Проблемы распространения возбуждений в неоднородном Бозе газе тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

1 Введение

2 Литературный обзор

2.1 Введение.

2.2 Уравнение Гросса-Питаевского. Конденсат.

2.3 Элементарные возбуждения неидеального бозе-газа. Сверхтекучесть

2.4 Энергия и волновая функция основного состояния.

2.5 Солитоны и стационарный эффект Джозефсона.

2.6 Решеточный газ.

2.7 Прямое наблюдение коэффициентов боголюбовского преобразования.

2.8 Уравнение Гросса-Питаевского для газа в магнитной ловушке. Основное состояние в приближении Томаса-Ферми

2.9 Гидродинамические уравнения бозе-газа при нулевой температуре. Возбуждения конденсата в ловушках.

2.10 Осцилляции основного состояния.

3 "Черенковское излучение" звука в Бозе-газе

3.1 Введение.

3.2 Поляризация конденсата частицей.

3.3 Энергетические потери быстрой частицы.

3.4 Интенсивность излучения.

4 Коэффициент прохождения возбуждений через одномерный локальный барьер в пределе малых импульсов

4.1 Введение.

4.2 Уравнение Гросса-Питаевского для безразмерных величин

4.3 Возбуждения Бозе-газа.

4.4 Коэффициент прохождения.

5 Точные решения для Боголюбовских возбуждений одномерного конденсата с J-функционным барьером. Коэффициент прохождения

5.1 Введение.

5.2 Система уравнений Боголюбова-деЖена. Точные решения

5.3 Рассеяние возбуждений на 5-функционном потенциальном барьере

6 Аномальное туннелирование возбуждений Бозе-конденсата

7 Стационарный эффект Джозефсона в сверхпроводнике и бозе-конденсате с £-функционным барьером

8.2 Туннелирование фонона бозе-конденсата.71

8.3 Основное состояние бозе-газа с потенциальным барьером . 72

8.4 Туннелирование возбуждений.73

8.5 Резонансное туннелирование медленных частиц.79

9 Заключение 86

1 Введение

Бозе-Эйнштейновская конденсация (БЭК) разреженного газа, независимо предсказанная Бозе [58] и Эйнштейном [59] в 1924 году, впервые была обнаружена экспериментально в 1995 году в экспериментах с парами атомов щелочных металлов в JILA [46], MIT [60] и RICE [47]. Атомы, удерживаемые в магнитной ловушке, были охлаждены до сверхнизких температур порядка долей микрокельвина. После охлаждения магнитное поле ловушки выключалось и свободное расширение газа наблюдалось оптическими методами. При этом было зарегистрировано, что газ состоит из двух фракций: быстро расширяющегося теплового облака и медленно расширяющегося конденсата. Это послужило первым свидетельством Бозе-конденсации атомов. В настоящее время Бозе-конденсация атомарных газов получена уже более чем в тридцати лабораториях мира. Широкий интерес исследователей к этому уникальному явлению обусловил бурное развитие области [159, 23].

Природа Бозе-конденсации лежит в волновых свойствах материи и тесно связана с основами квантовой механики. По мере того как температура газа понижается, характерная длина волны де Бройля частицы газа увеличивается. Ниже определенной температуры (называемой температурой БЭК), характерная длина волны частиц газа превышает среднее расстояние между частицами, и тепловые волновые пакеты начинают перекрываться. При этом становятся существенными эффекты квантовой статистики. Для бозонов (частиц с целым спином) статистически предпочтительным оказывается состояние, в котором большая часть частиц находится на одном квантовом уровне (уровне с наименьшей энергией). Частицы, заселяющие этот уровень, образуют макроскопический квантовый объект, обычно называемый Бозе - конденсатом. БЭК проявляется как фазовый переход, сопровождаемый резким изменением физических свойств образца (смотри, например, [160]).

Уникальность и необычность явления Бозе-конденсации атомарных газов заключается в том, что в результате фазового перехода Бозе- „

Рис. 1: Рисунки распределения атомов рубидия по скоростям в эксперименте Anderson et al. (1995), полученные с помощью метода свободного разлета. Левый кадр соответствует газу при температуре чуть выше температуры появления конденсата; правый кадр — после дальнейшего испарения, когда в образце остается почти чистый конденсат. Поле зрения 200/jm х270/хш и соответствует расстоянию, которое проходят атомы примерно за 1/20 с. конденсации разреженный газ приобретает свойства, кардинально отличные от свойств класических газов и характерных скорее для конденсированного состояния вещества. Прежде всего здесь следует назвать появление в газе дальнего порядка, коллективный характер возбуждений, нетривиальную зависимость свойств и динамики газа от межатомного взаимодействия. В то же время наличие фазовой когерентности, позволяющей рассматривать Бозе-конденсат как когерентную волну материи, подобную когерентной световой волне, приводит к явлениям, ранее наблюдавшимся лишь в волновой оптике, таким, например, как волновой коллапс.

Хотя эксперименты 1995 года с атомами щелочных металлов открыли новый этап в исследовании Бозе-конденсации, экспериментальное и теоретическое исследование этого явления, играющего важную роль во многих областях физики, имеет давнюю историю. Сверхтекучесть в гелии рассматривалась Лондоном как проявление Бозе-конденсации (1938) (свидетельство БЭК в гелии было впоследствии получено из распределения атомов гелия по импульсам, измеренного в экспериментах по рассеянию нейтронов [161]). Идея Бозе-конденсации послужила основой первой

Рис. 2: Коллективные возбуждения Бозе-Эйнштеновского конденсата. На рисунке показаны повторные изображения чистого конденсата. Возбуждения были получены с помощью модуляции магнитного поля, удерживающего конденсат, и после этого магнитное поле снималось и конденсат дальше эволюционировал свободно. На рисунке видны, как центр масс, так и осцилляции формы конденсата. Поле зрения в вертикальном направлении около 620дт, что соответсвует ширине конденсата порядка 200-300/чт. Шаг по времени 5 ms на кадр. Из статьи Stamper-Kurn и Ketterle (1998). успешной феноменологической модели сверхпроводимости [162] (1935), а впоследствии Бозе-конденсация Куперовских пар электронов стала основой микроскопической теории сверхпроводимости. С шестидесятых годов ведутся исследования возможности Бозе-конденсации в газе экситонов в молекулярных кристаллах и полупроводниках [163].

Первые работы, направленные на достижение Бозе-конденсации в атомарных газах, начались более двадцати лет назад экспериментами со спин-поляризованным водородом [164, 165]. И, хотя успеха в Бозе-конденсации атомарного водорода удалось добиться лишь в 1998 году [166], эти эксперименты сыграли важную роль в развитии техники магнитного удержания атомов и испарительного охлаждения (смотри [159]). Другой важной составляющей успеха в Бозе-конденсации стала техника оптического удержания и охлаждения нейтральных атомов, получившая развитие в восьмидесятые годы [165, 166, 167]. Пары атомов щелочных металлов, оптические переходы которых могут быть возбуждены промышленными лазерами, оказались удачной средой для достижения Бозе-конденсации. Сочетанием лазерного и испарительного охлаждения щелочных атомов экспериментаторам удалось достичь необходимых для Бозе-конденсации температур.

Рис. 3: Графики плотности для случая интерференции двух расширяющихся и перекрывающихся конденсатов (а) Теория Rohrl et al. (1997), основанная на решении нестационарного уравнения Гросса-Питаевского. (Ь) Экспериментальные данные Andrews, Townsend et al., (1997). (с) Теория, учитывающая конечное экспериментальное разрешение.

Бозе-конденсированные атомарные газы обладают важными отличиями от известных ранее сверхтекучих систем, таких, например, как жидкий гелий. Прежде всего следует упомянуть пространственную неоднородность и ограниченность газа в ловушке. Впервые Бозе-конденсация проявляет себя в перестройке распределения газа не только в импульсном, но и в координатном пространстве. Конечность системы привносит не только количественные, но и качественные отличия в свойствах. Так, например, в ограниченной геометрии становится возможна Бозе-конденсация в газе с притяжением между частицами. Другой важной особенностью атомарных газов является их разреженность, математически выраженная наличием малого газового параметра. Существование малого параметра позволяет дать теоретическое описание основных свойств газа из первых принципов. Это дает уникальную возможность с высокой точностью экспериментально проверить существующие теории.

Диссертация посвящена теоретическому исследованию распространения надконденсатных возбуждений в неоднородном разреженном Бозе -конденсированном газах. Основной идеей, связывающей вместе различные части Диссертации, является определяющая роль взаимодействия конденсата с тепловым облаком в процессе туннелирования возбуждения через потенциальный барьер. Представленные результаты имеют непосредственное отношение к выполняемым в настоящее время экспериментальным исследованиям.

Диссертация организована следующим образом. После краткого Введения в Главе 1 дается краткий обзор области и объясняются основные понятия, используемые в Диссертации. В Главе 2 рассматривается задача о черенковском излучении, возникающем при движении частицы в конденсированном бозе-газе со скоростью, большей чем скорость звука. В Главе 3 рассматривается проблема туннелирования надконденсат-ных возбуждений локальный потенциальный барьер с учетом искажения плотности конденсата вблизи барьера в пределе малых волновых векторов. В Главе 4 найдены точные решения системы уравнений Боголюбова-деЖена, которые в Главе 5 применяются к исследованию туннелирования возбуждений через широкий потенциальный барьер. В Главе 6 рассматривается стационарный эффект Джозефсона в бозе-газе. В Главе 7 для объяснения эффекта аномального туннелирования решены задачи о тунелировании частицы на двухъямном потенциальном барьере. В Заключении приводятся основные результаты и выводы Диссертации.

2 Литературный обзор 2.1 Введение

В идеальном бозе-газе при низкой температуре имеет место явление накапливания макроскопического числа частиц на нижнем уровне - конденсация, предсказанная в 1924 г. Бозе и Эйнштейном [58, 59]. Она наступает, когда тепловая длина волны де-Бройля частиц Л К/ (тТ)1^2 с понижением температуры начинает превышать межатомное расстояние 11п11\ Конденсация существует и в неидеальном бозе-газе. Конденсат в неидеальном газе обладает замечательным свойством — сверхтекучестью. Сверхтекучесть была открыта Петром Капицей в конденсированной среде — в бозе-жидкости. Такой жидкостью является низкотемпературный гелий. Все другие плотные вещества при температуре, близкой к нулю, находятся в твердом состоянии. Сверхтекучий жидкий гелий имеет нулевую вязкость и его течение по капиллярам не затухает.

В двадцатом веке Россия подарила миру двух великих физиков-теоретиков, внесших выдающийся вклад в развитие этой области. Это — Лев Ландау и Николай Боголюбов. Ландау дал принципиальное объяснение явления и построил феноменологическую теорию сверхтекучей жидкости (1941) [63]. Боголюбов создал микроскопическую теорию сверхтекучести, основанную на модели слабонеидального бозе-газа (1947) [64]. Эта модельная теория превратилась в теорию, адекватную физическому явлению, после открытия сверхтекучести газов щелочных металлов.

В 1995 г. Кеттерли, Корнелл и Виман поместили в магнитную ловушку газ рубидия и понизили температуру до рекордно низкой величины по- • рядка Ю-6/^. Атом щелочного металла 3'Rb85 имеет нечетное число электронов (37) и нечетное число нуклонов (85) и является бозе-частицей. Было экспериментально показано, что при достигнутых температурах в газе образуется бозе-эйнштейновская конденсация. А наличие в нем незатухающих колебаний указывает на наличие второго удивительного свойства бозе-систем — на сверхтекучесть. Позже сверхтекучесть была наблюдена у других газов щелочных металлов Li, Na, а также у поляризованного атомарного водорода [166] и метастабильного газа гелия. В прошлом году Кеттерли, Корнелл и Виман стали лауреатами Нобелевской премии [121].

Бурное развитие экспериментальных исследований газов в магнитных ловушках привлекло внимание к этому явлению большого числа теоретиков.

9 Заключение

1. Сравнение квантового и классического расчетов позволяют сделать вывод о том, что энергия, выделяющаяся в бозе-газе в процессе излучения быстрой частицы не диссипируется в среде а уходит на бесконечность. В отличие от черенковского излучения, где скорость частицы ограничена сверху скоростью звука, для нерелятивистского бозе-газа нет такого ограничения и интенсивность излучения может быть достаточно большой. Также показано, что уравнение Гросса-Питаевского дает правильное описание, в отличие от системы уравнений гидродинамики.

2. Показана возможность нахождения точных аналитических решений для надконденсатных возбуждений в односолитонных потенциалах нелинейного уравнения Шредингера. Показана возможность использования полученных решений применительно к задаче о туннелировании возбуждений через потенциальный барьер.

3. Показана необходимость учета искажения основного состояния конденсата потенциальным барьером для адекватного описания свойств надконденсатных возбуждений в области малых волновых векторов к <С 1.

4. Обнаружено аномальное поведение коэффициента прохождения возбуждений через потенциальный барьер различной формы, когда при к О коэффициент прохождения D —> 1. Предложено простое объяснение этого эффекта, основанное на том, что при малых длинах волн возбуждения являются движением конденсата, как целого, а вследствие эффекта Джозефсона это движение происходит без диссипации. Приближенные выражения для коэффициента прохождения подтверждено численным моделированием.

5. Показано, что во всех случаях, когда в системе имеется уровень энергии близкий к нулю, коэффициент прохождения частицы имеет максимум при малых волновых векторах частицы, причем значение коэффициента прохождения D в точке максимума в точности равно единице.

6. Получено точное аналитическое выражение для зависимости "джозеф-соновского тока" от разности фаз двух бозе-конденсатов, разделенных 5-функционным потенциалом, которое при малых токах совпадает с известным значением для тока джозефсона. Получена связь критического тока с величиной потенциала.

1. Yu. Kagan and L. A. Maksimov, "Damping of trapped Bose-Einstein condensate oscillations at zero temperature" Phys. Rev. A 64, 053610 (2001)

2. Yu. Kagan and L. A. Maksimov, "Manifestation of Superfluidity in an Evolving Bose-Einstein Condensed Gas" Phys. Rev. Lett. 85, 3075-3078 (2000)

3. Yu. Kagan, N. V. Prokof'ev, and В. V. Svistunov, "Supercurrent stability in a quasi-one-dimensional weakly interacting Bose gas" Phys. Rev. A 61, 045601 (2000)

4. Yu. Kagan, V. A. Kashurnikov, A. V. Krasavin, N. V. Prokof'ev, and B.V. Svistunov, "Quasicondensation in a two-dimensional interacting Bose gas" Phys. Rev. A 61, 043608 (2000)

5. Yu. Kagan, A. E. Muryshev, and G. V. Shlyapnikov, "Collapse and Bose-Einstein Condensation in a Trapped Bose Gas with Negative Scattering Length" Phys. Rev. Lett. 81, 933-937 (1998)

6. Yu. Kagan and В. V. Svistunov, "Evolution of Correlation Properties and Appearance of Broken Symmetry in the Process of Bose-Einstein Condensation" Phys. Rev. Lett. 79, 3331-3334 (1997)

7. Yu. Kagan, E. L. Surkov, and G. V. Shlyapnikov, "Evolution and Global Collapse of Trapped Bose Condensates under Variations of the Scattering Length" Phys. Rev. Lett. 79, 2604-2607 (1997)

8. Yu. Kagan, E. L. Surkov, and G. V. Shlyapnikov, "Evolution of a Bose gas in anisotropic time-dependent traps" Phys. Rev. A 55, R18-R21 (1997)

9. P. O. Fedichev, Yu. Kagan, G. V. Shlyapnikov, and J. Т. M. Walraven, "Influence of Nearly Resonant Light on the Scattering Length in Low-Temperature Atomic Gases" Phys. Rev. Lett. 77, 2913-2916 (1996)

10. Yu. Kagan, E. L. Surkov, and G. V. Shlyapnikov, "Evolution of a Bose-condensed gas under variations of the confining potential" Phys. Rev. A 54, R1753-R1756 (1996)

11. Yu. Kagan, G. V. Shlyapnikov, and J. Т. M. Walraven, "Bose-Einstein Condensation in Trapped Atomic Gases" Phys. Rev. Lett. 76, 26702673 (1996)

12. T. W. Hijmans, Yu. Kagan, G. V. Shlyapnikov, and J. Т. M. Walraven, "Bose condensation and relaxation explosion in magnetically trapped atomic hydrogen" Phys. Rev. В 48, 12886-12892 (1993)

13. M. Kramer, L. Pitaevskii, and S. Stringari, " Macroscopic Dynamics of a Trapped Bose-Einstein Condensate in the Presence of ID and 2D Optical Lattices" Phys. Rev. Lett. 88, 180404 (2002)

14. M. Edwards, C. W. Clark, P. Pedri, L. Pitaevskii, and S. Stringari, "Consequence of Superfluidity on the Expansion of a Rotating Bose-Einstein Condensate" Phys. Rev. Lett. 88, 070405 (2002)

15. P. Pedri, L. Pitaevskii, S. Stringari, C. Fort, S. Burger, F. S. Cataliotti, P. Maddaloni, F. Minardi, and M. Inguscio, "Expansion of a Coherent Array of Bose-Einstein Condensates" Phys. Rev. Lett. 87, 220401 (2001)

16. L. Pitaevskii and S. Stringari, "Thermal vs Quantum Decoherence in Double Well Trapped Bose-Einstein Condensates" Phys. Rev. Lett. 87, 180402 (2001)

17. A. Brunello, F. Dalfovo, L. Pitaevskii, S. Stringari, and F. Zambelli, "Momentum transferred to a trapped Bose-Einstein condensate by stimulated light scattering" Phys. Rev. A 64, 063614 (2001)

18. A. Brunello, F. Dalfovo, L. Pitaevskii, and S. Stringari, "How to Measure the Bogoliubov Quasiparticle Amplitudes in a Trapped Condensate" Phys. Rev. Lett. 85, 4422-4425 (2000)

19. C. J. Pethick and L. P. Pitaevskii, "Criterion for Bose-Einstein condensation for particles in traps" Phys. Rev. A 62, 033609 (2000)

20. F. Zambelli, L. Pitaevskii, D. M. Stamper-Kurn, and S. Stringari, "Dynamic structure factor and momentum distribution of a trapped Bose gas" Phys. Rev. A 61, 063608 (2000)

21. M. Guilleumas and L. P. Pitaevskii, "Temperature-induced resonances and Landau damping of collective modes in Bose-Einstein condensed gases in spherical traps" Phys. Rev. A 61, 013602 (2000)

22. L. Pitaevskii and S. Stringari, "Interference of Bose-Einstein Condensates in Momentum Space" Phys. Rev. Lett. 83, 4237-4240 (1999)

23. F. Dalfovo, S. Giorgini, L. P. Pitaevskii, and S. Stringari, "Theory of Bose-Einstein condensation in trapped gases" Rev. Mod. Phys. 71, 463512 (1999)

24. L. Pitaevskii and S. Stringari, "Elementary Excitations in Trapped Bose-Einstein Condensed Gases Beyond the Mean-Field Approximation" Phys. Rev. Lett. 81, 4541-4544 (1998)

25. S. Giorgini, L. P. Pitaevskii, and S. Stringari, "Anomalous Fluctuations of the Condensate in Interacting Bose Gases" Phys. Rev. Lett. 80, 50405043 (1998)

26. F. Dalfovo, C. Minniti, and L. P. Pitaevskii, "Frequency shift and mode coupling in the nonlinear dynamics of a Bose-condensed gas" Phys. Rev. A 56, 4855-4863 (1997)

27. F. Dalfovo, S. Giorgini, M. Guilleumas, L. Pitaevskii, and S. Stringari, "Collective and single-particle excitations of a trapped Bose gas" Phys. Rev. A 56, 3840-3845 (1997)

28. S. Giorgini,. L. P. Pitaevskii, and S. Stringari. "Scaling and Thermodynamics of a Trapped Bose-Condensed Gas" Phys. Rev. Lett. 78, 3987-3990 (1997)

29. L. P. Pitaevskii and A. Rosch, "Breathing modes and hidden symmetry of trapped atoms in two dimensions " Phys. Rev. A 55, R853-R856 (1997)

30. S. Giorgini, L. P. Pitaevskii, and S. Stringari, "Condensate fraction and critical temperature of a trapped interacting Bose gas" Phys. Rev. A 54, R4633-R4636 (1996)

31. F. Dalfovo, L. Pitaevskii, and S. Stringari, "Order parameter at the boundary of a trapped Bose gas" Phys. Rev. A 54, 4213-4217 (1996)

32. S. Giorgini, L. Pitaevskii, and S. Stringari, "Bose-Einstein condensation, phase fluctuations, and two-phonon effects in superfluid 4He" Phys. Rev. В 46, 6374-6381 (1992)

33. S. Giorgini, L. Pitaevskii, and S. Stringari, " Effects of disorder in a dilute Bose gas" Phys. Rev. В 49, 12938-12944 (1994)

34. A. J. Leggett, Rev. Mod. Phys. 73, 307 (2001)

35. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products (Academic Press Limited, London, 1994), 5th ed.

36. E. M. Lifshitz and L. P. Pitaevskii, Statistical Mechanics, part 2 (Pergamon, Oxford) (1988)

37. V. Hakim, "Nonlinear Schrodinger flow past an obstacle in one dimension", Phys. Rev. E 55, 2835-2845 (1997)

38. S. Burger, K. Bongs, K. Sengstock, W. Ertmer, "Atom Optics with Bose-Einstein Condensates"

39. D. Taras-Semchuk, J. M. F. Gunn, "Superfluid flow past an array of scatterers." Phys. Rev. В 60(18) 13139 (1999)

40. V. I. Talanov, Pis'ma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 2, 31 (1965) JETP Lett. 2, 141 (1965)]

41. L. P. Pitaevskii, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 40, 640 (1961) Sov. Phys. JETP 13, 451 (1961)]

42. Е. P. Gross, Nuevo Cimento 20, 454 (1961)

43. V. E. Zakharov and A. B. Shabat, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 64, 1627 (1973) Sov. Phys. JETP 37, 823 (1973)]

44. T. Tsuzuki, J. Low Temp. Phys. 4, 441 (1971)

45. A. Griffin et al., Bose-Einstein Condensation (Cambridge University Press, Cambridge, 1995)

46. Anderson, M.H.; Ensher, J.R.; Matthews, M.R.; Wieman, C.E.; Cornell, E.A., "Observation of Bose-Einstein condensation in a dilute atomic vapor", Science 269, 198 (1995)

47. С. C. Bradley, C. A. Sackett, J. J. Tollett, and R. G. Hulet, "Evidence of Bose-Einstein Condensation in an Atomic Gas with Attractive Interactions", Phys. Rev. Lett. 75, 1687-1690 (1995)

48. K. Huang, Statistical Mechanics (John Wiley & Sons, New York, 1987)

49. T. D. Lee, K. Huang, and C. N. Yang, Phys. Rev. 106, 1135 (1957)

50. T. Frisch, Y. Pomeau and S. Rica, Phys. Rev. Lett. 69, 1644 (1992)

51. C. S. Gardner, G. Green, M. Kruskal, R. Miura, Phys. Rev. lett., 19, 1095, (1967)

52. V. E. Zakharov, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 53, 1733 (1967)

53. V. E. Zakharov and A. B. Shabat, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 61, 118 (1971)

54. Popov, V. N, 1965, Sov. Phys. JETP 20, 1185

55. Popov, V. N., 1987, Functional Integrals and Collective Excitations (Cambridge University Press, Cambridge)

56. Pines, D., and Ph. Nozinres, 1966, The Theory of Quantum Liquids (Benjamin, New York)

57. Penrose, O., and L. Onsager, 1956, Phys. Rev. 104, 576

58. S. N. Bose, Z. Phys. 26, 178 (1924)

59. A. Einstein, Sitz. Preuss Akad. Wiss. 1924, 3 (1924)

60. К. B. Davis et al, Phys. Rev. Lett. 75, 3969 (1995)

61. M.-O. Mewes et al., Phys. Rev. Lett. 77, 988 (1996)

62. D. S. Jin, J. R. Ensher, M. R. Matthews, С. E. Wieman, and E. A. Cornell, "Collective Excitations of a Bose-Einstein Condensate in a Dilute Gas", Phys. Rev. Lett. 77, 420-423 (1996)

63. L. D. Landau, J. Phys. (Moscow) 5, 71 (1941)

64. C. N. Bogoliubov, J. Phys. (Moscow) 11, 23 (1947)

65. V. L. Ginzburg and L. P. Pitaevskii, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 34, 1240 (1958) Sov. Phys. JETP 7, 858 (1958)]

66. F. London, Nature (London) 141, 643 (1938)

67. Claude N. Cohen-Tannoudji, "Nobel Lecture: Manipulating atoms with photons", Rev. Mod. Phys. 70, 707-719 (1998)

68. Ginzburg, V. L., and L. D. Landau, 1950, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 20, 1064

69. Gross, E. P., 1963, J. Math. Phys. 4, 195

70. P. C. Hohenberg, "Existence of Long-Range Order in One and Two Dimensions", Phys. Rev. 158, 383-386 (1967)

71. Donald A. Jacobson, "Ginzburg-Landau Equations and the Josephson Effect", Phys. Rev. 138, A1066-A1070 (1965)

72. B. D. Josephson, Phys. Letters 1, 251 (1962)

73. J. W. Kane, L. P. Kadanoff, "Long-Range Order in Superfluid Helium", Phys. Rev. 155, 80-83 (1967)

74. Wolfgang Ketterle and David E. Pritchard, "Atom cooling by time-dependent potentials", Phys. Rev. A 46, 4051-4054 (1992)

75. L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics (Pergamon Press. Oxford, 1987)

76. Hasegawa, Akira; Tappert, Frederick, "Transmission of stationary nonlinear optical pulses in dispersive dielectric fibers. I. Anomalous dispersion", Applied Physics Letters (1973), 23(3), 142-4

77. E. A. Kuznetsov, Teoreticheskaya i matematicheskaya fizika V.120. No.2. c.222 (1999)

78. Andrews, M. R. et al. Propagation of sound in a Bose-Einstein condensate. Phys. Rev. Lett. 79, 553-556 (1997)

79. A. Muryshev, G. V. Shlyapnikov, W. Ertmer, K. Sengstock, and M. Lewenstein, "Dynamics of Dark Solitons in Elongated Bose-Einstein Condensates", Phys. Rev. Lett. 89, 110401 (2002)

80. P.G. de Gennes, Superconductivity of Metals and Alloys (Benjamin, New York, 1966)

81. Handbook of Mathematical Functions and Tables, edited by M. A. Abramowitz and I. E. Stegun (Dover, New York, 1965)

82. E.M. Lifschitz and L. Pitaevskii, Statistical Physics (Pergamon, New York, 1980), Part 2

83. J. R. Abo-Shaeer, C. Raman, J. M. Vogels, and W. Ketterle, "Observation of Vortex Lattices in Bose-Einstein Condensates", Science 292: 476-479

84. J. M. Vogels, K. Xu, C. Raman, J. R. Abo-Shaeer, and W. Ketterle, "Experimental Observation of the Bogoliubov Transformation for a Bose-Einsteiri Condensed Gas", Phys. Rev. Lett. 88, 060402 (2002)

85. J. Steinhauer, R. Ozeri, N. Katz, and N. Davidson, "Excitation Spectrum of a Bose-Einstein Condensate", Phys. Rev. Lett. 88, 120407 (2002)

86. Anthony J. Leggett, "Bose-Einstein condensation in the alkali gases: Some fundamental concepts", Rev. Mod. Phys. 73, 307 (2001)

87. О. Morsch, J. H. Mbller, М. Cristiani, D. Ciampini, and E. Arimondo, "Bloch Oscillations and Mean-Field Effects of Bose-Einstein Condensates in ID Optical Lattices", Phys. Rev. Lett. 87, 140402 (2001)

88. Shlomo E. Sklarz, Inbal Friedler, and David J. Tannor, "Flat-phase loading of a Bose-Einstein condensate into an optical lattice", Phys. Rev. A 66, 053620 (2002)

89. P. B. Blakie and R. J. Ballagh, C. W. Gardiner, "Theory of coherent Bragg spectroscopy of a trapped Bose-Einstein condensate", Phys. Rev. A 65, 033602 (2002)

90. F. Meier and W. Zwerger, "Josephson tunneling between weakly interacting Bose-Einstein condensates", Phys. Rev. A 64, 033610 (2001)

91. E. Sakellari, M. Leadbeater, N. J. Kylstra, and C. S. Adams, "Josephson spectroscopy of a dilute Bose-Einstein condensate in a double-well potential", Phys. Rev. A 66, 033612 (2002)

92. S. Inouye et. al., "Observation of Feshbach resonances in a Bose-Einstein condensate", Nature 392, 151-154 (1998)

93. L. D. Carr, C. W. Clark, and W. P. Reinhardt, "Stationary solutions of the one-dimensional nonlinear Schru,dinger equation. I. Case of repulsive nonlinearity", Phys. Rev. A 62, 063610 (2000)

94. L. D. Carr, C. W. Clark, and W. P. Reinhardt, "Stationary solutions of the one-dimensional nonlinear Schru,dinger equation. II. Case of attractive nonlinearity", Phys. Rev. A 62, 063611 (2000)

95. O. Morsch, M. Cristiani, J. H. Mbller, D. Ciampini, and E. Arimondo, "Free expansion of a Bose-Einstein condensate in a one-dimensional optical lattice", Phys. Rev. A 66, 021601(R) (2002)

96. Raghavan, S„ A. Smerzi, S. Fantoni, and S. R. Shenoy, 1999, Phys. Rev. A 59, 620

97. D. M. Stamper-Kurn, M. R. Andrews, A. P. Chikkatur, S. Inouye, H.-J. Miesner, J. Stenger, and W. Ketterle, "Optical Confinement of a Bose-Einstein Condensate", Phys. Rev. Lett. 80, 2027-2030 (1998)

98. Ivar Zapata and Fernando Sols, Anthony J. Leggett, "Josephson effect between trapped Bose-Einstein condensates", Phys. Rev. A 57, R28-R31 (1998)

99. E. Zaremba, "Sound propagation in a cylindrical Bose-condensed gas", Phys. Rev. A 57, 518-521 (1998)

100. J. Stenger, S. Inouye, A. P. Chikkatur, D. M. Stamper-Kurn, D. E. Pritchard, and W. Ketterle, "Bragg Spectroscopy of a Bose-Einstein Condensate", Physical Review Letters June 7, 1999 - Volume 82, Issue 23, pp. 4569-4573

101. V. V. Konotop and M. Salerno, "Modulational instability in Bose-Einstein condensates in optical lattices", Phys. Rev. A 65, 021602 (2002)

102. E. Zaremba, A. Griffin and T. Nikuni, "Two-fluid hydrodynamics for a trapped weakly interacting Bose gas", Phys. Rev. A 57, 4695-4698 (1998)

103. Tisza, L., "The theory of liquids according to the quantum theory. Application to liquid helium", J. phys. radium 8] (1940), 1, 350-8

104. M. Greiner, I. Bloch, O. Mandel, T. W. Hflnsch, and T. Esslinger, "Exploring Phase Coherence in a 2D Lattice of Bose-Einstein Condensates", Phys. Rev. Lett. 87, 160405 (2001)

105. O. Morsch, J. H. Mbller, M. Cristiani, D. Ciampini, and E. Arimondo, "Bloch Oscillations and Mean-Field Effects of Bose-Einstein Condensates in ID Optical Lattices", Phys. Rev. Lett. 87,140402 (2001)

106. В. Wu and Q. Niu, "Landau and dynamical instabilities of the superflow of Bose-Einstein condensates in optical lattices", Phys. Rev. A 64, 061603 (2001)

107. S. Burger, F. S. Cataliotti, C. Fort, F. Minardi, and M. Inguscio, "Superfluid and Dissipative Dynamics of a Bose-Einstein Condensate in a Periodic Optical Potential", Physical Review Letters May 14, 2001 - Volume 86, Issue 20, pp. 4447-4450

108. F. Kh. Abdullaev, В. B. Baizakov, S. A. Darmanyan, V. V. Konotop, and M. Salerno, "Nonlinear excitations in arrays of Bose-Einstein condensates", Phys. Rev. A 64, 043606 (2001)

109. S. Putting, M. Cramer, С. H. Schwalb, H. Pu, and P. Meystre, "Coherent acceleration of Bose-Einstein condensates", Phys. Rev. A 64, 023604 (2001)

110. S. Burger, F. S. Cataliotti, C. Fort, F. Minardi, and M. Inguscio, "Superfluid and Dissipative Dynamics of a Bose-Einstein Condensate in a Periodic Optical Potential", Phys. Rev. Lett. 86, 4447-4450 (2001)

111. Juha Javanainen, Martin Wilkens, "Phase and Phase Diffusion of a Split Bose-Einstein Condensate", Phys. Rev. Lett. 78, 4675-4678 (1997)

112. J. Javanainen, " Phonon approach to an array of traps containing Bose-Einstein condensates", Phys. Rev. A 60, 4902-4909 (1999)

113. V. M. PMrez-GarcHa, H. Michinel, J. I. Cirac, M. Lewenstein, and P. Zoller, "Low Energy Excitations of a Bose-Einstein Condensate: A Time-Dependent Variational Analysis", Phys. Rev. Lett. 77, 5320-5323 (1996)

114. C. Menotti and S. Stringari, " Collective oscillations of a one-dimensional trapped Bose-Einstein gas", Phys. Rev. A 66, 043610 (2002)

115. Alessandro Cuccoli, Andrea Fubini, and Valerio Tognetti, Phys. Rev. A 64, 061601 (2001)

116. D. Gufiry-Odelin, F. Zambelli, J. Dalibard, and S. Stringari, "Collective oscillations of a classical gas confined in harmonic traps", Phys. Rev. A 60, 4851-4856 (1999)

117. F. Zambelli and S. Stringari, "Quantized Vortices and Collective Oscillations of a Trapped Bose-Einstein Condensate", Phys. Rev. Lett. 81, 1754-1757 (1998)

118. S. Stringari, "Dynamics of Bose-Einstein condensed gases in highly deformed traps", Phys. Rev. A 58, 2385-2388 (1998)

119. S. Stringari, "Collective Excitations of a Trapped Bose-Condensed Gas", Phys. Rev. Lett. 77, 2360-2363 (1996)

120. Wolfgang Ketterle, "Nobel lecture: When atoms behave as waves: Bose-Einstein condensation and the atom laser", Rev. Mod. Phys. 74, 1131— 1151 (2002)

121. S. Inouye, R. F. Lijw, S. Gupta, T. Pfau, A. Gorlitz, T. L. Gustavson, D. E. Pritchard, and W. Ketterle, "Amplification of Light and Atoms in a Bose-Einstein Condensate", Phys. Rev. Lett. 85, 4225-4228 (2000)

122. R. Onofrio, C. Raman, J. M. Vogels, J. R. Abo-Shaeer, A. P. Chikkatur, and W. Ketterle, "Observation of Superfluid Flow in a Bose-Einstein Condensed Gas", Phys. Rev. Lett. 85, 2228-2231 (2000)

123. A. P. Chikkatur, A. Gurlitz, D. M. Stamper-Kurn, S. Inouye, S. Gupta, and W. Ketterle, "Suppression and Enhancement of Impurity Scattering in a Bose-Einstein Condensate", Phys. Rev. Lett. 85, 483-486 (2000)

124. D. M. Stamper-Kurn, H.-J. Miesner, S. Inouye, M. R. Andrews, and W. Ketterle, "Collisionless and Hydrodynamic Excitations of a Bose-Einstein Condensate", Phys. Rev. Lett. 81, 500-503 (1998)

125. Y. Castin, K. Berg-Suirensen, J. Dalibard, and K. Mmlmer, "Two-dimensional Sisyphus cooling", Phys. Rev. A 50, 5092-5115 (1994)

126. R. Z. Sagdeev, D. A. Usikov, and G. M. Zaslavsky, Nonlinear Physics: From the Pendulum to Turbulence and Chaos, in Contemporary Concepts in Physics (Harwood Academic, Chur, New York, 1988)

127. A. Smerzi, S. Fantoni, S. Giovanazzi, and S.R. Shenoy, Phys. Rev. Lett. 79, 4950 (1997)

128. P. W. Anderson, "Considerations on the Flow of Superfluid Helium", Rev. Mod. Phys. 38, 298-310 (1966)

129. Pierre Villain, and Maciej Lewenstein, Physical Review A, March 1999 Volume 59, Issue 3, pp. 2250-2260

130. F. Dalfovo, L. Pitaevskii, and S. Stringari , "Order parameter at the boundary of a trapped Bose gas", Phys. Rev. A 54, 4213-4217 (1996)

131. Giorgini, S.; Pitaevskii, L.P.; Stringari, S., "Thermodynamics of a trapped Bose-condensed gas", Journal of Low Temperature Physics -Oct. 1997 vol.109, no.1-2, pp. 309-55

132. Y. Castin and R. Dum, "Instability and Depletion of an Excited Bose-'Einstein Condensate in a Trap", Phys. Rev. Lett. 79, 3553-3556 (1997)

133. Y. Castin and R. Dum, "Bose-Einstein Condensates in Time Dependent Traps", Phys. Rev. Lett. 77, 5315-5319 (1996)

134. Victor M. Perez-Garcia, et.al. "Dynamics of Bose-Einstein condensates: Variational solutions of the Gross-Pitaevskii equations", Phys. Rev. A 56, 1424-1432 (1997)

135. Zhang Fei, Vladimir V. Konotop, et.al. "Kink dynamics in the periodically modulated model", Phys. Rev. E 48, 548-554 (1993)

136. P. A. Ruprecht, Mark Edwards, K. Burnett, and Charles W. Clark, "Probing the linear and nonlinear excitations of Bose-condensed neutral atoms in a trap", Phys. Rev. A 54, 4178-4187 (1996)

137. M. Haddad and V. Hakim, "Superfluidity at Supersonic Speed?", Phys. Rev. Lett. 87, 218901 (2001)

138. L. D. Carr, K. W. Mahmud, and W. P. Reinhardt, "Tunable tunneling: An application of stationary states of Bose-Einstein condensates in traps of finite depth", Phys. Rev. A 64, 033603 (2001)

139. J. C. Bronski, L. D. Carr, R. Carretero-Gonz61ez, B. Deconinck, J. N. Kutz, and K. Promislow, "Stability of attractive Bose-Einstein condensates in a periodic potential", Phys. Rev. E 64, 056615 (2001)

140. J. C. Bronski, L. D. Carr, B. Deconinck, and J. N. Kutz, "Bose-Einstein Condensates in Standing Waves: The Cubic Nonlinear Schrqdinger Equation with a Periodic Potential", Phys. Rev. Lett. 86, 1402-1405 (2001)

141. L. D. Carr, J. N. Kutz, and W. P. Reinhardt, "Stability of stationary states in the cubic nonlinear Schrijdinger equation: Applications to the Bose-Einstein condensate", Phys. Rev. E 63, 066604 (2001)

142. J. C. Bronski, L, D. Carr, B. Deconinck, J. N. Kutz, and K. Promislow, "Stability of repulsive Bose-Einstein condensates in a periodic potential", Phys. Rev. E 63, 036612 (2001)

143. M. R. Matthews, B. P. Anderson, P. C. Haljan, D. S. Hall, С. E. Wieman, and E. A. Cornell, "Vortices in a Bose-Einstein Condensate". Physical Review Letters September 27, 1999 - Volume 83, Issue 13, pp. 2498-2501

144. Lincoln D Carr, Mary Ann Leung and William P Reinhardt, "Dynamics of the Bose-Einstein condensate: quasi-one-dimension and beyond", J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 33 (14 October 2000) 3983-4001

145. Kirstine Berg-Sinrensen and Klaus Mmlmer, "Bose-Einstein condensates in spatially periodic potentials", Phys. Rev. A 58, 1480-1484 (1998)

146. Th. Busch and J. R. Anglin, "Motion of Dark Solitons in Trapped Bose-Einstein Condensates", Physical Review Letters March 13, 2000 -Volume 84, Issue 11, pp. 2298-2301

147. L. D. Carr, J. N. Kutz, and W. P. Reinhardt, "Stability of stationary states in the cubic nonlinear Schrn,dinger equation: Applications to the Bose-Einstein condensate", Phys. Rev. E 63, 066604 (2001)

148. A. J. Leggett, Rev. Mod. Phys. 73, 307 (2001)

149. Л.Д. Ландау и Е.М.Лифшиц Теоретическая физика. tom.VIII. Электродинамика сплошных сред. г.Москва, изд. Наука 1992 г. стр.588

150. Е.М.Лифшиц, Л.П.Питаевский Теоретическая физика, том. IX. Статистическая физика часть.2 Теория конденсированного состояния. г.Москва, изд. Наука 1978 г. стр.145

151. Р. Фейнман Статистическая механика 1972 стр.252

152. Д.Н.Зубарев. Неравновесная статистическая термодинамика.Наука. г.Москва, 1971г. стр.222

153. G.L.Lamb, Elements of Soliton Theory, 1980

154. Lev.P.Pitaevskii Theory of Bose-Einstein condensation in trapped gases. Review of Modern Physics, vol. 71, No.3, April 1999 p.463

155. A.M. Поляков, Калибровочные поля и струны, Изд. дом "Удмуртский университет", 1999

156. W. Ketterle et. al. Proceedings of the International School of Physics 'Enrico Fermi', edited by M. Inguscio et al. (IOS Press Amsterdam, 1999)

157. L. Landau and E. Lifshitz, Statistical Physics, Part 1, (Pergamon Press, Oxford-Frankfurt, 1980)

158. P. Sokol, Bose Einstein Condensation, edited by A. Griffin, D.W. Snoke, and S. Stringari (Cambridge University Press, Cambridge, 1995), p. 51

159. H. London and F. London, Proc. Roy. Soc. (London) A149, 71 (1935)

160. J.P. Wolfe, J.L. Lin, and D.W. Snoke, Bose Einstein Condensation, edited by A. Griffin, D.W. Snoke, and S. Stringari (Cambridge University Press, Cambridge, 1995), p. 281

161. I.F. Silvera, Bose Einstein Condensation, edited by A. Griffin, D.W. Snoke, and S. Stringari (Cambridge University Press, Cambridge, 1995), p. 160

162. T.J. Greytak, Bose Einstein Condensation, edited by A. Griffin, D.W. Snoke, and S. Stringari (Cambridge University Press, Cambridge, 1995), p. 131

163. D. Fried et al., Phys. Rev. Lett. 81, 3811 (1998)

164. S. Chu, Rev. Mod. Phys. 70, 685 (1998)

165. C. Cohen-Tannoudji, Atomic Physics, edited by C. Wieman, D. Wineland, and S. Smith (AIP, New York, 1995), Vol. 14, p. 193

166. Д.Л.Коврижин, Л.А.Максимов "Коэффициент прохождения возбуждений через одномерный локальный барьер в рамках нелинейного уравнения Шредингера.", Доклады Академии Наук, 20011. РОССП'НЛчЛ.» БИБЛДОУДЬ//1. Cv) V^ov^-a