Применение обыкновенных дифференциальных уравнений со сверхсингулярными коэффициентами для исследования краевых задач некоторых классов гиперболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ш1ii истг.рс1 во образован 1!я рцспуьли к и таджикистан таджикский госудлрствг.нпып униперситет

рГ 5 Ой

Смсииа.ш^ронанниГ» совет К 063. 01. 02

!Га правах рукояпси УЛК 517. 95, 517. 91

ШЕВЧУК ВЛДМЛ1 ВАСНЛЬЕРДП

ПР11ЛШНЕШ1Н 1)&ЫК ПО "и: ПИ-'X иН-ФЕРГЛЩИЧЛЬНЫХ УРАВНЕН МП СО СВГ.РХСИП" УДЯРНЫЛШ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ КРАЕВ).IX ЗАДАЧ ПьКО.'ОРЫХ КЛАССОВ ШНЕ!>ьО.|ШЧ1А.:'ПХ Уг'/.МШИМП

01. 01. 02 — дифференциалы!! ю у ра п»:епи-.з

автореферат

диссертации на соискание учгной сипени кпмдидптч ф")ик'1-ма1смлт1г1сскнх илук

душ им; г — 1яа1

Работа линолнеиа в Таджикском государственном университете.

Научным руководитель--члсн-корреспондент ЛИ Республики Таджикистан. доктор физико-.мзкмгп ическнх наук, профессор Раджгбов Н. Р.

Официальные оппоненты — член-корреспондент ЛИ Республики Таджикистан, доктор физико-математических паук, профессор Бойматов К. X.

кандидат физико-математических наук доцент Исматов М. И.

Ведущая организация — Кисисксш полнте.ишческни институт

Зашита состоится « 3 » РоаБрД- 1ОД4 г. и «-¿3.30» час.

на заседании специализированного совета К 005. 01. 02 но присужден«»« ученой степени кандидата физико-математических паук в Таджикском госунипсрситете (734025, Душанбе, проспект Рудаки 17).

С диссертацией можно ознакомиться а научной библиотеке Таджикского госуннверситста. I

Автореферат разослан * 3 > октября. 1994 г. Ученый секретарь специализиро-

ванного сов«а, к. ф. -м. к., доцент

О. X. ХОСЛВ1-КОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темн. Обыкновенные дифференциальные уравнении! и системы о сингулярными коэффициентами, внрождапчиеся дяфференциачыше уравнения являются одним из важных разделов теории дифференциальных уравнений. К рассмотрению таких уравнений приводят многие задачи из уравнений математической физики, гидродинамики, трехмерные осесимметричесяие задачи т ории упругости.

Фундаментальные результаты по теории линпйных сингулярных дифференциальных уравнений и уравнений, вырождапцихся в некоторых множествах, получены в работах М.В.Келднша, А.З.Ви-цадзе. М.М.Смирнова, И.Л.Кароль, В.Ф.Волкодавова, С.П.Пульки-на, A.M.Нахушева, А.И.Янушаускаса, JI. Г .Михайлова, А.Л.Джурао-ва, Н.Раджабова, З.Д.Уоманова, М.М.Мередова, A.B. vteinatein, K.P.Gilbert, R.Ж.Carrol, R.E.Showalter , Т.Д.Джураова,

М.С.Салахитдянова и других авторов.

По теории зырождаюаихся уравнений, глперболичеоких уравнений с сингулярными коэффициентами фундаментальные результаты получены в работах А.В.Бицадзе, М.М.Смирнова, я.я.Carrol, R.E.Showalter , А.М.!!ахушева, В.Ф.Волкодавова, Н.А.Еирченко, Н.Раджабова, М.М.Мередова и других авторов.

Что касается теории нелинейных уравнений с сингулярными коэффициентами, то здесь имеется незначительное количество работ.

Цель работу. Получений интегральных предотаялени* многообразий релениЭ через произвольные функции для некоторых классов нелинейных гиперболических уравнений с сингулярными, СЕерхоин-гулярными коэффициентами и исследование различных краевых задач.

Методика исследования. Использованы об auto методы теория дифференциальных уравнений, математического анализа, метод интегральных представлений, метод интегральных уравнений.

Яатчная новизна. Все полученные в диссертации результаты являются новыми. Основные из них следу щиэ:

- для линейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка со свеохсянгуляряой точкой получено илогообра-

зие решений, содержащее одну произвольную постоянную; изучено поведение решения в окрестности особой точки;

- для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка со сверхсингулярно8 точкой получены многообразия решений через вещественные числа, в зависимости от корней характеристического уравнения; изучено поведение репенкя в окрестности особой точки;

- в зависимости от корней характеристических уравнений найдены интегральные представления многообразий решений через произвольные функции для некоторых классов нелинейных гиперболических уравнений второго порядка с двумя гранитными сингулярными, сверхсингуляркыми линиями; изучено поведение решения в окрестности сингулярных линий;

- полученные интегральные представления применены для выяснения корректных постановок задач типа £ар<5у и ах решения.

Теоретическая к практическая ценность рабо-гы. Исследования, содержащиеся в диссертации, носят теоретический характер. Полученные результаты могут Сыть предложены дпг дальнейшего развития теории нелинейных дифференциальных уравнений с сингулярными, сверхсингулярнши коэффициентами, а также в различных прикладных вопросах.

Апробация работа. Результаты работы докладывались на Всесоюзных конференциях: "По теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений" (Душанбе, 28-ЗС сентября,1987); • "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики - Вторые Боголюбовские чтения" (Киев, 14-18 сентября, 1992); Республиканской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Куляб, 3-5 октября, 1991), Республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов (Ленинабад, 12-15 апреля, 199С), на апрельских научно-теоретпеских конференциях профессорско-преподавательского состава Т1У, семшяаре кафедры математического анализа и теории функций "Комплексный анализ и его приложения" (руководитель - профессор Н.Раджабов).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, состоящих из пяти параграфов и списка лите-

ратуры, включавшего 50 наименований. Работа изложена на 215 страницах маллношсного текста.

С0Д2РЕЛШЕ ДИССЕРТАЦИЙ

Во ввелонин к диссортадионноЯ работе дается краткий исторический обзор результатов по затрагиваемым проблемам, обосновывается актуальность теш, а также приводится краткое содержание основных результатов.

Введем следующие обозначения:

Г= {-с^х^сЛ , Г0 = Г-(о) , о.-сспъл.; со(Ьс)= ^пх_,

)> К Iе1 -Х0 г Б § I первой глава на I0 рассматривается уравнение

—(X

Для уравнения (I) получено следующее утверждение: Теорема I. Цусть в

(I) р(х)€С(Т ) н удовлетворяет условно

такова, что

-б"

Тогда общее реаенке уравнения (I) нз класса С (Го) дается (формулой

х

ССс (2)

где С - произвольная вещественная постоянная.

В § 2 этой же главы на |0 рассматривается система:

^ J

и ' ~ ........ "" (3)

к.--гп <Ы = соп5'Ь .

Сначала предполагается, 4T0c"LKC->Ut -const. Пусаь А - корень характеристического уравнения

iO-Jet*; -с ,

(4)

¿л

где - 1 и - С при [¿х , С - линейно незавасидае

v. * a (j

решения алгебраической сигтеш

т I:

У*, { - <\- s \ ) - О , i -ь ч -Ь т

1 ' (5)

Далее, если обозначать ¿л ~¿Wt ¡1С¡.'х И. i --,\ini, Д es ~ алгебраическое дополнение элементов Ce-> . определителя Л , то в случае, когда горни характерастсчвского уравнения (4) веоествеккые и различные, доказано следукдее утверждение: Теорема 2. Пусть в система (3) oL> i , Лк^Сх1) = jl ^ccnsc, ( l ^i1-. корни характеристического сравнения (4) вещественные и различные. <5упказв ^ (ее1) такав, что г _ oi О

tx) = 0-:vpL-До UifrM U1- ге(х)€СГГо^) . В окрестности точки з: = 0

ГУ

U\: v О 0(|Xl 1 1 ) , - 1 , Uitin. Тогда люйоо резание (3) из класса С1 (Го) првдетавамо в виде

= i (6)

где ^ v i • \ ■ и:)- ггредзвзлъные достоянные числа .

Утвар*деная, подобные данкоИ теореме, получены в случаях, когда среда хориеЗ характерастаческого уравнения (4) гмевтея MiecTWriKue кратные, комплексные, комплексные кратные. Результаты cioptiy.4jipoBfiHii в ваде теорем 2.1,2 - 2.1.4.

Если в сястомо (3) .CUo ^i-bt и корка характеристического уравнения (4) прл -- Ответственные и различные, то икеет м-эсго следуйте утверждение:

Тесрема 3. Пусть корни характеристического уравнения 14) ве5->0 7г->»1ние г рап.тдчнке, причем

при a ■

. CO

Л5-Xs при СС^-О. Функции Qi^fe С(Го) н

удоплзткорлпт условили

I ae^(o:)-Qe^O)Uc|x\ Q, , Y>ot-i , О i^e^-m.

-те(ос) (liе^tn)удовлетворяют условиям теоремы 2. Тогда любоэ решошю системы (3) из класса СЧПз) представтдо в виде:

х

г

В (7) 1 - резольвента систекзл интегральных уравнений

Еольторра второго рода

х

ГЛ.

а 1 a:с со слабой особенностьо .

m -i -с*

ШкСхр) = 52 сKS Aes • (ДУ l-tI (Qei(i)-Of;(o)) •

•ех^

Утверждения, подобные теореме 3, получены в случаях, когда 0.ке (а")/ п среда корней характеристического уравнения (4) при Акг=0к<(0) шеются вещественные кратные, комплексные, комплексные кратные. Результаты сформулированы в виде теорш 2*2*2 *• 2»2«4»

Глава 2 посвящена получении интегральных представлений многообразий решений через произвольные функция для некоторых

классов нелинейных гиперболически уравнений с сингулярными, сверхсингзлярннми коэффициентами и их применении для постановок корректных краевых вадач. Обозначим - прямоугольник

, (\ = {:х=о, где с^,^ -пос-

тоянные тасла.

В & 3 в области 3) рассмагриваотсл уравнения следующих видов:

+ --- + -- - -^- 5 (8)

аса4 ос

где 3 О

юС3^)1^ )

о а г

я* Vх* * "

где

В^ас^и^аЦх.у^ааС^и^азГх^и; В^х^и^О/а-фл

Пусть коэффициенты уравнения (8) связаны между собой следу паям образом:

(ос,у) а^эс^ , <Х5(тф= <Х10(ас,^ Оа(х,у),

--1 -V -1 %

а?(а-,уЬ2 ау оС.-жт^)+азСх.^а^^у) + а10(ос,у)адх.у),

сс

Л * г

Сначала предполагается, что коэффициента уравнения (8) СцСт,^, а10Сх,у) и лравая часть ^

удовлетворяет условиям:а¿(х^-С^Сх^, См -Оа(х),

В зависимости от корней характеристического уравнения

У . а Ш)

строятся интегральные представления для уравнения (8). Например, установлено: 1 _

Теорема 4.,.Пусть в уравнении (8) а^х^^ад»»:.^ еСас(О),

1-3,10, кроме того а3(х,у) = й3($),

выполнены условия (1С) г корни характеристического уравнения (II) вещественные и различные. Тогда резгонзе уравнения (8) из класса СЧ-^О представимо в веде

Ц- , (12)

где ^Сх,^, Ч.л - решение сиотемн интегральных уравненгЗ Вольтерра второго рода:

Г а^осУ '

( ° ^ К(а-,у,х) V Их,^

о

со слабой особенность!). Здесь

о (х)

где

- произвольные функции из класса

с (гО,

представляет собой ревепно следупзего дифференциального уравнения:

и У , у ^ а»с(хлр \г\ (13)

х^ х

Утверждения, подобные теореме 4, получены в случаях, когда среда корнай характеристического уравнения (II) имеются комплексно сопряженные, веаоственные равные. Результаты сформулированы в виде теорем 3.2 - 3.3.

Спустив огранетендя, сделанные на рассмотренные выше коэффициенты и правую часть интегральные представления для уразно--кия (е) строятся в зависимости от корней двух характеристических уравнений сладушдх залов:

XV- а^ад^ио (и

^ Ул

д(р (хУ) -- ц (Х^ 4- а4 (х,о) ^ О Например, доказано: * г~\

Теорема Пусть в уравненви

ю.Креме того

^юСос^-аюСо^и А

С«)

Р(€пэс)

|Х| , при х->0,

. , . ,01л V

1 ДлШ. |х! прих-о,

Р^па)

АЛ*)

1*1 ,

■и >

где

р(еах)

при х->0,

Р(€псс) такой полином, что

^ Вке ,

Рке(Рпх)

алоС^Ьа^Со^иХаСх.^х^ при у— о,

={ЦнзсА^ еС(^) у-о,

л -1

где

(О

(6) 01(5

при у-*-О ,

10

(=0

1аА(:г,|^-СЦ(!Х,о)и У, , €><^¿1 пряу-^о, причем >-аА(:х,С>) икорни характерис-

тических уравнений (14), (15) соответственно кратные вещества . ные, вещественные и различные. Тогда решение уравнения (£) из класса С 43)) представимо в ввде (12), где У^Ьс,^,^ (сг,у) -решение системы интегральных ураннвний Больтерра второго рода.

оо слабой особенностью.

В (16) ядра зависят от корней характеристических

уравнений и коэффициентов уравнения (8).

Утверждения, подобные данной теореме, получены в случаях, когда среди корней характеристических уравнений (14), (15) имеются соответственно комплексно сопряженные, вещественные в различные. Результаты сформулированы в видь теорем 3.4-3.5.

Пусть коэффициенты уравнения (9) связаны между собой сладу шим образом:

ааСх^-За^а^ааоСх,^, а5(а%у)а4о(Ьг,у),

а&(ос,^ц * ас сц(сс,^ а4 (эс,у),

0 -1 я

В зависимости от корней характеристических уравнений следуо-щах видов:

ос аа

= м(у)=0 . (19)

установлено

Теорема 6. Пусть корни характеристических уравнений (18), (19) соответственно комплексно сопряженные, вещественные и

различные. Кооффщнегтш уравнения (9). вклотая функщгв ^(хф, удовлетворяет условиям:

1= V 5 ,%),?(а:,ц)еС(Ъ), МО .

I С81

,

а4&с,^=а1(ас,о') + х\)1((зг,^уС<С^ при х—О,

^(х^а^оН^Сху)^ ( ^и^еСф) прИх-*о,

-РСх,у) ^^ е С (В) прз х—о, -1

где ¿(х) = -02х) аА(Х,о) ; ОкСх.о) + ^ -Р(х,о) аю Сх, о) =

пря X—-О

ПРИ ¿—О,

при

при

сцех.о)^

/ СП

со

а1(эс,о)>о ,

I , Рс

В |х|' , при ас-»о,

|ац(ас»^-0ц(0,^ив 1x1 , прн х—>о, ' ^^С0'^)^ а вапешненн условия (17).Тогда

решенже уравнения (9) из глааса С (В) представимо в ввде (12). В данном случав У 1(3^,У*(Х^) представляет собой решение следу шей система онтегралыых уравнений Волтерра второго рода со слабой особенностью:

а

т/ ас

Ядро Кк'^(г,х(у)8той системы зависит от корней характеристичес-

ках уравнений я коэффициентов уравнения (9). В остальных случаях результаты сфорвдлированы в виде теорем 3.7-3,9; 3.10, 3.12.

Б § 4 глаш 2 в области]) рассматриваются уравнения следующих видов:

3 ^ . а^Э ■ * (2С)

сс^Р ОС* ОС«^

где

где

= а 4 +а , а) - и, В* (ас, у,и)=04 (з\уУ

Пусть коэффициенты уравнения (2С) связаны меащу собой следующим образом:

авСх.уЬх01^^! + ^(х^а^у)^,

- я

Вводя в рассмотрение характеристическое уравнение

Л(Х^у ^-а10^- о (23)

установлено ' - 1 _

Теорема 7. Пусть в уравнении (20) ЬС^

сш,

$(ос,у)&С(о1 ¡>э,ю. Кроме того 0з(х,уЬа3(у),

а1с;х,у)=а1(х), -у а4с, ^ Э> Р>

выполнены условия (22) и корни характеристического уравнения (23) вещественные и различные. Тогда решение уравнения (20) из класса СНК) представило в виде (12), где У^х.ф.Уд -

решение следутеей системы интегральных уравнений Вольгерра

второго рода з непрерывные ядром: , .

сых) а

0

представляет совой решение следунаего двффорвнгшатьного уравнения:

К [ _ е ] Ум}

у- ( сьр:.^ У, у...

а ос01 у ^ а0'

В остальных случаях результаты сформулированы в виде теорем 4.2 - 4.3.

В общем случав интегральные представления для уравнения (20 строятся в зависимости от корне& двух характеристических уравнений:

у (24)

д С ¡и ^л - IVV) - а ¿ос,с) |и га)-0 (25)

Например, доказано

Теэрека 8. Пусть корни характеристических уравнений (24), (25) соответственно комплексно соггрякеккые, вещественные в различные. Коэффициенты уравнения (21) вместе с функцией удовлетворяет условиям: а^.^.О-СглреС^ (5) >

а:, с(1)), :- £15.

Су) ь4

I О-юС-^Ь и в |х|, Ь5>о1-1 при а-^о,

(9) а-(ос)а(у> Ь9 р .

при ос—о , ,

прл — О ,

, прву-ю,

А 1у1 » при уо;

СЦ(:х:,0)>0 и выполнены условия (22). Тогда ропеннв уравнения (20) представало в надо (12), где

рзпенне следусдей системы интегральных уравнений Всльтерра второго рода со слабой особонностьо, ядро которой зависит от корней характернотнчеокого уракш кил п ко-эффхвдентов уравнения (20:

Ч

а"> а г

Здесь

д )=0 Ц)(а0=((с<-Ох* ,01>1.

к«4Д

Утверждения, подобны» данной теореме,получены в остальных возможных случаях. Результаты сфо^днрованы в воде теорем 4.4, 4.6.

Пусть коэффициенты уравнения (21) овязаны ыеаду ообой ара помощи следущах равенств:

алос.и)=2" ^у Р (хм) (эг,у),

а 8 (ас=а § (эс а ч (а а юГэс,^, -1 а

В зависимости от корней характеристического уравнения:

х а^)\(XVос "сьоЫ^-о (27)

например, доказано: А

Теорема 9. Пусть в_уравнении (21) О. ц ,еС у ( О) ,

кроме того

-= а5с^> и функция >адаИа1о(х)-

•4-(ос*) -0(х"),^'>^,а>1^иполнены условия (26) и корни характеристического уравнения (27) вещественные и различные. Тогда решение уравнения (21) из класса СЧ^1) предси.'Емо в виде (12), где Ч1 , ^ (д - решение системы интегральных уравнений' Вольтэрра второго рода с непрерывным ядром:

сим

уус^в уа&а^к

^ кГМИ.

V (х,у)представляет собой решение следуидего дифференциального уравнения:

У? х^Г г

Утверждения,подобные теореме 9, получены в остальных воз-кожных случаях, а результаты сформулированы в виде теорем 4.8-4,

Б общем сдучаэ результаты сформулированы в виде теорем 4.10-1.12.

§ 5 главы 2 посвящен исследовании граничных задач. Приведем постановку некоторых из задач.

Задача D.i . В области I) найти решение уравнения (8) из класса C4D), ограниченное в окрестности l¿ и имеющее порядок

в окрестностиТ^., удовлетворяшее следующим граничным условиям:

Цпг ( *_^ Ь ( ги СЦ(хч)п д м

&т иаЛХ) Ш^Ч) где

угО Ь

^íOjp - заданные функции точек контуров U и I-i • Задача D^ . Требуется найти решение уравнения (8) яз

класса СЧШ , удовлетворящее на 1 ¿ н Г х следушгод граничны?! условиям:

Í Ъ\к н . аг(д,у) „р.АЛ.

Р- а^х) л л

• . где ^(аУ

заданное непрерывные функции точек контуровIjJj. Задача В области j) требуется найти реаение уравнения (9) из класса СА0)) , ограниченное в скрэстнсзти f¡ я имэпдее порядок

в окрестности í~¡ , удовлетворящее следующим граничил ^слозиям:

\<Ш) х 2х JJ ÓH

r¡ о

Д^.у'. гдес^(х),

- заданные функции контуров 1 ija • Задача В области D найти решение уравнения (2С) из класса CHD) • ограниченно« р окрестности Г^ и гмеадое порядок

О ( H, в окрестности («j , удовлетворяющее следующему граничному условию:

&т Ь \Ьа QiCx,y),f

х-сА 4/dT^T ]}***'

yël-i , а,р.>1, где - заданная непрерывная функция точек

контура^ Гг •

Задача Do . Требуется найти решение Ufocуравнения (2С) из класса С (D) , удовлетво^ивсее следующему граничному условию:

X—О [ "C^ ' 4 «yp J ~

где - заданная непрерывная функция точек контура Го.

Результаты о разрешимости задач типа D сформулированы в виде теорем 5.1-5.12.

Основное содержание диссертации опубликовано в следупцях работах :

Г. Яадт.абэв Н., Шевчук Б.Е. О дифференциальных уравнениях со сЕ..*ртсскнгулярными коэффициентами // Тез.докладов Всесоганой конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений (2&-ЗС сентября, 1587), ч.2. - Душанбе, 1ЭВ7. - С. 7^-71.

2. Радкабов К., '.Еевчук В.Б. К теории обыкновенных дифференциальных уравнений со сверхсингулярной точкой // Докл. АН ТаджССР, 1989, т. 32, Л 8. - С. 5C6-5IC.

3. Кевчук В. В. Об однсм способе представления решений линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с сингулярно* точкой// Ултериалы республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Таджики- • стана (12-15 апреля, I99'j), Денинабад, I99L. - С.123-124.

4. Повчук З.В. Представление многообразия решений для нелинейного гиперболического уравнения второго порядка с двумя сингулярными линиями// Тезисы докладов республиканской научной .чон'еорешии "ДнКорекциальные уравнения и их прило-

кения". (3-5 октября, 1991 г.). - Куляб, 1991. - С.187-188.

5. Шевчук В.В. Интегральные представления решений для неликй*-ного гиперболического уравнения второго порядка с двумя сингулярными линиями// Тезисы докладов конференции "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики - вторые Боголюбовские чтения" (14-18 сентября,

1992 г.). - Киев, 1992. - С. Г78.

6. Шевчук В.В. Представление многообразия решений для уравнения Бернулли с сингулярной, оверхснигулярной точкой // Тезисы докладов апрельской научно-теоретической конференция профессорско-преподавательского состава. - ТТУ, Душанбе, 1993. -С. 25.

7. Шевчук В.В. Представления многообразий решений для одного уравнения второго порядка гиперболического типа с двумя сингулярными линиями // Известия Академии наук Республики Таджикистан. Отделение физико-математических а химических наук, » 4(4), 1992. - С. 8-14.

В заключении автор выражает гдубокуо благодарнооть своему научному руководителю, члену-коррас п онденту Академии наук Республики Таджикистан, доктору физнко-глатематпческпх наук, профессору Радвабову Н.Р. за постановку задачи а постоянное внимание к работе.