Применение метода конечных элементов на основе смешанного функционала к расчёту пластин и оболочек с учётом физической нелинейности тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
|
Арьков, Дмитрий Петрович
АВТОР
|
||||
|
кандидата технических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Волгоград
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2012
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
ІІа правах рукопис»
Арьков Дмитрий Петрович
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НА ОСНОВЕ СМЕШАННОГО ФУНКЦИОНАЛА
К РАСЧЁТУ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК С УЧЁТОМ ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ
01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела
" . г— 1—, ^ ^ ' ^ Гч 1 » \
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук
Волгоград - 2012
005020101
Работа выполнена в ФГБОУ ВПО Волгоградский Государственный аграрный университет
Научный руководитель кандидат технических наук, доцент
Гуреева Наталья Анатольевна. Официальные оппоненты: Бандурин Николай Григорьевич
доктор технических наук, профессор, профессор кафедры строительной механики Волгоградского государственного архитектурно строительного университета; Марченко Сергей Сергеевич кандидат технических наук, заместитель директора по науке Поволжского НИИ эколого-мелиоративных технологий Российской академии наук.
Ведущая организация: Южно-Российский государственный техниче-
ский университет (Новочеркасский политехнический институт).
Защита состоится «18» апреля 2012 года в 15- часов на заседании диссертационного совета Д 212.028.04 при Волгоградском государственном техническом университете по адресу: 400005, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, ВолгГТУ, ауд. 209.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного технического университета.
Автореферат разослан «16» марта 2012г.
Ученый секретарь ^
диссертационного совета ¿Ыки*, Водопьянов Валентин Иванович.
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Создание прочных и надежных конструкций с высокими показателями качества является приоритетной задачей во многих областях современной техники.
Расчет конструкций с учётом физической нелинейности материала требует высокой точности определения всех компонентов напряженно-деформированного состояния. В качестве численного метода наиболее удобно использовать МКЭ, позволяющий получать достаточно корректные результаты при расчете объёмных систем. Обзор литературы показывает, что МКЭ в форме перемещений посвящено огромное количество работ, их анализ позволяет говорить о том, что наряду с достоинствами эта форма МКЭ имеет и ряд нерешенных проблем: не высокая точность вычисления напряжений по сравнению с перемещениями, сложность решения почти несжимаемых тел, учет смещений конструкции как жесткого целого и другие. Это обстоятельство привело к появлению ряда работ по развитию гибридных вариантов МКЭ в форме метода перемещений.
Проблемы, возникающие при использовании конечных элементов метода перемещений при вычислении напряжений, не устраняются полностью и для гибридных элементов. При помощи этих элементов удается точно удовлетворить условия равновесия внутри элементов и статические граничные условия. На поверхности контакта двух смежных элементов равновесие оказывается выполненным только в интегральном смысле. Это имеет место также при использовании гибридных конечных элементов. Однако, согласованность смежных элементов по деформациям и напряжениям оказывается невыполнимой. Согласованность значений напряжений в соседних элементах, как правило, является критерием для оценки точности конечно-элементных решений. В настоящей работе согласованность значений напряжений и перемещений в соседних элементах достигается. Для этого в работе рассмотрено применение смешанной формы МКЭ для расчета пластин и оболочек вращения с учётом физической нелинейности материала. Проведенные различными учеными исследования позволяют говорить о преимуществах смешанной формы перед МКЭ в форме метода перемещений для расчёта пластин и оболочек (JI. Геррманн, К.-Ю. Бате, A.C. Сахаров, В.А. Игнатьев и др.). Одним из достоинств МКЭ в смешанной формулировке является возможность получения искомых перемещений и напряжений, не прибегая к дополнительным вычислениям, решив системы разрешающих уравнений. Число же работ по расчету пластин и оболочек в трехмерной постановке весьма ограничено. Для расчета напряженно-деформированного состояния конструкций трехмерные конечные элементы являются более корректными, а в зонах концентраций напряжений, где зачастую появляются пластические деформации и неприемлема гипотеза о деформировании нормали, они фактически являются безальтернативными.
Поэтому использование смешанного метода конечных элементов с учётом физической нелинейности в расчетах пластин и оболочечных конструкций в трехмерной постановке является актуальным и представляет практический интерес.
Цель диссертационной работы заключается в разработке метода формирования матриц деформирования согласованных по деформациям и напряжениям трехмерных конечных элементов в смешанной формулировке для определения напряженно деформированного состояния тонкостенных конструкций с учётом физической нелинейности материала и использование разработанных конечных элементов в практике инженерных расчётов.
Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:
- в получении из условия равенства возможных и действительных работ внешних и внутренних сил смешанного функционала на шаге нагруже-ния для реализации в конечно-элементной процедуре расчета при учете физической нелинейности материала;
- в разработке на основе предложенного смешанного функционала алгоритмов получения матриц деформирования трехмерных конечных элементов для расчета пластин и оболочек с узловыми неизвестными в виде приращений перемещений и приращений напряжений при учете упругопластиче-ского состояния материала. Соотношения между приращениями деформаций и напряжений определялись на основе деформационной теории пластичности (Ильюшин A.A.) и теории, использующей гипотезу о пропорциональности компонентов девиаторов приращений деформаций и напряжений.
Практическая ценность заключается в разработке алгоритмов и программных модулей формирования матрицы деформирования высокоточных трехмерных конечных элементов, которые могут эффективно использоваться в программных комплексах, предназначенных для исследования напряженно-деформированного состояния объемных тел, пластин, оболочек и их фрагментов.
Основные научные положения, выносимые на защиту:
- алгоритмы получения смешанного функционала на основе равенства возможных и действительных работ внешних и внутренних сил на шаге на-гружения;
- варианты соотношений между приращениями деформаций и напряжений на шаге нагружения на основе деформационной теории пластичности и на основе гипотезы о пропорциональности девиатора приращений деформаций девиатору приращений напряжений;
- алгоритмы формирования матриц деформирования трехмерных конечных элементов на шаге нагружения на основе предложенного смешанного функционала для определения напряжённо-деформированного состояния пластин и оболочек вращения при упругопластическом состоянии материала.
Достоверность полученных результатов, изложенных в диссертационной работе, обеспечивается удовлетворением разработанных алгоритмов основным соотношениям теории упругости и механики сплошной среды, использованием обоснованных численных методов и подтверждается сравнением результатов решения тестовых примеров, полученных с помощью разработанных конечных элементов, с результатами исследований других авторов. Во всех случаях выполнялись численные исследования сходимости вычислительных процессов при различных количествах дискретных элементов рассчитываемой конструкции.
Апробация результатов работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Всероссийской научно-практической конференции «Инженерные системы-2009» РУДН г.Москва, 2009г.; на ежегодных научно-практических конференциях «Проблемы развития АПК» ВГСХА секции "Конструирование и строительная механика инженерных сооружений", г.Волгоград; на второй международной научно-практической конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела». г.Казань 2009г. Казанский государственный университет; на международной научно-практической конференции «Инженерные системы 2010», РУДН., г. Москва, 2010г.; на объединенном научном семинаре секции «Конструирование и строительная механика инженерных сооружений», г.Волгоград, 2010г.; на расширенном заседании кафедры «Строительная механика», Волг-ГАСУ г.Волгоград, 2010г; на объединенном научном семинаре секции «Конструирование и строительная механика инженерных сооружений», г.Волгоград, 2012г.
Публикации. Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертационной работы, опубликованы в 11 научных статьях, из них четыре в рецензируемых изданиях рекомендованных Высшей аттестационной комиссией Министерства образования и науки Российской Федерации. Из совместных публикаций в диссертацию включены разработки, принадлежащие лично автору. Список опубликованных работ приводится в конце данного реферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация содержит титульный лист, оглавление, введение, пять глав основного текста, заключение, список литературы; изложена на 154 страницах машинописйого текста, содержит 40 рисунков, 6 таблиц, список литературы из 131 наименования литературных источников.
Содержание работы
Во введении обосновывается актуальность выбранной темы диссертации, формулируется цель выполненного исследования, научная новизна диссертации и практическая значимость работы. Смешанные схемы конечно-элементной дискретизации могут принести преимущества при определенных видах анализа, если сравнивать их со стандартной дискретизацией на базе перемещений. Имеются две обширные области, для которых использование
смешанных элементов оказывается значительно эффективным. Этими областями являются исследование почти несжимаемых сред и анализ конструкций типа пластин и оболочек (К.-Ю. Бате). Поэтому использование смешанного метода конечных элементов с учётом физической нелинейности в расчетах пластин и оболочечных конструкций без упрощающих гипотез является актуальным и представляет практический интерес.
В первой главе изложен краткий исторический обзор развития смешанного метода конечных элементов в задачах исследования напряженно-деформированного состояния инженерных конструкций с учётом физической нелинейности.
Отмечается вклад в развитие смешанного метода конечных элементов отеч ественных и зарубежных ученых.
Анализ опубликованных работ показывает, что определение напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек выполнялось с использованием теории тонких оболочек на основе геометрических гипотез, упрощающих расчет.
Широкое распространение ЭВМ предоставило возможность использования трехмерных конечных элементов в расчетах пластин и оболочек с реализацией алгоритмов получения матриц деформирования конечных элементов на основ е. соотношений теории упругости без упрощающих гипотез о деформировании нормали.
Напряженно-деформированное состояние конечных элементов определяется при помощи выбираемого набора функций, которые представляют напряжения и перемещения в области элемента. Для формирования разрешающих уравнений как отдельных конечных элементов, так и всей конструкции используются энергетические принципы. Наиболее встречающимся является принцип минимума потенциальной энергии, или принцип Лагранжа, менее распространенным - принцип минимума дополнительной энергии (принцип Кастилиано). С использованием выше перечисленных принципов разработаны гибридные и смешанные вариационные принципы Рейсснера, Ху-Вашицу, Херрмана и др. В основе функционалов Лагранжа и Кастилиано используют принципы виртуальных перемещений и виртуальных сил. Эти принципы являются различными формами общего принципа виртуальной работы и мсгут использоваться для построения соотношений метода конечных элементов.
Во второй главе на основе теории механики сплошной среды записаны основные соотношения теории упругости и пластичности в матричной формулировке. На основании энергетических принципов об энергии представлены вариационные уравнения, в форме функционалов.
В третьей главе приводятся основные зависимости при плоской деформации и плоском напряжённом состоянии. На основе гипотезы о пропорциональности компонент девиатора приращений деформаций компонентам
девиатора приращений напряжений получен вариант соотношений между приращениями деформаций и прирашениями напряжений.
Плоская деформация осуществляется в длинном призматическом теле, ось которого параллельна оси Оу.
Перемещения и, V происходят в плоскости хОг в направлении осей х и г соответственно
и = и{х, г); V = г); м/ = 0. (1)
Нагрузка действует в плоскости хОг и постоянна вдоль оси Оу. В таких задачах деформации происходят только в плоскости хОг £„=£„(х,гУ, £уу = °>
£а =£„(*, г); уху = (2)
Приращения напряжений через приращения деформаций на 0+1)-ом шаге нагружения запишем в таком общем виде
До-« = + + В13Ау„;
Д<хи = В2} + В22А£п + В2ЪАуХ1; (3)
АсгХ1 = Вгх + 5ИД*В + Д33Ду„ •
Коэффициенты вм,...,г„ определяются дифференцированием известных соотношений деформационной теории пластичности [5]
до-». . „
Приращения напряжений (3) можно представить в матричном виде
{Дет} = [С?]{Де}; {Дг}=[0]-'{Д4 (5)
Плоское напряженное состояние возникает в тонкой пластинке, загруженной по боковой поверхности силами, параллельными её основаниям и равномерно распределенными по ее толщине.
В этом случае возникает следующее напряженное состояние (та = (та(х,2);
о-„ = <*„(*.*);
ега=егв(х,г); (6)
=<?>,= О-
Выражения приращений деформаций через приращения напряжений на (¡+1)-ом шаге нагружения записываются в таком общем виде
Аехх = АиАсгхх + АпАа22 + 43Аег„;
Аеа = у121Ла„ + 4аДо,в + А23Аах/, (7)
Вп=^ •••; (4)
Дг« = + + д о-»;
= Л|До"хх+ЛД + Двд 1^ •
Коэффициенты ЛМ,...,Л4, равны соответствующим производным соотношений деформационной теории пластичности
11 "Э^' ' " Зсгя (8)
Приращения деформаций (7) можно представить в матричном виде
{Д,НСЫ (9)
На основе гипотезы о пропорциональности компонент девиатора приращений деформаций компонентам девиатора приращений напряжений можно получить следующий вариант соотношений между приращениями деформаций и приращениями напряжений, записываемый в виде [5]
Л*» -■АесР = \ - ДсО
3 Ае,
*е„ - Аеср = -Дст,
(10)
где
Аеср =-(Дег;1 + Де^+Ае^). приращение средней деформации;
Асгср = ^(Аахх+Аауу +Дсгя) - приращение среднего напряжения;
АепАо1 - приращения интенсивностей деформаций и напряжений; Асг< - р
~ ^к - касательный модуль диаграммы деформирования материала.
Зависимость приращения средней деформации от приращения среднего напряжения определяется следующим выражением
1-2 и
]Г~А<ТСР- (")
Приращения деформаций можно выразить через приращения напряжений, используя выражение П1) в матричном виде
{Д^НСГМ, (12)
(13)
Функционал на шаге нагружения.
Условие равенства возможных и действительных работ внешних и внутренних сил на шаге нагружения запишется в виде
|мг 4 =¡ыт\ы 4 м
у 1_ ^ J $ ^ -
где
{Ау}г = {Дм Ду} - вектор приращений перемещений на шаге нагружения;
{Др}Т = {Дрх Ар2} - векторы нагрузок и их приращений; V - объем тела;
5 - поверхность, где заданы нагрузки.
Для получения на шаге нагружения смешанного функционала заменим действительную работу приращений внутренних сил на шаге нагружения разностью возможной и дополнительных работ внутренних сил [1]
. (14)
где {¿(Дм)} - столбец приращений деформаций, представленный по формулам Коши;
[/)]- матрица соотношений межцу приращениями деформаций и приращениями напряжений.
С учётом (14) и равенства (13) можно записать функционал на шаге нагружения
Пш - <г}г {ь{Аи)}с1У ¡{А*ЫА*}с1У -
у ¿г
--+ |{сг}т {¿(Дм)}^К = 0. (15) 5 у
Геометрия оболочки, перемещения и деформации. Радиус-вектор произвольной точки М отсчётного меридиана плосконапряженного тела в декартовой системе координат определяется выражением
Я-хТ + г{х)к, (16)
где ¡,к, - орты декартовой системы координат. С использованием (16) определяются векторы локального базиса
{5}г = {5, 5} - и их производные [2]
1x2
{5,Л = И{4 (17)
Радиус - вектор точки М', отстоящей на расстоянии I от отсчётного меридиана в исходном состоянии, определяется выражением
+ (18) Векторы локального базиса точки М' определяется дифференцированием (18) с учётом (17)
Я, = Д,', = = а, + га,, = 5, (1 + йя21)+ аШ22;
ёз=Я,', = 3. (19)
Под действием заданной нагрузки точка М' получает перемещение, вектор которого V выражается компонентами в базисе точки М
К=у15,+у2а = {й}7'И, (20)
где
{у} = [у V }. СТр0ка проекций вектора перемещения на векторы локального базиса.
В результате приращения нагрузки на (¡+1) - ом шаге нагружения точка М* получит перемещение, определяемое вектором а, который также представляется компонентами в базисе точки М
й> = и'15, + а = {а}т Щ. (21)
Перемещение точки М' после (¡+1) - го шага нагружения определяется суммой векторов Р +
Компоненты тензора приращений деформаций на 0+1) - ом шаге нагружения, определяемые разностью компонент метрических тензоров исходного и деформированного состояний, запишутся в матричном виде
{Д£} = МН (22)
3*1 3x2 2x1
где
[¿] - матрица алгебраических и дифференциальных операторов.
Соотношения между приращениями деформаций и приращениями напряжений на (¡+1)-ом шаге нагружения имеют вид
{Д^ЬИДа}, (23)
[сяЫся1
где 1 1 1 ° 1 - при плоском напряженном состоянии;
- при плоской деформации. Для решения задачи упругопластического деформирования разработан объёмный конечный элемент с поперечным сечением в виде произвольного четырёхугольника с узлами у, к, I.
Для выполнения численного интегрирования глобальные координаты 5,/ четырёхугольника выражаются через локальные координаты квадрата £,77, изменяющиеся в пределах -1<£,/7<1, билинейными соотношениями. Дифференцированием этих выражений определяются производные глобаль-
1т
ных координат в локальной системе ^ ■> ^^ > ^п и локачьные координаты > > 11,; ,1],, в глобальной системе координат.
Компоненты вектора перемещений внутренней точки конечного элемента, и приращений напряжений аппроксимируются через свои узловые значения также билинейными соотношениями и в матричной записи имеют вид [2]
М=МКНАст)=№стЛ' (24)
2*1 2x8 811 3x12 121,
где
КГ={кг К2}7]; КГк,г {ао-13у1
1x8 I 1x4 1x4 ) 1x12 I. 1x4 1x4 1x4 J
где
~ ^ ' ^ ^ }> - вектор - строки узловых значений компонент вектора $;
{ЛстпЛГ = {А<т" А< Астп А^', I
{Аа-зз^г = \ActIз Аст/з Д<Т3*3 Ао-з'з },
{Асг13у}Г = {А<т1з А< Асгп А<х'3 } - матрицы - строки узловых компонент тензора приращений напряжений; индексы 1, 3 соответствуют компонентам тензора приращений напряжения в направлении осей координат х, г соответственно.
Приращения деформаций с использованием формул Коши определяются выражением
{Д^НФ^МФ^ }• (25)
С учётом матричных соотношений (23) и (25) функционал (15) на шаге нагружения запишется в виде
п^-Ы р] №ФЖ}Т ^ № Шо]с1У{^у\-
1x12 у 12x3 3x8 8x1 1x12 1 V 1213 3x3 Ъх12 ' 12x1
ИИКК и =0.
2. ^ 8x2 2x1 1*8 у 8x2 2x1 и8 • 8x3 З.с|
Минимизируя функционал по узловым неизвестным ¡№,)г и {до'„}т, получим систему уравнений
д[&1Ту] 12^12 12і1 12*!; гїі
/ «»12 12x1 8x1 8x1 8x1
где
8x1 812 2x1 £ ^
Система уравнений (26) может бьпъ представлена в традиционной для метода конечных элементов форме
М КИП (27)
20x20 20x1 20x1
где
-м щ
12x12 12x8
[б]7 [о] " матРиЦа деформирования конечного элемента на шаге
[*ь
2Сх20
8x1*2
нагружения;
8x8
{2у) 1 } г - вектор узловых неизвестных элемента;
1x20 (. 1x12 1x8 )
1*20 [ 1x12 V. ' 1x8 J
■ невязка.
- вектор узловых усилий конечного элемента;
МЧ/.М/Л-
Тестовый пример 1. Рассмотрено напряженно - деформированное состояние консольной пластины, загруженной силой Р, (Рис. 1). Используем шаговый метод последовательного нагружения.
Были приняты следующие исходные данные: 1= 0,2м; [1=0,01м; первоначальная нагрузка принимается Д^ =0,01Н, материал пластины принят дюралю-мин Д16Т, характеризуется параметрами: модуль упругости Е = 7,5x104 МПа; коэффициент Пуассона ц=0,3; предел текучести су =200МПа, деформация, соответствующая пределу текучести £>=0,00267.
Р
і
V
Рис. 1 Расчётная схема консольной пластины
За пределами упругости принимается нелинейное упрочнение, описываемое зависимостью а,= ае^+Ье.+с, где е,у < е,; % =0,00231; а = 78901,8 МПа; Ь =8678,2 МПа; с = 181,9 МПа; е, интенсивность деформации, а, интенсивность напряжения.
Пластина разбивалась по толщине на 20 частей и на 40 вдоль оси.
При значении силы Г достигшей Ру в заделке в крайних волокнах сечения возникают напряжения, равные пределу текучести су. Эпюру напряжений в этот момент назовем эпюрой 1.
При нагрузке ?>Ру эпюра 1 возникает в сечении, расположенном на каком то расстоянии ху от свободного конца (Рис. 2). Сила { шагами была доведена до значения, превышающего значение Ру.
Из соотношения г-ху=му
определятся абсцисса сечения, в которой эпюра напряжений будет соответствовать эпюре 1.
Рассчитанная теоретически величина= 0,0802л« и найденная с помощью разработанной программы Х"р = 0,0808ж различаются на 1,3 %.
Использование шагового метода нагружения позволяет описать весь процесс изменения напряженно-деформированного состояния конструкции в процессе возрастания внешней нагрузки.
Рис.2. Эпюры напряжений в пластине при /-" > р
Эпюры нормальных напряжений в заделке при различных шагах нагружения
-еооо -ЭООО -ЧЗОО -ЭООО -2000 -юоо
Рис.3 Эпюра напряжений, возникающих в заделке
В заделке эпюра напряжений при пошаговом нагружении показана на рис.3. Кривой 1 отмечено упругое решение в заделке при достижении нагрузкой численного значения Ру. Напряжения в наиболее удаленных волокнах равны пределу текучести сг^ (по критерию пластичности Хубера-Мизеса).
При дальнейшем увеличении нагрузки пластические деформации распространяются по толщине пластины, захватывая области трех элементов от поверхности (кривая 2).
При дальнейшем увеличении нагрузки область пластических деформаций по толщине увеличивается, занимая по девять элементов от поверхности. Например, кривая 5 показывает, что пластические деформации возникли в десятом и одиннадцатом элементах, части которых деформируются как пластически, так и упруго.
Принятие решения о допустимости уровня напряженно-деформированного состояния зависит от нормативной документации той или иной отрасли.
Решая задачу предложенным методом, была сделана статическая проверка (сумма проекций всех сил на ось х равна 0), найдены сжимающие усилия N0=136,6Н и растягивающие Ыр =136,5Н, разница в усилиях составила 0,1Н, что составляет 5 =0,032% от значения Ыр.
Данная задача также решалась с использованием программного комплекса АВАС^иБ, где разница между названными выше усилиями составила 5=0,12%.
Также была выполнена статическая проверка правильности вычисления касательных напряжений: (Еу = 0), разница составила 1,03%.
Уравнение статики: (сумма моментов внутренних сил равна моменту внешних сил в заделке пластинки) в нашем случае выполняется с точностью до 1,82%, в случае использования программного комплекса АВАОШ различие составило 4,69%.
Тестовый пример М2. Рассмотрено напряженно - деформированное состояние двухопорной пластины при загружении распределенной линейной нагрузкой в середине пролёта. В виду симметрии рассматривалось половина пластины (рис.4). Были приняты следующие исходные данные: 1= 0,4м; Я=58,43кН/м; Ь=0,01м; модуль упругости Е = 7,5x104 МПа; коэффициент Пуассона ц=0,3; предел текучести ау =200МПа, деформации, соответствующие Пределу текучести £у=0,00267.
Нелинейное упрочнение описывалось зависимостью ©¡= эе;2+Ье;+с, где £ЙУ =0,00231; а =78901,8 МПа; Ь =8678,2 МПа; с = 181,9 МПа.
Используя эпюру напряжений были рассчитаны внутренние силы, действующие в пластине, (уравнение статики: сумма проекций внутренних сил на ось пластины равна нулю) в нашем случае выполняется с точностью 5 =0,67%, в случае программного комплекса АВАС^Ш с точностью 8 =2,39%.
2
2
Рис.4 Схема пластических областей в пластине
Сумма моментов внутренних сил равна момешу внешних сил в опоре пластины в нашем случае выполняется с точностью 2,82%, в случае использования программного комплекса АВАСШБ 4,78%.
Так же, для данной пластины было определено напряженно-деформированное состояние при условии защемления на концах.
Анализ результатов, полученных на основе изложенного алгоритма, и результатов, полученных на основе конечно-элементного комачекса АВАСуиБ, доказывает корректность применения изложенного алгоритма для учёта упруго - пластического состояния материала в инженерных расчёте« на основе МКЭ в смешанной формулировке.
В четвертой главе проведено исследование напряжённо-деформированного состояния оболочки вращения при осесимметричном нагружении.
В декартовой системе координат хОг отсчётный меридиан оболочки вращения описывается радиус - вектором (рис.5)
а
х
Рис.5
Я = х1 + г{х)к , где г - радиус вращения точки с координатой х.
Векторы локального базиса точки М определяются выражениями
2, = Л, = х,1 + Г,к; а = а, X 7 = х,к -г,1, (29)
где б - меридиональная координата точки М; ] - орт оси у.
Производные векторов (29) можно представить разложением по векторам локального базиса [8]
Деформации в точке М' в матричном виде запишутся выражением
481 432 2»!
где {¿;}т ={е„ е„ 2с „} - матрица-строка деформаций в точке М';
{р'}г == {у' у] - матрица - строка компонент вектора перемещения точки М1;
[Ь] - матрица алгебраических и дифференциальных операторов.
Физические соотношения на шаге погружения.
Соотношения между приращениями деформаций и приращениями напряжений на ] - ом шаге определяются дифференцированием основных соотношений деформационной теории упругости и представляются в матричном виде
(31)
где {Ае}Т =• {Д£„ Аевд Л£„ 2Ае„); {До-}1" = {Дст„ Даю Дсг„ Дст,,}.
Можно получить другой вариант соотношений между приращениями деформаций и приращениями напряжений на основе гипотезы о пропорциональности компонентов девиаторов приращений деформаций компонентам девиатора приращений напряжений, записываемой в виде [5]
3 Д£, 2 Дет,
Деп -Аеср = -А<тср}
2 Дсг,
3 А* , V (32) А^зз-Д^ 7 2 Дсг" " ' ^сЛ
Де
2Д£13 =3—!-До"|3, Дсг,
С использованием (11) из (31) определяется матричное выражение
{Дг} = ¡С," |до}. (33)
В качестве конечного элемента принимается кольцевой фрагмент оболочки с поперечным сечением в виде произвольного четырехугольника с узлами 1,1 к, I [8]. Аппроксимация приращений перемещений и приращений напряжений внутренней точки конечного элемента осуществлялась с использованием билинейных функций формы {<?(£,Г/)У
{дкЬИ^Д {Да} = МК}. (34)
где
{ДК}Г ={дк' АУ\\&Уу}г = {дк" АVй АУи &У АУ АVі АУ1}, 1*8
{Д<х}г = {д<7„ Д<тю Дсг„ Дст„}; {дст^ = {ісг,; Да-,/ ДСТ/ ДСТ„'...........До",,'}.
»*4 І.іі С учётом аппроксимирующих выр;икений функционал (15) запишется в виде
-¡{а}т[ву(ДУ,}+ (Асг УМ[в]*уК}-
' Iхб 24x1 Г 48x6 6*24 24*1
1*48 Г48'6 ИМ 48x1 Р 24*3 3x1
1*24 ™
В результате минимизации функционал (35) по узловым неизвестным {дУу}т и \&<ту}гполучается система уравнений, которая может быть представлена в традиционной конечно- элементной формулировке в виде
М& }=={/}■ (36)
24*24 2Ы 24x1
Тестовый пример 3. Рассмотрено напряжённо - деформированное состояние усеченного эллипсоида с полу осями а=0,5м; Ь=0,3м, загруженного равномерным давлением интенсивнос ти я = 10,05МПа (рис. 6).
Были приняты следующие исходные данные: Ян = 0,305м; г„ =0,295м; 1 =0,3м; гк = 0,24м. Упруго - пластические свойства материала эллипсоида описываются диаграммой деформирования с нелинейным упрочнением.
Интенсивность напряжений, соответствующая пределу текучести С;у =200МПа, е|у=0,00203918 - интенсивность деформации, соответствующая пределу текучести. Нелинейное упрочнение описывалось зависимостью: с)= к,Е|2+ к2е,+ к3, где к, = 78901,8МПа; к2 =8678,21МПа; к3 = 181,9МПа.
Эллипсоид разбивался вдоль оси х на 60 частей и на 10 частей по толщине.
Уравнение статики о равенстве нулю суммы проекций внешних и внутренних сил на ось эллипсоида в этом случае примет вид
1=1
Равнодействующая внутренних усилий определяется по формуле
¡=1 1=1
где - меридиональные напряжения в ¡-ом слое;
- толщина 1 - го слоя; г, - радиус вращения 1 - го слоя.
Меридиональные напряжения, определенные с помощью изложенного алгоритма, и внутренние усилия, рассчитанные по вышеприведенной формуле, представлены в таблице 1.
Таблица 1
Координата 1,см Меридиональные напряжения МПа Продольные силы N. кН Разница усилий в %
-0,5 579,554 916,416 0,332
-0,4 406,442 696,727
-0,3 341,292 585,242
-0,2 284,666 464,134
-0,1 209,811 231,660
0,0 34,868 9,857
0,1 -105,446 -69,639
0,2 -229,256 -319,263
0,3 -253,948 -459,449
0,4 -262,673 -492,504
0.5 -298,427 -537,177
Сумма внутренних усилий 1026,004 кН
Усилия от внешней нагрузки 022,600 кН
Усилия, возникающие от приложенного давления, определяются по формуле
¿Ы, = дтс{гЦ - г-':)= 1022,600к#
Уравнение статики выполняется с точностью 0,33%.
В пятой главе для расчета произвольно нагруженной оболочки вращения конечный элемент принимается в виде шестигранника в координатной системе с узлами і,], к, 1 на нижней грани, параллельной срединной поверхности и узлами т, п, р, А на верхней грани. Для выполнения численного интегрирования шестигранник отображается на куб с локальными координатами »/,<", изменяющимися в пределах -1 < 1-
Связь между глобальными координатами л, в, / и локальными координатами определяются с использованием трилинейных функций [1]
Л = {*(£,«7,0}гк}> (37)
где под символом X понимаются координаты ¡,в,і; {і^ = л> лк л' г г л> ґ} -строка узловых значений глобальной координаты Я.
Дифференцированием (37) определяются производные
' » > ' в,п, в,ї,і,ч,і,в,!;„,г),г),в,гі,
Аппроксимация приращений перемещений и приращений напряжений внутренней точки конечного элемента осуществляется с использованием Трилинейных функций формы
{Ду}=И{Ду,};{Да}=М{Да,}, (38)
3x1 3*24 24 г і" 48x1
Приращения деформаций на шаге нагружения при учете (37) запишется матричным соотношением
(39)
где {Ду^ |Г = {ду1' Ду1у Ду" Ду" Ду'" Ду'" Ду" Ду" ....Ду*};
У)
1x24
{ДСГ^ }Г = {Дет,', Да/, До-',......Лаі}.
1x48
Используя выражение (36,37) функционал (15) можно записать виде
У 6x 24 24,, V 48x6 6x24 м
1x48 Г 6,6 6М 4 48x1 Г 24x3 3.1
1x24 3"
где V - объем дискретного элемента; Б - площадь части поверхности, на которой действует внешняя нагрузка.
Минимизируя (40) по узловым неизвестным {ду,}г и {дст^, получили систему уравнений, которая в традиционной конечно-элементной формулировке имеет вид
МкМ/}. (41)
72x12 12х1 72*1
Тестовый пример №4. Рассмотрено напряжённо — деформированное состояние цилиндрической оболочки, загруженной равномерным давлением интенсивности ц = 16,ЗМПа (рис. 8). Были приняты следующие исходные данные: Я =0,3м; 1 = 0,2м; 1=0,01 м. Упруго - пластические свойства материала оболочки описываются диаграммой деформирования с нелинейным упрочнением. Интенсивность напряжений, соответствующая пределу текуче-
ста, сг1у =200МПа, £;у=0,00267 - интенсивность деформации, соответствующая пределу текучести. Нелинейное упрочнение описывалось зависимостью:
0,= Вд2+ К2 £,+ К3,
На рис. 9 показана эпюра меридиональных напряжений в сечении цилиндрической оболочки с координатой х = 0. При значениях о; > с,у имеют место упруго - пластические деформации.
В таблице 2 для сравнения приведены результаты проверки условия равновесия по силам (Еу = 0) и по моментам (ЕМ = 0) при различных вариантах дискретизации.
На рис. 10 показано распределение зон пластических деформаций в стенке цилиндрической оболочки при различных шагах нагружения.
Эпюра меридиональных на пряжений см
Таблица 2
Разбиение на 10 по толщнне и 60 частей вдоль Еу = 0, 8 % ЇМ = 0, 8 %
Результат, полученный на основе изложенного алгоритма 0,21 2,18
Программный комплекс АВАСЛге 4,18 5,51
Разбиении на 10 по толщине и 100 частей вдоль Еу = 0, 5 % ЇМ = 0, 8 %
Результат, полученный на основе изложенного алгоритма 0,23 2,15
Программный комплекс АВАСЗШ 3,8 5,18
Рис.10. Зоны распределения пластических деформаций
в стенке цилиндрической оболочки при различных шагах нагружения
Полученные результаты показывают, что изложенный алгоритм приемлем для учёта упруго - пластических свойств материала в инженерных расчётах.
Тестовый пример 5. Рассмотрен пример расчёта металлической мембраны, представленной на рис. 11. Поверхность мембраны - квадратичный параболоид вращения, характеризуемый параметрами, а=112,0м; Г=12,5м; Г1=15м; 1= 0,15м. Расчетная нагрузка интенсивности ЮкПа равномерно распределена по поверхности мембраны.
Уравнение срединной поверхности мембраны в декартовой системе координат хОг имеет вид 2 = .
Рис. 11. Мембранное покрытие Уравнения статики (£х = 0) примет вид
NM • 2л7- • cosa = qл{а2 - г,2) = 0. Меридиональные усилия с учётом отверстия определяются выражением
N,
2a cos а
Для определения кольцевого усилия из тонкостенной конструкции, имеющей форму поверхности вращения и находящейся под внутренним давлением q, выделяется элемент (рис. 12). Из уравнения статики: (сумма проекций всех сил на нормаль п к элементу равна нулю) - получаются выражение
dtp
P-2N„-dSu
откуда находится окружное усилие
= 0.
N..
Ro-
Рис. 12. Элемент мембранной конструкции
Результаты аналитического расчёта мембранного покрытия и расчёта с помощью разработанного программного модуля, созданного на основе изложенного алгоритма, представлены в таблице 3.
Таблица 3
стм, даН/см2 Се, даН/см2
1 Результат аналитического решения 1682,95 1826,1
2 Результат, полученный на основе изложенного алгоритма 1683.11 1822,01
3 % расхождения 0,22 0,28
В первой строке таблицы представлены значения напряжений, найденные с помощью аналитического решения. Во второй строке приведены значения, найденные с помощью программного модуля, созданного на основе изложенного алгоритма с использованием разработанного конечного элемента. В третьей строке представлен процент расхождения результатов.
Процент расхождения результатов расчёта, представленный в таблице, показывает возможность применения изложенного алгоритма для при определения напряженно-деформированного состояния тонкостенных строительных конструкций при весьма малых отношениях толщин к радиусам кривизн.
Основные результаты выполненных исследований и выводы по диссертации состоят в следующем.
1. Для произвольного шага нагружения на основе равенства возможных и действительных работ внешних и внутренних сил получен функционал, позволяющий реализовать процедуру МКЭ в смешанной формулировке при упруго-пластическом состоянии материала.
2. Для расчета пластин и оболочек с учётом упруго-пластических свойств материала разработаны объемные конечные элементы с узловыми неизвестными в виде приращений перемещений и приращений напряжений, которые являются согласованными не только по перемещениям, но и по напряжениям.
3. Достаточно высокая эффективность предложенной конечно-элементной процедуры в смешанной форме по сравнению с широко исполь-
зуемым в известных программных комплексах подходом показана в результате решения тестовых задач.
Основные результаты диссертационной работы отражены в одиннадцати публикациях.
Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, определенных ВАК РФ
1. Арьков Д.П., Гуреева H.A. Расчёт оболочек вращения на основе МКЭ в смешанной формулировке с учётом физической нелинейности // Известия ВолгГТУ. Волгоград, 2010. № 4. С. 128-132.
2. Арьков Д.П., Гуреева H.A. Решение плоской задачи теории пластичности на основе МКЭ в смешанной формулировке // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. М.: 2010. №4. С.32-37.
3. Арьков, Д.П. Применение смешанного метода конечных элементов для прочностных расчётов силосов, предназначенных для хранения зерна. / Д.П. Арьков, H.A. Гуреева / Известия Нижневолжского агроуниверситетско-го комплекса: Наука и высшее профессиональное образование 2011 №1(21). -Волгоград, 2011г. С. 189-197.
4. Арьков, Д.П. Реализация деформационной теории пластичности в расчётах плоско напряженных пластин на основе МКЭ в смешанной формулировке / Д.П. Арьков, H.A. Гуреева / Известия вузов. Северо - Кавказский регион. Естественные науки 2011 №2. С.12-15.
Публикации в других изданиях
5. Арьков Д.П. Соотношение между приращением напряжений и деформаций на основе деформационной теории пластичности // «Проблемы и тенденции устойчивого развития аграрной сферы». Материалы Международной научно-практической конференции, посвященной 65-летию Победы в Сталинградской битве. Волгоград, 2008г. С. 200-202.
6. Арьков Д.П., Гуреева H.A. Плоская задача теории упругости на основе МКЭ в смешанной формулировке при учёте физической нелинейности // Материалы международной научно-практической конференции, посвященной 65-летию образования ВГСХА «Использование инновационных технологий для решения проблем АПК в современных условиях», 27-29 января, 2009г. С.3-6.
7. Арьков Д.П., Гуреева H.A. Учёт физической нелинейности в смешанной формулировке МКЭ при плоском напряжённом состоянии // Труды Международной научно-практической конференции «Инженерные системы 2009» Российский университет дружбы народов. Москва 2009г. С.165-169.
8. Арьков Д.П., Гуреева H.A. Расчет физически нелинейных оболочек вращения на основе МКЭ в смешанной формулировке при осесимметричном нагружении // Материалы второй международной научно-практической
щ
конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела», Казань, 8-11 декабря 2009г., КГУ, 2009г. С.47-51.
9. Арьков Д.П. Варианты соотношений между приращениями деформаций и напряжений на основе деформационной теории пластичности // Материалы Международной научно-практической конференции. Посвященной 65-летию Победы в Великой Отечественной войне «Новые направления в решении проблем АПК на основе современных ресурсосберегающих, инновационных технологий», ВГСХА. ИПК «Нива». Волгоград 2010 г. С.198-200.
10. Арьков Д.П. Плоская задача в смешанной формулировке МКЭ с учётом физической нелинейности // Проблемы, состояние комплексных ме-лиораций и их роль в обеспечении продовольственной безопасности России. Волгоград 2010г. ВГСХА с.283-287.
11. Арьков Д.П., Гуреева Н.А. Учёт физической нелинейности в смешанной формулировке МКЭ при плоском напряжённом состоянии // Труды Международной научно-практической конференции «Инженерные системы 2010» Российский университет дружбы народов. Москва 2010г. С. 185-189.
Арьков Дмитрий Петрович
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НА ОСНОВЕ СМЕШАННОГО ФУНКЦИОНАЛА
К РАСЧЁТУ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК С УЧЁТОМ ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ
Автореферат
на соискание ученой степени кандидата технических наук
Подписано в печать 05. 03. 2012г. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 42. ИПК ФГОУ ВПО Волгоградская ГСХА «Нива». 400002, г.Волгоград, пр. Университетский, пр.26
Введение.
1. КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ СМЕШАННОГО МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В РАСЧЕТАХ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК.
2. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И
ПЛАСТИЧНОСТИ В МАТРИЧНОЙ ФОРМУЛИРОВКЕ.
2.1. Основные соотношения линейной теории упругости.
2.2. Основные соотношения деформационной теории пластичности.
2.3. Вариационная формулировка задач теории упругости.
2.4. Смешанный функционал на шаге нагружения.
3. РЕАЛИЗАЦИЯ МКЭ В СМЕШАННОЙ ФОРМУЛИРОВКЕ в плоской задаче теории упругости.
3.1. Плоская деформация.
3.2. Плоское напряжённое состояние.
3.4. Получение матрицы деформирования конечного элемента на шаге нагружения.
3.4.1. Геометрия криволинейной пластины, перемещения и деформации.
3.4.2. Матрица деформирования конечного элемента.
3.5. Решение тестовых задач.
3.5.1 Тестовый пример №1.
3.5.2 Тестовый пример №2.
3.6. Вывод по главе №3.
4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ.
4.1. Геометрия оболочки вращения, перемещения и деформации.
4.2. Физические соотношения на шаге нагружения.
4.2.1. Матрица деформирования конечного элемента.
4.3. Тестовый пример № 3.
Тестовый пример №4.
4.4. Вывод по главе №4.
5. КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РАСЧЁТА ОБОЛОЧЕК ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ НАГРУЖЕНИИ В СМЕШАННОЙ ФОРМУЛИРОВКЕ.
5.1. Геометрия оболочки вращения, перемещения, деформации.
5.2. Физические соотношения при упруго-пластическом деформировании.
5.3. Матрицы деформирования конечного элемента.
5.4.Тестовый пример №5.
Тестовый пример №6.
Тестовый пример №7.
Тестовый пример №8.
5.5. Выводы по главе №5.
Создание прочных и надежных конструкций с высокими показателями качества является приоритетной задачей во многих областях современной техники.
Оболочки различной формы в настоящее время являются одними из наиболее распространенных элементов инженерных конструкций. Благодаря своей криволинейной форме оболочки работают как пространственные элементы и обладают выгодными прочностными свойствами, что позволяет при рациональном проектировании создавать из них легкие и устойчивые конструкции при достаточной прочности. Это преимущество способствует их эффективному применению.
В последние десятилетия в связи с бурным темпом развития вычислительной техники получили широкое применение численные методы анализа конструкций. Численные методы, основанные на вариационных постановках, приобрели большое значение в решении задач строительной механики и механики деформируемого твердого тела. Одним из наиболее используемых численных методов исследования напряженно-деформированного состояния оболочек является метод конечных элементов (МКЭ), позволяющий достигать достаточно точных решений при расчете сплошных систем, благодаря его универсальности в программной реализации и возможности создания полностью автоматизированного цикла расчета. МКЭ в сравнении с другими численными методами обладает рядом существенных преимуществ:
- возможность учета физических свойств материала, температурных воздействий возникающих в процессе эксплуатации;
- использование МКЭ позволяет учесть анизотропию материала, переменность толщины конструкции, концентрации напряжений, вызванные наличием вырезов.
Конечно-элементный анализ получает все большее распространение в реальной инженерной практике, так как является наиболее подходящим для моделирования сложных физических процессов деформирования конструкций. В настоящее время этот метод заложен в основу подавляющего большинства систем автоматизированного расчета конструкций во многих отраслях, где используются оболочки: в авиастроении, судостроении, машиностроении, промышленном и гражданском строительстве. Как и всякий другой, метод конечных элементов имеет свои достоинства и недостатки. Но несомненно, что его развитие и использование в научных и производственных целях дает огромный экономический эффект.
Наибольшее распространение получил метод конечных элементов в форме перемещений. Этому методу посвящено огромное количество работ, их анализ позволяет говорить о том, что наряду с достоинствами имеется и ряд нерешенных проблем: не высокая точность вычисления напряжений по сравнению с перемещениями, сложность решения почти несжимаемых тел, учет смещений конструкции как жесткого целого и другие. Это обстоятельство привело к появлению ряда работ по развитию гибридных вариантов МКЭ в форме метода перемещений, но проблемы, возникающие при использовании конечных элементов метода перемещений при вычислении напряжений, полностью не устраняются и для гибридных элементов.
Проведенные различными учеными исследования позволяют говорить о преимуществах смешанной формы перед МКЭ в форме метода перемещений для расчёта пластин и оболочек (Л. Геррманн, К.-Ю. Бате, A.C. Сахаров, A.A. Покровский и др.). Одним из достоинств МКЭ в смешанной форме является возможность получения искомых перемещений и напряжений, не прибегая к дополнительным вычислениям, решив системы разрешающих уравнений. Как отмечено в ряде работ [11, 25, 51, 58] смешанная форма метода конечных элементов (несмотря на преимущества) не реализована в достаточной мере для расчётов пластин и оболочек.
Большинство методов расчёта сводят конструкции и сооружения к линейным (стержневым) элементам в виде балок, колонн и т.д. На самом деле значительная часть конструкций относится к пространственным, в которых трудно, а иногда и невозможно, выделить характерные стадии работы.
Трехмерные конечные элементы для расчёта пространственных конструкций являются более корректными, а в зонах концентраций напряжений, где зачастую появляются пластические деформации и неприемлема гипотеза о деформировании нормали, они фактически являются безальтернативными.
Работы по исследованию напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек с учётом физической нелинейности в трехмерной постановке методом конечных элементов в смешанной форме с применением трёхмерных конечных элементов практически отсутствуют.
Поэтому исследования направленные на формализацию и алгоритмизацию метода конечных элементов в смешанной форме, разработке эффективных трёхмерных конечных элементов для определения напряженно-деформированного состояния конструкций состоящих из пластин и оболочек с учётом физической нелинейности является актуальным и представляет практический интерес.
Целью диссертационной работы является разработка объемных конечных элементов в смешанной формулировке для совершенствования расчетов пластин и оболочек с учётом физической нелинейности материала
Для достижения указанной цели в работе поставлены и решены следующие задачи:
1. Получен смешанный функционал на шаге нагружения из условия равенства возможных и действительных работ внешних и внутренних сил.
2. Получены вариативные соотношения между приращениями напряжений и приращениями деформаций путем дифференцирования основных соотношений деформационной теории пластичности и на основе гипотезы о пропорциональности компонент девиатора приращения деформаций компонентам девиатора приращений напряжений.
3. С использованием трилинейных полиномов получены аппроксимирующие выражения между приращениями перемещений и приращениями напряжений во внутренней точки конечного элемента через их узловые значения.
4. Минимизацией функционала по узловым значениям приращений напряжений и приращений перемещений получены матрицы деформирования объемных конечных элементов для расчета пластин и оболочек с учетом физической нелинейности материала.
5. Проведено сопоставление результатов, полученных на основе разработанных конечных элементов, с результатами аналитических решений и результатов, полученными на основе конечно-элементного программного комплекса.
Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:
- в получении из условия равенства возможных и действительных работ внешних и внутренних сил смешанного функционала на шаге нагружения для реализации в конечно-элементной процедуре расчета при учете физической нелинейности материала;
- в разработке на основе предложенного смешанного функционала алгоритмов получения матриц деформирования трехмерных конечных элементов для расчета пластин и оболочек с узловыми неизвестными в виде приращений перемещений и приращений напряжений при учете упругопластического состояния материала. Соотношения между приращениями деформаций и напряжений определялись на основе деформационной теории пластичности (Ильюшин A.A.) и предложенной в данной работе теории, использующей гипотезу о пропорциональности компонентов девиаторов приращений деформаций и приращений напряжений.
Практическая ценность заключается в том, что разработанные конечные элементы могут эффективно использоваться в программных комплексах, предназначенных для расчета реальных конструкций, состоящих из пластин, оболочек и их фрагментов при упругом и упруго-пластическом состоянии материала.
Основные научные положения, выносимые на защиту:
- алгоритмы получения смешанного функционала на основе равенства возможных и действительных работ внешних и внутренних сил на шаге нагружения;
- варианты соотношений между приращениями деформаций и напряжений на шаге нагружения на основе деформационной теории пластичности и на основе гипотезы о пропорциональности девиатора приращений деформаций девиатору приращений напряжений;
- алгоритмы формирования матриц деформирования трехмерных конечных элементов на шаге нагружения на основе предложенного смешанного функционала для определения напряжённо-деформированного состояния пластин и оболочек вращения при упругопластическом состоянии материала.
Достоверность научных положений и результатов, изложенных в диссертационной работе, обеспечивается удовлетворением разработанных алгоритмов основным соотношениям теории упругости и механики сплошной среды, использованием обоснованных численных методов и подтверждается сравнением результатов решения тестовых примеров, полученных с помощью разработанного конечного элемента, с результатами исследований других авторов. Во всех случаях выполнялись численные исследования сходимости вычислительного процесса при различном количестве дискретных элементов рассчитываемой конструкции.
Реализация
Результаты исследований включены в программу для уточненной оценки прочности аппаратов химического и нефтегазового оборудования и определения деформаций в конструктивных элементах технологического оборудования.
С использованием разработанных программ можно производить уточненный расчёт на прочность конструкций, что позволяет проектировать их более экономичными с обеспечением необходимой прочности, надёжности в эксплуатации.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка используемой литературы (131 наименований), изложена на 156 страницах машинописного текста, содержит 39 рисунков и 7 таблиц.
5.5. Выводы по главе №5
1. В данной главе на основе полученных зависимостей между приращениями перемещений и приращениями деформаций в трёхмерной постановке получены вариативные соотношения приращений деформаций и приращений напряжений, разработан алгоритм формирования матрицы деформирования конечного элемента на шаге нагружения размером 72x72.
2. Проведен сравнительный анализ полученных результатов с результатами аналитического расчета и результатами полученными с помощью конечно-элементного программного комплекса ABAQUS. На рассмотренном примере показана приемлемость реализованного алгоритма смешанного метода конечных элементов для учёта упругопластического состояния материала.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На основании проведенных исследований можно сделать следующие выводы:
1. На шаге нагружения получен функционал на основе равенства возможных и действительных работ внешних и внутренних сил, пригодный для реализации МКЭ в смешанной формулировке.
2. Разработан объемный конечный элемент (размер матрицы деформирования 20x20) для расчета пластин и оболочек при плоском нагружении и плоском деформировании с узловыми неизвестными в виде приращений перемещений и приращений напряжений.
3. Разработан объемный конечный элемент (размер матрицы деформирования 24x24) для расчета осесимметрично нагруженных оболочек вращения с узловыми неизвестными в виде приращений перемещений и приращенийнапряжений.
4. Разработан объемный конечный элемент (размер матрицы деформирования 72x72) для расчета произвольно нагруженных оболочек вращения с узловыми неизвестными в виде приращений перемещений и приращений напряжений.
5. Соотношения между приращениями деформаций и приращениями напряжений, полученные дифференцированием соотношений деформационной теории пластичности при использовании гипотезы о пропорциональности' компонентов девиаторов приращений деформаций и г девиаторов приращений напряжений, реализованные в смешанной конечноI элементной формулировке, привели к практически одинаковым результатам в значениях расчетных величин.
6. На численных примерах показана эффективность использования разработанных конечных элементов при упругопластическом состоянии материала.
1. Абовский, Н.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Н.П. Абовский, Н.П. Андреев А.П. Деруга -М.: Наука, 1978.-288 с.
2. Арьков, Д.П. Решение плоской задачи теории пластичности на основе МКЭ в смешанной формулировке. / Д.П. Арьков, H.A. Гуреева / Строительная механика'инженерных конструкций и сооружений. М.: 2010. №4. С.32-37.
3. Арьков, Д.П. Учёт физической нелинейности в смешанной формулировке МКЭ при плоском напряжённом состоянии. / Д.П. Арьков,
4. H.A. Гуреева / Труды Международной научно-практической конференции «Инженерные системы 2010» Российский университет дружбы народов. Москва 2010г. С. 185-189.
5. Арьков, ДЛ. Расчёт оболочек вращения на основе МКЭ в смешанной формулировке с учётом физической нелинейности. / Д.П. Арьков, H.A. Гуреева / Известия ВолгГТУ. Волгоград. 2010. - № 4. -С. 128-132.
6. Багмутов, В.П. Микронеоднородное деформирование и статистические критерии прочности и пластичности: монография / В.П. Багмутов, Е.П. Богданов // ВолгГТУ, Волгогр. гос. с.-х. акад. Волгоград: РПК "Политехник", 2003. - 358 с.
7. Бате К.-Ю. Метод конечных элементов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. -1022с.
8. Вольмир, А. С. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1963.-879 с.
9. Галлагер, Р. Метод конечных элементов. Основы / Р. Галлагер.- М.: Мир, 1984. -428* с.
10. Галилеев, М.М. Схема смешанного метода конечных элементов для пластин и оболочек. Прикладные и теоретические исследования строительных конструкций. - М., 1981. - С. 26-30.
11. Голованов, А.И. Введение в МКЭ статики тонких оболочек /А.И. Голованов. М.С. Корнишин. Казань: изд-воКФ АН СССР, 1990. - 269 с.
12. Голованов, А.И. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций /А.И. Голованов. О.Н. Тюленева, А.Ф. Шигабутдинов // М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 392с. ISBN 5-9221-0674-0.
13. Гинесин, Л.Ю. Применение метода конечных элементов к расчетутонких пологих оболочек / Л.Ю. Гинесин, М.М. Стратонова, А.Л. Берне //Тр. Центр, института авиац. моторостроения. 1982, №996. С. 39-50.
14. Григоренко, Я.М. Численный анализ напряженного состояния слоистых анизотропных оболочек на базе смешанной модели МКЭ / Я.М. Григоренко, С.С. Кокошин // Прикладная механика. - 1982. Т. 18 № 2. - С.З-6.
15. Григоренко, Я.М. Решение задач теории оболочек на ЭВМ / Я.М. Григоренко, А.П. Мукоед. Киев: Вища школа, 1979. - 280 с.
16. Гуреева, H.A. Восьмиугольный объемный конечный элемент в смешанной формулировке на основе функционала Рейсснера / H.A. Гуреева // МГТУ им. Н.Э. Баумана, Изв. вузов: Машиностроение, 2007. №5. С. 23-28.
17. Дьяконов, Е.Г. О решении нелинейных статических задач теории пластин и оболочек. Численные методы механики сплошной среды / Е.Г. Дьяконов, Н.Н.Столяров // Новосибирск. 1979. Т 10, 5.- С. 39-62.
18. Зенкевич, О. Метод конечных элементов к технике / О. Зенкевич. -М.: Мир, 1975. 541 с.
19. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкекич, К. Морган. М.: Мир, 1986. -318 с.
20. Игнатьев, В. А. Смешанная форма метода конечных элементов в задачах строительной механики / В.А. Игнатьев, A.B. Игнатьев, A.B. Жиделев. Волгоград 2006. -170с.
21. Ильюшин А.А Пластичность.- М.:Гостехиздат, 1948. 376с.
22. Жиделёв, А. В. Смешанная форма МКЭ в задачах расчёта геометрически нелинейных стержневых систем / А. В. Жиделёв, В. А. Игнатьев147 .
23. Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета; Серп Естественные науки. Волгоград : Изд-во ВолгГАСУ, 2007. - Вып. 6 (23). - С. 78-84.
24. Ким А.Ю. Численное исследование нелинейных мембранно-пневматических систем / А.Ю. Ким; Сарат. гос. аграр. унтт.- Саратов,- 2001. -201 е.-Деп. в ВИНИТИ 28;04.01.-№:1916-В200К
25. Клованич С.Ф. Метод конечных элементов в нелинейных задачах инженерной механики. Запорожье.: 2009. -400с.30'. Корнеев, В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. Л.: Изд-во Ленинград, ун-та, 1977. -206 с.
26. Корнеев, В.Г. О численном: решении в усилиях задач теории оболочек с использованием косоугольной сетки / В.Г. Корнеев //. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1981. Т. 21. - № 2. - С. 441-451.
27. Корнеев;. В.Г. Некоторые вопросы построения? исследования схем метода конечных элементов / В.Г. Корнеев // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, ,1974^т. 5; №1 с. 59-87.
28. Корнишин, М.С. Нелинейные задач теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М.: Наука, 1964. - 192с.34; Корнишин; М1С. Гибкие пластины:и:панелт/ М*.С. Корнишин, Ф.С. Исанбаева. М:: Наука, 1968. -260 с.
29. Лионе, Ж. Л:.Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж. Л. Лионе, Э. Мадженес. М.: Мир, 1971.- 371 с.
30. Малинин, Н.Н. Прикладная- теория пластичности и ползучести; Учебник для студентов вузов. Изд. 2-е, перераб. и доп. М., «Машиностроение», 1975, 400 с.
31. Марчук, Г.И; Введение в проекционно-сеточные методы /Г.ИМарчук, В.И. Агошков. Наука, 1981. 416 с.
32. Масловская, Л.В. О некоторых вариационных формулировках задач теории оболочек / Л.В.Масловская, А.П.Филиппович, В.Г. Голушков, Ю.Н.
33. Крапивный II В кн.: III Респ. симп. По дифференциальным и интегральным1.уравнениям. 1-3 июня 1982. Тезисы докл. Одесса: Изд-во Одесск ун-та. -С.51-52.
34. Масловская, JI.B. Обобщенный алгоритм Холесского для смешанных дискретных аналогов эллиптических краевых задач /Л.В. Масловская // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1989. Т. 29. - № 1. - С. 67-74
35. Милейковский, И.Е. К расчету оболочек по методу конечных элементов с использованием смешанного потенциала Рейсснера / И.Е. Милейковский, JI.A. Трайнин //. Строит, механика и расчет сооружений. 1977. - №4. -С.21-27.
36. Митчелл, Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными / Э. Митчелл, Р. Уэйт. М.: Мир, 1981. - 216с.
37. Михлин, С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. -512 с.
38. Михлин, С.Г. Численная реализация1 вариационных методов. М.: Наука, 1966. - 432 с.
39. Назаров, A.A. Основы теории и методы расчета пологих оболочек. -JI. -М.: ГИТЛ, 1966.-304 с.
40. Николаев, А.П. Об определении напряженно-деформируемого состояния тонких оболочек с учетом геометрической и физической нелинейности / А.П. Николаев, Н.Г. Бандурин // Прикладная механика. Киев. 1988. №3. -С.46-52.
41. Николаев, А.П. Новый эффективный способ интерполяции t перемещений в конечно-элементном анализе оболочек / А.П. Николаев, Н.Г.
42. Одэн, Ж.П. Приближенное решение эллиптических краевых задач /Ж.П. Оден. Пер. с англ. — М.: Мир, 1977. 383 с.
43. Оганесян, Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений / Л.А. Оганесян, В.Я.Ривкинд, Л.А. Руховец II. Часть П.' Дифференц. уравнения и их применение, Вып.8, Вильнюс, 1974. -322с.
44. Покровский А.А. Смешанная форма метода конечных элементов в линейных задачах. ПГАСА, 2003, -99с.
45. Постнов В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций / В.А. Постнов, И.Я. Хархурим // Изд-во Судостроение Ленинград, 1974. 344 с.
46. Рикардс, Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин / Р.Б. Рикардс // Рига, «ЗИНАТНЕ» 1988. 284с.
47. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам.-М.: Стройиздат, 1977.-128с.
48. Скопинский В.Н. Напряжения в пересекающихся оболочках. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. 400с.
49. Сливкер, В.И. Об одной смешанной вариационной постановке задач для упругих систем. Изв.АН СССР. Механика твердого тела, 1982.-№ 4.-С.88-97.
50. Соболев, С.Л. Некоторые приложения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во Ленинград, ун-та, 1950: - 220 с.
51. Секулович М. Метод конечных элементов. М.: Стройиздат 1993. 664с.
52. Стренг, Г. Теория МКЭ / Г. Стренг, Дж. Фикс. М.: Мир, 1977. 349с.
53. Сьярле, Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач.- М.: Мир, 1980.- 512 с.
54. Трушин С.И. Метод конечных элементов. М.: АСВ, 2008. 257с.
55. Филиппович, А.П. Применение смешанного метода конечных элементов в задачах об изгибе пологих оболочек / А.П. Филиппович // -Численные методы, механики сплошной среды. Новосибирск, 1982. Т. 13. №4. -С. 143-162
56. Хечумов, Р.А. Применение метода конечных элементов к расчёту конструкций / Р.А. Хечумов, X. Кепплер, В.И. Прокопьев // M.: АСВ, 1994. -351с:
57. Черных, К.Ф. Линейная теория оболочек. Л.: Изд-во Ленинград, унта, 1962,-4.1. -374 с., 1964. - 4.2,- З96.с.
58. Шапошников, Н.Н. Расчет пологих оболочек и пластин со сложным контуром- по МКЭ с использованием прямоугольной) ортогональной1 сетки / Н.Н. Шапошников, В.А. Ожерельев II. Численные методы и алгоритмы. -М., 1981.- С. 54-55.
59. Экланд, И. Выпуклый анализ и вариационные проблемы / И. Экланд, Р.Темам. -М.: Мир, 1979. -399 с.
60. Aubin, J.P. Some aspects of the method of the hypercircle applied to elliptic variational problems / J.P: Aubin, H.G. Burchard, in SYNSPADE 1970 (B. Hubbard, editor), Academic Press, New York, 1971.
61. Bernadou, M. Convergence of conforming finite element method fox general shell problems. Int. J. Engag. Sci., 1980, v. 18, N 2, p. 249-276.
62. Brambl, J., Hilbert S. Estimation of linear functional on Sobolev Spaces with application to Fourier transforms and spine interpolation. SIAM J. Numer. Anal., 1976, v. 13, p.185-197.
63. Bercovier, M. Régularisation duale des problèmes variationnels mixtes. Applications aux elements finis mixtes at extension a quelques problèmes nonlineaires / M. Bercovier // Doctoral Thesis, Universite de Rouen, 1976.
64. Bercovier, M. A 4 CST quadrilateral element for incompressible and nearly incompressible materials / M. Bercovier, E. Livne // Technical Note MB/76/3, Computation Center, Hebrew University Jerusalem, 1976.
65. Bressi, F. On the existance, uniqueness and approximation of saddle-point problems arising from Lagrangian multipliers / F.Bressi //RAIRO, 1974, v. 8, №2, p. 129-151.
66. Brezzi, F. Sur la methode des elements finis hybrdes pour le probleme biharmonique. Numer. Math., 1975, v. 24, p.103 -131.
67. Brezzi, F. Analysts of a mixed finite element method for elastoplastic plates /F.Brezzi, C. Johnson, B. Mercier // Math. Comp. 31.(1977), 140, pp. 809817.
68. Brezzi, F., Raviart RA. Mixed finite element methods for 4th-order elliptic equations. Topics in Numerical Analysis III, (J.J.H.Miller ed.), Academic Press, New-York, 1976, p. 315-338.
69. Brezzi, F. Non-standart finite element for fourth order elliptic problems. Energy Method Finite Element Anal., Chichester e.a., 1979, p. 193-211!.
70. Ciarlet, P.G. General Lagrange and Ermite interpolation in Ran with applications to finite element methods / P.G. Ciarlet, P.A. Raviart //. Arch. Rat. Mech. Anal., 1972, v.46, p. 177-189.
71. Cowper,G.R. A shallow shell1 finite element of triangular shape / G.R. Cowper, G.M. Linberg, M.D. Olson // Int. J. Solids Struct., 1970, v. 6, p. 11331156.
72. Falk R.S. Error estimates for mixed methods / R.S. Falk, J.E. Osborn // -RAIRO, Numer, Anal., 1980, v. 14, №3, p. 249-277.
73. Farhloul, M. A mixed finite element method for a nonlinear Dirichlet problem / M. Farhloul // IMA. J. Num. Analysis 18 (1998). pp. 121-132.
74. Farhloul, M. On a mixed finite element method for the p-Laplasian /M. Farhloul, H. Manouzi //Canadian Applied Mathematics Quathrly, V. 8, N 1, Spring 2000.- pp. 67-78.
75. Fortin, M. Resolution numerique des equations de Navier-Stokes par des elements finis de type mixte / M. Fortin // in Journees Elements Finis, Universite de Rennes, Rennes, 1976.
76. Fourtin, M. Analysis of the convergence of mixed finite element methods. RAIRO, 1977, v. 11, p, 341-354.
77. Haslinger, J. Curved elements in a mixed finite element method close to the equilibrium model / J. Haslinger, Hlavacek // Apl. Mat. 20 (1975). pp. 233252.
78. Haslinger, J. A mixed finite element method close to equilibrium model / Jl Haslinger, Hlavacek // Numer. Math. 26 (1976). pp. 85-97.
79. Haslinger, J. A mixed finite clement method close to equilibrium model applied to plane elastostatics / J. Haslinger, Hlavacek // Apl.Mat. 21 (1976). pp. 28-42.
80. Hellan, K. Analysis of elastic plates in flecsure by a simplified finite element method / K. Hellan // Acta Polytechn. Scandinavica. Ci 40.Frondheim, 1967.-V. 46. pp. 1-29.
81. Herrmann, L. Finite element bending analysis of plates -J. f Mech., 1967, Div. ASCE, v. 93, EMS, p. 49-83.
82. Herrmann, L.R., Cambell O.M. A finite element analysis for thin shell. -AIAA, 1968, v. 6, № 10, p. 1842-1847.
83. Johnson, C. Convergence, of another mixed finite-element method for plate bending problem / C. Johnson // Report No. 1972-27, Department of Mathematics, Chalmers Institute of Technology and the University of Goteborg, Goteborg, 1972.
84. Johnson, C. On the convergence of a mixed finite element method forplate-bending problems. Numer Math., 1973, v. 21, p. 43-62.
85. Ji Zhen-yi, Wu Chang-Chun. Смешанный вариационный принцип для дискретного анализа пологих оболочек и применение гибридного искривленного элемента оболочки с двенадцатью степенями свободы. Acta Mech. Solida sin., 1982, №3, p. 366-378.
86. Kikuchi, F. Theory and examples of partial approximation in the finite element method / F. Kikuchi // Internal. J. Numer. Methods Engrg. 10 (1976). pp. 115-122.
87. Kikuchi, F. Rectangular finite element for ending plate bending analysys based on Hellinger-Reissner's variational princilc / F. Kikuchi, Y. Ando // J. Nuclear Sci. and Tech.9 (1972). pp. 28-35.
88. Kikuchi, F. Some finite element solution for plate bending problems by symplified hybrid displacement method / F. Kikuchi, Y. Ando //- Nuclear Engng. and Design., 1972, v. 23, p.155-178.
89. Kikuchi, F. On the convergence of a mixed finite element scheme for plate bending / F. Kikuchi, Y. Ando //- Nuclear Engag. And Design., 1973, v. 24, p. 357-373.
90. Kikuchi, F. Accuracy of some finite element models for arch problems. Comput. meth. in appl. Mech. and Engng., 1982, v. 35, p. 315345.
91. Koiter,W. T. On the foundations of the linear theory of thin elastic shell. I, II. Proc. Koninklijne Nederlands Akad. van Wetenschappen, ser. B, 73, 1970, p. 169-196.
92. Mansfield, L.E. Mixed finite element methods for elliptic equations / L.E. Mansfield// Report No. 76-24. Institute for Computer Applications in Science and Engineering, NASA Langley Research Center, Hampton, Virginia, 1976.
93. Mansfield, L.E. Finite element for nonlinear shell analysis. Numer. Math., 1981, v. 37 №1, p. 121-131.
94. Miyoshi, T. Finite element method for the solutions of fourth orderpartial differential Equations / T. Miyoshi // Kumamoto J. Sci. (Math.) 9(1973). -pp. 87-116.
95. Miyoshi, T. Finite element method of mixed type and its convergence in linear shell problems/ T. Miyoshi // Kumamoto J. Sci. (Math.), v. 10, p. 3558.
96. Miyoshi, T. A mixed finite element method for the solution of the Karman equations / T. Miyoshi // Numer. Math. 26 (1976).- pp, 255-269.
97. Oden, J.T. Some contributions to the mathematical theory of mixedfinite element approximation / Oden J.T. // in Theory and Practice in Finitej.
98. Element Structural Analysis, pp. 3-23, University of Tokyo Press, 1973.
99. Oden, J.T., Reddy J.N. On dual-complementary variation principles in mathematical physics/ J.T. Oden, J.N. Reddy // Int. J. Engng. 1974, v. 12, p. 129.
100. Oden, J.T. Some observations on-properties of sertain mixed finite , element approximations / J.T. Oden, J.N. Reddy // Internat. J- Numer Methods. Engrg. 9 (1975). pp, 933-949,
101. Osborn, J.E. Analysis of mixed methods using mesh dependent spaces. Comput. Meth. Nonlinear Mech, Proc. TICOM 2nd Int. Confr, Austin, Tex., 1979. - Amsterdam e.a., 1980, p. 361-377.
102. Quarteroni A. On mixed methods for fourth-order problems. -Gomput. Meth. in AppliMech. And Engng., 1980 v.24, p:13:34:
103. Raviart, P.A. Elements; finis et diialite. Proc. Int. Congr. Math;, Helsinki, 15-23, Aug. 1978, v. 2, Helsinki, 1980, p. 929-935.
104. Rannacher, R. On nonconforming and mixed finite element method for plate bending problems. The linear case: -RAIRO,* Anal, Numer., 1979;.V;,13;. №4, p. 369-387.
105. Reissner,„' E. On a variational theorem.; in elasticity; J.Math. and Physics, 1950, v. 29, №2, p. 90-95.
106. Sander G;,:Idelson S. A^^family ofxonfoiming.finite elementifor shelL analysis. Int; J: for Nmer. Math in Engng., 1982, v.18 , p. 363-380. '
107. Talaslidis, D. On the convergence of a mixed finite element approximation for cylindrical shells. Z. angew. Meth. und Mech., 1979, v. 59, №9, p. 431-436.
108. Visser, W. A refined, mixed type plate bending element. -AIAA J.,1969, v. 7. --
109. Wada, H., Taki Y., Takamura T. Nonlinear analysis of plates and shells by the incremental procedure using a mixed model of the finite element method. -Bull, of the JSME, v. 23, №186, p. 1945-1951.
110. Zlamal, M. On the finite element method. Numer Math, 1968, v. 12, p. 394-402.
111. Altman, Wolf, Fquti Fernando A thin cylindrical shell finite element based on a mixed formulation // Comput. and Struct. 1976. - 6. - N2. - p. 149155.
112. Argyris, J.H. Energy theorems and structural analysis. — London. Batterworth. 1960.
113. Hoist, J.M.F.G., Calladine C.R. Inversion problems in elastic thin shells // Eng. J. Mech. A. 1994. - 13. -N4. - p.3-18.
114. Turner, M. J., Clough R. W., Martin H. C., Topp L. J. Stiffness and defection analysis of complex structures // J. Aero. Sci. 1958. - 23. - №1. -p.805-823.
