Применение метода функционального интегрирования к модельным двухуровневым системам тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

глава i. йазовып переход в модельной двухуровневой системе типа дикке.

§ I. Описание модели.

§ 2. Вычисление статистической суммы. 2IL

§ 3. Спектр коллективных возбуждений.

§ 4. Выводы и возможные обобщения предложенной модели.

глава 2. строгое доказательство асиштотики статистической сутулы для моделей типа дикке.

§ 5. Представление статистической суммы модели типа Дикке в виде функционального интеграла по бозе-полга.

§ 6. Асимптотика при Т>ТС.

§ 7. Асимптотика %0 ПР1'1 Т^Т,».

§ 8. Асимптотика в окрестности точки фазового перехода.

§ 9. Функции Грина.

ГЛАВА 3. ПНФЛЕНЕНИЕ МЕТОДА ФУШЩОМЛЬНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ТЕОРИИ ЛАЗЕРА.

§ 10.Метод функционального интегрирования в теории неравновесных процессов.

§ Нефункциональный интеграл для модели лазера

§ 12.Вычисление матрицы плотности двухуровневой системы в классическом поле.

§ 13 .Уравнения движения лазерного поля.

ГОШОШЖЗ I. Вычисление функции -Qk.icJu;)

В настоящей работе метод функционального (континуального) интегрирования применяется к модельной системе многоуровневых атомов в поле излучения. Исследован спектр возбуждений и асимптотика статистической суммы многомодовой модели Дикке в сверх-излучательном состоянии, впервые строго доказана асимптотика статистической суммы, модели Дикке как выше, так и нике точки фазового перехода, выведены уравнения, описывающие процесс лазерной .генерации и не; зависящие от феноменологических параметров.

В последние два десятилетия большое внимание уделяется исследованию коллективных эффектов, возникающих при взаимодействии электромагнитного поля с системой атомов. Это связано с открытием и бурным развитием лазерных систем, исследованием эффектов сверхизлучения и разработкой ряда модельных теоретических схем, описывающих фазовые переходы в системе атомов в поле излучения.

Все работы, как экспериментальные, так и теоретические, посвященные изучению кооперативных явлений в системе атомов и поля излучения могут быть разбиты на две группы: работы, в которых исследуются термодинамические характеристики равновесной системы, и работы, посвященные исследованию неравновесных процессов в этой системе (процесс лазерной генерации, сверхизлучение ).

Исходной точкой большинства теоретических исследований послужила работа Дикке / I /, в которой был предложен модельный гамильтониан, описывающий систему атомов и одномодовое поле излучения,

Здесь а4, ос - бозе-операторы поля излучения с перестановочными соотношеьшшш v>± ~ спиновые матрицы ( L - нумерует атоглы); - энергия мода поля излучения с волновым вектором С^ ;

I - константа связи между атомной системой и полем излучения; а - разность энергий соседних уровней в атоме;

А/ - число атомов.

Интенсивное изучение равновесных свойств системы с гамильтонианом (I) началось после работы Хеппа и Либа /2/. В ней было показано, что в модельной системе Дикке при -*<=><=> , \ ( L. - размер системы в резонаторе), , возможен фазовый переход, который представляет собой макроскопическую бозе-конденсацию одномодового поля излучения.

Xeim и Либ вычислили термо,динамические характеристики системы и получили уравнение на температуру базового перехода

В последующих работах 3-10 изучались более общие модельные гамильтонианы, описывающие поле излучения, взашлодействующее с системой двухуровневых атомов в резонаторе. Вонг и Хиое /3/, используя для представления статистической суммы системы метод когерентных состояний /72/, исследовали фазовый переход в многомодовой модели Дикке при kL j .В работах /5,7, 11-13/ изучались системы атомов, тлеющие колебательные степени свобода, взаимодействующие с полем излучения. Учет колебательных степеней свобода приводит к появлению зависимости кон9 станты взаимодействия атомной системы с полем излучения от фононных полей. Фононные поля описывают возможные колебания решетки, в узлах которой расположены атомы. Такая системы обнаруживает критическое поведение связи. Вашшми, для понимания физического смысла фазового перехода в модели Дикке явились исследования /14-18/. В этих работах показано, что при снятии ограничения на число мод бозе-поля в термодинамическом пределе оо происходит макроскопическое заполнение квантовых состояний поля излучения с нулевыми волновым вектором и частотой, что соответствует пространственно-однородному сегнетоэлектрическому упорядочиванию в системе.

Исследование обобщенной модели Дикке с гамильтонианом где V - затравочное взаимодействие, Р~ £ (S+ 4 S-) проводилось Б.В.Мощинским и В.К.Федяниным /19, 20/. В этой работе использовалось представление статистической суммы системы в виде континуального интеграла. Вычисление континуального интеграла проводилось по методу стационарной фазы, что позволило вычислить асимптотику статистической суммы модели с гамильтонианом (3) при 1)1-*°^ . В.Б.Кирьянов и В.С.Ярунин /21/, используя реапирацию спиновых матриц в (I) в виде билинейных комбинаций шерми-операторов, исследовали устойчивость фазового перехода, а также нашли спектр коллективных возбуждений бо-зевского типа при л/-»^ в модели Дикке прлТ<-Тй ,Т>ТС . В этих работах /19, 21/, базирующихся на методе континуального интегрирования, критическое поведение системы трактовалось, как появление нетривиального решения уравнения, дающего точку стационарности эффективного действия кцО^о) бозе-поля. Спектр коллективных возбуждений при таком подходе определялся исходя из условия обращения в ноль определителя матрицы, соответствующей квадратичной форме второй вариации 6х в окРестностп этого решения.

Существенную роль в развитии представлений о фазовом переходе в модели Дикке сыграли работы /24-35/, посвященные математически строгому описанию поведения системы в термодинамическом пределе. Наиболее простое доказательство асимптотической точности выражения для свободной энергии, полученного в предыдущих работах, было дано И.П.Бранковым, В.А.Загребновым и Н.С.Тончевым / 25/. В этой работе показано, что при tl-*<*<> разность между свободной энергией системы F-^" Аг % и свободной энергией Р^ , вычисленной на основе ашроксимирующего гамильтониана, есть величина порядка fc^ , где СИ) fv " F4 * С ^ (4)

Доказательство этого факта было основано на термодинамической эквивалентности модели Дикке и модели взаимодействующих спинов типа XX У , которая была исследована ранее /34/ методом ап-проксшлирующих гамильтонианов. Строгое исследование обобщенной модели Дикке с гамильтонианом (3) потребовало нетривиального обобщения техники мажорационных оценок Н.Н.Боголюбова (мл.) на неограниченные по норме операторы бозонного поля /24-26/. В работе /34/ получены строгие результаты для многобозонных средних в обобщенной модели Дикке с конечным числом мод поля излучения.

Важной, но пока еще не решенной до конца задачей является строгое доказательство асимптотических выражений для статистических сумм модельных систем типа Дикке и БКШ, полученных в работах /19-22,35/. Для доказательства асимптотик статистических суш модельных систем необходимо получить более точные оценки на свободную энергию системы в термодинамическом пределе, чем (4). Наиболее важной с этой точки зрения является работа В.Н.Попова /35/. В этой работе, с помощью представления статистической суммы модели БКШ в виде континуального интеграла, были получены асимптотические формулы для при как выше, так и ниже точки фазового перехода в системе. Асимптотические формулы выражаются через бесконечные произведения, которые не являются абсолютно сходящимися, что является основной трудностью для строгого доказательства формул для £ X „ 1 . Для модели БКШ эти формулы удалось доказать при Т> Тс , приняв некоторое дополнительное предположение. Как показано в /21, 22/ и главе I данной работы, асимптотика статистической суммы модели Дикке выражается через абсолютно сходящиеся бесконечные произведения. Это позволяет строго доказать формулы для асимптотики статистической суммы, полученные методом стационарной фазы /36, 37/.

Наиболее принципиальным является вопрос о том, насколько модельное представление Дикке соответствует реальной физической картине взаимодействия поля излучения системы атомов. При получении в /I/ модельного гамильтониана (I) использованы следующие приближения:

1. Система, в общем случае бесконечноуровневых атомов заменена системой двухуровневых.

2. В гамильтониане не учитываются нерезонансные члены вида Q/P » С1*Р+ (такое приближение обычно называются приближением вращающейся волны).

3. Не учитываются члены взаимодействия, пропорциональные . ( &++CU )?

4. Бесконечномодовое поле измерения заменено одной модой.

Ограничение I не является принципиальным, так как аналогичные выводы относительно характера фазового перехода верны и в случае, когда матрицы будут генераторами более высокого представления группы спина /2/.

Приближение 2 является хорошим, когда основной вклад в термодинамику системы дают поля с частотой . Это приближение не работает при Т ^ Т0 , так как частота бозе-конденсата, появляющегося при Т-Тс и определяющего асимптотику статистической суммы, равна нулю. Учет нерезонансных членов приводит к уменьшению группы симметрии .гамильтониана и изменению как асимптотики статистической суммы /19,22/, так и спектра коллективных возбуждений /22/. При Т0 в спектре коллективных возбуждений при учете нерезонансных членов отсутствует ветвь с нулевой частотой.

Учет нерезонансных членов и членов, пропорциональных (а + Q/ ;, в градиентно-инвариантной теории приводит к исчезновению фазового перехода /38, 41, 43/. Трактовка этого результата в формализме функционального интеграла дана в главе I. Однако, в системах с нарушенной градиентной инвариантностью этот результат уже неверен. В ряде работ учитывались члены пропорцио-+ ^ нальные (&+0/ ), но оставлено приближение 3, что не изменяло характера фазового перехода /39, 42/.

Наиболее существенным является приближение 4. Реально резонатор может выделить макроскопическую моду с определенной частотой полн излучения. Однако, при сильном взаимодействии между полем излучения и атомами частота поля смещается, обращаясь в ноль в точке фазового перехода. Поэтому представление об одномо-довом характере поля верно только в случае, когда поведение системы определяется полем с частотой <0 ~ -Q. , что не выполняется при Т ^ Тс .

Анализ приближений 1-4 приводит к выводу о том, что в системе атомов поля излучения возможен фазовый переход только в однородное сегнетоэлектрическое состояние. В случае, когда гамильтониан Дикке (I) трактуется, как система неподвижных спинов, взаимодействующих с электромагнитным полем, остаются в силе возражения, связанные с приближениями 2 и 4.

В работах /14, 44/ обобщенная модель Дикке применялась для описания электрончоононной системы полупроводников и полуметаллов. В работе /45/ исследовалось влияние внешнего поля на характер сегнетоэлектрического фазового перехода.

Изучение неравновесных процессов в системе атомы + поле излучения, таких, как лазерная генерация и сверхизлучение, представляет нерешенную пока в полном объеме проблему неравновесной статистической физики. Актуальность создания строгой теории лазера и эффекта сверхизлучения диктуется бурным развитием лазерной техники и техники получения сверхкоротких мощных импульсов. Экспериментальная ситуация в этой области достаточно полно отражена в работах /51;59/.

При описании процесса лазерной генерации в принципе возможны два подхода: квазиклассический и квантовый. Квазиклассический подход основан на представлении электромагнитного поля как классической величины и описания системы атомов при помощи матрицы плотности /46-50, 60/. В рамках этого подхода Лэмбом /46/ была предложена теоретическая модель мпогомодового лазера, оказавшаяся чрезвычайно плодотворной для анализа свойств газовых лазеров, в частности, при исследовании влияния какой-либо характеристики активной среды на поле излучения. Эта теория позволяет рассматривать такие явления, как насыщение, затягивание, уход и синхронизация частоты, а также конкуренция мод. Недостатки этой теории заключаются в следующем. Квазиклассический подход не позволяет учесть эффекты, обусловленные статистическими флуктуа-циями, в частности, эта теория не позволяет вычислить предельную теоретическую ширину линии моды лазера, описать свойства когерентности поля. Теория Лэмба использует феноменологические параметры типа диссипативных констант, которые в общем случае зависят от частоты и интенсивности излучения лазера. Эта теория применима только в случае слабого сигнала, так как связь между полем и средой описывается низшими порядками теории возмущения. Исследования теории Лэмба в более высоких порядках теории возмущений проведены в работах / 55*- /. Упрощенные точно решаемые модели лазера, рассмотренные в работе /54/, служат для оценки точности различных приближений, используемых при решении уравнений Лэмба.

Квантовый подход в теории лазера был развит в работах /56-59/. Преимущество квантового подхода перед квазиклассическим состоит в возможности вычисления таких важных характеристик системы как корреляционные функции, статистика фотонов, ширина линии. В рамках этого подхода развито три, в сущности эквивалентных метода:

1. Гейзенберговские операторные уравнения с квантово-меха-ническими силами Ланжевена /55, 56/,

2. уравнение для матрицы плотности поля излучения и системы атомов /57, 59/,

3. обобщенной уравнение Фоккера-Планка /58/.

Достаточно полно все Эти три метода в квантовой теории лазера обсуждаются в статье Г.Хакена и В.Вайдлиха в сборнике /60/. Квантовый подход основан на исследовании полной лазерной системы, включающей тепловые резервуары. Наиболее принципиальной и не решенной пока в полном объеме проблемой, присущей всем трем методам, является построение корректной процедуры, позволяющей в замкнутом виде провести исключение из рассмотрения термостатные переменные / 61,62/. Строгий подход к теории сверхизлучательных систем, основанный на методе исключения бозонных переменных, развит в работах Н.Н. Боголюбова /мл./ с соавторами / 52,53/. С его помощью удалось получить ряд важных результатов в теории безре-зонаторных лазеров.

Возросший интерес к неравновесным системам типа лазера связан с трактовкой процесса лазерной генерации, как неравновесного разового перехода. Впервые аналогия между фазовым переходом и критическим поведением лазера была замечена Г.Хакеном /13/ На языке корреляционных функций эта аналогия изучалась в /64,65/. В этих работах отмечено, что радиус корреляции вблизи пороге генерации лазера ведет себя аналогично радиусу корреляций флуктуации параметра порядка вблизи точки фазового переходы в теории Ландау. Принципиальное отличие равновесного фазового перехода от процесса лазерной генерации состоит в том, что критическое поведение неравновесной системы определяется её диссипативными характеристиками. Равновесный фазовый переход определяется не-диссипативными характеристиками системы. Исследование критического поведения лазера интересно и с точки зрения проблемы самоорганизации при необратимых процессах /66,67/.

Данная диссертация посвящена изучению свойств двухуровневых ферми-систем в поле излучения. Используемый в работе подход основан на представлении статистической суммы системы и матрицы плотности в виде функционального /континуального/ интеграла. Формализм функционального интегрирования оозэбенно эффективен при исследовании термодинамически равновесных систем при фазовых превращениях. В работе он применяется для вычисления асимптотики статистической суммы модели Дикке в термодинамическом пределе по методу стационарной фазы. Представление статистической суммы в виде функционального интеграла существенно используется и при строгом обосновании полученных асимптотических формул. Метод оказывается приспособленным также для изучения коллективных возбуждений системы. Спектр коллективных возбуждений определяется функционалом эффективного действия, полученным после интегрирования по ферли-переменным, описывающим атомы. Метод функционального интегрирования удалось использовать и для изучения неравновесных свойств системы атомов в поле излучения. Предложенный в .диссертации подход, основан на представлении неравновесной матрицы плотности системы в виде функционального интеграла и оказывается эффективным при исследовании процесса лазерной .генерации. В таком подходе удалось получить уравнения, описывающие процесс лазерной .генерации, не содержащие феноменологических параметров.

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложении и списка литературы.

1. ЗксАft. CMwr-^t^ ov AfKMtouMOUb wiiaAbt pnc&A.—php. №,.1954, V. 86, p. 99.

2. B.V. pLcM irtMUbCo+is in. CL HioobfiedЪс4л ууиюМ. Cf. д ^ p - IZZ.8. 8. ft, & кия/тили, A/f piaM-irtiMUticnv Ivl

3. Садреев Коллективные радиационные явления в двухуровневых системах. ПЭТо), .:979, т.77, с.829-842.

4. Заславский Г. 1,1., Куденко 10. А., Сливинский А.П. О фазовом переходе, приводящем к появлению спонтанной когерентности в системе взаимодействующих осцилляторов и полей. ESTS, 1975, т.68, с.2276-2284.

5. Елесин B.QV Копаев 10.В. К электронной теории сегнетоэлек-тричества. Письма ЫЗТф, 1976, т.24, с.78-80.

6. Емельянов В.И., Климонтович Ю.Л. Бг Вавиловская конференция по линейной оптике, Новосибирск, 1975. Квантовая электроника, 1976, т.З, с.848.

7. Х^^Д Я.М., Akourow V. h, Kvic^&.T. ЛггГоМошЛ pActK- tnou^ibiр&ьиОДо.— phty. fa*/. Дv. p. 1454-14GZ.

8. О^оЛцлмсАс-- &inda, К^ьжт/^кл УС. Яо'&оQj&nWiAivu^ -Ькя, рксцл ircmkiti&b, iv^

9. Клиглонтович Ю.Л. Кинетическая теория электромагнитных процессов. 1/1., Наука, 1980, с.376.

10. Мотдинский Б.В., Федянин В.К. Асимптотика модели Дикке. 1977, Теор. и мат.физика, т.32, Г? I, с.96-100.

11. Ыощинский Б.В. функциональные методы в теории модельных систем. Дисс. на соиск.учен. степ. конд. физ-мат. наук (01.04.02). Дубна, Б.и., 1978, 115 с. В над.заг.: 0ШШ.

12. Кирьянов В.Б., Ярунин B.C. Сверхизлучение в решетчатой моля Ли. Теор. и мат.физика, 1980, т.43, J' I, с.91-99.

13. Федотов С.Л. Фазовый переход в модельной двухуровневой системе. Зап.научн.семинаров ЛОЫИ, 1980, т.101, с.91-103.

14. Васильев А.Н. Фушщпоналыше методы в квантовой теории поля и статистической физике. ЛГУ, 1976.24. (^о^оЫ^гМ. Ж- (ЭД, РМЛс V.AT. CloM С^иолЛ^у boluMz/ WbCLMtj,- <(U>oLy. Wlbk intert glf MA&VtQM&b OlmmL J^illoL.— PhyMto, l\,

15. Бранков п.Г., Загребнов В.А., Тончев Н.С. Асимптотически точное решение обобщенной модели Дикке. Теор.и мат.физика, 1975, т.22, J.? I, с.13-20.

16. Боголюбов Н.Н.(мл.), Плечко В.Н. Вычисление квазисредних для многочастичных систем, взаимодействующих с бозошшгл полем. Докл.АН СССР, 1976, т.228, с.1061-1064.

17. Боголюбов Н.Н. (мл.), Бранков Н.Г., Загребнов В.А., Курбатов A.I.I., Тончев Н.С. Ыетод аппроксширующего гамильтониана в статистической физике. София, из-во Болгарской академии наук, 1981.ор &пLattice oUi-tertitm enpf а. ВС? с.

18. Курбатов АЛЯ., Плечко В.Н. Точно решаемая модель для секнетоэлектриков типа порядок-беспорядок. Теор. и мат.физика, 1976, т.26, Л 2, с.109-116.SO. ft., B-om/oUw Gr.M. Cou^ot bfoUc- ^QtraMtzie^гЬоЖтлмЬ o^ (JdicAz. Ялм, A,me^ a/ s; p. ms-m

19. CtWre ft, jWoW&.M. (k^MtaAi™, properties ofptq*; 49Ч&, v.p.lGM-mS.

20. Боголюбов Н.Н./мл./, Курбатов A.M. Строгие результаты для многочастичных модельных систем, взаимодействующих с бозонным полем.- Препринт Д-17-9737, Дубна, ОИШ, 1976.

21. Боголюбов Н.Н.(мл.) Метод исследования модельных гамильтонианов. М., Наука, 1974.

22. Боголюбов Н.Н.Смл.), Возяков В.И., Плечко В.Н. Многобозон-ные средние для модельных систем типа Дикке. Теор. и мат. физика, 1980, т.44, & 3, с.363-372.

23. Попов В.Н. Метод функционального интегрирования в теории модельных гамильтонианов. Зап.научн.семинаров ЛОЫИ, JI., 1981,. T.IQI, с.128-150.

24. Попов В.Н., Федотов С.Л. Применение метода функционального интегрирования к моделям типа моделей Дикке. Труды П международного симпозиума по избранным проблемам статистической механики. Дубна, август 1981 г., Д17-81-758,с.94-103.

25. M. PLxtf,- -къмЛЪСсж> of Qct&wA —1/.>/0, р.Шь~-аообТ

26. Слюсарев В.А., Янкелевич Р.П. 0 невозможности фазового перехода в сверхизлучательное состояние в термодинамически равновесной системе градиентно-инвариантной. Теор. и мат.физжа, 1979, т.40, В I, с.124-132.

27. Prie fev R ^ (bicJu iu^t mcooUI u/iirLЬомлЛ&Ь&МЛ QLM,flfi^mo, A.H^z, Lhg-tez.43. \/W\\pMW>Ms ^f. ptt^ t^e. tpf (XfjJoJMxXlb Иэ&хоъ cwvcL J^vhaqia, LOMUPAOVU&M.—

28. Елесин В.Ф. Сверхизлучателъный фазовый переход в полупроводниках и полуметаллах. ФТТ, 1976, т.18, № 8, с.2461.

29. Емельянов В.И., Климонтович Ю.Л. Фазовый переход в системе двухуровневых атомов, индуцированный лазерным полем. -Письма в ЖЭТФ, II978, т.27, В I, с.7-9.

30. Мэйтланд А., Данн M. Введение в физику лазеров. М., Паука, 1978, 408 с.

31. Боголюбов Н.Н./мл./,Фам Jle Киен, Щумовский А.С. 0 кинетическом уравнение для двухуровнево^ системы, взаимодействующей с электромагнитным полем.-Теор. и мат. физика, 1982, т.52,с.423-430.

32. Боголюбов Н.Н./мл./, Фам Ле Киен^ Щумовский А.С. Динамика двухуровневой системы и оценка времени релаксации.- Теор. и мат. физика. 1982, т.53, с.108-113.

33. ЦигАхихЛ- МьиыяоЬои ^ЬКОисЛ W&uUe-H* lyi-imu-сJksMwJs jjhMyby 0u ftm Ым^ ^on, £ Jbfacial (ЮШгa. Off*. PfufA.,<13?<t, v.40, p.6,23.

34. ЛЬоууюоЫ; ^ iMhxvui, Qtvlvt; -кч/Wr/i-Qtokb omA дхАяъ taZuJMco^ ©^ t>ip in U^jm ОмА ЛоЛияМсщ, dfooxftc&n- Ja^X&j^.pW^ Jgy^ ^ jq p^QftiaeWp.3/2. 7

35. ЪсмЩ M; ЬоуиА и/.i. Q/cuitum, ol cut QftiCtU- Pfyi.fov., Шъ, v. ^55", лЛ2, p.20S.58. ШсМсЖщ^Ж^Ж^loJkj^WQy^u^^

36. Аллен А., Эберли Дж.- Оптический резонанс и двухуровневые атомы. М.: Мир, 1978.- юх

37. Хакен Г., Вайдлих В. Квантовая теория лазера. В кн. Квантовые флуктуации излучения лазера. М., Мир, 1974, 236 с.

38. Мкр.УС., Ud> %>. SuxAiMtcen, Ы fU^wUtoljulfLv ОЫМУ bVAbWLb rh, QM^Uc^Jri^ к О ЬМЛЪ р. 6*3~0>О3.

39. Покровский Л.А. Метод неравновесного статистического оператора в теории одномодового лазераffeop. и мат.физика, 1978, т.37, jj 2, с.102-115.63. ^tW Я. cxf амА ftuM ffiu^tcLbi 04ts oj- Ou ^^МуО^МА^ШЛ^ ЛуСХЛШ. —fc.Pfy*, 4966,/. -ido, p.32?.

40. Асланов С.А., Пахалов В.Б., Чиркин А.С. Формирование пространственной когерентности лазерного излучения при прохождении через порог генерации. Письма в ЖЭТФ, 1976, т.23,J' 7, с.391-395.

41. Чиркин А.С., Пахалов В.Б. Фазовый переход при формировании пространственно-когерентных пучков в лазере. Квантовая электроника, 1977, т.4, с.1268-1276.

42. Хакен Г. Синенергетика. М., Мир, 1980.

43. Николис Г., Пригожин И.Р. Самоорганизация в неравновесных системах, М., Мир, 1979.

44. Федотов С.А. Применение метода функционального интегрирования в теории лазера. Зап.научн.семинаров ЛОМИ, 1983, т.131, с.148-166.

45. Федотов С.А. Применение метода функционального интегрирования к исследованию процесса лазерной .генерации. Тезисы докл. ХШ научно-технической конференции молодых специалислистов. Ленинград, 1980, с.136.

46. Славнов А.А., Фадцеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. М.: Наука, 1978.- 240 с.

47. Каданов.Л.П., Бейм Г. Квантовая статистическая механика.-М.: Мир, 1964.

48. Келдыш Л.В. Диаграмная техника для неравновесных процессов.-ЖЭТФ, 1964, т. 47, с.1515-1523.

49. Попов В.Н. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике. М.: Атомиздат, 1976.

50. Балабанян Г.О. Построение методом упорядоченных операторов кинетических уравнений для квантовой динамической системы взаимодействующей с фононным полем. Теор. и мат. физика, 198I, т.48, №1, с. 89-105.

51. Балабанян. Г.О. Асимптотически точные уравнения для средних в теории лазерных систем. Докл. АН СССР, 1982, т. 265, №2, с. 314-317.

52. Балабанян.Г.О. Вывод асимптотически точных уравнений для излучения в модельных системах типа Дикке.- Тёор. и мат. физика, 1983, т. 56, №3, с. 418-431.