Преобразование Дарбу для спектральных задач с редукциями тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГБ ОД

г 7 ФЕВ г':

На правах рукописи УДК 517.946

УСТИНОВ Николай Витальевич

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДАРБУ ДЛЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧ С РЕДУКЦИЯМИ

Специальность 01.04.02 -теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1995

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 517.946

УСТИНОВ Николай Витальевич

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДАРБУ ДЛЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧ С РЕДУКЦИЯМИ

Специальность 01.04.02 -теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1995

Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета Калининградского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ : доктор физико-математических наук,

профессор Лейле С. Б.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ : доктор физико-математических наук,

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ : Математический институт

им. В.А.Стеклова Российской Академии Наук С г. Москва.)

на заседании специализированного совета К 063.57.17 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу : 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб. 7/9.

С диссертацией могло ознакомиться в библиотеке СПбГУ.

Автореферат разослан " ^ " 1995 г.

профессор Андрианов А.А.; доктор физико-математических наук, профессор Салль М. А.

Защита состоится " " Мяйтъ 1995 г. ь

час.

Ученый секретарь специализированного совета

Манида С. Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Открытие метода обратной задачи рассеяния СМОЗР) обусловило значительное продвижение в понимании физических и математических сторон нелинейных явлений. Его интенсивное развитие объясняется как наличием многочисленных приложений в физике интегрируемых нелинейных эволюционных уравнений СНЭУ), рассматриваемых в рамках МОЗР, так и разнообразием и элегантностью возникающих математических структур.

Получение из условия совместности вспомогательной линейной системы (пары Лакса) системы интегрируемых НЭУ, имеющей физические приложения, делает важной задачу изучения дополнительных ограничений - редукций, налагаемых на коэффициенты пары Лакса и, следовательно, на данные рассеяния. Учет редукций приводит к более громоздкому представлению решения обратной задачи и, возможно, к отсутствию дискретной части данных рассеяния.

В связи с этим становятся важными задачи расширения классов данных рассеяния, особенно тех, которые допускают восстановление решения НЭУ в точном виде, и нахождения эффективных способов построения решений, удовлетворяющих редукциям. Один из путей решения поставленных задач состоит в развитии алгебраических методов с последующим погружением в МОЗР.

В последнее время МОЗР активно применяется в квантовой электронике и нелинейной оптике при изучении распространения электромагнитных волн в резонансных многоуровненвых средах, в средах с нелинейной зависимостью показателя преломления от амплитуды электрического поля, в теории поверхностных оптических волн, а также для описания прохождения электромагнитной волны через нелинейную границу. Получаемые с его помощью решения описывают существенно нелинейный характер взаимодействия волн и содержат сведения о возможностях наблюдения физических процессов и их протекании. Ослабление ограничений на параметры физических систем, которые описываются интегрируемыми системами НЭУ, можно достичь усложнением редукций, налагаемых на пару Лакса.

Цель работы. В диссертации ставились следующие задачи : 1) развить технику преобразования Дарбу (ПД) построения

последовательности потенциалов спектральной задачи Захарова--Шабата СЗЮ произвольной матричной размерности;

2) разработать метод выделения потенциалов и решений соответствующих интегрируемых НЭУ, удовлетворяющих редукционным ограничениям после проведения последовательности ПД;

3) установить связь техники ПД с МОЗР основанном на аппарате краевой проблемы Римана-Гильберта СРП;

4) применить развитую технику для получения решений систем нелинейных уравнений Шредингера С НЮ и уравнений Максвелла--Блоха С МБ), описывающих распространение поляризованных электромагнитных волн соответственно в нерезонансной нелинейной среде и в резонансной двухуровневой среде, с одним из уровней вырожденным по проекции полного углового момента, с учетом произвольного неоднородного уширения энергетических линий и расстройки от резонанса Стакие же уравнения возникают при изучении распространении двухчастотного импульса излучения в трехуровневой среде, в которой один из переходов запрещен, а силы осцилляторов двух других равны)

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты:

1) введены элементарные ПД СЭПД), факторизуищие обычное ПД задачи ЗШ; изучены их свойства; показано, что ЭПД образуют абелеву группу; определено бинарное ПД СБПД) как сумма ЭПД;

2) получены итерационные формулы ЭПД и БПД задачи ЗШ с полиномиальной зависимостью потенциала от спектрального параметра;

3) предъявлены решения задачи РГ с произвольным, неодинаковым числом нулей произвольной кратности вне и внутри границы областей аналитичности; в случае одинаковых сумм кратностей нулей рекуррентые соотношения в терминах проекторов разрешены через определители; получены решения задачи РГ в пределе при стремлении положения нулей к границе;

4) разработан метод построения решений интегрируемых НЭУ, возникающих из условий совместности при наложении на потенциалы редукций, связанных с автоморфизмами в пространстве решений спектральной задачи; показано,что для некоторых редукций построенные решения не попадают в класс решений, получаемых в рамках обычной схемы МОЗР, основанной на формализме

задачи РГ;

5) при помощи развитой техники построены решения систем МБ и НШ на нулевом и периодическом фоне, описывающие процессы формирования и распада импульсов; в частности, показано, что в случае произвольных заселенностей уровней устойчивым оказывается импульс, резонансный переходу с большей начальной разностью заселенностей уровней.

Практическая и теоретическая ценность. Перечисление редукций нелинейных уравнений может дать новые примеры физически важных уравнений, допускающих представление в виде условия совместности вспомогательной линейной системы, а также ослабить ограничения на параметры нелинейных систем, интегрируемость которых известна. Анализ получаемых аналитически решений дает информацию о характере протекания физических процессов. Влияние физических факторов, нарушающих интегрируемость нелинейных уравнений, часто оказывается возможным учитывать по теории возмущений.

Для интегрируемых случаев систем МБ, описывающих распространение многочастотных импульсов в многоуровневых резонансных средах, с помощью развитой техники можно учитывать влияния теплового уширения линий, произвольной начальной заселенности уровней, пространственной неоднородности плотности резонансных атомов Сэто оказывается важным при изучении процессов прохождения импульсов через тонкую пленку резонансных частиц). Особенности поведения получаемых решений могут использоваться для преобразования частоты импульсов излучения, лазерного разделения изотопов, фотостимулирования химических реакций, для измерения дипольных моментов переходов, при создании устройств управления лазерным излучением.

При помощи ПД можно строить помимо экспоненциально убывающих на бесконечности решений, неограниченно растущие, рационально убывающие, периодические решения НЭУ, а также изучать взаимодействие солитонов на таком фоне. Интерпретация этих решений в рамках МОЭР может дать новые классы данных рассеяния. Развитая техника введения ЭПД и учета редукций допускает обобщение на спектральные проблемы, где полное развитие МОЗР громоздко, либо еще не выполнено.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены в 1991 г. на международной школе-семинаре "Nonlinear waves" Сг.Светлогорск» РФ), в 1990 и 1992 гг. на международных конференциях "Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems" Сг. Галиполи, Италия; г.Дубна, РФ), в 1993 г. на международной-конференции "Nonlinear Theory and its Applications" Сг.Гонолулу, США), в 1994 г. на семинаре-совещании "Нелинейные волны" Сг.Светлогорск, РФ), а также докладывались на семинарах кафедр физики высоких энергий и элементарных частиц СПбУ и теоретической физики КГУ.

Публикации. По результатам диссертации имеется 6 печатных работ.

Обьем и структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 97 страницах машинописного текста. Она состоит из введения, трех глав с автономной нумерацией формул, двух приложений и списка литературы из 79 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткое описание развития М03Р и обсуждается проблема классификации интегрируемых НЭУ. Для МОЗР, использующего аппарат краевой проблемы РГ, рассматривается класс данных рассеяния, по которым потенциал спектральной задачи ЗШ восстанавливается алгебраически Срациональная задача РГ). Отмечается, что существование редукций потенциала приводит к ограничениям на данные рассеяния. Излагаются некоторые алгебраические методы построения решений НЭУ, особое внимание уделяется технике ПД [1]. Обсуждаются некоторые интегрируемые модели квантовой электроники и нелинейной оптики. Здесь же ставятся задачи, решению которых посвящена диссертация, и описывается ее структура.

В первой главе вводятся ЭПД матричных п*п прямой

* + Ш = l№ Cl)

х

и сопряженной Сдуальной)

S - *EJ = - ZU С 2)

X

задач ЗШ, где J = diag Са(.....ап) - постоянная комплексно-

значная матрица, U = ; ukk= 0> - матрица потенциала, Ф = = Ф(х,\) и S = ЕСх,*) - матричные решения прямой и сопряженной задач со спектральными параметрами (СП) X и *; X .* е С

В дальнейшем матричные и векторные решения уравнений С 1,2) упоминаются как волновые функции СВФ) Свекторные ВФ будут обозначаться соответствующими строчными буквами греческого алфавита).

В § 1 доказывается основная теорема о ковариантности уравнений С 1,2) по отношению к первому ЭПД прямой задачи.

Теорема. Пусть вектор-столбцы у> я р (р х 0) являются решениями прямой задачи ЗШ со СП X и ц, вектор-строки ? и % есть решения сопряженной задачи со СП * и ц. Тогда определяя векторные функции у/, р и х следующим образом :

п

V», = а - ц) V», + ]Г

m = 2

1 m J} (.а - а, J

m 1

Ъ - pf

о = lim К ц

l = -

Га

1 k

Тс ai

Т?! =

X =

lim f Ск - jj) 1 если (x.p) * * -+ jj 1 J

lim Г JC*) 1 если (£,<£>) = 0 ; x -» fj J

С За)

:3б)

СЗв)

СЗг)

будем иметь соответственно новые С преобразованные) решения прямой и сопряженной задач С 1,2) с теми же СП, матрицей I и с потенциалом 0, коэффициенты которого определяются системой :

. u. v^u, и. , ^ 2 = . + \ mk--u Г и + V

U, р 1 т*т

Ca

т = 2

т = 2

).

uk.= Са1 -V

СЗд)

kj kj

aj " 3! 'J *>1 '

k.J =2.....n ;

0

а

Выражения для рШ и в уравнениях С36,г) даются формулами СЗ. а,в) с у = рШ и ^ = в правых частях, где рСХ) и *(*) - ВФ, такие, что р = р(р) и % = хСу). ■

Существуют еще (п-1)-но ЭПД, преобразующие особым образом к-ые С к = 2,..,п) компоненты ВФ (к-ые ЭПД; далее к называется индексом'ЭПД)V а также п ЭПД, зависящие явно от частного решения сопряженной задачи С ЭПД сопряженной задачи). Частные решения, явно входящие в определения преобразованных величин Скак ВФ р в уравнениях (3)), будут называться ВФ, с которыми проведено ЭПД, а ВФ, имеющие тильду, - образами исходных ВФ.

Обсуждается связь введенных преобразований с элементарными преобразованиями Бэклунда и преобразованиями Шлезингера.

В §§ 2,3 изучаются свойства ЭПД. Показывается, что при их проведении

1) сохраняется линейная независимость ВФ;

2) сохраняется скалярное произведение ВФ с одинаковыми СП X :

С^,?) = Сф,у) ;

3) ЭПД прямой и сопряженной задач и тождественное преобразо-ание коммутируют и образуют абелеву группу;

4) в случае проведения последовательности ЭПД с ВФ, СП которых совпадают, преобразованные величины могут быть получены из общих выражений при помощи предельных процедур.

Используя полученные свойства доказывается формула суммы первых ш (т = 2,3,...,п) ЭПД прямой задачи, индексы которых меньше Ст + 1). Оказалось, что обычное ПД прямой задачи [1]

у = - ы Л ы-1 V , 0 = и - [3, в Л м"1],

где Л = сйад С^(к>), ш = <ы ; со = р^к) У, р'к> - ВФ уравнения С1) со СП ¿/к)(к = 1,2.....п), является суммой п различных ЭПД, совершаемых с образами ВФ р1к) , а к-ое ЭПД сопряженной задачи есть частный случай суммы Сп - 13-го ЭПД.

В §3 рассматривается БПД, являющееся суммой любого к-го ЭПД прямой задачи и к-го же ЭПД сопряженной. Изучается случай совпадения значений СП решений прямой и сопряженной задач, с которыми проводились ЭПД. Доказывается итерационная формула БПД, выражающаяся через определители, содержащие в симметричном виде ВФ каждой из исходных задач ЗШ, с образами которых проводилась последовательность БПД.

В §4 изучается связь ЭПД и БПД с задачей РГ с нулями. Показано, что с помощью БПД можно получить любое решение рациональной задачи РГ. В более общем случае итерационная формула БПД дает решения рациональной задачи РГ с одинаковыми суммами кратностей нулей (и полюсов) вне и внутри контура на плоскости СП. Рекуррентные соотношения в терминах проекторов разрешены через определители, содержащие в симметричном виде ВФ исходных задач, которые явно определяют пространства ядра и образа проекторов. Выполнение БПД с ВФ, имеющими одинаковые СП, приводит к решению задачи РГ в пределе при стремлении положения нулей и полюсов к точке на границе. При этом матричные ВФ не приобретают в ней нулей и полюсов, но и не являются аналитичными. Проведение последовательности ЭПД предъявляет решения задачи РГ с неодинаковым, в общем случае, количеством нулей произвольной кратности вне и внутри границы областей аналитичности.

В § 5 рассматриваются матричные прямая и сопряженная задачи ЗШ произвольной размерности с полиномиально зависящим от СП потенциалом. Доказана их ковариантность относительно преобразований Дарбу, которые обобщают ЭПД для потенциала, независящего от СП. Показано, что эти ЭПД обладают всеми свойствами ЭПД обычных задач ЗШ. Если ВФ являются решениями пары Лакса с потенциалами, которые С один или оба) могут зависеть полиномиально от СП, то в силу условий совместности законы преобразований ВФ при проведении ЭПД для каждого спектрального уравнения пары Лакса будут совпадать. Таким образом, при помощи техники ЭПД можно строить новые решения пар Лакса с новыми потенциалами, а, значит, и новые решения НЭУ, возникающих из условий совместности. Введено бинарное ПД как сумма ЭПД и приведены итерационные формулы БПД.

Интегрируемые НЭУ, имеющие физические приложения, возникают как правило при наложении на коэффициенты пары Лакса ограничений. Во второй главе изучаются редукции потенциала спектральных задач С1,2), которые определяются автоморфизмами 4-х типов в пространстве ВФ прямой задачи ЗШ [3] (рассмотрение ВФ сопряженной задачи не дает новых ограничений) :

ФСХ) С ФСдСХ)) е < «X) > ; С4а)

Ф(Х) С ф'СдСХ*)) £ ( ФШ } ; (46)

Ф(Х) С1 [ФтСд(Х))]"' е ( Ф(Х) > ; С4в)

Ф(Х) С"1 [Ф+Сд(Х*))]"1 е ( ФСХ) > ; (4г)

где С - обратимый матричный оператор, возможно зависящий от X; д(Х) - взаимно однозначное отображение С -»• С.

В § 1 рассматриваются автоморфизмы наиболее простого вида, когда С - постоянная матрица, не зависящая от СП, д(Х) - поворот на плоскости СП

д(Х) = 8*Х, 8 6 С , |6| = 1 , (5)

и кроме того предполагается, что все коэффициенты ак матрицы J различны. Существование автоморфизма определяет ограничения не только на потенциал и, но и на матрицы Л, С, а также на поворот 8. Кроме того, автоморфизм дает ограничения на данные рассеяния задачи РГ [3]. Свойства ЭПД и их связь с задачей РГ, установленные в предыдущей главе, позволяют сформулировать достаточные условия на ВФ, с которыми проводятся ЭПД, чтобы преобразованный потенциал удовлетворял исходной редукции. Эти условия будут существенно различны даже для автоморфизмов одного типа и не всегда формулируются в терминах обычного ПД или рациональной задачи РГ с одинаковым количеством нулей и полюсов.

Автоморфизм (4а) Возникают следующие ограничения на потенциал

Си - ЦС = 0 . (6)

Если среди ак нет нулевых, то

в - ехр( - §24- ) , д е М ,

причем т = ^ е N , а матрица 5 приводится после переобозначения индексов компонент ВФ к виду

а.1»Чс = ^ Ск = 1.....ш . л = 0.....ч -

Рассмотрим наиболее простой случай : я = п. Тогда

ак = ехр[ (к - 1) ) , (без потери общности положили а[ = 1 ) и матрица С имеет вид

= СА, .1-1 = 1.....• С7>

где Ск - постоянные (индексы равны по модулю п.).

Уравнения (6,7) определяют редукцию на потенциал. Независимыми являются (п - 1) коэффициент матричного потенциала (например, элементы одной строки). Калибровкой можно всегда обеспечить, чтобы выполнялись условия

ск = 1 Ск = 1.....n) . С8)

Рассмотрим более сложный случай, когда один из ак равен нулю : ап = О. Тогда

9 = ехр[ - ] , ч б ¡Н ,

причем ш = п ~ 1 е И .

Пусть ч = п - 1. Матрицу J можно привести к виду"

\ = ехР( гГ^Т ск " 13 ) Ск = 1.....п - 1) ,

а не равными нулю являются следующие коэффициенты матрицы С С,. = С„<5„ . , , С, ...= С ,6, . , С . = С <5 . С 9)

кд к к.Л-1 (п-Пл п-1 ' пл п п. з

Ск = 1,...,П - 2 , j = 1,----п) .

Здесь независимыми являются п коэффициентов потенциала : один из п-ой строки и все из какой-либо другой строки. Из уравнения (6) в предположении нерасщепляемости спектральной задачи С1) на независимые задачи следует, что С, С,...С , =

> 12 П-1

= С" . Калибровкой всегда обеспечивается условия С 8). Автоморфизм (46) Имеем такое условие на потенциал

си* - ЦС = 0 . СЮ)

Матрица J может быть записана после переопределения индексов компонент ВФ следующим образом

J = Са......а ,а .....,а ,а* Г1.....а* , в'1 > ,

1 ш т+1 т+ч т+ч ' т+1 '

где П = ГО + 2С[ И

агдСак) = - агдСв)/2 Ск = 1.....т)

Производя замены К -* Кд1/2, аК -» а„0~1/2 С к = 1.....п)

всегда можно положить

(? = 1 , ак е К Ск = 1.....т) .

Матрица С имеет вид

4j =cA.j • ПРИ к =1.....»• (Ш

Ckj = ^k^n+m+1 - к, J ' ПРИ к = Ш + 1.....П ,

При m * 0 из уравнения СЮ) возникают следующие ограничения на коэффициенты матрицы С

lCj I2 = <W.-le(£ С1 < j < ш , ш + 1 < k < n) . с 12) Тогда калибровкой ВФ обеспечиваются выполнение условия С8).

Если m » О, то имеем такие ограничения на матрицу С, определяемую в соответствии с уравнением (.11) :

Сп+1)сС* = A Ck = 1.....n) , А е К . С13)

Существует два разных типа редукции при А > О и А < О. После

калибровки будем соответственно иметь условие (.8) или

С* = " Сп+1-* = 1 ■ 1.....'

Автоморфизм С4в) Потенциал должен удовлетворять редукции

UTC + CU = 0 . С14)

Рассмотрим частные случаи данного автоморфизма, когда его-двухкратное применение является единичным преобразованием

в2 = 1 , с-'с7 - I . А). в = - 1. Матрица С имеет вид

С = diag (Cfc) . С15)

Калибровкой ВФ можно положить С = I . Б>. 0 = 1. Матрица J при этом приводится к виду

Wk " - S ОС - 1.....П) .

Тогда матрица С записывается следующим образом

C*J -°lA*l-!c.J Ck'J =1.....П) C16)

Уравнение С14) определяет не только редукцию на потенциал, но и ограничения на коэффициенты матрицы С

Сп*.->с<Ъ =с, СС2 =1 . Калибровкой можно обеспечить, чтобы при а = 1 выполнялись условия С8) или если а = - 1, то

С* = ' Cn+i-k = 1 Ck = 1,...1) . С17)

Автоморфизм С4г) Имеем редукцию на потенциал

п+ п j. п I _ о м «>

w vj I — U . к xOs

Матрица J обладает с точностью до переобозначения индексов компонент следующей структурой

J = (а,.....а ,а .....a „ ,- 0*а* .....- б*а *, > ,

1 m m+1 m+q m*q m+1

где n = m + 2q и

argCak) = - argC- 8)/2 Ck = 1.....m) .

Матрица С будет иметь вид ' = CA.J ' при k = 1.....m ,

Ckj - CA^M-Jc.j - при k = m + 1.....n ,

Уравнение (18) дает также следующие условия

=CWi-kC-k' " = и + 1.....n , J = 1.....Ш) .

Калибровкой ВФ можно привести матрицу С к виду

iffk , 1 s k s ш ;

1 , ш + 1 < к < n ; t20)

(19)

где о^ = 1, а производя замены К -» АС- 0)1/2, afc -*■ ак* * С- в)~1/2 Ск = 1, ...,п) можно положить

в = - 1 , ак е К Ск = 1.....т) .

В § 2 формулируются достаточные условия сохранения при совершении последовательности преобразований Дарбу редукций потенциала, рассмотренных в предыдущем параграфе. Оказалось, что преобразованный потенциал будет удовлетворять редукции, если проводить ЭПД с определенными наборами ВФ, связанными свойством симметрии в пространствах ВФ прямой и сопряженной задач, которое является следствием существования автоморфизма. Так, для сохранения редукции (6,7) достаточно провести обычное ПД с такими ВФ, а для сохранения редукции (6,9) проводится (п - 1)-но ЭПД двумя различными способами. Редукции (10,12) и (10,13) наследуются при выполннии двух ЭПД (или, возможно, одного для первой редукции). Редукции (14,15) и (18,19) будут сохранены при совершении БПД. Интересная ситуация возникает с редукциями (14, 16,8) и (14,16,17). Если рассматривать ВФ как решение рациональной задачи РГ, то она должна иметь в одной и той же точке плоскости СП и нуль и полюс. То есть, при такой редукции не существует потенциалов с данными рассеяния, содержащими дискретную часть. С точки зрения техники ПД это соответствует проведению БПД с ВФ прямой и сопряженной задач, СП которых совпадают Действительно, редукцию (14,16,17) можно удержать выполняя такое БПД со связанными определенным образом ВФ, но редукция (14,16,8) будет сохранена при двухкратном (!) совершении таких БПД с ВФ, на которые наложено дополнительное условие С!!).

Примечательно, что сохраняется не только редукция, но и связь между ВФ, определяемая автоморфизмами в пространствах исходных и преобразованных ВФ : образы ВФ, связанных свойством симметрии, также будут связаны. Это позволяет сформулировать достаточные условия на ВФ исходных задач, чтобы редукция удерживалась при проведении итераций ЭПД и БПД.

При комбинировании редукций, рассмотренных в этой главе, условия на ВФ, с которыми проводятся ПД, должны сответство-вать каждой из редукций в отдельности. Это позволяет строить решения широких классов НЭУ. Пример применения развитой техники к физически важным НЭУ дается в следующей главе.

В третьей главе рассматривается система МБ, описывающая в

рамках полуклассического подхода распространение поляризованных импульсов излучения, резонансных с квантовыми переходами ,1 = 0 ,) = 1 [4]. Эти уравнения в безразмерном виде с учетом произвольного неоднородного уширения спектральных линий и расстройки от резонанса записывается следующим образом

е _ ^ = - < у_ > е г » - < V >

па_ т = - у_е* - У*е_

а+, Т = " " У+е+

а т = V е" + у*е + у е* + у*е

' v_ Т - 1(7, " Д)у_ + (п - п. )е + у*е л - Ь - а +

т - 1(77 " Юv + (п - п. )е + у е а+ Ь + а -

У ^ а, т

где Сит- безразмерные координата и время в бегущей системе; е+(£,т) и е_(£,т) - огибающие напряженности электрического поля праьо- и левополяризованных волн; пь(£ ,т, 7}), пв+СС,т,7)) и пл Ц.т.т)) - заселенности нижнего и двух верхних уровней, проекции полного углового момента которых на ось С принимают значения +1 и -1; у+, у и связаны с недиагональными элементами матрицы плотности; Д = Су/ - у^) ^ - расстройка от резонанса; у* - несущая частота; - частота атомного перехода; - плотность, резонансных частиц; 1о= (ЗЬ/ /2лу\й\2Ио^1/2 - постоянная размерности времёни; б - приведенный дипольный момент перехода; угловые скобки означают

усреднение по тепловому движению резонансных частиц < Г > = + оо

= X Г(л^£¿7} ; ГС 17) - распределение по проекциям 17 скоростей. - со

Кроме того, в диссертации рассматривается система НШ уравнений. Эти системы могут быть получены из условия совместности вспомогательной линейной системы. Роль спектрального уравнения выполняет матричная 3*3 спектральная задача ЗШ (1), в которой потенциал удовлетворяет редукции С 8) с единичной матрицей С. С помощью техники, развитой в предыдущих главах, строятся последовательности решений систем МБ и Н1. Получены решения на нулевом и периодическом фоне, которые демонстрируют процессы формирования и распада импульсов. Показано, что в случае произвольных начальных заселенностей уровней импульс, резонансный переходу с более заселенным уровнем, пре-

образуется в импульс, резонансный менее заселенному переходу.

Цитированная литература

1. Matveev V.В. and Salle М.A. "Darboux Transformations and Solitons"C1991) Springer, Berlin-Heidelberg.

2. Konopelchenko V. G. The Group Structure of Bácklund Transformations. /Physics LettersC1979), v.74A, p. 189-192.

3. Mikhailov A. V. The Reduction Problem and The Inverse Scattering Method./Physica D (1981), V.1&2, p.73-117.

4. Башаров A. M. , Маймистов А. И. О самоиндуцировнной прозрачности в условиях вырождения резонансных энергетических уровней. /ЖЭТФ (1984), т.87, N2 5, с. 1594-1605.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

1. Leble S.B. and Ustinov N.V. KdV - MKdV Systems and Darboux Transforms in 1+1 and 2+1 Dimensions./ Journal of Mathematical Physics(1993), v.34, N* 4, p. 1421-1427.

2. Leble S.B. and Ustinov N.V. Deep Reductions for Matrix Lax Systems, Invariant Forms and Elementary Darboux Transforms. / Proceedings of 8th International Workshop on Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems ( edited by Makhankov V. et al.), World Scientific, Singapore, 1993, p.34-41.

3. Leble S.B. and Ustinov N.V. Darboux Transformations, Deep Reductions and Solitons./Journal of Physics A : Mathematical and General(1993), v. 26, p. 5007-5016.

4. Leble S.B. and Ustinov N.V. Sol itons of Nonlinear Equations Associated with Degenerate Spectral Problem of the Third Order./ Proceedings of International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (N0LTA4993, Hawaii), World Scientific, Singapore, 1993, v. 2, p. 547-550.

5 Leble S.B. and Ustinov N.V. Third Order Spectral Problems: Reductions and Darboux Transformations. / Inverse Problems (1994), v. 10, p. 617-633.

6. Leble S.B., Ustinov N. V. , íurov A. V. and Zaitsev A. A. Integrable Nonlinear Equations and Darboux Transformations. / 'Груды юбилейной международной научной конференции, посвященной 450-летию основания Кенигсбергского университета Альбер-тина, Калининград, 1994, Секция N® 4 Физика, с. 5-6.