Приближение функций суммами Зигмунда,Рогозинского и типа Стеклова тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

і'і ■-

і « О”) ¿000

КОСТИЧ Микола Васильович

УДК 517.5

НАБЛИЖЕННЯ 27Г-ПЕРІОДИЧНИХ ФУНКЦІЙ СУМАМИ ЗИГМУНДА, РОГОЗИНСЬКОГО ТА ТИПУ СТЄКЛОВА

01.01.01-математичний аналіо

Автореферат дисертації на «здобуття наукового ступеня кандидата фіоико-математичних наук

Київ -1099

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті математики НАН України

Науковий керівник:

член-кореспондент НАН України, доктор . фізико - математичних наук, професор СТЕПАНЕЦЬ Олександр Іванович, зав. відділом теорії функцій Інституту математики НАН України.

Офіційні опоненти :

доктор фізико - математичних наук, професор МОТОРНИЙ Віталій Павлович, зав. кафедрою теорії функцій Дніпропетровського державного університету.

кандидат фізико - математичних наук, НАЗАРЕНКО Микола Олексійович, старшин науковий співробітник Інституту математики НАН України.

Провідна установа: Національний технічний університет України /КПІ), кафедра математики N 1.

Захист відбудеться ”/ ” р. о /5 годині на

.засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 при Інституті математики НАН України за адресою:

01601 Київ, МСП, вул. Терешенкивська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України. .

Автореферат розіслано 1999 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради - , ___

доктор фіз.-мат. наук Романюк A.C.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. В роботі розглядаються питання, поп'язааі

о наближенням неперервних 27Г—періодичних функцій лінійними середніми їх рядів Фур‘є: сумами Зигмунда, Рогооинського і типу Стєклова. А саме, вивчаються велцчини

E{K-,Un)g sup ||/(') - {/„(/; -)||, (1)

к

Де Un(f;-)— тригонометричий поліном, а К- клас функцій.

В 1935 р. А.М.Колмогоровим було отримано такий результат:

^¡ЗДс-^' + оф.

де п -4 оо, Wr- клас 2тг-періодичних функцій f(x), що мають абсолютно неперервні похідні, до г — 1-го порядку включно таких, що їх r-і похідні суттєво обмежені одиницею.

Надалі відшуканням оцінок величин типу (1) на різних класах функцій для багатьох лінійних середніх рядів Фур‘є займалось багато відомих математиків, серед них

B.К.Дзядик, О.В.Єфімов, А.Зигмунд, М.П.Корнсйчук, В.Надь,

C.М.Нікольський, О.І.Степанець, С.Б.Стєчкін, С.О.Теляковський та ін.

Незважаючи на таку велику кількість досліджень, на сьогоднішній день ціла низка питань залишається відкритими.

Зв’язок роботи з пауковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно о загальним планом досліджень відділу теорії функцій Інституту математики НАН України.

Мста і оадачі дослідження. Дослідити поведінку відхилень від 27г—періодичних функцій з класів Вєйля-ІІадя сум Зигмунда, Рогозинського і типу Стсклова у метриках просторів С і ІЦ, а саме:

1.Знайти точні за порядком оцінки верхніх граней відхилень від функцій о класів И^р лінійних середніх Зигмунда в метриці С ири р Є [1; оо) і Ьч, де 7 Є (1; оо) при р = 1 відповідно.

2. Отримати точні за порядком оцінки верхніх граней відхилень від функцій з класів Игр лінійних середніх Рогозинського в метриці С при р Є [1; оо) і де <7 Є (1;оо) при р — 1 відповідно.

3.Встановити точні за порядком оцінки верхніх граней відхилень від функцій з класів И^ р лінійних середніх типу Стсклова в метриці € при р б [1;оо) і Ьч, де д Є (1;оо) при р = 1 відповідно.

Наукова новизна. Основні результати дисертації є новими. У роботі отримано порядкові рівності для верхніх граней відхилень від функцій /, о класів , їх середніх Зигмунда , Рогозинського і типу Стсклова у рівномірній метриці при р € [і;оо), а також у метриці простору Ьч, <7 Є (1;оо), при р= 1 за умови г > і — і.

Теоретичне і практичне значення. Результати дослідження носять теоретичний характер і можуть бути використані в питаннях, пов'язаних з теорією наближення функцій та, зокрема, теорією підсумовування рядів Фур‘є.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану досліджень та постановка задач належать науковому керівникові

- члену-кореспонденту НАН України О.І.Степанцю. Результати дисертаційної роботи отримано автором'самостійно.

Апробація результатів дослідження. Результати дослідження доповідались та обговорювались на семінарах відділу теорії функцій Інституту математики НАН України ( керівник

О.І.Стспанець); Об'єднаному семінарі з теорії функції! (корівники М.П.Корнєйчук, О.І.Стспанець, ІІ.М.Тамразов); на п'ятій Міжнародній науковій конференції ім. акад. М.Кравчука (Київ,1995); на другій школі "’Ряди Фур‘є: теорія і застосування” (Кам'янець-Подільський,1997). •

о

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в шести роботах [1-6].

Структура та об‘єм дисертації. ,

Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, кожен із яких поділений на підрозділи ( всього вісім підрозділів), списку використаних джерел (68 найменувань). Повний обсяг дисертаційного дослідження - 107 сторінок.

Основний оміст роботи ...

У вступі обгрунтовано вибір теми, проаналізовано ступінь її до-слідженості, визначено мету, основні завдання та методи, сформульовано основні результати, що виносяться ira захист, показано їх наукову новизну, а також указано па апробацію результатів дослідження.

У роботі досліджується поведінка відхилень від 2тг - періодичних функцій з класів Вейля-Надя лінійних середніх їх рядів Фур'є

- сум Зигмунда, Рогозинського і типу Стєклова у метриках просторів С і Lç. . •

А саме, знайдені порядкові значення величин

t/n), := sup ||/(.) - iM/î -)ll, - (2)

• Wkv ■ . .

y випадках p Є [l;oo), q = oo і p = 1, q Є (l;oo), де i/„- суми Зигмунда, Рогозинського, тішу Стєклова, точне означення яких подається нижче. . . • .

Через W£p позначається, клас Вейля-Надя 27г-періодичних функцій /, які представляються у вигляді згорток

• 7Г . •

/м = f+і / ніж - л ■:= ^+(віл * (:і)

—7Г ■ - •

де (Іо є й, ІІ-РІІр < 1, Р є [1;оо), / ip(t)dt = а /^-.¡(О =

°£> C0s(fcí + y3f) ^

- E - ■±~¿r—t\ Г > 0, (З Є R.

Ar=n Л»

Сумами Зигмунда Z* (/; i) сумовної 27г-періодичної функції / називають тригонометричні поліноми вигляду

2ñ(/;0 = Y + S (1_ (~) )(аЛ(/)созА:ї+

fc=i

+6* (Я sin fcí),

Де в > 0,

7Г

«fc = МЯ = “ У ДО co&ktdt,

— 7Г 7Г

6fe = 6ь(Я — ~ í f(t) sin ktdt. 7Г J

При 5 = 1 поліноми 2;ї(/;0 є відомими сумами Фейсра і по-оначаются через <тп(/; і).

Сумами Рогооинського Лп(/; 0 сумовної 27г-періоднчної функції } називають тригонометричні поліноми виду

п,ЛМ = \

Де Sn (/; •) = ^-+££=1 (ак cos кх+bk sin кх) — часткові суми Фур’є функції /.

Сумами типу Стсклова S2*(/;í) сумовної 2тг-періодичної • п функції / називають тригонометричні поліноми внду -

*+*

S

Як завжди ||'||? - норма простору Lq 2тг-періодичних вимірних функцій означена рівністю

1Г

. м. = ( / тт'1-,

. ’’ — 1Г

де q Є [1;оо).

Простір і,» будемо ототожнювати з простором неперервний 27Г-періодичних функцій і вважатимемо, що

. ІІ^ІІоо := НИІС := rnax|v5(¿)|.

Скріоь надалі співвідношення А(п) = 0(В(п)) означає, що існує така стала с > 0, при якій виконується нерівність А(п) < сВ(п), де п Є Н, а співвідношення Л(п) х В(п) означає, що А(п) = 0(В(п)) і В(п) = 0(А(тг)).

Якщо в явному вигляді знайдена функція (р(п), така, що

E(W¿iP:Un)gx<p(n), .

то кажуть, що E(Wj¡ ]U„)q дорівнює по порядку <р(п).

Підрозділ 1.1 має допоміжний характер. У ньому вводяться ПОНЯТТЯ просторів 27Г-ПЄрІ0ДИЧНИХ неперервних функцій Lp, Loo, С , даються означення відповідних норм у цих просторах, а також наводяться означення класів Wj¡iP , вказуються умови, що оабезпечують вкладення Wj¡ С С, де р € [l;oo), Wp¿ С Lq, де q Є (1;оо). Крім того, у підрозділі доводяться твердження допоміжного характеру, які сформульовані у вигляді лем. (Аналогічні твердження при /3 = г наведені А.І.Камаоловим.)

Підрозділ 1.2 присвячений наближенню 2тг—періодичних функцій! о класів Вейля-Надя сумами Зигмундау рівномірній метриці.

Для гілих значень г Є N порядок величин E(W^0;Z*)£ залежно від s встановлено А.Зигмундом . В.Надь дослідив величину EiWp co', ZfJc, г > 0, та при цілих значеннях /3, причому для

5 < г ним (знайдено асимптотично точні рівності, а для я > г -порядок величини Е(И д ^ Zfl)£. Пізніше С.О.Теляковський встановив асимптотично точні рівності величин Е{\УріСО\Хп)£ при » -> оо, г > 0, Р Є Е. У випадку ¡3 — г і в = 1 порядкові оцінки величини Е(\У£іОО]0п)с встановлено С.М.Нікольським , а при 1 < р < оо величини Е(Ц^р-,(Тп)с оцінені А.І.Камзоловим . Подальше узагальнення результатів С.А.Теляковського пов'язане із введеними О.І.Степанцем новими класами функцій Ср, Ь'р^ (див. також роботи Д.М.Бушева , В.Т.Піврилюк , І.Б.Ковальської , О.О.Новікова та ін.).

У цьому підрозділі встановлено точні порядкові співвідношення (теоремаі.1):

£(И£р;Яп)с*

г > 5 + ї> і < р < оо, /З є к;

(г _ і.) П ' Р, р < г < ® + р, 1 < р < оо, (і Є К;

її) п п* ’ Г = 5 4 1, тт . „ р = 1, СО 8/0— 7= 0, 2 /3 Є ®;

1 й*’ Г = 5 4 1, р= 1, СОГ,/І^-І), /3 Є і®.:

Іи1^* п V ■’ 1 г = 5 4 V 1 < р < оо, а Є К.

■9 > 0 довільне .

Р V

В підрозділі 1.3 розглядається наближення '2гг —періодичних функцій з класі» Вейля-Надя сумами Знгмунда у метриці Ьц пр»т

І < ц < оо.

Відмітимо, іцо А.І.Камзоловим також було нст.чковлеііо по

р«ДКІ! ПОЛІГШИ Е(Ц'^\СГп)д, де*] <(¡<00.

В даному підрозділі наведено теорему 1.2, де показано,шо для ¡спільного /З Є ® і 1 < ^ < те справедливі такі спіноідноіпоіши:

' с

1п У'п пя '

Г = 3+ 1 —

я

де 8 > 0.

Нарешті в останньому підрозділі розділу 1 встановлено порядкові оцінки величин Е(№рр\(тп)£, де 1 < р < оо, і Е(\Ур -і;ап)д, де 1 < ^ < оо (наслідки 1.1 і 1.2). Якщо покласти /3 = г, то отримуємо відповідні результати А.І.Камоолова.

Зрозуміло, що при 6 = 1 суми Рісса 5^(/;г) (сумами Рісса 5*(/; •) сумовної 2ж—періодичної функції / називають тригонометричні поліноми виду

де йк І Ьк- коефіцієнти Фур‘є функції /, ¿-довільне дійсне число 8 > 0.) співпадуть із сумами Зигмунда ^(/; х) при в = 2, а тому

Зазначимо, шо у теоремі 1.1 знайдено порядкові оцінки наближення сумами Зигмунда функцій о класів , де 1 < р < оо, в рівномірній метриці, а а відповідних результатів С.А.Теляковського випливають порядкові оцінки наближення сумами Зигмунда функцій о класів також у метриці С. Тому

отримуємо порядкові оцінки величин Ь'(ІУріР; 2ї,*)£ для всіх можливих 1 < р < оо (наслідок 1.5). Аналогічні твердження сформульовані для сум Фейсра, які поширюють відповідні результати С.М.Нікольгького та АЛ.Камзолова на більш широкий клас функцій.

п 12

&%(АХ) = -7Г + ----2-)$ (йкыькх + Ьквіп кх)

/і . . 7Ь

Е(Щ„\3\)Ч = ЕЩ^2%), (наслідки 1.3 і 1.4).

а

Результати розділу 1 опубліковані в роботах автора [1,4,5].

Підрозділ 2.1 присвячений наближенню 2тг—періодичних функций о класів Вейля-Надя сумами Рогозинського у рівномірній метриці.

С.Б.Стєчкін встановив оцінку вели-

чини £'(ЯШз; М.П.Корнєйчук оцінив величину Е(На;ІІп)£. На початку 70-х років В.К.Доядик, В.Т.Гаврилюк і О.І.Степанець опублікували цикл робіт . У цих роботах було- розроблено метод знаходження оцінок величин: Е{^гНа\ і?п)сі Е(Ни>;Нп)£, Е(\У1Ни;ІІп)£, Е(]УгН<л>;ІІп)£. Аналогічну задачу розв’язано на класах спряжених функцій \¥гНи> В.Г.Філіповським.

О.Г.Демченком знайдено оцінки величини Е{}¥ГЬ\ Чп)і і показано, що вона асимптотично рівна величині Е(IV\ Лп)<С’

Наближення функцій о класів Ср І Ь'р поліномами Рогооинсь-кого дослідив І.Р.Ковальчук. Зокрема, він встановив оцінки таких величин: ЕІРІ-оі Я.,)с. Е(1$: Д„)„ Е(1*^Яг,)., де 1 < р, 8 < 00.

У підрозділі 2.1 встановлено справедливість таких точних порядкових співвідношень (теорема 2.1):

s

E(Wl„\R „)с

n

2'

1

п'-ї' In n

TJ’'

1

n

2»

г>2+*, 1 < р < 00, /?ЄК; ■

- < г < 2 + і, Р Р 1 < р < оо, /7€R; ‘

1 II Р= 1, cos /31 ^ 0, s. fi Є М

11 03 р= 1, cos/?f = 0, /ЗЄК:

г = 2 Н—-, 1 < р < 00, /3 Є М, "

In1/"'«

n2 ’ .

^ 1 1 ' ,

- + — = 1.

P

Ця теорема доповнює відповідні результати О.Г.Демченка та

І.Р.Ковальчука.... ... . .

В підрозділі 2.2 розглядається наближення функцій о класі и Wfa оа допомогою сум Рогооинського в метриці Ьд, де 1 < q <

оо. Зокрема встаповлена Теорема 2.2. Для довільного /З Є К і 1 < q < оо справедливі такі співвідношення:

E(Wr0X,Rn)g

ґтг-2, г> 3-і;

г= 3-

1

Це твердження доповнює відповідні

»

І.Р.Ковальчука.

Результати розділу 2 опубліковані в роботі автора [4],

результати

to

Підрозділ 3.1 присвячений наближенню 2тг—періодичних функций з класів Вейля-Надя сумами Стєклова у рівномірній метриці.

Асимптотично точні оцінки наближення функцій в класів \¥г та И/г//и> сумами типу Стєклова Зі* в рівномірній метриці от-

п *

римала Т.М.Сапіліді. ,

( /

Оцінки величин ^(С,^оо;5,22г)(0, Е{Щх\8г^)і, при 1 < р,з <

со, Е{Щ \ Яп), знайдені І.Р.Ковальчуком. -

Основними результатами розділу 3 є точні порядкові співвідношення

п*

г> 2+і, 1 < Р < 00, р ЄМ;

- < г <2 + -, V Р 1 < р < оо, /3 ЄЕ;

г = 3, р-1, Сі О 05 О

г = 3, р = 1, cos/? 1 — 0;

г = 2+ -, 1 < р < оо, /? € К,

г-і’

П Р In п ~пГ'

П2\

Іп1^ п

»* ' . де- + ^ = 1. pp..

В підрозділі 3.2 розглядається наближення функцій о класі» И^д за допомогою сум Стєклова в метриці //,, де 1 < q < ос, Зокрема встановлена.

Теорема 3.2. Для довільного fj£P:it<q<oo сирагеддіші та к і сні впідн ошен ня:

E(\Vfi'XlS2*)q х

тг 17

Результати цього розділу опубліковані в роботах [3,6] автора.

Висновки

У дисертації отримано такі основні результати:

І.Отримано точні за порядком оцінки верхніх граней відхилень від функцій з класів лінійних середніх Зигмунда в метриці С при р € [1; оо) і Ья, де д Є (1;оо) при р= 1 відповідно.

2. Знайдено точні за порядком оцінки верхніх граней відхилень від функцій з класів ІУЦ лінійних середніх Рогозинського в метриці € при р Є [1; оо) і Ьч, де <7 Є (1;оо) при р — 1 відповідно.

3. Встановлено точні за порядком оцінки верхніх граней відхилень від функцій о класів лінійних середніх типу Стсклова в метриці С при р Є [1; оо) і Ьч, де <7 € (1; оо) при р = 1 відповідно.

Основні положення дисертації опубліковапі у таких роботах:

1. Костим М.В. Наближення функцій з класів Вейля-Надя середніми Зигмунда //Укр. мат. журн. —1908. —50,N5. —-С.735—■ 739.

2. Костич М.В. Про наближення в метриці Ія функцій з класів Вейля-Надя сумами Зигмунда //Укр. мат. журн. — 1999. ---51,N2. -:С.268—270.

3. Костич М.1>. Наближення функцій з класів Вейля-Наия <•>' ррдніми типу С'рклппа //Ряди Фур‘с: теорія і з.к тогуиіппі.г

/л

Праці ін-ту математики НАН України. Т.20. — Київ, 1998. —

С. 126-132.

4. Костим М.В. Наближення функцій о класів Вейля-Надя сумами Зігмунда і Рогооинського в рівномірній метриці. —Київ, 1997. —34 с.— (Препринт/ АН України. Ін-т математики; 97.5).

5. Костич М.В. Про рівномірне наближення класів Вейля-Надя методом Зігмунда// Теои доповідей п‘ятої міжнародної наукової конференції ім. ак. М.Кравчука. —Київ, 1995. —С.204.

0. Костич М.В. Наближення функцій о класів Вейля-Надя су^ мами Стсклова в метриці Loo 11 Тези доповідей другої школи "Ряди Фур'с: теорія і оастосування”, Кам^нець-Подільський, ЗО черв. - б лип. 1997р. — Київ, 1997. —С.64-65.

КОСТИЧ М.В. Наближення функцій сумами Зигмунда, Рогооинського і типу Стеклова. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 -математичний аналіз. -Інститут математики НАН України, Киш, 1999.

Дисертацію присвячено питанням наближення функцій з класів Вейля-Надя , ¡3 6 К, р Є [1;оо), г > 0, в метриках просторів Ьд, ц Є (1;оо], лінійними середніми їх рядів Фур’є - сумами Зигмунда 5 > 0, Рогозинського Дп і типу Стеклова 5^,

я

п Є N. В роботі встановлено точні за порядком оцінки величин

т%\ип)д := 8ир||/(.)-їШ;-)ІІ,

Щ.Р

в недослідженнх раніше випадках р Є [1;оо), д — оо ) р = І, <7 Є (1;сх>), коли в ролі 1/п виступають Іїп, 5^, прн умові г > £ —

Ті Р Я

що забезпечує вкладення И^р С Ьд.

ключові слова: класи Вейля-Надя, лінійні середні рядів Фур'с, суми Зигмунда, суми Рогозинського, суми типу С'тєклова, порядкові рівності.

Kostych M. V. Approximation of functions with the Zyg-mund sums, Rogozinki sums and Steklov-type sums. -Manuscript.

Dissertation for a candidate’s degree in physics and mathemetics sciences by specialty 01.01.01+ -mathematical analysis. -The Institute of Mathematics of the National Academy of Science of Ukraine, Kyiv, 1999.

The Dissertation is devoted to the investigation of approximation of functions from V.Mll-Nagy classes Wfi , ¡3 6 M, p G [l;oo), r > 0 in metric spaces Lq, q (l;oc] by linear means of thoir Fourier series

/Ÿ

- Zygmund sums Z*, s > 0, Rogozinski sums Rn and Steklov-type sums Stji, n € N. In this Dissertation there have been established estimations of magnitude

E(Wk,\ Vn), := sup ||/(.) - £/„(/; .)||„

wi,

which are accurate by order in earlier un-investigated (un-researched) cases p € [l;oo), q = oo and p = 1, q € (l;oo), when Un is Z Szn, provided that r > £ — which ensures the inclusion of

Key words: class Veill-Nagy, linear means of Fourier series, Zygmund sums , Rogozinski sums, Steklov-type sums , ordei of magni tude.

Костыч H. В. Приближение функций суммами Зигмунда, Рогооинского и типа Стеклова. -Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Институт математики НАН Украины, Киев, 1999.

Диссертация посвящена вопросам приближения функций из классов Вейля-На.дя Wpp, 0 € К, р € [1; сэо), г > 0, и метриках пространств Lq, q € (1;оо], линейными средними их рядов Фурье

- суммами Зигмунда Z£, s > 0, Рогоиинекого Rn и суммами типа Стеклова 52т, п € N. .. • •

п ■ . ' '

В работе установлены точные по порядку оценки величин . Un)q := sup |t/(-) - Un(f; -)||9>

wkr ■

когда в роли Un выступают суммы Зигмунда, Рогозинекого и Iш'.л Слеглова и кеисЬлодованиых ранее случаях р £ [1: со), q = оо

и р = 1, <7 € (1;оо) при условии г > £ — которое обеспечивает вложение IVр р С Ьч.

Для величины Е{\Ур ',2„)д установлены следующие порядковые оценки:

'п-, г>*+1_1, /?ей,

1 < р < оо, <7 = оо;

пли р = 1,

1 < <7 < оо;

1_1<г<5+1-1, /Лей,

1 < р < со,

(7 = со;

1-1+1 1п Р Ч П

СОЭ/ЗтПп я+ 1

НЛП р = 1,

Г = 5+?~ 7’

1 < р < оо, или р = 1,

, Г = 5+1, р = 1,

1 < <7 < оо;

/9 6К,

<7 = оо;

1 < (7 < оо; /3 6 Р,

<7 = оо.

Важно, что в случае ^ ^ < г < х + £ - 1, [} (= К, р 6 [1; с

н <7 = со, р=1и1<<7<оо величины £’(И/’^ ;^Д)? окапываю! равными по поря-\ус величинами Еп(\У^ )7 наилучшего приб.ч жен и я класоп И'^ тригонометрическими полиномами по]1«дкп

/в

в L,j. Та же особенность прослеживается и для приближений суммами Rn и Sz* в случае ¿ — ~ <г<2-\-\ — (3 6 К, когда

n Р Ч .44

р 6 [i; оо), q = оо либо р= 1, 1 < g < оо.

Установлено, что для приближений с помощью сумм Рогозин-ского и тина Стеклова имеют место следующие соотношения:

E(W¿tP; Rn)g х Е(Щ,р] ), X

при 9 = 00, а1<р<оои1<(7<оо, а р = 1.

Ключевые слова: классы Вейля-Надя, ленейные средние рядов Фуре, суммы Зигмунда, суммы Рогозииского, суммы типа Стеклова, порядковые равенства.