Применение теоремы В.И. Зубова в определении функции распределения среднесуточных температур тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ИВАНОВ АНАТОЛИЙ ИВАНОВИЧ УДК 519.213

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕШ В.Я.ЗУБОВА В ОПРЕДЕЛЕНИИ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СРЕДНЕСУТОЧНЫХ ТЕМПЕРАТУР

Специальности:

01.01.09 - математическая кибернетика и

05.13.16 - применение вычислительной техник!, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (в отрасли физико-математических наук)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1990

- г -

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Мордовского государственного университета

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор технических наук, профессор А.Ф.ЗУБОВА ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физ-иат наук, прафеосор Г.С.ОСИПЕНКО

доктор технических наук, профессор В.И.ЧЕРНЕЦКИЙ

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Балтийский госудЕрствзнный технический университет ¡шэни Д.О.Устинова

Защита состоится " <£5 " ИЮИ9_1936 г.

в " " часов на заседании диссертационного совета К-063.57.16 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: г. Санкт-Петербург, В.О., 10-я линия, 33

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СШ5ГУ имени А.М.Горького по адресу: г.Санкт-Петербург, Университетская наб. 7/9

Автореферат разослан "20" ллО Я) 1996 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К-063.57.16,

доктор физико-математических наук, профессор В.Ф.Горьковой

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время все большее значение в науке и технике приобретает вопросы обработки результатов наблюдении, полученных при замерах различных параметров исследуешх сиотем. Работы такого рода происходят на стыке самых различных областей науки и техники с математическими методами обработки результатов наблюдений и использования современной вычислительной техники. Особенностью такого рода исследований является то, что они ведутся на основе изучения статистической информации о процессах и явлениях. Представляемая работа посвящена исследовании ср&д-нэсуточшх температур приз-экного слоя окружавшего воздуха в Санкт-Петербурге за 101 год статистических данных, которые взяты из архивов Санкт-Петербургского Государственного гидрометеорологического института. На формирование среднесуточной температуры оказывает влияние множество известных и неизвестных факторов природы. Поэтому, математический аппарат такого рода исследования мояет быть использован при замене базы исходных данных и для статистической обработки не только среднесуточных температур. Реализовать принципиально новый подход в такого рода расчетах позволяет основная теорема математической статистики Владимира Ивановича Зубова.

Дедь и задачи исследования

1. Цель работы соотоит в безошибочном введении в компьютер для возможностей применения современной вычислительной техникой большего количества исходных данных (около 37 ООО значений);

2. проведении предварительной обработки данных известными, хорошо разработанными и наиболее часто применяемыми в подобного рода исследованиях приемами математической статистики;

3. разработке практических алгоритмов построения функций распределения В.И.Зубова и их использования;

4. постановке задач и разработка шсорнтша обработки результатов наблюдений применением основной теоремы математической статистики В.И.Зубова;

5. отыскании наиболее удобных приемов обработки данных по основной теореме математической статистики;

6. на основе конкретного примера - среднесуточных температур показать некоторые возможности применении математического аппарата теореш В.И.Зубова.

Общая методика иооледоваиия

Работа опирается на основы метеорологии, теплофизики атмосферы, многолетний исторический материал метеорологических наблюдений, включая Древнерусские летописи, современный аппарат математической статистики и самые последние ее дос-

- б -

тижения в виде основной теоремы математической статистики В. И-Зубова.

Научная новизна

1. В диссертации впервые введена в персональный компьптер бага данных среднесуточных температур за период в 101 год для Санкт-Петербурга. До этого в современной метеорологии расчет производился на основании 30-50 летних наблюдений.

2. На основании большего числа статистических данных произведен расчет среднесуточных и среднегодовых температур приземного слоя окруяздэго воздуха в Санкт-Петербурге.

3. Разработан простой авгораты построения принципиально нового вида функций распределения в виде смеси нормальных законов, вытекащих из основной теоремы математической статистики В.И.Зубова.

4. Получены некоторые теоремы-следствия из основной теоремы, значительно облегчающе как построение самих функций В.И.Зубова, так и исследования их свойств.

5. Показана неединственность существования построенного вида функций распределения В.И.Зубова.

5. Найден алгоритм уточнения построения функции распределения В.И.Зубова, повышающих точность производимых расчетов.

7. Обнаружен новый вид дисперсии, названный для удобства смесевой дисперсией или г-дисперсией, давщий дополнительные характеристики исследуемой непрерывной случайной величины.

8. На конкретных примерах найден и дан общий алгоритм построения функций распределения В.И.Зубова для непрерывных

- В -

случайных величии. Приведены приме!» построения функций распределения В.И.Зубова для среднесуточных и среднегодовых температур приземного слоя окружапщего воздуха в СПб.

9. Выдвинута гипотеза незначительного (в пределах десятых долей градуса Цельсия) потепления среднегодовых температур окружапщего воздуха в СПб в ближайшие десятилетия на основании произведенных расчетов.

10. На основании произведенных исследований основной теоремы математической статистики выдвинуты конкретные направления дальнейших исследований уме ведущихся, но не вошедших в текст диссертации.

Практическая и теоретическая ценность. Найденныэ азго-рихш построения функций распределения В.И.Зубова и использования основной теореаш математической статистики позволяют по набору измеренных значений любой непрерывной случайной величины построить более точно, чем это делалось в математической статистике раньше, функции распределения исследуемой непрерывной случайной величины. Это дает возможность более точно оценить поведение последней. С помощью найденных алгоритмов можно изучать некоторые новые свойотва ксоледуеьих величин и процессов. Получена практическая возможность расширения и увеличения возможностей исследовательского аппарата современной математической статистики.

Результаты, полученные в диссертации, возможно использовать в учебном процессе обучения студентов и специалистов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладыва-

шсь на:

1. Кондратьевской международной конференции (1995 г., Санкт-Петербург);

2. научной конференции факультета прикладной математики -процессов управления СПб roo. университета (1995 г., Санкт-Петербург);

3. семинаре кафедры дифференциальных уравнении Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарева (199Б г., Саранск);

4. семинаре кафедры теплофизики и мониторинга окружающей среды СПб гос. института точной механики и оптики (1995 г., Санкт-Петербург);

5. научной конференции факультета прикладной математики -процессов управления СПб гос. университета (1996 г., Санкт-Петербург).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в работах £1-131.

Объем и структура работы. Работа состоит из 5 глав, содержащих 20 параграфов, введения и заключения с краткой сводкой результатов исследования. Параграфы 1-3 входят во введение. Библиография включает 105 наименований.

Краткое содержание работы. Во введении, в § 1 рассмотрены некоторые предпосылки исследования, указаны некоторые редкие метеорологические явления, зафиксированные в исторических документах, сформулирована цель исследования, сооб-

щено о работах других исследователей этой области, произведенных под руководство« автора диссертации. В § 2 описаны использованные для исследования средства и аппаратура. Параграф 3 поовящен опиоанию попользованных обозначений. Первая глава носит вводный характер и содержит основные сведения об объекте исследования. Так, в § 4 рассмотрены возможности уже имевшихся раньше подходов к исследованию проблемы климатических колебаний планеты. В § Б изложены некоторые характеристики исследуемой величины и обосновано использование единиц измерения. Даны методики расчетов, по которым в архивах приведены данные среднесуточных температур. В главе 2, S 6 призэден уже ставший традиционным в математической статистике расчет среднегодовой температуры, исходя из законов нориазшЕого распределения, ß § 7 проведена проверка вовшххностн аппроксимации исследуемого ряда среднесуточных температур при помощи законов нормального распределения и на основании расчетов сделан вывод о недостаточной точности такого метода. В § 8 приводится расчет среднегодовых и среднесуточных температур исходя из закона нормального распределения. Результаты расчетов приведены в таблицах й на графике. Расчет сделан для сравнения его результатов с дальнейшими расчетами по основной теореме математической статистики В.И.Зубова. Глава 3 посвящена построение функции распределения температур. Так, в § 9 приводится гистограмма среднесуточных температур приземного слоя окружающего воздуха в Санкт-Петербурге за 101 год (с 1893г. по 1994г.). В § 10, опираясь на опубликованные в Докладах Академии Наук СССР и России исследования В.И.Зубова изложена группа reo-

рем, называемых основной теоремой математической статистики В.И.Зубова. В § 11 даа один из практических алгоритмов построения функции распределения В.И.Зубова и применение этого метода к конкретной задаче. Показывается как используя исследуемый вариационный ряд значений изучаемой случайной величины построить функцию распределения В.И.Зубова,

представлявшую из себя смесь нормальных законов вида х

- Г

ГЪ(х) -Еа^ } (х, а^, <3х , (11.13)

-оо

(г(х) - Ев! (х, аи в^) . (11.14)

(Здесь и далее для удобства распознавания функции В.51.Зубова обозначайся с применением значка "г". Например, Р2(х) -интегральная функция распределения, fz(x) - дифференциальная функция распределения В.И.Зубова)

В формулах (11.13) и (11.14) Рг(х) - интегральная функция распределения и Гг(х) - соответствующая дифференциальная функция распределения В. И. Зубова, а, - математические ожидания,

б^ - соответствующие им среднеквадратические отклонения, с^ - соответствущие им весовые функции В.И.Зубова.

п

причем, Е а, - 1; > 0. м -

х - случайная величина. В данном конкретной случае значения х есть значения величин исследуемого вариационного ряда

среднесуточных температур по многолетним архивным данным. Построенная по формулам (11.13), (11.14) аппроксимирующая функция распределения аппроксимирует функцию распределения исследуемой случайной величины о точностью до е . Вопроо о минимизации значений е рассмотрен дальше. В общем случае е есть любая наперед заданная сколь угодно малая величина.

В главе 4 рассмотрено дальнейшее развитие идей и принципов основной теоремы математической статистики В.И.Зубова. Так, в § 12 приводятся некоторые из подученных а результате исследования теорем-следствий, вытекающих из основной теоремы математической статистики и упровдющк и процесс построения функций распределения В.И.Зубова и исследование свойотв этих функций. Приведено девять теорем-следствий. Условиями для выполнения всех девяти теорем-следствий являются следующие:

пусть XI, ..., хп - ранжированный вариационный ряд значений исследуемой непрерывной случайной величины и его варианты есть ai, ..., ato k < п. Тогда имеют место следующие теоремы.

Геолеиа 1. (О математических ожиданиях)

Математическое ожидание j-ro члена смеси нормальных распределении равно численному значению j-ro варианта ряда.

Георада 2. (О весовых функциях)

Пусть mi, ..., mi - соответствующие веса вариантов, L

причем j^mj - п. Тогда соответствуюпщя весовая функция равна частному от деления веса соответствующего варианта на общее число членов вариационного ряда:

^ - Ш^. . (12.2)

п

Георема з. (О среднеквадратичвских отклонениях)

.Ьое среднеквадратичеокое отклонение равно обратной величине от произведения ;)-ой весовой функции на уЯк:

- _1_ . (12.3)

/ЯГ

Дальше в § 12 дается конкретный пример простого построения функций В.И.Зубова с применением теорем 1, 2, 3.

ТеоШт 4.

^тематическое сшдание функции В. И. Зубова равно сумме произведений З-ой весовой функции на 3-ое математическое оззидакш В.И.Зубова.

а - До, а, . (12.4)

Теорема б.

Суша обратных )~ш среднеквадратическим отклонениям величия равна /2ж\

& - . (12.7)

Л Ь

>1

Георема 6.

Сумма частных от деления д-ых математических ожиданий на 3-ые среднеквадратические отклонения равна произведение» математического ожидания функции В.И.Зубова на

= а Игл".

в*

(12.8)

Геореиа 7.

дифференциальная функция распределения В.И.Зубова равна суше произведений чаотных от деления единицы на произведение з-ых дисперсий на 2я на "е" в степени минус частного от деления квадрата разности случайной величины "х" и ее ;?-го математического ожидания, на удвоенную з-ую дисперсию В.И.Зубова.

Теареаа 8.

Дйфференциальная функция распределения В.И.Зубова равна сумме произведений квадратов з'-ых весовых функций на "е" в степени минус произведение з'-ых дисперсий на "л" и на квадрат разности олучайной величины "х" и ее з'-го математического ожидания.

Георема 9.

дисперсия функции В.К.Зубова равна суше произведении 3~ых весовых функций на соответствующие З-ые дисперсии.

£2(х) - £ а,2 е " Сх - е. Г1 _ (1£< 10)

п „ „

¿«1 - вя2 ,

(12.12)

где б32 - б-дисперсия. Подробнее вопрос о з-дисперсии рассмотрен в 5 14.

В § 13 рассматривается вопрос о моментах распределения функции В.И.Зубова. В 5 13 П. 1 выводится производящая функция для начальных моментов функции В.И.Зубова:

v».

- е V + еа/

пвх(1) - е V + V" . (13.5)

Ы

(Символом шгх(Ь) подчеркивается, что ш имеем производящее функции для функции В.И.Зубова.)

Затем, исходя из теоремы о значениях к-ой производной в нулевой точке

|К

УК - - Шха) , (13.6)

выводится формула для вычисления к-ых начальных моментов распределения В.И.Зубова

. (13.7)

¿»1 ОТ- СП.

Затем, приводятся практические выведенные формулы для вычисления четырех первых начальных моментов распределения В. И. Зубова.

В § 13 П. г выводятся формулы начальных моментов распределения В.И.Зубова исходя из того, что

4-со +-оо

Мк(х) - | х14 ?г(х)(3х I хк М*. а^б^сЬс . (13.12)

-оо .3=1 -оо

В § 13 Я. 2 выводится формула для центрального момента второго порядка функции распределения В.И.Зубова:

Бг(х) (а,2 + б?) - СЕ лл а^)г . (13.20)

В § 14 вводится и определяется новый статистический параметр 5-диоперсия о котором уже было упоминание в Теореме 9 § 12. Согласно § 12

4- сп

б*2 «и I (х - а^Мх.а^б^ск - Е с^ б^ . (14.3)

3-1 -оо

Показывается некоторые свойства 5-дисперсии, в частности,

бг > б/ . (14.8)

Аналогично известному раныге понятна среднеквадратического отклонения вводится понятие э-среднеквадратического отклонения. Дается конкретный пример расчетов а, б и б3 . Показывается, что в некоторых известных раньше функциях распределения, до появления функции распределения В.И.Зубова 5-дисперсия была равна "обычной" дисперсии. Например, в случае нормального распределения.

§ 15 рассматривает вопрос о неединственности представления распределения случайной величины функциями В.И.Зубова. Показывается, что для одного и того же вариационного ряда значении исследуемой случайной величины можно построить не одну аппроксимирующую функцию В.И.Зубова.

В § 16 рассмотрен конкретный пример построения различных видов функции В.И.Зубова для одного и того же вариационного ряда значений исследуемой случайной величины. Пример

п.

дан для ряда среднесуточных температур га 31 ноля за 101 год в Санкт-Петербурге. Построены три различные аналитические выражения - три функции В.И.Зубова. Для наглядности разницы между ними приведены их графики.

S 17 излагает одну из "скрытых возможностей" основной теоремы математической статистики. Простым преобразованием одна из формул основной теоремы

тах | f - ttj Hj| < в . (17.1)

х Е(-оо,+со) преобразуется в критерий согласия

min шх | f - Е dj Nj | » е . (17.2)

С X е(-со,-К»)

по которому аогшо выбрать наиболее подходящую из построенных функций распределения. Т.е. ту, у которой минимизируется значение е и за счет этого достигается более высокая точность приближения. В конце параграфа приводится эмпирическая формула длины интервала разбиения исследуемого вариационного ряда для наилучшего приближения

ь Кyv>ax ** X Win

k " i + з.г^ц • (17'3)

где к - число равных интервалов разбиения для достижения максимальной точности построения функции В.И.Зубова предлагаемым алгоритмом.

Глава 5 рассматривает некоторые практические приложения основной теоремы математической статистики В.И.Зубова к гаг-

дачам современной метеорологии. В § 19, п. 1-6 построены функции распределения среднесуточных температур приземного слоя окружающего воздуха для Санкт-Петербурга, наиболее точно по предлагаемому алгоритму построения аппроксимирующие вариационные ряды за 101 год наблюдений. Доя наглядности построены гистограммы и графики. Аппроксимирующие функции В.И.Зубова даются для пяти календарных дат года. На этих пяти примерах показано, как построить такие функции для любой календарной даты года.

В § 19 приводится основанная на предварительных расчетах с использованием основной теоремы математической статистики гипотеза о незначительном потеплении климата (в пределах десятых долей градуса Цельсия) в Одозаиаие десятилетия в Санкт-Петербурге.

В § 20 рассматривается также гипотеза, основанная на расчетах по основной теореме математической статистики и некоторых теоремах йоге о крайних значениях вариационного ряда. Применяя как и во всякой математической модели ряд допущений показывается, что вариационные ряды среднесуточных температур почти всегда, т.е. с вероятностью, равной единице, ограничены слева и справа.

В заключении перечислены основные результаты работы, вынесенные на защиту.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Показана недостаточная точность используемой в нас-

тоящее время аппроксимации нормальным распределением результатов измерений характеристик некоторых природных процессов. В частности, от среднесуточных до среднегодовых температур приземного слоя окружающего воздуха в Санкт-Петербурге по статистическим данным за 101 последний год.

2. Предложено в качестве функции распределения использовать смесь нормальных законов распределения, вытекающую из основной теоремы математической статистики В. И.Зубова.

3. Разработав один из возможных практических алгоритмов построения функции распределения В.И.Зубова.

4. Получены теорош-сдедствия, вытекающие из построений функции распределения основной теоремы математической статистики.

5. Выведены и использованы практические формулы для вычисления моментов функций В.И.Зубова: а, б, б£.

6. Показана неединственность возможности построения функций распределения В.И.Зубова и дан критерий выбора из построенных функций аппроксимирующей функции наилучшего приближения.

7. Обнаружен новый вид дисперсии - б-дисперсия и показаны формулы для ее вычисления и некоторые ее свойства.

8. Разработан алгоритм получения функции распределения В.И.Зубова среднесуточных температур с наилучшим приближением к исходному набору данных для любой календарной даты года для Санкт-Петербурга. Алгоритм позволяет при замене базы исходных данных получить функцию распределения В. И. Зубова для среднесуточных температур окружающего воздуха в любой точке планеты. При замене базы исходных данных на багу значений любой другой исследуемой непрерывной величины по найденному алгоритму можно легко построить аппроксимирующие функции В.И.Зубова.

9. На основании многолетних данных среднесуточных температур окружающего воздуха в Санкт-Петербурге с использованием основной теорэш математической статистики на основании расчетов выдвинута рабочая гипотеза о предстоящем незначительном потеплении (в пределах десятых долей градуса Цельсия) климата СПб в ближайшие десятилетия.

10. На основании расчетов по теоремам Доге и В.И.Зубова выдвинута гипотеза об ограниченности крайних значений ряда среднесуточных температур.

11. На основании проведенного исследования намечены некоторые перспективы дальнейшего исследования.

Основные результаты работы опубликованы в следующих работах:

1. Иванов А.И. Основная теорема математической статистики В.И.Зубова и ее практические приложения. /Доп. в ВИНИТИ от 12.01.96. M 130 - В 96 /.

2. Иванов А.И. Наборщиков В.Г. Применение основной теоремы математической статистики В.И.Зубова к обработке результатов наблюдений. Ч. 1. /Деп. в ВИНИТИ от 12.01.96. № 130 - В 96 /.

3. Иванов А.И. Наборщиков В.Г. Применение основной теоремы математической статистики В.И.Зубова к обработке результатов наблюдений. Ч. 2. /Деп. в ВИНИТИ от 12.01.96. të 130 - В 96 /.

4. Иванов А.И. Наборзздаэв В.Г. Применение основной теореш математической статистики В.И.Зубова к обработке результатов наблюдений. Ч. 3. /Деп. в ВИНИТИ от 12.01.96. !5 130 - В 96 /.

5. Иванов А.И. Три теоремы-следствия из основной теореш математической статистики В.И.Зубова. /Деп. в ВИНИТИ от 12.01.96. И 130 - В 96 /.

6. Иванов А.И. Центральный стягивавший момент функции распределения. /Деп. в ВИНИЛ! от 12.01.96. )î 130 - В 96 /.

7. Иванов А.И. Овечкина C.B. Прогноз урожая пшеницы в Ленинградской области. /Деп. в ВИНИТИ от 12.01.96. И 130 - В 96 /.

8. Иванов А.И. Овечкина C.B. Холодные зимы в Санкт-Петербурге. /Деп. в ВИНИТИ от 12.01.96. № 130 - В 96 /.

9. Иванов А.И. Овечкина C.B. Холодные зиш июня в Санкт-Петербурге. /Деп. в ВИНИТИ от 12.01.96. >4130 - В 96/. 10. Иванов А.И. Овечкина C.B. Возврат зимних холодов в кон-

це лета в Санкт-Петербурге. /Деп. в ВИНИТИ от 12.01.96. № 130 - В 96 /.

11. Иванов А.И. Овечкина С.В. Мягкие зиш в Санкт-Петербурге. /Деп. в ВИНИТИ от 12.01.96. № 130 - В 96 /.

12. Иванов А.И. Изменение климата планеты. /Деп. в ВИНИТИ от 12.01.96. № 130 - В 96 /.

13. Иванов А.И. Наборщиков В.Г. Агеев И.Л. Обнаружение излучения сигналов неизвестной природы от человека применением основной теоремы математической статистики В.И.Зубова. /Деп. в ВИНИТИ от 12.01.96. М 130 - В 96 /.

Подписано к печати 96 г. Заказ 070. Тираж 100 экз. Объем 1,2 п.л. Печ.-множ. лаб. НИИХСПбГУ. 198904, Санкт-Петербург, Ст.Петергоф, Университетский пр.2.