Представления мартингалов и их применение к расчету опционов европейского типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Бояринцева Наталья Сергеевна

Представления мартингалов и их применение к расчету опционов европейского типа

01.01.05 Теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2004

Работа выполнена в Московском Государственном институте электроники и математики

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Хаметов Владимир Минирович.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Печинкин Александр Владимирович доктор физико-математических наук, профессор Шур Михаил Григорьевич

Ведущая организация: Центральный экономико-математический институт РАН

Защита состоится 22 июня 2004 г. в 1С часов на заседании диссертационного совета К 212.133.01 в Московском Государственном институте электроники и математики (109028, Москва, Б.Трехсвятительский пер.3/12)

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке МГИЭМ

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета К 212.133.01 кандидат физико-математических наук, доцент

Л

Хакимуллин Е.Р.

Введение

Актуальность темы. Теорема о представлении мартингалов -одно из важнейших утверждений теории случайных процессов, имеющая приложения в общей теории случайных процессов, в теории стохастического оптимального управления, стохастической финансовой математике, статистике случайных процессов. Наиболее полно эта проблема исследована в работах Ж.Жакода, А.Н.Ширяева, Р.Эллиотта, Р.Ш.Липцера, А.В.Мельникова, С.Н.Волкова.

Общие утверждения, относящиеся к решению проблемы представления мартингалов, изложены в работах Ж.Жакода, А.Н.Ширяева, С.Н.Волкова, Д.О.Крамкова, А.В.Мельникова и др.

В данной диссертационной работе, основываясь на теории оптимального управления случайными последовательностями, решается задача представления ограниченных случайных величии.

Отметим, что подобного рода задачи оптимального стохастического управления рассматривались в работах Д.Бертсекаса. С.Шри-ва, А.Б.Пиуновского, В.М.Хаметова для управляемых марковских последовательностей.

Исследования в области теории оптимального управления стохастическими последовательностями, основанные на использовании уравнения Беллмана, проводились многими авторами. Для управляемых марковских последовательностей при полной иформации были начаты А.Вальдом, С.Карлином, Р.Беллманом, Р.Хорвардом, Д.Блэк-уэллом, Р.Штраухом, Н.В.Крыловым, А.Н.Ширяевым и получили развитие в трудах Ш.Стрибел, Е.Б.Дынкина, А.А.Юшкевича, И.И.Гих-мана, А.В.Скорохода, Д.Бертакаса, С.Шрива.

Цель работы. Нахождение условий существования представлений мартингалов.

Методика исследования. В диссертационной работе применяются методы функционального анализа, общей теории случайных процессов, теории оптимального стохастического управления.

Научная новизна. Основными научными результатами являются: 1) вывод уравнения Беллмана для управляемых в слабом смыс-

ле случайных последовательностей для

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ 3 БИБЛИОТЕКА

¿■драга*!

т

ления с конечным горизонтом и мультипликативным критерием; 2) необходимые и достаточные условия существования оптимальных стратегий; 3) условия существования и единственности (5, т, ^-представления; 4) необходимые и достаточные условия существозания 5-предстазления; 5) условия существозания £— (5,т,Л) и е — в-представлений.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при решении задач теории оптимального управления случайными последовательностями, в общей теории случайных процессов, в стохастической финансовой математике и экономике.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научно-технических конференциях студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ в 2001, в 2003 годах, научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов, посвященной 40-летию МИЭМ в 2002 г., на семинарах кафедры Исследование операций.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 9 печаных работах, список которых содержится в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 55 наименований и содержит 122 страницы.

Содержание работы.

В главе 1 диссертационной работы содерлсатся необходимые для изложения результатов работы сведения из функционального анализа, теории вероятностей и теории случайных процессов. Здесь вводятся также необходимые для изложения обозначения, определения.

Перейдем к краткому изложению результатов главы 2. С точки зрения конечных результатов работы глава 2 носит вспомогательный характер и посвящена решению одной задачи оптимального стохастического управления.

В §1 вводится такой математический объект, как кумулянта. Пусть на стохастическом базисе где

задана случайная последовательность со значениями в Я«. Положим для лю-

бого ь 6 N0 и Р = Известно, что Р»)(6лт0 является семимар-тингалом относительно меры Р. Пусть О - вероятностная мера на (П, Р, (Р^еЛо) фильтрованном пространстве, эквивалентная Р, т.е. ф ~ Р. Множество вероятностных мер О эквивалентных Р обозначим через (5, Р). В дальнейшем меру Р будем называть базовой. Интеграл относительно любой меры О будем обозначать через М®. Пусть 5. 4 (5в1..., вя), ^ (Я..., 5(), М = {1,2,..., ЛГ}. Пусть -у. = {7;},-бЛГ1 и 7( - РД^-измеримая при каждом £ и принимающая значения в (В.л, В (Д^)) называется управлением в момент времени I, а

набор будем называть стратегией. Множество управлений в

момент времени обозначим через и будем писать, что Множество стратегий 7. обозначим через Э». Обозначим через О : х В?***1 х —> Е} измеримую функцию, определяемую соотношением С« («, -7) = 1п М« [ехр {- (7, Д&)} |Рг1 г], где М« (. 1^) - условное математическое ожидание относительно а -алгебры РД. называемую кумулянтой последовательности относитель-

но меры О. В данном параграфе исследуются свойства кумулянты.

§2 посвящен описанию множества допустимых управлений и стратегий, а также в кем содержатся достаточные условия допустимости стратегий.

Определение. Управление у 6 назовем допустимым в момент времени Ь, если |С?(4,5о~1>7<)| < с» Р-п.н. (здесь С} = Р). Через Д (Р) обозначим множество допустимых управлений в момент времени Ь.

Определение. Если ^ € Dt(P) для У( = 1,.ЛГ, то будем говорить, что стратегия 7. - допустимая. Множество допустимых стратегий обозначим через

В этом параграфе установлены достаточные условия допустимости стратегий управления.

Определение. Последовательность (27*, Р/)<6ДГ, где 6 О, (Р),

определяемую рекуррентным соотношением:

будем называть процессом Крамера-Эшера

В этом параграфе также установлены некоторые свойства процесса Крамера-Эшера, например, что он является мартингалом от-

носительно фильтрации (Р^елГо и меры Р.

Определение. Преобразованием Крамера-Эшера меры Рдля любого 7. € И. (Р) называется мера Р7' (Л), где УЛ С такая, что

ру- (л) = мг&и (и).

Установлены условия, при которых Ръ является вероятностной мерой и Р7* ~ Р.

§3 посвящен описанию стохастической управляемой модели. Определение. Будем говорить, что случайная последовательность управляема в слабом смысле, если для любой 7. € -О.(-Р) существует вероятностная мера Р7' ~ Р (где Р - базовая мера), такая, что порождаемые ей условные вероятности Ръ (Д5{ 6 для являются . -измеримыми, а на-

чальные распределения вероятностей Р1' (5о 6 Л) = Р (5о € Л) для (т.е. оно не зависит от В диссертационной работе установлено, что если 7. £ !>.(Р), последовательность управляема в слабом смысле.

Кроме того, в этом параграфе вводится мультипликативный функционал стоимости причем у в качестве

терминальной части выступает измеримый функционал за-

данный на траектории процесса а в качестве профита -

кумулянта, т.е.

Як (&) = ехр {/„ (5.) + £ С (г, ЗГ1, -7<) } .

(1)

Теперь определим оценку стратегии 7. е I). (Р). Определение. Оценкой стратегии 7. € Р. (Р) в момент времени £ 6 N0 относительно меры Р, назовем Р/-измеримую случайную величину, обозначаемую через и определяемую равенством:

I?

(5.,-7.)

ехр {/„ (5.) + ^ О (х, 5Г1, -7,.)| |р*

(2)

Требуется найти такую стратегию 7. 6 И, (Р), чтобы значение средней стоимости было минимальным, т.е.

Здесь также установлено, что для любого t £ Д^: ¡) Р-п.н.

> для любых у оценки стратегии

существует которую обозначим через

У^ и назовем функцией Беллмана, которая является ^-измеримой функцией при каждом

§4 посвящен выводу уравнения Беллмана, соответствующего описанной выше задаче оптимального стохастического управления. Теорема 1. Пусть /лт(<5.) - любая-$змеримая ограниченная величина. Тогда Р-п.н. для любых справедливо равенство

Замечание. (3) - это известное уравнение Беллмана, соответствующее задаче оптимального стохастического управления в слабом смысле случайной последовательностью (£(, с мультипликативным критерием, причем, в отличие от известных постановок: ¡) последовательность не является марковской, п) /лг(5.) -ограниченная -измеримая случайная величина, существенная нижняя грань берется по множеству управлений 7 6 Д+ЦР). Определение. Будем говорить, что фильтрация (У?) является

универсальным пополнением фильтрации если являет-

ся пересечением всех пополнений -алгебры по всем (заданным на (П,^)) конечным мерам. Говорят, что фильтрация универсально полна, если для любых

Решению проблемы разрешимости уравнения (3) посвящен §5. Определение. Будем говорить, что последовательность является сильным решением уравнения (3), если вы-

\ /(бЛо

полняются условия: П для любого * е N0 0 < У,^ < оо Р-п.н.; н) = ехр{/дг (5.)}; »и) подстановка , ^ в (3) обращает (3) в тождество (с точностью до множеств нулевой меры Р). Определение. Будем говорить, что (3) имеет единственное сильное решение, если из того, что (угР\Р^ ^ и Р^ ^ - два сильных решения, причем Цр|(=лг = УьР\1=ы — ехр {/^ (5.)} Р-п.н. следует, что Р-п.н. для любых

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1, а - уни-

версально полна. Тогда сильное ограниченное решение уравнения- (3) существует и единственно.

Если, кроме того, существует положительная константа с > О такая, что для любого £ 6 А^о Р-п.н. выполняется условие

Р - essini exp {G (t, Sj"1, -7)} > с > О,

(4)

то Vf> > О -Р-П.Н. для любого t € Nq.

В §6 определяются оптимальные и е-оптимальные стратегии, строятся: 1) критерий существования оптимальных стратегий, 2) достаточные условия существования e-оптимальных стратегий, 3) достаточные условия допустимости оптимальных и -оптимальных стратегий.

Определение. Пусть е > 0, стратегию £ назовем

e-оптимальной, если < ехр{е}, О-оптимальную стра-

тегию назовем оптимальной.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Пусть уравнение Беллмана имеет единственное положительное решение yin

1) Тогда для существует -оптимальная допустимая стратегия

2) Если tpl 6 D, (Р) - e-оптимальная стратегия, то для Vi > 0

Р-п.н.

= Р - «Й М К' ехР (7. IFtU}.

3) Стратегия 7J € £>.(Р) оптимальна тогда и только тогда, когда процесс exp j G (b-SJ-1^®) J является мартингалом относительно меры Р.

Проверка допустимости оптимальной и -оптимальной стратегий содержится в следующей теореме.

Теорема 4 (проверочная). Пусть - решение уравне-

ния (3) и существуют константы 0 < сг < сг < оо такие, что для

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если для Vs > 0 e-оптимальная стратегия, то и для Vi > 0 Р-п.н. справедливы неравенства:

2) если 7J - оптимальная стратегия, тогда существуют константы 0 < с3 < С4 < оо такие, что для Vi > 0 Р-п.н. сз < ¿exp{G(t,SS-1,-7?)}<C4.

В §7 содержатся достаточные условия оптимальных стратегий, а также свойства множества оптимальных стратегий.

Рассмотрим функцию.Я : N\ xRdxN xRd —> R+, определяемую следующим образом для любых t G Ni и 7 G Rdi

я M'1,- 7)= M

vy)

Wir

wexp{-(7lAS1)}|FtS.1

где - решение уравнения Беллмана (3).

Теорема 5. Пусть - единственное решение уравнения Беллмана (3). Пусть существует - нетривиальная стратегия, такая,

что для любого Р-п.н. выполняются неравенства

Р Д&) > о¡РД^) > 0 и Р Д$) < 0¡Р^) > 0. (5)

Тогда существует - оптимальная стратегия, т.е. для

любого £ 6 N1 Р-п.н. выполняется равенство:

(6)

Определение. Семейство (7, и>)}|бг* называется

7€ЯЗ

-непрерывным в точке 7 € Я**, если для > 0 выполняются

ЩР)

следующие условия:

1) существует последовательность для любых

I > 1. причем: 0 Т;—и) существует ¿о такое, что для любых

Ь&Ый1>1йМ |«(7,«)| + М и>)\ < сю;

2) для любого (>0М ш) - и>)| {—> А.

Если с< (7>а') для V* Т\ (Р)-непрерывна в любой точке 7 £

то & (7, о>) называется ^ (Р)-непрерывиой.

В этом параграфе получены достаточные условия Р^Р^не-прерывности функции

Теорема 6. Пусть уравнение Беллмана (3) имеет единственное ре-

шение, а .Й 7) Р-п.н. выпукла и Т\ (Р)-непрерывна по 7.

9

Пусть для У£ 6 Р-п.н. ^Нш ехр {С (£, ¿о -7)} = оо. Тогда для

\/£ € существует хотя бы одна оптимальная стратегия 7® 6 Д (-Р)-Определение. Семейство случайных величин (с<(7,^), (г, 7) С Т^о х называется ^ч (Р)-дифференцируемым

в точке 7 € Д4 по направлению 7 € если для любого £ 6 ЛГо:

1) АГ1« (7. ««01 + Л* С7 + 67, ь/)| < оо. где V* € (0,1];

2) существует случайная величина, обозначаемая через (7.^) ,7)> такая что

Вт \м (7 + еу,и>) - в(7,0») - е (У7<а (7, и) ,7)! = 0;

е-И> с

3) существует линейный непрерывный оператор ?«7 (7|и) • К1 Я1, его значение на любом элементе 7 6 ■/?' обозначим (7>ш) (7)1 такой, что для любого 7 € Лг Р-п.н. справедливо равенство (7, о»), 7) = С<7 (7^) (7)1 этот оператор будем называть ^х(Р)-производной ^ (7,01) в точке 7.

Семейство (?<(7,а;),(£,7) € N0 X Д^}, .Т7!^-дифференцируемое в любой точке 7 6 Я11 по направлению 7 € Д**, называется ■У7! (Р)-дифференцируемым по направлению 7.

Здесь также получены условия (достаточные), при которых функция Н (£, 5о-1, —7) ^1(Р)-дифференцируема по направлению 7.

Для случая Т\ (Р)-дифференцируемой функции Н (£, -7) дается критерий существования оптимальной стратегии. Теорема 7. Пусть выполнены условия:

1) положительное решение уравнения Беллмана существует и единственно;

2) Я(£,5о-1,-7) для У£ > 0 Р-п.н. - выпуклая, собственная, (Р)-дифференцируемая по 7 6 А (Р).

Оптимальная стратегия 7® 6 А (Р) существует тогда и только тогда, когда Р-п.н. для V* е N1, N/7 € А (Р) выполняется неравенство

(Я7 (£1^0-1,-7?) ,7? - 7) > О ((Н7 ,7 - 7?) < 0) .

Приведем еще один критерий оптимальности стратегий. Теорема 8. Пусть уравнение Беллмана (3) имеет единственное решение

. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) стратегия 7® 6 А (Р) оптимальна;

10

2) существует 7® £ D.(P) такая, что для любого t G N1 P"i> (Р)-п.н. справедливо равенство

= Й* рт \рЦ exp [G (t, -7?)]

= М [VP exp {- (7?, Д5()} К,}) .

Перейдем к изложению основных результатов диссертации, которые составляют содержание главы 3.

В §1 дается описание некоторых множеств вероятностных мер.

(S, Р) = {Q € Vn (S, Р) : существуют положительные константы ex и с2 такие, что MQ [еС11д5'1 |Ft_i] < С2 Q-п.н. для любого t 6 ЛГх}.

"Pn,c (S, Р) = {Q g Vn(S,P) : существуют положительные константы сз и С4 такие, что Q [|Д5(| > i ji^j] < с^е~с*х Q-п.н. для любого t <= iVi}. Показано, что (S, Р) = (S, Р).

Обозначим (5, Р) = {Q € Рлг (5, Р) : D. (Q) ф 0}.

(S,P) = {Q € VKd, (S,P) : MQ |ASt|' < oo для любого teNml = 1,2}

Обозначим Vn,eb,b{P) = {Q € "Pn,d. (S,P) : существует последовательность (v®, ^S)teiV такая, что для любого t 6 Щ: i) Q (Р)-п.н. О < Vi < 00; ii) является единственным решением уравнения

( Ц?! = Q - essinf M« I^J

I < 1 ** теАЮ) l ' J /7)

l ^|t=JV = exp{/w(5.)} ,

где /лг (-5.) - Р$-измеримая ограниченная случайная величина}.

Обозначим также b (Р) = {q в "Рх,ев,ь (Р) : последовательность [V®, F?) такая, что Q-п.н. О < V® < оо для любого \ / f 6ЛГ0

t € N0}.

"P'iP) = {Q G PjV.d. (5,P): существует положительная константа с > 0 такая, что lim exp {Gq (i, 5g-1, —7)} — 00 Q-п.н.

Ц7Ц-400

(P) = {Q € v^eb.b (P) : существует допустимая оптимальная стратегия, т.е. для любого t 6 М Q-п.н. существует 7? € £>.(Q) такая, что

1 = MQ

}?_e-b!ASt) |Fs 1 = Q _ es&inf MQ yPe-b*st) iFs' vft 1 ' 1 т6AW) 1 t_l

ii

§2 посвящен построению (S, m, ^-представления. Определение. Будем говорить, что /^-измеримая случайная величина /лг (St) допускает (S, т, Л)-представление относительно некоторой меры Q G Vn(S, Р), если существвуют: ¡) /^-измеримая случайная величина Xq; ii) d + 1-мерная ¿^-предсказуемая последовательность (7*)teff0', iii) локальный мартингал относительно меры Q; iv) /^-предсказуемая последовательность ^ЛР, 1 имеющая интегрируемую вариацию относительно меры Q, такие, что Q-п.н. справедливо равенство

fN (5.) = Х0 + £ (7;, А5,),+1 + Ä%, (8)

i=l

где ASi - ( д^. )' где А§ = AS~ MQ (Д5< №)» (•' " солярное произведение в Я*1.

Теорема 9. Пусть }n(S,) — люоая F^-измеримая ограниченная случайная величина и Vp^B.b (Р) ^ 0 и 7® 6 D. (Q) - единственная оптимальная стратегия, определяемая соотношением (6). Тогда относительно любой меры Q 6 'Рр^ЕВ.ь (Р) существует единственное (5, т, ./^-представление:

i) Xq — In Q-п.н., где - единственное положительное решение уравнения Беллмана (1) относительно меры Q;

ii) 7t* — 7® = | J* j Q-п.н. для любого t e JVi, причем .

iii) для любого i € iVi Q-п.н. .^-предсказуемый процесс ограниченной вариации Ä? такой, что Q-п.н.

AÄ? = -Mq [AlnVj9!^!]

для любого t 6 N1, причем sup < ln^ Q-п.н.

iv) мартингалы 11 {^i>^t)teNo ~ ортогональные локальные мартингалы, причем Amt = Д In V^ — М® |д In jF^j — -(7t°,ASt).

В §3 установлены условия существования S-представления для F^-измеримых ограниченных случайных величин.

Определение. Вероятностную меру ф € Р), относительно ко-

торой последовательность является локальным мартин-

¿бЛГо

галом, назовем мартингал ьной. Множество мартингальных мер обозначим через Мн (5, Р).

Обозначим МГы'°вв,ь (Р) = Мы (5, Р) П (Р).

Определение. Будем говорить, что -измеримая случайная величина /у (,9.) допускает ¿у-представление относительно ¿-мерной случайной последовательности и меры С} 6 /Ау(ЗуР), если существуют:

а) Хо — .^-измеримая случайная величина; б) Р^-предсказуемая й-

мерная последовательность

такие, что р-п.н. справедливо равенство

Теорема 10. Справедливы следующие утверждения.

1) Пусть 0 - единственная мартингальная мера, причем

, Тогда любая ограниченная -измеримая случайная величина /дг(5») допуска.ет ¿»-представление относительно меры причем Хц = р-п.н., где ^ - единственное силь-

ное решение уравнения Беллмана (1), а 7* = 7® 6 - оптималь-

ная стратегия, определяемая (6).

2) Пусть РЦ

-измеримая ограниченная случайная величина допускает 5-представление относительно некоторой мартингальной меры Тогда С} £ Ь (<5), т.е. существуют:

0 у > Удовлетворяющее уравнению (7) относительно меры

,причем

п) 7* 6 - является оптимальной стратегией.

Теорема

_М. Пусть МТ^ЕВ Ь (Р) ф 0. Любая -измеримая ограниченная случайная величина допускает 5-представление тогда и только тогда, когда V®, Р?^ ^ является мартингалом относительно любой меры

В конце параграфа содержатся примеры применения теорем 10, 11.

В §§5,6 главы 2 мы установили условия существования -оптимальных стратегий. В §2 мы установили существование

13

представления в предположении, что уравнение Беллмана имеет единственное сильное положительное решение и существует оптимальная стратегия -у® € £»(£?), где ф 6 'Рр^Ев,ь(^>)- Из теории оптимального управления случайными последовательностями известно, что как правило, оптимальная стратегия не существует, зато

если уравнение Беллмана имеет решение, то почти всегда существует £-оптимальная стратегия. Поэтому естественно возникает вопрос: можно ли для е-оптимальных стратегий построить представление типа (5, т, А). Ответу на этот вопрос посвящен параграф §4. Определение. Будем говорить, что .^-измеримая ограниченная случайная величина (5.) допускает е— (5,т, Л)-представление относительно последовательности (-й,-^5),^ и меры £ "Рн (5, Р), если для Уе € (0,1] существуют:

-измеримая случайная величина не зависящая от ¡1) ¿-мерная -предсказуемая последовательность (вообще говоря, зависящая от е)

локальный мартингал относительно меры

IV) предсказуемый процесс ограниченной вариации с А(1 = 0 относительно меры такие, что

*о+£ < /м(5.) < Х0+£+ё (9)

где ф\ = ^ |, причем <р\ - е-оптимальное управление в момент

Теорема 12. Пусть Ф Пусть /#(5.) - любая ^-измеримая

ограниченная случайная величина, е <= (О,1] и ^ (Е Тогда

относительно любой меры <5 6 Т%,вв,ь{р) существует е - (3,тп,А)

представление (9), причем:

1) Хо = Q-n.ii., где (уР, - сильное решение уравнения

Беллмана (1);

а) (у^, - допустимая е-оптимальная стратегия, т.е. ^ б

14

такая, что (¿-п.н. для любого t Е N1 справедливы неравенства еЬУМ* [^е-^^')^] >1; ш) для любых £ > О И Ь е N1 <д-П.Н.

- *) < ДА\ - М* [д < ^(М - О,

причем = 0 и для любого £ 6 N1 ф-п.н.

ДА} = [Д 1п /«(5., <р1) ,

где (/^(5., <рс,), Г?) - оценка стратегии <р[ 6 V / 1бЛГо

¿у) (тр,./"1^ ^ и (5», ■Р<5),едГо - ортогональные мартингалы.

В §5 определяется £ — ¿»-представление и устанавливается его существование.

Пусть на стохастическом базисе (С2, Р, (Р^щ, Р) задана й-мерная случайная последовательность (-й»^/)^^» а -^-из-

меримая случайная величина.

4.1. Определение. Будем говорить, что ^-измеримая случайная величина допускает -представление относительно последовательности и некоторой меры ф £ Мл?(5,Р), если для Уе € (0,1] существуют:

предсказуемая (¿-мерная последовательность за-

висящая от £ € (0,1];

И) Хо — ^-измеримая случайная величина, такие, что ф-п.н. справедливы неравенства

+ Г Д50 < }н (5.) < Хо + е + £ , Д5,). 1=1 ¿=1

Обозначим МТ>н,ев,ъ{Р) = Теорема 13. Пусть любое е € (0,1] и МР^ЕВ Ь(Р) ф 0, а /^(5.) -

любая F-измеримая ограниченная случайная величина. Пусть относительно любой меры С} £ МТ^ев ^Р) выполняются условия:

1) <р1щ € О, (ф) - е-оптимальная стратегия момент времени I 6 Л/о;

2) - является мартингалом относительно меры

Тогда существует £ — 5 представление относительно любой меры причем

¡) Хй = 1п V® С}-П.Н., где (уР, Р,5) - решение уравнения Беллмана (1);

и) (<р1 - допустимая е-оптимальная стратегия, т.е. <р£, €

£>. (С}), такая, что С}-п.н. для любых Ь € справедливы неравенства:

1г. 5

> М(3

1

> О— езэтГ Мд

~ 7бА(0)

1Л&

И5-!

= 1,

Далее в диссертации рассматриваются другие представления -измеримых случайных величин. Так в §6 устанавливаются представления для Р^-измеримых случайных величин, основанные на: а) целочисленной случайной мере ц**, построенной по приращениям последовательности ', б) мартингальной целочисленной случайной мере - компенсатор целочисленной меры

и вероятностной меры

ц" относительно потока ^ ( Определение. Для любого Ь £ N1 = — назовем "приращением". Величину (А,и>) = 1{д5,е.л}) где УА 6 В^Я?*), назовем целочисленной случайной мерой приращения Д«?^ где £ > 1.

Пусть /аг — /^-измеримая случайная величина, а =

= М® [//V (<?«) ¡РД], для которого мы будем также использовать обозначение:

= + (10) Из определения целочисленной случайной меры следует, что Q-n.ii.

и° (*, 5*о) = / и° («,+ г) ^ (сЬ,ы). я*

Определение. Будем говорить, что /^-измеримая случайная величина допускает -представление некоторой вероятностной меры если существуют:

1) семейство Г5 ® В (й11)-предсказуемых функций со значениями в

2) -измеримая случайная величина

такие, что О-п.п.

1м (5.) = + £ / ИЪ (*) 4 (¿г, ш).

Теорема 14. Пусть любая (й.)—.^-измеримая ограниченная случайная величина, а - ¿-мерная случайная последовательность. Тогда существует ^-представление, причем: 1) Хц = у9 (0,5о);

Определение. и? {А,ш) = М<* (А,ш) назовем ^-компенса-тором целочисленной случайной меры относительно вероят-

ностной меры р.

Очевидно, что из (10) ф-п.н. следует, что

к*

Определение. Будем говорить, что Р^-измеримая случайная величина/^(5.) д о п у с к а(<^ —н^д став л е н и е, если существуют: 1) семейство Р5 ® В (Я1^-предсказуемых функций со значе-

ниями в

И) -измеримая случайная величина такие, что О-п.н.

/ы (5.) = Хо + £ / т (х) - I/?) (¿X,у).

Следующая теорема устанаваливает существование — и®} представления.

Теорема 15. Пусть выполнены условия теоремы 14. Тогда существует -представление, причем: И) Щз) = и<* (г, 5Г1,5,-х +х),1е ЛГЬ х 6

Отметим, что в данном параграфе /¿^-представление построено с помощью последовательности , являющейся решением уравнения Беллмана (7). Кроме того, установим связь между

-представимостью и результатами §5. Теорема 16. Пусть выполнены условия теоремы 14 и Ь (Р) ф

Тогда справедливы следующие утверждения:

17

.) для любой Q 6 "Рр{,ЕВ,ь (?) справедливо /^-представление ÍN (5.) = lnVe0 + E / N V?'V ~ Ь Л? (dy,cj),

где .= V® (i, SÍ'1, Si-1 + (vjg, Pt5)t€W - решение уравнения

Беллмана (7) с граничным условием ^ = ехр {/// (5.)};

2) для VQ € rpN<EB,b(F) справедливо ^'-представление

Лг (Я) = ln 1$ (S.,<pl) + Е/ (tf, 2/) /<? (¿2/, <"),

<=1Д4

где (St,<pl) - оценка e-оптимальной стратегии <pl €• D.(Q), Ve € (0,1], в момент времени нуль, относительно любой меры Q (Е 'Р^вв.ь (Р> тогда и только тогда, когда для любых t Е Ni и -п.н. выполняется равенство

/ - ln- (tf>3/)] v? (dy,u>) = О,

где I?" (S., rf) 4 I? (SJ-1, St_i + у, tf);

3) если выполнены условия пункта 2) теоремы, то относительно любой меры Q 6 "PN,EB,b справедливы неравенства

< ÍN (5.) < ln V0Q -Нг + £/ ifí, у) (i? {dy, W) Q-п.н.

В §7, на основе вышеприведенных результатов, получены новые условия оптимальности и e-оптимальности стратегий.

Следующее утверждение дает новый критерий оптимальности стратегий.

Предложение 17. Пусть Q 6 MVpj¡Bib (Р) ф 0. Стратегия 7J е относительно любой меры оптимальна тог-

да и только тогда, когда Q-п.н. для любого t € N¡ выполняется равенство

Приведем новые необходимые и достаточные условия £-опти-мальности стратегий.

Предложение 18. Пусть Тр^щ (Р) ф 0. Тогда справедливы утверждения:

1) если для любого £ € N1 ф-п.н. выполняется неравенство

то стратегия <р. € Б. (О) является е-оптимальной для любой £

2) если стратегия у. 6 2). (С?) - оптимальна, то для любой Я £ (Р) и £ 6 Л'1 выполняется неравенство ф-п.н.

Кроме того, в §7 получены условия сходимости по вероятности -оптимальной стратегии к оптимальной стратегии

относительно любой меры В §8 содержится результат применения теорем о представлении к задаче расчета опциона Европейского типа.

Для формулировки основного утверждения введем ряд обозначений и определений.

Пусть - ¿-мерная последовательность, определен-

ная нами в §1 главы 2. Предположим, что она управляется рекуррентным соотношением

где S0 - ¿-мерный вектор, Е = (ítJ) - матрица размера d X d,

Им ÍÍ •<"•*>•

(И)

>teNi,

последовательность случайных матриц размера dxd. (11) описывает эволюцию стоимостиЕразличных активов.

Предположим, что выполняется условие (8): для

>+.0 (Х>\. Л АуГО | С_1 ^ „„„ у. С лг. оМ

VQ 6 7>N?EB,b{Py- i) MQ |50| < 00; ii) для любого £ 6 N0 Stw > 0

Q-п.н., где — г-Я компонента вектора Si, удовлетворяющего (11). Величину Xt' — (71>Si) назовем капиталом в момент времени

t € iVo, где 7. 6 -D. (Q). Очевидно, что XI' - F? -измеримо.

19

Определение. Стратегию 7. € И, назовем самофинансирующей, если для любого £ £ N0 ф-П.н. (Д74,5!_1) = 0. Множество самофинансирующих стратегий обозначим через З'Р'.О. (ф).

Очевидно, если 7, £ вРВ* (С}), то для капитала {Х^*,

справедливо представление <Э-п.н. X?' = Е^ (7,, Д.?,). Величину

ХЦ' - ^-измеримую, называем начальным капиталом,

-измеримую случайную величину /у (5,) называем платежным обязательством с моментом исполнения N.

Задача расчета опциона Европейского типа состоит в построении стратегии (портфеля) и нахождении "минимального" начального капитала ХЦ' таких,что X]/ = /у (5.) ф-П.н. Такой портфель (стратегия) называется хеджирующим. Теорема 19. Если выполнены условия теоремы 10 и условие (5), тогда относительно любой меры справедливы следующие утверждения:

1) стратегия 7® £ БРИ, (С}) существует, является хеджирующей и определяется соотношением (6);

2) ХЦ' = - минимальный начальный капитал, являющийся ¿^-измеримой случайной величиной, где (у®, Р/^ ^ - решение уравнения Беллмана (7);

3)капитал п о р т 7$ @ ля л ю б <Ь £ о/^ н • равен т.е. Х?' Q-п.н. для любого £ £ АГ0.

Необходимо отметить, что в данном случае хеджирующая стратегия является минимальной.

Также в данном параграфе рассматривается 2 примера расчета европейского опциона.

Пример 1 посвящен расчету Европейского опциона на биномиальном {В,Б) рынке, который основан на решении уравнения Беллмана (7). В примере 2 содержится расчет основанного на (5,тп,А) представлении Европейского опциона, когда N — 1, а доход есть случайная величина, принимающая три значения.

Заключение.

На защиту выносятся следующие результаты:

1) Уравнение Беллмана для управляемых случайных последова-

20

тельностей для задачи оптимального управления с конечным горизонтом.

2) Условия разрешимости уравнения Беллмана и существования оптимальных и -оптимальных стратегий.

3) Условия существования (^т,./!) не - (5, т, Л) -представлений для любой ./^-измеримой ограниченной случайной величины.

4) Необходимые и достаточные условия существования 5-представления и £ — ¿¡'-представления, их связь с уравнением Беллмана.

5) Условия существования р1 и — V®-представлений Р^-ичмер-

1. Н.С. Бояринцева. Новая теорема о представлении мартингалов (Дискретное время). Сб. "Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МГИЭМ". Тезисы

. докладов, М., МИЭМ, 2001 г., с.329-331.

2. Н.С. Бояринцева, В.М. Хаметов. Новая теорема о представлении мартингалов (Дискретное время). Математические заметки, N1, 75, 2004 г., с.40-54.

3. Н.С. Бояринцева. Об л-представимости ограниченных функционалов. Сб. "Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов института, посвященная 40-летию МИЭМ". М., МИЭМ, 2002 г., с.17-19.

4. Н.С. Бояринцева. Расчет Европейского опциона. Сб. "Научно-техническая конференция студентов; аспирантов и молодых специалистов МГИЭМ". Тезисы докладов, М., МИЭМ, 2003 г., с.26-27.

5. Н.С. Бояринцева, В.М. Хаметов. Теорема о представлении ограниченных мартингалов (дискретное время). Международная конференция "Колмогоров и современная математика" (Москва, 1621 июня 2003 г.), посвященная 100-летию со дня рождения Андрея Николаевича Колмогорова (25.IV. 1903-20.Х. 1987). Тезисы докладов, 613-614 с.

имых ограниченных случайных величин.

Список опубликованных работ.

6. В.М. Хаметов, Н.С. Бояринцева. Уравнение Беллмана для расчета Европейского опциона. "Математические модели экономики", Сборник научных трудов, М., МИЭМ, 2002 г., с.224-233.

7. Н.С. Бояринцева, В.М. Хаметов. 5-представление мартингалов. "Обозрение прикладной и промышленной математики", М., 2002, т.9, вып.З, с.591-592.

8. В.М. Хаметов, Н.С. Бояринцева. Применение метода динамического программирования к решению некоторых задач стохастической финансовой математики (Дискретное время). Сборник научных трудов сотрудников Московского государственного института электроники и математики. М., МИЭМ, 2002 г., с.97-102.

9. N.S. Boyarintseva, V.M. Khametov. On the representation of martingales (discrete time case). Abstracts of Communications Vilnius, TEV, 8th International Vilnius Conference of Probability Theory and Mathemathical Statistics, June 23-29, 2002, p. 43-44.

Подписано к печати * 30 * 04 2004 г. Отпечатано в типографии МИЭМ. Москва, ул. М. Пионерская, 12 Заказ № 98 . Объем 1>0 п.л. Тираж 80 экз.

чц g

Оглавление

Введение

Глава 1. "Необходимые сведения из функционального анализа, теории вероятностей и теории случайных процессов."

§1. Сведения из функционального анализа.

§2. Сведения из теории вероятностей.

§3. Элементы дискретного стохастического анализа.

Глава 2. "Одна задача управления случайными последовательностями с мультипликативным критерием".

Введение.

§1. Кумулянта и ее свойства.

§2. Допустимые управления и стратегии. Процесс Крамера-Эшера. Преобразование Крамера-Эшера. Свойства кумулянты.

§3. Описание управляемой модели. Оценка стратегии, функция 34 Беллмана.

§4. Вывод уравнения Беллмана.

§5. Разрешимость уравнения Беллмана.

§6. Существование е-оптимальных и оптимальных стратегий. Допустимость оптимальных и е-оптимальных стратегий. Эквивалентные 47 стратегии.

§7. Необходимые и достаточные условия оптимальности стратегий. 55 Заключение по главе 2.

Глава 3. "Представление ^-измеримых случайных величин и свойства оптимальных стратегий".

Введение.

§1. Описание множеств эквивалентных вероятностных мер, связанных с уравнением Беллмана.

§2. (5, ш, Л)-представление ^-измеримых ограниченных случайных 71 величин.

§3. ¿"-представимость ^-измеримых ограниченных случайных 76 величин.

§4. е — (5, га, Л)-представимость ^-измеримых ограниченных случай- 86 ных величин.

§5. е — ^-представление ^-измеримых ограниченных случайных ве- 91 личин.

§6. (/¿5) и (/г5 — I/5)-представление ^-измеримых ограниченных случайных величин.

§7. Условия оптимальности и ^-оптимальности стратегий.

§8. Расчет опциона Европейского типа.

1.Теоремы о представлении мартингалов являются одними из важнейших утверждений в теории случайных процессов, имеющие приложения в общей теории случайных процессов [20,24,51,10], в теории стохастического оптимального управления [40,46,54], стохастической финансовой математике [22,27,37,10], статистике случайных процессов [23].

Данная диссертация посвящена построению нескольких видов представлений мартингалов и функционалов, заданных на траекториях случайных последовательностей.

2.Перейдем к обзору результатов, относящихся к теореме о представлении мартингалов и функционалов, заданных на траекториях случайных последовательностей.

В работах [42,20,24,51] содержится фундаментальная теорема об интегральном представлении мартингалов в виде стохастических интегралов. В них показано, что любой локальный мартингал, согласованный с фильтрацией, порожденной непрерывным справа семимартингалом, допускает интегральное представление тогда и только тогда, когда вероятностная мера, заданная на траекториях указанного выше семимартингала является крайней. В работах [52,20,22] содержится критерий 8-представимости для локальных мартингалов, в том числе в том числе и для дискретного времени.

В работах [42,50,13] в предположении, что процесс (£",), является семимартингалом относительно меры Р, причем относительно некоторого класса вероятностных мер <2~Р он (процесс (£Дг0) является локальным мартингалом, был построен критерий Б-представимости. з

В работах [47,49,53,13,21] построено, так называемое, опциональное разложение [47,49,53,13,21], которое является обобщением известного разложения Дуба-Мейера.

В работе [37], в предположении, что допускает представление и 5, =5,., (1 + /?,), Б, ,0 = 50, где р, последовательность бернуллиевских случайных величин, такая, что Мр, = 0, была доказана теорема о £ -представлении для дискретного времени.

Подробный обзор результатов, связанных с теоремами о представлении мартингалов можно найти в [37,10].

3. В диссертации для построения различных представлений для ограниченных функционалов /(£.), заданных на траекториях последовательности (З,),^ применяется теория оптимального стохастического управления случайными последовательностями с мультипликативным критерием (¿у) > 0, у которого \пЯ.ы(о)) представим в виде суммы терминальной части, представляющей собой ограниченный измеримый функционал Л (5.) заданный на траекториях процесса (5,) , и профита представляющего собой кумулянту, построенную по последовательности (Б,)^ относительно некоторой меры Q. В связи с этим перейдем к обзору основных результатов теории оптимального управления стохастическими последовательностями.

В настоящее время существует два подхода в теории оптимального управления случайными последовательностями. Первый подход - его можно назвать стохастическим вариантом принципа максимума Понтрягина, подробно изложенный в [1], в которой были получены необходимые условия существования оптимальных стратегий для случайных последовательностей порождаемые рекуррентными соотношениями в форме принципа максимума.

Второй подход основан на методе динамического программирования [43,14,11,15,19,25,34,35]. Впервые метод динамического программирования для решения задачи статистического последовательного анализа , был применен А. Вальдом [11], Ширяевым А.Н. [38]. Для решения задач оптимального управления случайными последовательностями метод динамического программирования применен в работах Блекуэлла [43,44], Ховарда [35], X. Майн, С. Осаки [25]. Эти результаты были обобщены на случай «общих» управляемых случайных последовательностей в работах Ш. Стрибел [55], Е.Б. Дынкина, А.А.Юшкевича [19], И.И. Гихмана, A.B. Скорохода [14]. Современное изложение теории оптимальных стохастических управлений случайными последовательностями содержится в книге Д. Бертсекаса, С. Шрива [2]. Развиваемый в диссертации подход близок к работе В.М. Хаметова, А.Б. Пиуновского [34]. В работе [39] рассмотрена задача оптимального управления семимартингалами.

Отметим, также, что подход, используемый в диссертационной работе к решению задач представления мартингалов с дискретным временем, основанный на теории оптимального управления случайными последовательностями ранее не был использован другими авторами.

4.Перейдем к краткому изложению работы.

В главе 1 приведены необходимые сведения из функционального анализа, теории вероятностей и теории случайных процессов.

Глава 2 носит вспомогательный характер с точки зрения конечных результатов и посвящена решению одной специально подобранной задачи оптимального управления случайной последовательностью с мультипликативным критерием. Вводятся необходимые объекты для описания этой задачи и анализируются их свойства. Приводится описание множества допустимых управлений и стратегий, а также достаточные условия допустимости стратегий. Для задачи оптимального управления определяется функция Беллмана, устанавливаются некоторые ее свойства, выводится соответствующее уравнение Беллмана и условия его разрешимости, а также условия существования е -оптимальной стратегии, допустимости оптимальной и е -оптимальной стратегий.

В главе 3 решается задача построения нескольких видов представлений для измеримых ограниченных величин. Так в §2 построено (Я, т,А) представление /^-измеримых ограниченных величин. В §3 получены необходимые и достаточные условия для существования 8-представления. В §§4,5 устанавливается так называемые (8,т,А) и е- (5, т,А) -представления и е-Б-представления. §6 посвящен построению // и (// -v0)-представлений. В § 7 получены новые условия оптимальности стратегий. §8 содержит применение результатов §§ 2-6 для решения задачи опциона Европейского типа.

Основными научными результатами работы являются: 1) уравнение Беллмана и его вывод, 2) достаточные условия разрешимости уравнения Беллмана, 3) достаточные условия существования е -оптимальной стратегии, 4) необходимые и достаточные условия существования оптимальных стратегий, б

5) оценки для оптимальных управлений, 6) достаточные условия существования №,т,А) и е- (5, т,А) -представлений для измеримых ограниченных величин, 7) необходимые и достаточные условия 5-представимости ^-измеримых ограниченных величин, 8) связь уравнения Беллмана и 5*,//и {/лБ--представлений для ^ -измеримых ограниченных величин.

Заключение.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Уравнение Беллмана (2.12) и его вывод (теорема 12).

2. Достаточные условия разрешимости уравнения Беллмана (2.12) (теорема 2.15).

3. Достаточные условия существования е-оптимальных стратегий (теорема 2.18).

4. Необходимые и достаточные условия существования оптимальных стратегий (теоремы 2.16, 2.20-2.23, 2.25).

5. Априорные оценки значений оптимальных и ^-оптимальных управлений (теорема 3.24).

6. Достаточные условия существования (5, т, А) и е — (5,т, А)-пред-ставлений для Р^-измеримых ограниченных случайных величин (теоремы 3.6, 3.10, 3.11).

7. Необходимые и достаточные условия ¿"-представимости .^-измеримых ограниченных случайных величин (теорема 3.8).

8. Связь уравнения Беллмана (2.12) и 5, /х5 и /г5 — ^^-представления для Р^-измеримых ограниченных случайных величин (теоремы 3.7, 3.18, 3.19).

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю профессору Хаметову В.М. за постановку задачи, постоянное внимание и интерес к данной работе.

Список основных обозначений.

1) Д1 = Я1 и {оо} - расширенная прямая;

2) 0 - пустое множество;

3) = [0, оо);

4) - множество неотрицательных натуральных чисел;

5) знак = означает "по определению";

6) х £ А - х - элемент множества А;

7) К1 - ¿-мерное евклидово пространство, элементы которого х = (а^1),. вектора, где х^ - г-ая компонента вектора ж; д й

Обозначим (ж, у) = х^у^ - скалярное произведение, где х,у £ В? г=1

8) Пусть я £ Е1 через \х\ = у £ (з^)2 и 1М1л<* = М;

9) V - квантор общности (для всех);

10) АС В множество А является частью множества В\

11) А и В (А П В) - объединение (пересечение) множеств А и В]

12) АСХ f{A) = {f(x):xeA}■

13) пусть В С У, тогда /"1 (В) = {х £ X : / (х) £ В};

14) пусть £> С X, Ь (я) = <

15) 4 т и{о}.

1, хеИ - индикатор множества V: 0, х 0 £>

1. В.И.Аркин, И.В.Евстигнеев. Вероятностные модели управления и экономической динамики. М., Наука, 1979, 176с.

2. Д.Бертсекас, С.Шрив. Стохастическое оптимальное управление. М., Наука, 1985, 280с.

3. А.А.Боровков. Теория вероятностей. М., Наука, 1986, 432с.

4. Н.С. Бояринцева. Новая теорема о представлении мартингалов (Дискретное время). Сб. "Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МГИЭМ". Тезисы докладов, М., МИЭМ, 2001 г., с.329-331.

5. Н.С. Бояринцева, В.М. Хаметов. Новая теорема о представлении мартингалов (Дискретное время). Математические заметки, N1, 75, 2004 г., с.40-54

6. Н.С. Бояринцева. Об ¿-представимости ограниченных функционалов. Сб. "Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов института, посвященная 40-летию МИЭМ". М., МИЭМ, 2002 г., с.17-19.

7. Н.С. Бояринцева. Расчет Европейского опциона. Сб. "Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МГИЭМ". Тезисы докладов, М., МИЭМ, 2003 г., с.26-27.

8. Н.С. Бояринцева, В.М. Хаметов. 5-представление мартингалов. "Обозрение прикладной и промышленной математики", М., 2002, т.9, вып.З, с.591-592.

9. А.В.Булинский, А.Н.Ширяев. Теория случайных процессов. М., Физ-матлит, 2003, 400с.

10. А.Вальд. Последовательный анализ. М., Физматлит, 1961,328с.

11. А.Д.Венцель. Предельные теоремы о больших уклонениях для марковских случайных процессов. М., Наука, 1986, 176с.

12. С.Н.Волков, Д.О.Крамков. О методологии хеджирования опционов. Обозрение прикладной и промышленной математики, т.4, N1, с.18-65

13. И.И.Гихман, А.В.Скороход. Управляемые случайные процессы. Киев, Наукове думка, 1977, 251с.

14. М.Де Гроот. Оптимальные статистические решения. М., Мир, 1974, 491с.

15. М.Гусман. Дифференцирование интегралов в Rn. М., Мир, 1978, 200с.

16. Н.Данфорд, Дж.Т.Шварц. Линейные операторы. М., ИЛ, 1962, 895с.

17. Е.Б.Дынкин, И.В.Евстигнеев. Регулярные условные математические ожидания соответствий. Теория вероятностей и ее применение, 1976, t.XXI, N2, с.334-346.

18. Е.Б.Дынкин, А.А.Юшкевич. Управляемые марковские процессы и их приложения. М., Наука, 1975, 338с.

19. Ж.Жакод, А.Н.Ширяев. Предельные теоремы для случайных процессов. Т.1,2. М., Физматлит, 1994 (Перевод с английского J.Jacod, A.N.Shiryaev. Limit theorems for stochastic processes. Berln, SpringerVerlag, 1987.)

20. Д.О.Крамков. О замыкании семейства мартигальных мер и опциональном разложении семимартингалов. Теория вероятности и ее применение. 1996, т.41, в.4, с.892-896.

21. Р.Ш.Липцер. О представлении локальных мартингалов. Теория вероятности и ее применение, т.21, N4, 1976, с.718-726.

22. Р.Ш.Липцер, А.Н.Ширяев. Статистика случайных процессов. М., Наука, 1974, 696с.

23. Р.Ш.Липцер, А.Н.Ширяев. Теория мартингалов. М., Наука, 1986, 512с.

24. Х.Майн, С.Осаки. Марковские процессы принятия решений. М., Наука, 1977, 176с.

25. А.В.Мельников. Финансовые рынки, стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. Научное издательство Москва, ТВП, 1997, 126с.

26. А.В.Мельников, С.Н.Волков, М.М.Нечаев. Математика финансовых обязательств. М., ГУВШЭ, 2001, 260с.

27. В.В.Петров. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М., Наука, 1987, 317с.

28. А.Б.Пиуновский, В.М.Хаметов. Новые точно решаемые примеры для управляемых цепей Маркова с дискретным временем. Кибернетика, 1991, N3, с.82-90.

29. А.Б.Пиуновский. Оптимальное управление случайными последовательностями в задачах с ограничениями. М., РФФИ, 1996, 304с.

30. Р.Рокафеллар. Выпуклый анализ. М.,Мир, 1973, 469с.

31. В.M. Хаметов, H.С. Бояринцева. Уравнение Беллмана для расчета Европейского опциона. "Математические модели экономики", Сборник научных трудов, М., МИЭМ, 2002 г., с.224-233.

32. В.М.Хаметов, А.Б.Пиуновский. Оптимальное управление скачкообразными случайными процессами. М., МИЭМ, 1987, 80с.

33. Р.Ховард. Динамическое программирование и марковские процессы. М., Советское радио, 1964, 189с.

34. А.Н.Ширяев. Вероятность. М., Наука, 1980, 574с.

35. А.Н.Ширяев. Основы стохастической финансовой математики. Теория. т.2, М., Фазис, 1998, 544с.

36. А.Н.Ширяев. Статистический последовательный анализ. М., Наука, 1976, 271с.

37. А.Н.Ширяев, Ю.М.Кабанов, Д.О.Крамков, А.В.Мельников. Теория расчетов опционов Европейского и американского типа. I. Дискретное время. Теория вероятности и ее применение, т.39, N1, 1994, с.23-79.

38. Р.Эллиотт. Стохастический анализ и его приложения. М., Мир, 1986, 351с.

39. А.А.Юшкевич, Р.Я.Читашвили. Управляемые случайные последовательности и цепи Маркова. Успехи математических наук. М., N6, 1982, т.37, с.213-242.

40. J.P.Ansel, С.Stricker. Couverture des actifs contingents. Ann. Inst. H.Pointeare, 1994, V30, N2, p.303-315

41. D.Blackwell. Discrete dynamic programming. AMS, 1962, N36, p.226-235

42. D.Blackwell. Positive dynamic programming. Proc. 5th Berkley Symp. Math. Statist. Probability, N1, University of California Press, 1967, p.415-418.

43. R.Chitashvili. Martingale ideology in the Theory of Controlled Stochastic Processess. Lecture Notes in Mathematics, Vol.1021, Springer, Berlin, p.73-92.

44. F.Delbaen, W.Schachermayer. A compactness principle for bounded sequences of martingales with applications. Preprint, 1996.

45. El Karoui N., Quenez M.C. Dynamic programming and pricing of contingent claims in an incomplete market. SIAM J. Control Optim., 1995, v.33, N1, p.29-66.

46. H.Fôllmer, Yu.M.Kabanov. On the optional decompostion problem and the Lagrange multipliers. Preprint, 1995.

47. S.D.Jacka. A martingale representation result and an application to incomplete financial markets. Math. Finance, 1992, V.2, N4, p.239-250

48. J.Jacod. Calculus stochastique et problems de martingales. Lecture Notes in Mathematics, v.714, 1979, p.539.

49. J.Jacod, A.N.Shiryaev. Local martingales and the fundamental asset pricing theorems in the discrete-time case. Finance and Stochastics, 1998.

50. D.O.Kramkov. Optional decomposition of supermartingales and hedging contingent claims in incomplete security markets. Probab. Theory Relat. Fields, 1996, V.105, p.459-479.

51. M.Mania. A general problem of an optimal equivalent change of measure and contingent claim pricing in an incomplete market. Stochastic Processes and their applications, 90 (2000),p.19-42.

52. C.Striebel. Optimal control of discrete time stochastic systems. Lecture Notes in Economics and Math. Systems, 110, Springer-Verlag: Berlin-Heidelberg-New-York, 1975,p.208.