Принцип фрагмена - линделефа для дифференциальных неравенств специального вида тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Пи «я

На правах рукописи

ЖУРАВЛЕВА Юлия Анатольевна

ПРИНЦИП ФРАГМЕНА - ЛИЦЦЕЛЕФА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

01.01.01. - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1993

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций Волгоградского государственного университета

Официальные оппоненты: к.ф.- м.н. Н.С. ДаирСеков,

д.ф.- м.н., профессор С.К. Водопьянов.

Ведущая организация - .Кемеровский государственный университет

Защита состоится " " О ¿_ '199&/г. в

часов на заседании специализированного совета К 002.23.02 в Институте математики СО РАН по адресу: 630090; г. Новосибирск 90, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН

Автореферат разослан . О _199^/г.

Ученый секретарь специализированного совета к. ф.-м.н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Цель работы, актуальность теш. Работа посвящена изучению свойств дифференциальных неравенств специального вида, возникающих в теории нелинейных эллиптических уравнений и в теории отображений с ограниченным искажением.

Пусть D - область в о?ы, м > 2. Пусть f(x) = ( f1(х),..., fn(x) ) , 1 < n i М , - непрерывная вектор-функция, заданная в D , принадлежащая пространству 1ос ( D ), a > 1, и удовлетворяющая следующим условиям: существует замкнутая ( в обобщенном смысле ) дифференциальная форма Wj(x) степени М - п. с локально суммируемыми коэффициентами такая, что почти всюду в D выполняются неравенства

A) < *(dX1 (х) ^ ... л ¡ifn(X) л Uf(X)),

( * )

a-n

Б } |uf(x)| £ D2|vf(x)|

Символ * перед дифференциальной формой означает ее ортогональное дополнение относительно евклидовой метрики пространства геМ ;

|vi(x)| = [ Е К| 1, 1 к, 1=1 flx J

- Ы 5.1/2

|iof(x)| = | т. | of(D Г |

a , v.j , - постоянные. В дальнейшем, считаем, что

п 11/2 г>.| < г>2 .

Изучение качественных свойств функций Г(х) = ( Г1(х),...,

fn(x) ) , е V)a1 loc( D ) , удовлетворяющих условиям ( * ),

составляет основную цель этой работы.

Достаточно широким и хорошо изученным классом функций Г(х) , удовлетворяющих условиям ( * ), являются решения нелинейных эллиптических уравнений

м л — 1 к

заданные в области Б с Здесь к = 1,...,М , -

измеримые функции, определенные для почти всех х е Б и всех

и

I € к г удовлетворяющие неравенствам

V,! ! Е Ак(х,|)

(М о -ч ^ ^^ сс—1

( 2 )

а > 1 , 0 < < . Условия (1 ) и ( 2 ) являются частным случаем неравенств ( * ), где

М 1с

Ыг(х) = Е (-1 )к_1А1с(х^)(Зх1А .г. л К — 1

Уравнение ( 1 ) означает, что (М - 1) - форма (х) замкнута, а неравенства ( 2 ) равносильны неравенствам ( * ). Как "показано в работах Ю.Г.Решетняка ( см., например, § 5 Гл. II монографии ) уравнения ( 1 ) естественно возникают и находят важные приложения в теории отображений с ограниченным искажением, поскольку линейные комбинации координатных функций отображения с ограниченным искажением Х(х) и функция -

-Г)

Решетняк Ю.Г. Пространственные отображения с ограни ченным искажением. - Новосибирск: Наука, 1982.

- ln|I(x) - a|, a € , являются решениями таких уравнений.

Связь мевду неравенствами ( * ) и теорией отображений с ограниченным искажением выражается также следующей теоремой, которая показывает, что отображения с ограниченным искажением могут быть описаны как решения неравенств ( * ) при а = п и м = п .

Теорема 1.2.1. Пусть В - область в RM. Если f:D —<• м

—► геш- отображение с ограниченным искажением, то i(x) является решением неравенств ( * ), для которых а = n, n = М и = n^Qif) , где Q(i) = n_n/21| j vi (х) |1 detvr (x)) }jr -

коэффициент искажения отображения f(x) в области D . Если отображение f:D —► является решением неравенств ( * ), для которых а = n , n = М , то это отображение является отображением с ограниченным искажением и его коэффициент искажения Q(f) не превосходит величины n'^^iv^/v^ ).

Отмеченная связь основного объекта исследований этой работы - неравенств ( * ) - с важными направлениями современного анализа: теорией нелинейных эллиптических уравнений и теорией отображений с ограниченным искажением - определяет актуальность темы диссертации.

Научная новизна. Как самостоятельный объект исследований неравенства ( # ) расматриваются впервые, и поэтому все результаты диссертации являются новыми. По постановкам задач, по формулировкам теорем и технике их доказательств результаты примыкают к работам В.М.Миклзокова и В.А. Ботвинника ( например, Ботвинник В.А., Миклюков В.М. Теорема типа Фрагмена -Линделефа для п - мерных отображений с ограниченным искажением // сиб. мат. журн., 1980, Т. 20, № 2, с. 232 - 235. ), посвященным изучению нелинейных уравнений ( 1 ) и отображений

с ограниченным искажением, и их можно рассматривать как развитие некоторых теорем, представленных в этих работах.

Методика исследований. Применяемые метода исследований базируются на использовании аппарата внешних дифференциальных форм, специальных оценок интеграла Дирихле. Одним из главных инструментов исследований является основная частота открытых множеств и ее N - средние, техника использования которых в теории отображений с ограниченным искажением была разработана В.М.Миклюковым.

Теоретическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут применяться в дальнейших исследованиях эллиптических уравнений, отображений с ограниченным искажением, в преподавании при чтении спецкурсов.

Структура работы. Диссертация состоит из введения и трех глав и изложена на 116 страницах машинописного текста. Библиография содержит 40 наименований научных работ.

Публикации, апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах, список которых приведен в конце автореферата. Результаты неоднократно излагались на научных семинарах кафедры высшей математики Волгоградского инженерно - строительного института ( ВолгИСИ ), докладывались на ежегодных научных конференциях профессорско - преподавательского состава ВслгИСИ, на семинаре кафедры математического анализа и теории функций Волгоградского государственного университета ( ВолГУ ), на научных конференциях. профес-сорско - преподавательского состава ВолГУ, на семинаре отдела геометрии и анализа Института математики СО РАН.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается краткий обзор основного содержания ■ диссертации. В главе I "ПРИНЦИП МАКСИМУМА" даются предварительные сведения из математического анализа, используемые в • дальнейшем тексте работы, описан основной объект исследования - неравенства ( * ), приведены примеры таких неравенств и доказан принцип максимума для линейных комбинаций решений неравенств ( * ).

В § 1 этой главы уточняются обозначения и определения используемых классов функций, приводится определение отображений с ограниченным искажением, изложены элементы теории дифференциальных форм с суммируемыми коэффициентами, дается определение меры Хаусдорфа и сформулирована теорема Кронрода - Федерера об интегралах по множествам уровня.

В § 2 дается определение основного объекта исследований - неравенств ( * ) и обсуждаются связи этих неравенств с решениями нелинейных эллиптических уравнений (1 ), удовлетворяющих условиям ( 2 ), с отображениями с ограниченным искажением, некоторыми классами отображений близким к квазиизометрическим отображениям, функциями, которые возникают при изучении устойчивости голоморфных отображений, - доказывается • сформулированная выше теорема 1.2.1. Здесь также доказано ■ следующее вспомогательное неравенство

Лемма 1.2.1. Если —<• кп - решение неравенств ( * ), то справедливо соотношение

|ш1(х) - х^(х)*(с1Г1 (х) л ... л (Ип(х))| <

/ г| т nn tf |vi(x)|a-n

Из ( 3 ) следует, что г>2 ^ n n/2v1 . В диссертации приведены простые примеры, показывающие, что при любых а , v1,

п/?

г»2 ( а > 1, v^ > n Vj > О ) множество решений неравенств вида ( * ) непусто. .

В § 3 главы I доказан принцип максимума.

Теорема 1.3.1. Пусть а1,..., а^ вещественные числа, î : D —► к11 - решение неравенств ( .* ) и L(x) = а^^ (х) + '+ ... + а^дСх) . Тогда для любой ограниченной подобласти Л

Î с в выполнено шах L(x) s max L(x) .

X €.Д X Ç ад

В главе II "ОЦЕНКИ ИНТЕГРАЛА ДИРИХЛЕ" приведены оценки скорости роста для весовых интегралов от |vi(x)|a, где f:D —► Rn - отображение, удовлетворяющее неравенствам ( * ), являющиеся аналогом известного в теории упругости принципа Сен - Венана, и даны следствия этих результатов. Подобные оценки для решений уравнений эллиптического и параболического типов рассматривались ранее в работах В. Г. Мазьи, O.A. Олейник, Г.А. Иосифьяна, А.Ф.Тедеева, А.Е.Шишкова. Для отображений с ограниченным искажением такие оценки были получены В.А.Ботвинником.

В § 1 главы II введено понятие основной частоты множества, которое в дальнейшем используется при установлении оценок весовых интегралов от |vf(x)|a .

Пусть а > 1 - постоянная и D с кп- открытое множество. Основной'частотой порядка а множества D называется величина Ха( D ) = Inf( |||vg|||a>lJ/!|g||a>I) ), -где точная нижняя граница берется по всевозможным непрерывно дифференцируемым функциям ¿(х) таким, что supp( g ) с d.

Здесь также излагаются основные свойства основной частоты множества, введено понятие к - шара и к - сферы, сформулировано определение множества, допустимого относительно к -шара. Зададим целое к. , 1 < к < п , и рассмотрим функцию

к о 1/2

pfc(z) = (.jE^f > • Обозначим через t) множество тех х €

€ Rn, для которых PjJx) < t , через Sfc(t) границу Bk(t) . Эти множества будем называть соответственно к - шаром и к -сферой. Пусть О - произвольное открытое множество и пусть d = d^O) = lni р^(х). Будем говорить, что О допустимо относительно к - шара В^(1;0), t0 > 1^(0), если для всякого t е € ( dj^.tQ) множества О П S^it) не пусты.

В § 2 главы II сформулирован и доказан принцип Сен - Ве-нана - один из основных результатов этой работы, характеризующий динамику роста весовых интегралов от |vi(x)|a.

Рассмотрим область D , допустимую относительно к -иара B^(t0). Тогда при всяком t е ( dk, tQ) можно говорить об основной частоте Aa(t) = Ха( D Л S^it)) сечений D fl S^t) множества D к - сферами S^Ct) . Введем обозначения v = = г>2/ v1 ; а^ = (n - 1) <'n_1 при n > 2 , ae1 = 1; пусть

Tn = ¡V nnc(a) + vV - n11 ) 1 .

- 2/a

где c(a) =1/2 при a i 2 , c(a) = 2 при a 2 2 .

Теорема II.2.1. Пусть D - произвольная допустимая относительно некоторого k - шара В^С^) область в к" и Г(х) = ( ^(х),..., in(x) ) - решение неравенств ( * ) , такое, что Г^ (х) > 0 и для всякого t б ( d^, tQ) выполняется условие: Ilm f. (х,,) = О вдоль любой последова-

V -► со 1 v

тельности Ху « П D , не имеющей точек накопления в D .

Пусть р - суммируемая функция, 0 < ß(t) i V^) и - 0 ~

кусочно,- гладкая непрерывная невозраставдая функция, t е € ( dk, t0) , такая, что ®(t) = ®(t) f i^jjf^) > 0 . Тогда функция

-( 7n v)/^. ■ A(t) = ik(t) Ф . (t) J <D(p)|vf(x)|adx

D0Bk(t)

является неубывающей на ( dk,tQ) . Здесь p = pk(x), tk(t) =

= ezp( - 7 J p(t)clt) . dk

В § 3 приведены следствия теоремы II.2.1. .

Следствие II.3.2. Пусть & - ограниченная область ги-.

* 1

перплоскости переменных х2,...,хм и А = А х - полу* м

цилиндр, А = -С х с к :( х2,...,хм А, х^О ). Предположим,-что область D s А*, функции i(x), i1(х) удовлетворяют условиям теоремы II.2.1. Тогда для любых tg > tj > d^ (D) выполнено неравенство

/ ехр{ -(С 3En?,a(A)p(x))/v} |vi(x)|adx < D П B1 (t1 )

-(1-C)Tf^a(i)(t2-t,) £ e J expi-(C 3enXa(A)p(x))/v)|vf(x)|adx.

D П B, (t2)

Здесь С - постоянная, 0 < С < 1 .

Следствие II.3.3. Предположим, что выполнены условия следствия II.3.2 и функция i(x) удовлетворяет неравенству

J ехр{ -(С aen\a(A)p(x))/a'}|vi(x)|adx < » . D

Тогда I = const в D .

ы

Следствие II.3.6. Пусть область D <= ж и функция Г(х) удовлетворяют условиям теоремы II.2.1. Тогда для любых

t1 > %2 > d^iD) выполнено неравенство

J jvl(x) laax< ejpC ~7n f xa(t)flt }f |vi(2)|ato .

DnBk(t2) t2 DnBk(t1)

В заключительной части работы - главе Ш "ТЕОРЕМЫ ТИПА ФРАГМЕНА - ЛИВДЕЛЕФА" - приведены основные результаты диссертации: доказан аналог теорем 1рагмена - Линделефа для решений неравенств ( * ), установлена гельдеровость решений неравенств ( * ) , доказан аналог теоремы Лиувилля.

Для общих эллиптических уравнений теоремы типа Фрагмена-Линделефа были получены O.A. Олейник и Е.В. Радкевичем. А.Г. Шишковым такие георемы были установлены для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка, В.А. Ботвинником и В.М. Миклкковым доказаны теоремы типа Фрагмена -Линделефа для отображений с ограниченным искажением.

В § 1 главы III вводится понятие N - среднего основной частоты множества, приведены основные свойства и оценки этой числовой характеристики множества, доказано, что решения неравенств ( * ) удовлетворяют неравенству Гельдера.

Пусть G с Rn - открытое множество и N - натуральное число. Разобьем G на N открытых множеств G^ так, что Gj Л Gj = 0 . Величину

Xa(G,N) =4- IHI^V Gk ).

где точная нижняя грань берется по всевозможным разбиениям { G^ } , 1 = 1,..., fi, будем называть jr - средним основной - частоты. При этом по определению A.a(G,1) = AQ(G) . Понятие N - среднего основной частоты было введено В.М.Миклюковым ( Ми-клюков В.М. Асимптотические свойства субрешений квазилиней-

них уравнений эллиптического типа и отображений с ограниченным искажением // Мат. сб., 1981, Т. 39, J6 1, с. 37 - 59.), где также получены основные свойства и оценки этой величины. С использованием N - средних основной частоты доказана

и

Теорема III.1.1. Пусть D - область в к и d(y) - рас-

стояние от точки у с В до границы ÖD. Пусть f(x) -неравенств ( * ) , определенное в D . Тогда для любого у € D и р < 1(у) выполняется неравенство

J |vi(x)|adx £ (p/d(y))P J |vf(x)|adx .

B(y,p) B(y,<3L(y))

Здесь p = 7n A(M) ; A(2) = 2cg(2) при M = 2 И A(M) = = Cg(M)/2 при Ы > 2 , где постоянная c2(M) определяется равенством ( 1, гл.III, § 1).

На основе теоремы III. 1.1 и лета Ч.Морри делаем вывод, что решения неравенств ( * ) удовлетворят локальному условию Гельдера с показателем ß = (7n А(М) + a - М )/2 при 1 < < a i 1!, a > II - 7nMM) ^ 0 и р = 1 - К/а при a > М .

В § 2 главы III на основе результатов, полученных в главе II , доказаны теоремы типа Фрагмена - Лиццелефа для решений неравенств ( * ). Неограниченную область В £ к" будем называть к - допустимой, если она к - допустима относительно всякого к - шара B^Ct) , имещего непустое пересечение с D . Пусть D - к - допустимая область в км и F(x) = a^fj (х) + ... + ctjjij^x) - линейная комбинация координатных функций отображения f:D —<• геп, являвдегося решением неравенств ( * ). Предположим, что для всякого t > cL^D) выполняется условие

lim F (X.,) < с < к> ( с = const ) ( 4 )

V -► 00 v

вдоль любой последовательности х^ € Bj,(t) П D , не имеющей точек накопления в области D . Принцип Фрагмена - Линделефа состоит в дилемме: либо Р(х) < с всюду в D , либо Р(х) растет достаточно быстро при х —* ® . При этом скорость роста Р(х) зависит от строения D в окрестности бесконечно удаленной точки, а именно» чем уже область D , тем скорость роста больше. Справедлива следующая

Теорема- III.2.1. Пусть D - к; - допустимая область в

м

к и Р(х) = а.|1|(х) + ... + с^ГдСх) - линейная комбинация с

постоянными коэффициентами координатных функций решения 1(х)

неравенств ( * заданных в области D , удовлетворяющая

условию ( 4 ). Тогда либо F (х) < с всюду в D , либо

величина M(t)= max { Т(х),0) растет столь быстро, что xesk(t)

г t dt « - Tn /а

tmo;M(t)( J j Sfc(t)n B J1 /(a-1 ) ) a (t) >0.

t/2

Здесь | Sjj.(t) П B| - мэра Хаусдорфа ( размерности M - 1 ) множества S^t) П D, t(t) = exp J X.a(t)4t, \.Q(t) = ^a(Sk(t) П П D), 1 = dK(D).

Кроме того, в § 2 главы III доказана Теорема III.2.2. Пусть D - к- допустимая область в RM и 1 : В —» кп - решение неравенств ( * ). Предположим,'что для линейной комбинации F(x) = с^ г1 (х) ... + o^^ix) координатных функций решения f(x) выполняется условие: Ilm Р (х .) - 0 вдоль любой последовательности х.. ( В (t) П

V -> со

П D, X > ¿^(D), не тещей точек накопления в области D. Тогда либо F(x) < 0 ( х € В ), либо величина

M(t) = f maxa{1 .PíxJJHjj^ (dz) Sk(t)nD

растет столь быстро, что для р < р0 выполнено неравенство

® -1 / (а—1 ) р/(а-1 ) J M (t) т (t) üt < со.

1+dk(D)

Здесь

t

x(t) = exp J" A.a(u)du, 1+ük(D)

p0 - постоянная, зависящая от a, v = v^/v^ и n . При этом можно положить

Ро = Ч / Ы (сИ )/a +

при a ¿ 2 и

р0 = а^ a / (а^ + /í¿ - п11 ( 1 + (а-1

при a £ 2; а^ = (n-1 )(n_1 )/2 при il > 2, а, = 1 ; ^a(t) =

= Vsk(t) ПВ).

В § 3 главы III вводится понятие a - емкости конденсатора и доказана теорема Лиувилля для решений неравенств ( * ).

Теорема III.3.1. Пусть 1(х) - решение неравенств ( * ), заданное во всем км. Если найдется ограниченная по абсолютной величине линейная комбинация Т(х) = f1 (х) + ... +■ рп1п(х) ( е к, k = 1 ,..., n ) координатных функций решения í(x) , то Г(х) постоянно.

В заключение искренне благодарю профессора В.М.Миклюкова за постановку интересных задач и внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Журавлева Ю.А. О качественных свойствах решений дифференциальных неравенств специального вида // Сиб. мат. журн., 1992, Т. 33, № 3, С. 78 - 90.

2. Журавлева Ю.А. О принципе Сен - Венана для дифференциальных неравенств специального вида // Тез. докл. VI научн. конфер. проф.- препод, состава ВолГУ, Волгоград, 1989, С. 69.

3. Журавлева Ю.А. Качественные свойства решений дифференциальных неравенств с частными производными // Тез. докл. VII научн. конфер. проф.- препод, состава ВолГУ, Волгоград, 1990, С. 92 - 93.

4. Журавлева Ю.А. Аналог теоремы Фрагмепа - Линделефа для дифференциальных неравенств специального вида // Тез. докл. VIII научн. конфер. проф.- препод, состава ВолГУ, Волгоград, 1991, С. 93.

5. Журавлева Ю.А. Аналог теоремы Сен - Венана для дифференциальных неравенств специального вида // Тез. докл. научно - техн. конфер. ВолгИСИ, Ч. II, Волгоград, 1992, С. 160.

6. Журавлева Ю.А. Теорема типа Фрагмена - Линделефа для дифференциальных неравенств специального вида // М.: 1992, Деп. в ВИЕМТИ 18.12.92, Jé 3581 - В92.