. Strong laws for small increments of renewal processes// Ann. Probab. — 1991. V. 19. - P. 1768-1776.

202. Steinebach J. On a conjecture of R6v6sz and its analogue for renewal processes.// In: Szyszkowicz B. (Ed.), Asymptotic methods in probability and statistics. ICAMPS 197. Amsterdam, North Holland/Elsevier. — 1998. — P. 311-322.

203. Stout W. A martingale analogue of Kolmogorov's law of the iterated logarithm// Z. Wahrsch. verw. Geb. 1970. - V. 15. - P. 279-290.

204. Strassen V. An invariance principle for the law of the iterated logarithm// Z. Wahrsch. Verw. Geb. 1964. — V. 3. - P. 211-226.

205. Zinchenko N. M. On the asymptotic behavior of increments of certain classes of random fields// Theor. Probab. Math. Statst. — 1994. — V. 48. — P. 7-11.

206. Фролов A. H. Сильные предельные теоремы для приращений сумм независимых случайных величин// Записки научных семинаров ПОМИ 2004. — Т. 311. - С. 260-285.

207. Фролов А. Н. Универсальные предельные теоремы для приращений процессов с независимыми приращениями// Теория вероятностей и ее применения — 2004. — Т. 49, вып. 3. — С. 601-609.