Предельные теоремы для случая сходимости распределений вероятностей к равномерному распределению тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

На правах рукописи

Куликова Анна Алексеевна

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЯ СХОДИМОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К РАВНОМЕРНОМУ РАСПРЕДЕЛЕНИЮ

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2003

Работа выполнена на кафедре математической статистики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, академик РАН Прохоров Юрий Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Колчин Валентин Федорович

Защита состоится 14 ноября 2003 г. в 11 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.44 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет ВМиК, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК

доктор физико-математических наук, профессор

Сенатов Владимир Васильевич

Ведущая организация: Московский институт электроники и математики (МИЭМ)

МГУ.

Автореферат разослан 13 октября 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета профессор

Трифонов Н.П.

-А

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Во многих приложениях теории вероятностей стремятся достичь равновероятности исходов (хотя бы приближенной). Тасование игральных карт, перемешивание занумерованных шаров перед их извлечением из урны в лотереях, вращение колеса рулетки с целью выравнивания шансов появления каждого из 37 номеров могут служить типичными примерами. При этом предполагают, что каждая из упомянутых процедур проводится "длительное время" (смысл последнего предположения разъясняется соответствующими предельными теоремами).

Здесь будет рассмотрен специальный случай, когда исходы наблюдения (или опыта) представляются точками куба [О, I]3 пространства И* (или отрезка [0,1] числовой прямой К1). С формальной точки зрения речь пойдет о сходимости вероятностных распределений к равномерному в кубе [0,1]* (на отрезке [0,1]) распределению.

В настоящее время роль предельных теорем такого рода сопоставима с ролью предельных теорем о сходимости к нормальному распределению.

Исторически первыми в этом направлении были результаты А. Пуанкаре (1912)1 и Г. Вейля (1916)2 (в теоретико-числовой постановке); см. также книгу В. Феллера3.

Цель работы. Цель работы состоит в изучении распределений вероятностей дробных частей случайных величин или случайных векторов, принадлежащих тем или иным параметрическим семействам, и в определении области значений параметров, в которой эти распределения с заданной точностью могут быть приближены равномерным распределением в единичном кубе соответствующей размерности.

Основные задачи. Основные решаемые в диссертации задачи перечислены ниже, в обзоре ее содержания.

Методы исследования. Методы исследования в первую очередь опираются на формулу суммирования Пуассона (см. главу 1), а кроме

'ПУАНКАРЕ А., Теория вероятностей. Ред. журнала "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевск, 1999, гл. VIII.

2ВеЙль Г., О равномерном распределении чисел по модулю 1. В кн.: Г. ВЕЙЛЬ, Избранные труды. Наука, Москва, 1984.

'Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. П. Мир, Москва, 1984, гл. 2, §8, пример б "Задача Пуанкаре о рулетке".

того, на специальный способ "сглаживания" рассматриваемых распределений (см. главу 2), некоторые факты геометрии выпуклых тел (там же) и аддитивной теории чисел (см. главу 3). Используются также некоторые неравенства для специальных функций (см. главу 4).

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость определяется полученными в диссертации новыми оценками отклонения распределений вероятностей от равномерного и возможностью широкого обобщения в дальнейшем этих результатов.

Практическая значимость иллюстрируется в главе 5 (закон первой значащей цифры), а также прилагаемыми таблицами и графиками.

Описанные в работе приемы, с помощью которых можно оценить величину отклонения распределений случайных векторов (случайных величин) Хп от равномерного в кубе [0,1]* (на отрезке [0,1]) распределения, а также полученные с помощью этих приемов результаты, могут быть использованы при оценке качества псевдослучайных чисел (см. работы Д. Э. Кнута4 и Л. Кейперса, Г. Нидеррейтера5).

Апробация работы. Результаты докладывались и обсуждались па научных семинарах Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, Математического института им. В. А. Стекло-ва РАН, Шестой Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Самара, 1999), Колмогоровских чтениях (Москва, 1999).

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 5 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, и двух приложений. Диссертация содержит 9 таблиц и 10 графиков. Объем диссертации — 81 страница. Список литературы включает 42 наименования.

4кнут Д.Э., Искусство программирования, т. П. Вильяме, Москва-Санкт-

Пегербург-Киев, 2000, гл. 3.

6Кейперс Л., НидерреЙтер Г., Равномерное распределение последовательностей. Наука, Москва, 1985.

Содержание работы

Введение. Введение содержит общую характеристику работы.

Первая глава. Глава 1 посвящена формуле суммирования Пуассона. Перечислены некоторые результаты, сформулированные и доказанные вне связи с теорией вероятностей. В §1.4 приведен вид формулы, наиболее удобный для приложений в теории вероятностей, а также сформулированы и доказаны условия справедливости формулы суммирования Пуассона в контексте теории вероятностей и ряд вспомогательных утверждений, которые используются в последующих главах для оценки отклонения распределений вероятностей от равномерного. Глава 1 носит обзорный характер и является вспомогательной по отношению к другим главам.

Если р(х\ X) — плотность распределения вероятностей случайной величины X и /(i; X) — соответствующая характеристическая функция, то формулу суммирования Пуассона можно записать следующим образом:

оо оо

£ Р(х + к;Х) = 1+ ]Г /(2ят1; Х)е~2*'пх.

Jfc——оо п=—оо,п^0

Обозначим через S(x) сумму ряда, стоящего в левой части (она периодична с периодом 1).

Ряд, стоящий в правой части формулы, является рядом Фурье функции S(x).

Плотность дробной части {X} случайной величины X представляется в виде

, rvx, «€[0,1],

р(х; {X}) = { (О,

Следовательно, при х 6 [0,1] отклонение р(х; {X}) от 1 (плотности равномерного распределения) оценивается величиной

П—-Ос,71/О

В главе 1 перечислены условия справедливости формулы суммирования Пуассона и ее многомерного обобщения. Их отбор определяется

основной целью настоящей работы, которая состоит в сравнении распределения дробных частей случайных величин (случайных векторов) и равномерного распределения.

Вторая глава. В главе 2 рассматриваются последовательности случайных векторов Xi,X2,...,Xn,..., Хп = (Хп1,... ,Хпз), 0 < Хп] < 1, в евклидовом пространстве R' (s > 2).

Величина отклонения распределения случайных векторов Хп от равномерного в кубе [0,1]* распределения оценивается в терминах математических ожиданий Ее2т,!т,-Х"', где то — любой вектор с целочисленными координатами. При достаточно быстром их убывании при га оо для любой выпуклой области D С [О, l]s величина |Р(Х„ € D) - vole(D)| убывает как некоторая положительная степень дроби 1 /п.

Теорема. Пусть последовательность случайных векторов Х\, Х2, ..., Х„, ..., Хп = (X„i,..., Хш), 0 < X„j < 1, в евклидовом пространстве R* (s > 2) для некоторого I > 1 удовлетворяет условию

|Ее2*.(т,Х„)| < К\т\1

при любом me Z* \ {0}, и пусть D С [0,1]* — выпуклая область. Тогда

\Р(Хп е D) - vo\,(D)\ < Свд (а, I, К)п-У<'+'> прип> (c6,2(s)vols(£»))-"+i'.

Постоянные положительные множители Ce,i(s,l,K) и C6i2(s) могут быть выписаны явно.

Доказанная теорема является обобщением на многомерный случай результата работы [2], где предполагалось s = 1.

Следствие. Пусть V — класс выпуклых областей в единичном кубе. Тогда в условиях теоремы имеет место оценка скорости сходимости к равномерному распределению

sup |Р(Х„ 6 D) - vol,(,D)| < const •

DiV

Постоянный множитель в правой части зависит от s, К ul и может быть выписан явно

При фиксированном п и достаточно больших ш неравенство, входящее в условие теоремы, выполняется тривиальным образом, но учет этого факта в доказательстве заменой правой части неравенства на единицу не дает существенного улучшения.

Следует отметить, что в доказательстве теоремы использовался метод сглаживающих распределений, отличающийся от традиционно применяемых в этих вопросах. Метод доказательства может, по-видимому, быть использован и в более общих случаях.

Доказательство теоремы опирается также на следующее неравенство для характеристических функций, представляющее самостоятельный интерес.

Теорема. Пусть случайный вектор У(Б) имеет равномерное распределение в компактном выпуклом теле Б С К*. Тогда его характеристическая функция удовлетворяет неравенству

где Д — радиус шара в К*, содержащего О.

Здесь V, = 7Га/4/Г(«/2 + 1) — объем единичного шара в Ка. Доказательство этого неравенства использует факты из геометрии выпуклых областей.

Третья глава. В главе 3 рассматривается распределение вероятностей дробной части з-мерного гауссовского случайного вектора. Доказаны неравенства для отклонения этого распределения от равномерного. Доказательства используют формулу суммирования Пуассона и некоторые факты теории представлений целых чисел квадратичными формами. Основное внимание этой части работы уделено случаю относительно небольших значений в. Для случая произвольного значения я предложенные неравенства не являются окончательными.

Пусть X — гауссовский случайный вектор в пространстве К1 с нулевым средним и матрицей ковариации ст2Е (а > 0), А > 0 — минимальное собственное значение Е, Л > 0 — максимальное собственное значение Е.

Пользуясь формулой суммирования Пуассона, получаем при х 6 [0,1]®

Д= вир |р(*;{Х})-1|<£ £

Число слагаемых во внутренней сумме равно числу представлений числа N значениями квадратичной формы (тп,тп). Это замечание сразу устанавливает связь между оценкой величины Д и классической задачей теории чисел — изучением числа представлений целых чисел квадратичными формами. Число представлений N в виде суммы квадрат тов весьма непросто выражается через делители числа N (см. работы Дж. X. Харди, Б. М. Райта6, Дж. Касселса7 и Л. А. Когана8). Например, при я = 8

<1|ЛГ

Ниже приведены типичные примеры неравенств, получаемых этим путем.

Обозначим

? = е-2»»Л $=е-а «V* Утверждение. При з = 4

Утверждение. При 5 = 8

16(1 + 4д + д2) л ^ /2,. , 716(1 + 4? + <?)\. Д~ (!-</)' * \9 9 (1-Д4 )*

Утверждение. При в = 12

л < ^ (з + 34, + * + 26^ + а^Л)»

7.5(1 + 26?+ 66? + 26«3 + $")

Д > 24.5 + •

(1

(1 -,)•

6Hardy G. Н., Wright Е. М. An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford, Clarendon Press, 1960.

7Касселс Дж. Рациональные квадратичные формы. Мир, Москва, 1982.

"Коган Л.А. О представлении целых чисел положительно определенными квадратичными формами. ФАН, Ташкент, 1971.

Четвертая глава. В главе 4 рассматриваются некоторые параметрические семейства случайных величин. Выясняется, при каких значениях параметров распределение дробных частей этих величин близко к равномерному в соответствующей области (на отрезке [0,1] или в квадрате [О, I]2) распределению.

В §§4.1-4.3 случайная величина X является логарифмом некоторой положительной случайной величины У с одновершинным распределением, имеющим "тяжелый" правый хвост (логарифмически нормальным распределением в §4.1, хи-квадрат распределением в §4.2, одностороннем устойчивым распределением в §4.3). Аналитически последние два примера сближает тот факт, что преобразование Меллина случайной величины У, то есть ЕУ* = /0°°хгр(х;У)с1х, выражается в терминах Г-функций (в действительности класс плотностей подобного рода очень широк, см., например, справочник Прудникова А. П., Брычкова Ю. А., Маричева О. И.9). Весьма быстрое убывание коэффициентов /(27гп; X) позволяет ограничиться небольшим числом слагаемых в правой части формулы суммирования Пуассона (см. соответствующие таблицы и графики).

Двумерный случай изучается в §4.4. Рассматривается гауссовский двумерный случайный вектор X = (Хь-Хз) с ЕА'] = ЕХ2 = О, 0Х( = ОХ? = 1 и коэффициентом корреляции р. Исследуется отклонение распределения вектора {X} от распределения, равномерного в единичном квадрате, в зависимости от коэффициента корреляции р. Особенно интересен случай |р| близкого к единице, то есть двумерного распределения, близкого к вырожденному.

Рассмотрим случайную величину X, имеющую нормальное распределение, с математическим ожиданием т и дисперсией а1. Утверждение. Имеет место следующая оценка отклонения {X} от равномерного: при любом целом N >2

"Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. Наука, Москва, 1986, раздел 8.4, с. 630-732.

Д = + Д.

где

Рассмотрим случайную величину X, распределенную как логарифм хи-квадрат распределения с а > 0 степенями свободы.

Утверждение. Имеет место следующая оценка отклонения {X} от равномерного: при любом целом N > 1С1Г~2 + 1

А = 2

Г(а/2 + 2кг)

Г(а/2)

+ Длг,

где

п=2

1-1

Г (а/2 + 2-ппг)

Г(а/2)

+

1 47т2 (7У-1)%^

+ Т~. ч/гг ии / , "

}=0

I-!

и константы с, Мс, 1С и |7С] определены следующим образом: а/2 = I + оц, ' > 0 — целое, 0 < «1 < 1,

[1/2, 0 < ах <1/2,

[1, 1/2<а1<1,

Мс =

1ч/2,

с =1/2, ~с=1,

^2тг/лЯ-е

[/ + 1/2, с = 1, [7С] — ближайшее целое к 1С сверху.

Рассмотрим случайную величину X, распределенную как логарифм устойчивого распределения с параметрами 0 < а < 1, /3 = 1, у = О, А > 0, то есть X — 1о§(К) и характеристическая функция У задается формулой (см. работу Золотарева10)

= - С1 -^^^ >^'

^-АМ^ + едкяа«!)), а=1.

10ЗолотАРЕВ В.М. Преобразования Меллина-Стильтьеса в теории вероятностей. Теория вероятностей и ее применения, 1957, т. 11, в. 4, с. 444-468.

Утверждение. Имеет место следующая оценка отклонения {X} от равномерного: при любом целом N >2

Г(1 + 2т/а)

А =2

где

¡Д*1<2]Г

Г(1 + 2жг)

+ AN,

Г(1 + 2тгni/a) 2е-^лг(1/а-1)

Г(1 + 2nni)

^aVl - e-4*2JV/Q (1 - e-^d/«-1))'

Рассмотрим X = (Х1Д2) гауссовский двумерный случайный вектор с ЕХ1 — ЕХ? = 0, — = 1 и коэффициентом корреляции р.

Утверждение. Имеет место следующая оценка отклонения {X} от равномерного: при любом целом N >2

Д < g-2*a(mj+2pmim;!+m|)_|_

mi,m2=-(jv-l) (mj m2)*(0.0)

1 _ е-4»2(1-^ЛГ I ! _ е-4хЦ1-р)Н Т е I •

\ т=-(Л?-1) /

Пятая глава. Глава 5 посвящена так называемому закону первой значащей цифры.

Закон первой значащей цифры (или закон Бенфорда) — это эмпирическая закономерность, наблюдаемая в ряде обширных собраний статистических данных, в соответствии с которой первая значащая цифра принимает значение й = 1,2,..., 9 с частотой, примерно равной ^ (1 + 1/й) (значения приведены в таблице 9).

История открытия, попытки обоснования закона первой значащей цифры детально описаны в работах Р. Рейми11 и Т. Хилла12, где также дан обширный список относящейся к этому закону литературы.

В отдельных случаях математическое обоснование закона первой значащей цифры может опираться на следующие соображения. Если X — случайная величина с равномерным на отрезке [0,1] распределением вероятностей, то случайная величина У = 10х имеет первую значащую

"Raimi R.A. The First Digit Problem. Amer. Math. Monthly, v. 83, No 7, 1976. "hill t.p. a Statistical Derivation of the Significal-Digit Low. Statist. Sei., 1995, v. 10, No 4, p. 354-363.

цифру, равную й, с вероятностью ^ (1 + 1/й). Если теперь X — случайная величина, дробная часть которой распределена приблизительно равномерно на [0,1], то первая значащая цифра величины У принимает значение й с вероятностью, близкой к ^(1 + 1/с?). При этом часто приближенная равномерность распределения дробной части X может быть установлена с помощью формулы суммирования Пуассона. Также возможно предсказать и величину отклонения распределения первой значат щей цифры У от закона Бенфорда.

Пусть случайная величина У имеет логарифмически нормальное распределение с параметрами т и о'1. Тогда ^(К) имеет нормальное распределение с математическим ожиданием т\&(е) и дисперсией ог^2(е).

Утверждение. Имеет место следующая оценка отклонения распределения первой значащей цифры У от закона Бенфорда: при любом целом N>2

у-1 8щ(2тгп(^(^ 4-1) -т^(е))) - 8ш(2тгп(^) - т^(е))) |

' ТХП

п= 1

Алг, где

2е-2т2«У21е2(е)ЛГг

- жМ(1-е

В качестве примера рассмотрен случай ш = 0.46, «7 = 1. Значения параметров взяты из книги Крамера13.

В таблице 9 приведены значения ^(1 4- 1/в) и оценки отклонения в зависимости от й. При вычислениях бралось ЛГ = 2. В этом случае |Длг| < 1.085 ■ Ю-7. Поскольку очень мал, полученная оценка близка к истинному значению отклонения.

Аналогичные формулы можно получить и для неотрицательных случайных величин У, рассматриваемых в §§4.2 и 4.3.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю академику Ю. В. Прохорову.

13Крамер Г. Математические методы статистики. Мир, Москва, 1975.

Список публикаций по теме диссертации

[1] Перегудова А. А. Формула суммирования Пуассона и ее применение к закону первой значащей цифры. Обозрение прикладной и промышленной математики, 1999, Том 6, выпуск 1, с. 184.

[2] Кузнецова А. Я., Куликова А. А. Одна предельная теорема о сходимости к равномерному распределению. Вестник Моск. ун-та, сер. 15, вычисл. матем. и киберн., 2002, № 3, с. 39-45.

[3] Куликова А. А. Оценка скорости сходимости распределений вероятностей к равномерному распределению. Теория вероятностей и ее применения, 2002, Том 47, выпуск 4, с. 780-787.

[4] Куликова А. А., Прохоров Ю. В. Равномерные распределения на выпуклых множествах: неравенство для характеристических функций. Теория вероятностей и ее применения, 2002, Том 47, выпуск 4, с.787-789.

[5] Куликова А. А., Прохоров Ю. В. Распределение дробных долей случайных векторов: гауссовский случай. I. Теория вероятностей и ее применения, 2003, Том 48, выпуск 2, с. 399-402.

I

Издательство ООО "МАКС Пресс". Лицензия ИД № 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 10.10.2003 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печ.л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 799. Тел. 939-3890, 939-3891,928-1042. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В.Ломоносова.

а^о? -л

^<6 134

Введение

Список обозначений

1 Формула суммирования Пуассона

1.1 Формула Пуассона. Формальный вывод

1.2 Обобщения формулы.

1.3 Условия справедливости

Первая глава. Глава 1 посвящена формуле суммирования Пуассона. Перечислены некоторые результаты, сформулированные и доказанные вне связи с теорией вероятностей. В §1.4 приведен вид формулы, наиболее удобный для приложений в теории вероятностей, а также сформулированы и доказаны условия справедливости формулы суммирования Пуассона в контексте теории вероятностей и ряд вспомогательных утверждений, которые используются в последующих главах для оценки отклонения распределений вероятностей от равномерного. Глава 1 носит обзорный характер и является вспомогательной по отношению к другим главам.

Если р(х; X) — плотность распределения вероятностей случайной величины X и j(t] X) — соответствующая характеристическая функция, то формулу суммирования Пуассона можно записать следующим образом: р{х + ЬХ) = 1+ £ /(2тгп;Х)ек=—оо п=—оо,п^0

2-кгпх

Обозначим через S(x) сумму ряда, стоящего в левой части (она периодична с периодом 1).

Ряд, стоящий в правой части формулы, является рядом Фурье функции S(x).

Плотность дробной части {X} случайной величины X представляется в виде /vu {ад, хе[0,1], р(х; {X}) = i о, х ^ [0,1].

Следовательно, при х G [0,1] отклонение р(х; {X}) от 1 (плотности равномерного распределения) оценивается величиной /(27гп; Х)е~

2-ninx

В главе 1 перечислены условия справедливости формулы суммирования Пуассона и ее многомерного обобщения. Их отбор определяется основной целью настоящей работы, которая состоит в сравнении распределения дробных частей случайных величин (случайных векторов) и равномерного распределения.

1. Bochner S. Harmonic Analysis and the Theory of Probability. University of California Press, Berkeley and Los Angeles, 1955.

2. Bourbaki N. Theorie spectrales, chapitre II. Hermann, Paris, 1967.

3. Diaconis P., Engler E. Comments on 'Some Statistical Applications of Poisson's Works'. Statist. Sci., 1986, v. 1, No. 2, p. 171-174.

4. Good I.J. Analogues of Poisson's summation formula. Amer. Math. Monthly 69, 1962, p. 259-266.

5. Good I.J. Some Statistical Applications of Poisson's Works. Statist. Sci., 1986, v. 1, No. 2, p. 157-180.

6. Hardy G. H., Wright E. M. An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford, Clarendon Press, 1960.

7. Hill T.P. A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law. Statist. Sci., 1995, v. 10, No 4, p. 354-363.

8. Katznelson Y. Une remarque concernant la formule de Poisson. Studia Math. 29, 1967, p. 107-108.

9. Katznelson Y. An Introduction to Harmonic Analysis, John Wiley & Sons, Inc., New York-London-Sydney, 1968.

10. Marshall S. L. Convergence Acceleration of Fourier Series by Analytical and Numerical Application of Poisson's Formula. J. Phys. A: Math. Gen. 31, 1998, No. 11, p. 2691-2704.

11. Marshall S. L. On the Analytical Summation of Fourier Series and its Relation to the Asymptotic Behaviour of Fourier Transforms. J. Phys. A: Math. Gen. 31, 1998, No. 49, p. 9957-9973.

12. Mordell L.J. Poisson's Summation Formula and the Riemann Zeta Function. J. London. Math. Soc. 4, 1928.

13. Poisson S.D. Sur le calcul numerique des Integrales defmies. Mem. Acad. sci. Inst. France, 1827, t. 6, p. 571-602.

14. Raimi R.A. The First Digit Problem. Amer. Math. Montly, 1976, v. 83, No 7.

15. Бхваттачария P.H., Ранга Pao P. Аппроксимация нормальным распределением и асимптотические разложения. Москва, Наука, 1982.

16. Гамкрелидзе Н.Г. О неравенстве для многомерной характеристической функции. Теория вероятностей и ее применения, 1991, т. 36, в. 3, с. 602-604.

17. Зигмунд А. Тригониметрические ряды, т. 1. Москва, 1965.

18. Золотарев В.М. Преобразования Меллина-Стильтьеса в теории вероятностей. Теория вероятностей и ее применения, 1957, т. 11, в. 4, с. 444-468.

19. Ильин В.А., ПОЗНЯК Э.Г. Основы математического анализа, ч. II. Наука, Москва, 1973.

20. КАССЕЛС Дж. Рациональные квадратичные формы. Мир, Москва, 1982.

21. Коган JI.A. О представлении целых чисел положительно определенными квадратичными формами. ФАН, Ташкент, 1971.

22. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Наука, Москва, 1976.

23. Крамер Г. Математические методы статистики. Мир, Москва, 1975.

24. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. Мир, Москва, 1974.

25. Титчмарш Е. Теория функций. ГИТТЛ, Москва-Ленинград, 1951.

26. УШАКОВ Н.Г. Некоторые неравенства для характеристических функций одновершинных распределений. Теория вероятностей и ее применения, 1983, т. 26, в. 3, с. 606-609.

27. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 2. Мир, Москва, 1984.

28. Фихтенгольц Г.М. Курс дифферинциального и интегрального исчисления, т. III. Наука, Москва, 1969.

29. Справочник по специальным функциям. Под редакцией М. Абрамовича и И. Стиган. Наука, Москва, 1979.

30. Математическая энциклопедия. Гл. редактор И. М. Виноградов, т. 5. Советская энциклопедия, Москва, 1985.

31. Кузнецова А.Я., Куликова А.А. Одна предельная теорема о сходимости к равномерному распределению. Вестник Моск. ун-та, сер. 15, вычисл. матем. и киберн., 2002, № 3, с. 39-45.

32. Перегудова А.А. Формула суммирования Пуассона и ее применение к закону первой значащей цифры. Обозрение прикладной и промышленной математики, 1999, Том 6, выпуск 1, с. 184.

33. Куликова А.А. Оценка скорости сходимости распределений вероятностей к равномерному распределению. Теория вероятностей и ее применения, 2002, Том 47, выпуск 4, с. 780-787.

34. Куликова А.А., Прохоров Ю.В. Равномерные распределения на выпуклых множествах: неравенство для характеристических функций. Теория вероятностей и ее применения, 2002, Том 47, выпуск 4, с.787-789.

35. Куликова А.А., Прохоров Ю.В. Распределение дробных долей случайных векторов: гауссовский случай. I. Теория вероятностей и ее применения, 2003, Том 48, выпуск 2, с. 399-402.