Проблема случайных блужданий без самопересечений в физике полимеров тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.19 ВАК РФ

ч. о с р

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ ВЫСОКОМОЛЕКУЛЯРНЫХ СОЕДИНЕНИЙ

На правах рукописи УДК 531.19 - 036.7 УДК 539.199:519.22/.25

АЛШЮВ ВАЛЕРИЙ ИВАНОВИЧ

ПРОБЛЕМА СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ БЕЗ САМОПЕРЕСЕЧЕНИЙ В ФИЗИКЕ ПОЛИМЕРОВ

Специальности: 01.04.19 - физика полимеров

01.04.02 - теоретическая физика

А вт орефорат

даосертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Ленинград 1990

' ! .....

: к

•', Работа выполнена в Московском областном педагогическом ^ , | шотитуте им. Н.К.Крупской

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук ГОТЛИБ Ю.Я.;

- доктор физико-математических наук, профессор ХОХЛОВ А.Р.;

- доктор физико-математических наук, профессор ФРАНК-КАМЕНЕЦКИЙ М.Д.

Ведущая организация - Отделение статистической физики Института теоретической физики АН УССР, г. Львов.

Защита диссертации состоится CCfOHct 1990 г.

в часов на заоедании специализированного совета

5-002.72.01 по защите диссертации на соискание учёной этапени доктора наук при Института высокомолвкулярных соединений АН СССР по адреоу: 199004, Ленинград, В.О., Золыаой проспект, 31.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института щсокомолекулярных соединений АН СССР.

Автореферат разоолан " " istLCLZ, 1990 г.

7чёный секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук, . старший научный сотрудник

Д.А.ДМИТРОЧЕНКО

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность проблемы. Диссертация посвящена исследованию проблемы, возникшей впервые в статистической физике линейных полимеров при вычислении их средних геометрических размеров. Линейные полимеры, как известно, представляют собой чрезвычайно длинные цепные молекулы (макромолекулы), число звеньев которых может достигать десятки и даже сотни тысяч. К таким системам относятся как синтетические полимеры, так и биополимеры. Каждое звено линейного полимера обладает некоторой ориентационной свободой относительно положений соседних звеньев, что обусловливает гибкость полимерной цепи. Число степеней свободы у таких макромолекул очопь велико и по порядку равно числу мономеров в них. Это позволяет рассматривать макромолекулу как макроскопическую систему и для определения средних значений величин, характеризующих, например, ее пространственные размеры, применять статистические методы. Многочисленные опытные факты показывают, что пространственное распределение мономеров макромолекулы относительно ее центра масс оказывает существенное влияние на такие макроскопические свойства полимерных растворов как вязкость, диффузия, светорассеяние и другие.' Наиболее важными величинами, характеризующими пространственные размеры макромолекул и измеряемыми на опыте, являются средний квадрат расстояния между концами макромолекулы и средний квадрат ее радиуса инерции.

Чрезвычайно важным эффектом, оказывающим очень сильное вли-. яние на пространственные размеры макромолекул, является так называемый эффект "исключенного объема". Суть этого эффекта заключается в том, что. в одном и том же элементе объема пространства не может находиться одновременно более одного мономера. Учет влияния эффекта "исключенного объема" на распределение плотности

мономеров внутри макромолекула и, в конечном итоге, на ее размеры получил название проблемы "исключенного объема" в полимерных цепях. Эффект "исключенного объема" является эффектом дальнего порядка, поскольку он обусловлен главным образом взаимодействием мономеров с большими разностями их номеров на полимерной цепи. Но существует еще и эффект ближнего порядка, связанный со взаимодействием мономеррв, соседних в дапной последовательности. Однако ведущую роль в формировании пространственной конфигурации достаточно длинных полимеров играет эффект дальнего порядка.

Геометрическая структура линейной полимерной цепи позволяет использовать идеи и методы теории случайных блужданий броуновской частицы. Именно цепочечный характер траектории блуждающей частицы и линейного полимера является главным свойством, на котором основана аналогия.в описания этих систем. Однако существенным моментом в теории: полимеров оказывается учет аффекта "исключенного объема". В терминах теории случайных блужданий этот эффект означает запрет блуждающей частице пересекать свою собственную траекторию. В связи с этим проблему "исключенного объема" в линейных полимерах в последнее время чаще называют проблемой случайных блужданий без самопересечений (СЕБС). В этом случае мы имеем дело сне марковским процессом, поскольку блуждающая частица должна избегать те участки пространства, которые, она посещала во все предыдущие моменты времени, т.е. должна . "помнить" весь свой путь. Наличие "памяти" в рассматриваемой проблеме наделяет последнюю исключительными свойствами, не имеющими аналогов среди известных физических задач. Цель ра1оты заключается в разработке теории СЕБС, имеющей важное теоретическое и прикладное значение в физике полимеров. Главной величиной в исследуемой проблеме является плотность вероятности

- Б -

(й) распределения вектора Я , соединяющего концу тра-

N

ектории, состоящей из м отдельных перемещений частицы. Определение функции позволило бы сразу получить важную пространственную характеристику траектории-среднеквадратичное расстояние < Й шаду ее концами. Поэтому первоочередной задачей настоящей работы является вывод точного уравнения для плотности Л^(И) или для величины, полученной в результате некоторого подходящего преобразования функции . Тогда следующий этап развития теории состоит в поиске и исследовании решений этого уравнения при различных условиях. Научная новизна работы выражается как в самом подходё к пробле-т мэ, так и в полученных результатах. Кратко перечислим их.

1. Установлено точное уравнение для функции

аи,р) = £ г" |е^„(Ыл1г

НЬО

где и^С Ю = Оц'Мн) ♦ Рц - нормировочный множитель, определяемый так, чтобы при отсутствии эффекта "исключенного объема" он был равен единице. Это уравнение по своей форме аналогично уравнению Дайсона и в исследуемой проблеме играет основополагающую роль, в связи с чем оно названо основным уравнением. Важнейшим;свойством основного уравнения является его инвариантность относительно непрерывной группы мультипликативных преобразоваяий-ренормгруппн (РГ), что позволяет использовать для его решения метод, аналогичный ренормгрупповому методу в квантовой теории поля. ■..'■''.'

2. В случае достаточно малой величины "исключенного объем" частицы, блувдавдей. без самопересечений в п. -керном евгсли-

довом пространстве, во втором порядке по получены асимптотические формулы для ( ^) , когда N ~~0° г а также для среднеквадратичного расстояния < И ^ между концами траектории частицы.

3. С помощью РГ-метода найден явный вид асимптотики плотности вероятности » когда п * 4 . Вытекающий отсюда результат для величины <Я У хорошо согласуется со значением < Я > ', полученным при помощи численных методов.

К

Однако РГ-метод в пой форме, в какой он обычно применяется в квантовой теории поля и статистической физике, эффективен пока при исследованиях лишь в пространстве размерности П * 4 или П - 4 - £ ,где О < £ 1. В диссертации изложен рецепт для использования РГ-метода в данной проблеме, когда Л.* 4 , что позволило определить искомую асимптотику функции "V/" ( Я) . Полученная отсюда формула для X Я V практически совпадает с соответствующим классическим результатом Флори.

4. Развит феноменологический подход для вычисления величины корреляции - среднего косинуса угла между. направлениями двух достаточно удаленных друг относительно друга отдельных перемещений сферической частицы, блуждающей без самопересечений в

П. -мерном пространстве. Предложенный метод позволяет также вычислить и величину < .

5. Непосредственно для функции дан вывод ш-тегро-дифференциального уравнения, которое для достаточно больших значений N может быть аяпрЬксищрбвано уравнение ч типа уравнения Фоккера-Планка. При этом подучено общее выражение для т.н. самосогласованного потенциала, с помощью которого можно развить способ приближенного решения данной задачи в духе метода саг/ооогдас званного поля.

6. Основное уравнение обобщено яа тог случай самоизбегающих блужданий в П -мерном пространстве, когда величины отдельных перемещений частили и углов между направлениями любых двух соседних перемещений ее подчинёны некоторым, вообще говоря, произвольным распределениям. .

7., Ц]?едложен но0ый подход к задаче о блуждании частицы без самопере сечений в однородном внешнем поле . Для не очень сильных полей найдена асимптотика плотности V (ß ) , когда N—OO. Теоретическая и практическая ценность. Установленное автором диссертации основное уравнение, а также развитый им метод решения этого уравнения составляет основу теории случайных блужданий без самопересечений., Изложенный в работе подход к решению рассматриваемой проблемы более прост и эффективен, чем все из, вестные'до сих, пор. способы, предложенные'для той не цели разными авторами. Разработанный ь диссертации метод учета эффекта "исключенного объема" в линейных полимерных цепях может быть использован,в статистической, теории растворов полимеров, а также в теории высокоэластичностя полимертах сеток. Апробация работы. Отдельные результаты, изложенные в диссертации, были представлены в виде стендовых .докладов на II , III и 1У Всесоюзных совещаниях.под названием "Математические методы для исследования полимёрЬв" соответственно'.в 1981, 1983, 1985гг. (г.Пузияо), а также в виде доклада на международном совещании "Ренормгруппа - 86" в 1986 г. (г.Дубна)..Кроме того, наиболее важйке; результаты, автора, данной диссертации докладывались на следующих науЧ1шх. семинарах: ,

.1) по физике полимеров (рук.акад.И.М.Лифшиц. Физический факультет МГУ, г. Москва, 1982 г., 1986 г., 1988 г.).

2) по квантовой теории поля (рук.член-корр. АН СССР Д.В.Ширков. Лаборатория теоретической физики ОИЯИ, г. Дубна, 1984 г., 1985 г., 1987 г.).

3) по квантовой химии (рук.член-корр. АН СССР А.А.Овчинников. Институт химической физики АН СССР, Москва, 1984 г., 1988г.).

4) по статистической физике (рук.акад. УССР И.Р.Юхновский. Институт статистической физики АН УССР, г.Львов, 1985 г., 1988г.).

5. по статистической физике (рук.проф. Ф.М.Куни. Институт физики ЛГУ, г. Ленинград, 1985 г.).

6) по турбулентности и стохастичности (рук.проф. Г.М.Заславский п проф. С.С.Моисеев. Институт космических исследований АН СССР, г. Москва, 1986 г.).

7) по математическим проблемам в статистической физике (рук.проф. Р.Л.Добрушин, проф. Я.Г.Сияай, проф. В.А.Малышев, проф. Р.А.Минлос, Механико-математический факультет М1У, 1986г.).

8) по физике твердого тела (руте.проф. A.M. Косевич, Физико-технический институт низких температур АН УССР, г. Харьков, , 1988 г.).

9) по статистической радиофизике (рук.проф. С.Ы.Рытов, член-корр. АН СССР В.И. Татарский, Институт физики атмосферы АН СССР, 1989 г.).

Объем работы. Диссертация изложена на 236 страницах мапгянопис-* ного текста и состоит из введения, литературного обзора, четн-. рех глав основного текста, приложений и выводов. Работа содержит I таблицу и 15 рисулков. В списке литературы цитируется 94 наименований. ■

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Первая глава диссертации посвящена обзору литературы по исследуемой проблеме за последние двадцать лет.

Во второй главе кратко изложена статистика простейших моделей линейных полимерных щэпей, в которых эффект "исключенного объема" не учитывается. К ним относится прежде всего, модель свободно-сочлененной цепи, в которой корреляция между направлениями любых двух ее звеньев полностью отсутствует. Далее обсуждается модель полимерной цепи с фиксированными валентними углами и свободным внутренним врацением. В этой модели угол 0 (называемый .валентным углом) между направлениями двух соседних по цепи звеньев подчинен некоторому закону распределения и в прости случаях, его считают фиксированным и равным @0 (, О < 0О< % ) Однако двугранный угол 1р (называемый углом внутреннего вра-це-ния) между двумя плоскостями, образованны™ параш соседних звеньев, принимает-равновероятно все значения от О до 25Г . Существенное отличке; от предыдущей модели проявляется здесь в возникновении корреляции между направлениями звеньев цепи. На-.конец, в заключения главы рассматривается модель линейного по-'.лимера с фиксированными валентным углам и .заторможенным внутренним вращением.' Эта модель-по. сравнении с 'предыдущими моделя-'ми в большей; степени соответствует'реаЛытм полимерам. Помимо заданного распределения валентного угла 0 (в частности, фиксирования угла 0: условием 0 , О 0О < 5Г )

.'здесь ещё. ьаодит'бя распределение для угла внутреннего врачонпя

; Рассмотренные моделЕ лине^п'ог полярных цепей проявляют общее свойство: плотность вероятности распределения

вектора Я асимптотически при N ОО приближается к нор-

мальному закону, а среднеквадратичное расстояние < К2^ меж-, ду концами да пи пропорционально числу ее звеньев N .. Этот факт объясняется экспоненциально быстрым Убыванием корреляции (или отсутствием ее) между направлениями любых двух звеньев с увеличением расстояния по цепи между ними.

МЕТОД САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ

В третьей главе изложен подход к проблеме "исключенного объема" в линейных полимерных цепях, основанный на методе самосогласованного поля. Ради общности исследование этой проблемы ведется в п - мерном евклидовом пространстве КП (Пн2"1>+2,

V = О, 1/2,1, . . .) . Предполагается, что полимерная цепь состоит из . N ."•■,1. мономеров, свободно сочлененных между собой N связями с длиной каждой связи, равной I .Все мономеры и связи пронумерованы в порядке расположениях их на цепи соответственно от 0 до N и от I до N , причем 0-й мономер совмещен с.началом системы координат в К" . Связи удобно рассматривать как векторы I. ( 11-1 = I , I = 1,2., .,. Ю, считая щ>и этом, что вектор направлен от 1-1 - го мономера к 1-цу мономеру. Взаимодействие между любыми двумя мономерами, соединенными более чем одной связью, описывается при помощи короткодействующего потенциала отталкивания и(К) с радиусом действия Г0 , не превышающим длину связи, т.е. Ро < [ . Тогда

- Г / - 1Г(Р)/кТ \ |П

обозначает величину "исключенного объема" мономера. В простейшем случае мономер мокло считать абсолютно тверд--м шаром с радиусом Гс /2 ■ . Пусть

UN= ? I ШГ ) 14C* JéN J

обозначает потенциальную энергию полимерной цепи, где вектор

Г.. = I Тк

соединяет геометрические центры I - i - го и j -го мономеров. Тогда средний квадрат расстояния между 1-1 - ми j-м мономерами можно записать в следующем виде

<L2u> = (j-Ul)l2 * 2.1a I I <Cos0KrB> (2)

J L &K-* m * j

где 0Km - угол между направлениями векторов L k и lm

-t f ~UM/kT Д ,

<Cos0Km> = QKJ(eKeff)e ñósi. o)

Q - нормировочный множитель, равный н

uM7kT н ,

н П ¿л. (4)

(ек- 6т) - скалярное произведение векторов вк=1к/1

QM-Iе"

и е = Г /1, d-ft = cJ doj dco -

m ni *

элемент поверхности сферы единичного радиуса в fRn , СО = 23Г1+1>/ l~(i +V) величина полной поверхности этой сферы, Г(х) - гамма-функция Эйлера; Величину, К. Cos можно рассматривать в качестве

меры корреляции между:направлениями векторов (.^и lm , обусловленной эффектом "исключенного объема". Очевидно, что в случае UCR) = О последовательно, = О имеем

<С0Б 0кт)=О. Естественно ожидать, что <Со&0Кт} > О,

когда > О .т.е. объемные эффекты приводят к увеличе-

нию среднеквадратичного расстояния между мономерами полимерной цепи. Из равенства (2) нетрудно получить соотношение

левую часть которого можно аппроксимировать при достаточно больших значениях -Б н ] - I + 1 выражением 1-1. .). Отск>-да с помощью некоторых общих соображений относительно,поведения величины

, когда Ь ~ Н , для функции

а ч /

У(3)= <1\^/1г

установлено дифференциальное уравне-

ние

¿б*

А Г

Б

(5)

где

, а коэффициент С может быть найден

с помощью теории.возмущений (например, для г\ = 3 ( "V = 1/2)

3 /2

имеем С» = (5/2Я ) ) . Асимптотическое решение уравнения (5), когда Б ОО / единственно и при 2 - И <■ 4 (О £ V < 1) имеет следулций вид

У(5)

Тоцца для величины

Г (2+У)2 ц]

I 3(1-У) Г ]

I 2+У

3

за-V)

<Со8 0..> (] - 1+5-1) получим

¿♦V

3(1-V)]

(2^)4

Й)

1

2+у

1+2? 2+ V

Наконец, в случае П > 4 асимптотическое решение урзв-еняя (5) при S Оо имеет вид

У (s) ~ 0(s)

, следовательно ,■■'..

<Cos0..> ~ О {S"V}

Таким образом^ эффект "исключенного объема" приводит к репейному закону убивания корреляции между направлениями двух зеньев полимерной цепи I- и Ц с увеличением величины = j-i + l , а именно: <Cos Q-tj> ~ Ojs"*}, причем i для п <■ 4 и ы. > 1 для п > 4 . Определим плотность вероятности распределения вектора R. , юдиняющего концы полимерной цепи из N .звеньев, с пом'щьп г.енсгва

W-.(R) = Q_i U7 (R), (••)

N "

котором-

UHR) = feим/кТS(R-1 )ñdí7, , (7) ■ J ..' iN i* i

ц - нормировочный множитель, определенна равенством (4). формул. (I) и (4) следует,, что в случае 1?"0 Щ О ]>o.r¡tw¡m ^ будет .равной единице для. всех' 1 .-Нас нят^рйсулт

шшм образом асимптотическое' поведение фугпецкя W N ( Fi ) [■да М —ОО • и- R >> I ' , Для згой шля било г:о;гу-ю дифференциальное уравнение ■..'■-■ •; .

Wi] - ¿ va uФЛЪЫЛЪ), ее)

ЗМ 2и N м м ' .

которое относится к типу уравнения Фоккера - Планка и составляет основу метода самосогласованного поля в исследуемой проблеме. Общее выражение для потенциала Ф (I?) самосогласованного поля, создаваемого в точке расположения Н + 1 - го мономера всеми остальными N мономерами цепи, имеет вид

" 1" 1-1 \ ехр{-и„/кт^ пао,(9>

где

Для того чтобы найти асимптотическое решение уравнения (8) при N ОО , необходимо предварительно упростить выражение (9), используя при втом какие-то предположения. Однако сразу же возникает вопрос о точности используемого приближения, ответить на который при таком подходе не представляется возможным. Более строгий и результативный метод исследования проблемы рассмотрен в следующей главе диссертации.

НОШЙ ПОДХОД К ПРОБЛЕМЕ СББС

В четвертой главе, играющей центральную роль во всей работе изложен новый подход к проблеме случайных блужданий без самопересечений. Постановка задачи в этом случае формулируется следующим образом. -

Сферическая частиг.д, диаметр которой равен Г0 , начинает бяувдаяке из начала координат в (Л." так, чтобы каждое отдельное перемещение I ео гооусгрического центра имело постоянную

Длину 11^1 = 1 (1^1) »но случайное направление. Кроме того, после кавдого перемещения частица должна избегать те области пространства, которые она посещала после всех предшествующих перемещений. Отсюда тогда следует, что Гв < I . Требуется найти асимптотику плотности вероятности (К) распределения

г»

вектора И , соединяющего концу траектории, состоящей из N

отдельных перемещений частицы, когда М —ОО , й >>• I .

По-прежнему, плотность вероятности представлена ра-

N

венством (6), функцию 10" (й ) в такой постановке задачи можно записать в виде

(10)

где

Р = П II (1 + ^ (1^.1)) 1Н ¿¿л ч

}(Г) =

-1 , если Г <■ Гс ,

О, ес>м Г > Г0 ,

а нормировочный множитель равен •

Если теперь определить функцию & = (1(2,р) при помощи равенства

н

то дал неё имеет место уравнение

а4(2,р) = с^и.р - (к)

в котором .

= 1- гК^(р[), (13)

= ух), (14)

= (п-2)/2 , - функция Бесселя, а величина

представляет собой бесконечный ряд, первые несколько члвнов которого имеют вид

&(2>р)=-^(«)а(р-х)а,,ж/(гас)и + (15)

+1 тзсЖж')а(р- эе)а(р-х-зе')а(р-эе') сГэе &'/(2 яГ--1 ) |а (р- ж) а (р- ж-Xа (р - Е- * - 5м; *

х а(р-х-Г')аф-я') + «•

* а (р-2- Г') а (р - Г) •»■ а(р-зе)а(р- - х- £") * х + с (р- х) а (р - & - зГ) а(р - х') >

* а (р - х'-Г) а (р - Г)} ¿ж ¿У аУ/(?.я)3" + . ,

гда • . • '

1Г(х) = - ] <г)сГг« ' 9 " (16)

а 1?"0 - величина "исключённого объёма", равная

^0= '(17);

Для упрощения записи формул зависимость функций от 7. не всегда будем указывать. Уравнение (12) замкнуто относительно неизвестной величины С1(2,р) и по своей форме напоминает известное уравнение Дайсона. В исследуемой проблеме уравнение (12) играет чрезвычайно важную роль, в связи с чем оно названо основным уравнением. Для выяснения структуры ряда (15) его члены можно изобразить графически. С этой целью каждому члену ряда (15) сопоставим диаграмму, состоящую из некоторого числа вершин и набора сплошных и волнистых линий, соединяющих эти вершины. Кроме того, каждая диаграмма содержит еще две сплошные внешние линии, одна из которых называется "входящей", а другая - "выходящей". . Каждой линии приписывается определенный вектор - "импульс", причем в каждой вершине, где сходятся две сплошные и одна волнистая линии, должен выполняться "закон сохранения импульса". Наконец, каждой внутренней сплошной линии сопоставляется величина С1 (2,сС) а каждой волнистой линии сопоставляется - Ц"(Э£)/(25Г)п , затем по векторам.всех волнистых линий-выполняется интегрирование. В соответствии с этими правилами, ряд (15) можно представить так .

■Б

(2,Я) =

4-

(18)

4-. д. у л' -к

" . Рис. I

; Анализ структуры членов ряда (15) позволяет утверждать, что'проблеш,'. связанной с расходимостью интегралов, здесь не существует. В самом деле, если во всех интегралах перейти к

конфигурационным переменным { г} , то нетрудно увидеть, что интегрирование по {г} ограничено снизу по модулю величиной (Г I = Г0 > в чем собственно и проявляется эффект "исключенного объема", в то время как на верхнем пределе (г-»- оо ) подынтегральные функции экспоненциально стремятся к нулю из-за конечности числа перемещений, составляющих траекторию блуждающей частицы. Но остается еще проблема сходимости всего ряда в целом. Однако нетрудно показать, что для всех вещественных значений величины р ряд в (15) абсолютно сходится по крайней мере в области | г | 1

Допустим что нам известно решение уравнения (12). Тогда с помощью преобразования Фурье

^ иД) = | е аи,р)с1р/<251)п

можно найти производящую функцию

Н*0 н

а затем, используя формулу обращения

определить функцию .И)" (И) . Если еще учесть, что

N

то согласно (6) мы получим искомую плотность вероятности

( К ) . Теперь в равенстве (22) воспользуемся поочередно формулами (21) и (19), а затем выполним интегрирование по Я .

(19)

(20)

(21)

В результате появляется формула

¿г

из которой следует, что

а(2,о)= X 2м<э

М%0 Н '

Объединяя последнее равенство с уравнением (12), получим

(3 £(г) = 1-2 -6 (г,о). (25)

Пусть обозначает ближайшую к началу координат особую точку функции (2 (г) , т.е. по определению имеем

I- го- Био,0) з о. (26)

Отсюда нетрудно видеть, что 2-о- 2о(Ц"0 / I" ) , причем 2о(0) = 1 . Таким образом, учет эффекта "исключенного объема" приводит к смещению особой точки Т0 из "невозмущенного" ее положения 2о(0) - 1 . В геории аналитических функций утверждается, что граница круга сходимости степенного ряда проходит че-, рез ближайшую к началу координат его особую точку. Кроме того, асимптотическое поведение функции, представленной степенным рядом, при приближении переменной' 2 \ к границе круга его-сходимости можно связать-с асимптотическим.поведением коэффициентов этого ряда, когда их порядковые номера стремятся к бесконечности. Важность последнего утверждения обусловлена тем, что первоочередной задачей для нас является' определение асимптотики плотности вероятности "ДО".(К) при, Ы.--*' ОО и й ^^ I .В N ,

; связи с этим целесообразно.перейти от 2 к новой переменной £ = 2. /2 и ввести следующие обозначения

А(£,р)= £_1а(г,р), 8(£.р1,У;А)= £&и,р),<27)

V=sгU•/Ln. <28 >

Учитывая тождество (26), уравнение (12) можно записать так

А_1= 1- 2о[1-Л,(р1)]+В(1.0,У;А)-ВМ^А).(29)

Пусть теперь р1 г I £ ( Й е > О ) обозначает ближайший к началу координат р = О корень уравнения А *(5,р) = 0. Тогда из уравнения (29) следует тождество

°1 * 1 (30)

связывающее мевду собой переменные ? и £ . Наконец, используя (30) в (29), мы получим основное уравнение в следующем виде

А~1= А"01(м)+ В(с.Ы,у;А)- 8(е.р1 .V; А), о«

где

"А"ои.Р)а (32)

Уравнение (31) совместно с тождеством (30) положено в основу метода исследования проблемы СББС. Здесь необходимо отметить одно важное свойство уравнения (31), суть которого заключается в инвариантности этого уравнения относительно мультипликативных

преобразований

А - А'= ¿А , А0 — А'0= <А А0 , (33)

V — = аГ2^ '

где об - не равный нули непрерывно меняющийся параметр. Преобразования (33) образуют непрерывную группу, называемую обычно группой ренормировочннх преобразований-ренормгруппой (РГ).

Для выяснения физического смысла РГ в данном подходе запишем выражение для \У,, (Я) в следующем виде

п

= фск & и?чг.ю/фс15 А(г,0) (34)

г г

согласно формулам (б), (21) и (22), где

г&(*Д) «]е1В'^А(5,р)(1р/(2я)п, (35)

а замкнутый контур интегрирования Г выбран так, чтобы качало координат 5 = 0 и все особые точки подынтегральной функции находились внутри этого контура. Из формул (34) и (35) следует, что для определения асимптотики плотности , когда

N ОО и Я >> I , необходимо знать поведение функции А(5,р) в малой окрестности точек £ = 1 и р ~ О .В дальнейшем всюду предполагается, что значения 5 и р принадлежат • окрестностям указанных выше точек. Но тогда согласно равенствам

А/Х) = {- Х/2Г» + 0(Л, х~0, (36)

и (30) значения Л , принадлежат окрестности точки £ = О . Если теперь положить = с*, N , = ^^ ' ., > 0 , то формулу (34). можно записать так

(С) =

Л Г' г'

где »¿.(5/г')й(5.В),' /\'(5\р) = ы($/£')А(1£.р) .

Тогда для достаточно малых значений и р уравнение

(29) можно записать в виде

(А')1= 1 - {?[') + В(1,0У;А')- В(^р1У;А')(38) ♦ г—

где I = I /1 , V = V . Сравнивая теперь между собой выражения (34) и (37), а'также уравнения (29) и (38), мы цриходим к выводу, согласно которому изменение числа перемещений N в соответствии с равенством N = А N эквивалентно изменению длины I одного перемещения по закону 1=1/^ и личины "исключенного объема" 0"о соответственно правилу У' = Л V . Следует, однако, подчеркнуть, что это утверждение относится лишь к асимптотическому случаю ( Н ОО , И »•> I) и в символической форме оно выглядит так

V = (39)

N ' <*П

Отсюда нетрудно получить следующее асимптотическое выражение для среднеквадратичного расстояния между концами траектории блуждающей частицы

<н*> ~ «^(н'^Ч/П , (40) N

где у. С х) - подлежащая определению универсальная функция. Из формулы (40) видно, что размерность л = 4 = 1) является выделенной, поскольку роль "исключенного объема" для П>4 > 1) становится малой и при вычислении величины < можно использовать теорию возмущений. Таким об. N

разом, наибольшую трудность представляет исследование проблемы СЕБС для П £= 4 ( ^ ^ 1) .

- 23 -

В § 3 главы 1У рассмотрен случай, когда величина "исключенного объема" 1?"0 мала настолько, что для вычисления искомых величин можно использовать теорию возмущений. В этом случае условие малости "исключенного объема" будет зависеть от размерности п и числа перемещений N :

(V0/Ln)N1"S' i , когда п < 4 (tf0/l4) N << i , когда П=4

Для П = 2 П = 3 (^=1/2) и 11=4 ( V = О

в диссертации приведены явные выражения асимптотик плотности вероятности ( R ) с точностью до второго порядка по Üq включительно. Так, например, для наиболее важного случая П = з (т) = 1/2) имеем

W,W~ Q> (jfa2-Ofíf(l*2|)V'«pf

где

-3/2 у . А ч 2 г

(2STM/3) QH=. 1+41?-23Г (2-е-(n|)v + 0(tf ), V = (3/2Jr)>TÑ Üo/l3, tf = >1 3/23t tt ,

У = jx - tf + ^ X=R/L\fÑ)

С - постоянная Эйлера ( С = 0,577...). Отсюда следует

<R2>/Nl2= i- + [23í(2tn2-|-)-^]^+0(VS).

- 24 -

РЕН0РМ1РУТШ0Б0Й МЕТОД

В основу подхода к проблеме СББС, когда величина "исключенного объема" Я)0 удовлетворяет лишь единственному условик (^„/1") 1 , положен РГ-метод. Отправным пунктом для реализации этого метода может служить свойство (33) основного уравнения. Последнее более удобно использовать здесь в форме (31). Если представить искомую функцию А (С.р) в гчде

А = Ао0, (41)

то из (31) для новой неизвестной величины О следует уравнение

О1- 1 - Ао(МЭ)[В(?.Ы,У;АО0)- В0гДу;Аое)].(42>

Поскольку для достаточно малых значений £ и р функция Д0(£,р) ведет себя согласно (32) и (36) как А0(£,р) ~ рг)1г , то безразмерную величину (

можно рассматривать в этом случае как функцию безразмерных че

ременных

для которой при некотором значении р = X выполняется условие нормировки

Тогда РГ - свойство уравнения (42) можно записать так

где V - новая точка нормировки, т.е. теперь G(Sl/X',i,v')= 1, a V'= ot~2 Y . Уравнение (43) означает, что умножение величины G на dL О эквивалентно изменению точки нормировки и перенормировке "исключенного объема". Полагая Л* в (43) и учитывая условие нормировки, получим оС~1~ G (£а/Х, Х'/.Х , V ) ив новых обозначениях :

X У = р2/л, t = х'/х

уравнение (43) примет вид

G(x,y,v) = G(*,t.v) G (x/t, У/t, v Ga<x,t.v)). (44)

Если теперь обе части последнего равенства возвести в квадрат, а затем умножить на V , то в итоге мы получим для величины

V(x,y,v) = V Ga(x,y,v) <45>

функциональное уравнение

V(x.y.v) = V(x/t. M/t,V(x.t.v>) (46)

со следующим условием нормировки

V(x,l,v)=v. (47)

Поскольку РГ - непрерывная группа, то ее можно описать соответствующими дифференциальными уравнениями Ли, очень удобными для практических целей. Чтобы получить уравнение Ли, например, для .продифференцируем обе части равенства (46) по У и затем положим t = У В результате имеем

8 у ху '

где

04 = 1

Граничным условием к уравнению (48) служит условие нормировки (47). Если теперь в уравнении (48) перейти к пределу при Х-*О и ввести обозначения

У(УЛ)-ЬтУ(х,м/0, (50)

х— о ОУ

то для функции У(у.у) имеет мэсто уравнение

(51)

6 У 4 7

с граничным условием.

У(1,У) = V. (52)

Уравнение (51) с учетом равенства (52) можно написать также : в форме уравнения Гелл-Манна-Лоу У(У.У)

|/¿"'(Осй = 1пУ "<®>.

V

очень удобной пои исследовании асимптотических свойств функции

Таким образом, согласно полученным выше РГ - уравнениям-эффективным параметром, характеризующим интенсивность объемно-, го взаимодействия в малой окрестности точек £,= О и £ = О чблтотся инвариантный "исключенный объем". Поэтов,'чтобы определить асимптотическое поведение,'.например, функции (т (У,У) при у —»■ О , необходимо знать, как при этом ведет себя

величина А7(У,У) . Но поведение последней определяется свойствами функции Р»(У) , как это следует из уравнения (51). Поскольку для вычисления функции ($ (V) обычно используется теория возмущений, то реально мы можем судить о ее поведении лишь в малой окрестности точки V = О , в которой (5(0) = О . В самом деле, если в этой окрестности величина р) (V) положительна, то согласно уравнению (51) инвариантный "исключенный объем" V(У,V) стреглится к нулю, когда

У О . Если яе функция (V) отрицательна вблизи нуля, то при У —О величина "V ( У, V ) возрастает, в результате чего мы выходим за рамки применимости теории возмущений.

Как уже отмечалось выше, для определения асимптотики плотности вероятности WtJ(R) , когда N ОО и Я » I , необходимо знать поведение функции А(5,р) в малой окрестности точек £ - 1 и р - О или, что то же, функции в вблизи В — О и р = О . В этом случае наиболее существенными областями- интегрирования в членах ряда (15), очевидно, будут те области, в которых значения аргументов у всех подынтегральных функций по модулю малы, т.е. когда для каждой переменной интегрирования X справедливо условие 1 . Для таких значений выполняется также неравенство ХГ0*-< 1 поскольку Гс I .В этом случае согласно (16) и (36) для достаточно малых значений мы получим приближенно равенство 1Э"(Э1)- , которому соответствует известное в теории полимеров приближение = - $ (Г).

С другой стороны, когда величина ЗЕ возрастает и принимает значения К I (а сопряженная ей величина Я , согт-

ветственно, убивает до значений 1? ¡6 I ), объем пространственной области, доступной для блуждающей частицы, уменьшается благодаря возрастанию эффекта "исключенного объема". В связи с этим плотность вероятности (I?) в области Я 6 I и соответствующая ей функция А(Е,Эе) для * Эь I"1 должны принимать наименьшие значения. Это означает, что область интегрирования эе зь I"1 во всех членах ряда (15) оказывается несущественной при вычислении искомой асимптотики плотности "ЭД^СЮ . Поэтому мы вправе использовать приближение \7(ЭС)=1)"0 в (15) для всех X .

2. . ,п

Тогда, переходя к обозначениям (27), (28) и \/0= £ %/1 и полагая для простоты 1=1 , ряд (15) можно записать в следующем виде " ..

В(£,]),у0; А) = - уой(5,0) + А(е,р-зс)«

о ' (54)

* Н(£,х) -

где ■ ,

оо .. . ,

Диаграммное изображение членов ряда (54) получается из сорт- ■ ветствувдего диаграммного представления-.ряда .(15) на рис. I в результате стягивания волнистой линии в точку так, чтобы последней соответствовал множитель,— V,, / ( 2 ЗО " ив каждой ; такой точке, по-прежнему, выполнялся "закон сохранения импульса".

В итоге мы придём к-следующему представлению ряда (54):

Ьи.р) =

о

(а)

(I)

(а)

(б) (В)

Рис. 2

где с помощью квадрата обозначена совокупность диаграмм:

V* = И = X

Рис. 3

называемая обычно вершинной частью.

В том случае, когда ^ г* О и р ** О , переменные | и |) фигурируют в уравнении (31) лишь в вида комбинации + ра согласно равенству А0(§,р) = 2 П /20 ( + рг ) . Примем такяэ во внимание, что А(Е,р) является чётной функцией относительно р , а,ближайшие к началу р ~ О её особые точки равны а = £ I ^ . Кроме того, когда П-« 4. поведение функции А (ъ,р) в малой окрестности точки р ~ О определяется главным образом разностью

А) -_В(тг,р,у.;А)

(53)

поскольку эффект "исключенного объема" в этом случае очень существен. Поэтому при решении уравнения (42), когда п 4 , естественно принять в качестве исходного приближения для О следующее выражение

~ 2Ц г г ^ _£

0(£,р)~и (£+р) , если , (57)

где параметры 14 = и (V,,), Ц = р(И) . (О* 1 дляП*4) и I- >■>■ 1 подлежат еще определению; если же О 1_~1 , то величину мы будем считать пренебрежимо малой. В слу-

чае п = 4 , когда "исключенный объем" У0 еще можно рассматривать как малый параметр теории возмущений, исходное приближение мы примем равным единице для р < < и близким к нулю для р >>

Для построения явной зависимости приближения 0(Ь,р) от переменных | и р во всей области их изменения удобно использовать функцию Макдональда К^Сх) благодаря подходящим для наших целей ее свойствам

К(х)

ои

А-1 -А.

2 Г(ы) х , ы. >0, 1,

I-- -х

>¡3Г/2Х € , X » 1 .

(58)

Случай: п=4 (V»!) Согласно равенству (41) и описанному выше выбору величи-

л/

ны 0(&,р), в качестве приближения для А выбрана следую-:

гцая функция

- 31 -

Тогда, подставляя последнее выражение в формулу (35) вместо функции А(£,р) , получим соответственно

Если теперь в равенстве (54) воспользоваться выражениями (59) и (60) вместо А(5.р) и I?) ,а затем положить

£ = 1 ( £ = 0 ) , то в результате находим

б\о,чу ) = {- 2V*(п у - 16V* (Л - Э(« У) + ,.. (61)

Где , 0 = 3+ 4(Сп2-С).

Используя выражение (61) для определения функции с по-

мощью формул (50), получим

4У3, V- О.

Наконец, учитывая последнее выражение при решении уравнения (53), мы придем к следующей формуле для инвариантного "исключенного объема"

У(у^) = V (1- 8/&1У) 1 >

откуда уже нетрудно определить функцию А (£,р) :

А (1,р)=(43Г) р (4У0{*р ) . (62)

Далее в рассматриваемом здесь случае уравнение (29) при I мотдо заменить приближенным равенством

а~1(2.Р> = "5-1 + л^а.р).

Кели теперь в правой части последнего соотношения использовать виракение (62), а затем полученный результат для. А (С,р) подставить в формулу (35), то для достаточно больших значений

гч* ■

нетрудно определить вид функции . Далее найден-.

о-»

нов выражение для КМ5, К) подставляем в формулу" обращения (34) и при асимптотической оценке интеграла, когда N-»-00, воспользуемся методом перевала. В итоге для главного члена асимптотического разложения плотности вероятности (Я) получим следующую формулу: ...

где

N = \|2У0/згт N

. Отсюда нетрудно найти соответствию цул асимптотику для среднеквадратичного расстояния <

п

м^эду концами траектории блуждающей частицы ' г /о ч1/+

<И > ~ N. (хЬ н,) (65)

N '

Последив результат хорошо согласуется с численными расчетами ь' л.мчапы < для рассматриваемого случая п = 4 .

К . -

Случай: П < 4 ( V < 1 )

Пос.тьсч ствешго принятому шяио приближению ■ 0: для, (?. а тзгле выражениям '(41) и (5?) 1.с."-йрем функцию .

1 Г(1-н)7-0 \ £ + р / 1-М

в качестве исходного приближения для А (£, р) . Здесь следует подчеркнуть, что выбор явного вида приближения для А(£,р) неоднозначен, однако в данном подходе необходимо лишь, чтобы его поведение при р ■<■•< L 1 и p>>L1 подчинялось указанным ранее условиям. Действительно, поскольку функция А4(Ь,р) согласно ее определению (66) ведет себя при pL**! как 0{и (&а+ра)и *} и экспоненциально стремится к нулю, когда pL >> 1 . Таким образом, задача теперь сводится к вычислению значений параметров U , И и L , для которых пробная функция At(&,p) представляет собой в определенном смысле решение уравнения (31).

Допустим, что значения U , Ц ■ и L определены. Тогда, подставив функцию (66) в формулу (35) вместо А (£, р) , получим выражение

и-» 2ц / wa ч^ ___

nu (-г-л) К (*1КС)Э<«>

которым мы затем воспользуемся в формуле обращения ~ ; г , NCnc

<pds е (68)

Для асимптотической оценки интеграла в (68), когда значения Н и R стромятся к бесконечности, но их отношение R/H фиксировано и ( R / N ) « { , перейдем к новой пере те иной интегрирования Л с помощью тождества (30). С этой пэлыо пэс-польяуемся в (68) разложением Cn S = £ - i + О {(£-Ог} и тождеством (30), представленным в виде

- ~ -ь EU), (бэ)

где величина

Е(Ш= В(в.1*,у.;Л) - В(1,0^в;А), т

как мы ожидаем, ведет себя в рассматриваемом случае подобно ОС^*) , когда § ~ О , причем сС < 2 . Если теперь в выражении (67) учесть асимптотические свойства функции К .(X) при X ОО и ВВ0ОТИ обозначение -

г *

= Е(|)- Х| + СК*1), (71)

то формулу (68) можно привести к виду

и; (й) ~ (Си Уг0 И )*

М (72)

где С обозначает здесь и далее некоторую положительную константу, зависящую, возможно, только от П . При этом в разных Формулах константа С может иметь различные значения, но нигде она не стремится к нулю, когда П 4 . . Наконец, используя метод перевала для асимптотической оценки интеграла в (72) при N ОО , мы получим искомую асимптотику функции

' Для определения величин и , И и Ц воспользуемся их независимостью от переменных ^ и р . В связи с, этим в уравнении (42) положим ]= = О и для упрощения записи формул зависимость величин от значения & = О .указывать не будем.

ГУ/

В этом сл.учае функция С (р) = А1(р)/А0(р) вблизи точки р = 0 ведет себя как

&(р)~(и2рг)М

и ее можно принять в качестве решения уравнения (42) при Ь = 0 и р ~ О . если

Г ср) н А0(р) [ви.ол; А,) - ви.рл; А,)] ~ ~ X рг)т/щ\ ,

тя

Однако согласно РГ - методу для определения асимптотики функции О (р) » когда р ~ О , необходимо знать коэффициент лишь при линейном логарифмическом члене в разлопшнп величины Р (р) по степеням О2 |_г *

г СО

Р(р) = (2п/2орг){соу0г {ая^^^-А^рю]^^) -

° (75)

оо

о •

Первый член ряда в (75), определяющий вклад в величину Р(р) от диаграммы (б) на рис. 2 запишем в виде

1^(р)^А0(р){Вб(о) -В0(р)} ,

где . гсо

О (77)

л 2 -3 бн Зи+21-1 у , N

= суо2; и р К (рь)

обозначает вклад это"; диаграммы в В (i,p,Ve* At) . Если теперь подставить выражение (77) в правую часть равенства (76) и принять во внимание формулу

X Kt(x) = { + ( xV2L > £nX + OCX2),

то нетрудно видеть, что логарифмическое поведение функции Fff(p) пр:г р ~ О мокно обеспечить, положив 2= О . ,т.е.

Н = (4-п)/3. (78)

В самом деле, из равенства (76) - (78) следует, что

F,<J» ~ - с t^e. и»

Сравнение выражения (79) с первым.членом ряда в (74) приводит к идее определить величины U и L так, чтобы'

2.2 6Н

(V./OWch.

L = С и,

(80) (81)

и то*.? сздмм

Fß(p) ~ - С W» M р . (82)

17орэ"дем теперь ко второму Члену ряда в (75) определяэде-вклад з величину F (р) от диаграммы (В) на1рис. 2. Отличие пос^днс? от диаграмма (б) вызвано добавлением одной врргаины.-и-дсух л:аг:гЛ, о'разуютдас петлевую .поддиаграмму; В результате до-^ъвленкя такс" "петли" в расскатриваемом:члене ряда в; (75) 'под зяпкок "нтеграла появится дополнительный множитель

etil (xL)

М/2

(83)

который для достаточно малых значений Ж является почти константой и становится пренебрежимо малым, когда Ж >> С1 , Выражение (83) может служить также для оценки вклада в величину Р (р) при переходе от произвольно выбранной диаграмма к следующей по числу вершн диаграмме, так как любой такой переход всегда сопровождается добавлением одной вершины и дгух линий.

' Обратимся к диаграммному ряду на рис. 3 изображающему совокупность всех возможных диаграмм с четырьмя внешними линиями. Такая совокупность четырехугольных диаграмм, называемая иногда полным четырехполюсником, составляет вершинную часть V * в диаграмме (21) на рис. 2. Для полного четырехполюсника мокно установить замкнутое уравнение и в случае < < £ решить его в так называемом паркетном принижении. Используя теперь полученное таким образом решение для V в выражении (75), мы прядем в конечном итоге к представлению функции Я (р) в виде ряда по степеням - |Д Ел р2 13.

Далее при подходящем выборе констант в (80) и (81) можно достичь совпадения линейных относительно (л и?'рг членов в выражениях (74) и (75). Учитывая затем полученное разложение для Я(р) . в РГ - уравнениях (51) - (53), т придем к следу-вдей асимптотике функции С (р) : 0(р) ~ ( и2р2 ) ^ 5 т.е. С-(р) - 0 (р) , когда р ~ О . Именно этот факт я оправдывает выбор функции СгС|,р)в А^Ш.р)/А„(£,р) в качестве приближенного решения уравнения (42).

Поскольку значения параметров Ы , ¡и я 1_ опродсл»-нн и тем самым определены функции в (66) и (67), то теперь кет бкггь вычислена и функция Е(§') , заданная рано нет (ГС).

В результате получигл

где

ЕОО-СУ"3*1'*' -ОС*2),

3/(п+ 2).

(84)

(85)

(86)

Далве с помощью равенств (69), (71) и (84). находится подинтвг-; ральная функция в (72). Применял затем метод перевала для асимптотической оценки интеграла в (72), когда' N —ОО а К >> 1 , мы получим искомую асимптотику плотности

когда п а 1,

■•'■-'•; (87)

N

•и р . ч с^ 1 ехр{-1: }? когда 1< п< 4,

Р =

6 (П-1)

Я

пи- г у п-1

. (83)

Отсада д. и с^^у):-:. топ;:;: б:ггшл:".г ■.*о

Улг.гтоп^' расстожзм-'^о.я^-'крн^аг'траок-: N р

который предотавляат ообой известное обобщенно формулы Флори на п - мерный случай ( п < 4 ) • В том случае, когда величина Е = 4- П доотаточно мала, критический показатель ведёт себя как

- 7Б + О (б2)

2 12

и, стало быть, в первом порядке по £ (0< £«1) совпадает о соответствующим результатом Вильсона, полученным дан стандартной модели скалярной теории поля. Таким образом, изложенный мэтод принципиально отличается от известной теории де Еена и приводит к новому £ - разложению в окрестности критичеокой размзрнооти Г) = 4

Далее, согласно формула (87), асимптотика функции (к)

N

в области имеет "провал", обусловленный эффектом

"исключённого объёма", при этом для П = 2 она выпукла вниз ( р = 4 /3 ) и выпукла вверх ( р = 5 /12 ), когда П = 3 • Для описания поведения плотности в области Я. <

обычно вместо р используют другой критический показатель

, при помощи которого вычисляется вероятность возврата блуждающей частицы в исходную точку. При этом зависимость между

1"с и р определяется формулой Клуазо: = •

Подставляя в поолвднее равенство выражения для V,. из (85) и р из (88), получим 2 в случае П = 2 и

= 5 / 4- V когда П ~ 3 . Для сравнения отметим, что значения ус , вычисленные в ряда работ с помощь» как аналитических методов, так'и вычислительных !.:агип, когда

П = 2 II П = 3 . , оказшзаэтся несколько хэнкэ пр::-вадоитл; выше значЕИПП! . Однако сдздуз:- учэсгь, что

формула (87) является асимптотической и получена цри условии

В соответствии с принятыми в теории критических явлений обозначениями можно написать А (1,р) ~ 0(р~2+'') , когда р ~ О , и А(£,0) ~ } , когда £ ~ { . Тогда, принимая

выражение (65) в качестве приближённого решения основного уравнения для А ( р) и учитывая равенства (69) и (84), получим, что = 2 а критические показатели у , |-| и связаны мезду собой известным соотношением: у = (2.- Г|)

Что на касается другого критического показателя С| , то формула, полученная для него в (88), является общепринятой.

ОБОБЩЕНИЕ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ .

В последней пятой глава диссертации дан вывод основного урав-

i гения б том случае, когда направление кавдого отдельного переш-

цзшш частицы в (И." зависит от направления её предыдущего пера-

Кроме того, длину отдельного перемещения мы не фиксируем,

и еч.д'аои её подчинённой некоторому, вообще говоря, произвольному

}У:.опроцолэнию. Тогда искомую функцию и)"и ( Я.) можно

' г»

нродставить в виде "''"'-■1 ''•' Г-• -

N N ||

ш(1?) = [ Б (К - I г ) р. 11 б (е - О Пт(г )сГг (89) -N ^ к«« К 1Н Кх1 * к.4 *. ' К

гдо <э(ек,ек_1") - плотность вероятности, распределвния косинуса угла шаду векторами =К^/Г, я Г -Ур-Г

ТСг ) - плотность вероятности распределения длины» V одного ,':о()Э!:л:;о!птя. Далее разложи функцию ф (бГц'.в,^) .••'. з ря.г; ко гогот до нам Гегокбауэра

и воспользуемся для них "теоремой сло:юнпя"

м*1

где 5Д (<Г) , 1,2, - ортонорщрованная на единич-

ной гиперсфере система из т = (2>+ п-2)(\+ п-3)!/Х1 (п-2) ! вещественных сферических гармоник степени X . Тогда

«(<?„•<?„.,)= I Гв^сг.^сг^), о»,

>>0 м«1

где

-I

Разложение (90) подставим в (89) и определим оператор Т (р) посредством его матричных элвментов

<хМ1Т<р)1хУ> = ^ ]еР'КТ(г)5"(ё)5"де)апг.

Если и теперь определить функцию О (з.,р) с помощью равенства (II), то в рассматриваемом случае её можно представить как

а(2,р) = <00 | А(2,р)|00>,

где оператор А (г,р) подчиняется уравнению

А ^г.р) = А^г.р) - В(г,р),

в котором оператор, А * является обратным оператору А'Чг.р) = 1 - г Т(р) , а оператор ВСг.р) лтатся• црп' помощи бесконечного ряда (15), в котэро:-: 'Т:;-:»::-лг.::о

(91)

(92)

А .

СХ(г.р) следует заманить оператором А (г,р) . Уравнение (92) также обладает РГ-свойством и поэтому для его решения можно использовать описанный выше РГ-метод.

Наконец, в конца пятой главы рассмотрена задача о самоизбегающих блунданиях частицы в однородном внешнем полв в Ш3 и установлено точное уравнение, позволяющее в итоге определить плотность вероятности \ГН ( К ) . Для достаточно слабых полей получана асимптотика плотности (К) , когда N ОО .

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Как уже отмечалось выше суть исследуемой проблемы состоит в точном учёте эффекта "исключённого объёма" при вычислении среднестатистических размеров линейных полимеров. Чрезвычайно важная роль объёмного эффекта в этой задаче обусловлена взаимодействием дальнего порядка между мономерами полимерной цепи.

Это приводит к степенному закону убывания корреляции - среднего косинуса угла между направлениями любых двух достаточно удалённых друг относительно друта звеньев цепи о увеличением контурного расстояния между ними. Изложенный в диссертации феноменологический метод вычисления корреляции между .направлениями двух звеньев полимерной цепи позволил также вычислить асимптотику величины <Й*Х. при N ОО .

2. Непосредственно для функции И?^(С ) дан вывод уравнения, называемого обычно уравнением Фоккера - Планка, которое в данной проблеме составляет основу метода самосогласованного поля.' Общее виражешю, установленное дня самосогласованного потенциала, представлено в виде суперпозиции корреляционных функций различных порядков.

3. Для функции С1(г,р) , полученной в результате дву-.ратного интегрального преобразования величины (Я ) ,

■ гановлвно точное уравнение, которое может быть положено в основу теории СЕБС, имеющей важное приложение в физике полимеров. Это уравнение, названное в диссертации основным уравнением, имеет вид уравнения Дайсона в квантовой теории полн (КГП), что позволило воспользоваться для решения основного уравнения некоторыми методами из КГП.

4. В том случае, когда величина "исключённого объёма" достаточно мала, с помощью основного уравнения развита теория возмущений для определения плотности вероятности ( й ) . Во втором порядка по "исключённому объёму" получены явные выражения для и .когда ^ ОО и П = 2,3,4.

5. Важное свойство основного уравнения - инвариантность относительно непрерывной группы ренормировочных преобразований (ренормгруппы) положено в основу реноргггруппового метода решения этого уравнения, когда П £ 4. Согласно этому свойству в асимптотическом случае ( N ОО , Я I ) можно утверждать, что изменение числа перемещений N , в некоторое число раз эквивалентно изменению в соответствующее число раз длины I одного перемещения частицы и величины её "исключённого объёма" При помощи ренормгруппового метода решения основного уравнения найдена асимптотика плотности вероятности "VI^ ( й) , когда К-*1 00 , Я» I. и П й 4. Полученные отсюда критические показатели хорошо согласуются с соответствующими им значениями, вычисленными в ряда работ с помощью как аналитически методов,, так и вычислительных ыадшн. Излоязнннй в дгссертащги подход к проблеме СББС принципиально отличается от известно.': теории де Жена и приводит к нового £ - разло^кта в

о:оэс?-

ности критической размерности П =» 4.

6. Основное уравнение в исоладуемой проблеме обобщено на тот случай, когда самоизбегающие блуждания рассматриваются в и -мерном пространстве, причём длины отдельных перемещений частицы и углы мевду направлэниями любых двух соседних перемещений её подчинены произвольным распределениям.

7. Предложен новый подход к задаче о блужданиях без самопересечений в однородном внешнем поле. Для достаточно слабых полвй получена асимптотика плотности вероятности "VT^CR ) .

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ

1. Alkhimov V.l. The Fokker - Planck equation in the excluded -volume problem in linear polymer chains. Chem. Phye. Lett., 1970, 7, 581.

2. Alkhimov V.l. The excluded - volume effect in linear polymer chains. Chem. Phye. Lett. 1972, 15, 86.

3. Алхимов В.И. К теории объёмных эффектов в полимерных цепях. Высокомолекул. соединения, 1968, т.Х-А, 133.

4. Алхилов В.И. Корреляция звеньев в линейных полимерных цепях. Вопросы физика-химии полимеров, 1972, вып. I, 162.

5. Алхимов В.И. Случайные блуждания без самопересечений. Теор. и мат. физ., 1976, т.29, 424.

6. Алхимов В.И. К проблема "исключённого объёма" в линейных . полимерных цепях. Теор. и мат. физ., 1979, т.38, '277.

7. Алхимов В.И. Ренормализационная группа в задаче о случайном. : блуждании без самопересечений. Теор. и мат. физ.,1979,т;39,.;'\

: ; 215.