Приближение гипергеометрических функций Лауричеллы ветвящимися цепными дробями. тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Министерство осв1ти 1 науки Украши Льв1вський нацюнальний ушверситет ¡меш 1вана. Франка.

Гоенко Натал1я Пaвлiвнa

УДК 517.526

НАБЛИЖЕННЯ Г1ПЕРГЕОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦ1Й ЛАУР1ЧЕЛЛИ Г1ЛЛЯСТИМИ ЛАНЦЮГОВИМИ ДРОВАМИ

01.01.01 - математичний анал1з

Автореферат

дисертацп на здобуття наукового ступени кандидата ф1зико-математичних наук

Льв1в - 2004

Дисертащею е рукопис.

Робота виконана у в1ддш Tcopii функцш та диференщальних р1внянь 1нституту прикладных проблем мехатки i математики iMeHi Я. С. Шдстригача Н атонально! академп наук Украши.

Науковий KepißHiiK:

доктор ф1зико-математичних наук, професор Боднар Дмитро 1лькович, зав1дувач кафедри штелектуально! власносп, комп'ютерного та шформацшного права Терношльсько! академп народного господарства.

Офщйип опоненти:

доктор ф1зико-математичних наук, професор Лопушанськин Олег Васильович, зав1дувач вiддiлy функционального анализу 1нституту прикладних проблем мехашки i математики iM. Я. С. Шдстригача HAH Украши;

кандидат ф 1 зи ко-математичних наук, доцент Кучмшська Христина Йосиф1вна,

доцент кафедри обчислювально! математики 1 програмувашш Нацюнального ушверситету "JIьвiвcькa пол1техшка".

Провщна установа:

Одеський нацюнальний ушверситет 1м. I. I. Мечникова,

кафедра математичного анал1зу.

Захист В1дбудеться " <(0 " хуи&кА 2004 року о 15.20 год. на заадан-Н1 спешат овано'1 вченог ради К 35.051.07 у Льв1вському нащоналыюму ушверситет! 1мен11вана Франка

за адресою: 79000, м. Льв1в, вул. Ушверситетська, 1, ауд. 377.

3 дисертащею можна ознайомитись в науковш б^блютещ Льв1вського нацюнального ушверситету 1меш 1вана Франка за адресою: м. Льв1в, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат роз1сланий " ^ " л^о^/сл. 2004 р.

Вчений секретар спещал1зовано"1 вчено! ради Бокало М. М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальшсть теми. В р1зних областях анал1зу, прикладно! математики, математично1 ф1зики, квантовся механнш та iH. використо-вуються спещальш функцй. Найуживашшими з них е гшергеометричш функцй Гауса.

В Teopii апроксимаци для наближення спещальних функщй засто-совують алгебрагчш, тригономстричш полшоми, сплайнн та рацюналь-Hi функцй. Вперше рацюнальш наближення виникли як апроксиманти неперервних дроб!в. Узагальнюючи принцип в1дпов1ДНост1 неперервних дроб1в до степеневих ряд1в, К.Ф. Гауе i А. Паде побудувалн важлпвнй клас рашональних наближень - апроксимаци Паде. Д1агональш, над- або шдд1агональш посшдовност1 апроксимант Паде збшаються з тдхЦнимп дробами С-дроб1в. У роботах А.О. Гончара та його учшв, А. Едрея, Ю. Люка, Дж. Натолла, Г. Шталя та шших розроблено теоретичш засади дооидження зб1жностч апроксимацш Паде. Ефектнвшш тдх1д до побудови апроксимацш Паде на 0CH0Bi узагальнених момеитних зобра-жень запропонував В.К. Дзядик. Застосуванням апроксимацш Паде в теоретичнш ф1зиш присвячеш роботи Дж. Бейкера, П.Р. Грейве-Moppica. Я. Плевича та шших.

Рацюнальш наближення для р1зних клаав функцш вивчали О.П. Дол-женко, В.М. Русак, G.M. Шюшин, В.М. Сорокш, O.I. Аптекарев, H.A. Пе-карський, G.O. Ровба'та шин.

У багатьох випадках швидшеть зб1жнослч рацюнальних наближень значно перевшцуе швидысть зб1жност! полшоьйалышх наближень: облает! зб1жност1 неперервних дроб1в е ширшими, шж области зб1жносп степеневпх ря^в. KpiM того, рацюнальш наближення дають можливють знаходпти особлнв1 точки доапджуваних функцш, що е важливим при розв'язуванш низки практичних задач, зокрема, у теоретичнш (}»зищ. HenepepBHi дроби волод1ють властивктю обчислювально! стшкост1 при досить загальних обмеженнях на коефщенти, що дуже важливо у засто-суваннях.

Для знаходження рацюнальних наближень гшергеометричних функ-uiii Гауса в роботах Л. Ейлера, К. Гауса, Л. Томе, Б. Р1мана, Ж. Лагран-жа. Н. Ньорлунда використовуеться апарат неперервних дроб1в. У моно-граф1ях Х.С. Уолла, В. Джоунса i В. Трона, Л. Лорентсен i X. Воделанда побудовано та дослужено розвинення у HenepepBHi дроби В1Дношень ri-пергеометричних функцш Гауса, вироджених гшергеометричних та ш-ших спещалышх функцш. До цього часу не побудовано розвинення функцй Гауса у неперервний др1б при довьжьних допустимих значениях пара-MeTüiB. В poöoTi В. Джоунса, А. CpipaHra знайдено лише асимптотику

коефщ1ент1в непсрервного дробу для Г-функцп. Варто зауважити, що переважно доыпджуеться зб1жшсть неперервних дроб1в у широкому ро-зумшш, тобто, коли icnye границя поошдовноеи тдх1дних дроб1в, мож-ливо piBHa безмелшостк

BaraTOBiiMipHi узагальнення апроксимацш Паде розглядалися у роботах Дж.С.Р. Чшхолма, П.Р. Грейвс-Moppica, Д.Е. Робертса та шших. Для побудови багатовим1рних рацюнальних апроксимацш В.Я. Скоро-богатько застосував гшгясп ланцюгов1 дроби (ГЛД). Ангиптична те-ор1я ГЛД була розвинута в роботах II.I. Боднарчука, Д.1. Боднара, М.С. Сявавка, Х.И. Кучмшськоц В. Семашка, X. Воделанда, А. Коут, Б. Вердонк, Дж. Мерф1, М. О'Донохое, О.М. Сусь, Т.М. Ahtohoboi, P.I. Дмитришина та шших.

Двовим1ршш узагальненням функцн Гауса е гшергсометричш функ-ij.il Аппеля. В якост1 рацюнальних апроксимант для в1дношень функцш Аппеля можна взяти шдх1дш дроби пллястих ланцюговнх дроГпв з дво-ма г1лками розгалуження. Н.С. Дронюк впершс вказала алгоритм роз-винення у ГЛД в1дношень функцш Аппеля F\. Д.1. Боднар побудував розвинення в1дношень функцш F-2 i у гшляст1 ланцюгов1 дроби. Питания зб1жност! одержаиих розвинень залишаеться в1дкритим. Зб1жшсть розвинень в1дношень гшергеометричних функцш Аппеля вивчалаея у роботах Боднара Д.1., Манзш О.С.

Лаур1челла означив чотири гшергеометричш функцп N змшних b\ , гд , F<j rD', ЯК1 узагальнюють гшергеометричну функцпо Гауса. Вивчснню гшергеометричних функщй F^ присвячеш робота X. Екстона, X. Ср1вастави, Р.С. Сшг Чандела, Р.К. Саксени, А.К. Гуп-ти, A.M. MaTai, М. Сайго, О.У. CiHxa, П.В. Карлсона, С. Ферейрц, Дж.Л. Лопеза, А.В. Шукканена та шших, в яких доаиджуються влас-тивост1 багатовим1рних гшергеометричних та вироджених гшергеомет-ричних ряд1в: рекурентш сшвв1дношення, штегральш та асимптотичш представления, поведшка в1дпов1дних гшергеометричних ряд1в на мела IX област1 зб1жностк Розглядаються застосування функцш Лаур1челли до розв'язання деяких проблем у Teopii iiMOBipHOCTi та статистищ, тео-ретичнш ф1зищ, квантовш xiMii тощо.

Актуальными с таю задачи побудова розвинень в!дношень rincpreo-метричних функцш багатьох змшн'их у гшляст1 ланцюгов1 дроби, до-сшдження ix зб1жност1 у вузькому po3yMiHHi (до скшченого значения), ощнки похибок апроксимацш шдх1дними дробами ГЛД в деяких областях npocTopiB Rn i CN, застосування гыглястих ланцюговнх дроб1в для аналшхчного продовження в1дношень функцш Лаур1челли. Цим задачам присвячеш доамдження, виконаш в данш дисертацшнш робот1.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисерташйна робота виконувалась у рамках держбюджетнпх тем: "Розвиток Teopii пллястих та штегральних ланцюгових дроб1в, ix засто-сування до розв'язання нелшшних операторних р1внянь" (номер держ-реестрацп 0193U033340), "Розробка MeTOfliB наближсння функцш ба-гатьох змшних пллястими ланцюговими дробами та ix застосування до догл1джсння р1внянь релятпвютсьюл ф1зики" (номер держреестрацп 0197U008958). "Розвиток диферентально-геометричних та аналтгшнх метод1в р1внянь математнчно! i теоретнчно5 ф1зики" (номер дсржресст-pauii 0102U000451).

Мета i задач1 досл1дж<зння. Метою дисертаци е застосування апарату пллястих ланцюгових дроб1В для побудови та достижения ра-шональних апроксимацш гшергеометричних функцш багатьох змшнпх. шо передбачас вирпнення таких задач:

- побудова розвинень в1дношень гшергеометричних функцш Лаур1чел-ли Fq у плляслч ланцюгов1 дроби та досл1дження в1дпов1дност1 одер-жаних розвинень до формальних кратиих степеневих ряд1в, у яга розвиваються щ вщношення;

-- встановлення зб^жносп розвинень у плляст1 ланцюгов1 дроби в1дно-шень функцш Fo та ошнкп похибок апроксимацш шдхадшшн дробами в деяких областях RA' i C'v за додаткових обмежень на параметри цих функцш та при довшьних допусгимих значениях параметр1в:

- наближсння в1дношення гшергеометричних функцш Лаурпеллп пл-лястнм ланцюговим дробом типу Ньорлунда.

Об'сктом дослщження е плляси ланцюгов1 дроби, в яга розвиваються виношення гшергеометричних функцш Лаур1челли Fo-

Предметом доопдження е вщповщшсть, зб1жшсть пллястих ланцюгових дроб1В, оцшки похибок апроксимацш ix тдх1дшшп дробами.

Мсгподи досл'ьдженъ. Методи Teopii функцш комплексно! змшнок аналт!чно1 Teopii неперервних та гишястих ланцюгових дроб4в.

Наукова новизна одержаних результат1в. Yci одержат науюда результат!! е новими. В po6oTi

- встановлено нов1 рекурентш сшвв1дношення для ппергеометричних функцш Лаур1челлн Fq , на ochobI яких побудовано розвннення bi дно-шення цих функцш у гшляст1 ланцюгов1 дроби; зокрема, побудовано багатовтирний аналог неперервного дробу типу Ньорлунда:

- вперше встановлено ознаки зб1жносп пллястих ланцюгових дроб1в, у Hici розвиваються в1дношення гшергеометричних функцш Jlaypi'-iivi-ли; дослзджено облает зб1жностц pÍBH0MÍpH0Í зб1жност1 цих дроб1в, знайдено оцшки похибок аироксимацш ix шдх1дними дробами;

- вперше встановлено багатовшлрне узагальнення теореми Ньорлун-да про зб1жшсть та BiflnoBiflHicTb неперервного дробу, у який роз-виваеться вщношення функцш Гауса; доведено зб1жшсть пллястого ланцюгового дробу типу Ньорлунда до функцп, що е аналтпним иродовженшш в1дношення функцш Лаур1челли.

Практичне значения одержаних результате. Результати дп-сертацй носять теоретичний характер i е певним внеском в аналтгшу Teopira гихлястих ланцюгових дроб1в. Вони можуть бути викорпсташ для наближення гшергеометричних функцш Лаур1челли Fq, яш виникають в прикладних задачах.

Особистий внесок здобувача. Наведен! в дисертацп oohobhí результати отримаш автором самостпшо. В опублшованих сшлыю з Д.1. Боднарем статтях [3,7,11] науковому кер1внику належать постановки задач i загальне кер1вництво роботом. В оиублшованш сшльно з О.С. Манзш poöoTi [2] сшвавтору належать результати, що стосують-ся функцп Аппеля F\ (пункти 3, 4).

Апробащя peзyльтaтiв дисертацп. Ochobhí результати дисертацп допов1дались на: М1жнароднш науковш конференцй "Hobí шдходи до розв'язання диференщальних р1внянь" (м. Дрогобич, 1997, 2001 рр.): VII М1жнароднш конференцй ím. акад. М. Кравчука (м. Kiiíb, 1998 р.): М1жнароднш конференцй "Сучасш проблеми механйш i математики", присвяченш 70-р1ччю в1д дня народження академша Я.С.Шдстригача (м. jlbbíb, 1998 р.); К'Нжнароднш конференцй з теорп наближень та п застосувань, присвяченш пам'ят! В.К.Дзядика (м. Кшв, 1999 р.); ЗШж-народшй науковш конференцй з комплексного анал1зу "Цш i меромор-фш функцп", присвяченш 70-р1ччю з дня народження А.А.Гольдберга (м. Льв1в, 2000 р.); Украшському математичному icourpeci, присвяченому 200-р1ччю М.В.Остроградського (м. Kiiíb, 2001 р.); конференцй "Функщ-ональш методи в теорй наближень, теорй onepaTopiB, стохастичному ана-л1з1 та статистищ" (м. Kiiíb, 2001 р.); Млжнародшй конференцй з функ-цюнального анал1зу та його застосувань, присвяченш 110-р1ччю з дня народження Стефана Банаха (м. Льв1в, 2002 р.); Млжнароднш конференцй "Комплексний анализ i його застосування" (м. Льв1в, 2003 р.); III Всеук-рашськш науковш конференцй "Нелшшш проблемп анал1зу" (м. 1вано-Фрашавськ, 2003 р.); Млжнароднш науков1й конференцй "IIIoctí Бого-

любовсыа чнтання" (м. х1ерн1вц1, 2003 р.); Льв1вському регюнальному еемшар1 з математичного анализу (кср1вник проф. М.М. Шеремета): пауковому семшар1 з теорп функцш в Одеському национальному ушвсрсптет1 (кер1вник проф. Е.О. Стороженко); математнчному семшар1 ¡м. В.Я.Ско-робогатька (кер1вншш чл.-кор. НАН Украши, проф. Б.Й. Пташник. с.н.с. В.О. Пелих); семшарах 1з аналпгично! теорп неперервних дро-б1в та ¡х багатовиьнрних узагальнень (кер1вннкп проф. Д.1. Боднар, доц. Х.П. Кучмшська).

Пyблiкaцií. Основш результата дисертацп опублжовано в 11 нау-ковпх статтях 1 пов1домленнях (з яких 7 без сшвавтор1в) у виданнях Ь перелпав, затверджених ВАК Украши.

Структура 1 обсяг роботи. Дисертацшна робота складаеться з1 вступу, чотирьох роздш1в, висновшв та списку використанпх джерел. що лпетнть 115 напмснувань на 13 сторшках. Загальний обсяг дисертацп -125 сторшок.

Автор висловлюе щиру подлку професору Д.1.Боднару за, пауки ее кк-ритицтво та п.оеттну у вагу до робогпи.

ОСНОВНИЙ ЗМ1СТ РОБОТИ

У встут розкрито сутшсть 1 стан розробки науково! проблемп. об-грунтовано актуальшеть тематики дисертацп, сформульовано мету та задач1 дос.-пдження.

У першому тдроздЫ першого роздшу подано огляд прапь за темою дисертацп, у другому - наведено перелпе основннх результат1в роботи та вказано ¡х мкце серед шших дослщжень у данш галузк

У шдроздш 2.1 другого роздьчу доведено деяю рекурентш сшвви-ношення для гшергеометритних функцш Лаурггелли

4А' К Лг, • • •, с; Л!, г2,..., л л-) =

^ (в)*1 + *, + - ■ ■ ■ (Ьл')*„ £4* • ■ • |

{с)к1+к2 + -+кц ЫЫ-.-кхУ

де параметри а, 6], 62,..., Ьм, с — комплексна числа, причому

с ф 0, —1, —2,...; ..., лдг — комплексы! змшш;

(а)к = га (а + 1) • ■ • (а + к — 1) — символ Похгаммера, (а)о = 1.

Використовуючи щ сшввщношення побудовано розвинення вино-шень гшергеометритних фушщш Р^^ у пллястч ланцюгеш дроби. Пл-лясп ланцюгов1 дроби, яга с багатовим1рним узагальненням неперервнпх дроб1В, означуються за допомогою композицп багатовиьирнпх дробово-лшшних в1дображень. Для запису гчллястого ланцюгового дробу з .V

плками розгалужень

будемо використовувати позначення

де г (к) = ¿122 ■ ■ Ль — скорочений запис мультишдексу, —

комплексы! числа або функцй.

Нехай г = (^1, 22,..., Ъ = (61, 62, • • •, Ь^), В = тах{6; : г = 1. А'}, е, = (8\, 5?2, ■ ■ ■, , <5} — символ Кронекера. Враховуючи, шо надатп Л" - фжсоване число, для скорочення запису гшергеометричних функцш Лаур1челли будемо використовувати позначення

Твердження 2.1.1. Вгдношення гшергеометричних функцш Лаург-челли

для кожного г, 1 < г < И, мае формалъне розвинення у гылястий ланц-юговий др1б

-Рр К Ьъ Ь-2, ...,Ьц-,с; гь г2,..., гы) = Рд (а, Ь; с; г).

Ъ; с; г)

-РЪ(а + 1,Ь+ е;; с+ 1; ъ)

+

N

(1)

N

1+ Е

де

/ ч К+РНп) , V а

71— 1

Рц 1) - - Л(п) = Е % + ¿1, п > 2 • ¿=1

Лема 2.1.2. Ппергеомегпричпг функцп Лаургчелли задовольняють рекурентт стввгдношення

*Ъ(а,Ъ; с; г) = (1 - - £ -г-) Р0(а+ 1,Ь + ел; с+1; х)+

\ с 1=1 ^ /

£-/ Л ^ ~ + 2,Ь + с, + с,; с+2; г)..

¡=1 С(С + 1]

дс к = 1,2,..., ЛГ.

Твердження 2.1.2. ЕНдношення ггпергеометричних фуннцгй Лаургчелли

Рп(а + 1, Ь + е,-; с+ 1: г)' .мае формалъне розвинення у гылястий ламцюговий дргб

Ьо(*) + б £ ^^^

1=1 ¿„ = 1

Ь0 г = 1--г,- - —-ь (3)

с ¿=1 с

аЦп) 2 = 7—;-1и , 1 - г1п), (4

+ п - 1)(с+ п)

2) = 1---—-(5

' с + п к=1 с + п

Твердження 2.1.3. Вгдношетья ггпергеометричних функцгй Лаур{-челли

1 < г < Лг

Ро(а + 1,Ь + ег; с + 1; г) лме форм,о,льне розвиненнл у гылястий ланцюговий др1б вигляду

-1

V п = 1 г„=1 Чп)К*))

косфгцгснгпи якого обчислюютъся за формулами

60(г) =-(1 - г,), с0 = 1 -с с

л л л^^Ь+Л ** „ М (с-а + 1)(Ън+р{{1))

= 1 + --а(с+1)-ТЗ-Г'

_ (с - а + п)(Ь,-„ +р,-(п)) (1 - -г,„_,)г,„

— ; ; ггт ; ч : , п > А,

(с+ п - 1)(с + п) 1 - г,п

¿¡(П)О2 = 1--;—Ч. + Е-:—1-—. п >

1 ' с + п к=1 с + п 1 - гк

Плдроздш 2.2 прнсвячений доапдженню в1дпов1дност1 побудованих розвннень у ГЛД до формальних кратних степеневих ряд1В, в яш роз-виваються вказаш в1дношення гшергеометричних функцш Лаур1челлн. та встановленню порядку вщпов1дност1 для га-го шдх1дного дробу, п = 1, 2,... В1дпов1дшсть гшлястого ланцюгового дробу до заданого формального кратного степеневого ряду в точщ ъ = (0,0,..., 0) означае, що роз-винення кожного шдх1дного дробу ГЛД /,,(г), п = 1,2,..у формалышй кратннй степеневий ряд збшаеться з вих1дним рядом за вама однор1дни-ми полшомами до степсня ип — 1 включно 1 для порядтв в1дпов1дност1 ип п-х апроксимант jn(z) внконуеться умова: ^¡гп ип = оо.

Теорема 2.2.3. ГЛД (2) с в{дпов{дним в точщ ъ = (0,0, ...,0) до формального кратного степеневого ряду, в який розвиваютъся агдно-шення гшергеометричних функцш Лаур1челли

.РЪ(а+ 1, Ь + с+ 1; г

г для. кожного його пгдх1дного дробу ./^(я) порядок вгдпов'ьдноспп V,, = п + 1, п = 1, оо.

Аналогично у теоремах 2.2.1 1 2.2.2 подано результат про в1дп0в1д-шсть ГЛД (1) 1 (3) до формального кратного степеневого ряду, що е розвиненням в1дношення функцш Лаур1челли.

У роздш1 3 доапджено зб1жшсть побудованих розвинень у ГЛД у вппадку нев1д'емних параметр!в функцп Ро в деяких дшсних областях, а також встановлено оцшки швидкоси зб!жность У шдроздш 3.1 дослужено умови зб1жност1 ГЛД (1) 1 (3) в деяких обмежених областях простору

Теорема 3.1.1. Нехай параметри функцп 1«о(а,Ь; с; х) зидоьоль-няютъ настпупт умови: а, Ь15 £>2,..., бдг, с — дгйст числа такг, що

с > а > 0, Ь{ > 0, г = 1,ЛГ.

Тодг гылястий ланцюговий дргб (1) с зб1жним в областл Д1 = {хё1л' : 0 < ж,- <1, г = 1^7},

причому зб'1жтсгпъ р/внолпрна всередит niei обласгпг i дл.я довыьпого компакту К, К С D\, справджуетъся оцтка, швидкостм збгжноспп

с _ а [?] i [з] /V

1/(х)-/„(х)|<-Пг-гПтг^' « = 1-2,...,

с r=i 1 + 0r r=1 jy + 7г

дс /(х) - значения, неск'тчсного ГЛД (1), l-xlr) - а + г) а( 1 - xir]

r . i а(1 — xi , Т,,

<),. = пап I ---—- : х € А >,

[с — а+г)

: г., = 1 ,N, s — l,/', х£ К >.

(bir + Pi (г)) Ч

Теорема 3.1.2. Нехай параметры функцп Лаургчелли Fo{a, b: с: х) е àiilcui числа mani, що

__N

О а> П, h; >0, i = 1, N, 2а> J2hk+ 1-

k=ï

Todi ГЛД (3) збггаетъся ргвшипрно всередит oÔAacmi D-i = {х G КЛ' : -1 < х{ < 0, i= T^N}

г на довгльному компактг К, К С D-2, справджуетъся оцтка твидкос.тг збгжноспп

|/(х)-/п(х)|<СПтрТл-. »1 = 1,2.....

k= 1 Л + °к

, . ij2(k + a)(k + a+l)

ос àk = - -

(2 - 7)'2(с — а + к + 1)(В + к + 1)' ■у = сПя^х1, Л'), х1 = ( —1, —1,. . ., —1), С - деяка стала, яка залежитъ в 1д компакту.

У другому шдроздш третього розд1лу доведено р1вном1рну зб1жшсть ГЛД типу Ньорлунда всередит област1 {х £ : I; < 1/2, г = 1,ДГ} та встановлено ошнку швидкост1 зб1Жность

Теорема 3.2.1. Нехай паралгетри ггпергеометричног функцй с; х) задовольняютъ умови:

__N

а > 0, Ь,>0, г = 1, Л/", 2с>а + '£Ь{+1.

г=1

Тодг гглллстий ланцюговий др1б типу Ньорлунда (2) ргвномлрно збггаетъся всередит област{

D5 = {x € RN : Xi < 1/2, i = MV}

i на довглъному компактг К, К С справджуеться ощнка швидкостг зСпжносгт

|/(х)-/„(х)|<С

N

кN + a

де /г,(х) — п-гпа апроксимангпа ГЛД (2),

а = mm

2 а 2 71 «71

п = 1,2,

S, Ъ + 2 71

1'5+Г1'72'(В + 1)72' (а+1)72

7i = min \- — Xi, i = 1, N, х £ dK ,

72 = max j- - Xi, i- 1, iV,x G ЗЛ j , С - деяка стала, яка заложить eid компакту К.

У четвертому роздш подано результаты досшджень зб1жност1 гш-лястих ланцюговпх дроб1в у комплёкснш области Використовуючи ба-гатовшшрш аналоги ознак Слешинського-Пршгсхейма та Воршцького, в першому шдроздии встановлено област1 зб1жност1 нескшчених залшшав ГЛД (3), гшлястих ланцюговпх flpo6iB (1), (2).

Пллястий ланцюговий др1б (3) е екв1валентним до ГЛД

Де

b0(z) + c0(z)

doW + DE

n=i ¡„=1 a,(„)(z)

\

Mz) = -(1 - ZX), C0(z)=l - do(z) = l + ih + 5,k Zk , с с fc=1 a 1 - Zk

- (c - a + n) (b,-„ + p,-(n)) zin

cHn)W~ a2(1 _zj2

a(l - 2;J a(l - Zj)

(8) (9) (10)

Нескшчеш залишки ГЛД (7) позначатимемо:

oo jV

Q^(z) = diN(z)+ D E

k=n+1 i'* = l (1щ(т)

fle n = l, oo, ip = 1 ,N, p = 1, n.

Теорема 4.1.1. Нехай коефщгенти ГЛД (7) визначаються, за формулами (8)-(10) i ?'о — додатпий кортъ ргвняння,

х4 + 2х3 + 2х2 + 2х - 1 = 0. (11)

Todi для будь-якого дгйсного додатного числа г, 0 < г < Гц, icnyc токе натуральна число щ = що для кожного п > щ г довыъного мультигндексу г{п) несктчснний залишок ГЛД (7) Q°(n){z) абсолютно збп'аетпъся в обло.стгй

Gt := {zee": \z, \ < г, j= T^v} .

Теорема 4.1.3. Нехай коефщ1ентпи ГЛД (7) визначаються за формулами (8)-(10), i Гц — додатний кортъ рыняння (11). Тодг ГЛД (7) збггасться в обласгпг G\, 0 < г < r'fj, лкщо для кожного мультигндексу Цк). 0 < к < п0 - 1,

|с|(1 - г) + (1 + г)Л (1 + |с - а\ + Е |6;| + ^ (l + |«| + Е N

j=1 \ j=]

'о =

виконуються нергвностг

1 - 2\/г — 2г - 2г^Т-г'2

+ 1,

¡7i(t)(z)j > rl[k){z), zeGu

де ~),(k){z), '»';(<•)(z) визначаються рекурентними стввйЪюшеннллт

7 (ь г Чк+Ф) +7,(i-+i)(z) = dm (z)+ £ —i-—5-1 ,

•Wi = i |7i(A+i)(z)| ~Ч(к+i)(z) / \ Л lQ(t+i)(z)|r,-(t+1)(z) 101

гцк)(*)= E , ; ,,2 0 , N> a = «o-i, n0-2.....1.

'1+1=1 |7i(i-+i)(z)| - ri(k+i)(z)

3 иочатковими умовами

7i(n„)(z) = di(„0)(z), rf(no)( z)= X, -TTTi-:-г

!„„ + , = 1 HI1 - + 1

Область значенъ ГЛД (7 ) належитъ кругу

К := {и> £ С : |и> — 7(я)| < г{г)} ,

дс

7(г) = Ъ0{г) +

7о(2)со

|7о(г)|2 -

"(2) =

''о

>)Ы

|7о(г)|2 - г1{т,

Теорема 4.1.4. Нехай параметры функцп Лаур1челли Рд задоволъ-няюгпъ умови: а,Ь\,... ,Ьдг, с — комплекст числа та кг, що

N

о-Е^и-

Тод1 ГЛД (7) р{вном{рно г абсолютно збггастъся в областг

С2 := П

()е

:= {г £ С^ : |1 — > г + £, ; = Т^ЛГ} ,

-- довыьне додатне число, 0 < £ < 1,

г = 8ирН£|Ь,-| + |с-а|+2п + 1

пеМ \;=1

N

С0-.= гес^: £

<

а — £ 6; — гс — 1

3=1

/з2

-11

/3 = Ы {Д-(п) : гк = к = Т^г, п £ м} ,

А» = т£ ^ — |с?,-(„) (я)| : ъ 6 <?£

ч Н

У попередшх теоремах отрнмано област1 зб1жност1 ГЛД при на-кладанш певних додатковнх обмежень на параметри гшергеометричнсн функцп. У наступит теорем1 доведена зб]жшсть ГЛД при довшьних до-пустимих значениях параметр1в.

Теорема 4.1.5. ГЛД

оо N

ВД + ОЕ

*=1«и=1 *

чФ)

-1

(12)

г

коефщгенти якого визначаютьсл за формулалт (3)-(5), де а, 6],.... Ь^.с — комплекст числа, причому с ф 0,-1, —2,.. . абсолютно г р'шномл.рно збггаетъся в замкнетй областг

:= {г е Ск : < Я, / = 1, Щ ,

де

Д =

¡3 + 2аN - 2у>тЧ(а1У + ¡3+1)

/З2 - 4аЫ 1

а — йир

(32 + 2(3' \а + п\ ■ + п\ с + п — 1| • \с + 7

, якщо /З2 ф 4п'Д". якщо [З2, = 4аД\

г = 1, А", »ем ,

[3 — эир

\а\ + £ \к\+2п + 1

к=1 '_

|с + п\

, п 6 N

до де.яког функцп /(г) г справджуетъсл, оцтка швидкостг збгжноет1

2

\№~Ш\<

п + Г

де /„(г) — п-ий 1пдх1дний дргб ГЛД (12).

Результат, сформульований та доведений у другому шдроздЫ четвертого роздиу, е в певному сенс1 аналогом област1 зб1жност1 для функ-ц1й Аппеля встановлено1 Д.1. Боднарем, О.С. Мапзш.

Теорема 4.2.1. Неха.й параметра гтергеометричног функцп Лау-ргчелли Гр задоволъняютъ умови .

а > 0, Ь1 >0, i = 1, Аг, 2с > а + £ Ьк + 1.

к=1

Тодг ГЛД (2) абсолютно збггаетъся до делког функцп /(г) всередит облаетл

С4 = {г£ Сл' : 1 - Ке г,- > г = ТЛ?}

г для довыъного компакту К справджуетъсл оцтка швидкостг збгжио-стг

N

|/(7) - /„(2)| < С

71 — 1

. п

1

= 1,2.....

^N + 6)- йнх;

де /„(г) — п-ий тдх1дний дргб ГЛД (2), константи С,5,ЬГ за.лежа.тъ вгд компакту К г параметр1в функцп Гц.

У шдроздш1 4.3 сформульовано та доведено теорему, яка с багато-втйрним узагальненням теоремн Ньорлунда про зб1жшсть неперервного дробу, що е розвиненням ввдношень функцш Гауса.

Теорема 4.3.1. Нехай параметру, гтергеометричног функцп Ео а. Ь\, Ь2, ..., Ь[}, с — дтснг числа, що задоволънлютъ насгпупнг умови:

__N

а> О, Ь,- > 0 (г = 1,ЛГ), 2с > а + £ Ь,-+ 1.

; = 1

То (К

(А) гылястий ланцюговий др1б типу Ньорлунда (2) збггаетьсл р'шномгр-но до голоморфног функцп /(г) асередиш област1

б = {г = (ад.....г^бС" : Яе < 1 г = Т^};

(Б) /(г) с аналгтичним продовженням функцп

Р/2ч = Г0(а,Ь1,-Ь2,...,Ь„; с; г)_

голоморфног в деякому oкoлi початку координат, в область б.

висновки

В дисертацшнш робот1

• знайдено нов1 рекурентш сшвв1дношення для гшергеометритннх функцш Лаур1челли Бр, на основ1 яких побудовано формалый роз-вннення в1дношення цих функцш у гшляст ланцюгов1 дроби. Ц1 результата е розвитком алгоритм1в побудови ГЛД з двома вшса-ми розгалуження для в1дношень функцш Аппеля ^з, розглянутих у роботах Д.ГБоднара, О.С.Манзш. Розвинення вщношень функцш Лаур^челли Бр у ГЛД побудоваш та досгпджуються вперше. Один ¡з одержаних ГЛД при N = 1 збшаеться з неперервним дробом Ньорлунда. Доведено в1дпов1дшсть г^ллястих ланвдогових дроб1В до фор-мальних кратних степеневих ряд1в, в як1 розвиваються в1дношення функций Лаур1челли, та встановлено порядок в1дпов1дност1 п -х шд-х1дних дроб1в ГЛД.

• доапджено зб1жнють побудованих гшлястих ланцюгових дробив, встановлено облает! зб1жност1, р1вноы1рно1 зб1жносш цих дроб1в в дсяких областях простор1в 1 С^. При доведенш зб1жноеп цих ГЛД в дшсних областях використовуються ознаки зб1жност1 плля-стнх ланцюгових дроб1в з нев1д'емними елементами, а також спещ-альш алгоритми розтяпв ГЛД з дшсними елементами до ГЛД з не-в1д'емними компонентами. Досмдження зб1жносп ГЛД, яш с розвиненням в1дношень гшергеометричних функцш Бо, !х несшнченпх за-лишыв в деяких областях простору С7" грунтуеться на застосування

багатовтирних аналопв ознак зб!жност1 Слешииського-Пршгсхейма 1 Ворпшького. Дослужено облает! зб!жноеп побудованих ГЛД при певних додаткових обмеженнях на параметр« функцп Лаур!челли FD та при довишних допустимих значениях цих параметр1в. Використо-вуючи деяю спещальш нер!вност1 та методи побудови мажорантп ! парно! частини ГЛД, знайдено оцшки похнбок апроксимацш шдх!д-нимн дробами пллястих ланцюгових дроб1в на компактах областей зб!жноси в просторах 1 Ся.

• встановлено багатовтпрний аналог теореми Ньорлунда; доведено р1вном1рну зб!жшсть ГЛД типу Ньорлунда до голоморфно! функ-ц!!, яка е анал!т1гшим продовженням в!дношень функц!й Лаур1челли з деякого околу початку координат в область {Бег,- < 1/2, г = 1,ЛГ} при певних обмеженнях на параметри функц!! Ро. У випадку Лг = 1 ця область зб1гаеться з максимальною областю зб!жност1 неперерв-ного дробу, тобто одержаний результат е в певному сена остаточ-ним.

Основш результата дисертац!! носять завершений характер, супровод-л^уються повними доведениями. Вони можуть бути використаними в аналтпшй теор!! г!ллястих ланцюгових дроб!в та при доондженш спс-ц!альних функцш математично! ф!зики.

СПИСОК ПУБЛ1КАЦ1Й ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦИ

1. Молнар (Гоенко) Н. П. Наближення гшергеометричних функцш Лау-ршелли Р^ г!ллястими ланщоговими дробами // Мат. методи та ф!з.-мех. поля. - 1996. - 39, № 2, - С. 70-74.

2. Молнар (Гоенко) Н. П., Манзш О. С. Розвинення гшергеометричних функцш Аппеля ^ та Лаур!чслли у гьадяст! ланцюгов! дроби // Вкннк Льв!вського ун1верситету. Сер. мех.-мат. - 1997. Вип. 48.

- С. 17-26.

3. Боднар Д. I., Гоенко Н. П. Про зб!жшсть парно! частини розвинення у гьтлястий ланцюговий др1б в1дношення г!пергеометрпчних функцш Лаур!челли // Мат. методи та ф!з.-мех. поля. - 1997. - 40, № 4.

- С. 7-9.

4. Гоенко Н. П. Про збикшеть залишюв парно! частини розвинення у гилястий ланцюговий др]б в!дношення г!пергеометрнчних функцш Лаур!челли // В!сиик Льв!вського ун!верситету. Сер. мех.-мат. -1999. - Вип. 53. - С. 62-66.

5. Гоенко Н. П. Про зб1жшсть розвинень гшергеометричних функцш Лаур1челли у гшляси ланцюгов1 дроби // Теор1я наближень функцш та п застосування. Пращ 1нституту математики НАН Украши. -2000. - 31. - С. 135-143.

6. Гоенко Н. П. Алгоритми розвинення гшергеометричний функцш Лaypiчeлли у гчлляст1 ланцюгов1 дроби // Вкник НУ " Льв1вська по-л1техшка". - 2000. - № 411. - С. 67-73.

7. Боднар Д. I., Гоенко Н. П. Наближення гшергеометричних функцш Лaypiчeлли багатовиьирними узагальненнями неперервних дро-б1в типу КоИшкГа // Теор1я наближень та гармоншний анал1з. Праш Украшського математичного конгресу, 2001. Секщя 10. - Кшв: 1н-т математики НАН Украши. - 2002. - С. 34-44.

8. Гоенко Н. П. Про зб1жшсть гылястого ланцюгового дробу типу №г1ипс1'а у випадку дшсних змшних // Мат. методи та ф1з,- мех. поля. - 2002. - 45, № 1. - С. 28-30.

9. Гоенко Н. П. Зб1жшсть розвинення вщношення функцш Лаур1челли

у гшлястий ланцюговий др1б // Мат. методи та ф1з.- мех. поля. - 2002. - 45, № 4. - С. 52-57.

10. Гоенко Н. П. Застосування багатовим1рного аналогу теореми Во-рпщького до доаидження зб1жностл розвинень гшергеометричних функцш Лаур1челли у гьтляст! ланцюгов1 дроби // Мат. методи та ф1з.- мех. поля. - 2003. - 46, № 4. - С. 44-49.

11. Боднар Д. I., Гоенко Н. П. Наближення в1дношення функцш Лаурь челли .Рд Нллястим ланцюговим дробом // Математнчш студи. -2003. - 20, № 2. - Р. 210-214.

АНОТАЦ1Я

Гоенко Н.П. Наближення гшергеометричних функцш Лаурпеллп гылястими ланцюговими дробами. - Рукопис.

Дисертащя на здобуття наукового ступеня кандидата ф1зико-математичних наук за спещалыпстю 01.01.01 - математичний анал1з. Льв1вськпй нацюнальний ушверситет 1меш1вана Франка, Льв1в, 2003.

У дисертаци встановлено нов1 рекурентш cпiввiднoшeння для гшер-геометричних функцш Лаур1челли Го, на основ1 яких побудовано розвинення вщношення цих функцш у плляс^ ланцюгов1 дроби, зокрема, побудовано багатовим1рний аналог неперервного дробу типу Ньорл}'н-да; вперше встановлено ознаки зб!жност1 гшлястих ланцюгових дроб1в, у яш розвиваються в1дношення гшергеометричних функцш Лаур1челли:

дослужено област1 зб1жност1, piBiioMipHoi зб1жносш цих дроб1в, знайдено оцшки похибок аироксимацш ix niflxiflHiiMii дробами; вперше встановде-но багатовтпрний аналог теореми Ньорлунда про зб1жшсть та в1дпови-HicTb непсрервного дробу, у який розвиваеться в1дношення функцш Гау-са; доведено зб1жшсть гшлястого ланцюгового дробу типу Ньорлунда до функцп, що е аналтпним продовженням в1дношення функцш Лаур1чед-ли.

Ключов1 слова: Нпергеометрична функщя, пллястнй ланцюговий др1б, niflxiflni дроби, область зб1жност1, похибка апроксимацп.

ABSTRACT

Hoyenko N.P. Lauricella Hypergeometric Functions Approximation with Branched Continued Fractions. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree by speciality 01.01.01 - mathematical analisys. Ivan Franko Lviv National University, L'viv, 2003.

New recursion relations of Lauricella hypergeometric functions Fq are established in the thesis. On this base the expansions of these functions into branched continued fractions are built, in particular the multidimensional analogue of Norlund continued fraction is built; for the first time the criterion* of convergence of branched continued fractions being the expansions of Lauricella hypergeometric functions are established; the regions of convergence, uniform convergence of these fractions are investigated, there are found the estimations of approximation errors for fraction arproximants; for the first time there is established the multidimensional analogue of Norlund theorem on the convergence and compliance of continuous fraction that is expansion of Gauss functions ratio; the Norlund type branched continuous fractions convergence to function being analitical continuation of Lauricella functions ratio is proved.

Keywords: hypergeometric function, branched continuous fraction, ap-proximants, convergence region, approximations error.

АННОТАЦИЯ

Гоенко Н.П. Приближение гипергеометрических функций Лау-ричеллы ветвящимися цепными дробями. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ, Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2003.

В диссертационной работе исследуются разложения гипергеометрических функций Лауричсллы в ветвящиеся цепные дроби (ВЦД). Диссертация состоит из введения, четырех разделов, выводов и списка пс-пользованых источников. Во введении дано обоснование актуальности

темы, указываются цели и задачи исследования, научная новизна, практическое значение и аппробация полученых результатов, количество публикаций.

В первом разделе сформулированы основные свойства гипергеометрических функций Гаусса и Лауричсллы, цепных и ветвящихся цепных дробей. Приведен обзор литературы, посвященной вопросам разложения гипергеометрических функций одной и нескольких переменных в цепные и ветвящиеся цепные дроби соответственно. Указаны направления научных исследований и приведены основные результаты диссертации.

Во втором разделе для гипергеометрических функций Лауричсллы Бо установлены рекурентные соотношения, на основании которых построены разложения отношений этих функций в ветвящиеся цепные дроби. Одна из построеных ВЦД при N = 1 совпадает с цепной дробью Нер-лунда. Доказано соответствие ветвящихся цепных дробей к формальным кратным степенным рядам, которые являются разложением отношений функций Лаурнчеллы.

В третем разделе исследуется сходимость, равномерная сходимость построеных ВЦД в некоторых областях пространства при условии, что параметры функции Бо действительны. При доказательстве сходимости рассматриваемых ВЦД исспользуются признаки сходимости ветвящихся цепных дробей с неотрицательными элементами, а также специальные алгоритмы приведения ВЦД с действительными элементами к ВЦД с неотрицательными компонентами. Установлены оценки скорости сходимости ВЦД на компактах полученых областей.

В четвертом разделе исследуются области сходимости ВЦД, являющихся разложениями отношений функций Лауричсллы, при дополнительных ограничениях на параметры функции Бр, а также для произвольных допустимых значений параметров. Установлены оценки погрешностей приближений подходящими дробями ВЦД на компактах соответствующих областей сходимости. Используя многомерный аналог теоремы Стнлтьеса-Витали, доказана равномерная сходимость ВЦД типа Нерлун-да к голоморфной функции, являющейся аналитическим продолжением отношения функций Лауричеллы с некоторой окрестности начала координат в область {Нел,- < 1/2, г = при некоторых ограничениях на параметры функции Бр. В случае N = 1 эта область совпадает с максимальной областью сходимости цепной дроби Нерлунда, то есть по-лученый результат в определенном смысле является окончательным.

Ключевые слова: гипергеометрическая функция, ветвящаяся цепная дробь, подходящие дроби, область сходимости, погрешность приближения.