Представления многообразия решений и граничные задачи для некоторых вырождающихся систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ШАСТЕРСШ) ВКСЗГО Н СЩЩЕГО ощшшшга ОБРАЗОВАНИЯ ЭДдашЯ ССР

/ Таджикский государственный уннсврснге? им. В.И. Ленина

/

<

Специализированный сопйт К 055.01.02

На правах рукописи УД1{ 517.956.226

РАДЙАВОВА Лутфия Нусратовна •

. 1ВДСТАШШЯ Ш0Г00ЕРАЗИЯ РЕШЕНИЙ И ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ВЫРОЩДВДХСЯ СИСТЕМ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения и математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Дуианбе - 1988

Работа бшмлнэш в Тадгшсско« государственном университете им. В.И. Ленина ,

Научный руководитель

доктор физШЕо-Ьйтематических наук, профессор А. 11.ШШАУСКАС

Официольныз ошошш

ат физико-математических нау)

к;

Ведущая оргаш'ЛЕгрш

Новосибирский государственный университет -

»30 » июня

1988 р„ в

Заздта состоится _ ___ _ ____

час. на аегсдЕкти социализированного совета К 065.01.1

в Тадаикскои государственной университете км.В.Н,Лен|И!а (734016;, Дусаибо, вроспэкт Ленина 17, зал Ученого Со юта),

С диссертецизй моано ознакомиться в библиотеке ТГУ юл, В. И„ Данина.

Автореферат разослан " /о " £¿¿$¿1 1Э88- г

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математичес- /

ких наук О.Х.ХОСАШЮВ

'дтнсг

,ОБШДЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

тд9.

хертац! : . _

""актуальность теш. Вырождающиеся дифференциальные' уравнения систомы являются одним из важных современных разделов теории {«фференциальшх уравнений с частными производными. К рассмотрена' таких уравнений приводят многие задачи из газовой динамики еормв упругости я других разделов математической физики.В свя-а с этим интерес к исследованию таких уравнений возник давно.

Фундаментальные результаты в теории вырождающихся гипербо-ичзских и зллиптечесшпс дифференциальных уравнений и систем бы-а получены в работах и монографиях А. В. Бицадзе, В. Н. Врагова, В. Ф. 1олкодавова,А.Д.Д!?ураева|Й.В.Келдмда,Л.Г,Миз;айлова,А.М.11ахутева, 1«А.Олейник,С.П.Пулькина,М.М.Садрнова,С.АЛерсенова,А.И.Януша-скаса лшы и их учеников, а также многих '

ругих ученых.

Интересные результаты по теории вырождающихся эллиптичес-:их уравнений и систем получены в работах Л.В.Бицадзе,М.М.Смир-ювае А.И.Яцушаускаса н других авторов.

Рад работ посвящен исследованию вырождающихся эллиптических :истем первого порядка. Однако вырождающиеся эллиптические сис* .'емы дифференциальных уравнений второго порядка мало изучены.

Поэтомуг актуальным является получение многообразия реше-1ИЙ, выяснение корректных постановок задач и их исследование, I также изучение свойств решений на плоскости выродяения для «раздающихся эллиптических систем Еторого порядка.

• Цель работы. Для некоторых модельных и номодсльных вырох-сающихся эллиптических систем второго пордака получить мпого-)бразие решений, выяснить постановки корректных зааач, иссле-ювать и найти явные их решения, изучить свойства решений на глоскости выро-т^сшл. Для конечной области полу чуть ммгрлль-до представления через решение известных иодолыадс уряв-, -:ег.ие второго порядка эллиптического типа и

аналитических функций» использование этих интегральных предел тавлений для исследования и решения краевых задач.

Методика исследования. В работе используется метод интег ральных представлений, через аналитические функции, интеграл!: нов преобразование Фурье и метод представления многообразия { тения в виде обобщенного степенного ряда по сингулярному пере менноцу.

Научная новизна. Так как рассматриваемые в работе вырождающиеся эллиптические системы второго порядка ранее не были исследованы, поэтому все полученные в работе результаты являются новыми.

Основ«« из них следующие:

1. Ё характеристической области, сшаяетричной относител1 но плоскости, вырождения для модальной шрождаюцеКся системы исследуется задача с комбинацией производных, а также искомы] функций в краевом условии.

2. В полупространстве для модельной вырождающейся эллт: ческой системы получено представление многообразия радений ч< гармоническую функцию и решение модельного вьфождаодегося эллиптического уравнения второго порядка, исследуются задачи т] ла Дирихле и задача с производными в краевом условии.

3. В конечной области, лежащей в полупространстве

и ограниченной сверху поверхностью Ляпунова и снизу участком плоскости, для модельной вырождающейся элиптической системы получено интегральное представление через гармоническую функцию, решение модельного вырождающегося уравнения второго порядка и две произвольные аналитические функции. Получено обр! щение этих формул и исследуется задача с производными в крае-

сом условии,

4. При помощи преобразования йурье получено представление многообразия решений данной системы через два произвольные функции дзух переменных и' исследована задача типа Дирихле«,

5, Для модельной и немодельных вырождающихся систем получено представление многообразия решений в виде обобщенных степенных рядов. Эти представления применяются для исследования задач типа Кошк-Дирихла а слое.

Практическая и теоретическая ценность. Полученные в работа результат« и применяемые метода исследования могут быть использованы для дальнейшей разработки теории вырождающихся эд~ лшгатаокмх систем, а такае при решении прикладных задач, приводящихся 55 таким яйстешшо

/шробацйя работы» Основные результаты диссертации докладывались на заседании объединенного научно-исследовательского семинара математического факультета и НИИ прикладной математики и механики НЕГУ совместно с институтом математики имени ВД,Стеклова АБ СССР, институтом привладапй математики имени М„В<, Келдыша Ж СССР, институтом математики им.В» И.Романовского АН Узб.ССР, институтом ыатетатики и механики АН Аз.ССР по нелокальным задачам для дафференциальшх уравнений в частных производных и их приложениям к моделированию и автоматизации лрак-тирования систем с распределенными параметрами (г.Нальчик, май 1386 г.), на всесоюзной научной конференции по классическим к неклассическим краевым задача!! для дифференциальных уравнений с частными производными, специальным функциям, интегральным уравнениям и их приложениям (г. Куйбышев, "апрель 1387 г.), на всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально-

6 , дифференциальных уравнений (г.Душанбе, сентябрь 1987 г.)„ на республиканской.конференции молодых ученых'» посвященной 70-летию Великой октябрьской социалистической революции, проведенной в МИ с ВЦ АН Тадж.ССР (июль,1907 г.), на апрельских конференциях, посвященных Ленинским дням, проведенных в ТГУ им.В.И. Ленина (1385,1586), на научном семинаре кафедры теории функций и математического анализа ТГУ им. В.И.Ленина, на научном семинаре института математики и кибернетики АН Литовской ССР.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы опубликовано в восьми печатных работах.

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 145 страницах машинописного текста и состоит из введения, трехглав и литературы, содержащей 75 наименований.

СОДЕРЖА! ME РАБОТЫ

Примем следующие обозначения: : oO+Z ;

Через jQ. обозначим область вида: jfl= {¿н^,*2- )'

границу области XI обозначим через Г , границу области через € ^ /Л= • .

Кроме того, через ¿fj обозначим область

, С -плоскость -32=0, Далее, пусть -ограниченная область, лежащая в полупрост-

ранстве £С>0 . Граница / области Я).j состоит из поЕерх-

■ ^

поста П лежяи\е1\ в полупространстве и куска Г0

плосности Поверхность: Н ортогонально пересекает-

ся с плоскостью iC~D и однозначно проектируется на эту об-.

ласть т.е. область вместе с любыми своими двумя точками

содержит и соединяющий их отрезок прямой, параллельной оси X. . Поверхность Н и кусок плоскости /© пересекается по некоторой гладкой линии.р.

Через Пси обозначим слой вида /7а 30: о^гС^а,

Предлагаемая диссертационная работа посвящена получении многообразия решений, а также исследованию краевых задач для вырождающейся системы дифференциальных уравнений второго порядка эллиптического типа с тремя независимыми переменными следующего вида: '

Кроме того, изучается система вида (I) с младшими членами, т.е. системы следующих видов: \

(3

В работе для однородной и неоднородной система (I) в оС-ластях , получены представления многообразия ре-

шений через гармоническуи функцию, через решение вироядаю^сго ся уравнения второго порядка ввда

в

и двух аналитических функций. На основе полученных интегральных представлений ставятся и исследуются рад задач типа Дирихле и задача с произвольными в краевом условии.

. В слое /7& для систем (1),(2),(3) получено представление многообразия реаений в виде обобщенных степенных рядов по сингулярному переменному и зти представления применяются для решения задач типа Коши-Дирихле. .

Первая глава посшщена исследованию задачи с производными, в краевом условии в характеристической области О, .

ЗАДАЧА А. Требуется кайти решение система (I) в области п из класса по следующим граничным

условиям:

1г1г=и>(Р) . Р&Г

О разрешимости этой задачи имеет место следующее утверждение:. .

ТЕОРЕМА'- I. Пусть в задаче Л функции Ц, (М С./Г) и симметричны относительно плоскости £-0 , у? -непрерывна на £ , функция ^ имеет непрерывную производную по ¿^ а функция ^ имеет непрерывную производную по ^ , и такие, что -¡х & *(■&■) . Далее, пусть = Тогда задача Л- е области1 -О- имеет единственное решение, которое выписывается в явном виде..

Вторая глава посвящена получению представления многообразия решений однородной и. неоднородной 'системы-.(I), :исследова-.

нивэ задачи типа Дирихле и задачи с производными в краевом условии в полупространстве ив области ^ 0 В первом параграфе главы в областях и исследуется однородная система (I).

ТЕОРЕМА 2. Любое решение однородной системы (I), для которой ;

&0/

обращаются в нуль, го класса С. 1Е&) представило в явном виде (формулы (2.44),(2.45) ) через гармоническую функцию

для которой ^щу^) ^ ^^ ^¡ое~о при /^/-ьоо шают

нуль вше Первого порядка, и через регулярное решение вырождающегося уравнения второго порядка

для которой рю,^), при имеют

нуль вше первого порядка.

ТЕОРЕМА 3. Любое решение однородной системы (I) из класса б-^(^в) представимо а виде:

Х\)-^---

■ ГС ■ «

Л*

где ^(цц^) -гармоническая функция, уб-регулярное решение уравнения (4), (Цю, Щ{г; - произвольные аналитические функции комплексного переменного , ^ -произвольные вещественные постоянные. На^аены явные решения следу щих задач.

ЗАДАЧА 0 . Требуется найти решение однородной системы (I) из класса С' , такое что функции ,

при /£"/-* имеют нуль выше первого порядка, по граничным условиям: г Щ,*)

=т*> , /$*)&/: -

ЗАДАЧА/1^ . Требуется найти решение однородной системы (I) из класса

, такое, что ,

' } " 1^-0 При

имеют нуль выше первого порядка, по граничным условиям:

Щ+и?2)/Го :

ЗАДАЧА . Требуется найти решение однородной системы (IV в ограниченной области по граничным условиям:

уму,*) ' . .

Во втором параграфе этой главы рассматривается неоднородная система (I), В случае, когда правая часть системы (1),т.е. функции х) ; Ю на бесконечности имеют нуль вы-

ше второго порядка, получено представление многообразия решения

этой системы через гармоническую функцию и регулярное решение

. .. р

уравнения (4),

Найдено явное решение задачи типа Дирихле (задачи ) для системы (I).

В §3 при помощи преобразования Фурье получено многообразие решения однородной системы (I) через две произвольные функции двух переменных. На основе полученного представления решается задачи типа Дирихле в области .

Справедлива следующая теорема о разрешимости задачи & : ТЕОГЕМА 4. Пусть заданные функции -¡¿1%%) ^ С-1Г°)

и при р*= у^^^-оо имеют нуль вше второго порядка. Тогда задача <0 всегда разрешима и ее единственное решение дается при помощи формул:

оосо

- Ста -оо ...■''.■■.:■■

где Х-МУ/ Я'Х 3 ** - известные непрерывные ог-

ч/

раниченные функции. ■

Введем в рассмотрение следующие классы:

Л а /17- класс функций , представимых в

Р

виде:

( .'■-.■■" г

' • 'УГ- 12 .

— класс функций ^ | прадставимых в

виде:

£ 00 ^Ф^И

где - аналитические функции,уЗ г -некоторое вещест-

венное число,

л

Через [Лц) обозначим класс решений однородной системы (I) представимое в виде

где

к® класса

из класса

В третьей главе в слое / /получены следующие утверждения:

ТЕОРЕМА 5. Любое решение однородной системы (I) из класс; ((]а) о о представдао в виде.обобщенного

степенного ряда через четыре произвольные вещественные ограни ченные аналитические функции (формулы (3.13){(3.12) > и такие

' ЧТО'

Пусть коэффициенты систем (2),(3) удовлетворяют условиям

Ч Л)

Щ*)1*М м (б)

рС » целое положительное число. ТЕОРЕМА 5. Пусть коэффициенты системы (2) удовлетворяют условиям (5),(б). Тогда всякое решение системы (2) из класса

13 ■ ■ <$о[/10 представило в виде рядов:

сходящегося абсолютно и равномерно в /7^ , .где ,

ШЩ РЛКРЛ*)--

- произвольные вещественные ограниченные аналитические (функции, М^ -дифференциальные операторы, определяемые по известным рекуррентным формулам,

'Л- ~~ »

Подобное утверждение,когда оС -четное число и ¿34 получено для системы (3) из класса в0 через три

произвольные вещественные ограниченные аналитические функции.

Второй параграф этой главы посвящен исследованию задач типа 1Соши-Дирихло.

ЗАДАЧА у/1 { , Требуется найти решение однородной системы (I) из класса С. и такие, чго щу,*) , .щд»*)

ФХ. №-0, фи на бесконечности имеют нуль выше

первого порядаа, по граничным условиям:

ЗАДАЧА Жл . Требуется найти решение системы (2) из клас-

са Щ) и такие, что №№, ШМ*), ,

<ШЫ*)1

¡2Й? "/яьо на бесконечности имеот нуль выше первого

порядка, по граничив* условиям:

ЗАДАЧА Требуется найти решение система (3) и такие,, что функции , на бесконечности

имеот нуль вше первого пордака, по граничным условиям: "

В заключении, пользуясь случаем, автор выражает глубокую благодарность профессору А.И.ЯНЖАУСКАСУ за постановку задач, руководство работой и ценные советы. .

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах: .

I. Радяабова Л. Представление многообразия решений и граничные задачи для одной вырождающейся системы // Тез.докл. участников Всесоюз.семинара молодых ученых" Актуальные вопросы комплексного анализа" / -Ташкент,1985.- С.89-90.

. 2. Раджабова А. Представление многообразия решений и граничные задачи для одной вырокдащейся системы // Исследование по многомерным эллиптическим системам уравнений в частных произ-

водных: Сб. научн. тр. - Новосибирск, 1986. - C.3I-34.

3. Радаабова Л. Об одной выроидающейся системе второго порядка / "Математические проблемы экологии", 13-19 июля 1986 г. Тез. докл. - Чита. 1986. - С. 85-66.

4. Радаабова Л. О представлении многообразия решений одной выроздащейся систеш второго порядка в полупространстве //Материалы конференции молод» учен. АН Таджикской ССР: Тез.докл.: Секция физ-мат наук. 1987. - С. 66-69.

5. Радаабова H.H.. Об одном способе нахождения решения вырождающейся систеш второго порядка степенными рядами // Классические и неклассическиэ краевые задачи. Тез. докл. участ.все-союз-науч.коифо Куйбышев,, 1987„ - С. 118.

6. Радаабова Л. К теории одной вырождающейся систеш второго порядка // ТЬз. докл„ всесоюз, конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений, 28-30 сентября 190?. - Душанбе, 1987« - 4.2. - С. 72.

7„ Радзабоза Л. О представлении решений вырождающихся эллиптических систем уравнений обобщенными степенными рядами // Докл. АН Тадя.ССР, - 1988. - Т. 31. - & 2. - С.

Подписано в печать 7Д-1988 г. Заказ 228, КЛ 02553. Тираж 100 экз. Печ.л.ф.60x84/16-1,0. Уч.-изд.л.0,,7.

Ротапринт ТГ7 им.ВЛ!Ленияа,Дуианбе,ул.Лахути,2.