Применение метода конечных элементов на основе смешанного функционала к расчёту пластин и оболочек с учётом физической нелинейности тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

005002970

Арьков Дмитрий Петрович

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НА ОСНОВЕ СМЕШАННОГО ФУНКЦИОНАЛА

К РАСЧЁТУ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК С УЧЁТОМ ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

- 1 ДЕК 2011

Волгоград 2011

005002970

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия»

Научный руководитель кандидат технических наук, доцент

Гуреева Наталья Анатольевна.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Овчинников Игорь Георгиевич, кандидат технических наук, доцент Игнатьев Александр Владимирович.

Ведущая организация Южно-Российский государственный

технический университет (Новочеркасский политехнический институт).

Защита состоится «20» декабря 2011 года в 15- часов на заседании диссертационного совета Д 212.028.04 при ГОУ ВПО Волгоградском государственном техническом университете по адресу: 400005, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, ВолгГТУ, ауд. 209.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного технического университета.

Автореферат разослан «20» ноября 2011 г.

Водопьянов В.И.

Ученый секретарь ¿¡Ьъ^и

диссертационного совета

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Создание прочных и надежных конструкций с высокими показателями качества является приоритетной задачей во многих областях современной техники.

Расчет конструкций с учётом физической нелинейности материала требует высокой точности определения всех компонентов напряженно-деформированного состояния. В качестве численного метода наиболее удобно использовать МКЭ, позволяющий получать достаточно корректные результаты при расчете объёмных систем. Обзор литературы показывает, что МКЭ в форме перемещений посвящено огромное количество работ, их анализ позволяет говорить о том, что наряду с достоинствами эта форма МКЭ имеет и ряд нерешенных проблем: не высокая точность вычисления напряжений по сравнению с перемещениями, сложность решения почти несжимаемых тел, учет смещений конструкции как жесткого целого и другие. Это обстоятельство привело к появлению ряда работ по развитию гибридных вариантов МКЭ в форме метода перемещений.

Проблемы, возникающие при использовании конечных элементов метода перемещений при вычислении напряжений, не устраняются полностью и для гибридных элементов. При помощи этих элементов удается точно удовлетворить условия равновесия внутри элементов и статические граничные условия. На поверхности контакта двух смежных элементов равновесие оказывается выполненным только в интегральном смысле. Это имеет место также при использовании гибридных конечных элементов. Однако, согласованность смежных элементов по деформациям и напряжениям оказывается невыполнимой. Согласованность значений напряжений в соседних элементах, как правило, является критерием для оценки точности конечно-элементных решений. В настоящей работе согласованность значений напряжений и перемещений в соседних элементах достигается. Для этого в работе рассмотрено применение смешанной формы МКЭ для расчета пластин и оболочек вращения с учётом физической нелинейности материала. Проведенные различными учеными исследования позволяют говорить о преимуществах смешанной формы перед МКЭ в форме метода перемещений для расчёта пластин и оболочек (JI. Геррманн, К.-Ю. Бате, A.C. Сахаров, В.А. Игнатьев и др.). Одним из достоинств МКЭ в смешанной формулировке является возможность получения искомых перемещений и напряжений, не прибегая к дополнительным вычислениям, решив системы разрешающих уравнений. Число же работ по расчету пластин и оболочек в трехмерной постановке весьма ограничено. Для расчета напряженно-деформированного состояния конструкций трехмерные конечные элементы являются более корректными, а в зонах концентраций напряжений, где зачастую появляются пластические деформации и неприемлема гипотеза о деформировании нормали, они фактически являются безальтернативными.

Поэтому использование смешанного метода конечных элементов с учётом физической нелинейности в расчетэл пластин и оболочечных конструкций в трехмерной постановке является актуальным и представляет практический интерес.

Цель диссертационной работы заключается в разработке метода формирования матриц деформирования согласованных по деформациям и напряжениям трехмерных конечных элементов в смешанной формулировке для определения напряженно деформированного состояния тонкостенных конструкций с учётом физической нелинейности материала и использование разработанных конечных элементов в практике инженерных расчётов.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

- в получении из условия равенства возможных и действительных работ внешних и внутренних сил смешанного функционала на шаге нагружения для реализации в конечно-элементной процедуре расчета при учете физической нелинейности материала;

- в разработке на основе предложенного смешанного функционала алгоритмов получения матриц деформирования трехмерных конечных элементов для расчета пластин и оболочек с узловыми неизвестными в виде приращений перемещений и прирашений напряжений при учете упругопластиче-ского состояния материала. Соотношения между приращениями деформаций и нап;м>!.с::ай определялись на основе деформационной теории пластичности (Илыогаии A.A.) и теории, использующей гипотезу о пропорциональности компонентов девиаторов приращений деформаций и напряжений.

Практическая ценность заключается в разработке алгоритмов и программных модулей формирования матрицы деформирования высокоточных трехмерных конечных элементов, которые могут эффективно использо-. иагься в программных комплексах, предназначенных для исследования напряженно-деформированного состояния объемных тел, пластин, оболочек и их фрагментов.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

- алгоритмы получения смешанного функционала на основе равенства возможных и действительных работ внешних и внутренних сил на шаге нагружения;

- варианты соотношений между приращениями деформаций и напряжений на шаге нагружения на основе деформационной теории пластичности и на основе гипотезы о пропорциональности девиатора приращений деформаций девиатору приращений напряжений;

- алгоритмы формирования матриц деформирования трехмерных конечных элементов на шаге нагружения на основе предложенного смешанного

функционала для определения напряжённо-деформированного состояния пластин и оболочек вращения при упругопластическом состоянии материала.

Достоверность полученных результатов, изложенных в диссертационной работе, обеспечивается удовлетворением разработанных алгоритмов основным соотношениям теории упругости и механики сплошной среды, использованием обоснованных численных методов и подтверждается сравнением результатов решения тестовых примеров, полученных с помощью разработанных конечных элементов, с результатами исследований других авторов. Во всех случаях выполнялись численные исследования сходимости вычислительных процессов при различных количествах дискретных элементов рассчитываемой конструкции.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Всероссийской научно-практической конференции «Инженерные системы-2009» РУДН г.Москва, 2009г.; на ежегодных научно-практических конференциях «Проблемы развития АПК» Е'.ГСХА секции "Конструирование и строительная механика инженерных сооружений", г.Волгоград; на второй международной научно-практической конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела». г.Казань 2009г. Казанский государственный университет; на международной научно-практической конференции «Инженерные системы 2010», РУДН., г. Москва, 2010г.; на объединенном научном семинаре секции «Конструирование и строительная механика инженерных сооружений», г.Волгоград, 2010г.; на расширенном заседании кафедры «Строительная механика», ВолгГАСУ г.Волгоград, 2010г.

Публикации. Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертационной работы, опубликованы в 11 научных статьях, в том числе 4 статьи из перечня, определенного Высшей аттестационной комиссией Министерства образования и науки Российской Федерации. Из совместных публикаций в диссертацию включены разработки, принадлежащие лично автору. Список опубликованных работ приводится в конце данного реферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит титульный лист, оглавление, введение, пять глав основного текста, заключение, список литературы; изложена на 152 страницах машинописного текста, содержит 37 рисунков, 5 таблиц, список литературы из 131 наименования литературных источников.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы диссертации, формулируется цель выполненного исследования, научная новизна диссертации и практическая значимость работы. Смешанные схемы конечно-элементной дискретизации могут принести преимущества при определенных видах анализа, если сравнивать их со стандартной дискретизацией на базе перемещений. Имеются две обширные области, для которых использование

смешанных элементов оказывается значительно эффективным. Этими областями являются исследование почти несжимаемых сред и анализ конструкций типа пластин и оболочек (К.-Ю. Бате). Поэтому использование смешанного метода конечных элементов с учётом физической нелинейностн в расчетах пластин и оболочечных конструкций без упрощающих гипотез является актуальным и представляет практический интерес.

В первой главе изложен краткий исторический обзор развития смешанного метода конечных элементов в задачах исследования напряженно-деформированного состояния инженерных конструкций с учётом физической нелинейности.

Отмечается вклад в развитие смешанного метода конечных элементов отечественных и зарубежных ученых.

Анализ опубликованных работ показывает, что определение напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек выполнялось с использованием теории тонких оболочек на основе геометрических гипотез, упрощающих расчет.

Широкое распространение ЭВМ предоставило возможность использования трехмерных конечных элементов в расчетах пластин и оболочек с реализацией алгоритмов получения матриц деформирования конечных элементов на основе соотношений теории упругости без упрощающих гипотез о деформировании нормали.

Напряженно-деформированное состояние конечных элементов определяется при помощи выбираемого набора функций, которые представляют напряжения и перемещения в области элемента. Для формирования разрешающих уравнений как отдельных конечных элементов, так и всей конструкции используются энергетические принципы. Наиболее встречающимся является принцип минимума потенциальной энергии, или принцип Лагранжа, менее распространенным - принцип минимума дополнительной энергии (принцип Кастилиано). С использованием выше перечисленных принципов разработаны гибридные и смешанные вариационные принципы Рейсснера, Ху-Вашицу, Херрмана и др. В основе функционалов Лагранжа и Кастилиано используют принципы виртуальных перемещений и виртуальных сил. Эти принципы являются различными формами общего принципа виртуальной работы и могут использоваться для построения соотношений метода конечных элементов.

Во второй главе на основе теории механики сплошной среды записаны основные соотношения теории упругости и пластичности в матричной формулировке. На основании энергетических принципов об энергии представлены вариационные уравнения, в форме функционалов.

В третьей главе приводятся основные зависимости при плоской деформации и плоском напряжённом состоянии. На основе гипотезы о пропорциональности компонент девиатора приращений деформаций компонентам

девиатора приращений напряжений получен вариант соотношений между приращениями деформаций и приращениями напряжений.

Плоская деформация осуществляется в длинном призматическом теле, ось которого параллельна оси Оу.

Перемещения и, V происходят в плоскости хОг в направлении осей х и ъ соответственно

и = = у(х,2)\м'= 0. (1)

Нагрузка действует в плоскости хОг и постоянна вдоль оси Оу. В таких задачах деформации происходят только в плоскости хОг

еа=Еа{х,г)\ у ху = 0; (2)

= _.(*,*); Ггу= о-

Приращения напряжений через приращения деформаций на (¡+1)-ом шаге нагружения запишем в таком общем виде

= ВиАехх + ВхгАеа + ВиАуЛ:;

Асг:: = + В1гАе:1 + В2,Аух:; (3)

Лсгх_- = ВгуАехх + ВпАе:2 + ВпАух2. Коэффициенты определяются дифференцированием известных со-

отношений деформационной теории пластичности [5]

в -ЁЕ**,. .... в

Приращения напряжений (3) можно представить в матричном виде

{До-} = №4 М = (5)

Плоское напряженное состояние возникает в тонкой пластинке, загруженной по боковой поверхности силами, параллельными её основаниям и равномерно распределенными по ее толщине. В этом случае возникает следующее напряженное состояние о".-, = <та{х,г)\

= <7„(х,

ах: =сг„(х,г); (6)

<т,у = ег}, = схЛ, = 0.

Выражения приращений деформаций через приращения напряжений на (]И)-ом шаге нагружения записываются в таком общем виде

Аб\х = АИАахх + АпАо,, + ЛпАсгх_;

Ае:: = А2[Аахх + Аг1Аа2. + А2}Аах,;

= + А32А<т:г + Л 3Аег„;

Ае}у = А,хА<ухх + Л42Да\. + А43АаХ2. Коэффициенты ли,...,А„ равны соответствующим производным соотношений деформационной теории пластичности

А - Ё£м,- .... л -ЁЪ*. т

" ~ а ' > 33 _ а (°)

Приращения деформаций (7) можно представить в матричном виде

{Л^НсДМ- (9)

На основе гипотезы о пропорциональности компонент девиатора приращений деформаций компонентам девиатора приращений напряжений можно получить следующий вариант соотношений между приращениями деформаций и приращениями напряжений, записываемый в виде [5]

^у - = |~ АаЛ

(10)

Дет,

где

- приращение средней деформации;

АсГц, =-(Асги.+Д<т):1 + Ас7. ) - приращение среднего напряжения; Ае^Аст, - приращения интенсивностей деформаций и напряжений;

- касательный модуль диаграммы деформирования материала.

Зависимость приращения средней деформации от приращения среднего напряжения определяется следующим выражением л 1-2// А

А£сР=—^А<ТСР- (11)

Приращения деформаций можно выразить через приращения напряжений, используя выражение (11) е матричном виде

м-Ым (12)

Функционал на шаге нагружения.

Условие равенства возможных и действительных работ внешних и внутренних сил на шаге нагружения запишется в виде

1 2

Л'

сШ,

(13)

2' где

{А у} = (Ди Ду} - вектор приращений перемещений на шаге нагружения; - векторы нагрузок и их приращений;

У - объем тела;

5 - поверхность, где заданы нагрузки.

Для получения на шаге нагружения смешанного функционала заменим действительную работу приращений внутренних сил на шаге нагружения разностью возможной и дополнительных работ внутренних сил [1]

МЧФ^-^МММ, (Н)

где

{¿(Ди)}

- столбец приращений деформаций, представленный по формулам Коши;

[£>]- матрица соотношений между приращениями деформаций и приращениями напряжений.

С учётом (14) и равенства (13) можно записать функционал на шаге нагружения

Лш - |{Лсг}г (¿(ЛирУ -I |{дСТ}[о]{Лст}^ -

v ¿v

-1 ¡{АиУ {Ар^ - /{Ди}г \p\dS + {¿(Аи)}с1У = 0. ° 5)

^ в 5 v

Геометрия оболочки, перемещения и деформации. Радиус-вектор произвольной точки М отсчётного меридиана плосконапряженного тела в декартовой системе координат определяется выражением

Я = х1+г(х)к, (16)

где ¡,к - орты декартовой системы координат. С использованием (16) определяются векторы локального базиса

= я} - и их производные [2]

{«>Л=И{4 (17)

Радиус - вектор точки М', отстоящей на расстоянии ; от отсчётного меридиана в исходном состоянии, определяется выражением

К' =& +[д. (18)

. Векторы локального базиса точки М' определяется дифференцированием (18) с учётом (17)

¿Г, = Л,'. = = 5,(1 + тп)+аМ2г;

ёъ =&■>', = (19)

Под действием заданной нагрузки точка М' получает перемещение, вектор которого V ьыражается компонентами в базисе точки М

V = v^a1+vгa = {й}Г {у}, (20)

где

1 > I > - строка проекции вектора перемещения на векторы локального базиса.

В результате приращения нагрузки на (¡+1) - ом шаге нагружения точка М1 получит перемещение, определяемое вектором й, который также представляется компонентами в базисе точки М

м> = м1>а1 + \\>га = {й}Г (21)

Перемещение точки М' после 0+1) — го шага нагружения определяется суммой векторов У+й.

■ Компоненты тензора приращений деформаций на 0+1) — ом шаге нагружения, определяемые разностью компонент метрических тензоров исходного и деформированного состояний, запишутся в матричном виде

(А-} = ММ> (22)

З.т] Зд'2 2.т1

где

[¿] - матрица алгебраических и дифференциальных операторов.

Соотношения между приращениями деформаций и приращениями напряжений на (]+1)-ом шаге нагружения имеют вид

{д£}=[сл{д4 (23)

где

[ся]=Ы

I х I с. ПрИ 11Лоском напряженном состоянии;

- при плоской деформации. Для решения задачи упругопластического деформирования разработан объёмный конечный элемент с поперечным сечением в виде произвольного четырёхугольника с узлами ¿, у, к, 1.

Для выполнения численного интегрирования глобальные координаты 5,/ четырёхугольника выражаются через локальные, координаты квадрата £,ч, изменяющиеся в пределах -1 < г/ < 1, билинейными соотношениями. Дифференцированием этих выражений определяются производные глобаль-

ных координат в локальной системе , я., ,/,., и локальные координаты £>,> 4„ .'Л,.в глобальной системе координат.

Компоненты вектора перемещений внутренней точки конечного элемента и приращений напряжений аппроксимируются через свои узловые значения также билинейными соотношениями и в матричной записи имеют вид [2]

(24)

2x1 218 81, 3x12 |2д1

где

К}''»{иг кг I м 1;

1x8 I. 1x4 1x4 ) 1x12 I 1x4 1x4 1x4 }

где

кг=к-и ^ ^ I

к! = к' 11,24 н'2' }>- вектор - строки узловых значений компонент вектора »■;

{Лс710,}' ЧЛ<ти А<1 л< А о-,', );

У = ЛсГзз Асг*3 Дет', },

{асг13у}г - {Лст.'з Асг(3 Асг,-з Аа'13 | - матрицы - строки узловых компонент тензора приращений напряжений; индексы 1, 3 соответствуют компонентам тензора приращений напряжения в направлении осей координат х, г соответственно.

Приращения деформаций с использованием формул Коши определяются выражением

М=Ш]=[ФЗКI=№К }• (25)

С учётом матричных соотношений (23) и (25) функционал (15) на шаге нагружения запишется в виде

lvl2 ^ 12.V3 Зд8 St| 1М 2 • 12*3 3x3 3x12 l2j.j

- jki Kfo^-W' ]Hr {p}*®+kf \[Bl {*)dv=n.

Z Г 8x2 2x1 |,'g ¿8x2 2x1 ,,-8 ,* 8.V.1 3x1

ixS J л '

Минимизируя функционал по узловым неизвестным {»,}' и {лег,,}' , получим систему уравнений

8П„

д{Асгу}7 ЬГ12 1 Пх1у' К' VI' дП

^ йз 'а/!'

р) гх1

где

{л/> Д4 {/> И К

8x1 8x2 2x1 5 v

Система уравнений (26) может быть представлена в традиционной для метода конечных элементов форме

М ЫЧ4 (27)

20x20 20x1 20д:1

где

[к] =

20x20

8-т12

нагружения;

-М И

12^:12 12x8

М [о]

- матрица деформирования конечного элемента на шаге

ЫЧКГКГ,

- вектор узловых неизвестных элемента;

- вектор у:шовых усилий конечного элемента;

{Ь'}1 {//,{/а } - невязка.

Тестовый пример 1. Рассмотрено напряженно - деформированное состояние консольной пластины, загруженной силой Р, (Рис. 1). Используем шаговый метод последовательного нагружения.

Были приняты следующие исходные данные: 1= 0,2м; 11=0,01м; первоначальная нагрузка принимается Д^ =0,01Н, материал пластины принят дю-рагпомин Д16Т, характеризуется параметрами: модуль упругости Е = 7,5х104 МПа; коэффициент Пуассона (.1=0,3; предел текучести ау =200МПа, деформация, соответствующая пределу текучести ^=0,00267.

Р

I

Рис. 1 Расчётная схема консольной пластины где £, интенсивность деформации, сг, интенсивность напряжения.

За пределами упругости принимается нелинейное упрочнение, описываемое зависимостью а,= ае^+Ь^+с, где г1у < £,; £,у =0,00231; а = 78901,8 МПа; Ь =8678,2 МПа; с = 181,9 МПа.

Пластина разбивалась по толщине на 20 частей и на 40 вдоль оси. При значении силы Г достигшей Ру в заделке в крайних волокнах сечения возникают напряжения, равные пределу текучести сту. Эпюру напряжений в этот момент назовем эпюрой 1.

При нагрузке f > Рг эпюра 1 возникает в сечении, расположенном на каком то расстоянии ху от свободного конца (Рис. 2). Сила Г шагами была доведена до значения, превышающего значение Ру.

Из соотношения к • х„ = Му

определятся абсцисса сечения, в которой эпюра напряжений будет соответствовать эпюре 1.

Рассчитанная теоретически величинаА'"'"'' = 0,0802.« и найденная с помощью разработанной программы Х"р =0,0808.« различаются на 1,3 %.

Использование шагового метода нагружения позволяет описать весь процесс изменения напряженно-деформированного состояния конструкции в процессе возрастания внешней нагрузки.

О > и У _ (Ту

1 -А Т.-\ i j

1 " ! Т ■ -V,. 1

Рис. 2. Эпюры напряжений в пластине при F > F):

Опн>ры нормлпьных напряжении в иделке njni различных шагах нагружения

3

tf /

it

—ь

F -fy\

tt

R 4

M —i—

восо -5соо 4Э00 -зооо -гсео юоо о тосо гам зооо «too аэоо есоо

Нэ;.«»шэпё -~&~Hj Ю-омшзге № 15шге Ка2Вймшэге -»-КзЗСЮчшаге —-нз51>омшз^ te 70-cw mane_

Рис. 3 Эпюра напряжений, возникающих в заделке

. В заделке эпюра напряжений при пошаговом нагружении показана на -рис.З. Кривой 1 отмечено упругое решение в заделке при достижении нагрузкой численного значения Ру. Напряжения в наиболее удаленных волокнах равны пределу текучести сгГу (по критерию пластичности Хубера-Мизеса).

При дальнейшем увеличении нагрузки пластические деформации распространяются по толщине пластины, захватывая области трех элементов от поверхности (кривая 2).

При дальнейшем увеличении нагрузки область пластических деформаций по толщине увеличивается, занимая по девять элементов от поверхности. Например, кривая 5 показывает, что пластические деформации возникли в десятом и одиннадцатом элементах, части которых деформируются как пластически, так и упруго.

Принятие решения о допустимости уровня напряженно-деформированного состояния зависит от нормативной документации той или иной отрасли.

Решая задачу предложенным методом, была сделана статическая проверка (сумма проекций всех сил на ось х равна 0), найдены сжимающие усилия №=136,6Н и растягивающие Ыр =136,5Н, разница в усилиях составила 0,1Н, что составляет 6 =0,032% от значения

Данная задача также решалась с использованием программного комплекса АВ АС?Ш, где разница между названными выше усилиями составила 5 =0,12%.

Также была выполнена статическая проверка правильности вычисления касательных напряжений: ( 2у = 0), разница составила 1,03%.

Уравнение статики: (сумма моментов внутренних сил равна моменту внешних сил в заделке пластинки) в нашем случае выполняется с точностью до 1,82%, в случае использования программного комплекса АВАОШ различие составило 4,69%.

Тестовый пример №2. Рассмотрено напряженно - деформированное состояние двухопорной пластины при загружении распределенной линейной нагрузкой в середине пролёта. В виду симметрии рассматривалось половина пластины (рис.4). Были приняты следующие исходные данные: 1= 0,4м; Я=58,43кН/м; 11=0,01 м; модуль упругости Е = 7,5х 104 МПа; коэффициент Пуассона (.1=0,3; предел текучести ау =200МПа, деформации, соответствующие пределу текучести £/=0,00267.

Нелинейное упрочнение описывалось зависимостью а,= а£;2+Ь£;+с, где £1у < е,у =0,00231; а = 78901,8 МПа; Ь =8678,2 МПа; с = 181,9 МПа.

Используя эпюру напряжений были рассчитаны внутренние силы, действующие в пластине, (уравнение статики: сумма проекций внутренних сил на ось пластины равна нулю) в нашем случае выполняется с точностью 5 =0,67%, в случае программного комплекса АВА(}и8 с точностью 5 =2,39%.

2

Рис. 4 Схема пластических областей в пластине Сумма моментов внутренних сил равна моменту внешних сил в опоре пластины в нашем случае выполняется с точностью 2,82%, в случае использования программного комплекса АВАОШ 4,78%.

Так же, для данной пластины было определено напряженно-деформированное состояние при условии защемления на концах.

Анализ результатов, полученных на основе изложенного алгоритма, и результатов, полученных на основе конечно-элементного комплекса аваош, доказывает корректность применения изложенного алгоритма ,%пя учёта упруго - пластического состояния материала в инженерных расчётах на основе МКЭ в смешанной формулировке.

В четвертой главе проведено исследование напряжённо-деформированного состояния оболочки вращения при осесимметричном на-гружении.

В декартовой системе координат хОг отсчётный меридиан оболочки вращения описывается радиус - вектором (рис.5).

а

/ * Рис. 5

Я = XI -г г(х)к ,

где г - радиус вращения точки с координатой х. Векторы локального базиса точки М определяются выражениями

5, = Л, = .г,/ + г,к; а =а, х/ = х ,к - г,г,

где з - меридиональная координата точки М; ) - орт оси у.

(28) (29)

Производные векторов (29) можно представить разложением по векторам локального базиса [8]

Деформации в точке М* в матричном виде запишутся выражением

(30)

451 452 2*1

где {с}г = {е„ ет £„ 2е1, } - матрица - строка деформаций в точке М';

{у}7 = {к' ('} - матрица - строка компонент вектора перемещения точки М';

[Ь] - матрица алгебраических и дифференциальных операторов.

Физические соотношения на шаге погружения.

Соотношения между приращениями деформаций и приращениями напряжений на] - ом шаге определяются дифференцированием основных соотношений деформационной теории упругости и представляются в матричном виде

Н=1сяК}5 (31)

где {Де}г = {Д£„ Ает Леи 2Дг„}; {Дег}г ={Дстм Д<т„ ДсгЛ}.

Можно получить другой вариант соотношений между приращениями деформаций и приращениями напряжений на основе гипотезы о пропорциональности компонентов девиаторов приращений деформаций компонентам девиатора приращений напряжений, записываемой в виде [5]

Ае„ - Ьеср =!^-(Дсг„ -Даср\

Аеп - Ае = - Д<т,Д

2 Да, (32)

Аг„ =-~(асг„ - Да,,},

, Де. ,

2Дг,, = 3—- Да-!,, Дет,

С использованием (11) из (31) определяется матричное выражение

{А4=[С,л{Д(Т}. (33)

В качестве конечного элемента принимается кольцевой фрагмент оболочки с поперечным сечением в виде произвольного четырехугольника с узлами ¡,), к, I [8]. Аппроксимация приращений перемещений и приращений напряжений внутренней точки конечного элемента осуществлялась с использованием билинейных функций формы {ф(4,ч)У

{ау}=[Л)\АУу\, <34)

где

{ДГ}'' = (д|." дгЦдг,}'' ={дг" ау" &у" ДГ" ДГ д у> а у" Д У'1 1«2 1,8

{Да-}' = {Л(Г„ Д<7да Дсг„ Лст,,}; |д<т,.)г = {до",/ Да/ Дог,,4 Дет,,'...........Дсг„'}.

С учётом аппроксимирующих выражений функционал (15) запишется в виде

- [ф к К, У М [ву К}-

I 1г6 6124 24.,1 ь48 Г 48,6 «.<24

1,48 48,6 Ы 6,48 48,1 Г 24 ,3 3,1

1,24

В результате минимизации функционал (35) по узловым неизвестным и {до-,,}' получается система уравнений, которая может быть представлена в традиционной конечно- элементной формулировке в виде

М {£,}={/}• (36)

24,24 24,1 24,1

Тестовый пример 3. Рассмотрено напряжённо - деформированное состояние усеченного эллипсоида с полуосями а=0,5м; Ь=0,3м, загруженного равномерным давлением интенсивности я = 10,05МПа (рис. 6).

Были приняты следующие исходные данные: Ян = 0,305м; гн =0,295м;

1 =0,3м; гк = 0,24м. Упруго - пластические свойства материала эллипсоида описываются диаграммой деформирования с нелинейным упрочнением.

2

Интенсивность напряжений, соответствующая пределу текучести о,у =200МПа, £¡,,=0,00203918 - интенсивность деформации, соответствующая пределу текучести. Нелинейное упрочнение описывалось зависимостью: с,= к,£;2+ к2£;+ к3, где к, = 78901,8МПа; к2 =8678,2ШПа; к3 = 181,9МПа.

Эллипсоид разбивался вдоль оси х на 60 частей и на 10 частей по толщине.

Уравнение статики о равенстве нулю суммы проекций внешних и внутренних сил на ось эллипсоида в этом случае примет вид

¿<гялг, - 2т]

Равнодействующая внутренних усилий определяется по формуле

2Х=5>„дгг2яг, 1=1 ¡=1

где <тю - меридиональные напряжения в ¡-ом слое; дг, - толщина 1 - го слоя; г, - радиус вращения 1 - го слоя.

Меридиональные напряжения, определенные с помощью изложенного алгоритма, и внутренние усилия, рассчитанные по вышеприведенной форму-

ле, представлены в таблице 1.

Таблица 1

Координата Ъсм Меридиональные напряжения оя, МПа Продольные силы N. кН Разница усилий в %

-0,5 579,554 916,416 0,332

-0,4 406,442 696,727

-0,3 341,292 585,242

-ОД 284,666 464,134

-0,1 209,811 231,660

0,0 34,868 9,857

0,1 -105,446 -69,639

0,2 -229,256 -319,263

0,3 -253,948 -459,449

0,4 -262,673 -492,504

0,5 -298,427 -537,177

Сумма внутренних усилий 1026,004 кН

Усилия от внешней нагрузки 022,600 кН

Усилия, возникающие от приложенного давления, определяются по формуле

2Х Ю22,600кЯ

/=1

Уравнение статики выполняется с точностью 0,33%.

В пятой глане для расчета произвольно нагруженной оболочки вращения конечный элемент принимается в виде шестигранника в координатной системе ¡,0,/ с узлами /, / к. / на нижней грани, параллельной срединной поверхности и узлами т, п, р. И на верхней грани. Для выполнения численного интегрирования шестигранник отображается на куб с локальными координатами изменяющимися в пределах-1 < 1.

Связь между глобальными координатами $,0,1 и локальными координатами ¿¡,1),£ определяются с использованием трилинейных функций [1]

Д = (37)

где под символом л понимаются координаты ¡,0,г, {я, }7 = {я' Я' лк Я' Я'" Я" Я'' Я1'} - строка узловых значений глобальной координаты Я.

Дифференцированием (37) определяются производные

Аппроксимация приращений перемещений и приращений напряжений внутренней точки конечного элемента осуществляется с использованием трилинейных функций формы {<г>(.4,т},0)т

И К); М =№<*,], (38) '

ЗИ 3x24 и.., 6x1 6x4!

Приращения деформаций на шаге нагружения при учете (37) запишется матричным соотношением

(д^ФК)- _ (39)

{ду>; |Г = {ду" Ау" Ду" Ду'" Ду1" Ду1' Ду1* ....Ду*};

где

{&(Гу )' = ^а-,', Да/, Да,',.......Да* }.

1т4&

Используя выражение (36, 37) функционал (15) можно записать виде * {{а}7' [ВУ К }+ ^ у I [В},у {д V, }-

1,41 •"'4 ЬхЬ 6'4г ЛЧ г 24,1

1x24 " М

где V - объем дискретного элемента; Р - площадь части поверхности, на которой действует внешняя нагрузка.

Минимизируя (40) по узловым неизвестным {д^)' и (да„}г, получили систему уравнений, которая в традиционной конечно-элементной формулировке имеет вид

МКМ/}- (41)'

72x72 72.1

Тестовый пример №4. Рассмотрено напряжённо - деформированное со-. стояние цилиндрической оболочки, загруженной равномерным давлением интенсивности я = 16,ЗМПа (рис. 8). Были приняты следующие исходные данные: И. =0,3м; 1 = 0,2м; 1=0,01м. Упруго - пластические свойства материала оболочки описываются диаграммой деформирования с нелинейным упрочнением. Интенсивность напряжений, соответствующая пределу текучести, о^ =200МПа, =0,00267 - интенсивность деформации, соответствующая пределу текучести. Нелинейное упрочнение описывалось зависимостью: о|= к,е,2+ К2 £;+ к3, где к( = 78901,8286МПа; к2 =8678,209МПа; к3= 181,975МПа.

ё И

ш 4 о:

1

Рис. 8. Расчётная схема цилиндрической оболочки

На рис. 9 показана эпюра меридиональных напряжений в сечении цилиндрической оболочки с координатой х = 0. При значениях с, > о1у имеют место упруго - пластические деформации.

В таблице 2 для сравнения приведены результаты проверки условия равновесия по силам (2у = 0) и по моментам (ЕМ = 0) при различных вариантах дискретизации.

На рис. 10 показано распределение зон пластических деформаций в стенке цилиндрической оболочки при различных шагах нагружения.

Эпюра меридиональных напряжении

г, см

X

\

-800 -600 -400 -200

2001 400

=..........У~

МПа

Рис. 9. Эпюра напряжений, возникающих в заделке

Таблица 2

Разбиение на 10 по толщине и 60 частей вдоль 2у = 0, 8 % 2М = 0, 5 %

Результат, полученный на основе изложенного алгоритма 0,21 2,18

Программный комплекс АВАОиБ 4,18 5,51

Разбиении на 10 по толщине и 100 частей вдоль Ху =„0, 6 % Ш = 0, б %

Результат, полученный на основе изложенного алгоритма 0,23 2,15

Программный комплекс АВАОиБ 3,8 5,18

Рис. 10. Зоны распределения пластических деформаций в стенке цилиндрической оболочки при различных шагах нагружения

Полученные результаты показывают, что изложенный алгоритм приемлем для учёта упруго - пластических свойств материала в инженерных расчётах.

Тестовый пример 5. Рассмотрен пример расчёта металлической мембраны, представленной на рис. 11. Поверхность мембраны - квадратичный параболоид вращения, характеризуемый параметрами, а=112,0м; 2,5м; Г1=15м; 1= 0,15м. Расчетная нагрузка интенсивности я= ЮкПа равномерно распределена по поверхности мембраны.

Уравнение срединной поверхности мембраны в декартовой системе координат хОг имеет вид г = а 1-— .

Рис. 11. Мембранное покрытие Уравнения статики Xх = 0 имеет вид к выражению

NM -2nr- cos а = qn{a2 - г,2) = 0.

Меридиональные усилия с учётом отверстия определяются выражением

2а cos а

Для определения кольцевого усилия из тонкостенной конструкции, имеющей форму поверхности вращения и находящейся под внутренним давлением q, выделяется элемент (рис. 12). Из уравнения статики: (сумма проекций всех сил на нормаль п к элементу равна нулю) - получаются выражение

P-2NedSM - sin - 2NM ■ dS„ ■ sin = 0, откуда находится окружное усилие N„ ~ и j^« •

Рис. 12. Элемент мембранной конструкции

Результаты аналитического расчёта мембранного покрытия и расчёта с помощью разработанного программного модуля, созданного на основе изложенного алгоритма, представлены в таблице 3.

таблица 3

ам, даН/см2 ад, даН/см2

1 Результат аналитического решения 1682,95 1826,1

2 Результат, полученный на основе изложенного алгоритма 1683.11 1822,01

3 % расхождения 0,22 0,28

В первой строке таблицы представлены значения напряжений, найденные с помощью аналитического решения. Во второй строке приведены значения, найденные с помощью программного модуля, созданного на основе изложенного алгоритма с использованием разработанного конечного элемента. В третьей строке представлен процент расхождения результатов.

Процент расхождения результатов расчёта, представленный в таблице, показывает возможность применения изложенного алгоритма для при определения напряженно-деформированного состояния тонкостенных строительных конструкций при весьма малых отношениях толщин к радиусам кривизн.

Основные результаты выполненных исследований и выводы по диссертации состоят в следующем.

1. В пределах шага нагружения на основе равенства возможных и действительных работ внешних и внутренних сил получен функционал, который использован в данной работе при реализации МКЭ в смешанной формулировке с использованием деформационной теории пластичности.

2. Разработаны три объемных конечных элемента с узловыми неизвестными в виде приращений перемещений и приращений напряжений с учётом пластических свойств материала на основе деформационной теории пластичности для расчета следующих конструкций: пластины и оболочки при плоском нагружении и плоском деформировании (матрица деформирования имеет размер 20x20); осесимметрично нагруженные оболочки вращения (матрица 24x24); произвольно нагруженные оболочки вращения (матрица 72x72).

3. На численных примерах, выполненных с использованием разработанных конечных элементов при упругопластическом состоянии материала, показана достаточно высокая эффективность их применения.

Основные результаты диссертационной работы отражены в одиннадцати публикациях.

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, определенных ВАК РФ

1. Арьков Д.П., Гуреева H.A. Расчёт оболочек вращения на основе МКЭ в смешанной формулировке с учётом физической нелинейности // Известия ВолгГТУ. Волгоград, 2010. № 4. С. 128-132.

2. Арьков Д.П., Гуреева H.A. Решение плоской задачи теории пластичности на основе МКЭ в смешанной формулировке // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. М.: 2010. №4. С.32-37.

3. Арьков, Д.П. Применение смешанного метода конечных элементов для прочностных расчётов силосов, предназначенных для хранения зерна. / Д.П. Арьков, H.A. Гуреева / Известия Нижневолжского агроуннверситетско-го комплекса: Наука и высшее профессиональное образование 2011 №1(21). -Волгоград, 2011г. С. 189-197.

4. Арьков, Д.П. Реализация деформационной теории пластичности в расчётах плоско напряженных пластин на основе МКЭ в смешанной формулировке / Д.П. Арьков, H.A. Гуреева / Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки 2011 №2. С.12-15.

Публикации в других изданиях

5. Арьков Д.П. Соотношение между приращением напряжений и деформаций на основе деформационной теории пластичности // «Проблемы и тенденции устойчивого развития аграрной сферы». Материалы Международной научно-практической конференции, посвященной 65-летию Победы в Сталинградской битве. Волгоград, 2008г. С. 200-202.

6. Арьков Д.П., Гуреева H.A. Плоская задача теории упругости на основе МКЭ в смешанной формулировке при учёте физической нелинейности // Материалы международной научно-практической конференции, посвященной 65-летию образования ВГСХА «Использование инновационных технологий для решения проблем АПК в современных условиях», 27-29 января, 2009г. С.3-6.

7. Арьков Д.П., Гуреева H.A. Учёт физической нелинейности в смешанной формулировке МКЭ при плоском напряжённом состоянии II Труды Международной научно-практической конференции «Инженерные системы 2009» Российский университет дружбы народов. Москва 2009г. С. 165-169.

8. Арьков Д.П., Гуреева H.A. Расчет физически нелинейных оболочек вращения на основе МКЭ в смешанной формулировке при осесимметричном

нагружении // Материалы второй международной научно-практической конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела», Казань, 8-11 декабря 2009г., КГУ, 2009г. С.47-51.

9. Арьков Д.П. Варианты соотношений между приращениями деформаций и напряжений на основе деформационной теории пластичности // Материалы Международной научно-практической конференции. Посвященной 65-летию Победы в Великой Отечественной войне «Новые направления в решении проблем АПК на основе современных ресурсосберегающих, инновационных технологий», ВГСХА. ИПК «Нива». Волгоград 2010 г. С. 198-200.

10. Арьков Д.П. Плоская задача в смешанной формулировке МКЭ с учётом физической нелинейности // Проблемы, состояние комплексных мелиорации и их роль в обеспечении продовольственной безопасности России. Волгоград 2010г. ВГСХА с.283-287.

11. Арьков Д.П., Гуреева H.A. Учёт физической нелинейности в смешанной формулировке МКЭ при плоском напряжённом состоянии // Труды Международной научно-практической конференции «Инженерные системы 2010» Российский университет дружбы народов. Москва 2010г. С.185-189.

Подписано в печать 15.11.2011. Формат 60*84Шб

Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 364. ИПК ФГБОУ ВПО Волгоградская ГСХА «Нива». 400002, Волгоград, пр. Университетский, 26