Представление функций рядами Уолша и коэффициенты сходящихся рядов Уолша тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

^ §

сь российская академия наук

ос:

0 уральское отделение

- -з-

- «v институт математики и механики

На правах рукописи

ЛУКОМСКИИ Сергей Федорович

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ РЯДАМИ УОЛША И КОЭФФИЦИЕНТЫ СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ УОЛША

01.01.01 - Математический анализ

автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

екатеринбург - 1997

Работа выполнена на кафедре математического анализа Саратовского государственного педагогического института им, К.А.Федина

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Защита состоится 18 декабря 1997 г. в 10 часов на заседании Специализированного Совета Д 002.07.02 по присуждению ученой степени доктора физико-математических наук в Институте математики и механики Уральского отделения Российской академии наук по адресу: г. Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, д.16.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

профессор Б.И.Голубов,

доктор физико-математических наук, профессор Е.М.Семенов,

доктор физико-математических наук, профессор Н.Н.Холщевникова.

Ведущая организация: Московский государственный

университет им. М.В.Ломоносова

Автореферат разослан ноября 1997 г.

Ученый секретарь специализированного совета

доктор физико-математических наук

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Функции Уолша появились в работе американского математика Дж.Уолша1 в 1923 г., и в течение длительного периода особого интереса к ним почти не проявляли. Всплеск интереса к рядам Уолша относится к шестидесятым годам, когда выяснились достоинства этой системы в вопросах цифровой обработки информации.

Одними из самых важных вопросов в теории общих ортогональных рядов вообще, и в теории рядов Уолша в частности, являются вопросы представления функций рядами по этой системе и вопросы единственности такого представления. Для однократных рядов здесь сложилась достаточно полная картина. Значительно меньше изучены эти вопросы для кратных рядов Уолша.

Для сходимости почти всюду и по мере можно отметить работы Р.Д.Гецадзе и С.В.Конягина , в которых получены, однако, только отрицательные результаты. Р.Д.Гецадзе доказал, что двойной ряд Фурье-Уолша интегрируемой функции может не сходиться по мере по квадратам 2 , а двойной ряд Фурье-Уолша непрерывной функции может расходиться почти всюду по Принсгейму 3 . С.В.Конягин уточнил результат Р.Д.Гецадзе и доказал 4 , что если для последовательности п(к) одномерные константы Лебега Ln(jt) неограничены в совокупности, то частичные суммы Sn(t)n(jc) двойного ряда Фурье-Уолша некоторой интегрируемой функции не сходятся по мере.

В проблеме единственности кратных рядов Уолша вообще можно отметить только 2 работы: А. Мовсисяна5 и В.А.Скворцова® из которых следует, что счетное множество есть множество единственности для сходимости по Принсгейму.

Таким образом, актуальными задачами теории рядов Уолша являются: нахождение условий на семейство прямоугольников, желательно необходимых и достаточных, при которых кратные ряды Фурье-Уолша сходятся к самой функции по данному семейству прямоугольников в каком либо-смысле (по мере, в среднем, почти всюду), а также наг

'Walsh J.L. //Amcr.J.Math. -1923.-v.45,- Р.5-24.

3Гецвдэе Р.Д.// Сообщ. АН ГССР.-1888..Т.122, N2.-c.234-271.

Гепадэе Р.Д.// Труды МИАН СССР.- 1989.- Т.190.-С.7Б-87.

аГепадзе Р.Д.// Матем: сборник.- 19S5.-128.N2-C.268-286.

*Конягин С.В. // М&те1!.звметкп.-1983.-Т.М. в.4. - с.69-75.

»Мовсиеяп Х.О.// Изв. АН Ары.ССР. Мат.- 137-1.-Т.е.N1.-с.-40- 61.

'Скворцов В.А.// Вести. МГУ. Мат. и мех,- 1973,- N8.-C.77-79.

хождение как можно более широких классов множеств единственности кратных рядов Уолша.

Цель работы. Целью настоящей работы является нахождение условий на семейство прямоугольников, желательно необходимых и достаточных, при которых кратные ряды Фурье-Уолша сходятся к самой функции по данному семейству прямоугольников в каком-либо смысле (по мере, в среднем, почти всюду), а также нахождение как можно более широких классов множеств единственности кратных рядов Уолша.

Общая методика исследования. В работе используются методы теории функций; действительного переменного и функционального анализа.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах автора. Основными результатами являются следующие.

Найдены необходимые и достаточные условия на семейство Ат (т > 1) т - мерных целочисленных векторов п = (п^, тг^2\.... гг^т'), при которых частичные суммы Бп(/.х) Фурье-Уолша-Пэли функции / Е Ь{Вт) или Ь^(Ь)(От) сходятся по мере, в среднем и почти всюду.

Найдены достаточно широкие классы множеств единственности кратных рядов Уолша.

Найдены условия на ''величину'1 множеств единственности рядов Уолша с пропусками и доказана точность найденных оценок.

Найдены условия на '"величину" множества нулевой меры, из сходимости на котором лакунарного ряда Уолта следует принадлежность его коэффициентов пространству 1р{р > 1) или / с весом, и доказана точность полученных оценок.

Приложения. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы в теории общих ортогональных рядов, в теории тригонометрических рядов . а также в тех областях естественных наук, в которых используют разложения функций по системе Уолша.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на Саратовской зимней школе по теории функций и приближе-ний(Саратов, 1982, 1984, 1986, 1988, 1990, 1992,1994,1996), на Всесоюзной конференции по функциональному анализу (Ульяновск. 1982), на Международной конференции по теории приближения функций (Киев. 1983), на Всесоюзной конференции по современным вопросам те-

ории приближений (Баку, 1989), на Всесоюзной школе по функциональному анализу и теории функций (Воронеж, 1991), на Герценов-ских чтениях (Ленинград, 1990, 1991), не Всесоюзной конференции по теории функций и приближений (Одесса, 1991)/ на Математических чтениях, посвященных 100 легшо со дня рождения М;Я.Суслина (Саратов, 1994), на Всероссийской конференции по современным методам теории функций и смежным проблемам прикладной математики и механики (Воронеж, 1995,1997), на Международной конференции по функциональным пространствам, теории приближений и нелинейному анализу, посвященной 90 Летию академика С.М.Никольского (Москва,1995), на международной конференции но теории приближения функций, посвященной памяти проф.П.П.Коровкина (Калуга,1996), на Европейском конгрессе математиков (Будапешт, 1996),на семинарах кафедры теории функций и функционального анализа МГУ под руководством чл.корр. РАН П.Л.Ульянова, профессоров М.К.Потапова, Б.С.Кашина, па семинаре кафедры теории функций и функционального анализа и кафедры математического анализа МГУ под руководством профессоров В.А.Скворцова и Т.П.Лукашенко, на семинаре отдела теории функций МИРАН под руководством профессоров С.Б.Стечкина и С.А.Теляковского. на семинаре кафедры функционального анализа н геометрии Воронежского университета под руководством проф. Е.М.Семенова.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах автора. список которых приведен а конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и 4 глав, разбитых на 15 параграфов. Нумерация параграфов двойная: своя п каждой главе. Нумерация теорем и лемм тройная: своя в каждом параграфе. В автореферате сохранена нумерация определений и теорем, под которой они присутствуют в диссертации. Объем диссертации - 228 страниц текста, подготовленного и напечатанного в системе СЫМ'гНег. Библиография содержит 52 наименования.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведен краткий обзор результатов, связанных с темой диссертации, формулируются цели исследования, обосновывается актуальность исследования, дается краткое описание содержания диссертации.

Глава 1. Сходимость по мере и почти всюду кратных рядов Уолша

Пусть Ц - двоичная группа, элементами которой являются бесконечные последовательности 1 = состоящие из 0 и 1, и и!п(1) - функции Уолша в нумерации Пэли, определенные на Р. Если т > 1,т 6 N. П - (пС'.п'21,-,"4) 6М?'и1 = € Пт , то кратная

система Уолша определяется равенствами

Рассматривается задача в самой общей постановке: пусть дано некоторое семейство Лт (т > 1) т -мерных целочисленных векторов п = (п'1', ..., € Г^д1 и Sn(f,x) - соответствующие частичные суммы Фурье-Уолша-Пэли функции / € Ь(От). Каковы должны быть условия,на семейство Лт, чтобы частичные суммы 5П(/, х) любой функции / £ Ь{От) или Ьф(Ь)(От) сходились к / в каком-либо смысле ( по мере, в среднем или почти всюду) и соответствующая задача для случая, когда Лт - семейство кубов.

Сходимость частичных сумм 5П(/, х) рассматривается при п -Юо и п е Лт (п со О тт(пМ, п^,..., п^) ->■ оо)

Решение этой задачи дается в терминах вариации числа и порядка вложения семейства Лт-

Определение 1.2.1. Пусть п = (е* = 0,1). Число г(п) =

е0 + i -ь ~ с*+1 i называется вариацией числа п.

Лемма 1.2.1. При любом натуральном л имеем ^г(п) < Ьп < и(п).

Определение 1.2.2. Пусть

Л; = {(п^^.п^Н)}» , - счетное семейство векторов вида

с целыми неотрицательными координатами возможно различной длины («! = «1(1/). 52 = М^)) и таких, что при каждом и

п|а)И>пйИ (а = 1.2) (в частности, = возмо}кно, что 51(1/) = вгС^))- Число

¿(4) = 8ир{в':'п£>М > ... > п^Ы > >

'N0 = N

назовем порядком вложения семейства Л^.

Определение 1.2.3. Пусть Л2 = {(п^,п<2))} - счетная совокупность векторов п = 6 Г^. Если

(а = 1.2; > *>> > />>,)

двоичное разложение числа то образуем по нему вектор п М = (к[а\^\...,к[%))

и положим

Л; = (п^.п^).

Число с1(\'2) назовем порядком вложения совокупности векторов Лг и обозначим тоже через ¿(Лг). Выделим отдельно случай, когда п^1' = п'2'.

Определение 1.2.4. Пусть Л - возрастающая последовательность натуральных чисел Л = Лг = {(л,п) : тг € А}. Тогда чис-

ло с?(Лг) (см.опр.1.2.3) будем называть порядком вложения последовательности Л и обозначать тоже через ¿(Л). Т.о., если

ф)=т £ 2' (к2]^(„) > > к2] + ^))

>=1 1=1;,(V)

двоичные разложения п(1>) £ Л, то

¿(А) =5иР{5 : ки{у.) > - > А^М ^ ЧМ > ■•• > к,,(*,)}.

В §1.3 дается полное решение указанной выше задачи для сходимости по мере.

Теорема 1.3.1. [13] Пусть т.г € N,771 > 2,1 <

г < т,

Л = {п} = {(«(1),1(21.....

1)Если

. / 1>(п(Ч)1)(п<21)..л(пИ) \ Итэир шт / / ; —> ' < оо, 1.3.1

П-+О0,

где т|п берется по всем г-элементным подмножествам

к = {Ж), к2,..., fcr}

множества {1,2,..., m}, то частичные суммы £п(/, i) Фурье-Уолша любой функции / t L logr_1 L(Dm) сходятся по мере при п оо, n 6 Л.

2) Если limsup в (1.3.1) равен +оо , то для любой'функшш <р —" o(logrx)(:r +ос) существует / € L^(L)(Dm), для которой частичные суммы Sn(/,t)(n -too^G А) не сходятся по мере.

Таким образом, для сходимости по мере прямоугольных частичных сумм возникает своеобразный " квантовый " эффект: существует конечное семейство пространств (это Llogr_1 L(Dm)), для каждой функции из которых частичные суммы с номерами из соответствующего семейства сходятся по мере.

Замечание 1. Условие (1.3.1) автоматически выполняется для любого семейства при г = т. Поэтому из теоремы 1.3.1 получаем в качестве следствия

Теорему 1.3.2. [13] Для любой функции / 6 L logm_1 L(Dm) ее ряд Фурье-Уолша-Пэли сходится по мере по Принсгейму.

Замечание 2. Отмеченный в теореме 1.3.1 "квантовый" эффект не имеет места для сходимости по кубам.

Применяя теорему 1.3.1 для семейства кубов

Л = {tik = (ni,njt,...,nfc)} С N™, получаем , .

Теорему 1.3.3. [13] Пусть Л — {ru- = (п*, щ,..., гц)} С N™ - семейство кубов.

1.Ec.iu sup u(njt) < +оо. то для любой функции f £ L(Dm) частичгше суммы Sni(f) сходятся по мере.

2.Если supu(n*) = +оо , то для любой tp — o(logx)m~) существует f 6 Lys(L), частичные суммы Snk(f) которой не сходятся по мере.

3.Если supv(njt) = +оо, то для любой фугюции } G Llogm-l(L)(£)m), частичные суммы Sak(f) сходятся по мере.

При доказательстве первой части теоремы 1.3.1 используется следующая одномерная теорема. .

Теорема 1.3.4. Для любого натурального г > 1 и любой / 6 Llogr L(D) при всех т € N справедливо неравенство

jD!ЗД)|(1 + (ь+ \smU)\Y~l)dt < аг fD |/|(i + (in+ |/|)')л + вг, ■

ids Лг и Br -постоянные, зависящие толъко^от г.

В §1.4 при дополнительном предположении равномерной ограниченности вариаций компонент векторов семейства Лт дается необходимое и достаточное условие сходимости почти всюду ряда Фурье- Уолша любой интегрируемой функции для случая размерности т = 2.

Теорема 1.4.3. Пусть Л2 = {п} = {(п(1\ п(2))} С - семейство векторов и зирп6Лз г^п^г^2)) < +оо . Если о?(Лг) < +оо , то частичные суммы 5„(/,х) (п £ Лг) любой функции / € Ь(1)2) сходятся почти всюду.

Теорема 1.4.6. Пусть Л2 = {п} = С N0 удовлетворя-

ет условию зирг)(п'а^) < +ос. Если ¿(Лг) = +оо, то для любой возрастающей функции = о(1о§21) (1 —> +оо), существует функция /(х) € Ь<р(Ь)(£>2), для которой частичные суммы 5„ (/,х) (п <Е Л2) расходятся почти всюду.

В качестве следствия получаем Теорему 1.4.7. Пусть Бири(тг—) < +оо(а = 1,2). Для того, чтобы частичные суммы 5П(/,х) (п е Лг) любой функции f(x) € Ь(£>2) сходились почти всюду необходимо и достаточно, чтобы ¿(Лг) < оо .

В §1.5 результаты предыдущего параграфа переносятся на произвольную размерность т > 2. Для этого в случае т > 2 несколько изменяется определение порядка вложения семейства векторов Лт €

Определение 1.5.1. Пусть т > 2 и А*т ~ {п(1/)} счетное семейство векторов вида!1(1^) = где

и таких, что п[а\1/) > п^}^) (а = 1,2,...,т). Число

- ¿(А;) = 5ир{, : „«(„,) > ... > п^Ы > п£>(*г) > > п,%) > п\%2) > ... > п[«(^);а,/3 = 1,...,т;а ф /3}

назовем порядком влансения семейства Л^

Таким образом, в определении участвуют проекции на всевоз-

можные подпространства размерности 2.

Пусть Лт = {(п^, га'2', - счетная совокупность векторов

п = (п*1), п<2),..., п<т>) е 14™. Если

,[с)кЦ1,-1

«(а)=Е Е 2* (а = 1,2, ..,т)

двоичное разложение числа то образуем по нему вектор ПМ _ /Л") I» и(°) \

II — ,К2 ,...,«2,(а))

и положим = {(п^.п®, ...,пМ)}.

Определение 1.5.2. Пусть т > 2,Лт С N™. Для натурального щ положим Лт(п0) = {п £ Лт : п > По = (по, п0>..., п0)} и пусть Л^(п0) построено по Лт(по) как указано выше. Положим по определению

Нт ¿(Л^п«)).

Теорема 1.Б.2.Пусть Ат = {п} = {(п(1), п(2),..., п(т))} С N5* (т > 2) и 8ирпеЛт < +оо . Если ¿(Лт) < +оо , то частичные

суммы 5п(/,х) (п € Лт) любой функции / 6 Ь(£>т) сходятся п. вс. при 11 —оо.

Теорема 1.5.Ъ.Пустъ Лт = {п} = {(п«, п<2>,..., п^)} с Г^ (т > 2) и зирпеЛт П|ь1 < +оо . Если (1(Ат) = +оо ,то существует

f 6 Ц£т), частичные суммы 5П(/, х) (п 6 Лт) которой расходятся почти всюду при п оо.

Таким образом, условие ¿(Лт) < +оо является необходимым и достаточным для сходимости почти всюду частичных сумм 5П(/, х) (п 6 Лт) любой функции / 6 Ь(1)т) при дополнительном предположении

зир П <

п£Л„¿=1

Если же мы будем рассматривать сходимость не по произвольному семейству прямоугольников, а по семейству кубов, то получаем необходимое и достаточное условие без этого дополнительного предположения.

Теорема 1.5.4.[11]Лустъ т > 2, Л = {гг*} - возрастающая последовательность натуральных чисел и

Лт = {п:п = (п,п.....п)е1Г, пел}.

Для того, чтобы кубические частичные суммы 5п(/, х) (п 6 Лт) любой функции /(х) € Ь(£)т) сходились почти всюду, необходимо и достаточно, чтобы ¿(Л) < +оо.

Из этой теоремы можно получить простое необходимое условие.

Теорема 1.5.5. Если для любой / Е Ь(£т) (т > 2) кубические частичные суммы 5п(/,х) (п = (п,п, ...п),п 6 Л = {п&}) сходятся почти всюду, то существует 7 > 1, такое, что щ > ~ук.

В §1.6 рассматривается сходимость по норме пространства Ь и находится необходимое и достаточное условие для сходимости частичных

сумм Sn(f, х) (п £ Лт) по норме пространства L(Dm). Ответ оказывается почти таким же, как и в случае сходимости по мере: при том же условии на семейство Лт для сходимости по норме L функция / должна принадлежать пространству LlogrL(Dm), т.е. показатель степени у log на 1 больше, чем в случае сходимости по мере.

Теорема 1.6.1. [13] Пусть т, г £ N,m > 2,1 < г < т,

Л = {n} = {(n«, п<2),..., n<m>)} С N™.

1)Если

lim sup min j ' ; ..С.—\ ,, < oo (1.6.1)

где min берется no всем r-элементпым подмножествам

k= {ki, кг,...,к,}

множества. {1,2, ...,m}, то частичные суммы Sn(f,t) Фуръе-Уолша любой функции / £ Llogr L{Dm) сходятся в L при n —> ос, n £ Л .

2) Если lim sup в (1.6.1) равен +эо , то для любой функции tp = o(logr+1 х)(х -4 -Ьоо) существует f € Lip(L)(Dm), для которой частичные суммы Sn{f,t)(n —У ос,Ii £ Л) ме сходятся в L.

Таким образом, для сходимости по норме L прямоугольных частичных сумм также имеет место " квантовый" эффект. В качестве следствия получается

Теорема 1.6.2. [13] 1) Пусть т £ N. Если f £ LlogmL(£>m) то ее ряд Фуръе-Уолша сходится в L(Dm) по Принсгейму. 2) Для любой tp(x) = о(logmx) (ее оо) существует f £ L^(L)(I>m), ряд Фуръе-Уолша которой расходится в L(Dm) по кубам.

Глава 2. Множества единственности кратных рядов Уолша

В работах В.А.Скворпова8 и Х.О. Мовсисяна6 было доказано, что любое счетное множество является множеством единственности кратной системы Уолша для сходимости по Принсгейму, рассматриваемой как на произведении групп Dm ,так и на произведении интервалов [0,l)m(m > 2). В этой главе указаны достаточно широкие классы множеств единственности для кратной системы Уолша в случае сходимости по прямоугольникам. Некоторые результаты получены как для Dm,

'Скворцов В.А. //Вестн. МГУ, Математика и механика,- 1973- N6.-C.77-70.

»Мовсисян Х.О. // Изв. АН Арм.ССР. Математика. - 1974.-T.9.N1.-C.40- 61.

так и для [0,1)т (теоремы 2.2.2 , 2.2.3 и 2.2.4), а некоторые только для произведения интервалов (теорема 2.2.6). В заключение главы строятся множества единственности для сходимости по прямоугольникам, которые не являются множествами единственности для сходимости ни по кубам, ни по сферам.

В §2.1 рассматривается связь между однократным рядом Уолша и т-кратным рядом Уолша. Этот результат используется при построении кратного нуль-ряда для сходимости по кубам. Пусть N0 = £™=1 N0*^

- разбиение множества N0 на т бесконечных дизъюнктных множеств М?) = {п?,}?= о (п?+1) > п*).

Определим функции Хт : N0 Г^™ и фт : В Бт следующим образом: если

*=1 } .

- двоичное разложение числа п £ N0, то положим

Хт(п) = (п«, п<2>,п{т}) € (2.1.1)

где

з

если

' * = №о = {*„<«Ь € А

то положим

где № = = 1,2, ...,т). Пусть также ц - мера в Б , а -

мера в Бт .

Теорема 2.1.1. [6] 1) Отображение фт : Б Бт сохраняет меру; 2) однократный ряд Фуръе-Уолша J2cn(f)wn(t) функции } есть т-кратный ряд Фуръе-Уолша ЕСпС/СФ"1))^^) функции f(ф~1).

В §2.2 доказывается достаточно общая теорема, из которой получаются конкретные классы множеств единственности. Для т - кратного ряда Уолша

£ - £ *<»)=о *<•»>=о

положим для краткости

1 = кр\..., к^у, Ь = (1Я,1(3),£(т)); ю

Sn,h{t,r)= Y, £ Ck,iwk{t)wi{r);

k=0 0<1<L

2n+i_i

■/n.b(i,r)= Z E ск,1Ы*)Ыг) (" = o,i,...);

fc=2" 0<I<L

(неравенство I < L для векторов означает, что соответствующие неравенства выполняются для координат). Если для единообразия положим

п

/- 1,ь(1>г)- И со,тч(т) ,то тогда 5n,L(i,r) = J2 fk,i(t,r). 0<I<L k=-l

Основной результат параграфа есть следующая теорема. Теорема 2.2.2. [7] Пусть U С [0; l)m (т > 2). Обозначим через — /(го) отрезок

t® = iW,iW = 43\...,t<m) = t<r\-

а через Um~i С [0; 1)т-1 - множество тех точек (t^^t®, •■■^сГ^) > для которых множество J(to~) П U более чем счетно. Если Um-y есть множество единственности для (т — 1) - кратного ряда Уолша, то U также есть множество единственности для т - кратного ряда Уолгиа.

Эта теорема является простым следствием следующей леммы. Лемма 2.2.1. [7]Пустъ при фиксированном

t0edm~1 или то € [0;l)m_1 ряд

к 1

сходится к нулю по прямоугольникам при всех t £ D за исключением, быть может, точек счетного множества U С D. Тогда для любого п limx,_+oo fn,L{t,r) = 0 всюду на D.

Для множества вида Е X [0;1) теорема 2.2.2 позволяет получить необходимое и достаточное условие.

Теорема 2.2.3. [7] Пусть Е С [Q;l)m"1 (тп > 2). Множество E x [0; 1) есть множество единственности для тп - кратного ряда Уолша тогда и только тогда, когда Е есть множество единственности для (т — 1) - кратного ряда Уолша.

Очевидным следствием из теоремы 2.2.2 является следующая

Теорема 2.2.4.[7] Пусть ф(№,- не более нем счетно-значная функция и 5 - поверхность в [0; 1)т , заданная уравнением

Тогда Б есть множество единственности т

- кратного ряда Уолгиа.

Теоремы 2.2.2-2.2.4 верны и для произведения групп Однако, теорема 2.2.2 позволяет получить и более интересное условие на поверхность 5, нежели в теореме 2.2.4.

Определение 2.2.1. Непрерывную спрямляемую кривую Ь на плоскости назовем выпуклой, если вместе с любыми тремя ее точками, лежащими на одной прямой, параллельной координатной оси, кривой Ь принадлежит и весь отрезок, содержащий эти точки. Кривую назовем локально выпуклой, если она есть объединение не более чем счетного множества выпуклых кривых.

Определенная таким образом выпуклая кривая не обязательно будет выпуклой в классическом смысле , т.е. частью границы ограниченного выпуклого множества.

Определение 2.2.2. Поверхность Б С [0,1)т (т > 3) назовем выпуклой в узком смысле, если любое ее сечение плоскостями 1,2, ...,т) есть выпуклая в узком смысле поверхность в [0,1)т-1. Под выпуклой в узком смысле поверхностью в [0,1) будем понимать выпуклую кривую в смысле определения 2.2.1.

Определение 2.2.3. Поверхность 5 С [0,1)т (т > 3) назовем выпуклой, если ома есть часть выпуклой в узком смысле поверхности. Поверхность Б С [0; 1)т назовем локально выпуклой, если она есть не более чем счетное объединение выпуклых поверхностей. При т = 2 под поверхностью будем понимать кривую на плоскости.

Теорема 2.2.6. [7] Любая локально выпуклая поверхность Б С [0,1)т (т > 2) есть множество единственности для т - кратного ряда Уол-ша.

Если рассматривать сходимость не по всем прямоугольникам, а по кубам, то полученные в параграфе 2.2 утверждения теряют силу. Доказательство этого и является основной целью параграфа 2.3.

Теорема 2.3.6-2.3.7. ЩСуществует множество Ет С Вт такое, что

1) Е есть множество единственности ш - кратного ряда Уолгиа для сходимости по прямоугольникам.

2) Е не является II - множеством для узкой сходимости ни с каким

коэффициентом 7 > l.10

3) Е не является U - множеством для сходимости по сферам.

Теорема 2.3.1.[9] Пустое множество является множеством единственности т-кратного ряда Уолша (m > 2) для сходимости по кубам.

Глава 3. Множества единственности рядов Уолша с лакунами Хорошо известно 11 , что множество единственности ряда Уолша имеет меру нуль, и, соответственно, множество однозначности 12 имеет полную меру. Если же рассматривать ряд Уолша с пропусками, то ситуация может измениться. Так еще в 1961г. в работе П.Л.Ульянова и С.Б.Стечкина 13 было доказано, что для ряда Радемахера любое множество с мерой больше 1 /2 есть множество однозначности. Более того, для рядов Радемахера существуют множества однозначности нулевой меры меры.14 Эти результаты означают, что " величина" множества однозначности зависит от "величины" пропусков в рядах Уолша. В главе 3 находится такая зависимость.

В параграфе 3.1 доказываются вспомогательные утверждения (теоремы 3.1.4. и З.1.6.), которые имеют и самостоятельный интерес. Самостоятельный интерес представляет, вероятно, и метод их доказательства.

Определение 3.1.1. Пусть Л = ~ возрастающая после-

довательность натуральных чисел. Определим функции Фд : D -f D и m : N —>■ N равенствами

= (3.1.1)

m(fc) = m О 2m < щ < 2т+\ (3.1.2)

Теорема 3.1.4. [5] Пусть Л = {niJ.Ai = {п*}, и

m(k) m'(Jt)

n* = £ 7^2", nî = £ k=0 k=0

'"Кратный рад сходится узко с коэффициентом 7 > 1, если сходятся частичные суммы с номерами (n*1»),^')), ...,n<m>), для которых п<'>)/„0>) < 7.

"Шнейцер А.//Матеи. сборник. -1948.-Т.24.(6в)- с.279-300.

"Множеством однозначности называют дополнение множества, единственности

"Стечкнн С.Б., Ульянов П.Л. //Иав.АН СССР. сер. иатеи.-1991 -Т.26.-С.211-222.

"Couiy J.//Pac.J ofMath.-1973.-vol.45. N2.-p.418-425.

[т(к) и т'[к) определены по последовательностям Л и Ах соответственно с помощью (3.1.2)): "Для того, чтобы ФЛ1(1?) С Фд(-О) необходимо и достаточно, чтобы'для любого натурального к и любой последовательности = 0,1 ) существовала последователь-

ность = 0,1 ) такая, что для всех г < к

Мк) т'(к)

' Е ^2"(тос12). ' • '"

Следствие. Пусть А = {тг^}-, Лх = {п£}, и

"(к) т'(к)

. . пк= Гт'^, п1= Е -у^г".

Если для любой последовательности {£*}~0(£* = 0 1 ) существует последовательность = 0 1 ) такая,что для всех к

то ФА,ф) С ФА(Д).

Теорема 3.1.6. [5] Пусть дана последовательность

т(к)

А = {п*}, щ = Е 7^2", к=0

такая, что множество значений функции т(к) есть множество всех целых неотрицательных чисел. Предположим, что существует последовательность

т(-к)

А! = К}, п'к = £

А=0

такая, что выполняются следующие условия:

1)для любой последовательности {г^}™^^ = 0 1 ) существует последовательность =0 1 ) такая, что для всех к

»/=0 1/=0

2)\1т>;->оо{гп{к) — т*(к)) = +оо .

Тогда система имеет замкнутое множество однозначности

нулевой меры.

В §3.2. получаются необходимые условия для множеств единственности в случае п¡, < Ск и доказывается точность полученных результатов. ■

Теорема 3.2.2. [5] Пусть п* | последовательность натуральных чисел такая, что Пк < Ск{С,к > 1} и Р С О -замкнутое множество. Если Р есть мно&сество однозначности д.гя системы {иП4}, то > 1/С.

Оценка > 1/С, полученная в теореме 3.2.2, является точной. Таким образом, мы видим, что если отношение ^ ограничено, то множество Г, которое есть множество однозначности, имеет положительную меру. Однако, если это отношение неограничено, то множество однозначности может иметь и нулевую меру, Следующая теорема показывает, что последовательность {п*}, для которой система {и.'п,(()} имеет множество однозначности нулевой меры, может расти сколь угодно медленно, лишь бы отношение ^ было неограничено.

Теорема 3.2.3. [5] Для любой возрастающей к +оо последовательности ¿(к) найдется последовательность {л*} такая, что

1) < ф(к) для всех к, начиная с некоторого номера кф,

2) существует замкнутое множество Г С О меры нуль,. которое есть множество однозначности для системы {н>п4(')}-

В §3.3 находятся необходимые условия для множеств единственности в случае степенного роста последовательности {п^} . Необходимые условия на множества единственности в этом случае мы получаем в терминах, близких к размерности Хаусдорфа. Напомним, что размерностью Хаусдорфа называют число

П(Е) = эир{р > 0 : тр(Е) > 0}, где тр(Е) = Нт тГ

и Е — ^ A¡ есть разложение множества Е на конечную или счетную сумму непересекающихся множеств диаметра ¿(Л,) < £.

Выберем р 6 [0; 1] и для множества Е С О определим число

1

где суммирование берется по всем тем ¿, для которых Л Е Ф 0. Определение 3.3.1. Число

Э2(Е) = 5ир{р : тЮ(Е) > 0}

будем называть двоичной размерностью мнаисества Е .

Именно в терминах двоичной размерности и получены необходимые условия для множеств единственности.

Теорема 3.3.1. (5] Пусть пк < Ск (а > Lk > 1) и Е С D. Если Е есть мнсо/сество однозначности для системы {u'nk(i)}, то 1?2(Е) > 1/а.

Полученная для множества Е оценка является точной. Теорема 3.3.2.(5} Да я любого а > 1 существует последовательность {njt} такая, что

1)nk<Cka (С> 0),

2) существует замкнутое множество Fa, которое есть мноясес-тво однозначности для системы {uini(t)} и Ds(Fa) = 1/а.

Указанная выше теорема 3.3.2 означает, что если отношение -г~~7~

in к

ограничено, то можно получить информацию о "величине множества однозначности для системы {tvn>(i)} в терминах двоичной размерности. Если же это отношение неограничено, то такой информации получить нельзя.

Теорема 3.3.3. [5] Для любой последовательности <р(к), монотонно возрастающей к-¡-сю, существует последовательность {п*} такая, что (lnru)/lnfc < ip(k) начиная с некоторого номера ко, и существует множество F, которое есть множество однозначности д.хя системы {u'n,(i)} и д,1я которого Ü2(F) — 0.

В §3.4 результаты, полученные в предыдущем параграфе, переносятся на обший случай, когда nk < f(k). Обозначим через Т .множество функций непрерывных, возрастающих на [1;+сс) и удовлетворяющих условиям:

1) для любых ip,yj £ Т ,

v>(t) v>(t)

либо lim -~r - 0, либо lim - ос. либо lim ~~ — 1. (3.4.А)

<-»ос tp(t) <-♦» il>(t) ' t-»oo p[t)

2) для любых ¡р, ф € Т функции 9-1 и <р о р £ Т. (3.4.В) На множестве Т определим отношение порядка:

= <р = ф& lim = 1;

lp < ф ^ (ip -< ф или <р = и>).

Будем считать, что Т дополнительно удовлетворяет условиям:

АД) Если Т представимо в виде Т = TjUT2, где Ti •< Т2, то существует разделяющий элемент а € Т, т.е. такой, что Tj ^ а ■< Т2.

1С

АА) Для любых а -< в существует такое -у £ Т, что а ■<-) < д.

Теперь па множестве Т можно обычным образом определить ограниченные сверху и снизу множества, а также верхнюю, нижнюю границы множества Г С Т, и, наконец. supFинlfF. В этом случае любое множество ^ С Т, ограниченное сверху, будет иметь в Т точную верхнюю грань, а любое множество F С Т, ограниченное снизу, будет иметь в Т точную нижнюю грань. Аналогично предыдущему для <р £ Т определим понятие двоичной размерности. Если £ Т, то для Е С О положим

тР>(Е) = 1ЫпГ£—I

¡441^1-')'

где снова суммирование берется по тем t, для которых и

число

D{?(E) = sup{V:mW(E)>0)

будем называть обобщенной двоичной размерностью множества Е.

Теорема 3.4.1. Пусть nj. < <p(k),if € Т u Е С D. Если Е есть множество однозначности для системы {u-'nj(£)}.. то Dj\E) V fV7"1 есть функция, обратная к ц> ). Полученная оценка'является точной.

Теорема 3.4.2. Пусть <р £ Т такова, что <p(2t) > 4^(i),у(1) = 2. Тогда существует последовательность {пц} такая, что 1) щ < <p{k),

Sjcyuiecmetjem множество Е с D^\E) = у-1 такое, что Е есть множество однозначности для системы {u'n,(i)}.

Глава 4. Коэффициенты рядов Радемахера, сходящихся на множествах нулевой меры

Хорошо известно что если ряд Радемахера £ Cf.r^t) сходится почти всюду, то

£|c*|J<+00. (4.1)

Если же ряд Радемахера сходится всюду, то

£М<.+оо. (4.2)

Таким образом, поведение ряда Радемахера на множествах нулевой меры существенно влияет на свойства его коэффициентов, и можно

"Качыаж С., Штейншуэ Г. Теория ортогональных рядов.-М.гФизыатгиз, Ш55.

ожидать, что найдутся такие множества нулевой меры, сходимость на которых влечет выполнение свойства, промежуточного между (4.1) и (4.2) . В качестве такого свойства можно выбрать, например, условие

£ 1С*Г < +оо (1 < р < 2) или £ |с*И*) < +СХ5МА;) 4. 0).

Определение 4.1. Л/нансество Е будем называть 5Р мнаясеством для системы функций {/*(0}? если из сходимости ряда

Е'аЛЩ (4.3)

на множестве Е следует сходимость ряда X! |ск|р .

Определение 4.2. Мнскнсество Е будем называть весовым Б множеством с весом для системы функций {/*(')}> если из сходимости ряда (4-3) на мнансестве Е следует < +оо .

Мы докажем существование множеств и весовых 5-множеств для системы Радемахера и для лакунарной тригонометрической системы, получим необходимые условия для них в терминах обобщенной двоичной размерности и покажем точность полученных оценок. •

В первом параграфе доказываются вспомогательные утверждения: леммы 4.1.1-4.1.8.

В §4.2 рассматриваются весовые ¿-множества для системы Радемахера и доказывается их существование.

Теорема 4.2.2. (12] Пусть (р(х)-певозрастающая на [1;+ос) функция такая, что ¥>(я) 4 0 при х +<х;. Пусть, кроме того,

1)х'р7{х) строго возрастает к +ос при г —> +оо ,

2)функиия -у : ху>2(а:) х удовлетворяет условию 7(1 + 1) —((х) «С

Тогда существует множество Е С V нулевой меры такое, что

1) Е есть весовое 3 множество с весом уз,

2) Е не есть весовое 5 мнансество ни с каким весом у?, стремящемся к нулю медленнее чел» у?, т.е. для любой возрастающей к +ос функции х(х) существует ряд Радемахера, сходящийся па Е, но

£1скМ*)х(*) = +ос.

Построенные п теореме 4.2.2 множества имеют меру нуль. Более того. они имеют равную нулю размерность Хаусдорфа и двоичную размерность. Однако, можно получить необходимые условия на весовые 5-множества в терминах обобщенной двоичной размерности.

Обозначим exp2(:r) = 21 и рассмотрим класс Т функций вида схр2 о^го log2t где <р удовлетворяют условиям (3.4.Л) н (3.4.В). Будем.считать также, что функции tp удовлетворяют услошшм теоремы 4.2.2. Очевидно. что семейство Т также удовлетворяет условиям (3.1.Л) и (3.1.В). Определим но семейству Т обобщенную размерность Dy\E).

Теорема 4.2.3. Пусть Е -весовое S-мнажество с весом p(t) где V 7'ог<?а для двоичной размерности D^{E) справедливо нера-

венство Dy\E) У ехр2 оО о log2, где 0(t) = tip2(t).

Полученная в теореме 4.2.3 оценка является точной.

Теорема 4.2.4. Для любой функции ip. удовлетворяющей условиям теоремы J.2.3, существует мнскясество Е, которое есть весовое S-мнсо/сество с весом ip и для которого

Dj\E) = ехр2 ов о log2 с 0(t)=V(O-

В §1.3 рассматриваются S - множества для системы Радемахера.

Определение 4.3.1. Пусть 1 < р < 2. Множество Е С D будем называть Sp: -множеством для системы Радемахера {rjt(f)}. если коэффициенты ск ряда ¡Г Wk(t), 'сходящегося на множестве Е, принадлежат 1Р.

В случае р = 1 оценка для 5) - множеств получается п терминах двоичной размерности, и полученная оценка является точной.

Теорема 4.3.1. Если Е С D есть S] мноокество, то Di{E) > 0.

Теорема 4.3.2.Для любого а £ (0, 1] существует замкнутое Si -множество F С D. для которого Di(F) — а.

В случае р > 1 оценка для 5Р - множеств получается в терминах обобщенной диончиоП размерности, и полученная оценка также является пгпюП.

Теорема 4.3.3. Пусть класс Т состоит из функций вида схр2о-^о logj. где ■■¿(t) = iQ и Е С 1) есть Sp -множество (1 < р < 2). Тогда

У ехр2 о0 о Iog2, где 0(f) = Г?.

'] ак как каждая функция вида exp2ofa olog2 полностью определяется числом а, то для семейства Т = {ехр2 ot° о bg2} вместо D^\E) можно рассматривать D\0^{E) = а.

В этих обозначениях теорему 4.3.3 можно сформулировать и виде Теорема 4.3.3'. Если Е С D есть Sp - множество (1 < р < 2), то

Доg(£) >

Полученная в теореме 4.3.3' оценка является точной. Теорема 4.3.6. Для любого р 6 (1,2) существует Sp -множество Е с Aog(£) = 2=2.

Очевидно, что Sp -множество есть весовое 5-множество с весом <p(t) = 1 /t3 (/? > 1 - i). Обратное неверно.

Теорема 4.3.7. Для любой последовательности <р(п) t +00 существует мнсо/сестео Е, такое, что

1)Е есть весовое S-множество с весом 1/р:

2)\Е\ = 0;

3) Е не есть Sp -множество ни при каком р < 2.

В §4.4 результаты предыдущего параграфа переносятся на тригонометрические ряды с лакунами.

Теорема 4.4.3. [12] Пусть {njt} - возрастающая последовательность натуральных чисел такая, что

1>*М+1 < +оо- (4-4.1)

Пусть далее ф{х)-певоэрастающая на [1:+ос) функция такая, что

1)<?{х) | 0 при х -4 +оо,

2)хср2(х) строго возрастает к +оо при х -4 -foe ,

3) функция •) : xtp2(x) И- х удовлетворяет условию

■у(х + 1) - 7(х) < ч{х)/х.

Тогда существует множество Е С [0; 2] нулевой меры такое, что

1)Е есть весовое S множество с весом iр,

2)Е не есть весовое S мнамсество ни с каким весом, стремящемся к нулю медленнее чем <р.

Теорема 4.4.5. Пусть {щ} - возрастающая последовательность натуральных чисел с условием (4-4-1)- Тогда

1) для любого 1 < р < 2 существует множество Е с мерой li?! = 0, которое есть точное Sp -множество для системы

{cos27mfcX, 5т2тгп*х},

2) для любой последовательности v?(") t +оо существует лможество Е нулевой меры, которое есть весовое S-множество с весом но не есть Sp -множество ни при каком р < 2.

Доказаны также аналоги теорем 4.3.3 и 4.3.6 для системы ip(nx). Результаты диссертации опубликованы в работах автора

1. Лукомский С.Ф. О коэффициентах рядов, сходящихся на множествах нулевой меры // Саратов, СГПИ. 1982.- деп. в ВИНИТИ N4148-82.

2. Лукомский С.Ф. О сходимости рядов Радемахера на множествах нулевой меры //Диффер.уравнения и теория функций.¡Разложение и сходимость. Саратов'.Изд-'во СГУ.-1983- С.30-37.

3. Лукомский С.Ф. О множествах единственности рядов Уолша с лакунами//Теория функций и приближений. Труды 2-й Саратовской зимней школы.24 янв.-о февр. 1984г. Ч.З.-Саратов,1986.с.15-17.

4. Лукомский С.Ф. О Коэффициентах рядов Радемахера, сходящихся на множествах нулевой меры //Труды международной конференции. Киев:Наука.-1987-с.270-271.

о. Лукомский С.Ф. Необходимые условия для множеств единственности рядов Уолша с лакунами. //Матем.сб,- 1987.- т.175. вып.8.-с.469-480.

6. Лукомский С.Ф. Об абсолютной сходимости кратных рядов Уолша // Известия ВУЗов.Математика.- 1988.- N4.- с.34-36.

7. Лукомский С.Ф. О некоторых классах: множеств единственности кратных рядов Уолша . //Матем.сб.- 1989.- т.180. вып.8.- с.957-945.

8. Лукомский С.Ф. О множествах единственности кратных рядов Уолша.//Теория функций и приближений:Труды 4-й Саратовской зимней школы. 25 янв.-5 февр.,1988, ч.З.-Саратов, 1990, с.13-14.

9. Lukomskii S.F. On a U-set for multiple Walsh series //Analysis mathematical 1992,- v.18. N2.-p.127-138.

10. Лукомский С.Ф. О расходимости почти всюду квадратных частичных сумм Фурье-Уолша интегрируемых функций //Матем.заметки.-1994.-t.56. вып.1.- с.57-62.

11. Лукомский С.Ф. Критерий сходимости почти всюду квадратных частичных сумм Фурье-Уолша интегрируемых функций //Матем. сборник. - 1995.-t.186.N7-c.133-147.

12. Лукомский С.Ф. Коэффициенты лакунарных тригонометрических рядов и рядов Радемахера, сходящихся на множествах нулевой меры.// Известия ВУЗов. Математика.- 1995.-N9.-c.37-47.

13. Lukomskii S.F. Convergence of multiple Walsh series in measure and in L. //East journal on approximations.- 1997,- v.3. N3.-p.101-116.

Подписано к печати

Формат 60 х 84/16 Объем 1.25 п.л.

Типография облстатуправлення. 100 экз. Заказ N 3 "Ш