Предельные теоремы в двуграничных задачах для случайных процессов с независимыми приращениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК. РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ИМЕНИ В.И. РОМАНОВСКОГО

0.1

л

' 4! -'; •' " •" На правах рукописи

УДК 519.21

1;

Ходжибаев Вали Рахимджанович

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ В ДВУГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ.

01,01.05-теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ташкент-1998

Работа выполнена в Наманганском индустриально-технологическом институте.

Официальные оппоненты:

член-корр. АН РУз, проф д.ф.-м.н., проф. д.ф.-м.н., проф.

Ш. К. Форманов Т. М. Зупаров С; Г. Фосс

Ведущая организация : Омский Государственный университет.

// — ¡ю

Защита.состоится "ОстеЬрХ 1998 г. в"У4 " час. на заседа-

нии Специализированного Совета Д.015.17.01 при Институте Математики им. В.И. Романовского АН РУз по адресу: 700143, Ташкент-143, ул. Ф. Ходжаева, 29

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Математики им. В.И. Романовского АН Республики Узбекистан

Автореферат разослан "41 "Сё их Я _1998 года.

Учёный секретарь Специализированного Сс канд. физ-мат. наук

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Граничные задачи для случайных процессов занимают важное место в современной теории вероятностей. Это связано с их математической содержательностью и с тем обстоятельством, что они имеют многочисленные применения в разнообразных прикладных областях теории вероятностей (исторически многие граничные задачи возникли в приложениях). Среди всего многообразия граничных задач выделим изучение распределений функционалов от траекторий случайного процесса с независимыми приращениями, связанных с двумя границами, таких как момент первого выхода, положение в момент первого выхода, положение в фиксированный момент времени до выхода из прямолинейной полосы, распределение момента первого достижения уровня процессом с задержкой на некотором уровне, а также изучение распределения осциллирующего случайного процесса.

К подобным постановкам приводит изучение систем массового обслуживания, задачи хранения запасов, задачи последовательного анализа, задачи теории оптимального управления и т.д. Математическое содержание этих задач, как правило, требует привлечения для ¡к решения довольно тонких аналитических методов.

Первые исследования в двуграничных задачах связаны с именами Ла-гранжа, Муавра, Н. Бернулли. В работах этих авторов найдены некоторые характеристики траекторий простейших блужданий в полосе. Оказывается, что нахождение распределений основных граничных функционалов в точном виде удается лишь в немногих частных случаях. В связи с этим на первый план выдвигаются асимптотические исследования граничных функционалов в предположениях, которые допускают асимптотический анализ.

Нахождению асимптотических формул для распределений граничных функционалов посвящены работы многих авторов. В ряде работ получены первые члены асимптотических разложений. Основные результаты здесь принадлежат А.Н.Колмогорову, Н.В.Смирнову, В.Феллеру, Б.В.Гнеденко, А.А.Боровкову, В. С.

-Г 4

Королюку, С. В. Нагаеву, А. А. Могульскому, В. М. Шуренкову и др. Этот вопрос особенно хорошо изучен для блужданий с дискретным временем.

Наряду с исследованием главных членов асимптотики распределений представляет интерес получение полных асимптотических разложений (п. а. р.), рассмотрение более общих схем блуждания по сравнению с классической схемой суммирования независимых одинаково распределенных случайных величин, что требует развития новых подходов.

Для случайных блужданий, порожденных суммами независимых одинаково распределенных случайных величин и одной границей п. а. р. известны из работ A.A. Боровкова (1960,1962), A.A. Боровкова, Б.А. Рогозина(1964). Для таких же блужданий на отрезке п. а. р. граничных функционалов в наиболее общих предположениях найдены в работах В.И. Лотова. П. а. р. для однородных случайных процессов с независимыми приращениями в случае одной границы известны из работы Б.А.Рогозина (1969), в случае с двумя границами в некоторых частных ситуациях из работ Ю.В. Боровских(1979), Н.С.Братийчука(1981).

Цель работы - разработка метода асимптотического анализа в двугра-ничных задачах для случайных процессов с независимыми приращениями, который позволяет

1.находить предельные теоремы и асимптотические разложения, в том числе полные, совместных распределений момента и положения выхода из полосы в широком диапазоне уклонений для однородных процессов с независимыми приращениями и обобщенных процессов восстановления;

2.исследовать асимптотическое поведение распределения и разного рода числовых характеристик момента первого достижения удаляющейся границы траекториями случайного процесса с задержкой на некотором уровне;

3.находить явные выражения и асимптотические представления для распределения в других задачах, связанных с достижением прямолинейных границ (осциллирующие процессы с независимыми приращениями, изучение числа пересечений полосы).

Методика исследований. Исследования состоят из нескольких этапов, которые включают нахождение факторизационных тождеств для двойных преобразований над искомыми распределениями, изучение аналитической структуры участвующих в полученных тождествах функций, нахождение асимптотических представлений для преобразований Лапласа-Стилтьеса рассматриваемых распределений и применение модификаций метода перевала или прямой анализ главных частей асимптотических представлений преобразований для получения п. а. р.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты.

1. Найдены предельные теоремы и п. а. р. совместных распределений момента первого выхода и положения в момент выхода(а также момента выхода и положения в фиксированный момент времени до первого выхода) из интервала для однородных процессов с независимыми приращениями и для обобщенных процессов восстановления в области нормальных и больших уклонений границ. При этом рассмотрены случаи роста двух и одной из двух границ, предложены два разных метода получения указанных предельных теорем.

2. Получены асимптотические разложения для распределен!«! положения однородного процесса с независимыми приращениями в момент первого выхода из полосы и для математического ожидания момента первого выхода.

3. Найдены асимптотические разложения для преобразований Лапласа-Стилтьеса распределения момента первого достижения удаляющейся границы процессом с независимыми приращениями, имеющим задержку на некотором уровне. Найдены также асимптотические разложения для математического ожидания этого момента.

4. Получены точные формулы для двойного преобразования распределения осциллирующего случайного процесса с независимыми приращениями и для преобразования Фурье-Стилтьеса стационарного распределения этого процесса.

5. Найдены точные формулы и асимптотические разложения числа пересечений полосы траекторией однородного процесса с независимыми приращениями. Все полученные в диссертации результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Как упоминалось выше, результаты, полученные в диссертационной работе могут быть использованы в задачах теории массового обслуживания, теории хранения запасов, последовательного анализа, теории оптимального управления и т.д.

Апробация работы .Изложенные в диссертации результаты докладывались на Всесоюзной конференции по теории вероятностей и математической статистике (Фергана, 1983), на первом Всемирном Конгрессе Общества математической статистики и теории вероятностей им. Я. Бернулли (Ташкент, 1986), на Республиканской конференции молодых математиков РУз (Наманган, 1994), на ежегодных научно-теоретических конференциях ТашПИ и НИТИ (Наманган), на семинарах по теории вероятностей и математической статистике Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН (Новосибирск), Института математики АН РУз, на городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике ТашГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах

/1-15/.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, которые в свою очередь делятся на 16 параграф, и списка литературы. Общий объем - 179 страниц. Текст набран и распечатан в формате А МБ ТЕХ. Нумерация параграфов сквозная, номера формул, теорем и др. утверждений состоят из двух чисел, первое из которых указывает на номер параграфа. Список литературы -79 наименований.

Содержание работы.

Пусть с(0, ¡¿0 - однородный случайный процесс с независимыми приращениями (ОСПНП), с, (0)77 0. Выборочные траектории процесса предполагают-:я непрерывными справа. Для произвольных положительных а и Ь введем слу-1айную величину

>авную моменту первого выхода процесса д{г) из интервала [~а,Ь). Полагаем "= со, если £(/) е [-а,Ь) для всех

В первой главе решается задача нахождения полных асимптотических

далее строчные буквы С ( возможно с индексами ) означают положительные >стоянные, не обязательно одни и те же. Отдельно рассматриваются ситуации, гда а-»-со,6->со;а = const, 6 оо и я —> со, b = const. Исследование ушествляется с помощью аналитических методов, которые принято называть кторизационными, так как они связаны с использованием факторизации функ-

и uj{u— !//(Л.)), где '//(Л.) = In £ ехр|л^(1)] . Среди множества подходов

«следованию асимптотики распределений граннчных функционалов в случае ямолинейных границ факторизационнъш метод обладает рядом достоинств, шоляя, в частности, получать п. а. р. распределений для широкого круга задач, том направлении основополагающими являются работы А. А. Боровкова (1960, ¡2), где решена проблема нахождения п. а. р распределений граничных функ-шалов для случайных блужданий, порожденных суммами независимых одина-о распределенных случайных величин, с одной прямолинейной границей. it подход оказался эффективным и при решении ряда других задач. Так с его

T=T{a.b)=inf {t: $(t)e[-a,b)}

для распределений вида

(О

помощью получены л.а.р. в задачах с одной границей для ОСПНП (Б.А.Рогозин, 1969) для некоторых двумерных случайных блужданий (А.А.Боровков, Б.А. Рогозин, 1964). Аналогичная двуграничная задача для случайных блужданий с дискретным временем решалась В.И. Лотовым (1979,1982).

В своих общих чертах метод исследований состоит из нескольких этапов. На первом из них доказываются факторизационные тождества для двойных преобразований Фурье-Стилтьеса над искомыми распределениями. В них устанавливаются функциональная зависимость (зачастую неявная) между этими преобразованиями и компонентами факторизации, в нашем случае, функции

и/[и — 1//(Д)). Второй этап связан, как правило, с детальным изучением аналитической структуры этих компонент, в том числе выяснением расположения их нулей, особенностей, возможностей аналитического продолжения и т.д.

Это позволяет затем (третий этап) асимптотически обратить имеющиеся двойные преобразования над искомыми распределениями по пространственной переменной. Слово "асимптотически" здесь означает, что обращение производится не в точном виде, а с выделением главного члена и оценкой остатка, как правило экспоненциально малого. Этот этап является одним из основных, в результате находятся так называемые асимптотические представления преобразований по переменной, связанной со "временем". На заключительном этапе главные части полученных асимптотических представлений исследуются с помощью модификаций метода перевала.

Эта схема была разработана A.A. Боровковым и применялась во всех упомянутых работах. Все четыре этапа присутствуют и в настоящей работе. В то же время отметим, что аналитические свойства компонент факторизации во всех рассматриваемых ниже ситуациях с достаточной полнотой изучены ранее в работах Б.А. Рогозина (1966,1969) при решении соответствующих однограничных задач. В связи с этим, в нашем случае самостоятельные исследования на втором этапе не проводятся, но в целях облегчения чтения каждый раз излагаются нужные сведения о факторизации и приводятся необходимые ссылки.

\

На протяжении всей работы, кроме §§2,7,14,15 предполагаются выполненными следующие условия крамерского типа:

1. Еехр[/и^(1)| < оо при - оо < < А. < < ооД+ - А. > 0, и

имеет место представление

1|/(Я.) = <х\ + --+ |(с?Ь -¡-Ь)«£(*) (2)

-ю

в котором ОС, со - некоторые вещественные числа,

jx 2dS{x) < оо, s{~ оо) = s(+ оо) = о

Отметим, что для того, чтобы иметь представление (2) в полосе Л_< Re < Л+ для^(Я-) , нужно дополнительно предположить конечность , если Л _Л+ = 0 .

2.

|Еехр{^(1)}|

sRe А.<?14

Это условие является усилением свойства хребтовости функции i/s(â). Эно эквивалентно следующему: при любом достаточно малом s > О существует с> > О такое, что npnjlm Л\ > S, Л_< ReA < Л+

vj/(ReA)>Re\|/(x) + s.

Достаточными условиями, обеспечивающими выполнение условия 2, бу-ут, в частности, неравенство со2 > 0 или наличие абсолютно непрерывной ком-оненты у S (х ).

Обозначим при Re » > О, R е А = О

H{u,D2) = еD2,T> t)dt, D2 с [-a,b),

n(u,D{) = J[°еГшр(ф) eDitT edt), l\ с (-oo,-a)u[b,oo), V(u,X)= t e^H^dx), V_(u,Ä) = r'e^Ilfadx),

J—cn

Факторизационные тождества для V (li, Л), V± (ц X) приведены в §2. Некоторые из них известны из работ Е. А. Печерского (1974). В то же время здесь предложен другой метод получения этих тождеств, имеющий наглядную вероятностную интерпретацию. Заметим, что из полученных факторизационных тождеств в общем случае не удается найти явные выражения для функций

V {и, Л), V+ (и, Л,). Для целей асимптотического анализа распределений не обязательно иметь явные формулы для V (и, Я), Vt (г/, X) или для Я, Н, достаточно ограничится нахождением асимптотических представлений функций Я и Я в окрестности некоторой точки щ (см. ниже) и оценкой их на множестве

Rew = w0,|lm w| > £ > 0. Это удается сделать на основе имеющихся тождеств для У(и,Л),У±(и,Л) , не прибегая к явным выражениям. Получение асимптотических представлений функций Я(м,D^) и H(u,D2) при а —> °о ,6 —> со в некоторой окрестности точки и0 = min у/(Я) составляет содержание § 3 (так как

функция ^(Д) является выпуклой при < Я < Д+ , она достигает минимума в некоторой точке Я0 Я _ < Я0 < Я+ ). При этом на процесс с(/) накладывается одно из следующих условий: А. ¿У2 > 0.

СО

Б. = 0, {|x|flS(x ) < оо, у - а - JxiföXx) Ф О,

jl-jäl -со

Условие Б означает, что случайный процесс ^(t) является процессом с ограниченной вариацией и с ненулевым сносом..

Основная идея состоит в следующем.

С помощью аналитических свойств компонент безгранично делимой факторизации = uj[u — = r+(/.)/; Да) , введенной и изученной Б. А.

Рогозиным (1966, 1969) функции V±(u,X) представляются в виде

V± {и, Л) =-—---——-+ (и, 11 (3)

(Я-Л±(и))ги±(Я)

где Л± (и) - нули функции 2/ —V|/(X), лежащие в некоторой малой окрестности точки Д, , функции g+ (w, Л± (и)) явным образом выражаются через компоненты факторизации, а последние слагаемые в (3) допускают удовлетворительную для наших целей оценку. Таким образом, выделяются главные части в тождествах для V±(u,A) , полученных в § 2. Из этих же соотношений находятся асимптотические представления для V- (и, Л± (и)). Подстановка их в (3) дает представление для V± (ц Л) , и после обращения по переменной Л приходим к нужному результату. Асимптотические представления для V(u, X) сравнительно быстро получаются из асимптотических представлений для У±(г/7Л) . В качестве примера приведем теорему, доказанную в §3.

Теорема 3.1.

Пусть выполняются условия А или Б. Тогда существуют числа е>0, 5>0

такие, что при любых х>0, U £ U£ = \uQ < Re U < UQ + S, |lm u\ < «$j и достаточно больших au b равномерно по и справедливы представления

е"Мв)А(1-Ц ■(«)#,(«)) г ,

Л (и

е

, , ЛЧ - {и)а(\- ^(и)Н2{и)) Я м, (-со,-а - х ) = ;-—г-(и,(-оо,-х)) +

где функции Н1, Н2, Н, , выражаются в явном виде через характеристики распределения £(1) и не зависят от а и Ь.

Из-за отсутствия нулей у функции и—х\)(Х) при Яеи — щ, |1ггш|>£, £•>0 в некоторой полосе Я,0 — 5 < ЯеЯ < Я,0 + б , 5>0, для функций П(и,[х, к>)), х > Ь, П(и,(-<х>,у)), у<-а, удается получить

-(Л„+<!|).г\ -(л0-<>')у\

равномерные оценки порядка С е и и\ е ' соответственно, для

рассматриваемых значение и. Но для последующего контурного интегрирования эти оценки являются не удовлетворительными (в случае дискретного времени эти оценки являются удовлетворительными ,так как контурное интегрирование производится по окружности ограниченной длины). В § 4, который является одним из основных . с точки зрение преодоления технических трудностей, получены равномерные при К С и-Щ, ¡1т > 8 (при некотором 8>0) оценки типа

О

1«Г V

о

у,>0, У2>0 для и

П{и,(соответственно. При этом условия А и Б соответственно заменяются следующими условиями А] и Б,, которые являются их усилениями:

;

V

V

А,, со > О,

со2 А2

\|/(Х.) -ак--

< при Х_ <RqX<X+

не-

котором р>О и некоторой постоянной С.

Б[. Выполняется условие Б, S(x) - функция ограниченной вариации и

\у/2Щ

lim —-— < 1 при Х_ < Rel < А-

Л -»со

^/2(Re Л)

(4)

где ц/2(Х) = je**JS(x)-S(+0) + 5(-0) .

— оо

Условие А, является ограничением на поведение спектральной функции

>(х) в окрестности точки х=0. Например, если |!.г(йй'(х) <со, то условие At

W<i

(ыполняется с р= 1. Отметим также, что из условия (4) вытекает выполнение усло-1ия 2, и наличие абсолютно непрерывной компоненты у S(x) является достаточ-ibm условием для выполнения (4). Приведем теорему из §4, доказанную для

Г7(гф,оо)), х>Ь. Теорема 4.1.

Пусть выполняются условия Ал или Б]. Если СО" =0, у > 0, то дополнительно будем предполагать, что ¡l|i2(A)| < С, |А| ' \ 0</<1, при < Re X <Х+. Тогда при некоторых С > 0, 8>0, у,>0 равномерно по /e{w:Reu=u0, (imwj > s] и х > Ъ

|я(и,[х,оо))| = С?

Соответствующие оценки для H{ii,D{) доказаны в теореме 4.3.

В случае, когда одно из чисел а и b является фиксированным, асимптотический анализ одной из функций V±(u,X) из (3) (в случае er const функция V_ (и, Л.) ,в случае 6=const V + { и, X) ) требует других подходов. Это удается сделать в §5, где получены асимптотические представления и необходимые для дальнейшего оценки для функций 77(w,Z)/) и H(u,D2) в соответствующих областях значений переменной и в случае, когда одна из двух границ фиксирована. Например, в случае tf=const, 6~>сс доказано следующая.

Теорема 5.1.

Пусть выполняются условия А или Б, a=const, 6—>а>. Тогда существуют числа £ > О, 8 >0 такие, что при любых X ~> 0, и G U z равномерно по и справедливы представления ,

к 1 ' " Vh+a{u)H(u) +v 1 " 1 г

Я(м,(-оо,-х-а)) = Е(е-итЛ~а)\хЛ-а) <-а - х) -

Л" V OffMO - я(ц))

1 -JU (u)H(u) v ;

где т_(-а) = inf{i:^(i) < -а}, Х_(-а) = £(г_(-а)),

g(u) = Е(е-"-(~й); г (-а) < со)

Дальнейшая обработка главных частей полученных асимптотических представлений функций П и Не помощью контурного интегрирования проводится в §6.

Здесь известная техника метода перевала приспосабливается для исследования главных частей асимптотических представлений, полученных в §3,5.Главные части асимптотических представлений разлагаются в сумму растущего вместе с t числа слагаемых, к каждому из которых применим модифицированный метод перевала, предложенный А.А.Боровковым (i960, 1962). При этом используются некоторые технические приёмы из работы В.И. Лотова (1979) . В

езультате для a + b = o(t) —» оо, t —> со получено асимптотическое разло-;ение, которое носит предварительный характер, поскольку его коэффициенты редставляют собой суммы растущего вместе с / числа слагаемых. Далее, рас-матривая те или иные конкретные ограничения на скорость разбегания границ а b , получаются искомые п.а.р. Основные результаты собраны в теоремах 6.1-6.8. [ри этом отдельно формулируются п. а. р. вероятностей

Р($(Г) >x+b, Т < О, Р{Щ) <-а~х, Т < О, (х > 0)

и Р(^(Т) Т >/),вслучае, когда ,гь х2 не зависят от t и ко-

та = х2 =C24t в диапазонах уклонений : 1) (а + b) / 4t -> оо,

a + b) = o{t); 2) а-Съ41\ 3) а = ф), b-C4i или Ь = о(а), i-Cjt, min(<3,6) -> со; 4) а= const, Ъ = сЛ или b-const,

Г b а

i = C^lt-, 5)а = const, —> со, b = o(t) или о = const,

\ t \ t

я = o(t) . Приведем в качестве примера некоторые формулировки ( в частично вменённых по сравнению с §6 обозначениях). Некоторые из теорем приводятся з в полном объеме.

Теорема 6.1.

/ ч а + Ь

Пусть Ес,{U ^ 0, а = o{t), b = с(0 , а-> со, 6-> со, —j=- —> со

Z1 —> со и выполняются условия теоремы 4.1. Тогда существуют числа j > 0, 5 2 > 0 тате, что для любого целого q > 1 и X > 0

\

9-1 1

1=1

1 ( ьг\ —¿>, —

V У

/

1 + о

32 (О+Ь)

+ е

«о» ^^ —С-^О^ ^

V V у у

где величины 0\\{хЛ), ^1(0. ^(0 получены в результате подста-

а

Ь

1

новки значении Т

Г ( /

стности нуля функции переменных Т2, Т3

Т з = — б известные аналитические в окре-

/ЛДО = -

2

2

+ 0

\ г )

Дать полное определение этих величин здесь не представляется возможным, поскольку для этого потребуется много новых обозначений. Все это сделано в основном тексте.

Теорема 6.2.

Пусть выполняются условия теоремы 4.1, ЕЕ,(1) ^ 0, ¿=Х2л//, 0<С[ —С2 <°о, 7=1,2. Тогда для любого г/елого и

х >0

Р(%(Т)>Ь + х,Т > 0 = 22рг,+0

Роо=0,

Ч-\ - 1 ОО г ( \\

( Г г V У

(=0 /-=0

|г/0|л/л- J=0

sxl + [ s + — jx2 J exp-^ - .ух, + [ s + —jx2

(5 + l)x, + (5 + — jx, ] x expj - a? (s +l)x, +

2J A) г I ' 1 4*" 2

cxt = -1 !

Алгоритм вычисления коэффициентов p^ определен в основном тексте. Теорема 6.5.

Пусть выполняются условия теоремы 4.1, a=const, b—X24t, > < С, < X 2 <С7 < со , / —> со . Тогда для любого целого х > 0 при t]> 1 и

<7-1 i со г С

P(Z(T) >b + x,T>0 = + 0

i = 0 г = 0

t 2 V )

<?oo=<7io=0

#20 #01

2\u0\JTr

¿exp<

s = 0

aix2\s+2J i +

+ 2«i2^2S[ s + exp - a,2x2j^ + j

■i = 0

при E%{ 1) = 0

q-1 I со r

P&T) >ь+х,т > t) = +о

1 = 0 .5 = 0

f Л

f-г

К У

or,

Я 00

/v(0,[x,«))I>xp j- oc2xx2[s +

2у

Способы вычисления коэффициентов дп, д'п и число р, определены в основном тексте.

В §7 рассматривается задача получения п. а. р. распределений (I) в случае обобщенных процессов восстановления. При этом для простоты предполагается, что процесс целочисленный и обсуждается возможность получения аналогичных результатов в случае, когда распределение скачка процесса содержит абсолютно непрерывную компоненту. Здесь основное внимание уделено получению асимптотических представлений и необходимых для контурного интегрирования оценок интегральных преобразований. Обнаруживается что главные части полученных асимптотических представлений можно привести к виду, совпадающему с точностью до обозначений с аналогичными результатами §3. Поэтому дальнейший асимптотический анализ, ведущий к получению п.а.р. указанных распределений, не приводится и выписываются сразу некоторые из возможных результатов (теоремы 7.3,7.4).

Как упоминалось выше, в ряде случаев получены п. а. р. в граничных задачах для однородных процессов с независимыми приращениями. В случае одной границы (а=оо) в условиях данной работы п. а. р. распределения величены Т найдены в работе Б.А. Рогозина (1969) для весьма широкого диапазона значений Ь. В

области нормальных уклонений границ, т.е. при а = с л ь=с,-Л, I —>• °о в работе Ю.В. Боровских (1979) найдены п. а. р. для распределения момента первого выхода процесса без положительных скачков (т.е. для полунепрерывного процесса) через нижнюю границу^к в работе Н.С.Братийчука (1981) для распределения Т с указанием границы интервала, через которую произошел выход. При этом предполагалось, что положительные скачки процесса распределены как сумма конечного числа независимых показательно распределенных случайных величин. Во всех этих работах на распределение процесса накладываются условия Крамера.

Описываемый в данной работе факторизационный метод получения п.а.р. в двуграничных задачах, основные этапы которого охарактеризованы выше, обес-

печивает значительно бо'лыиие возможности как с точки зрения общности результатов (охватывается более широкий класс случайных процессов), так и по их глубине (п. а. р. в зонах не только нормальных, но и больших уклонений, рассмотрение совместных распределений 7 и ЦТ)). С точки зрения факторизационных методов рассмотренные ранее (в случае двух границ) случайные процессы представляют собой лишь частный случай ситуации, когда компоненты факторизации могут быть найдены в явном виде. Например , если положительные (отрицательные) скачки процесса распределены показательно ,то положительная (отрицательная) компонента рассматриваемой здесь безгранично делимой факторизации является дробно-линейной функцией переменной ¿.(см.гл.ГУ, следствие 14.2 и его доказательство). Как отмечалось выше, наш метод не требует знания явного вида компонент безгранично делимой факторизации.

Во второй главе также проводится асимптотический анализ однородных процессов с независимыми приращениями на конечном интервале. Полученные в §§3,5 асимптотические представления для П(и,0{) позволяют получать здесь асимптотические разложения для распределения случайной величены £(7) (§8) и для ЕТ (§9). В отличие от гл.1, где изучалась асимптотика совместного распределения (4(7), 7), здесь нет необходимости проводить обращение асимптотических представлений для П{и,0\) по переменной, связанной со "временем". Это с одной стороны облегчает работу, с другой позволяет провести более детальное изучение рассматриваемых величин. Рассматриваются случаи £^(1)=0 и Ес(\)<0 (результаты для случая £с(1 )>0 получаются аналогично случаю £с,(1)<0), для каждого из них излагаются результаты в ситуациях а—Ь->°о; а=сопб!, Ь—>щ я—>со, ¿>=сопз1. В случае £4(1 )=0 асимптотические разложения для распределения 4(7) сразу получаются из асимптотических представлений П(и,В2) устремлением и к нулю. А в случае £4(1 )<0 для получения результатов требуется выполнение следующего условия:

Х_<0<1+, у(Я+)>0. (5)

Это условие позволяет исследовать функции П(u,D2) с помощью ее асимптотического представления в окрестности точки и=0. В результате получаются асимптотические разложения по степеням еа, еь для вероятностей Р(£(Т) > b + х), Р(^(Т) <—а-х), х > 0. При этом используется тот факт, что при выполнении условия (5) уравнение v|/(A.)=0 имеет единственное положительное решение д>0 на отрезке , 'к + ]. Результаты § 8 изложены в теоремах 8.1-8.5. Приведем некоторые из них.

Теорема 8.1.

Пусть ££(1)=0, a=const, b—»со и выполняется условие А или Б. Тогда существует такое 5>0, что равномерно по х>0

b+ а + у _ + у + v '

РШ) <-а-х) = р(х- (- а) < -а - х) +

+ М-«)М0,(-"-*)) + ф ч •

Ь + а + у_+у+

Константы у± ,функции F± явным образом выражаются через компоненты факторизации.

Теорема 8.3.

Пусть ££(1)=0, выполняются условие А или Б и (5). Тогда при а—»со, ¿—»со равномерно по х>0

Р(4(Т) >Ь + х,) = ~77-77--Гч— +

iqb(\ -qxq2e-q(b'a])

е

+

+ 0\

где д{ = —

Л_{и)(г;Щ я,о , д2=д-\ги-:(Л))1:«, 6>о.

и = о

В §9 с помощью разложений для распределения £(Г) и тождества Вальда получены асимптотические разложения для ЕТ в указанных выше случаях. Они сформулированы в теоремах 9.1, 9.2. Теорема 9.2.

Пусть , выполняются условие А гаи Б и (5).

Тогда при а—>со, 6—>со

ЕТ

(Щ1))

1 - д,д2е

при а= сог^, ¿?->со г

ЕТ = (Е${ 1))

-1

Ть-а + + д2ас'ф + -у_ц^ечЪ ~

д,д2Ъе-^а) -у&еч(ь*а)) + + 0(сГ&);

-1](Ь+а)

V

Ь + а-у_ +

Г+

\\

+

/

+ 01

(е-м*);

«рг/ Ь= сопб!, а—>да

/тГ ^ ы 1 ^(1-дИщ;гЛ&)<со)) .

+

Разумеется, разложение для ЕТ при b- const, сз-хю имеет смысл, если только q<5. В противном случае из утверждения теоремы 9.2 получаем, что при 6= const, а->оо, ER 1)<0,

ЕТ =Е% + (Ъ)+0{е-Ъа),

Вопрос о выборе числа 5>0 обсуждён в §8.

Асимптотические поведения распределения ¡5(7)и ЕТ для случайных блужданий с дискретным временем ранее изучались в работах В.И. Лотова(1991). В случае когда процесс ф) допускает скачки только в одну сторону, распределение случайной величины ¿(Т) изучалось в работах А.А. Боровкова (1972), B.C. Королюка (1975), Е.А. Печерского, Б.А.Рогозина (1969). Явные представления для преобразования над распределением £(Т) известны из работы Н.С. Братийчука (1985).

В §§10,11 продолжается исследование асимптотики распределения пары (Т, Е{Т)) при Ь+а-+оо. Напомним, что в §§8,9 основное внимание уделялось предельному поведению распределения Е^Т) и ЕТ. Для многих приложений, однако ,важно знать свойства самого распределения случайной величины Т. Исследование именно первой компоненты вектора (Т, ¿¡(7)) сопряжено с наибольшими трудностями. §10 отличается от §§3,5 прежде всего тем, что основное внимание здесь уделяется пределным теоремам и их уточнениям для распределения подходящим образом нормированной случайной величины Т с указанием границы полосы, через которук) произошел выход. Рассмотрены случаи £<( 1 )<0 и Е£{ 1)=0, для каждого из них отдельно изучаются ситуации, когда Ь->оо, а—>-л и a=const, Ь-ж>. Как показывают исследования гл.1, процедура обращения главных частей преобразований Лапласа по переменной, связанной со временем ( IV этап), весьма сложна, и полученные в итоге асимптотические разложения вероятностей достаточно трудны для восприятия. В §§ 10,11 метод перевала не применяется. Производится прямой анализ главных частей преобразований Лапласа распределения Т, полученных в §§ 3,5 в разных ситуациях, что приводит к асимптотическим разложениям при Ь+а-><х> для функций вида

Е(ехр{-иТЬ~2УМ>ь), Е[ехр{-иТ(а+Ьу2};4(Т) < -а)

при Ес[ 1 )=0, и для функций вида

V [ у! а )

\ Т-с0а) , , ^

(7)

для случая Ес(\)<0 при подходящем подборе констант с\,с2. Эти результаты составляют содержание теорем 10.1-10.7. Приведем одну из них. Теорема 10.1.

Пусть Е£Ц 1)=0, Ъ—>оо, а—><х>, а=(3(й+6), ^-фиксированное число и выполняется одно из условий А и Б. Тогда при некоторых £>0, 8>0 равномерно по

~6 и°е = {и: 0 < Иеп < <?,|1ггш| < £,и ^ о} , выполняется соотношение

ми и характеристическими функциями сразу же приводит нас к предельным теоремам для распределений, соответствующих (6) и (7). Однако полученные разложения для (6) и (7) содержат гораздо больше информации: в заключительной части главы II (§11) показано, что при условиях А( или Б] последующие члены в предельных теоремах для распределений могут быт получены почленным обращением отдельных слагаемых в разложениях для преобразований Лапласа;

а

Приведен алгоритм вычисления функций /,(и), /' > 0.

Разумеется теорема о непрерывном соответствии между распределения-

это без труда делается с помощью известных таблиц обратных преобразований Лапласа.

Результаты §§10,11,тем самым , обобщают и усиливают результаты В. С. Королюка, В. Н. Супруна, В.М. Шуренкова (1976), где были доказаны предельные теоремы для преобразований Лапласа-Стилтьеса над распределением Г(без оценки остаточного члена ) для процессов с независимыми приращениями и скачками одного знака. Кроме того, в случае ,когда £^1)^0, этим методом получаются асимптотические разложения для более естественного диапазона значений случайной величины Т по сравнению с тем , что имело место в гл.1. То есть результаты §§10,11 дополняют полученные ранее теоремы о п.а.р. вероятностей (1). Теорема 11.1.

Пусть Е((1)=0, Ь((, а(( , я=((а+Ь) и выполняются условия теоремы 4.1. Тогда для любых 1>0, т>0

Р

( 2 . Л

а /

Т<-г,^Т)<-а =1>,(')а"У + о(а ),

V Р / 7=0

Я" л=1 п

где /*}(0,/=1,2,... -прообразы Лапласа функций Дг<) из'разложения (8). Метод доказательства теорем в §§10,11 позволяет рассматривать также события Т)>Ь + х} и {Е,(Т)<-а-х} соответственно вместо {1^{Т)>Ь} и {(7") <-а}, л->0. Это приведет только к некоторому усложнению определений коэффициентов разложений.

С другой стороны, по мнению автора, результаты §§10,11 могут представлять и методический интерес. Получаемые приведенным методом асимптотические разложения для преобразований Лапласа-Стилтьеса достаточно компактны и алгоритм нахождения любого члена разложения достаточно прост. Громоздкость формул возникает при переходе от преобразований Лапласа к распределениям, однако для каждого слагаемого из разложения это делается обращением к

стандартным таблицам обратных преобразований Лапласа ,что вполне доступно читателю.

Глава III посвящена изучению граничных задач для случайных процессов с задержкой на некотором уровне.

Пусть, по-прежнему Е,(/), t>О -однородный случайных процесс с независимыми приращениями, выборочные траектории которого непрерывны справа, Е,(0)=0. Введем случайный процесс r\(t,a) с задержкой в точке -а, а>0:

r\(t, а) - E(t) -a - m in j-'cr, inf t(s)l.

( ;

При a=0 получим Tj0(/) = "П(Г.О) = £,(/) - inf С (л-) . Процессы такого ти-

s<t

па хорошо известны в теории массового обслуживания, их иногда называют процессами ожидания. Определим случайную величину, равную моменту первого достижения уровня b процессом r)(i,a)-.

9 = Q(a,b) = mi{f,i}(t,a)>b}, 0(0,Ь) = в0(Ь).

Целью исследований в § 12 является получение асимптотических разложений для EQ , при а+Ь—ют, что представляет интерес для задач теории хранения запасов, теории массового обслуживания и др. Здесь также отдельно рассматриваются случаи ££( 1)=0 и 1)<0 (результаты для ££(1)>0 могут быт получены аналогичным способом), для каждого из них приводятся результаты при a=const, 6-»оо; а—>со5 ¿—ют; со, ¿=const. На протяжении главы III, в частности if §12, предполагаются выполненными условие Б и

Vi

-Р(£(0<0)Л<ао. (9)

0 '

Условие (9) эквивалентно тому, что почти всегда выборочные функции процесса £(/) принимают положительные значения в любой окрестности точки р= 0. Его наложение обусловлено тем, что характеристики случайной величины 0 здесь исследуются в тесной связи с распределением случайной величины T0-T(f),b) (лемма 12.1). Если условие (9) не выполняется, то показано, что 7о=0 с вероятно-

стью единица. Приведены некоторые достаточные условия выполнения (9). Здесь условие А исключается ввиду того, что оно с условием (9) несовместимо. Асимптотические разложения для Ев приведены в теоремах 12.1-12.4. В качестве примера приведем одну из них.

Теорема 12.2.

Пусть £Ç(1)=0, выполняются условия Б и (9). Тогда существует такое 5>0, что при a-»«?, b—>оо

Ев(а,Ь) = (££2(1)Гг(/>2 + 2ab + 2b(y_ +у+) +

+ 2 ау+ + 2 у_у+ +e+) + 0(e~Sa) + 0(e-shy

при a=COnst, b-y-a

E6(a,b) = (EÇ2 (1 )Y\EX: (-a) + (2a + 2Г-)Е%Л~а) +

+ (b + a + y_ + y+)2 + yl -y2 +в+-в_) + 0(е~№);

при a—>oo, b=const

Ев(а,Ь) = (E^2 (1))-' (Exl (b) + (2a + 2 y_)EZ+ (b) + 0(e~sb ),

где числа y ±, 0± явным образом выражаются через компоненты факторизации.

Характеристики случайной величины 9 ранее изучались в работах многих авторов. В работе В.С.Королюка (1975) в случае обобщенного пуассоновского процесса с положительными скачками и отрицательным сносом получена предельная теорема для ЕЭ. В работе М.И.Барона (1996) для случая ££(1)<0 в условиях Крамера доказана предельная теорема- для Е9. В этих работах теоремы доказаны без оценки остаточного члена. В работах Г.М.Ахмедовой (1978), Т.И.Насировой, А.В.Скорохода (1978), А.В.Скорохода, Г.М.Ахмедовой (1979) доказаны некоторые тождества (куда неявно входит преобразование 9 ) для двойных преобразований над совместным распределением 6 , г|(0 ). В указанных последними работах условие (9) либо предполагается выполненным или его выпол-

ение обеспечиваются другими условиями. Для случайных блужданий, порождении суммами независимых слагаемых аналогичные результаты при а=0 нзвест-ы из работы В.ИЛотова (1991).

В §13 получены асимптотические разложения для преобразований Лап-1са-Стильтеса нормированной случайной величины 0 (а,Ь), аналогичные раз-жжениям, полученным в § 10 для нормированной случайной величины Т{а,Ь). 1есь также рассмотрены случаи 1 )-0 , Ес( 1 )<0, а для каждого из них случаи ¿-»со; д=сопб1, ¿-»со; д->со, Ь=сош1. Для простоты ограничиваемся только :рвыми двумя членами разложений, хотя применяемый аналитический метод к показано в §10, позволяет получить в рчде случаев любой член разложения, зультаты §13 собраны втеоремах 13.1-13.6. Приведем некоторые из них.

Теорема \ЪЛПусть £с(Г) 0, а=сопз1, выполняются условие Б и (9). То-

а существует число Е>0 такое, что при у{а+Ь) 2 >°о равномер-

но и

£ехр{--и(а + &) 2в{а,Ъ)} - сК

а/2и /(и)

■ +

(7

а + Ъ

+ 0

1

К(а + Ь)2)

где а2 = /)£,(!), функция Ли) определена в ходе доказательства теоре-

Теорема 13.6. Пуст ££,(1)<0, ¿=сопб1, а-»оо, выполняются условие (5),

. Тогда существуют числа 8>0, 5>0 такие, что для любого и, ие

-Ч[Ь+а)

ехр{-ие-ф+а)в{а,Ъ)} = Р(г+ (Ъ) < ад) + (1 - Р(т+(Ь) < °о))

со,

со,

£У[ + и

0)х + и

<й.

-¡г2(и) + (т)ГХи

ае

-да

¿У, 4-и

+ 0{е-ча) + 0(е-5а). число сц и функции ¡¡¡(и), ¡г2(и) явно выражаются через характеристики определения Е(1) и компонент факторизации.

Как показывает теорема 13.6, при 6=соп5(, а—юо в качестве предельного распределения выступает смесь вырожденного в нуле и показательного распределений. В случае £|(1)<0 точность асимптотических формул (теоремы 13.4-13.6) зависит от соотношения между ц и 8. Ясно, что чем больше 5, тем формулы точнее. В лемме 13.1 ив конце параграфа указан способ выбора числа 5. Дальнейший асимптотический анализ, приводящий к разложениям вероятностей, здесь не проводится, поскольку схема действий для этого изложена в § 11.

Непосредственное отношение к результатам §13 имеет работа В.С.Королюка (1975), где в случае обобщенного пуассоновского процесса с положительными скачками и отрицательным сносом получены предельные теоремы (без оценки остаточного члена) для преобразования Лапласа-Стилтьеса случайной величины 0(а, Ъ).

Возможности аналитического метода исследования двуграничных задач, изложенного выше, не исчерпывается исследованием распределений, связанных с первым выходом траекторий случайного процесса из интервала. Примером тому служат рассматриваемые в гл. IV задачи об осциллирующих процессах и о распределении числа пересечений интервала.

Пусть ¿¡¡(¡),(>0, /=0,1,2 независимые однородные случайные процессы с независимыми приращениями, с,(0) == 0, лг1 = £^1(1)<0, Траектории процессов предполагаются непрерывными справа. Пусть Т момент первого выхода процесса 4о(0 из интервала [-а,Ь). Осциллирующий случайный процесс ДО строится следующим образом. ДО совпадает с 4о(0 до момента Т, после чего процесс ДО переключается на 4X0 или ^(0 в зависимости от того, которое из множеств [Ъ,сс) и (-оо,-а) достигнуто. Если достигнуто множество [Ь,со) раньше, чем (-к>,-а\ то при />Г процесс Д/) совпадает с £,(/) до тех пор, пока впервые после Т не будет достигнуто множество (-оо,-а) в некоторый момент времени \ I > Т . Затем в качестве ДО используется процесс <;2(0 до момента т 2 первого после Т,- достижения множества [6, со). В момент ДО опять переключается на процесс 4X0 11 Т-Д- Если же в момент Т достигнуто множество (-да,-

а), то первое переключение происходит в момент Т на процесс £2(0- Дальнейшие переключения на ^(г) и £,2(0 происходят в моментыт,+ , т2 , Tj , т4 поочередных достижений уровней b и -а соответственно. Формальная конструкция этой процедуры приведена в §14, где найдено явное выражение для двойного преобразования над распределением X{t) (теорема 14.1). Приводятся некоторые следствия, которые следуют го основной теоремы 14.1. В частности, при условиях, что процессы £,,(0, ¿.гМ представляют собой процессы с ограниченной вариацией, отрицательные (положительные) скачки процесса t\0) (q2(0) распределены показательно, и первое переключение процесса bjj) происходит только при первом достижении множества (-«¡-а), найдено преобразование Фурье-Стилтьеса стационарного распределения (следствие 14.3). Приведена история данной задачи. Например, аналогичные результаты в случае дискретного времени получены в работе В.И.Лотова (1996), и здесь используется метод этой работы. В §15 доказаны основная теорема 14.1 и ее следствия 14.1-14.3. При этом используются свойства компонент безгранично делимой факторизации из теоремы 2.1.

В заключительном параграфе 16 применением теоремы 2.1 изучается распределение числа пересечений полосы траекторией однородного процесса с независимыми приращениями в том случае, когда число пересечений конечно с вероятностью единица. Распределение числа пересечений уровня (не полосы) достаточно полно исследовалось в теории стационарных гуассовских процессов (Г.Крамер, МЛидбеттер. Стационарные случайные процессы. -М.:Мир,1969), гогда как для однородных процессов с независимыми приращениями данный вопрос мало изучен. Отметим, что в кн. К. Ито, Г. Маккина " Диффузионные процессы и их траектории". (М.:Мир,1968) изучалась асимптотика числа пересечений полосы траекторией броуновского движения , а в кн. A.B. Скорохода "Случайные процессы с независимыми приращениями". (М.: Наука, 1986) выведены некоторые представления для распределения числа пересечений полосы траекторией ОСПНП через распределения других граничных функционалов. В ряде забот (Е.И.Гихман (1958), В.И.Лотов(1989)) изучалось предельное поведение для эаспределения числа пересечений полосы траекториями случайного блуждания,

порожденного суммами независимых одинаково распределенных слагаемых. Здесь, в §16, выведены точные формулы для распределения числа пересечений (теорема 16.1). Однако, прямые вычисления по этим формулам, как правило, затруднены; исключение составляют те немногочисленные процессы, для которых компоненты факторизации находятся в явном виде и при этом оказываются просто устроенными. Среди них -винеровский процесс со сносом, для которого здесь в качестве следствия теоремы 16.1 вычисляется распределение числа пересечений полосы; оно оказывается геометрическим. Далее проводится асимптотический анализ полученных в теореме 16.1 выражений, когда полоса неограниченно расширяется и выполнены условия крамеровского типа. В итоге выделяются главные члены распределения числа пересечений полосы, имеющие весьма простой вид, и оцениваются остатки, которые в условиях теоремы 16.2 оказываются экспоненциально малыми.

Автор выражает глубокую благодарность своим учителям академику A.A. Боровкову и профессору В.И. Лотову за постоянную поддержку и внимание к работе.

Основные публикации автора по теме диссертации. . Лотов В.И.,Ходжибаев В.Р. О вероятности разорения // Известия АН Уз

ССР. 1980, №3. с. 28-34. . Лотов В.И., Ходжибаев В.Р.Об асимптотических разложениях в одной граничной задаче // Сиб.мат.журн..1984.т.25, №5.с.90-98. . Ходжибаев В.Р. Асимптотический анализ распределений в двуграничных задачах для случайных блужданий с непрерывным временем// Предельные теоремы для случайных величин/ Труды ИМ СО АН СССР. т.З, 1984. с.77-93.

Khodjibaev V.R. Asimptotic analysis of distribution in two-boundary problems for continuous-time random walks // Optimization Software, Inc. Publication Division. 1985.P.53-79.

Ходжибаев В.P. Асимптотические разложения в случае роста только одной границы //Вопросы динамики сооружений и надежности машин. Сборник докладов конференции ученых ТМИ, вып.5, Ташкент, 1989, с 17-18. Ходжибаев В.Р. Об одной граничной задаче для случайных процессов с независимыми приращениями. //Труды профессоров- преподавателей и студентов НИТИ, Наманган, 1992, с. 140-141.

Лотов В.И., Ходжибаев В.Р. О числе пересечений полосы для случайных процессов с независимыми приращениями // Предельные теоремы для случайных процессов и их применения/Труды ИМ СО РАН. V.20, 1993. с. 162169.

Lotov V.I., Khodjibaev V.R. On the number of a strip for stochastic processes with independent increments // Siberian Adv. Math.. 1993. V.3, №2. P.145-152. Ходжибаев B.P. Об осциллирующих случайных блужданиях с непрерывным временем //Узбекский матем.журн..1997,3,с.71-81. Khodjibaev V.R. Asymptotic representations for characteristic of exit from an interval for stochastic processes with independent increments // Siberian Adv.Math.,1997. V.7, №3. P.75-86.

11. Лотов В.И., Ходжибаев В.Р. О распределении момента первого достижения для случайного процесса с задержкой в нуле //ДАН РУз. 1998, № 3.

12. Лотов В.И., Ходжибаев В.Р. О предельных теоремах для момента первого выхода случайного процесса из полосы, 1998. 37с.-Препринт/ РАН, Сибирское отделение Институт математики им. С.Л. Соболева; №51.

13. Ходжибаев В.Р. О распределении одного двуграничного функционала . Тезисы докладов научно-технической конференции профессорско-преподовательского состава Таш-ПИ, 1988, с. 16.

14. Ходжибаев В.Р. Распределение числа пересечений полосы для случайных процессов с независимыми приращениями. Тезисы докладов научно-практической конференции НИТИ, 1991, с 27-28.

15. Ходжибаев В.Р. Асимптотический анализ распределения величины перескока . Тезисы докладов Республиканской научной конференции "Новые теоремы молодых математиков-94", Наманган, 1994, с. 80.

Limit Theorems in Two-Boundary Problems for Random

Processes with Independent Increments Some limit theorems have been proved and complete asymptotic expansions for the joint dictribution of the moment and state of the first exit from a band of homogeneous process with independent increments and for the generalized renewal process have been obtained. In this connection normal and large deviations of the boundaries including the cases of growth of one or two boundariws gave been considered. Asymptotic expansoins for the mathematical expectation of the first exit time from an interval of homogeneous process with independent increments, for Laplace-Stiltiws transformation for the first attainment moment of the directing boundary by the process with delay on certain level and for the mathematical expectation of the moment have been found.

Exact formulae for the binary transformation of the distribution of the oscillating process with independent increments and for the Fourier-Stilties transformation of the stationary distribution have also been obtained.

Exact and asymptotic formulae for the distribution of the crossing number of a band by the trajectoties of homogeneous process with independent increments have been derived.

Боглик,сиз орттирмага эга булган тасодифий жараёнлар учун икки чегарали масалаларда лимит теоремалар

Бир жинсли боглик,сиз орттирмага эга булган ва умумлашган тикланиш тасодифий жараёнлари учун интервалдан биринчи марта чик,иш моменти ва к.аралаётган тасодифий жараёнларнинг шу чициш моментидаги холати биргачик-даги так,симоти учун лимит теоремалар исбот килинган, тула асимптотик ёйил-малар топилган. Бунда чегараларнинг нормал ва катта огишлари, иккала чегара ёки факдт битта чегара усиш х,олл ар и каралган. Бир жинсли богликсиз орттирмага эга булган тасодифий жараёнларнинг интервалдан биринчи марта чик,иш моменти математик кутилмаси, маълум чегарадан ута олмайдиган боглик,сиз орттирмага эга булган тасодифий жараёнларнинг узокдашиб борадиган чегарага биринчи марта етиб бориш моментининг Лаплас-Стилтьес алмаштириши ва шу моментнинг математик кутилмаси учун асимптотик ёйилмалар топилган.

Маълум чегараларга етганда так,симотини узгартирадиган боглик,сиз орттирмага эга булган тасодифий жараёнлар таксимоти икки улчовли алмаштириши ва стационар так,симотининг Фурье-Стилтьес алмаштириши учун аник ифо-далар олинган.

Бир жинсли боглик,сиз орттирмага эга булган тасодифий жараёнларнинг ора-лик,ии кесиб утишлар сони таксимоти учун аник, ифодалар ва асимптотик ёйилмалар келтириб чик,арилган.