Применение метода смягчения граничных условий для определения напряженно-деформированного состояния тонкостенных анизотропных элементов конструкции и их соединений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

Госкомитет РСФСР по делам науки и высшей школы

Московский авиационно-технологический институт имени К. Э.Циолковского

На правах рукописи

СМЫСЛОВСКИХ .Андрей Георгиевич

УДК 539.3

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СМЯГЧЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ШШРЯЖЕННО-ДЕФОШИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТОНКОСТЕННЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ и их СОЕДИНЕНИЙ

01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

\

ч • , > > Москва - 1991

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте авиационной технологии и организации производства МАП СССР.

Научный руководитель: академик ИА СССР,

проф. СИРОТКИН О.С.

Официальные оппоненты: доктор технических наук ЛУРЬЕ (

кандидат технических наук ЖЕН

Ведущая организация: Центральное конструкторское 6щ

тяжелого машиностроения.

Защита состоится г. в "/^т7" час

на заседании специализированного совета К.063.56.02 при Моек авиационно-технологическом институте имени К.Э.Циолковского (103767, Москва, K-3I, Петровка, 27, МАТИ).

С диссертацией молено ознакомиться в научной библиотеке института.

Автореферат разослан

C&f&A&Sl 1991 г.

Ученый се1фетарь специализированного совета

СОЛДАТОВ С

ОВДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы обусловлена следующими факторами:

- возрастанием рола моделирования технологического и эксплуатационного напряженно-деформированного состояния (НДС) элементов конструкции, в особенности, при параллельной проектировании конструкции и технологии ее изготовления;

- широким внедрением в машиностроении материалов, обладапцих анизотропией механических свойств, сформированной как при их создании (композиты), так а на ¡этапах заготовительного производства (металлический прокат);

- наличием большого класса тонкостенных анизотропных элементов конструкции с концентраторами напряженка $ виде отверстий, включений, подкреплений, крошка;

- недостаточной разработанностью эффективных вычислительных алгоритмов, позволяющих рассчитывать концентрацию напряжений с высокой точностью и небольшими затратами;

- широкой потребностью в вычислительных алгоритмах, обладавдих простотой подготовки исходных данных и ориентированных на неподготовленного пользователя.

Цель работы; разработка средств раста*£ НДС тонкостенных анизотропных элементов конструкция о концентраторами напряжений и их соединений, а также решение с помощи разработанного комплекса средств ряда теоретических и практически: задач.

Для достижения цели работы бит поставлены опорные задачи:

1. Разработка алгоритмов метода смягчекчя граничных условий (ЫСГУ) для задач плоской теории упругости анизотропного т«- , ла и теории изгиба анизотропных тонких плит.

2. Разработка алгоритма метода подобластей, использующего декомпозицию расчетной области, для задач определения НДС про- / странственних зонкоотевшх элементов констрдащга переменной толщины и жесткости.

3. Разработка яетодики расчета НДС односрезного соединения, выполненного при помощи группы крвпеяшос элементов, позволяющей аффективно рассчитывать концентрацию напряжений в таких соединениях. |

4. Проведение расчетов для ряда тонкостенных анизотропных [ элементов конструкции и их соединений. |

ЙВПНМ Д9ВЧШ Р^стн.. \ - МСГУ разработан для класса задач, относящихся к плоской

теория упругости и теории изгиба тонких плит для анизотропных тел. Еа основе МСГУ разработаны алгоритмы метода подобластей, | использугщето декомпозицию расчетной области для определения | НДС пространственных тонкостенных анизотропных элементов кон-| струкции переменной толщины и жесткости. Подход МСГУ развит | также для более широкого класса линейных краевых задач ыатеыа-тической физики: описан общий алгоритм решения гадач и предло-| жен способ построения ащроксимацаонных функций, с помощью ко-[ торого получены выражения для влцроксимационннх функций для [ ряда уравнений общего и частного вида.

- Разработана методика расчета шюско-изгибного НДС односрез-ных соединений пластинчатых элементов конструкции, выполненных при помощи крепежа типа заклепок, болтов, болт-заклепок, игл, шпилек, замков и др., позволяющая учесть реальные геометрические размеры крепежных элементов, их взаимовлияние, податливость на сдвиг, характер контакта соединяемых и крепежных элементов.

ДРШИЖШ ДЭНН9<?ТЕ Р909ТЫ.

- Разработанные алгоритмы и реализующие их программы для ЭВМ, предназначенные для расчета НДС, и, в первую очередь, концентрации напряжений, могут быть использованы в качестве расчетных модулей при исследовании и проектировании конструкций машин и технологических процессов их изготовления.

- При помощи разработанного комплекса расчетных средств проведено исследование влияния конструктивно-технологических параметров метаюго-композитных соединений на уровень концентрации напряжений в них, что позволило при разработке конструкции нового изделия получить весовой выигрыш.

Достоверность "результатов решения задач обеспечивалась математической обоснованность!) используемых методов, устанавливалась путем сравнения с известными аналитическими и численными решениями и подтверждена в процессе внедрения результатов на практике.

Внедрение результатов. Разработанные методики, алгоритмы и программы для ЭВМ внедрены в расчетную практику проектной организации Минавиапрома СССР.

Адройщ ряботн. Основные результаты работы докладывались

и обсуждались на семинаре "Прикладные методы в задачах прочности" под руководством академика АН СССР И.Ф.Образцова (г.Москва, 1990г.).

Публикация результатов исследования. По результатам исследования опубликовало семь статей.

Объем "работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованных источников из 8>6 наименований, общим объемом 145страниц машинописного текста, 39 рисунка, 29 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы предлагаемой работы, дан обзор работ, в которых изложены методы расчета НДС и определения коэффициентов концентрации напряжений в тонкостенных анизотропных телах и различные типы моделей соединений тонкостенных элементов конструкции, сформулирована цель работы.

В первой главе изложены численно-аналитические алгоритмы решения плоской задачи теории упругости анизотропного тела и теории изгиба анизотропных тонких плит. Для их построения используется подход метода смягчения граничных условий, впервые предложенного Л.С.Лейбензоном, получившего теоретическое развитие в работах Н.И.Мусхелишвили, С.Г.Михлина, С.Г.Лэхницкого, М.А.Алексидзе и практически разрабатывавшегося в работах А.А.Мовчана, В.В.Плихунова, Л.Н.Яоницкого и др. Согласно МСГУ решение краевой задачи ищется в виде линейной комбинации ап-проксимационных функций, тождественно удовлетворяющих всем уравнениям задачи внутри рассматриваемой области. При этом неизвестные коэффициенты линейной комбинации выбираются по методу наименьших квадратов ив условия минимума среднеквадратичной ошибки удовлетворения граничных условий. Такой подход позволяет свести исходную двумерную задачу к одномерной. В рассматриваемых алгоритмах уравнения равновесия и совместности деформаций внутри тела тождественно удовлетворяются аа счет использования комплексных представлений Лехницкого, повволлпцих описать НДС в теле посредством двух комплексных функций .

К =1, 2 (плоская задача) или К = 1.2 (изгибная

задача), обобщенных комплексных аргументов , К« 1,1.

0

- 4 -

Комплексные функции Фк и \л/к » К = I, 2 ищутся в виде аппроксимаций

и

ы

1и (1)

СИ

где СХ(К > ~ иокоише комплексное неизвестные задачи,

^е*» ~ известите комплексные апцроксимационные фун-

кции.

В качестве пооледних, согласно "принципу дополнительных разложений", впервые предложенному В.В.Плихуновда для случая изотропных тел, используются члены нескольких сходящихся степенных рядов, представляющих собой разложения функций ,

Ч*/к » К = I. 2 в канонических областях, пересечение которых в точности или приближенно образует рассматриваемую расчетную область. Для канонических областей (выпуклый многоугольник, внешность эллипса и др.) в настоящей работе берутся известные разложения функций , , К = I, 2 в ря-

ди, в частности, разложения, использущие конформное отображение образа канонической области на внешность или внутренность единичного крута. При наличии сосредоточенных нагрузок, приложенных к рассматриваемому телу, или ненулевых главных векторов и моментов усилий, приложенных ко внутренним контурам, ограничивающим тело, в аппроксимации (I) вводятся дополнительно логарифмические члены.

Использование указанных аппроксимационных функций позволяет эффективно решать задачи о концентрации напряжений ввиду быстрой сходимости соответствувдих степенных рядов. Количество удерживаемых в (I) членов разложений .определяется требованиями к точности получаемых решений, контроль которой осуществляется путем оценки погрешности удовлетворения граничных условий.

Для нахождения неизвестных (Д1К , и1к аппроксимации (I) подставляются в граничные условия, которые в свою

кум ч^го «у» «уч Рис. I. График зависимости коэффициента концентрации на-жений от отношения ^.Д, (материал - березовая

ера). Отличие от решения, полученного А.С.&осмодамианским одом малого параметра, составляет 0,1%

Рис. 2. Примеры расчета НДО ортотропных пластин

задача о концентрации напряжений, = ;

контактная задача, диаметры жесткого включения и отверстия равны, трения нет; ;

лзгиб пластины толщиной И = А.сГ\м равномерным давлением

I I

очередь подставляются в_ граничный функционал метода наименьших квадратов, а^. , о^ определяются из системы линейных алгебраических уравнений, выражающей условие минимума этого функционала. Пооле нахождения <1(к , Ь^ напряжения и перемещения в теле определяются с помощью известных их выражений через Фк или V/* , К а I, 2.

Описанные численно-аналитические алгоритмы реализованы для наиболее общих постановок задач плоской теории упругости и теории изгиба тонких плит, а также для некоторых нетрадиционных постановок задач, возникающих на практике. В частности, рассмотрены задачи, в которых на некоторых участках границы тела имеет место трение или упругое оцепление, а также задача о пластине, защемленной несколькими абсолютно жесткими включениями, к которым приложены плоские и изгибающие сосредоточенные силы и моменты. Для последней задачи предложена модификация алгоритма МСН7, позволяющая решать задачу в один прием.

Освещен ряд вычислительных аспектов изложенных алгоритмов, даны соответствующие рекомендации.

Приведены результаты численной реализации алгоритмов на примере решения ряда задач о концентрации напряжений в конечных пластинах с отверстиями, находящихся в условиях плоской и негибкой задач и задачи контакта конечной пластины с абсолютно жестким стержнем. Решения получены с погрешностью удовлетворения граничных условий, не превосходящей I% от соответствующих номинальных величин. Для всех задач затраты на вычислительный процесс получения решения определялись затратами на составление и решение системы линейных алгебраических уравнений с симметричной положительно определенной матрицей порядка Ж ^ Ш. Проведено сравнение результатов численных решений о известными точными и приближенными решениями, подтверждающее достоверность получаемых результатов. Исследована зависимость точности получаемых решений от степени используемых аппроксимациониых разложений.

Во второй главе изложены обобщения процедур ИСГЗГ, разработанных в первой главе. Одна из обобщенных процедур, называемая методом подоблаотей, служит для определения НДС тонко-

сенных элементов конструкции переменной толщины, жесткости , возможно, ненулевой кривизны, а также пространственных знкостенных конструкций. Метод подобластей использует декон-)аицию тонкостенной конструкции на ряд более мелких подобней, каждая из которых приближенно рассматривается как тон-1я пластина, удовлетворяющая гипотезам плоской теории упру-)сти и теории изгиба тонких плит. Плоское и изгибное НДС в 1ждой такой пластине аппроксимируется по отдельности о ис->льзованиеы соответствующих представлений Лехницкого. На )аницах смежности подобластей вводятся условия оопряжения )добластей как частей деформируемого тела, выражающие усло-1Я равновесия и совместности деформаций смежных подобластей, главе приведены условия сопряжения для пластинчатых злемен->в конструкции и пространственных тонкостенных конструкций, частности, на стыке К тонких пластин (рис. з)условия шряжения имеют следующий вид:

НЛкСоэф,- р-ЫпЧЪтС^О

5их-о

2, К-

к- 2,Х

Рис. 4. Расчетные схемы задач, для решения которых ио пользуется метод подобласяей ( , 3)г» ...»Бп, - подобласти)

да = "0* • , -орт оси нейтральной пра-

ой системы координат О , связанной с рассматрива-

« ^ «

мни стыком; - орт оси оск , до полнящей до правой

истемн координат Оп^с^г.^, связанной с К. -ой пластиной, ормаль к границе пластины и ось * , перпендикуляр-ув плоскости пластины ( Пу направлена вовне пластины, нап-авление 2«. выбирается); Ц'к - угол меаду осями &ки 1К , отсчитываемый от оси £>п в положительной направлении плоскости

N к ,ТК - нормальная и касательная к границе \< -ой ластины компоненты вектора напряжений на площадке, касатель-ой к границе пластины;

ик . V* - нормальная и касательная компоненты вектора шцений на границе пластины;

рк - усилие, перпендикулярное к плоскости пластины; М* - нормальный изгибалций момент; V«/«. - смещение в направлении оси

- производная V/* по нормали У\ч; ■ - толщина К -ой пластины. Величины

N . Т .V .

готносятся кшоской теории упругости, а р , теории изгиба тонких плит. Как и в обычных процедурах МСГУ ппроксимационные коэффициенты в методе подобластей определятся из решения системы линейных алгебраических уравнений, ыражаюцей условие минимума среднеквадратичной ошибки удовлет-эрения граничных условий и условий сопряжения. Приводятся аражения для соответствующих минимизируемых функционалов роцедуры метода подобластей. Приводятся также примеры решение при помощи этой процедуры задач (рис.4). Рассмотрены выделительные аспекты метода подобластей в сравнении с алго-гамами МСГУ и другими численными методами.

Второе обобщение процедур МСГУ связано с рассмотрением злее широкого класса теорий, опиоывапцих поведение деформи-¡гемого твердого тела. Подход МСГУ распространен на ряд ли-эйных краевых задач, вклвчапций, в частности, задачи тешго-роводности и пространственной теории упругости. Изложен ал-

горитм процедур 11СГ? для краевых задач в общей постановке. Приведен споооб построения аппроксиыационных функций, тождест венно удовлетворяющих уравнениям задачи внутри рассматриваемой области, для задач, не имеющих специальных представлений решений типа представлений Колооова-Кусхелишвили, Папковича-Нейбера, Лехницкого в теории упругооти и теории изгиба тонких плит. Способ представляет собой разновидность метода неопреде ленных коэффициентов и заключается в следующем. Линейная комбинация функций иа некоторой полной системы линейно независимых функций подставляется в качестве решения в дифференциальное уравнение краевой задачи, оператор которого осуществляет отображения этой системы функций на себя. При определенных ус ловиях оказывается возможный выбрать часть коэффициентов линейной комбинации таким образом, чтобы последняя тождественно удовлетворяла уравнению задачи. Множество линейных комбинаций коэффициенты которых выбраны таким специальным образом, представляет систему аппроисимационных функций. Способ применен при поотроении систем аппроксимационных функций для ряда линейных дифференциальных уравнений в частных производных общего и частного вида в декартовых и специальных координатах.

Третья глава посвящена разработке вычислительных средств позволяющих рассчитывать НДС односрезных соединений тонкостей ных пластинчатых элементов конструкции, выполненных при помощи группы крепежных элементов. Проведен анализ существующих математических моделей таких соединений и реализующих эти модели вычислительных методов, изложенных в работах СироткинаО.

Васильева Б.В., Биргера А.И., Иооилевича Г.Б., Тарно-польокого Ю.У., Кукинова В.Ф., Тростянской Е.Б., Скорого А.И Семина 1Í.И., Белоуса А.А., Царахова 10.С., Павелко В.П., К&ке-вича Б.А., Кожевникова В.Ф. и др. Отмечена предпочтительность использования двумерных методов теории упругости для определения НДС соединяемых элементов с последующим уточнением локального пространственного НДС в районе наиболее нагруженного крепежного элемента при помощи трехмерных методов теории упругости. Указаны и проиллюстрированы численными экспериментами недостатки использования при атом моделисинулярных крепежных точек в случае рассмотрения анизотропных материалов

эдиняемых элементов. Сформулированы существенные требовав I к разрабатываемой модели соединения, вклшапцие, в част-зти, необходимость учета реальных геометрических размеров податливости на сдвиг крепежных элементов, характера кон-кта соединяемых и крепежных элементов. При построении моде-с о единения принят ряд допущений:

1) Соединяемые тонкостенные элементы конструкции пред-авляют собой тонкие пластины, возможно переменной толщины кесткости.

2) Крепежный элемент представляет собой два абсолютно стких цилиндра реальных размеров, контактирующих каждый о агам из соединяемых элементов по цилиндрической поверхности

всему или части кругового контура при наличии трения или з трения.

3) Вводится зависимость между растягивающим усилием р относительным смещением и. центров цилиндров в шгоскос-

среза соединения. р=б1А -модель "пружины". Здесь о - конструктивная сдвиговая жесткость крепежной точки, ределяемая экспериментально или по известным формулам.

4) Радиальная раздача (натяг) крепежного элемента цршш-ется осредненной по толщине каждого из соединяемых элемен-в. Сжатие материала под головками крепежа (обжатие пакета) итывается путем наложения локальных полей напряжений, пос-янных по толщине кавдого из соединяемых элементов.

5) Плоское НДС в каждом из соединяемых элементов вызыва-ся действием внешних плоских нагрузок и усилий со стороны ответствуицих цилиндров крепежных элементов.

6) Изгибное НДС соединения в целом вызывается наличием ешних изгибных нагрузок и, при наличии эксцентриситета со-инения, моментов на крепежных элементах, создаваемых проти-пояожно направленными главными векторами плоских усилий в единяемых элементах. При определении изгибного ЦЦС нахлес-чная часть соединения рассматривается как монолитный пакет, ■едставляпций собой тонкую двуслойную пластину со впаянными нее абсолютно жесткими круглыми включениями, моделируицими епеж.

р, Y ра

р — 6л а <г 3 ¿а + <t р. + 1 4- i | * x

—— ъ AJ 5ft. ^ ^ ье | 1 —

___

б)

Рис. 5. Расчет НДС заклепочного соединения композитных пластин внахлест. Ех= 5,7• Ю иг/см,1 Е>=1Л4cfWcMr,G*,-5.'?"loi,kir/c^,V*i=0,2.7?f сдвиговая жесткость заклепок , 6H,6e,T

нормальные, кольцевые, касательные напряжения, U. - нориальйое смещение. Проскальзывания на контурах заклепок нет. а) этап формирования соединения, натяг aR/r=o,04, max532%кг/ал1, max6>г2ZHкг/с*г

-Xi -

6. Разработанные вычислительные средства доказали cbod эффективность при практических расчетах ЦДС ряда соединений и были внедрены в расчетную практику предприятия. Их использование для расчета металло-композитных соединений позволило при создании нового изделия получить весовой выигрыш.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Плихунов В.В., Сироткин О.С., Смысловоких А.Г. О численно-аналитическом решении в рядах плоской задачи теории упругости анизотропного тела// ВИНИТИ ДЕЛ, № I975-B86, 25.03.86, - 12 с.

2. Ллихунов В.В., Сироткин О.С., Смысловских А.Г. Метод смягчения граничных условий в задачах изгиба анизотропных тонких плит// Численные и экспериментальные методы исследования прочности конструкций ДА. Сб. трудов МАИ, 1989. С.41...45.

3. Плихунов В.В., Смысловских А.Г. Метод омягчения граничных условий в задачах плоской теории упругости анизотропного тела// ВИНИТИ ДЕП, * I729-B90, 02.04.90 - 16 о.

4. Плихунов В.В., Смысловских А.Г., Черненко C.B. Использование подобластей в методе смягчения граничных условий// ВИНИТИ ДЕП, й I730-B90 , 02.04.90 - 20 с.

5. Плихунов В.В., Смысловских А.Г. Использование метода смягчения граничных условий для решения некоторых классов краевых задач математической физики// ВИНИТИ ДЕП, # I73I-B90, 02.04.90 - 20 с.

6. Плихунов В.В., Смысловских А.Г. Численно-аналитический метод решения плоских задач теории упругости анизотропного тела при наличии концентрации напряжений// Численные методы строительной механики. Сб. трудов МАИ, 1990.

С. 60...64.

7. Смысловских А.Г. Использование метода смягчения граничных условий для определения напряженно-деформированного состояния соединений тонкостенных анизотропнвх элементов конструкции// ВИНИТИ ДЕП, Ä 6I37-B90 , 06.12.90 - 21 о.

ТураЖ /Ойзкг ЗЖ.2.87Я

H мят