Преобразование фурье в алгебрах новых обобщенных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕ!ПШЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

САЕРА РАМАДАН МУХАМЕД МУСТАФА

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В АЛГЕБРАХ 1ЮВНХ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ

(01.01.01 - математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на сскскапис ученой стспспи кандидата физико-математических наук

МИНСК 1993

Работа выполнена на кафедре функционального анализа Белорусского Государственного университета

Научный руководитель : доктор физико-математических наук,

профессор Я.В.Радано Официальные оппоненты: доктор физ.-мат; наук, профссор

Лаптинский В.Н.

канд. физ.-мат. наук, вед.н.сотр. Якубович С.Б. Ведущая организация : Гродненский госуниверситет

Защита состоится " ty " ICOt-tS/iif^33, г- в на

заседании специализированного совета к ose. оз. 05 в Белорусском государственном университете по адресу: 220050, Беларусь, Минск, пр. Ф.Скормны, 4, гл. корпус, ауд. 206.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан " " 1993г.

Ученый секретарь специализированного совета,

доцент Князев П.II.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТ! Актуальность темы В 1Э54. г. Л.Шварц показал, что в фостранствэ распределений невозможно определить ассоциативное умножение. . • .

Следует отметить, что физики часто определяют и используют троизведениэ двух обобщЗшых функций, исходя из интуитивных зоображешй. Иногда это приводит к неверному результату. Эднако важность этой задачи постоянно стимулирует появление ¡ювых работ в этом направлении. Отметим работы таких авторов, как В. К. Иванов , А.В.Ким, В.В.Перминов Хр.Я.Христов и В.П.Дамянов, Г.Бромормаи и Л.Дюран, Щу К.-К.. М.'Гэвро, П.Глаозор, А.Гонзалез и Р.Скарфиэлло, Б.Фишер,. Х.Ктано. Я.Микусинский, Т.Д.Тодоров и др. Алгебры новых обобщЗштпх функций впервые били введены в работах рижского математика Я.Б.Ливчака. .

Вновь открыты они были спустя 13 дет французским математиком К.-Ф. Коломбо и его последователями. Были исслэдо- . ваш некоторые алгебрц объектов , называемые ими "новыми обобщенными функциями". В свою очередь Ю.В. Егоровым была построена более простая, по сравнении с Коломбо, теория обобщенных функций и даны еЗ применения к нелинейным дифференциальным уравнениям с частными производным!! .

В работах А.Б.Антоновича и Я.В.Радыно указан ббщий метод построения алгебр новых обобщенных функций и приведён ряд примеров применения этого метода. Элементы ©тих алгебр они предложили называть мнемофункциями. •

Данная диссертационная работа посвящена построению алгебр

з

новых обобщенных функций и изучению преобразования Фурье и свертки в них.

Цель работы. В данной диссертационной работе на основе метода Антоновича - Радыно строятся новые алгебры обобщенных функций £(s(R)), S(D(R)), 3>(Z(R)), i?a(s®(R))t ^a(za(R}) ¡9a(Da(lR)). в них исследуется преобразование Фурье.

Методы исследования. В работе применяются методы теории обобщенных функций и теории функционального анализа.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

1)Построены новые алгебры обобщенных функций s(sflR)) и S?a(s^(K)), являющиеся расширением пространств, распределений Шварца.

2) Изучены операции дифференцирования, . свертки, преобразования Фурье в алгебрах 5?(s(K)) и Sa(s£(K)).

3) Доказаны теоремы Поли-Винера и Пэли-Винера-Шварца 'в алгебрах s(s(R)) и ä>a(sg(K)).

4)Доказаны теоремы о вложении пространства Шварца S'(К) в алгебры s(s(K)) и (s®(K))' в sa(sg(iR)-).

Практическая ценность.Работа носит теоретический характер. Однако, ее результаты могут найти применение в прикладных задачах при моделировании физических систем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по функциональному анализу и дифференциальным уравнениям (руководители профессора А.Б.Антонович, П.П.Вабрейко, Н.А.Лукашевич, Я.В.Радано, Н.И.Юрчук), семинаре по обобщенным функциям (руководители проф. А.Б.Антонович, проф. Я.В.Радано) в

Звлгосуниворситете и на конференциях в Киеве (май, сентябрь [992) Минск (мой 1992), Воронеж (май 1993), Гродно (сентябрь [992).

Публикации. Основные, результаты диссертации опубликованы в работах г1-9з.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, включающего наименований. Общий объем работы стр.

Краткое содержание работы. В первом параграфе анализируются теории Шварца и теория Коломбо. Также ш кратко ознакомимся с алгеброй Егорова новых обобщенных функций

, Второй параграф посвящЗн методу Антоз'овнча-Радшго построения алгебр новых обобщенных функций.

В третьем параграфе строится алгебра 5Н«).

Пусть 8' - отделимая полная локально выпуклая алгебра с топологией , определяемой семейством полунорм (ра)аед .такая, что для каждого аеА существуют Р=а и константа са >о, при которых справедливо неравенство

, Пусть у « непрерывный линейный оператор. Тогда для любого а существуют р и константа сд >о такие, что

?а с^; з < са Рр(/) , у / е» . сзэ

И пусть з : . непрерывное билинейное отображение в 8. Тогда для любого а существуют р, 7 и константа са> о, при которых справедливо неравенство

Ра (•» (Лр) ) < сд Рр(,г) р (о) V I , е « « . со.)

Обозначим через 6(8) множество всех последовательностой (¿А) из 8. е(8) является алгеброй с операцией покоординатного умножения .

Введбм следующие обозначения •:

вм(*>| = Зш, Уа , з иа >о , Ра(/Л) <оа а , V а |

Г -п>

N (8)« |</л)«=е(8); V ш ,Уа , 3 > О, Р<с!а А , V А

6м(з) является подалгеброй алгебры а есть идеал в

Определим искомую алгебру мнемофункций как фактор-алгебру

у(8) = ем(8)/«(8) .

В этом параграфе также определяется естественное вложение ж в ?(*).

Отображение » покоординатно поднимается до отображения,

которое снова будем обозначать. -в (а). Нетрудно

проверить,что ом с ем ' ^ с н -Поэтому. определено

б

отображению

В нашей алгебре также определено билинейное отображение

• ^ = ¥('«)х »(«) - зЧз) .

Теорема 2. Пространства »(К), а>(!П) со своими

естественными топологиями являются топологическими алгебрами, удовлетворяющими условию (1).

В четвертом параграфе изучается конкретный случай 8 = ^(Ш) . Пусть

П =|(р : о < ф (X) < 1 , ф (х)=о,|х|> 2 ,ф (Х)=1,|Х| <1 | .

фд(Х) = ф(|) , Ф е .4 ;.Шд(Х) - фд(Х) = А Ф(АХ)

Определим вложения пространств ^(К) и ¿'(К) в нашу алгебру "3 (^(К)) следующим образом :

: г (К)э / - (/!д) е . где (■

Лф : » " - лф.и »((ЙтеГ^фд и)« С0Д) е

Дашше вложения корректно определены в силу следующей теоремы : Теорема 3 . 15 Если ие^(К) ,то-имеет место

((2ТС)*(фли)н 0)д ) 6 <3МР»(К))

3} Пусть / е У (Ж) .тогда

( - (2x7* (фЛ0* Шд ) - И(->»(К)) .

Когда ф пробегает множество мы получаем разные ^ул в ^(^(К)) (но все они равны в слабом смысле).

В параграфе б определяются операции умножения о, свЭрты-вания дифференцирования В, преобразования Фурье а также изучаются и доказываются их свойства. Показано, что сохраняются важные следующие свойства : «

1). к (67). - Нх)п («■■), . • . 2) б" (Я-уЕ) -.РС'ИхУУ 3 . где операторы (+«) действуют из з?0>°) следующим образом (*гх): »(.Г) --->

з) = р* о ,

*) Р(А*>) - (гц;)^ ® Р*

5) - 5 с£ 57 О •

1»о

в) -((сГУ)«*) - (А»^)) .

В 6-ом параграфе определяются Слабые равенства элементов в пространстве $(•>*(№)).

Определение-: Пусть Ло « * (^((К)). Будем говорить, что { и » слабо равны, если для любых их представителей (/д) .и

(рд) выполняется условие: - о в

В этом случао будем обозначать t % р . Справедлива следующая теорема:

Теорема 4. 1) Пусть u е Тогда я и'' ~ (я^и)',

F tu] ~ F СЯ и] .

а)Пусть u,v е rfK) и пусть существует и м v « XÎR). Тогда справедливо соотношение v ) ~ я^и о я^ .

з) Для любых ф1 ,фао st справедлтгоо

V г V .Vue -Кй). В конце параграфа рассматриваются примеры.

Третья глава посвящена изучению '.теорем Пэли-Вннера и Пэли-Винера-Швврца с нашей алгебре .

В седьмом параграфе доказывается расширенная теорема Пэли-Винера.

ВввдОм следующие множества :

G СГО = G CS5 П GCD3 ,G CZ> = G CS> П CCZ> ;

M M ни "

ncd> « gcd} п hcs5 . ncz5 = gcz> л ncs3 .

Множество G(<cs> является алгеброй, a gmcdî и gj(C2d o0 подалгебрами, a также мсяэ (cootb.h(d), h(z)) является идеалом в

sm(s) (соотв. gm(d),gm(s)). •

Теперь определил алгебры мнемофункций :

$C£D = GmCS5XNCS3 , SCD5 = GmCD3/NCD3 , УС23 = G^CZD/NCZ) ..

Определим отображения =

1 :и е $СГО = Си, 3 + ЫСГО Си 3 + МСЮ е УСЗЭ

Бв к к

< : и «= дсгэ = Си, 5 + НС2Э - Си, 5 + ИС55

"Иа к к

Отображения и jza инъентивны.

В конце параграфа доказывается, что преобразование Фурье биективно отображает* £(■») на у (2).

В седьмом параграфе также изучается расширенная теорема Пэли-Винера- Шварца.

Четвертая и последняя глава посвящена изучению и анализу алгебры ультраобобщенных функций !?а(х). а также рассматривается преобразование Фурье в этом пространстве, определяется слабое равенство , ультраобобщенных. функций и доказывается расширенная теорема Пэли-Винера для этой же алгебры.

Публикации по теме диссертации ■ 1.Радыно Я.В.,Нго Фу Тхань,Сабра Рамадан. Докл.РАН,1932, Т.327, N1, С.20-24.

г. Радано Я.В..Ромашевский А.Б.,Сабра Рамадан.Теорема Пэли-Вине-ра в алгебре мнемофункций-ДАН Велоруси, 1ээз,(в печати).

3.Радыно Я. В., Нго Фу Тхань, Сабра Рамадан. Преобразование Фурье в новых обобщенных функциях. Мат. сборник 1993 (в печати).

4. Нго фу Тхань, Сабра Рамадан. Слабые решения дифференциальных уравнений в алгебре' новых обобщённых функций //Тезисы конференции математиков Белорусы.Гродно,1ээгг.,с.иг.

з. Нго Фу Тхань, Сабра Рамадан.Преобразование Фурье в алгебрах

ю

новых обобщЗшшх функций //Тезисы докладов конференции "Моделирование и исследование устойчивости процессов".Киевдээаг.,

S С.1?.

а.СаОра Рамадан,Нго Фу Тхань. СвЭртка и преобразование Фурье в алгебрах новых обобщЭшшх функциях //Тезисы межреспубликанской научно-практической конференции творческой молодежи.

МИНСК, 1992г.,, с. 209. 7.Sabra Ramadan. On algebra of new generalized functions //TO-

зисы международной конференции, посвящбгаой памяти академика М.П. Кравчука. Киев-Луцк, 1ээгг.

О.Sabra Ramadan. Paley-Wiener theorem in the mnemofunctions

spase.//Тезисы конференции.Киевлээзг.

9. Sabra Ramadan. Construction and property of !?(D) and !?(Z)

5расев//Тезисы международной конференщш, посвящешгой 85-летию со дня рождения Л.С.Понтрягина. Воронеж, 199v3,G.183.

Подписано к печати " S 1993г. Формат 60x84/16.

Объем I п.л. Тираж 100 экз. Заказ и . Бесплатно.

Отпечатано на ротапринте БГУ: Минск, ул. Бобруйская 7.