Предельные теоремы и вероятностные неравенства для канонических U- и V-статистик от зависимых наблюдений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. Соболева

На правах рукописи УДК 519.21

ВОЛОДЬКО Надежда Владимировна

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ВЕРОЯТНОСТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ КАНОНИЧЕСКИХ и- И У-СТАТИСТИК ОТ ЗАВИСИМЫХ НАБЛЮДЕНИЙ

Специальность 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г

Новосибирск и

2008 0034512ВЗ

003451263

Работа выполнена в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН

Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор И. С. Борисов

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н., профессор А. Н. Тихомиров к.ф.-м.н. А. А. Быстров

Ведущая организация:

Омский государственный университет

Защита состоится

12 ноября 2008 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 003.015.01 в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, пр. акад. Коптюга, 4, к.417.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан « » 2008 г.

"Ученый секретарь диссертационного совета Д 003.015.01 при Институте математики СО РАН д. ф.-м. н.

Ю. В. Шамардин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию предельного поведения распределений нормированных канонических статистик Мизеса (так называемых У-статис-тик) и [/-статистик, построенных по выборкам стационарно связанных наблюдений с теми или иными условиями зависимости. Кроме того, получены экспоненциальные неравенства для вероятностей уклонений рассматриваемых статистик с ограниченными ядрами в случае, когда выборочные наблюдения удовлетворяют условию (¿»-перемешивания.

Исследованием предельного поведения II- и У-статистик занимались различные авторы с середины прошлого века. Первые результаты такого типа получены в классических работах Р. Мизеса [20] и В. Хёфдинга [18]. Для [/- и V-статистик, построенных по независимым наблюдениям, предельная теория разработана достаточно полно (см., например, [5], [8], [15], [18], [19], [20] и др.).

В предельной теории для указанных статистик (как для независимых, так и для зависимых наблюдений) можно выделить два направления: асимптотический анализ невырожденных и вырожденных V- и V-статистик. В силу известного представления Хёфдинга главная часть любой невырожденной II- или У-статистики представляет собой сумму одного и того же детерминированного преобразования от рассматриваемых наблюдений (независимых или зависимых), что по сути позволяет сводить задачу к соответствующей проблеме классической теории суммирования. При этом следующие по порядку члены в упомянутом разложении Хёфдинга уже будут вырожденными статистиками (как, впрочем, и суммы центрированных случайных величин). Так что асимптотический анализ невырожденных II- и У-статистик нередко сводится к соответствующему анализу вырожденных стати-

стик. Именно поэтому последние и называются каноническими. Всюду в дальнейшем мы изучаем предельное поведение только таких статистик.

Говоря о зависимых наблюдениях, следует упомянуть работу И. С. Борисова и А. А. Быстрова [3], в которой найден слабый предел распределений статистик Мизеса произвольного порядка от стационарно связанных наблюдений с условием ^-перемешивания.

Отметим также работы X. Делинга и М.С. Такку [11], [12] и [13], где исследовались [/-статистики от специальных зависимых наблюдений, представимых в виде некоторого детерминированного преобразования стационарно связанных сильно зависимых гауссовских случайных величин. В статье [12] сформулирован предельный закон для статистик, ядра которых имеют ограниченную полную вариацию. В работе [13] для статистик порядка 2 это требование ослаблено до условия "локально ограниченной полной вариации" ядра.

Кроме того, в случае слабо зависимых наблюдений А. Н. Тихомировым в [6] и [7] подробно исследовалось предельное поведение одного частного случая статистик Мизеса второго порядка - скалярного квадрата нормированной суммы слабо зависимых случайных векторов в сепарабельном гильбертовом пространстве.

Оценивание хвостов распределения II- и ^-статистик также имеет довольно богатую историю. Одной из первых работ, в которой были получены неравенства интересующего нас типа для независимых наблюдений, является статья В. Хёф-динга [18], несмотря на то, что в ней рассматривались лишь невырожденные {/-статистики. Доказанное в [18] в качестве следствия экспоненциальное неравенство представляет собой естественное обобщения аналогичного классического результата для хвоста распределения суммы независимых одинаково распределенных ограниченных случайных величин.

В [2] получено уточнение неравенства из [18] для V-статистик в случае, когда вырожденное ядро имеет мажоранту с разделяющимися переменными. В ¡10] доказано близкое неравенство для канонических ядер без упомянутого условия на ядро. В статье [17] получено некоторое усиление результата [10] для статистик порядка 2, а в [9] этот результат распространен на канонические [/-статистик произвольного порядка.

Говоря о зависимых наблюдениях, стоит упомянуть работу [14], где получено (как следствие) неравенство интересующего нас типа для статистик Крамера-фон-Мизеса, построенных по слабо зависимым наблюдениям.

Цель работы. Основной целью работы являются предельные теоремы для распределений канонических II- и V-статистик, построенных по стационарно связанным слабо зависимым наблюдениям в случае неограниченного возрастания объёма наблюдений, а также получение экспоненциальных неравенств для хвостов распределений рассматриваемых статистик.

Научная новизна. В диссертации использовался подход, основанный на представлении ядра статистики с зависимыми аргументами в виде специального кратного ряда, частичные суммы которого сходятся к ядру почти наверно. С помощью этой конструкции удалось получить представление предельных распределений канонических II- и V-статистик, построенных по стационарно связанным наблюдениям с условиями (р- или »-перемешивания. Предельные законы при этом описываются в виде бесконечных полилинейных форм от последовательности центрированных гауссовских случайных величин с известной ковариационной матрицей. Сформулированы условия, обеспечивающие корректность применения подобного разложения в ряд к случаю зависимых аргументов, построены контрпримеры, показывающие существенность тех

или иных ограничений. С использованием той же схемы получены показательные неравенства для вероятностей уклонений канонических II- и У-статистик, построенных по стационарно связанным наблюдениям с условием ^-перемешивания.

Апробация работы. Все результаты докладывались на объединенном семинаре кафедры теории вероятностей и математической статистики НГУ и лаборатории теории вероятностей и математической статистики Института математики СО РАН под руководством академика А. А. Боровкова. Результаты работы также докладывались на 4-ой международной конференции "Предельные теоремы теории вероятностей и их приложения"(г. Новосибирск, 2006 г.), на Всероссийской конференции "Математика в современном мире" (г. Новосибирск, 2007), на 26-ом Международном семинаре по проблемам устойчивости для стохастических моделей (г. Нахария, Израиль), на 5-ой Международной конференции по многомерным распределениям (г. Марсель, Франция, 2008), на 7-м Всемирном Конгрессе Общества им. Я. Бернулли по теории вероятностей и математической статистике (Сингапур, 2008).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [21] — [24].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации - 65 страницы.

Краткое содержание работы

Во Введении дается обзор работ по теме исследований и обсуждается содержание диссертации по главам.

Первая глава посвящена описанию асимптотического поведения распределений статистик, построенных по зависимым наблюдениям с условиями а- или (¿»-перемешивания.

Пусть Xi, Х-2,.. ■ — стационарная (в узком смысле) последовательность случайных величии, заданных на вероятностном пространстве (О, Т, Р) и принимающих значения в сепарабельном метрическом пространстве Л}. Обозначим через F распределение Х\.

Обозначим через Шlj, где j < к, сигма-алгебру событий, порожденную случайными величинами Xj,..., Х^.

Определение 1. Последовательность Х\, ... удовлетворяет условию а-перемешивапия (или сильного перемешивания), если

а{г) := sup sup |Р(АВ) - ¥(A)F{B)\ О при г —» оо.

Определение 2. Последовательность Xi, Х2, ■ ■ ■ удовлетворяет условию ip-перемешивания (или равномерно сильного перемешивания), если

<р(г) := sup sup ------> О

при i —> оо.

{A7} — независимые копии случайной величины Х\. Обозначим через Fm) пространство измеримых функций /(*!,..., tm), таких что E/2(Xj,..., Х*т) < оо.

Определение 3. Функция /(¿ь ... ,tm) € Ь2{Жт') Fm) называется канонической (или вырожденной), если

E/(ii,. ..tk-i,Xk, tk+ь • • •, tm) = 0 (1)

для любого к и любых tj € X.

Рассмотрим статистику Мизеса (или У-статистику):

V« = ВД) := п-"*/2 ■ £ Я**-■■.**»). (2)

где функция /(<!,... ,£т) (так называемое яфо статистики) является канонической.

С тем же условием на ядро определим [/-статистику:

[/п = [/„(/) := тГт/2 X /№..-,4,) (3)

т

<п

В наших предположениях касательно X гильбертово пространство Ь2(Х, Р) будет сепарабельным, а значит, в этом пространстве существует счетный ортонормированный базис.

Пусть е0(£) = 1. Методом ортогонализации Грама-Шмидта можно построить ортонормированный базис в Ь2(Х, содержащий ео(£). Обозначим этот базис {ег(£)}^0. Тогда можно разложить ядро /(¿1,... ,£,„) рассматриваемых статистик по базису Ь2(Хт, Рт), т. е. записать в виде

оо

/(< 1,...,*т)= X /¿ь.^т^^О-.-ег.Д^т), (4)

где ряд в правой части (4) сходится в норме Ь2(Хт, -Р7™). Если, к тому же, коэффициенты разложения {/»,...»„} абсолютно суммируемы, то ряд в (4) будет сходиться и почти наверное относительно распределения Fírl вектора (Х^,..., Х*к). Базисный элемент е0(£) не принимает участия в разложении (4) в силу того, что ядро является канонической функцией.

Мы будем предполагать, что стационарная последовательность случайных величин {Х*} удовлетворяет либо условию а-перемешивания, либо (/^-перемешивания, и, кроме того, соответствующие коэффициенты перемешивания и ортонормированный базис (еД£)} пространства Ь2(Х, Г) с элементом

ео(^) = 1 удовлетворяют следующим дополнительным ограничениям:

а) в случае ^-перемешивания предполагаются выполненными следующие условия:

сю

£У/20с) < оо; вирЕ^^Х^Г < оо; (5)

к=1 ¿

Ь) в случае а-перемешивания предполагается, что для некоторого е > 0 и некоторого четного с > т

00

вирЕ|е<(Х1)Г+е < оо; < оо. (б)

к= 1

Кроме того, коэффициенты абсолютно суммируемы:

оо

£ 1/и-.п1<оо. (7)

il,..■,гm=l

Введем также ограничение на совместное распределение элементов последовательности {Х*}:

(АС). Для всех попарно различных индексов С?1, ■•■•,3т) распределение вектора ,..., Х,ш) абсолютно непрерывно относительно распределения вектора (X*,

Основные результаты главы содержатся в следующих двух теоремах:

Теорема 1. Пусть выполнено одно из двух условий:

a) Стационарная последовательность {X,} удовлетворяет условию <р-перемешивания с ограничениями (5).

b) Стационарная последовательность {.А^} удовлетворяет условию а-перемешивания с ограничениями (6).

Тогда для любого канонического ядра / € Р"п) при

выполнении (7) и (АС) имеет место следующее утверждение:

оо оо

Ип(/)4 £ (8)

»1> — 1*т=1 3 — 1-

где ип — статистика вида (3), гауссовская последовательность центрированных случайных величин {г,} имеет ковариационную матрицу

оо 3=1

^•(гь...,гт) := ( дельта Кронеккера), Нк(х)

— полиномы Эрмита, определенные по формуле

Нк(х) :=

Отметим, что предельное выражение в (8) в точностью совпадает с предельным выражением в работе [19], полученным для [/-статистик от независимых наблюдений. Разница заключается лишь в том, что элементы последовательности {г*} в [19] являются независимыми стандартными нормальными величинами.

Введем в рассмотрение следующее условие регулярности:

(Л). Ядро /(¿ь ..., Ьт) непрерывно всюду на Хт (по каждой переменной), и все базисные элементы е^Ь) в (4) непрерывны и равномерно по £ и к ограничены.

Теорема 2. Пусть каноническое ядро /(¿х>..., Ьт) удовлетворяет условиям (К) и (7). Если, кроме того, выполнено одно из двух условий а) или Ь) теоремы 1, то при п —> оо

где гауссовская последовательность {тг} определена в теореме 1.

Один из основных результатов первой главы — это Предложение 2, из которого следует, что без условий типа (АС) или (К) при сохранении всех прочих ограничений в теоремах 1 и 2, вообще говоря, не существует предельного распределения для [/-статистик в рассматриваемой общности для слабо зависимых случайных величии. В частности, отмечается, что результат работы [16] не вереи.

Во второй главе диссертационной работы исследуется предельное поведение вырожденных [/-и У-статистик, построенных по стационарно связанным (¿-зависимым наблюдениям. Основная отличительная черта полученных здесь результатов от результатов предыдущей главы — это отказ от условий (АС) и (И,), игравших ключевую роль в первой главе.

Определим ¿-зависимую последовательность:

Определение 4. Последовательность случайных величин {Х*} называется (1-зависимой, если два семейства случайных величин {Х,:; г < к} и {Х,; г > к + д} независимы при любом натуральном к.

оо

О)

Наша задача — найти предельное распределение U- и V-статистик от выборок из стационарной последовательности ¿-зависимых наблюдений при п —» оо.

В силу определения (¿-зависимости случайный вектор аргументов ядра {Xjj,..., Xjm} можно разбить на независимые между собой блоки, количество которых, очевидно, может принимать значения от 1 до т. Выделим некоторое подмножество индексов К := {jki,-,jkt} С {ji,...,jm} — строгое подмножество {ji,..., jm}. Будем считать, что {Xjki,..., Xjfc } образуют блок (который уже нельзя разбить на независимые меньшей длины), не зависящий от элементов {Xjt,..., Xjm}, не входящих в него, если для каждого j £ К

min |i-/| < d Г e.K\{j}

и

min h' — j'\ > d. j'e{j ......jm}\Kl

Заметим, что совместное распределение вектора наблюдений {Xj^...., XJm} однозначно определяется совместными распределениями блоков, на которые он разбивается, а также взаимно-однозначным соответствием элементов всех блоков номерам координат вектора от 1 до т. Следовательно, всевозможных различных распределений ...,Xjm} конечное число, зависящее только от т и d. Значит мы можем поделить все слагаемые f(Xj1,...,Xjm) на классы одинаково распределенных.

Если вектор {Xjt, ...,Xjm} некоторого класса можно разбить на s независимых блоков, где s > т/2 потребуем, чтобы выполнялось следующее:

E/2(^,,...,^J<oo. (10)

Если же в < т/2, будем требовать лишь конечность первого момента ядра:

Е|/(Хл,...,Х,т)|<оо. (И)

Пусть, как и прежде, {г*} — гауссовская центрированная последовательность с ковариациями, заданными в теореме 1. Легко заметить, что в рассматриваемом случае ¿-зависимых наблюдений выражение для ковариаций совпадает со следующим:

й

Мк1 := бы + [^(ХОеК^+а) + Жег(Ха)е^(^+1)].

.7=1

Пусть 1(1\,..., д) — множество способов выделить из элементов {¿1,..., 13} (без возвращения) q пар. Порядок пар и порядок элементов внутри конкретной пары не учитывается. Пусть

р := {1и ..., 18} \ ({их,1ь} и ... и

Предположим, класс К содержит в > [т/2] + 1 независимых блоков, длина которых не превышает 2, {Хл,..., Х^т} € К. Пусть 1 < к\ < ... < к81 < т — номера одноэлементных блоков, тогда определим

¡ИХ тХщ ...,Х,т)е,1(Х^)...е,4(Х^1). (12)

Потребуем выполнение следующего условия: 00

Основной результат второй главы содержатся в следующей теореме.

Теорема 3. Пусть для канонического ядра /(¿1,..., Ьгп ) и й-зависимой последовательности {Х^} выполнено следующее: все классы векторов {X..., Х^т}, содерэюащие не более [т/2] независимых блоков, удовлетворяют (11), остальные — (10) и любой класс, в котором не меньше [т/2] + 1 независимых блоков наблюдений с длиной не более двух, удовлетворяет (13). Тогда

[(ш-1)/2] оо [т/2—Л]

к,- Е Е Ел(3_ Е и)'*

к=0 г1,...,г„1_2ь=1 К д=0

Е мрЦъ + с

где {ъ} — гауссовская центрированная последовательность с ковариациями Мм, ~~ сумма по всем таким классам наблюдений, в которых к двуэлементных и т — 2 к одноэлементных независимых блоков; С = 0 в случае нечетного т, а для четного

К'

В свою очередь, ~~ сумма по всем классам, в которых ровно т/2 двуэлементных независимых блоков, ..., Х^п} — некоторая выборка из класса К'.

Во второй главе доказан также аналог1 этой теоремы для [/-статистик. Кроме того, в Замечании 7 показано, что при выполнении ограничений как первой главы, так и второй, пределы по распределению совпадают. Сделанное замечание касается в равной степени [/-и У-статистик

Третья глава посвящена экспоненциальным неравенствам для вероятностей уклонений канонических [/- и V- статистик от выборок с <£>-перемешиванием.

Как и в предыдущих главах, {е^Ь)} — ортонормированный базис 1/2(3£, F), причем е0(Ь) = 1. Будем рассматривать лишь пространства, в которых есть ограниченный базис:

С:= вир |е<(<)| < оо. (14)

и

В настоящей главе рассматриваются наблюдения, удовлетворяющие условию (/^-перемешивания. Введем дополнительные ограничения на коэффициент перемешивания и ядра рассматриваемых статистик:

(а) 1/м-..<™1 <00 и ^ с°е-С1*2> с1 > о-

(В) Существует такое е > 0, что £^,...,¿,„=1 |/п...1т|г~е = с < оо; причем

У := < 00-

Основной результат этой главы сформулирован в следующей теореме.

Теорема 4. Пусть каноническое ядро /(¿1,..., Ьт) удовлетворяет условию (И) и (14). Тогда при выполнении одного из двух условий (А) или (В) справедливо неравенство

ЦК\ > я) < С, ехр{-С2.г2/"7£?(/)}, (15)

где положительное С2 зависит лишь от коэффициента причем в случае (Л)

оо

В(/):=[Ст £ |Д...и)2/т,

а в случае (В)

Отметим, что при т — 1 отсюда следует аналог известного неравенства Хёфдинга для хвоста распределения суммы независимых центрированных и ограниченных случайных величин.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю И. С. Борисову за постановку задачи, ценные советы и внимание к работе.

Список литературы

1. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977.

2. И. С. Борисов. Аппроксимация распределений статистик Мизеса с многомерными ядрами // Сиб. матем. ж., 1991, т. 32, №4, с. 20-35.

3. И. С. Борисов, А. А. Быстрое. Предельные теоремы для канонических статистик Мизеса, построенных по зависимым наблюдениям //' Сиб. матем. жур., 2006, т.47, №6, с.1205-1217.

4. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. М.: Наука, 1971.

5. Королюк В. С., Боровских Ю. В. Теория [/-статистик. Киев: Наукова Думка, 1989.

6. А. Н. Тихомиров. О точности нормальной аппроксимации вероятности попадания в шар сумм слабо зависимых гильбертовозначных случайных величин. I // Теория вероятн. и ее примен., 1991, т. 36, N0.4, с. 699-710.

7. А. Н. Тихомиров. О точности нормальной аппроксимации вероятности попадания в шар сумм слабо зависимых гильбертовозначных случайных величин. II // Теория вероятн. и ее примен., 1993, т. 38, No.l, с. 110-127.

8. Филиппова А. А. Теорема Мизеса о предельном поведении функционалов от эмпирических функций распределения и ее статистические применения // Теория вероятностей и ее применения, 1962, т.7, №1, с. 26-60.

9. R. Adamczak. Moment inequalities for [/"-statistics // Ann. Probab., 2006, v.34, №6, p. 2288-2314.

10. M. A. Arcones, E. Gine. Limit theorems for [/-processes // Ann. Probab., 1993, №3, p. 1494-1542.

11. H. Dehling, M. S. Taqqu. The limit behaviour of empirical processes and symmetric statistics // Bull. Internat. Statist. Inst., 1987, v.52, №4, p. 217-234.'

12. Dehling H., Taqqu M. S. The empirical process of some long-range dependent sequences with an application to U-statistics // Ann. Statist., 1989, v.17, №4, p. 1767-1783.

13. H. Dehling, M. S. Taqqu. Bivariate symmetric statistics of long-range dependent observations // Journal of Statistical Planning and Inference, 1991, v.28, №2, p. 263-270.

14. J. Dedecker, F. Merlevede. The empirical distribution function for dependent variables: asymptotic and non asymptotic results in Lp // ESAIM Probability and Statistics, 2007, v.ll, p. 102-114.

15. Dynkin E. B., Mandelbaum A. Symmetric statistics, Poisson point processes and multiple Wiener integrals // Ann. Statist., 1983, v.ll, №3, p. 739-745.

16. Eagleson G.K. Orthogonal expansions and ¿/-statistics // Austral. J. Statist., 1979, v.21, №3, p. 221-237.

17. E. Gine, R. Latala, J. Zinn. Exponential and moment inequalities for [/-statistics // High Dimensional Probability II, 2000, Progr. Probab., 47, p.13-38.

18. Hoeffding W. A class of statistics with asymptotically normal distribution // Ann. Math. Statist. 1948, v. 19, p. 293-325.

19. Rubin H., Vitale R. A. Asymptotic distribution of symmetric statistics // Ann. Statist., 1980, v.8, №1, p. 165-170.

20. Von Mises R. On the asymptotic distribution of differen-tiable statistical functions // Ann. Math. Statist., 1947, v. 18, p. 309-348.

Публикации по теме диссертации

21. I. S. Borisov, A. A. Bystrov, N. V. Volodko. Asymptotic analysis of canonical Von Mises statistics based 011 dependent observations // 4th Intern. Conference on Limit Theorems in Probability Theory and Their Applications , Novosibirsk, 2006, Abstracts of Communic., p. 5.

22. I. S. Borisov, N. V. Volodko. Multiple orthogonal series and asymptotic analysis of canonical U- and V-statistics based on stationary observations // 7th Bernoulli Congress on Probability and Statistics, Singapore, NUS, 2008, Abstracts of Communic., pp. 77-78.

23. И. С. Борисов, H. В. Володъко. Ортогональные ряды и предельные теоремы для канонических U- и V-статистик от стационарно связанных наблюдений // Матем. Труды, 2008, т. И, №1, с. 25-48.

24. И. С. Борисов, Н. В. Володъко. Экспоненциальные неравенства для распределений U- и V'-статистик от зависимых наблюдений // Матем. Труды, 2008, т. 11, №2, с. 3-19.

/

Володько Надежда Владимировна

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ВЕРОЯТНОСТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ КАНОНИЧЕСКИХ и- И ^-СТАТИСТИК ОТ ЗАВИСИМЫХ НАБЛЮДЕНИЙ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 3 октября 2008 г.

Офсетная печать. Формат 60x84 1/16.

Усл. печ. л. V Уч.-изд. л. У// Тираж 100 экз. Заказ № 175

Отпечатано ООО "Омега Принт" 630090, Новосибирск-90, пр. Лаврентьева, 6.

введение з

ГЛАВА 1. Ортогональные ряды и предельные теоремы для канонических U- и К-статистик от стационарно связанных наблюдений

§1. Основные ограничения и свойства рассматриваемой модели.

§2. Формулировка основных результатов.

§3. Доказательство основных результатов.

3.1. Доказательство теоремы 1.

3.2. Доказательство теоремы 2.

3.3. Доказательство предложения 2.

3.4. Доказательство предложения 4.

ГЛАВА 2. Предельные теоремы для U- и V-статистик, построенных по выборкам из d-зависимых стационарных последовательностей

§1. Введение и основные результаты

§2. Доказательство основных результатов.

2.1 Доказательство теоремы 3.

2.2. Доказательство теоремы 4.

2.3. Доказательство замечания 7.

ГЛАВА 3. Экспоненциальные неравенства для распределений U- и Vстатистик от зависимых наблюдений

§1. Введение и основные результаты

§2. Доказательство основных результатов.

2.1. Доказательство теоремы 5.

2.2. Доказательство теоремы б.

Диссертация посвящена исследованию предельного поведения распределений нормированных канонических статистик Мизеса (так называемых У -статистик) и U-статистик, построенных по выборкам стационарно связанных наблюдений с теми или иными условиями зависимости (главы 1 и 2). Кроме того, в главе 3 получены экспоненциальные неравенства для вероятностей уклонений рассматриваемых статистик с ограниченными ядрами в случае, когда выборочные наблюдения удовлетворяют условию (^-перемешивания.

При получении указанных результатов использовался единый подход, основанный па представлении ядер рассматриваемых статистик в виде специального кратного ряда. Предельные законы при этом описываются в виде бесконечных полилинейных форм от последовательности центрированных гауссовских случайных величин с известной ковариационной матрицей. В случае независимых наблюдений этот подход применялся неоднократно при изучении предельного поведения рассматриваемых статистик, начиная с работы Р. Мизеса [29], где изучались статистики второго порядка. Более общая ситуация была рассмотрена в статье X. Рубина и Р. Виталя [30]. Кроме того, в целом ряде работ (см., например, [13], [24]) дана иная интерпретация упомянутых предельных законов в виде кратных стохастических интегралов Винера - Ито.

Говоря о зависимых наблюдениях, следует упомянуть работу PI. С. Борисова и А. А. Быстрова [3], в которой найден слабый предел распределений статистик Мизеса произвольного порядка от стационарно связанных наблюдений с условием ф-перемешпвания. Предельный закон здесь также представлен в виде стохастического интеграла, который, правда, существенно отличается от классического кратного стохастического интеграла Винера - Ито.

Отметим также работы X. Делинга и М.С. Такку [20], [21] и [22], где исследовались ^/-статистики от специальных зависимых наблюдений, представимых в виде некоторого детерминированного преобразования стационарно связанных гауссовских случайных величин, В статье [21] сформулирован предельный закон для статистик, ядра которых имеют ограниченную полную вариацию. В работе [22] для статистик порядка 2 это требование ослаблено до условия "локально ограниченной полкой вариации" ядра.

Кроме того, в случае зависимых наблюдений А. Н. Тихомировым в [10] и [11] подробно исследовалось предельное поведение одного частного случая статистик Ми-зеса второго порядка - скалярного квадрата нормированной суммы слабо зависимых случайных векторов в сепарабельном гильбертовом пространстве.

Результаты первой главы диссертации описывают асимптотическое поведение распределений статистик, построенных по зависимым наблюдениям с условиями а.- или (^-перемешивания, которые не являются столь жесткими, как ^-перемешивание. С другой стороны, в приведенных в этой главе теоремах присутствуют дополнительные ограничения на ядро статистики, которых нет в работе [3]. Вид предельного закона, а также метод доказательства полученных результатов во многом аналогичны [30].

Перейдем теперь к описанию основных результатов диссертации. Прежде всего ~ введем необходимые обозначения и определения.

Определение 1. Пусть {Ж, Л} — измеримое пространство с мерой /х. Говорят, что мера ц, имеет счетный базис, если существует такая счетная система

21:= {Ап] п = 1,2,.} измеримых подмножеств (счетный базис меры ц), что для всякого М & Ли любого е > 0 найдется такое А^ € 21, что lx{MAAk) < е.

Например, если X - сепарабельное метрическое пространство, а Л - сг-алгебра всех его борелевских подмножеств, то любая сг-конечная мера на Л будет иметь счетный базис.

Пусть Х\, Х2,. — стационарная (в узком смысле) последовательность случайных величин, заданных на вероятностном пространстве (Q,^, Р) и принимающих значения в произвольном измеримом пространстве {56, Л}. Обозначим через F распределение А^. Всюду в дальнейшем мы рассматриваем только распределения на Л, имеющие счетный базис.

В диссертации рассматриваются стационарные последовательности {Xj}, удовлетворяющие тем или иным условиям перемешивания. Напомним определения некоторых таких условий, наиболее часто используемых в научной литературе. Обозначим через fflj, где j < к, сигма-алгебру событий, порожденную случайными величинами Xj, .,Хк.

Определение 2. Последовательность Xi, Х2,. удовлетворяет условию а-перемешивапия (или сильного перемешивания), если a(i) sup sup |Р(АВ) - Р(А)Р(В)| О при г —у оо.

Определение 3. Последовательность Х%,. удовлетворяет условию <р-перемешивания (или равнольерно сильного перемешивания), если y>(i) := sup sup ^-i V * V Л 0 при г —>■ оо.

Определение 4. Последовательность Х\, Х2, •. удовлетворяет условию ф-перемехиивания, если

1Р(АВ)-Р(А)Р(В)1 ф(г) sup sup РМШЖ ° при i —> 00.

Ясно, что последовательности {а(г)}, {^(г)} и {ф(г)} не возрастают. Условие ip-перемешивания, очевидно, сильнее условия ^-перемешивания, которое, в свою очередь, влечет за собой условие «-перемешивания.

Наряду с введенной стационарной последовательностью нам будет удобно рассматривать вспомогательную последовательность {X,*}, состоящую из независимых копий случайной величины Х\. Обозначим через L2(XTn,i?"1) пространство измеримых функций /(ii,., tm), заданных на соответствующей декартовой степени пространства {X, Л} с соответствующей продакт-мерой, порожденной маргинальным распределением F (т. е. речь идет о распределении вектора (Xf,., X*J); при этом ЩЦХ*,.,Х*т)<оо.

Определение 5. Функция f(ti,.,tm) 6 L2(Xm, Fm) позывается канонической (или вырожденной), если

Ef(ti,. Ak-ijXkjtk+i,. ,tm) — 0 (1) для любого к и любых tj £ X.

Введем в рассмотрение статистику Мизеса (или У-статистику):

Уп = Vn(f) := ri~mf2 Л • • (2) l<jl, — ,jm<n где функция f(ti,. ,tm) (так называемое ядро статистики) является канонической. В случае независимых наблюдений {Xi} статистики такого типа (их нередко называют каноническими V-статистиками) изучались с середины прошлого века (обзор литературы и конкретные примеры статистик см. в [9]). Впервые предельные теоремы для них были получены в работах Р. Мизеса [29] и В. Хёфдинга [28]. Наряду с V-статистиками изучались близкие к (2) функционалы, так называемые U-статистики:

Un = Un(f) := п£ f(Xh,.,Xim) (3) или /о(Х^,., Х{т); (4) l<ii<.<im<n причем ядро /о в (4) дополнительно предполагается симметричным относительно всех перестановок своих аргументов. Отметим, что для "выравнивания" предельного поведения статистик Vn, Un и нередко вместо п~т/2 в (4) ставят (С™)-1/2.

Основное отличие [/-статистик от V-статистик состоит в отсутствии в области суммирования соответствующих кратных сумм в (3) и (4) так называемых диагональных подпространств, т. е. отсутствие у ядер кратных индексов суммирования. Если распределение F случайной величины Х\ не имеет атомов, то, доопределяя ядро нулями на всех диагональных подпространствах, мы легко сведем [/-статистику в (3) к У-статистике (2). Также легко видеть, что формы (3) и (4) записи [./-статистик по сути эквивалентны: если мы положим в (4) fo(ti,.-,tm) := /(tin —>*гт), где суммирование ведется по всевозможным перестановкам гг,гт чисел 1, ., т то сведем представление (3) к (4).

Отметим также, что любая [/-статистика представима в виде конечной линейной комбинации канонических U-статистик порядка от 1 до т - это так называемое разложение Хёфдипга (подробнее см. [9]), что по сути позволяет сводить к последним асимптотический анализ произвольных [/-статистик.

Если распределение F произвольное (и, в частности, содержит атомы), то U-статистики в (3) или (4) допускают рекуррентное представление в виде линейной комбинации канонических V-статистик, а также [/-статистик меньшего порядка, что позволяет представить любую каноническую [/-статистику в виде линейной комбинации канонических V-статистик. Это замечание является центральным в предельной теории [/-статистик. В этой связи отметим особую роль V-статистик с расщепляющимися ядрами tl, tm) = /11(^1)^2(^2) • • • hm(tm), (5) поскольку в этом случае соответствующая У-статистика представима в виде произведения при этом Khk(Xi) = 0 и Ehl(Xi) < 00. Так что при определенных условиях слабой зависимости случайных величин {-Xj} можно применять многомерную центральную предельную теорему, в силу которой слабый предел рассматриваемой ^-статистики будет иметь вид произведения Pji где {/г,-; j < га} — центрированные гауссов-ские случайные величины с ковариациями оо

Е ^ = EhiiXOh^X,) + J2№hi(Xi)hj(Xk+l) + EhjiX^h^Xk^)), к-1 если только ряд в правой части этого равенства сходится. Понятно, что приведенные выше рассуждения не претерпят существенных изменений и в случае, когда ядро V-статистики представимо в виде линейной комбинации (возможно, бесконечной) расщепляющихся ядер (см. доказательство теоремы 2). Сказанное относится и к U-статистикам с такими ядрами в силу отмеченной выше связи U- и У-статистик. Именно этот подход лежит в основе доказательства ряда известных результатов но асимптотическому анализу U-статистик в случае независимых наблюдений {Xj}.

В связи с последшш замечанием напомним классические результаты, связанные с разложением канонических функций в кратный ортогональный ряд по базису гильбертова пространства L2(X, F). Поскольку распределение F имеет счетный базис; то гильбертово пространство L2(X,F) будет сепарабельным. А это значит, что в этом пространстве существует счетный ортонормированный базис. Пусть eo(t) = 1. Методом ортогонализации Грама - Шмидта [8] можно построить ортонормированный базис в L2(X, F), содержащий e0(t). Обозначим этот базис {e;(i)}j>o. Тогда Eet(Xi) = О для всех г > 1 из условия ортогональности с eo(t). Условие нормировки означает, что ~Eef{X\) = 1 для всех г > 1. Отметим, что при этом семейство функций {^ii(£1)^2(^2). e,m(im); ii, го,., im — 0,1,. }, является ортонормированным базисом в пространстве L2(£"\ Fm) (см., например, [8]).

Таким образом, можно разложить ядро f(t\,., trn) рассматриваемых статистик по базису Z/2(3£m, Fm), т. е. записать в виде оо т)= S fii.i,neh(ti) .eim(tm), (6)

Й»—>im=0 где ряд в правой части равенства (6) сходится в норме L2(Xm, Fm). Если, к тому же, коэффициенты разложения {/;ь.гт} абсолютно суммируемы, то в силу теоремы

Б. Леви и элементарной оценки (X]*). (Х*г) | < 1 ряд в (6) будет сходиться и почти наверное относительно распределения Fm вектора (A'j,., Х*п).

Остановимся отдельно на случае т = 2. Рассмотрим интегральный линейный оператор с симметричным ядром / € F2), переводящий Х2(Х, F) в себя. Поскольку этот линейный оператор будет вполне непрерывным и самосопряженным, то в сепарабельном гильбертовом пространстве L2(X, F) существует ортонормиро-ванный базис, состоящий из собственных векторов этого интегрального оператора, и для этого базиса имеет место представление (6) при т = 2. Теперь умножим обе части равенства (6) на произвольный элемент efc(^) упомянутого базиса и проинтегрируем обе части полученного равенства по распределению F(dt2). Тогда с учетом ортонормировапности базисных элементов получаем новое тождество оо ^~2fi,kei(h),

1=0 где Xk - соответствующее собственное число. Отсюда с необходимостью следует, что 1к,к — ^к и Д/с = 0 при г -ф к. Стало быть, в случае m = 2 для выбранного базиса формула (6) принимает вид оо

1,*2) = E 1)^2), (7) к=О который неоднократно использовался в исследованиях ряда авторов.

В Предложении 1 доказано еще одно свойство канонических ядер, а именно, что для них базисный элемент e0(t) = 1 не принимает участия в разложении (6), т. е. разложение (6) имеет вид оо f(k,---,tm)= £ fii.imeil(ti).eim(trn). (8) ill—i*m = l

Таким образом, при замене векторной переменной (£lt., tm) на независимые наблюдения (X*,., Х^) частичные суммы ряда в правой части (8) (или (7) при т = 2) сходятся к случайной величине /(Х^., X*J в среднеквадратичном, а следовательно, и по распределению.

Для независимых {Xj} при условииf(tL,., tm) G Ь2(Жт, Fm) в [30] доказано, что оо со

Un^ Е fil.im П Н»Лп.(9) где {rj} — последовательность независимых случайных величин со стандартным нормальным распределением, Vj(i\,.,im) — число индексов среди ii,.,im, равных натуральному //'. а Нк(х) — полиномы Эрмита, определенные по формуле ад = (-i)V2/2~ (е--/2) или с помощью рекуррентного соотношения

Н0(х) = 1, Hi(х) = ж,

Яп+1 = хНп{х) - пНп^\{х).

Таким образом, Hk(x) представляет собой полином степени А;, а произведение в правой части (9) может быть представлено в виде max{ifc}

П Н»Лп.гт){ъ) = НГ1 (Tj!).НГз {rjs), (10) j=min{ifc} где Г[ - число индексов среди ц, .,гт, равных натуральному ji, причем Y^i<s7'i = т и min{ifc} < ji < max{4} при всех I < s. Так что правая часть (10) представляет собой полином степени т от переменных т.^,., rJs с коэффициентами, допускающими универсальную оценку сверху, зависящую только от т.

Однако предметом настоящей работы являются зависимые наблюдения, для которых отмеченное свойство сходимости в среднеквадратичном, вообще говоря, не имеет места.

В первой главе сформулированы условия, обеспечивающие правомерность применения разложения в ряд (8) для зависимых наблюдений, при которых ряд сходится почти наверно относительно совместного распределения вектора наблюдений (Xj1,., Xjm). Этими условиями являются либо некие ограничения на совместное распределение (A'jj,., Xjm). либо определенные условия регулярности ядра и элементов базиса (ej(£)}.

При отсутствии подобных ограничений даже наличие (^-перемешивания последовательности {Xj} не гарантирует корректности применения разложений вида (7) или (8). Такая неточность была допущена в работе [25] (см. также [9]), в которой утверждается, что при т = 2 в случае стационарно связанных наблюдений с ip-перемешиванием без каких-либо ограничений на совместные распределения выполнено следующее: оо

11) к=1 где {А*;} — собственные числа интегрального оператора с симметричным ядром /(ti, to), которые предполагаются суммируемыми, а {т^} - гауссовская последовательность центрированных случайных величин с ковариациями оо

Е ткП = Же^Х^Хг) + £ [Ее^Х^Х^) + Ее, (X1)e/fe(Xi+1)], (12) з=1 где {ek(t)} - собственные функции, отвечающие собственным числам {Л/с} и образующие ортонормированный базис в L2(X, F).

Предложение 2 содержит пример 1-зависимой последовательности и канонического ядра, для которого выполнены все условия утверждения из [25], но слабого предела соответствующей U-статистики не существует.

Во второй главе получены аналогичные предельные теоремы для статистик, построенных по ^-зависимым наблюдениям, что, очевидно, является частным случаем ^-перемешивания. В теоремах 3 и 4 найдены слабые пределы соответственно статистик Мизеса и {/-статистик, построенных по наблюдениям из ^-зависимой последовательности, и показано, что в этом случае можно обойтись без дополнительных ограничений на совместное распределение, упомянутых выше (подробнее см. Гл. I).

Особенность стационарной d-зависимой последовательности состоит в том, что всевозможные вектора (Xj1,., Xjm) можно поделить на конечное число классов одинаково распределенных, а конкретный вектор (Xjx,., Xjm) можно поделить на независимые между собой блоки. Подставив рассматриваемый вектор вместо аргументов ядра f(ti,., tm), можно применить к нему рассуждения о разложении в кратный ряд ядра с независимыми аргументами, только на этот раз роль независимых аргументов будут играть независимые блоки.

Третья глава диссертации посвящена оценкам хвостов распределения U- и V-статистик с ограниченными вырожденными ядрами, заданных на выборках стационарно связанных наблюдений с условием ^-перемешивания. Полученные экспоненциальные неравенства представляют собой естественное обобщение классического неравенства Хёфдинга для хвоста распределения суммы независимых одинаково распределенных ограниченных случайных величин. Метод также основан на представлении вырожденных ядер рассматриваемых статистик в виде кратного ортогонального ряда, что позволяет сводить задачу к более традиционным оценкам для уклонений сумм слабо зависимых случайных величин.

Одной пз первых работ, в которой были получены неравенства интересующего иас типа для независимых {Xj}, является статья В. Хёфдинга [27], несмотря на то, что в ней рассматривались лишь невырожденные [/-статистики. В этом случае в качестве нормирующего множителя берется не п~~т/2, а величина (n — m)\/nl, эквивалентная п~т при п —> оо. В [27] доказано, что

F(U - ЕU >t)< e~2kt2^b-a^, (13) где

U = (n-m)\/n\ J2 ,Xim),

ТП <п < /(ti,. • •, tm) < Ь и к = [n/m]. При m = 1 неравенство (13) принято называть неравенством Хёфдинга для сумм независимых одинаково распределенных ограниченных случайных величин. Отметим, что в этом случае указанная сумма одновременно может рассматриваться как вырожденная или невырожденная [/-статистика.

В [2] получено уточнение (13) для У-статистик в случае, когда вырожденное ядро имеет мажоранту с разделяющимися переменными: f(ti,.,tm)\< Цд(и) i<m где функция g(t) удовлетворяет условию Eg(Xi)k < cr2Lk 2к\/2 для всех к > 2. В этом случае имеет место следующий аналог неравенства Бернштейна: где постоянные С\ и с2 зависят только от т. При этом, как отмечено в [2], неравенство (15) в известном смысле неулучшаемо.

Ясно, что если supt. |/(£i,., tm)\ — В < оо, то в (14) можно положить а = L = В1!™. Поскольку в этом случае нам достаточно рассмотреть в (15) только зону уклонения \t\ < Впт/2 (в противном случае левая часть (15) обращается в ноль), то из (15) при всех t > 0 немедленно следует оценка которая является аналогом неравенства Хёфдинга (13), поскольку F-статистика с ядром f(ti,., tm) = h(ti)h(t2) ■ ■ ■ h(tm), где Eh(Xi) = 0, допускает представление

Стало быть, в этом частном случае неравенство (16) с точностью до постоянных, зависящих от т, совпадает с (13) для уклонений Iх

В [15] доказано близкое к (15) неравенство без условия (14), при этом также приведено в качестве следствия соотношение (16). В [26] получено некоторое усиление (16) для случая т = 2, а в [14] этот результат распространен на канонические U-статистик произвольного порядка.

Говоря о зависимых наблюдениях, стоит упомянуть работу [19], где получено неравенство интересующего нас типа для величины

15)

16)

DPM = (/ \Fn(t) - F(t)\^(dt))1/P, где Fn(t) — эмпирическая функция распределения, построенная по выборке из стационарно связанных наблюдений с маргинальным распределением F. В случае р = 2, fj,(dt) = dF(t) величина п(/л) является статистикой Крамера-фон Мизеса.

В теореме 5 получено распространение неравенства (16) на случай стационарно связанных наблюдений с условием (^-перемешивания. Получить для зависимых наблюдений более точные неравенства, близкие к неравенству Бернштейна (15), в которых бы фигурировала не абсолютная верхняя граница ядра, а его моментные характеристики, пока не удалось.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Нумерация теорем, предложений, замечаний и формул сквозная. Список литературы составлен последовательно по двум алфавитам — русскому и латинскому. Результаты первой и третьей глав диссертации опубликованы в работах [4], [5], а также в [16] и [17]. Они докладывались на семинаре лаборатории теории вероятностей и математической статистики Института математики СО РАН под руководством академика А. А. Боровкова, а также на нескольких международных конференциях.

1. П. Биллингсли. "Сходимость вероятностных мер". — М.: Наука, 1977.

2. И. С. Борисов. "Аппроксимация распределений статистик Мизеса с многомерными ядрами". — Сиб. матем. ж., 1991, т. 32, №4, с. 20-35.

3. И. С. Борисов, А. А. Быстров. "Предельные теоремы для канонических статистик Мизеса, построенных по зависимым наблюдениям". — Сиб. матем. жур., 2006, т.47, №6, с.1205-1217.

4. И. С. Борисов, Н. В. Володько. "Ортогональные ряды и предельные теоремы для канонических U- и У-статистик от стационарно связанных наблюдений". — Матем. Труды, 2008, т. 11, №1, с. 25-48.

5. И. С. Борисов, Н. В. Володько. "Экспоненциальные неравенства для распределений U- и К-статистик от зависимых наблюдений". — Матем. Труды, 2008, т. 11, №2, с. 3-19.

6. И. И. Гихман, А. В. Скороход, М. И. Ядренко. "Теория вероятностей и математическая статистика". — Киев: Вища школа, 1979.

7. И. А. Ибрагимов, Ю. В. Линник. "Независимые и стационарно связанные величины". — М.: Наука, 1965.

8. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. ''Элементы теории функций и функционального анализа". — М.: Наука, 1968.

9. В. С. Королюк, Ю. В. Боровских. "Теория /-статистик". — Киев: Наукова Думка, 1989.

10. А. Н. Тихомиров. "О точности нормальной аппроксимации вероятности попадания в шар сумм слабо зависимых гильбертовозначных случайных величин. I". — Теория вероятн. и ее примен., 1991, т. 36, No.4, с. 699-710.

11. А. Н. Тихомиров. "О точности нормальной аппроксимации вероятности попадания в шар сумм слабо зависимых гнльбертовозначных случайных величин. II". — Теория вероятн. и ее примен., 1993, т. 38, No.l, с. 110-127.

12. С. А. Утев. "Суммы случайных величин с ^-перемешиванием". — Труды института математики СО АН СССР, Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1989, т. 13, с.78-100.

13. А. А. Филиппова "Теорема Мизеса о предельном поведении функционалов от эмпирических функций распределения и ее статистические применения". — Теория вероятностей и ее применения, 1962, т.7, №1, с. 26-60.

14. R. Adamczak. "Moment inequalities for U-statistics". — Ann. Probab., 2006, v.34, №6, p. 2288-2314.

15. M. A. Arcones, E. Gine. "Limit theorems for U-processes". — Ann. Probab., 1993, №3, p. 1494-1542.

16. J. Dedecker, C. Prieur. "New dependence coefficients. Examples and applications to statistics". — Probab. Theor Rel. Fields, 2005, v.132, №2, p.203-236.

17. J. Dedecker, F. Merlevede. "The empirical distribution function for dependent variables: asymptotic and non asymptotic results in Lp" — ESAIM Probability and Statistics, 2007, v.11, p.102-114.

18. H. Dehling, М. S. Taqqu. "The limit behaviour of empirical processes and symmetric statistics". — Bull. Internat. Statist. Inst., 1987, v.52, №4, p. 217-234.

19. H. Dehling, M. S. Taqqu. "The empirical process of some long-range dependent sequen- ces with an application to /-statistics". — Ann. Statist., 1989, v.17, №4, p. 1767-1783.

20. H. Dehling, M. S. Taqqu. "Bivariate symmetric statistics of long-range dependent observations." — Journal of Statistical Planning and Inference, 1991, v.28, №2, p. 263-270.

21. Paul Doukhan. "Mixing : properties and examples". — New York: Springer-Verlag, 1994.

22. E. B. Dynkin, A. Mandelbaum. "Symmetric statistics, Poisson point processes and multiple Wiener integrals". — Ann. Statist., 1983, v.ll, №3, p. 739-745.

23. G. K. Eagleson. "Orthogonal expansions and U-statistics". — Austral. J. Statist., 1979, v.21, №3, p.221-237.

24. E. Gine, R. Latala, J. Zinn. "Exponential and moment inequalities for /-statistics".- High Dimensional Probability II, 2000, Progr. Probab., 47, p. 13-38.

25. W. Hoeffding. "Probability inequalities for sums of bounded random variables". — American Statist. Assoc. J., 1963, v.58, №301, p. 13-30.

26. W. Hoeffding "A class of statistics with asymptotically normal distribution". — Ann. Math. Statist., 1948, v.19, p.293-325.

27. R. Von Mises "On the asymptotic distribution of differentiable statistical functions".Ann. Math. Statist., 1947, v. 18, p.309-348.

28. H. Rubin, R. Vitale. "Asymptotic distribution of symmetric statistics". — Ann. of Statis., 1980, v.8, №1, p. 165-170.