Применение симплектических методов в задачах небесной механики тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Обзор симплектических методов.

Глава 2. Неконсервативные эффекты методов численного интегрирования.

2.1. Введение.

2.2. Постановка задачи.

2.3. Описание примеров.

Глава 3. Изучение фазового портрета возмущенной гамильтоновой системы, полученной симплектическим методом.

Глава 4. Полиномиальная аппроксимация симплектических отображений.

Глава 5. Применение симплектических методов в ограниченной задаче трех тел и задаче п-тел.

Диссертация посвящена методам симплектического интегрирования уравнений движения гамильтоновых динамических систем и применению этих методов в задачах небесной механики.

Моделирование гамильтоновых динамических систем является актуальной задачей как в астрономии так и в других областях науки. Как правило, для моделирования используется тот или иной численный метод, который позволяет интегрировать уравнения движения гамильтоновой системы. Любое моделирование является приближенным решением системы, поэтому выбор метода играет важную роль при построении модели. Кроме того, при построении моделей гамильтоновых систем необходимо помнить о свойствах этих систем — условии симплектичности и сохранении фазового объема, поскольку сохранение этих свойств существенным образом сказывается на фазовом портрете рассматриваемой системы.

Недостатком традиционных численных методов, таких как методы Рунге-Кутты, Рунге-Кутты-Нестрема, Булирша-Штера и др. с помощью которых обычно решаются задачи построения моделей гамильтоновых систем, является нарушение симплектической структуры и свойства сохранения фазового объема гамильтоновых систем в процессе моделирования. Это может привести к полному искажению качественной картины эволюции построенной модели. Поэтому для задач, связанных с интегрированием на очень большие интервалы времени, используются симплектиче-ские методы. Эти методы сохраняют каноничность преобразования координат и импульсов на каждом шаге интегрирования.

На сегодняшний день симплектические методы получили широкое развитие. Эти методы можно разбить на три основных класса: 1) явные схемы симплектических интеграторов типа Иоши-ды; 2) неявные схемы симплектических интеграторов типа Рунге-Кутты и Рунге-Кутты-Нестрема; 3) симплектические отображения.

В связи с развитием компьютерной техники возрос интерес к моделированию эволюции объектов Солнечной системы на миллиарды лет. В рамках задач небесной механики моделируются картины эволюции орбит малых тел, больших планет, изучаются области регулярного движения и хаоса. Для построения таких моделей наиболее часто используется метод симплектических отображений, предложенный Висдомом. Однако данный метод и все его модификации являются методами осреднения уравнений движения. В диссертационной работе рассматриваются симплек-тические интеграторы явного вида типа Иошиды и возможность их использования в задачах небесной механики.

Целью работы являются: изучение влияния неконсервативных эффектов, вносимых несимплектическими методами интегрирования в модель фазового портрета системы; изучение топологии фазового портрета системы, полученной симплектическими методами; изучение полиномиальной аппроксимации симплектических отображений; применение симплектического метода типа Иошиды для изучения эволюции больших планет и астероидов.

Научная новизна работы состоит в следующем.

1. Получена методика, которая позволяет выявлять неконсервативные эффекты в модели фазового портрета системы, построенного несимплектическими методами моделирования.

2. Предложен метод для анализа топологии фазового портрета системы, полученной симплектическим методом.

3. Найден класс отображений, для которых можно построить полиномиальную симплектическую аппроксимацию.

4. С помощью интегратора Иошиды, реализованного для задачи го-тел и ограниченной задачи трех тел, получена картина эволюции больших планет и астероида Хирон.

Практическая ценность работы состоит в том, что предложенные методы могут применяться для контроля за поведением системы в процессе моделирования численными методами для широкого класса гамильтоновых систем.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих научных конференциях:

1. Всероссийское совещание (с международным участием) "Ком пьютерные методы небесной механики", С.-Петербург, Ноябрь, 1992;

2. Международная конференция "Современные проблемы теоретической астрономии", С.-Петербург, Июнь, 1994;

3. Международное рабочее совещание "Новые компьютерные технологии в системах управления", Переславль-Залесский, Июль, 1994;

4. Научная конференция "Стохастические методы и эксперименты в небесной механике", Архангельск, Июнь, 1995;

5. Международное рабочее совещание "Новые компьютерные технологии в системах управления", Переславль-Залесский, Август, 1995;

6. Всероссийская конференция с международным участием "Компьютерные методы небесной механики — 95", С.-Петербург, Октябрь, 1995;

7. Всероссийская конференция с международным участием " Проблемы небесной механики", С.-Петербург, Июнь, 1997;

8. Международное рабочее совещание "Новые компьютерные технологии в системах управления", Переславль-Залесский, Июль-Август, 1996;

9. Симпозиум по алгебраическим дифференциальным уравнениям "Алгебраические и численные аспекты", Б.А.Е. 97, Гренобль, Май, 1997.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 12 работах.

Вкладом автора в работы, выполненные в соавторстве, является:

3, 4, 77, 78, 125] — реализация методики изучения неконсервативных эффектов с помощью средств компьютерной алгебры. Применение полученной методики к гамильтоновым системам маятника и Энона-Хейлеса.

38, 126-128, 130] — построение аналога интеграла Густавсона для возмущенной системы Энона-Хейлеса, топологическое сравнение фазовых портретов системы Энона-Хейлеса и модели, полученной симплектическим методом.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Она изложена на 101 странице, содержит 1 таблицу и 34 рисунка. Список литературы включает 131 библиографическую ссылку.

Заключение

В настоящей работе рассмотрены явные симплектические методы численного интегрирования гамильтоновых систем. Представлен метод, позволяющий аналитически определять неконсервативные эффекты, которые появляются в модели в результате построения ее несимплектическими методами. На примерах системы маятника и системы Энона—Хейлеса показано появление таких эффектов.

Также проведено изучение топологии фазового портрета модели гамильтоновой системы Энона-Хейлеса, полученной симплек-тическим методом.

Рассмотрена возможность использования симплектического интегратора явного вида типа Йошиды для задач небесной механики: ограниченной задачи трех тел и задачи п-тел. Для астероида Юнона проведено сравнение элементов орбиты и интеграла энергии, полученных симплектическим интегратором и интегратором Рунге-Кутты. В рамках задачи п-тел получена эволюция орбит больших планет Солнечной системы: Венеры, Земли, Марса, Юпитера, Сатурна, Урана, Нептуна и Плутона и астероида Хирон на 100 тысяч лет и 16 тысяч лет соответственно.

В работе получены следующие основные результаты, выносимые на защиту:

1. Предложена методика, позволяющая анализировать неконсервативные эффекты, вносимые численными методами при интегрировании уравнений движения гамильтоновых систем.

2. На основе данной методики показаны глобальные изменения фазового портрета систем при использовании численных методов на больших промежутках времени.

3. Предложен метод для изучения влияния симплектического метода Иошиды на фазовый портрет гамильтоновых систем.

4. Предложен метод полиномиальной аппроксимации для отображений сдвига вдоль траекторий гамильтоновых систем.

5. Реализованы симплектические интеграторы Иошиды для типовых задач небесной механики: задачи п-тел и ограниченной задачи трех тел.

6. Построена эволюция орбит больших планет на интервале времени 100 тыс. лет и астероида Хирон на интервале времени 16 тыс. лет.

Автор выражает благодарность научным руководителям В.А. Брумбергу и Н.Н.Васильеву.

1. Candy J. and Rozmus W. A symplectic integration algorithm for separable Hamiltonian functions. J. of Сотр. Phys., v.92, 230-256, 1991.

2. Okunbor D. Canonical methods for Hamiltonian systems: nemerical experiments. Physica D. v.60, 314-322, 1992.

3. Васильев H. H., Сушко H. А. О неконсервативных эффектах численного моделирования гамильтоновых динамических систем. — Препринт ИТА РАН, 44 1995.

4. Васильев Н. Н., Сушко Н. А. Интегрирование динамических систем симплектическими и несимплектическими методами. Тезисы докладов международной конференции "Современные проблемы теоретической астрономии", СПб, ИТА РАН, том 1, 1994.

5. Ruth R.D. A canonical integration technique. IEEE Trans. Nucl. Sci., 30, 2669-2671, 1983.

6. E. Forest and R.D. Ruth. Fourth order symplectic integration. Physica D, v.43, 105-117, 1990.

7. F. Neri. Lie algebras and canonical integration. Preprint Dept. of Physics Univ. of Maryland, 1988.

8. Г.Е.О.Джакалья. Методы теории возмущений для нелинейных систем. Наука, Москва. 1979.

9. Hori С. Theory of general perturbations with unspecified canonical variables. J.Japan.Asron.Soc., v.18, 4, 287-296, 1966.

10. Deprit A. Canonical transformations depending on a small parametr. Celest. Mech., v.l, 1, 12-30, 1969.

11. Yoshida H. Construction of higher order symplectic integrators. — Phys. Lett. A, v.150, 262-268, 1990.

12. Yoshida H. Recent progress in the theory and application of symplectic integrators. — Celest. Mech. and Dyn. Astr., v.56, 29-43, 1993.

13. M. Suzuki General theory of higher-order decompositions of exponential operators and symplectic. integrators, Physics Letters A, 165, 387-395, 1992.

14. Feng K. and Qin M.Z. Hamiltonian algorithms for Hamiltonian systems and a comparative numerical study. Comput. Phvs. Comm., v.65, 173-187, 1991.

15. Channell P.J. and Scovel J.C. Symplectic integration of Hamiltonian systems. Nonlinearity 3, 231-259, 1990.

16. Сурис Ю. Б. Гамильтоновы методы типа Рунге-Кутты и их вариационная трактовка. Матем. моделирование, т.2 , N 4, 1990.

17. Sanz-Serna J.M., Symplectic Runge-Kutta and related methods: recent results. Phys.D, v.60, 275, 1992

18. Abia L and Sanz-Serna J. M. Partitioned Runge-Kutta methods for separable Hamiltonian problems, Math. Сотр., 60, 617-634, 1993.19. .J.M. Sanz-Serna Symplectic integrators for Hamiltonian problems: An overview, Acta Numerica, 1, 243-286, 1992.

19. M. P. Calvo, A. Iserles, and A. Zanna Runge-Kutta methods on manifolds, Technical Report DAMPT 1995/NA7, University of Cambridge, 1995.

20. M.P. Calvo and E. Hairer Accurate Long-Term Integration of Dynamical Systems, Numer. Math., 18, 95-105, 1995.

21. M.P. Calvo and J.M. Sanz-Serna Variable steps for symplectic integrators, In D.F. Griffiths and G.A. Watson, editors, Numerical Analysis, 1991, pages 34-48. Longman, London, 1992.

22. M.P. Calvo and J.M. Sanz-Serna The development of variable-step symplectic integrators with application to the two-body problem, SIAM J. Sci. Comput., 14:936-952, 1993.

23. Y. B. Suns. On the Bi-Hamiltonian structure of Toda and relativistic Toda lattices, Physics Letters A, 180, 419-429, 1993.

24. Y. B. Suris Partitioned Runge-Kutta methods a phase volume preserving integrators, Physics Letters A, 220, 63-69, 1996.

25. D. Okunbor and R.D. Skeel Explicit canonical methods for Hamil-tonian systems, Math. Сотр., 59, 439-455, 1992.

26. D. Okunbor and R.D. Skeel Canonical Runge-Kutta-Nystrem Methods of Orders 5 and 6, J. Comput. Appl. Math, 51(3), 375-382, 1994.

27. Ch. Tsitouras A Tenth order symplectic Runge-Kutta-Nystrom method, Celest. Mech. and Dyn. Astr., v.74/4, 223-230, 1999.

28. Переломов A. M. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. М.: Наука, 1990.

29. Z. Ge and J. Marsden Lie-Poisson integrators and Lie-Poisson Hamiltonian-.Jacobi theory, Physics Letters A, 133, 134-139, 1988.

30. McLachlan R. I. Explisit Li-Poisson integration and the Euler equations. — Phys. Review Lett., 71, 3043-3046, 1993.

31. Dragt A. J. and Abell D. T. Symplectic Maps and Computation of Orbits in Particle Accelerators.//Fields Institute Communication, v. 10, 59-85, 1996.

32. K. Umeno and M. Suzuki Symplectic and intermittent behaviour of Hamiltonian flow, Physics Letters A, 181, 387-392, 1993.

33. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. M: Наука, 1972.

34. Henrard J. and Morbidelli A. Slow crossing of a stochastic layer. — Physica D, v.68, 187-200, 1993.

35. Liao X. and Liu L. Existence of formal integrals of symplectic integrators. Celest. Mech. and Dyn. Astr., v.63, 113-123, 1995/1996.

36. Kinoshita H., Yoshida H. and Nakai H. Symplectic integrators and their applications to dynamical astronomy. — Celest. Mech. and Dyn. Astr., v.50, 59-71, 1991.

37. Васильев H.H., Сушко H.А. Построение формального интеграла для симплектической аппроксимации гамильтониана Энона-Хейлеса. Препринт ИТА РАН, 65, 1997.

38. В. Gladman, M. Duncan, and J. Candy Symplectic integrators for long-term integration in celestial mechanics, Celest. Mech., 52, 221240, 1991.

39. Wisdom J. Chaotic behavior and the origin of the 3/1 Kirkwood Gap. Icarus, 56, 51-74, 1983.

40. Wisdom J. and Holman M. Symplectic maps for the N-body problem. AJ, v.102, 1528-1538, 1991.

41. Holman M.J. and Wisdom J. Dynamical stability in the outer solar system and the delivery of short period comets. Astronomical J., v.105, 1987-1999, 1993.

42. Mikkola S. Practical symplectic methods with time transformation for the few-body problem. Celest. Mech. and Dyn. Astr., v.67, 145165, 1997.

43. Mikkola S. Explisit symplectic algorithms for time-transformed Hamiltonians. Celest. Mech. and Dyn. Astr., v.74/4, 287-295, 1999.

44. Mikkola S. Efficient symplectic integration of satellite orbits. Celest. Mech. and Dyn. Astr., v.74/4, 275-285, 1999.

45. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1989.

46. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973.

47. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Том 3, Москва, 1985.

48. В. V. Chirikov. A universal instability of many-dimensional oscillator systems. Phisics Reports, v. 52, 263-379, 1979.

49. Henon M., Heiles C. The applicability of the third integral of motion: some numerical experiments. — Astronomical .J., v.69, 73-79, 1964.

50. V. F. Edneral. Computer generation of normalizing transformation for systems of nonlinear ODE. Proceedings of the 1993 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation. Kiev, Ukraine, July 6-8, 1993, 14-19.

51. Gustavson F. G. On Constructing Formal Integrals of a Hamiltonian System Near an Equilibrium Point. — A.J, v.71, 670-686, 1966.

52. Зиглин С. JI. Ветвление решений и несуществование первых интегралов в гамильтоновой механике II. — Функциональный анализ и его приложения, т. 17, 1, 8-23, 1983.

53. Сокольский А. Г., Шевченко И. И. Нелинейная нормализация автономных гамильтоновых систем на ЭВМ в аналитическом виде. — Препринт ИТА АН СССР, 8, 1990.

54. Сокольский А. Г., Шевченко И. И. О нормализации автономных гамильтоновых систем на ЭВМ в аналитическом виде. — Препринт ИТА АН СССР, 14, 1991.

55. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М:Высшая школа, 1991.

56. Laskar J. Large scale chaos and marginal stability in the solar system. Celest. Mech. and Dyn. Astr., v.64, 115-162, 1996.

57. Saha P. and Tremaine S. Symplectic integrators for Solar System dynamics. AJ, v.104, 1633-1640, 1992.

58. Duncan M., Quinn Т., Tremain S. The long-term evolution of orbits in the solar sistem. Icarus 82, 402-418, 1989.

59. Quinn Т., Tremaine S., Duncan M. A three million year integration of the Earth's orbit. Astron. J. 101, 2287-2305, 1991.

60. Laskar J. The chaotic motion of the solar system. A numerical estimate of the size of the chaotic zones. Icarus 88, 266—291, 1990

61. Laskar J. Large scale chaos in the solar system. Astron Astrophys. 287, 9-12, 1994.

62. Sussman G., Wisdon J. Numerical evidence that the motion of Pluto is chaotic. Science. 241, 433-437, 1988.

63. Wisdom J., Chaotic dynamics in the solar system. Icarus, 71, 241275, 1987.

64. Wisdom J., Peale S.J., Mignard F. The chaotic rotation of Hyperion. Icarus 58, 137-152, 1984.

65. Renu Malhotra. A mapping method for the gravitational few-body problem with dissipation. Celest. Mech., v.60, 3, 373-385, 1994.

66. Васильев H.H. Симплектическое интегрирование ограниче-ной задачи трех тел. Тезисы Всероссийской конференции с международным участием "Компьютерные методы небесной механики 95", Санкт-Петербург, 1995, 60-61.

67. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. Наука, 1968.

68. Scholl H. History and evolution of Chiron's orbit. Icarus, 40, 345-349, 1979.

69. Oikawa S., Everhart E. Past and future orbit of 1977 UB, object Chiron. Asron. J., v. 84, 134-139, 1979.

70. Petrosky T.Y., Broucke R. Area-preserving mappings and deterministic chaos for nearly paraboli motions. Celest. Mech., v.42, 53-79, 1988.

71. Froeshle C. and Petit J. M. Polinomial approximation of Poincare maps for Hamiltonian systems. Astron. and Astrophis., v. 238, 413423, 1990.

72. Petit J. M. and Froeshle C. Polinomial approximation of Poincare maps for Hamiltonian systems. II Astron. and Astrophis., v. 282, 291-303, 1993.

73. Froeshle C. and Lega E. Polinomial approximation of Poincare maps for Hamiltonian systems. Earth, Moon, and Planets, 72, 51-56, 1996.

74. Dragt A. J. and Abell D. T. Symplectic Maps and Computation of Orbits in Particle Accelerators. Fields Institute Communication, v. 10, 59-85, 1996.

75. Abell D. T. Analytic properties and Cremona approximation of transfer maps for Hamiltonian systems. Ph.D., University of Maryland Physics Department, 1995.

76. Васильев H. H., Павлова H. А. Точные симплектические методы моделирования динамических систем. Тезисы докладов Всероссийского совещания "Компьютерные методы небесной механики". СПб, ИТА РАН, 1992.

77. S. P. Auerbach and A. Friedman. Long-time behavior of numerically computed orbits: Small and intermediate timestep analysis of one-dimensional systems, J. of Comp. Phys., 93, 189-223, 1991.

78. S. Benzel, Ge Zhong, and C. Scovel. Elementary construction of higher order Lie-Poisson integrators, Physics Letters A, 174, 229-232, 1993.

79. J. Candy and W. Rozmus A symplectic integration algorithm for separable Hamiltonian functions, J. of Comp. Phys., 92, 230-256, 1991.

80. A.J. Dragt and J.M. Finn: Lie series and invariant functions for analytic symplectic maps, J. Nath. Phys., 17:2215-2227, 1976.

81. A.J. Dragt and E. Forest Computation of Nonlinear Behavior of Hamiltonian Systems using Lie Algebraic Methods, J. of Math. Phys., 24(12), 2734-2744, 1983.

82. K. Feng: Difference schemes for Hamiltonian formalism and symplectic geometry, J. Comput. Math., 4, 279-289, 1986.

83. K. Feng and M.Z. Qin: Hamiltonian algorithms for Hamiltonian systems and a comparative numerical study, Comput. Phys. Comm., 65, 173-187, 1991.

84. K. Feng and D.L. Wang: Symplectic Difference Schemes for Hamiltonian Systems in General Symplectic Structure, J. Comput. Math., 9(1), 86-96, 1991.

85. K.Q. Feng, H.M. Wu, and M.Z. Qin: Symplectic Difference Schemes for Linear Hamiltonian Canonical Systems, J. Comput. Math., 8(4), 371-380, 1990.

86. E. Forest Sixth-order Lie group integrators, J. of Comp. Phys., 99, 209-213, 1992.

87. E. Forest, J. Bengtsson, and M.F. Reusch: Application of the Yoshida-Ruth Techniques to Implicit Integration and Multi-Map Explicit Integration, Physics Letters A, 158, 99-101, 1991.

88. Z. Ge Symplectic integrators for Hamiltonian systems, In W. Cai et al., editor, Numerical Methods in Applied Sciences, pages 97-108, New York, 1995. Science Press.

89. Z. Ge and K. Feng On the Approximation of Linear Hamiltonian Systems, J. Comput. Math., 6(1), 88-97, 1988.

90. I. Gladwell, G. Reddien, and J. Wang Energy super convergence of one-step methods for separable Hamiltonian systems, Physics Letters A, 209, 31-38, 1995.

91. B.M. Herbst and M.J. Ablowitz Numerical chaos, symplectic integrators and exponentially small splitting distances, J. of Comp. Phys., 105, 122-132, 1993.

92. F. Kang and Z.J. Shang. Volume-Preserving Algorithms for Source-Free Dynamical Systems, Numer. Math., 75(4), 451-463, 1995.

93. B. Leimkuhler and S. Reich. Symplectic Integration of Constrained Hamiltonian Systems, Math. Comp., 63(208), 589-606, 1994.

94. B. Leimkuhler and R.D. Skeel. Symplectic numerical integrators in constrained Hamiltonian systems, J. of Comp. Phys., 112, 117-125, 1994.

95. H. R. Lewis, J. W. Bates, and J. M. Finn. Time-Dependent Perturbation Theory for Construction of Invariants of Hamiltonian Systems, Physics Letters A, 215, 160-166, 1996.

96. C.W. Li and M.Z. Qin. A symplectic difference scheme for the infinite dimensional Hamiltonian system, J. Comput. Appl. Math, 6, 164174, 1988.

97. X. Lu and R. Schmid. A Symplectic Algorithm for Wave Equations, Mathematics and Computers in Simultation, 43, 29-38, 1997.

98. R. McLachlan and C. Scovel. Equivariant constrained symplectic integration. Technical Report LA-UR-93-3225, Los Alamos National Lab., New Mexico, USA, 1993.

99. R. I. McLachlan: Symplectic integration of Hamiltonian wave equations, Numer. Math., 66, 465-492, 1994.

100. R. I. McLachlan and P. Atela. The accuracy of symplectic integrators, Nonlinearity, 5, 541-562, 1992.

101. Y. Nutku: Hamiltonian structure of the Lotka-Volterra equations, Physics Letters A, 145, 27-28, 1990.

102. D. Okunbor. Variable step size does not harm second-order integrators for Hamiltonian systems, J. Comput. Appl. Math, 47, 273-279, 1993.

103. E. I. Okunbor. Energy Conserving, Liouville, and Symplectic Integrators, J. of Comp. Phys., 120(2), 375-378, 1995.

104. M. Puta. Hamiltonian Mechanical Systems and Geometric Quantization, Kluwer, 1993.

105. M.Z. Qin, D.L. Wang, and M.Q. Zhang. Explicit Symplectic Difference Schemes for Separable Hamiltonian Systems, J. Comput. Math., 9(3), 211-221, 1991.

106. M. Z. Qin and W.J. Zhu. Construction of higher order symplectic schemes by composition, Computing, 47, 309-321, 1992.

107. G.D. Quinlan and S. Tremaine. Symmetric multistep methods for the numerical integration of planetary orbits, Astron. J., 100, 16941700, 1990.

108. G. R. W. Quispiel. Volume-preserving integrators, Physics Letters A, 206, 26-30, 1995.

109. S. Reich. Momentum conserving symplectic integrators, Physica D, 76, 375-383, 1994.

110. S. Reich. Torsions Dynamics of Molecular Dynamics, Physical Review E, 53, 4876-4881, 1996.

111. M. Shimada and H. Yoshida. Long-term conservation of adiabatic invariants by using symplectic integrators, Publ. Astron. Soc. Japan, 48, 147-155, 1996.

112. R. D. Skeel and C. W. Gear Does variable step-size ruin a symplectic integrator?, Physica D, 60, 311-313, 1992.

113. D. Stoffer. On the Qualitative Behaviour of Symplectic Integrators Part I: Perturbed Linear Systems, Numer. Math., 77(4), 535-548, 1997.

114. Sun Geng. Construction of high order symplectic Runge-Kutta methods, J. Comput. Math., 11, 250-260, 1993.

115. M. Suzuki. General theory of fractal path integrals with applications to many-body theories and statistical physics, J. of Math. Phys., 32, 400-407, 1991.

116. M. Suzuki. Convergence of General Decompositions of Exponential Operators, Communications in Mathematical Physics, 163, 491-508, 1994.

117. M. Suzuki. Quantum Monte-Carlo Methods and General Decomposition Theory of Exponential Operators and Symplectic Integrators, Physica A, 205, 65-79, 1994.

118. J. Waldvogel. Symplectic Integrators for Hill's Lunar Problem, Technical Report Research Report No. 96-10, Seminar fur Angewandte Mathematik, ETH, Zurich, 1996.

119. L. Wang-Yao: On how to solve implicit symplectic schemes, J. Num. Method and Сотр. Appl., 15, 59-62, 1994.

120. F. Zhang. Energy corrections in Hamiltonian dynamics simulations, Comput,. Phys. Comm., 99, 53-58, 1996. .

121. M.Q. Zhang and M.Z. Qin. A Note on Convergence of Symplectic Schemes, J. Comput. Math., 9(1), 1-4, 1991.

122. G. Zhong and J.E. Marsden. Lie-Poisson Hamilton-Jacobi theory and Lie-Poisson integrators, Physics Letters A, 133, 134-139, 1988.

123. Sushko N., Vasiliev N. Comparison quolities of the phase portraits of Hamiltonian sysytems and its symplectic approximations. Proceedings of the International Workshop "New computer technologies in control sysytems", Pereslavl-Zalessky, 1995.

124. Васильев H.H., Сушко H.A. Построение формального интеграла для симплектической аппроксимации гамильтониана Энона-Хейлеса. Тезисы всероссийской конференции с международным участием "Компьютерные метод небесной механики — 95", СПб, 1995.