Применение прямого метода Ляпунова к исследованию устойчивости вихревых течений жидкости и состояний равновесия жидких кристаллов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ГИДРОДИНАМИКИ им. М.А.ЛАВРЕНТЬЕВА

На правах рукописи УДК 532.5

Ильин Константин Иванович

ПРИМЕНЕНИЕ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА К ИССЛЕДОВАНИЮ УСТОЙЧИВОСТИ ВИХРЕВЫХ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ И СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ

ЖИДКИХ КРИСТАЛЛОВ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1992

Работа выполнена в Ордена Трудового Красного Знамени Институте гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук В.А.Владимиров,

*

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А.Г.Петров, кандидат физико-математических наук О.М.Лаврентьева.

Ведущая организация - Вычислительный центр РАН.

Защита состоится "76 " Аи^^ТЛ 1993 г. в _ час. на'

заседании специализированного совета Д 002.55.01 при Институте гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН (630090, Новосибирск 90, просп. акад. Лаврентьева, 15).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН.

Автореферат разослан " 3 " ¿хЗАЛ 1993 г.

Ученый секретарь

специализированного совета Д 002.55.01 кандидат физико-математических наук

И.В.Яковлев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Вихревые течения жидкости - предмет интенсивных исследований в современной гидродинамике. Интерес к ним обусловлен их широким распространением как в природе (атмосфера и океан Земли), так и в целом ряде технических устройств. Общие критерии устойчивости и неустойчивости имеют первостепенное значение для понимания и описания свойств и структуры таких течений. То же самое справедливо и в отношении гидродинамики жидких кристаллов, исследование которых резко интенсифицировалось с начала шестидесятых годов, благодаря .прежде всего, широким возможностям их применения. Континуальная теория жидких кристаллов, построенная на основе гидродинамики и теории упругости, имеет с ниш много общего. Это дает возможность использовать в механике жидких кристаллов мощные методы, применяемые в гидродинамике. Исследование устойчивости состояний равновесия является важным с двух точек зрения. Во-первых, в отличие от гидродинамики состояния равновесия жидких кристаллов образуют целый класс нетривиальных решений. Во-вторых, в большинстве технических приложений жидких кристаллов используются именно различные состояния равновесия.

Прямой метод Ляпунова является одним из общих подходов теории устойчивости. Наибольшее развитие он нашел в аналитической механике. Естественным шагом в развитии прямого метода Ляпунова является его разработка и развитие в механике сплошных сред, где примеры его использования пока немногочисленны. Применение прямого метода Ляпунова в гидродинамике и механике жидких кристаллов позволяет получить ряд новых критериев устойчивости (и неустойчивости) и обобщить существующие.

Целью диссертации является - получение условий устойчивости и неустойчивости ряда вихре! вых течений жидкости и состояний равновесия жидких кристаллов;

развитие прямого метода Ляпунова в теории гидродинамической

устойчивости.

Методика исследований. Большинство представленных в диссертации результатов получено одним из вариантов прямого метода Ляпунова - энергетическим методом. Суть метода состоит в построении функционалов Ляпунова, растущих или ограниченных в силу уравнений движения. В качестве функционала Ляпунова используется полная энергия в связке с другими интегралами движения.

Для исследования устойчивости эллиптического вихря Кирхгофа использовался метод нормальных мод (спектральный метод).

Научная новизна работы состоит в следующем:

- полученные ранее условия неустойчивости бароклинного вихря в классе вращательно-симметричных возмущений обобщены на общий случай сжимаемой жидкости;

- впервые получен условный критерий нелинейной устойчивости сжимаемого бароклинного вихря;

- впервые даны достаточные условия линейной устойчивости движения тела в вихревом потоке идеальной жидкости в двумерной постановке, определены условия, при которых движение тела можно стабилизировать внешними силами;

- получена неустойчивость состояний равновесия жидких кристаллов в условиях обращения теоремы Лагранжа, даны двусторонние оценки роста решений линеаризованной задачи;

- показано, что имеет место резонаноная неустойчивость эллиптического вихря Кирхгофа относительно трехмерных возмущений, в отличие от ранее полученных результатов неустойчивость показана для сколь угодно малых значений эксцентриситета ядра вихря.

Научная и практическая ценность. Научная значимость результатов работы определяется тем, что применение в гидродинамике и механике жидких кристаллов прямого метода Ляпунова дает предсказание общих свойств устойчивости без решения крайне сложных конкретных задач. При этом для каждого класса задач и кавдого типа функционалов Ляпунова возникают свои естественные определения устойчивости. В соответствии с этим

г

в диссертации в явном виде выписаны величины, рост или ограниченность которых гарантируется оценками. Основная ценность результатов по устойчивости состояний равновесия жидких кристаллов и аналогов состояний равновесия в гидродинамике состоит в подведении общего .фундамента под многочисленные научные и прикладные работы, в которых справедливость обратной теоремы Лагранжа принимается без обсуждений.

Практическая ценность представленных результатов определяется их возможными приложениями к задачам метеорологии (устойчивость бароклинного вихря),'к разработке методов управления движением подводных аппаратов (устойчивость движения тела в жидкости), к разработке технических устройств на основе жидких кристаллов (устойчивость состояний равновесия жидких кристаллов).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на VI, VII Всесоюзных школах-семинарах "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (Колюбакино, 1988; Звенигород, 1990), на I, II Всесоюзных конференциях "Проблемы стратифицированных течений" (Юрмала, 1988; Канев, 1991), на Всесоюзной школе-семинаре "Моделирование и исследование устойчивости физических процессов" (Киев, 1990), на VII Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва, 1991), на Всесоюзном семинаре "Акустика неоднородных сред" (Новосо-бирск, 1992), на Международной конференции "Nonlinear Problems of Hydro dynamic Stability Theory" (Москва, 1992). Результаты диссертации докладывались также на ряде семинаров в ИГИЛ СО РАН (руководители д.ф.-м.н. Р.М.Гарипов и проф. Б.А.Луговцов), в МГУ (руководитель проф. А.Г.Петров), в Пермском гос. университете (руководитель проф. Г.З.Гершуни).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-6].

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на 17 параграфов, и заключения. Общий объем диссертации составляет 105 страниц, включая список цитированной литературы из НО наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор современного состояния проблемы, сформулирована тема диссертации и обоснована ее актуальность. Кратко изложено содержание основных глав работы, приведен перечень результатов, выносимых автором на защиту.

В первой главе рассматривается задача устойчивости сжимаемого бароклинного вихря в. классе вращательно-симметричных движений. Получены утверждения типа теоремы Лагранжа ее обращения. Первые четыре .параграфа посвящены линейным задачам устойчивости и неустойчивости, в пятом параграфе рассматривается точная нелинейная задача.

В §1 дана постановка задачи устойчивости сжимаемого бароклинного вихря. С использованием аналогии между эффектами плотностной стратификации и вращения она сводится к задаче устойчивости некоторого "положения равновесия". При этом исследуемый на устойчивость бароклинный вихрь представляет собой точное решение уравнений движения вида

ui= u2= l-i = Но (г. z). s = so(r, z), (I)

р = ро(г, z), р = ро(г, z),

где ut, u2 - радиальная и осевая составляющие поля скорости; р, s, р - поля плотности энтропии и давления; ц = (гиз)2, иэ-вращательная составляющая скорости.

В §2 сформулирован вариационный принцип, состоящий в следующем: решение (I) является стационарной точкой сохраняющегося функционала Е^ Е + I, где Е - полная энергия, I - интеграл по объему от произведения плотности р на произвольную функцию F(s, |i). Вычислена вторая вариация функцционала Е1 на решении (I) и даны условия ее положительной определенности как квадратичной формы от вариаций ôu, ôs, Sp, ôp,.

В §3 представлены критерии линейной устойчивости бароклинного вихря, которые являются следствием замечательного факта - сохранения второй вариации функционала Е1 в силу ли-

неаризованных уравнений движения. При этом мерой отклонения возмущенного течения от невозмущенного служит сам интеграл линеаризованных уравнений Е^ 1 5zEIt а в качестве достаточных условий устойчивости выступают условия его положительной определенности. Обсуждаются полученное в настоящей работе и уже известное (Рjortoft, 1950) условия устойчивости.

§4 посвящен проблеме обращения теоремы Лагранжа, суть которой - доказательство неустойчивости положения равновесия механической системы при отсутствии в нем минимума потенциальной энергии. Интеграл энергии линеаризованной задачи имеет вид

Е = К + П = const, 2Kb Гр ц. udT, (2)

111 * 1 IгО it* 4 '

X

J{po<(div? + ?-vpo)2+

г 00

Здесь | - поле лагранжевых смещений жидких частиц (9tt з u); Qik- симметричная матрица, все векторные и тензорные индексы пробегают значения 1,2; по повторяющимся индексам производится суммирование. Условия обращения теоремы Лагранжа означают, что П4 и, следовательно, Et могут принимать отрицательные значения. В качестве функционала Ляпунова выбирается предложенный В.В.Румянцевым функционал W

W = Й/2 = Jpou?.dT, М н Jpo|J.dT,

который является аналогом вириала в аналитической механике. Оценка имеет вид

M(t) > M(0)exp(2Xt), ZK = W(0)/M(0) (3)

и вытекает из вириального соотношения W = 2(Kt - nt) после использования неравенства Коши-Буняковского. Показатель

экспоненты X можно выбрать положительным, поскольку начальные данные для полей возмущений и, задаются независимо. Таким образом, в условиях обращения теоремы Лагранжа оценка (3) гарантирует экспоненциальное нарастание среднего квадрата лагранжевых смещений жидких частиц.

В §5 приведено утверждение о нелинейной устойчивости сжимаемого бароклинного вихря. Для доказательства устойчивости использовался метод связки интегралов движения (энергии и интеграла по объему от произведения плотности р на произвольную функцию F(s, (J.)). Полученный критерий нелинейной устойчивости является условным, так как при его получении введено дополнительное предположение о свойствах решения задачи, а именно: предполагается, что поле плотности ограничено в любой момент времени

0<Р1^Р^Р2<С0 ( pf, рг= const ) (4)

Если это условие выполнено, то справедлива оценка

j^1{ui(t)Ui(t)+AapR4t)R^t)}dx < |г{и(0)и1(0)+в^0)^0)}^ (5)

где А^р, Вар - положительно определенные матрицы 3><3; а, р = I, 2, 3; R^Up, as, д|л); др=р-ро> as=s-so, д|1=ц-|ао - конечные возмущения соответствующих величин. Критерием устойчивости служат условия положительной определенности матрицы Неравенство (5) показывает, что конечные возмущения полей и, р, s, [1 в любой момент времени оцениваются своими начальными данными.

Вторая глава посвящена проблеме устойчивости движения твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости. Рассматривается двумерная задача. В 6 параграфах этой главы строится вариационный принцип для энергии стационарного обтекания тела вихревым потоком идеальной жидкости, с помощью этого принципа определяются функционалы Ляпунова и находятся достаточные условия устойчивости.

В §1 дана постановка задачи. В двумерной (в общем случае многосвязной) области т; твердое тело занимает область т^-Ь). Область т-т^-Ь) полностью заполнена идеальной несжимаемой однородной жидкостью. Движение жидкости описывается уравнениями Эйлера, тело движется в соответствии с уравнениями динамики твердого тела. На жидкость действуют внешние массовые силы с потенциалом Ф(х), на тело (помимо сил давления со стороны жидкости) действуют внешние сила и момент сил с потенциалом Ф^Й.ср) (Й - координата центра масс тела; <р - переменная, задающая ориентацию тела, ф^- угловая скорость вращения тела относительно центра масс). Исследуемое на устойчивость стационарное решение уравнений движения имеет вид

я= Л = ф = ф = 0, и = 3(5) в т-хь (6)

Поле скорости 3(х) является решением стационарной задачи обтекания тела.

В §2 строится сохраняющийся со временем функционал I, для которого решение (6) является стационарной точкой (51 = 0). Функционал I имеет вид

1=|р| + ф + + | \ Фь+ В Гь

т-ть

где и- поле скорости, ш - завихренность, Гь- циркуляция скорости по границе тела, Р(со) - произвольная функция, В - произвольная постоянная. Результат состоит в том, что при подходящем выборе константы В и функции Г(со) заданное состояние системы "тело + жидкость" (6) является стационарной точкой функционала I. Тем самым обобщен известный вариационный принцип Арнольда (1965) для плоских стационарных течений идеальной жидкости на случай, когда в жидкости имеется твердое тело.

В §3 вычислен общий вид второй вариации функционала I на решении (6). В §4 сформулирована линеаризованная на (6) зада-

ча. Далее в §5 вторая вариация ö I исследуется на знакоопределенность. Так как вторая вориация 0г1 сохраняется в силу линеаризованных уравнений движения, достаточные условия устойчивости совпадают с условиями ее знакоопределенности. Показано, что если для течения жидкости выполнено условие устойчивости Арнольда

® > 0 в \

(Ш,П - функция тока и завихренность основного течения), то всегда существует такой потенциал внешних сил Фь, что система "тело + жидкость" устойчива в смысле сохранения özI. В общем виде выписаны условия на потенциал Ф^Й.ср), достаточные для устойчивости.

В §6 общие результаты предыдущих параграфов применяются для исследования устойчивости течения с круговыми линиями тока между цилиндрами в случае, когда внутренний цилиндр может двигаться под действием сил со стороны жидкости. Показано, что имеет место устойчивость, если выполнены следующие условия:

V(r) - rV(a)/a

1) g(r) =-

П'(г)

2) т. $ ртса2

(V(r) - вращательная составляющая скорости, n(r)=V'+ v/r.-завихренность основного решения, а - радиус внутреннего цилиндра, т - его масса). При этом устойчивость понимается в смысле сохранения величины

Е = jp + g(r)^Jdt + (т?Х*[ 1 - +

т-т

2 2 + | [v ад2] + f [e2+ MlJ, ka- V(a)/a

Если 0(г) = const, то достаточное условие устойчивости в классе потенциальных возмущений совпадает с условием 2).

Глава III посвящена проблеме обращения теоремы Лагранжа в гидродинамике жидких кристаллов. Показана неустойчивость состояний равновесия жидких кристаллов нематического типа при отсутствии минимума потенциальной энергии.

§1 носит вводный характер. В нем излагаются необходимые сведения из механики нематических жидких кристаллов и ставится линеаризованная задача устойчивости состояний равновесия. Рассматривается трехмерная область г, полностью заполненная нематиком. Предполагается, что на границе области дт ориентация директора задана. Исследуемые на устойчивость состояния-равновесия характеризуются полем директора п°(х), которое является решением уравнений равновесия.

§2 посвящен построению функционала Ляпунова. Вводится некоторый класс возмущений, для которого возмущения поля директора п (х, о) в начальный момент времени связаны с лагран-жевыми смещениями жидких частиц из их положения равновесия £(х, о). В качестве функционала Ляпунова выбирается предложенный В.А.Владимировым и В.В.Румянцевым (1990) функционал W:

w = V пх, 2К^ jP(?t- \Ьах, %

гп^ 2П1+ \g + *.2м, ^¿(вл+а^),

Gа -фл^ 2nXnXelk+ м№и<>2+ 7 кк}

т

t

М = Jp ej.dT, h.a J h. (X, V ) dt' , T 0

где £ik - тензор деформаций; p - плотность; \x2, цэ, 7 -диссипативные коэффициенты нематика; Й(х, t) - возмущение

поперечной компоненты молекулярного поля; nt - потенциальная энергия линеаризованной задачи; X - постоянная, значение которой определяется при получении оценок; по повторяющимся векторным и тензорным индексам производится суммирование. Дифференцируя функционал W по времени, можно получить неравенство

W(t) < W(0)exp(2M), (7)

которое справедливо для возмущений с любыми начальными данными и для любого числа А>0.

В §3 из (7) получена оценка снизу нарастания возмущений

I(t) > Aexp(2U) (8)

I (t) 4j{k2 (n° (ЙхГ )2+k3 (n° • t )2+k3 (n • Г) 2+1 n° • H° I й}сП,

T

справедливая для любого \ из интервала 0<АхЛ. Здесь Й°- молекулярное поле в состоянии равновесия; А, Л - постоянные, зависящие от параметров состояния равновесия и начальных данных для полей возмущений. Оценка (8) гарантирует экспоненциальное нарастание среднеквадратичных отклонений директора от его ориентации в состоянии равновесия и дает оценку инкремента снизу. В §4 для растущих возмущений получена оценка сверху. Тем самым показано, что решение не может нарастать быстрее, чем экспоненциально.

В IV главе изучается устойчивость классического точного решения уравнений Эйлера - эллиптического вихря Кирхгофа. Во вращающейся с постоянной угловой скоростью С цилиндрической системе координат г, "ö, z ему соответствует стационарное поле с компонентами скорости U(r, -ö), V(r, -ö), W = 0. Завихренность 2(П - С) постоянна в ядре вихря, которое в сечении плоскостями z = const представляет собой эллипс с полуосями а, Ъ (а > Ъ)

г = R(-e, е) = (1 + s cos 2Ф) 2, e = (a2- b2)/(a2+ b2)

С = 2abn/(a + b)z

Вне ядра завихренность равна -2£, что в покоящейся системе координат соответствует потенциальному течению.

Рассматривается линейная задача устойчивости относительно трехмерных возмущений. Решение линеаризованной задачи ищется в виде нормальных мод

(u, v, w, р) = (ua, va, wa> pa) exp[l(kz - ut)]

Подстановка этого выражения в линеаризованные уравнения и граничные условия приводит к спектральной задаче на определение собственных частот и. Если существует хотя бы одно собственное значение со с Im ш > 0, то течение неустойчиво. Спектральная задача решается методом последовательных приближений по малому параметру е, связанному с эксцентриситетом ядра вихря. Анализ ограничивается вычислением двух первых приближений. Показано, что уже в первом приближении появляются экспоненциально нарастающие возмущения такого же типа, как наблюдавшиеся ранее во вращающихся потоках внутри сосудов эллиптического сечения. Неустойчивость имеет резонансный характер. На плоскости (к, е) имеется счетное число областей неустойчивости (Im ш > 0), которые имеют вид "резонансных" зон. Уравнение кавдой из них записывается в форме |к - к0| < ек с постоянными кик .В пределах каждой зоны макси-

max О max 1

мальное значение инкремента wmax= max|Im ш| достигается при k = к0. Для некоторых резонансных зон проведены численные вычисления величин к и ш

max max

Таким образом, показана неустойчивость вихря Кирхгофа для сколь угодно малых значений эксцентриситета ядра, что отличается от случая плоских возмущений, когда существует критическое значение эксцентриситета, разделяющее устойчивые и неустойчивые режимы течения.

В заключение сформулированы выносимые на защиту ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Рассматривалась задача устойчивости сжимаемого бароклинно-го вихря в классе вращательно-симметричных возмущений. С использованием аналогии между эффектами стратификации и вращения она свелась к задаче устойчивости некоторого "состояния равновесия". Методом связки интегралов получен условный критерий устойчивости бароклинного вихря относительно конечных возмущений. В линейной постановке прямым методом Ляпунова доказана неустойчивость Сароклинного вихря при отсутствии в "состоянии равновесия" минимума эффективной потенциальной энергии (аналог обратной теоремы Лаг-ранжа в аналитической механике).

2. Изучалась двумерная задача устойчивости стационарного движения твердого тела в вихревом потоке идеальной жидкости. Построен сохраняющийся функционал, имеющий критическую точку на решении стационарной задачи обтекания твердого тела. Вычислена его вторая вариация в этой точке и показано, что она сохранчется в силу линеаризаванной задачи. Получены достаточные условия линейной устойчивости движения тела. Определены условия, при которых движение тела можно стабилизировать внешними силами. Общий результат применен для исследования устойчивости течения с круговыми линиями тока между цилиндрами в случае, когда внутренний цилиндр может свободно двигаться.

3. Рассматривалась проблема обращения теоремы Лагранжа в гидродинамике жидких кристаллов. В общей постановке исследовалась устойчивости состояний равновесия Нематических жидких кристаллов по линейному приближению. Прямым методом Ляпунова показано, что состояние равновесия неустойчиво, если вторая вариация потенциальной энергии принимает отрицательные значения. Получены априорные оценки роста возму-

щений как сверху, так и снизу, которые гарантируют экспоненциальное нарастание отклонений директора от состояния равновесия.

4. В линейном приближении рассмотрена задача устойчивости эллиптического вихря Кирхгофа относительно трехмерных возмущений. Исследование устойчивости проводилось спектральным методом. Показано, что имеет место трехмерная неустойчивость вихря Кирхгофа того же резонансного типа, как и наблюдавшаяся ранее во вращающихся течениях в сосудах эллиптического сечения. Вычислены ширины резонансных зон и инкременты нарастания возмущений.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ДИССЕРТАЦИИ

1. Владимиров В.А., Ильин К.И. Трехмерная неустойчивость эллиптического вихря Кирхгофа // Изв. АН СССР. МЖГ.- 1988.-а 3.- С. 40-45.

2. Ильин К.И. Неустойчивость состояний равновесия жидких кристаллов // Динамика сплошной среды: сб. науч. тр./АН СССР, Сиб. отд-ние, Ин-т гидродинамики.- 1990, вып. 96.-С. Ш-121.

3. Ильин К.И. К устойчивости бароклинного вихря // Изв. АН СССР. ФАО.- 1991.- Т. 27, Я 5.- С. 584-588.

4. Владимиров В.А., Ильин К.И. Трехмерная неустойчивость эллиптического вихря Кирхгофа // Материалы VI Школы-семинара "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости", Колюбакино, 1988.- М.: Изд-во МГУ.-1989.-С. 16.

5. Ильин К.И. Неустойчивость состояний равновесия жидких кристаллов // Всесоюзная школа-семинар "Моделирование и исследование устойчивости физических процессов", Киев, 22-24 мая 1990 г.: Тезисы докладов.- Киев, 1990.- С.72-73.

6. Губарев Ю.Г., Ильин К.И. О критериях неустойчивости в гидродинамике // VII Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике, Москва, 1991: Аннот. докл. - Москва, 1991. -С. 120-121.

Подписано к печати 29.12.92 г Формат 60 х 84, 1/16 Заказ Л 2.

Объем 1 п.л. Тираж 100 экз.

Ротапринт Института гидродинамики СО РАН,

630090, Новосибирск 90, просп. акад. Лаврентьева, 15.

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ОРДЕНА ЛЕНИНА СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ ГИДРОДИНАМИКИ им. М.А.Лаврентьева

РГ6 00

2 2 Г ЕВ 1093 На правах рукописи

ГУБАРЕВ ЮРИЙ ГЕННАДЬЕВИЧ

УДК 532.5 + 538.'4

ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА В ЗАДАЧАХ МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ И ГРАВИТАЦИОННОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1992 г.

Работа выполнена в Ордена Трудового Красного Знамени Институте гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук В.А.Владимиров.

Официальные. оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.В.Мирнов, кандидат физико-математических наук С.Л.Гаврилюк.

■ Ведущая организация - Вычислительный центр РАН. *

Защита состоится," " _ 1993 г. в _ час. на

заседании специализированного совета Д 002.55.01 при Институте гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН (630090, Новосибирск 90, просп. акад. Лаврентьева, 15).

)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН.

Автореферат разослан " " _ 1993 г.

Ученый секретарь

специализированного совета Д 002.55.01 кандидат физико-математических наук

И.В.Яковлев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Диссертация посвящена изучению ряда задач устойчивости стационарных течений и состояний равновесия (покоя) жидкости и плазмы. Объектом исследования являются критерии устойчивости или неустойчивости таких течений и равновесий как к малым, так и к конечным возмущениям.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. С середины 50-х годов в мире развернулись интенсивные исследования по управляемому термоядерному синтезу (УТС). К настоящему времени создано немало систем для удержания плазмы, однако до сих пор ни одно из этих устройств не дало желаемого результата. Основным препятствием на пути к осуществлению УТС стали крупномасштабные неустойчивости в удерживаемой плазме. По этой причине возникла необходимость научиться предсказывать свойства этих неустойчивостей. Многие из свойств крупномасштабных неустойчивостей предсказываются магнитогидродинамической (МГД) моделью. В этой простой математической модели плазма рассматривается как идеально проводящая жидкость, на которую действуют силы давления и силы, связанные с магнитным полем. Эта модель является естественной отправной точкой для изучения неустойчивостей широкого класса равновесных магнитных конфигураций. В рамках МГД модели при помощи методов спектральной теории и энергетического принципа получены в основном линейные и слабо нелинейные критерии устойчивости различных конфигураций плазмы. Точные нелинейные критерии устойчивости единичны, носят условный характер и имеют достаточно узкую область применения. Общие критерии неустойчивости в магнитной гидродинамике практически отсутствуют. Таким образом, необходима дальнейшая разработка вопросов, касающихся точных нелинейных критериев устойчивости и общих критериев неустойчивости течений и равновесий плазмы.

Не менее важной представляется проблема устойчивости равновесий самогравитирующей жидкости. Эта проблема тесно связана с вопросом о возникновении планетных систем, звездных скоплений, галактик и других объектов. Начало исследованиям в этой области положили работы Д. Джинса (1902, 1928), который открыл гравита-

ционную неустойчивость состояний покоя пространственно неограниченной идеальной сжимаемой среды к малым возмущениям. С тех пор получена масса результатов по устойчивости различных объектов (диски, слои и т.п.). Однако в подавляющем большинстве эти результаты являются либо линейными, либо слабо нелинейными и носят условный характер, так как справедливы при наличии разного рода ограничений на возможные возмущения. Перспективы здесь также связаны с получением теоретически обоснованных точных нелинейных критериев устойчивости и общих критериев неустойчивости течений и равновесий самогравитирущей жидкости.

В 1980 году В.Е.Захаров установил существование аналогии между уравнениями Бенни, описывающими в приближении "мелкой воды" волновые движения на поверхности завихренной жидкости, и уравнениями Власова-Пуассона, характеризующими движения бесстолкнови-тельной плазмы в самосогласованном электростатическом поле. В связи с этим весьма важным представляется использование аналогии Захарова для получения новых результатов в кинетике бесстолкнови-тельной плазмы путем перенесения результатов, полученных для длинноволновых движений на. поверхности завихренной жидкости, и наоборот. С этой точки зрения дальнейшее изучение сходства между уравнениями Бенни и уравнениями Власова-Пуассона может придать новый импульс исследованиям как в физике плазмы, так и в теории поверхностных волн.

ЦЕЛЬЮ ДИССЕРТАЩОШОЙ РАБОТЫ является:

- развитие прямого метода Ляпунова в теории гидродинамической и магнитогидродинамической устойчивости;

- получение условий устойчивости стационарных течений жидкости как в магнитном поле, так и без него;

- разработка обратной теоремы Лагранжа применительно к состояниям равновесия жидкости и плазмы, получение прямым методом Ляпунова оценок устойчивости при наличии минимума потенциальной энергии и оценок скорости нарастания возмущений при отсутствии такого минимума.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В основу диссертации положены классические модели гидродинамики и магнитной гидродинамики. Утвержде-

ния об устойчивости или неустойчивости получены прямым методом Ляпунова. Оценки устойчивости и роста возмущений найдены при предположении существования решений соответствующих задач. Часть результатов справедлива для точных задач, другая часть - для линеаризованных.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА:

1. Обобщены достаточные условия нелинейной устойчивости плоских и круговых течений идеальной несжимаемой жидкости в магнитном поле при наличии у возмущений того же типа симметрии.

2. Получены достаточные условия устойчивости винтовых течений идеальной несжимаемой жидкости в магнитном поле относительно конечных возмущений той же симметрии.

3. Показана неустойчивость состояний покоя: а) вязкой несжимаемой жидкости, находящейся в магнитном поле; б) пространственно неограниченной самогравитирующей идеальной сжимаемой среды.

4. Найдены достаточные условия линейной устойчивости плоских течений идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в приближении вихревой "мелкой воды".

ДОСТОВЕРНОСТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ определяется использованием только классических моделей гидродинамики и магнитной гидродинамики, последовательным применением математических методов. Критерии устойчивости и неустойчивости, приводимые в диссертации, проверяются для частных случаев сравнением с имеющимися результатами других авторов. Все эти критерии согласуются с общими качественными представлениями о механизмах неустойчивости в жидкости и плазме.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Научная ценность результатов работы определяется: а) плодотворностью новых способов построения функционалов Ляпунова; б) содержательностью используемых определений устойчивости, их адекватностью изучаемым задачам; в) общностью полученных критериев устойчивости и неустойчивости, их применимостью к конкретным интересным классам течений и равновесий; г) полезностью проведенного анализа аналогии между уравнениями Бенни (вихревая "мелкая вода") и уравнениями Власова-Пуассона (бесстолкновительная плазма).

Применение в гидродинамике и в магнитной гидродинамике прямого метода А.М.Ляпунова позволяет эффективно использовать идеи и методы общей теории устойчивости. Плодотворными оказываются способы построения функционалов Ляпунова, основанные на аналогиях с механикой конечномерных систем (энергетические и вириальные функционалы). Особенно велико для механики жидкости и физики плазмы общее преимущество прямого метода Ляпунова - предсказание свойств устойчивости без решения крайне сложных конкретных задач.

Особо следует подчеркнуть тот факт, что для каждого класса течений и каждого типа функционала Ляпунова возникают свои естественные определения устойчивости. В соответствии с этим в диссертации в явном виде выписаны величины, рост или ограниченность которых гарантируется оценками.

Рассмотренные критерии устойчивости и неустойчивости таковы, что в область их действия попадают весьма широкие классы плоских, круговых и винтовых течений вдеальной несжимаемой жидкости в магнитном поле и без него; состояний равновесия вязкой несжимаемой жидкости, также находящейся в магнитном поле, и состояний покоя пространственно неограниченной самогравитирущей идеальной сжимаемой среды. Большинство течений и равновесий из этих классов встречается во многих прикладных задачах гидродинамики и магнитной гидродинамики. В то же время сделанный акцент на общности критериев позволяет полнее уяснить механизмы устойчивости и неустойчивости в жидкости и плазме.

Основная ценность результатов по устойчивости состояний равновесия состоит в подведении общего фундамента под многочисленные научные и прикладные работы, в которых справедливость прямой и/или обратной теорем Лагранжа принимается (постулируется) без обсуждений.

В диссертации при помощи аналогии Захарова между уравнениями Бенни и уравнениями Власова-Пуассона получено достаточное условие линейной устойчивости плоских стационарных течений идеальной несжимаемой жидкости в приближении вихревой "мелкой воды". Показано, что это условие соответствует достаточному условию линейной устойчивости равновесных конфигураций плазмы Власова-Пуассона,

полученному Д.Холмом и др. (1985). В частном случае плоскопараллельных течений данное условие устойчивости совпадает с условием гиперболичности уравнений Бенни, найденным В.М.Тешуковым (1985, 1991). Таким образом, применение аналогии Захарова позволяет переносить результаты из одной области в другую. Возможность такого перенесения полезна как для интерпретации известных, так и для получения новых результатов.

Практическая значимость критериев устойчивости и неустойчивости связана с широким их использованием в различных областях науки и техники. Среди наиболее важных приложений следует отметить проблему разработки новых источников энергии (МГД-генерато-ры, УТС и т.п.), задачу создания новых систем движителей для ракетной и космической техники, морского транспорта и т.п.. Сюда же относятся приложения к проблемам технологий, где вопросы устойчивости равновесных конфигураций проводящих жидкостей в магнитных полях являются принципиально важными.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации, по мере их получения, докладывались: на семинаре по аналитической механике МГУ под руководством академика В.В.Румянцева; на семинаре проф. Б.А.Лу-говцова и д.ф.-ч.н. Р.М.Гарипова в ИГШ1 СО РАН; на семинаре "Прикладная гидродинамика" в ИГИЛ СО РАН, руководимом проф. В.В.Пух-начевым.

Основные положения диссертации докладывались на следующих конференциях: на Всесоюзном семинаре по гидродинамической устойчивости и турбулентности (Новосибирск, 1989); на ХХУШ Всесоюзной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 1990); на Всесоюзной школе-семинаре "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (Звенигород, 1990); на УН Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва, 1991); на Международной школе-семинаре "The Nonlinear Problems of the Hydrodynamlc Stability Theory" (Москва, 1992).

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликованы работы [1-4].

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Работа состоит из введешя, трех глав, разбитых на 13 параграфов, выводов и приложения. В конце

каздой главы дана подробная сводка полученных в ней результатов. Общий объем диссертации составляет 116 страниц, из которых рисунки и список литературы занимают 14 страниц. Нумерация параграфов и формул ведется отдельно в каждой главе. Список литературы содержит 111 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обосновывается актуальность темы, дается анализ современного состояния изучаемых в диссертации проблем, формулируются цель исследования и основные результаты, которые выносятся на защиту.

Первые две главы диссертации посвящены развитию теории устойчивости течений и равновесий жидкости и плазмы при помощи прямого метода А.М.Ляпунова. В третьей главе проводится изучение аналогии между уравнениями движения вихревой "мелкой воды" и бес-столкновительной плазмы.

В главе I изучаются возможности применения энергетического функционала Ляпунова для получения критериев устойчивости течений идеальной несжимаемой жидкости, находящейся в магнитном поле, при предположении некоторой симметрии движения (трансляционной, осевой, вращательной или винтовой). В шести параграфах этой главы определяются функционалы Ляпунова, находятся достаточные условия нелинейной устойчивости плоских, круговых и винтовых течений относительно возмущений той же симметрии, проводится сравнение полученных результатов с известными и строятся примеры.

§1 имеет вводный характер. В нем даны уравнения идеальной магнитной гидродинамики с соответствующими граничными условиями, сформулирована цель исследования.

В §2 приведено утверждение о нелинейной устойчивости круговых течений однородной идеальной жидкости, находящейся в магнитном поле, относительно возмущений той же симметрии. Для получения оценок об устойчивости применен метод связки интегралов движения (энергии и интеграла от произвольной функции от обобщенной лаг-ранжевой координаты q). Благодаря использованию в связке нового

интеграла движения найдены критерии устойчивости в рамках семейства новых определений. Согласно этим определениям отклонения возмущенного течения от невозмущенного измеряются интегралами от квадратов возмущений полей скорости и лагранжевой координаты q. Критерий В.А.Владимирова (1986) получается как частный случай, если магнитное поле Ь. = о, а лагранжевая координата я = р, где "плотность" р н (гу)2, г - цилиндрическая координата, V - угловая компонента скорости.

В §3 представлено утверждение об устойчивости плоских течений однородной идеальной жидкости в магнитном поле относительно плоских же конечных возмущений. Для получения оценок устойчивости использована связка интегралов энергии, циркуляции скорости и интеграла от произвольной функции от обобщенной лагранжевой координаты q. Отклонения возмущенного течения от невозмущенного здесь также измеряются интегралами от квадратов возмущений полей скорости и лагранжевой координаты д. Результат Д.Холма и др. (1985) получается как частный случай при д = ш, где ш - завихренность.

В §4, §5 приведены аналогичные утверждения о нелинейной устойчивости винтовых течений однородной идеальной жидкости в присутствии магнитного поля относительно возмущений той же симметрии. Показано, что соответствующие критерии В.А.Владимирова (1986) получаются как частные случаи.

В §6 строятся примеры, иллюстрирующие новизну найденных критериев .

В главе II разрабатывается проблема обращения теоремы Лаг-ранжа в гидродинамике и в магнитной гидродинамике. Суть этой проблемы состоит в доказательстве неустойчивости положения равновесия механической системы при отсутствии в нем минимума потенциальной энергии. Построения данной главы основаны на аналогии с известными в механике конечномерных систем результатами А.М.Ляпунова (1892) и Н.Г.Четаева (1930). Первое использование такой аналогии принадлежит В.В.Румянцеву (1965). В трех параграфах данной главы излагаются априорные оценки роста возмущений, полученные при помощи прямого метода Ляпунова; строятся примеры. Первые два параграфа посвящены линейным задачам неустойчивости для весьма

общих постановок, в третьем параграфе даны нелинейные оценки роста возмущений для более узкого класса задач.

В §1 изучается неустойчивость по линейному приближению состояний равновесия вязкой идеально проводящей несжимаемой жидкости, содержащей магнитное поле. Прямым методом Ляпунова показано, что система неустойчива, если вторая вариация потенциальной энергии может принимать отрицательные значения. Рассмотрение ограничено получением априорных оценок сверху и снизу для нарастающих возмущений. Используется функционал Ляпунова, предложенный В.А.Владимировым и В.В.Румянцевым (1990) для задач устойчивости тел с полостями, содержащими вязкую жидкость. В данном случае он имеет вид

« = К + П , 2К = ХрГГ, - лТ]2с1г, 2П - 2П + АЛ + АМ А, X X ^ X

М ^ Гр£ йг, в = Г^ ^ , с1т, С, = - + -

; ; 1к ох. дх

1 % К Ь

где £(х, г) - поле лагранжевых смещений жидких частиц из их положений равновесия; £ = д%/дХ; р и т) - шля плотности и коэффициента вязкости; й - тензор деформаций; П* - потенциальная энергия линейной задачи, г - область интегрирования; А. - постоянная, значение которой определяется при получении оценок; "х = (х1, х , х3) и 1; - декартовы координаты и время. При помощи дифференциальных соотношений, которым удовлетворяет функционал Ж, получено основное неравенство

Ит ^ №(0)ехр(2и) (1)

справедливое для возмущений с любыми начальными данными и для любого числа Л. > 0. Центральным элементом при выводе (1) является обобщенное вириальное соотношение

М** + й* = 4(К - П*)

в котором К - кинетическая энергия; точка сверху соответствует производной по времени. Из (1) вытекает оценка снизу нарастания возмущений

/рТ + Т^йт > Аехр[г[л - (2)

х

с * Л1У2

А = - й/ (2М) + Ис/(2М)]2 - 2П /М

в которой Ь. - возмущение магнитного поля; А > 0 - известная постоянная; б - любое число из интервала 0 < б < Л; функционал Л вычисляется на начальных данных полей возмущений. Для начальных данных с П* < 0 неравенство (2) гарантирует наличие экспоненциального нарастания отклонений частиц жидкости и силовых линий магнитного поля от состояния равновесия и дает оценку инкремента снизу. Из (1) вытекает и оценка растущего возмущения сверху

аЩЮ + ЬвШ ^ сехр(2А%) (3)

в которой а, Ъ, с - известные положительные постоянные; Л+ выражается формулой, аналогичной Л (2). Неравенство (3) показывает, что решение не может нарастать быстрее, чедо экспоненциально. Далее в §1 построен пример, иллюстрирующий полученные результаты.

В §2 получены оценки того же типа для. состояний покоя пространственно неограниченной самогравитирующей идеальной сжимаемой среды, построен пример. В потенциальную энергию П здесь включается внутренняя энергия жидкости.

В §3 дана априорная оценка роста возмущений в силу соотношений точной задачи. Рассмотрена самогравитирующая идеальная сжимаемая среда, заполняющая все пространство. Предполагается, что в равновесии среда однородна по плотности, покоится; гравитация отсутствует. Изучаются только потенциальные движения среды. По условию существуют возмущения, уменьшающие потенциальную энергию П системы. Для получения оценки снизу растущих возмущений функционал Ляпунова взят в форме

У = Хрфйх

где р = р(х, г) - плотность, <р = (р(х, "Ь) - потенциал скорости. Эвристической основой при выборе функционала № послужили гамиль-тонова формулировка теоремы о неустойчивости конечномерных меха-

нических систем (Н.Г.Четаев, 1938) и известный способ введения канонических переменных в гидродинамику (Х.Бейтман, 1932; Б.И.Давыдов, 1949). Функционал W в линейном приближении совпадает с вириалом М . Вириальное равенство для данной нелинейной задачи

выглядит так

•

W = - 2Е + ЗК + X

где Е = const и К > 0 - полная и кинетическая энергия системы; X представляет собой достаточно сложное выражение, возникающее при дифференцировании функционала W по времени в силу соотношений точной задачи. Выбор начальных данных с К(0) = О, П(0) < 0 приводит к окончательной оценке

Г 2 2л -*

/[р + фJdx > 4|П(0)|t, 1 < 7 ^ 2 %

согласно которой квадраты возмущений плотности и/или потенциала нарастают со временем линейно (7 - показатель адиабаты). Главной трудностью при получении оценки является приведение выражения X к знакопостоянной форме. Важно, что предположения о малости возмущений не накладывалось, т.е. при условии существования решения оценка справедлива как для малых, так и для конечных возмущений.

В главе III изучается аналогия между уравнениями длинных волн, описывающими волновые движения на поверхности завихренной жидкости в приближении "мелкой воды" (уравнения Бенни), и уравнениями движения бесстолкновительной плазмы в самосогласованном электростатическом поле (уравнения Власова-Пуассона). В четырех параграфах этой главы выясняются характерные особенности аналогии, с ее помощью прямым методом Ляпунова определяется достаточное условие линейной устойчивости плоских стационарных течений идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей в приближении вихревой "межой воды", полученный результат сравнивается с известными результатами других авторов.

В §1 приведены общие уравнения Власова-Пуассона и уравнения Бенни, дано обоснование необходимости изучения аналогии между этими уравнениями, сформулирована цель предстоящего исследования.

В §2 рассматриваются плоские волновые движения на поверхнос-

ти завихренной идеальной несжимаемой жидкости в приближении "мелкой воды". При помощи двух последовательных замен переменных (В.Е.Захаров, 1980) точные уравнения Бенни, описывающие такие движения, приводятся к виду, похожему на кинетические уравнения движения бесстолкновительной плазмы в самосогласованном электростатическом поле. Математической эквивалентности между преобразованными уравнениями Бенни и уравнениями Власова-Пуассона нет, поскольку они отличаются друг от друга уравнениями, связывающими потенциал силового поля с функцией распределения. В связи с этим преобразованные уравнения Бенни называют уравнениями типа Власова-Пуассона .

В §3 сформулирован энергетический вариационный принцип для стационарных решений системы уравнений типа Власова-Пуассона. Выписан явный вид сохраняющегося со временем функционала И, для которого заданное стационарное решение является стационарной точкой 6й = 0. На вариации "функции распределения" при этом не накладывается никаких условий, кроме необходимой для рассмотрения гладкости. Вычислена вторая вариация б2й, анализ которой выявил класс решений, на которых 62И знакопостоянна. С помощью полученного из б2Н функционала Ляпунова выписан критерий устойчивости в среднеквадратическом для стационарных решений изучаемых уравнений. Этот критерий соответствует достаточному условию линейной устойчивости стационарных решений уравнений движения многокомпонентной неизотропной бесстолкновительной плазмы, полученному Д.Холмом с соавторами (1985), а также более ранним результатам Ньюкомба (1958), Гарднера (1963) и Фаулера (1963). В качестве меры отклонения возмущенного решения от невозмущенного используется вытекающий из 62И интеграл линейной задачи.

В §4 для плоских стационарных течений идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей в приближении вихревой "мелкой воды" исследуется тот же круг вопросов, что и в §3. Найдены интегралы движения для линейных возмущений плоского стационарного течения общего вида. Показано, что класс устойчивых (в энергетическом смысле) течений состоит только из состояний равновесия. Отдельно изучается более узкий класс движений, в котором возмуще-

ния завихренности жидких частиц (лагранжевы возмущения завихренности) равны нулю. Выписан критерий линейной устойчивости в сред-неквадратическом плоских стационарных течений общего вида относительно возмущений из этого класса. Как ив §3, в качестве меры отклонения возмущенного течения от невозмущенного используется интеграл энергии линейной задачи. Аналогичное исследование выполнено для частного класса плоскопараллельных течений. Все представленные в этом параграфе результаты можно рассматривать как обобщения на течения идеальной жидкости со свободной границей в приближении вихревой "межой воды" известных критериев Рэлея (1880), Р.Фьортофта (1950) и В.И.Арнольда (1965).

ВЫВОДЫ.

1. Прямой метод Ляпунова позволяет эффективно получать достаточные условия устойчивости для нескольких классов МГД течений. В качестве функционалов Ляпунова здесь используются интегралы движения (в первую очередь - энергия). Важная часть результатов этого подхода - выявление определений устойчивости, адекватных каждому конкретному классу течений жидкости в магнитном поле.

2. Прямой метод Ляпунова удается использовать для демонстрации неустойчивости состояний равновесия (покоя) жидкости и плазмы (обратная теорема Лагранжа). Главным элементом функционала Ляпунова здесь является вириал. Использование только вириальных и энергетических соотношений дает априорные оценки растущих возмущений как сверху, так и снизу.

3. Наиболее трудной проблемой в применении прямого метода Ляпунова к задачам устойчивости жидкости и плазмы является поиск новых функционалов Ляпунова. Плодотворными оказываются эвристические способы построения этих функционалов, основанные на аналогии с механикой конечномерных систем.

4. Основным препятствием на пути получения новых результатов при помощи аналогии Захарова является существенное различие между уравнением Пуассона на потенциал электрического самосогласованного поля и "уравнением состояния" вихревой "мелкой воды". Тем не

менее эта аналогия представляется далеко идущей и полезной.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ИЗЛОЖЕНЫ В РАБОТАХ:

1. Владимиров В.А., Губарев Ю.Г. К нелинейной устойчивости гидродинамических и МГД течений // Всесоюзный семинар по гидродинамической устойчивости и турбулентности: Тезисы докладов / ИТФ СО АН СССР, Новосибирск. - 1989. - С. 132-133.

2. Губарев Ю.Г. К нелинейной устойчивости гидродинамических и МГД течений // Материалы ХХУШ Всесоюзной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Физика: Сб. докладов / НГУ, Новосибирск. - 1990.' - С. 85-91.

3. Губарев Ю.Г. К обращению теоремы Лагранжа в магнитной гидродинамике // Прикл. математика и механика. -1990. -Т.54, вып.6. -С. 988-991.

4. Губарев Ю.Г., Ильин К.И. О критериях неустойчивости в гидродинамике // УН Всесоюз. съезд по теор. и прикл. механике, Москва, 1991: Аннот. докл. - Москва, 1991. - С. 120-121.

Подписано к печати 29.12.92 г. Формат 60 х 84, 1/16 Заказ № 1.

Объем 1 п.л. Тираж 100 экз.

Ротапринт Института гидродинамики СО РАН,

630090, Новосибирск 90, просп. акад. Лаврентьева, 15.