Применение уравнений макродинамики к исследованию и идентификации одного класса нелинейных систем, изучаемых в химической кинетике тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

институт проблем управления российской академии наук

На праар.х рукописи

АВЕРБУХ Эйнвтв2!и Давидович

применение уравнении иакродинашвси к исследованию и идентификации одного класса нелкнепных систем, изучался в химической кинетике

Специальность 01.01.11 СпстсинЛ анализ и азтоиатячэсхов управяэкие

автореферат диссертация на соисканлз ученой степени кандидата §кзико-катекзтических наук

Уссзга 1993

Работа выполнена в Институте проблей управления Российской Академии Наук.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Л. И. Р030НСЭР

Официальное оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Н. А. Бобылев доктор физшсо-иатематических каук, профессор Г. С. Яблонский

Ведущая организация: Институт системного анализа РАН

Защита состоится "25" иоявря 1933 г. в {Ц час. на

заседании специализированного совета Д002.68.03 Института проблем управления (117805, Москва, ул. Профсоюзная, д. 65).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИЛУ. Автореферат разослан "2.\ " октября 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат технических-наук

С. А. ВЛАСОВ

оетя характеристика рдзота

Лэтуяльнэсть тематики

Теория сбизснсгзнаых дифференциальных уравнений (ОДУ) какродмкамихн изучает ОДУ специфического вида (порождаемые двумя функциями, зависящими от природы и параметров дзиааичэской системы: кинетической функцией и структурной функцией). Эта теория содэргит результаты, которые могут использоваться для качественного анализа уравнений, если они записаны з вида уравнений макродкнамикн.

Одними кз основных свойств кинетической функции, глраптаруввии устойчивость решения уравнений накрод:шакики, являются свойства сбалансированности ш детальной сбалансированности. прэдставляяздае собой некоторую симметрию кинетической функции на определенном многообразии. В различных приложениях теории макродинаиики требование сбалансированности кинетической функции приводит к определенным ограничениям на параметры динамической системы, из которых иояио получит?? критерия устойчивости. Чем больше кзпестио различный кинетических функций, генерирующих одно и то хе уравнение' «акродикакшш. тзи больше различных критериев устойчивости рсзспия данного зрааяения можно получить. Канатдчаскяя функции, хоторке генерируют одно и то яе уравнение накродкпазихи, иаэыггютя эквивалентными. Задача поиска различных преобразований, позволяющих ползать ноеыэ кинетические функция, эквивалентные дайной, имеет не только теоретический интерес, по и представляется актуальной для приложения теории ОДУ макродпиаиики.

Как уже было отмечено, сбалансированность или детальная сбалансированность кинетической функции приводит к ограничения« на параметры динамической системы. Данные ограничения могут быть слишком жесткими для некоторых приложений. В связи с этим возникает задача определения свойств решений макродинамических уравнений в случае, когда соотношения сбалансированности / детальной сбалансированности кинетической функции выполняется с некоторым возмущением (которое не обязательно мало).

В диссертации также рассматриваются актуальные задачи для уравнений химической кинетики. Даже при сделанных предположениях о постоянстве температуры внутри реактора, ОДУ могут иметь решения со сложным поведением. Задача определения новых условий, гарантирующих квазитермодинамичность химических реакций при произвольных значениях констант скоростей реакций, является одной из актуальных задач химической кинетики, важной для практических приложений..

Еще одной актуальной задачей химической кинетики является обратная задача. Она состоит в вычислении неизвестных констант скоростей реакций в случае, когда известны значения концентраций всех веществ, участвующих в реакциях, на определенном интервале времени. Когда в теории нет единого »нения о кэхакнзыв промежуточных реакций, резеиио обратной задачи может дать информации о реальной механизме протохгвзих реакций. Как правило, поддаются измерении концентрация исходных веществ, вступасщо: в химические реакции, и продуктов реакций. Концентрации вощзетв.

участвующих п промежуточных реакциях, либо иевсзцокно, либо трудно измерить. В связи с эти* особый практический интерес представляет обратная задача э обобщенной постановка: известны значения концентраций только некоторых химических веществ ж некоторых констант скоростей реакций, а значения неизвестных констант скоростей реакций и неизвестных концентрация должны быть вычислены для заданного временного интервала.

Вс® вынэ сказанное дает основание считать актуальным получение новых критериев устойчивости решения' уравггения кахродякамихи л признание результатов теории йакро-дннамичвеких уравнений для решения актуальных задач, химической ккиетихи.

Цель работы

Целью данной работы являются:

поиск козых преобразований кинетической функции, позволяв®« 'получать новые кинетические функции, эквивалентные исходной;

- определение свойств репаняя ОДУ накрединааихи, если свойство сбалансированности / детальной сбалансированности кинетической функции зияслняется с некоторым возмущением;

получение новых 'критериев наличия единственного устойчивого равновесия для изотериичоского химического реактора с пергиелкзакиеа (при произвольных значениях констант скоростей реакций);

выделение класса обратных экстремальны:! задач как упрощенной модели обратных задач для дифференциальных

уравнений ж анализ ояти.чизацигнкых методов решеияя такик задач;

разработка ноаых нетодоз рекения задачи пояс га неизвестных констант скоростей реахций (обратной задачи), з. также задачи поиска неизвестных констант скоростей реакций в неизвестных концентраций (обобщенной обратной задачи) дел изотермического химического реактора с перемэшиьаниен.

Обцая методика

При решении поставленных в работе задач использовался аппарат линейной алгебры, элементы теории матриц, элементы теории непрерывных групп преобразований ОДУ, метод функщШ Ляпунова, элементы теории возмущений.

Научная новизна

1. Найдены новые преобразования кинетической функции, позволяющие получать экьивакентиые кинетические функции. Исследованы преобразования, завнеявдгз от одного нескольких параметров и имеющие канонические группой!« свойства. Доказаны достаточны» условия ьилугкостк по аргументу У эквивалентных кинетических фикций, получениях в результате данных преобразований.

2. Сформулированы и доказаны ковш критерий существования одинстаенного устойчивого равновесия (квгзятеркодшгаийчноспг) для набора реакций гша га&исккэстк от эиачешй кокстакт скоростей реакций длж изотермического реактора с паремеЕжшзаи. Известная георака о дефекте коль язляется частным случаем одного из критериев, получении: к дкеейрташш. Задача поиска всех стехнсмэтр'лчссккх

коэффициентов, которые могут удовлетворить полученным яритэриям, сзедеиа х пояску решений диоритовых уравнений и Р«Ш«На.

3. Предложено использовать Метод Локального Потенциала в качеств «5 нового метода репения обратной экстремальной задачи, йатод сводится к оптимизации функция, выпуклой по совокупности переменных. При часпгспом знании решения прямой задачи этот метод им<?от определенные пргимущвства и приводит х оптимизация функции, • выпуклой по хаядой из двух совокупностей переменных.

4. Предложено. кспользовать Метод Лекального Потенциала яок кэгиЯ метод ял;; реввлия обратной задачи • химической квиэтнки. • Дохазако, что этот мотод приводит к оптимизации Функции ззшухяой по с'псзсушссп: всех переменных.

5. Подучены формулы. е покопаю которых можно апаезтичеохи регать обобй^кггуо ебргтпуо задачу химической ккявтяш з случае, жогда хгмичгский реактор работает а с-.-а1шонар1юн рехшш. Пры это« ислояьзсванн получению в диссертации критерия стачксяаряосгп рэоктора.

8. Ззедвяы ок^ахолввяя пркйяигакно сбалансированной / • детально сбаяа«сйропг.ш?сЯ кякотатоской |7г?кцеи, оппсызающ» кккетичгеху® %угляхо, которая удовлетворяет тробоватю сб-1Л1ксяровг.нко«ти / д57а"зк»ной сбзяакснрозаяиости с ввхоторвд яозкуцшюи. Онргдвлгязя аыцояяют важяьй класс еистея ОДУ дпйрэд::нага;г.и, хазнаюпк вознуз^ягагт система®! махродииамшея.

7. Получены ди§{вре1щяахьт» уравнения а частных производит:, которым додано удовлетворять возмущение, чтобы возмущенная система махродинамихи имела то зе стационарной

- е -

состояние, что и исходная система макродинамики. Найдены частные решения данной системы уравнений в частных производных.

8. Получены условия на возмущение, достаточные для асимптотической устойчивости / неустойчивости, а тахяе локальной ■ устойчивости на шаре стационарного состояния возмущенной макродинамической системы.

9. Получены уравнения, которым доляно удовлетворять •возмущение в точке баланса, чтобы матрица линеаризации в окрестности стационарного состояния для системы ОДУ макродинаиикн с приближенно детально сбалансированно!! кинетической функцией была онзагеровской.

10. Получены достаточные условия сходимости Метода Локального Потенциала для поиска стационарного состояния системы ОДУ макродинамики со сбалансированной и приближенно сбалансированной / детально сбалансированной кинетической функцией.

Практическая ценность

1. Выделен новый класс квазитермодииамичных химических реакций.

• 2. Получены новые методы для численного и аналитического решения обратной задачи химической кинетики.

Апробация результатов работы

. Основные результата диссертации были доломаны на четырех Международных совещаниях по статистической механике (Statistical Mechanics Maetings, Rutgers University), 1991-1993, Пэгдусароднсй конф-зреицки по динамически« снстекам (Society of Industrial and Applied Katheeatics

Conference on Dynamical Systems) 1992, заседании Американского Математического Общества (Meeting of American Mathematics Society) 1993, семинаре Института Проблем Управления АН России, 1993. Статья по исследованию уравнений химической кинетики была отмечена в числе победителей конкурса Computer Sciences Corporation Honorarium Award, 1992.

Публикации

По теме диссертации автором опубликовано 6 научных работ.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, ' заключения, трех приложений и списка литературы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Глава 1.

В Глазе 1 изучены непрерывные преобразования, позволяющие получать различные кинетические функции, генерирующие одно и то же уравнение макродинамики (т.е. эквивалентные кинетические функции). Эти преобразования (зависните от одного или нескольких параметров) имеют канонические групповые свойства. Рассмотрим преобразование переменных:

Yj «» jf (X,Y,a), (1)

здесь функция f удовлетворяет условиям:

fs(X,Y,0) «. Y, (2)

/jlX.X.a) =Xt (3)

a/jiX.Y.a)

ayj

0 if i#J (4)

Y=X I p(X,a)*0 if i=j

i=l,...N; X,Y и J являются N-мерными векторами. Преобразование переменных (1) определяет преобразование

аа- К(Х,ПХ,У,<х)>

К(Х.У) -> Я.„СХ,У) ---- (5)

ГК р(Х,с£)

ТЕОРЕМА 1. Исходная кинетическая функция К(Х,У) я новая функция Хгс;(Х,У), определенная в (5), эквивалентны.

В теории уравнений какродинакихи ваяна выпуклость кинетической функции по аргументу У.

ТЕОРЕМА г. . Если К(Х,У) есть выпуклая функция от У.

ИХ,У,а) является выпуклой функцией от У и выполнено условие

• (4), тогда (X,У) определенная в (5) есть выпуклая функция "а

от У.

Примером . рассмотренных в диссертации многопарамэтрическкх преобразований служит :

ТЕОРЕМА 3, Пусть с^+сс,*... *ил ~ 1 и существует такиэ

константы С,,С и С Определим многопараметрпческоо преобраэоаавкс:

£<х,У)=с. [к(х.V)] [к(х,У)]Сп . (о

где все кинетические функции К(Х,¥) эквивалентны исходной

1

кинетической функции К(ХД) и С^аХ,V)I =К(Х,Х>. Тогда

с 1

■ новая кинетическая функция 51 (X, У) эквивалентна исходной кинетической функции К(Х,У).

В диссертации такге рассмотрены интегральные преобразования, позаояяосою получать эквивалентные кккзтнчаские функции.

В Гя&вй 2 , с пошаъю некоторых преобразований, рассмотрении:: в Тяаы 1, шлучгко ногзе шокестьо

ос, ес„ (С,! Чс2> .. 1С(1)

эквивалентных кинетических функций вида КЬ(Х,У) » (1/ЬШХ, (1-ь)Х*ьУ) ;

Ь>0

Kb.....b (X,Y) = (1/п) Г Kb (X.Y) ; bt.....bn>0

i..... n

где К(Х,Y)=2

Г«1

1. J-i

П^еяр

н

(7)

(8)

(9) (10)

Зместе со структурной функцией S(x)~- £ х (Inx -1)

г-1 г г

кинетические функции (7,3) генерируют уравнения химичесгой кинетики для закона дойствувцих масс:

,Zm

г-l.....M

(11)

dx (t)/dt= £ R (Z -Z > п «V i.J-l " J n-l

Дзнныэ КИНОТИЧ9С1СИ0 функции исслэдованы на сбалансированность и дотальнуэ сбалансированность для получения новых достаточных условий устойчивой стационарности химического реактора.

ТЕОРЕМА„4.. Пусть выполняются соотношения Н„

Ж = U 3.

»ж -3

к * я

(12)

S„ = <(i,J); (п,е) |Z, * (l-b)Z *bZ ; 2 =(l-b)Z,+bZ,). C13)

к •" » »ij пи'п JJ

к существует P f; такой, что

n aa

£(Z, -2. )P * <l/b)in--

г-J Jr Jr г П

2k {(!, j); (n.si))' с 1 ; k«l,,

Тогда' система уравнений (11)

имеет

(14)

На > Nr/2. единственное

аскиптотнчаски

устойчивое стационарпсе состояние на

инвариантной плоскости Р(:с ).

СЛЕДСТВИЕ 1. Xj,!X, Y) иояет быть детально сбалансирована: - только для обратим«:: реакций, если Ь=1;

- для веек реакций, которые не являются обратимши, если

Ь € (0; 1) и < 1;со).

и

СЛЕДСТВИЕ 2. КЬ(ХД) детально сбалансирована, если Ь=~ и 'к,пеН.

Используя следствие 2, можно записать (13) как уравнения Диофанта и' решить их.

Теорема 5. Пусть для любых (1,8^ е К существует

оператор различных перестановок к , (к ) € и

1

г, = (1-ь)ги + ьгп . <1Б>

к1

Тогда для существования единственного асимптотически устойчивого стационарного состояния системы (11)

достаточно, чтобы существовало решение РеЗ?к следующей линейкой системы: ^

Ц\г- \г)рг° П/ъип-^ , (1>81)6К,

Г"1 к1 1 "к,», (к, )€ПХ (16)

I 1| 1

ТЕ0РВ(А 6. Пусть для каждых (!,,]) <= Л существует нетождественный оператор перестаиовогс /1 на ююжестве 51 и . пусть множество реакций К разделяется на подмножества (некоторые из них могут быть пустыми) в сладугасем порядке: 1) НА подмножеств ,..., , таких, что

ка

= {(П.Ц); , Лп1 >0); V - и Ча; (17)

п к г>» 1

2) Ир подмножеств таких, что

с н

а

8 • {(¿.в); к"1.....К . И. > 0>; 8= и 8 ; (18)

ю "к «1*1

3) одно подмножество. С = Ш,,1) е и £)) . (19)

а также 2, * (1-Ь)2,. + ьге , Ск, ,) е 8, с •

I Ь>у 1

- и

Тогда для сутаствовакия устойчивого стационарного достаточно, чтобы существовал вектор решением след^смэЯ системы:

единственного асимптотически состояния системы (11)

PeR

n

являющийся

и

(k{,sJ)6Dl

[b(Z„ - Zk )Р] » a (i.J) 6 S U С;

(21)

СЛЕДСТВИЕ 3. КЬ(Х,У> иовет быть сбалансирована:

- только для слабо обратишь реакций, если Ь = 1 ;

- для всех реакций, которые не являются слабо обратимыми, если Ь е ( 0;1) и (1;»).

СЛЕДСТВИЕ 4. КЬ(Х.У) сбалансирована, если Ь=~- и в, пей.

В случае слабо обратимых реакций теорема 6 эквивалентна известной теореиа о дефекте-0.

Глазе 3.

В Главе 3 иссладоЕаны различные оптимизационные методы рекэгшя одного из классов обратных задач - обратных экстре-

мальных задач. Рассмотрим задачу:

f(x,d)-> иin KsD(r)

(22)

.,xn).

гда f-скалярная выпуклая функция от переменных x=(xj,

которая зависит от параметров р=(рг.....ра>. Пусть

х*(р)=аг£ ciin f(x,p) xeD(f)

и х - ранение задачи (22) в случае р~р: х=х (р) !'и предполагай«, что для каядого peD(f) существует росение задачи (23), которая называется пряной экстремальной задачей

(23)

(24)

(ПЭЗ) или просто экстремальной задачей (ЭЗ). Обратная экстремальная задача (ОЭЗ) является задачей нахождения значения параметра р для каждого полученного решения х прямой экстремальной задачи (22). ОЭЗ рассматриваются как упрощенная модель обратных задач для уравнений иакродинамики.

Предложено использовать Метод Локального Потенциала (ШШ) как новый метод для решения 033. Метод имеет вид:

р) = f(x,p)-f(x*(p).p) -> ain (25)

Р

В диссертации также рассмотрены следующие методы ресения 033:

- Метод Наименьших Квадратов (ШШ)

р(р)= | |V 1 (х.р) |2 -> ain ; (26)

д р

- Метод Квадратичного Отклонения (ЫКО)

с(р)= \ |х"(р)-х|г -> ш1п ; (27)

Р

- Обобщенный Метод Квадратичного Отклонения (0МК0)

(26)

где Q -симметричная, положительно определенная пхп матрица.

Э„(р)= I (Q(x'(p)-x),(х"(р)-х)) -> cin

V С р .

а

УТВЕРВДЕЖЕ 1. Если Г(х,р>= Г Ах) р Г.(х) (20)

1»1

то решение ОЭЗ методом. Ш1П эквивалентно поиску множителей Лаграижа.

Свойства оптимизируемой функции з окрестности экстремума для каждого из методов определяются следующей теоремой: ТЕОРЕМА 7. Если матрицы А,Ф,« <5? являются матрицами вторах производных в р=р от функций к(р), Эц(р), ¥>(р) и 0(р), соответственно определенных в (27), (20), (26) и (25), тогда Л=СТС (30)

в°=стас (3D

i=CTF?-C (32)

$=CTFC (33)

Методы ШП к SIS нкэзт определенные преикугугства: ТЕОРЕМА 8. Если f(x,p) ш.шет вид (29), тогда р(р)

квадратичная функция от рх.....рм и 0(р) - зкпуклая

функция от .....Ри.

Чувствительность рассмотренных катодов к погрехностя с в исходных данных определяется следующими соотношениями (Л обозначает сг/ябг.у в определении значения параметра р" и % обозначает ошбку в определении значения x'ip") ). .ТЕОРЕМА 9. Ногреяности реженкл 033 катодом !!ЛП определяпт-ся фориулаиа: ^»(CTFC)",CTFe ; Х^СА^ ; ТЕОРЕМА. 10. Погрешостн реиепяя 033 катодом МНК определяются по формула?«: Д CCTFaC)",CTF2c ; Хт " СДЛ .

у гу

ТЕОРЕМА 11. Погреияости решения 033 методой НХО определяется по формула к: Да= ССтС)~!С'с ; х^г • ТЕОРЕМА I?.. Согр&впостя рввзвшг 033 катодом Q'lKO определяются по формула«: <!Ц = iCTQC)_ICTQc ; Xfj-СД^ • Q

Рассмотрение кгтодсъ рекеиия 033 при частичной знании решения прякой задачи показало опрэдгленныэ преимущества ШШ: УТБЕРДДЕ?-51Е 2. Чтобы решить ОЭЗ при неполном знании ресения ЙЗЗ для функции f(x,p) айда S29), нэтодои !1ПП, необходимо найти экстре?<уи йулкцки £(х,р), которая язляатся вшухлой функцией ПО СОВОКУПНОСТИ псреисянкх Xk4,j, я эшуклоЯ

фупкцяе15 по совокупности перемалнкх р , ...рэ.

Глава 4.

В Глава 4 метод локального потенциала для уравнений макродинамики предложено применять для решения обратной задачи химической кинетики (ОЗХК). Метод локального потенциала *(k,Z) = }<Е £ Z,z A-E Z ,b ) dt -> min (34)

О J=lu=l J J J=1 J J Z

сводится к максимизации функции f>(k)

a>(k) = min ^(k.Z) = ^(k,Z*(k,t)) = Z(t)

1 т -1

= - - ЛЛ (k.t) b(k,t),b(k,t))dt =s 0. 4 о

m * n а -и ß.

где A (k.t) - PS r.p.Jk. П x lr+ k п x lr)

JU 1=1 1J IU 1 Г-1 Г»1 r

m + н ct. - h ß. b.(k,t) = x (t)-£ T Ck, n xrlr-k, n x lr) J J i-i 1 г-1 r 1 г-1 r

или к минимизации функции ф(k)=-(p(k). Следующие теоремы дают

информацию о некоторых свойствах функции ф(к) :

ТЕОРЕМА 13.

1 т i

Os- ja 1 (k,t)(b(k,t),b(k,t))dt s ф(к) s 4 о

1 т i

^ - JA J (k,t)(b(k,T),b(k,t))dt , (35)

4 о

где Л-1 (k,t), Л"? (к,t) - экстремальные собственные значения шах min * •

матрицы Ä-i(k,t), обратной матрице A(k,t).

ez* ez"

ТЕОРЕМА 14. Если множество векторов -,...,- - линейно

дк1 акн

независимо, то 0(к) является выпуклой функцией от всех к^

В работе приведено сравнение Метода Локального Потенциала с известным Методом Наименьших Квадратов при решении ОЗХК.

В диссертации поставлена и реиена аналитически обобщенная обратная задача химической кинетики (ООЗХК) для случая, когда химический реактор работает в стационарном режима. При этом йспояьзозани критерии стационарности, полученные в Главе 2. ТЕОРЕМА 15. Пусть условия теоремы 4 выполнены, система (14) имеет решение р € й". Тогда, если 8.-0 , то для всех

к=1,.... (Н„/2) и (а.гаП

К к

н _ (2, •-г. )

' П(хг) ^ 1г .

г«1

л ггк I

(1/Ь)

(36)

если 1*0 и Н,=сПа{1.). то (36) следует использовать совнэ-н

стио с £ (х 10)-х для всех и=1,.. .!), (37)

, г г г 1.

г=1

ТЕОРЕМА 16. Пусть условия теоремы 6 выполнены, система (21) имеет решение р б Тогда, если 1=0, то выполняется

Чс.з,

» а

' н _ (г, „-2 ) П(хг) йг V

г» 1

(1,.)) £ э ид. (за)

Если ае И£0, то выполняются (38) вместе с (39):

П (X ) V

г--»1

и

V™ „^

С помогаью ' формул (37-39) • можно решить проанализировать, существуют ли ее решения.

(1, лег

(33)

ООЗХК или

Глава 5.

В Главе 5 сделана попытка построить теорию возмущений для уравнений иакроднязмикх. Вгедены опраделзния приближенно сбаллнсироваттых ктокгпгасскта функций как существование Р и

р(Х), таких что К(Х.Х)=К(Х,2Г+р(Х)-Х) для любет X с

и приближенно детально сбалансирооаш-пд штетнчэских

как существование Р и р(Х,У), таких что К(Х,\')=К(Х,2Р+р{Х,У)-У) для любых (X.V) е (41)

Некоторые результаты теории обыкновенных дифференциальных уравнений махродзшашки обобщены иа случай приближенно сбалансированных / детально сбалансированию: функций. ТЕОРЕМА 17. Лил того, чтобы возуукенио р(Х) сохраняло стационарное состояние х в некоторой области необходимо а достаточно выполнении

сЫ (Ухр<X) - 2Е) # О (42)

[7хр(Х)В(Х) + Б(Х)]р(Х) ~ О (43)

где Хей^ ,

, . згк(х, X)

В. (X) = IV* К(Х,Х)1 = ----(44)

^ " ** «и ЙУ'ЗУи

, д*К(Х,Х)

ь, (X) = К(Х,Х)| = ---(43)

- у

1 и

"1и ' ¿¡Х.5У.

а, (X) = с, (X) - в, (X) (43)

1и 1и 1и

7ХР(Ю 1

ер^ю

»и ах1

ТЕ0РШ.4 10. Пусть длл скстони иакродикакини выношено

1) условие (40) приближенного баланса к

2) ограничения (42,43) на возиуеание рГХ) в точке Х=Х. Тогда х такое, что Р=7хБ(х), является стационарным состоянием систеш ыакродинамики. Если еще потребовать

г ак(Х.У) ,

р(Х), --г О (48)

I- ау у=гр-х->

3K(X, Y)

if -к CsAA, П

pfxixi! , —----*

I. j «V VrVfYlJ

КЛИ

SY

0 (49)

Y-X(x)^

как дополнительного ограничения на пйктор-функцяо р(Х), то ямоат место асимптотическая устойчивость стационарного состояния х. Б случае, когда Ла Six! = -а,

Х~>а

х асимптотически устойчиво в целом. При выполнении

К |х, ZX-Pj - К Jx, 2p+p(Xi-xJ i- 0 (50)

пмсат место а«аяп'откчйсяая неустойчивость стационарного состояния х. (Предпояогготс.я, что множества, определенная знаком рапанстоа в (4S)-(50! но содержат цэлых траекторий спстош кзкродинаиихи).

ТЕОРЕМА 19. Пусть для кинетической функции FC С X. Y) выполняется соотношение (41) приближенного детального баланса и аозмупспкя р'К. Y! удовлетворяет условиям

V fiiül *'PJ(X'X) + згк[х,х], _

(SI)

и

р(Х.Х) - О (52)

Д нз2к[х.х] дрА*] а2к(х.х) 5Pj(x.x)

V Iя gt-x'xJ .

1— L 3Y.3'/.

, , ЗУ, 3Y, ЭХ 5Y ,ЗХ ¿¡У,

J» I 1 J u J u . 1

ЗШ.Х)

ilYj

а " й2к[х. х) вр¥(Х.Х) врл(Х.Х)

'11

, , , эу.зу ах эу,

js.lv»! J V и 1

для любых 1. и»1.....п. Пусть также Б(х)-строго вогнута на

П = <у + !.£> П и И Эх = аггю1пГз(х) -(Р, х)1.

Тогда матрица линеаризации М системы какродинамики, вычисленная на стационарном решении х, имеет

неположительные собственные значения. Если еще дополнительно К(Х,У) строго Еыпукла по У к выполнено условие

Кег [^Б(х)-се] п 0, (54)

то среди собственных чисел матрицы линеаризации М системы макродннамики, вычисленной на стационарном решении х, ровно . с!1 т< 1_к) нулевых.

В диссертации также рассмотрена сходимость метода локального потенциала для поиска стационарных состояний.

Приложения.

Приложения А и В содержат доказательства некоторых результатов из Глав 1 и 3 соответственно, Приложение С - рисунки и таблицы.

закпнзчение.

Найдены новые преобразования кинетической функции, позволяющие получать эквивалентные" кинетические функции. Доказаны достаточные условия выпуклости по аргументу У эквивалентных кинетических функций.

Сформулированы и доказаны новые критерии существования единственного устойчивого равновесия квазитермодинаиичности для набора реакций сне зависимости ст значений констант

скоростей реакций для изотермического реактора с перемешиванием. Известная тоореиа о дефекте ноль является частным случаем одного из критериев, полученных в диссертации.

Задача поиска всех стехиокетричесхих коэффициентов, которые когут удовлетворить полученным критериям, сведена к поиску решений дисфантовых уравнений и решена.

Предложено использовать Метод Локального Потенциала а качестве нового метода решения обратной экстремальной задачи.

Показана возможность использовать Метод Локального Потенциала как ковиЯ метод для решения обратной задачи химической кинетики. Доказано, что этот метод приводит к оптимизации функции. выпуклой по совокупности всех переменных.

Получены формулы, с покоса»» которых можно аналитически решать обобщенную обратную задачу химической кинетики в случае, когда химический реактор работает в стационарном режиме.

Введены определения приближенно сбалансированной / детально сбалансированной кинетической функции, описывающие кинетическую функцию, которая удовлетворяет требованию сбалансированности / детальной сбалансированности с некоторым гозиуЕлнноа. Определения зыдоляют аа.чкыЯ класс систем ОДУ макродикамики, нзэганпот вознущеккют системами ыакродгшамик'!.

Получены дифференциальные уравнения .в частных нроиззодных. который дояяно удовлетворять зозиущзниа, чтобн

зознугузнная система махродннамики икала то яе стационарное

состояний, что и исходная система кзкродинакики. Найдшш частныз решения данной системы уравнений в частных производных.

Получены условия на возмущение, достаточные для асимптотической устойчивости / неустойчивости, а такяа локальной устойчивости на capa стационарного состояния возмущенной ыахродикамической системы.

Получаны уравнения, которым должно удозяэтворять возмущзиие в точке детального баланса, чтобы матрица линеаризации в окрестности стационарного состояния для с и стены ОДУ шкродинашхн с приближенно детально сбалансированной хикетическсй фуяхцкей была онзагеровской. .

Получыш достаточные условия сходимости Метода Локального Потенциала для. поиска стационарного состояния системы ОДУ иакродкнашки со сбалансированной и приближенно сбалансированной / детально сбалансированной кинетической функцией.

В качества результатов, имгжих практическую ценность, можно отметить:

- Вндеяение нового класса квазнтеркодинамичньЕ химических реакций. . .

- получение новых истодов для численного и аналитического решения обратной задачи химической кинетики.

В будущие планы входит построение теории зозмуьрниК для сингулярно возмущенных уравнений шкродинаышеи и боле а детальное изучение решений систем дифференциальных уравнений в частных производных, полученных в диссертаций как ограничения на возмуцзние для рассмотренных несингулярных

задач.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕЫЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Е. Averbukh. Kinetic functions and the properties of stationary states of chenical kinetics equations. // The Collection of Award Winning Papers. Conputer Sciences Corporation. - 1992 Honorarlua Coapetition. - Pp. 267.

2. Ун. A. Brodsky, E. D. Averbukh. Theoretical and nucerical codels of geomagnetic field evolution, I. // Geoph.Astr.Fluid Dynamics. - 1939. - V.9. - Ho. 1-4. - Pp. 117-135.

3. E. Averbukh. Inverse Extremua problecs and nethods of their solution. //Aaerican Hathenatical Society. Abstracts of papers' presented to the A MS. - 1993. August. - Pp. 578.

4. E. Averbukh, Yu. Brodsky. Macro-dynamics equations with approximately balanced kinetic function. // African iiathenatical Society. Abstracts of Papers Presented to the AMS. - 1S93. August. - Pp. 559-560.

5. Азербух Э.Д. Об эквивалентных кинетических функциях для уравнений нэкродинамики. //-1993.-14 с. деп. в ВИНИТИ iЮ. 93 N12 ZSS4- В93-

6. Авербу>: Э. Д. Детально сбалансированные кинетические функции, хгазитеруодкнамичныа хпиическио реакции и обратная задача янмичэсхой кинетики. //-1993.-26 с. деп. з ВИНИТИ И -10.93 N1 ~ ¿55S - В93.

Зак. » I. Тарах 100. Ов'ех 1,0 уч.- над, д. Поюшсано к начата 21.09.93 г. 117806. Москва ГСП-7. Профсоюзная, 65 Икстятут про&задд управления