Прогнозирование траектории трещины и границы соединения неоднородных материалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Р Г Б ОД

1 1 т Т\

БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПОЛИТЕХНИЧЕСКАЯ

АКАДЕМИЯ

На правах рукописи

МИКЛАШЕВИЧ Игорь Александрович

УДК 539.3

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ТРАЕКТОРИИ ТРЕЩИНЫ II ГРАНИЦЫ СОЕДИНЕНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ

01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск 1994

Работа выполнена в Белорусской государственной политехнической академии.

НаучныЛ руководитель -

Официальные оппоценты:

доктор фнз.-мйт. наук, профессор Чигарев A.B.

доктор физ.-мат. наук, профессор Немцов В.Б., доктор технических наук, профессор Беляев В.И.

Ведущая организация— Научно-исследовательский институт импульсных процессов Белорусского республиканского 11110 порошковой металлургии .

Защита состоится le декабря 1994 года в /С на

заседании специализированного советп К 056.02.04 в Белорусской государственной политехнической академии ( 220027, г. Минск, пр. Ф. Скоркны, 65, главный корпус, к.201).

с диссертацией можно ознакомиться б библиотеке Белорусской государственной политехнической академии.

Автореферат разослан 1994г.

Учёный секретарь

доцент '//+;>, 1 " ' Г.Л. Бахмат

fl^P^iJ---

(С) Миклашевич И.А., 1994

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Одной из важнейших проблем механики деформируемого твердого тела япляется прогнозирование поведения деталей машин и конструкций, синтез новых материалов, обладающих заданным набором свойств. Решение этих задач требует привлечения моделей и методов механики разрушения композиционных материалов. К важнейшим факторам, обусловливающих характер разрушения композитов искусственного и естественного происхождения относится структура. Одним из методов описания структуры среды является метод корреляционных функций, который позволяет учесть структурные особенности материала интегральным образом ( непрерывность или разрывность физико-механических свойств, наличие полной или неполной упорядоченности, разупорядоченности). С помощью корреляционной функции описываются свойства эффективной среды, япляющейся её приближением. В механике разрушения важное значение имеет новерхностная'плотность энергии. В последнее время предложено вычислять её на основе квантовой механики, что позволяет избежать проведения трудоёмких экспериментов.

Прогнозирование направления роста трещин в неоднородных материалах необходимо для проектирования материалов с заданными тре-щивостойкимп свойстпами, Известная опгико- механическая аналогия оказывается плодотворной для решения этой проблемы. Обратной задачей к определению траектории трещины является за дача прогнозирования траектории границы соединения тел, которая возможна, например, в технических задачах сварки взрывом.

Делыо работы является определение траектории трещины в неоднородной среде при произвольных условиях пагружения, а также определение формы поверхности границы двухкомпонештной системы - при высокоскоростном соединении пластин (сварке взрывом).

Научная нопизиа результатов заключается в следующем:

1. Получено нелинейное дифференциальное; уравнение, описывающее траекторию трещины в неоднородной среде при произвольных заданных нагрузках, а также исследованы зоны устойчивости чтого уравнения для определенных типов сред.

"2. Предложен метод расчёта энергии связи, позволяющий получить верхнюю оценку поверхностной энергии дпухкомпонентных неупорядоченных систем и обоснована его эффективность.

3. Показано существование; областей, в которые затруднено про-

никповенне трещины.

4. Получены условия стохастизации траектории трещины в неоднородной среде, определена длина трещины, начиная с которой траектория трещины ведёт себя случайным образом.

5. Получены выражения для частоты периодической структуры, возникающей в зоне соединения, определено время и длина развития неустойчивости. Обоснована неэквивалентность замены метаемой и основной пластин.

Практическая ценность работы. На основании полученных выражений можно прогнозировать направление распространения трещины в зависимости от параметров среды и нагружения. Зная рел;и-мы высокоскоростных соударений, можно определять устойчива или неустойчива зона соединения, и далее найти энергию связи пластин. Энергия связи и поверхностная энергия двухкомпонентзшх неупорядоченных систем может быть вычислена с применением ЭВМ по предложенной методике, что позволяет отказаться от трудоёмких экспериментов.

Апробация работы. Отдельные результаты работы обсуждались и докладывались:

на семинарах и конференциях Белорусского республиканского НПО порошковой металлургии (11)87-1990);

на семинарах кафедры теоретической механики ВГПА (1990-1993); на XIX молодежной научно-технической конференции "Гагаринскке чтения" (Москва, 1993);

па VIII международной конференции по разрушению (Киев, 1993г.); па юбилейной научно-технической конференции БГПА (Минск, 1994). В целом работа докладывалась на семинарах Белорусской государственной политехнической академии.

Публикации. По теме диссертации опубликовано восемь работ. Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, обзора литературы, трёх глав, заключения, приложения, списка литературы. Объём работы 110 страниц, включая 16 рисунков, 2 таблицы. Список цитированной литературы включает 151 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ . Во введении кратко обрисован круг проблем, связанных с моделями распространения возмущений в структурно-неоднородной среде. Обоснована необходимость использования в микромеханике методов, аналогичных кваитовомеханичееким.

В обзоре литературы дан анализ основных научных исследований в

г

области распространения возмущения в неоднородных средах. Анализ показывает, что вопрос прогнозирования распространения трещины б неоднородной среде разработан недостаточно.

В нерпой главе исследована общая схема построения макроскопической эффективной среды для двух изотропных компонент. Показано, что физический смысл понятий эффективной среды и бинарных корреляционных функций в микроскопическом и макроскопическом случае совпадает.

Из сравнения экспериментальных результатов для функции радиального распределения (ФРР) и корреляционных функций следует, что наиболее близки к экспериментальным ФРР корреляционные функции класса г.г,(г) или

гь{г) Маг) - (аг)~1згп (ог), П^'С'-) = Щгк(аг)соз ЦЗга'1 = а,

где а есть радиус корреляции для макроскопического случая, и диаметр координационной сферы для микроскопического рассмотрения. £>= (3 связей с периодичностью рассматриваемой системы.

Эффективные среды, структура которых определяется корреляционной функцией г5(г), принадлежат к классу сред, флуктуации характеристик которых являются марковскими гауссовыми полями. Эти среды удовлетворяют уравнению Гельмгольца. Квантовая среда описывается волновой функцией, удовлетворяющей уравнепию Шредин-генра по определению и имеет ФРР, соответствующую классу г г,(г) и, следовательно, эта среда является марковской.

Для квантового описания неупорядоченных систем недостаточно бинарной корреляционной функции, и для получения исчерпывающей информации используют корреляционную функцию более высоких порядков. Функции радиального распределения, в самосогласованном случае может быть записана в.виде свёртки.

/|(1,2)=с(1,2) + п.у* с(1,3)Ь(3,2)ЙЗ, (1)

где п-средняя плотность атомов в единице объема, а интегрирование проводится по положениям 3-х атомов.

Первое слагаемое, с( 1,2), описывает прямую корреляцию между атомами 1,2. Эта 'функция аналогична потенциальной энергии Сг(г). Второе слагаемое есть непрямая корреляциопная функция, возникаю > щая благодаря действию других соседних атомоз.

Из уравнения вытекает, что с(1,2) действительно отлична от нуля лишь на малых расстояниях, и форма этой зависимости определяется,

в основном, межатомным потенциалом взаимодействия, распет которого представляет собой качественно иную задачу.

Упругие модули для кристаллических тел вычисляются, исходя из собственных частот колебаний кристалла. Для простейшего моделирования потенциала парного взаимодействия принимают потенциал межчастичного взаимодействия в виде потенциала Леннарда-Джонса (6-12).

А В

где Л,В-положительные коэффициенты, г-расстояние между атомами. В гармоническом приближении потенциал имеет вид

и'"™ = \ £ (2)

* Н .IV,у

Решения уравнения движения для гармонического потенциала обычно ищутся в виде плоских волн, как для одномерной, так и для трёхмерной решётки Бравэ. Тогда

1Г

Тензор четвёртого ранга связан с динамическими матрицами. Этот тензор обладает симметрией, связанной с симметрией рассматриваемого кристалла и в общем случае имеет 21 независимую компоненту. Уменьшения числа компонент можно достичь с учетом симметрии системы. Из неизменности энергии кристалла при жёстких поворотах ¿и) получаем ипа'т — 0 для V Ьи. что даёт связь динамической матрицы с тензором деформации и модулями упругости.

Во второй главе рассмотрен расчет энергии связи двухкомпонент-ной неупорядоченной системы. Знание энергии связи необходимо для определения траектории трещины, исходя из вариационного принци-* па.

Для упругого тела критерий разрушения представим в виде

Г 1 1

<5 / Ь + - + о(й - яд ¥° = О,

./5+5- £ 1

(4)

где ;>, определяется из соотношения

{

9¡ = Чi+Pi, если £/; Е 5; 9¡ = сгщ Ч- ри если у, 6 Г2;

щ - компоненты вектора перемещения, Ü - поверхность трещины, g¡-нагрузки, действующие па поверхность трещины, у - энергия поверхностного разрушения, обычно определяема я из механических испытаний. Поверхностная плотность энергии разрушения имеет очевидную оценку сверху ^

[ ^da < Еь — f Г En{E))dE, (5)

Je Jo

где п(Е) - плотность электронных состояний, Е -энергия, E¡? - энергия Ферми.

Энергия связи £j определяется из электронной структуры неупо-■ рядоченных бинарных композиций интегрированием плотности состояний по зоне Ферми. Показано, что для кластерных моделей в численных методах удобней вычислять локальную плотность состояний в г представлении. Тогда п(е,г) = —7r Im <. r|G(e)|r >. Эта величина не зависит от точного выбора граничных условий и представляет собой диагональную часть функции Грина. С физической точки зрения это объясняется тем, что функцию Грина С?(г, г'; г), описывающую распространение электрона из' точки г в г', можно разделить на две части: член, соответствующий прямому распространению из г п г, и вклады от волн, отраженных от поверхности кластера. Если точки г и г* близки друг к другу (г —> г') и далеки ог границы, а сама поверхность имеет сложную форму, то можно ожидать, что отраженные волны взаимно компенсируются. Поэтому г) не будут зависеть от формы и размера кластера и вида граничных условий на его поверхности.

Оператор Грина (резольвента), определяется для соответствующей комплексной Е соотношением

(6)

п ° с'"

где Н - одноэлектрошшй гамильтониан, Е„, фп> - собственные значения и собственные векторы.

Простейшей моделью неупорядоченного композита п приближении сильной связи является однозониая. D этой модели вводим безразмерный параметр 5 = a ширина зоны чистых компонентов является масштабом энергии и полагается равной 1, ел,ц - энергии тюля компонентов А,В, соответственно, ш - средняя ширина зоны.

Из расчетов следует, что моделирование электронной структуры 3(1-мсталлов необходимо проводить с более реалистическими потенциалами, например, МТ или ячеечными, в рамках теории многократ-

ного рассеяния (TMP). Зй-металлы отличаются наличием сильного резонансного рассеяния электронов на ионах, что приводит к образованию d-локализовашшх состояний. Резонансное состояние описывается посредством Т-оператора рассеяния. Этот оператор эффективно учитывает взаимодействие (многократное рассеяние) квазичастицы с одним центром и пренебрегает результатом интерференции волн, приходящих от различных рассеивателей. Таким образом, Г1СТМ не учитывает статистические корреляции и в определяющих уравнениях фигурируют только характеристики одного примесного центра.

Пусть гамильтониан системы в одноэлектронном приближении имеет вид Н — Но + V, где Щ - гамильтониан свободных электродов, V потенциал самосогласованного ноля. Для запаздывающей функции Грина известно соотношение

G = Go + GoVG.- (7)

Представив потенциал V в виде суммы потенциалов v„, локализованных в узлах решетки, и суммировав слагаемые, относящиеся к одному узлу, выражаем функцию Грина через матрицу рассеяния <" на отдельных узлах

G = Go + GO[EÍ" + GO£Í"

I. ti ni^n

Gq = Gi) + GqTGO,

ч) • ___

m^n

где полная матрица рассеяния электрона выражается через одноузель-ные í-матрицы.

т=J2<н+¿Y,+ Л 1"с° 2Z е'а° + - w

п п ni/» п «lí^N »г/«!

Представив оператор Т в виде суммы по узлам решетки Т = ]Пп п, Тип , из (8),получим следующее соотношение:

Тпп' = tnónn> + (1 - 6nn,)t"G0tni + ... = tn + *"ат""'> (9)

щфп

где t" = v„ + v„G<¡v„ + vnGavt¡G0v„ + ...

Матрица T""' (оператор траектории) представляет собой амплитуду вероятности рассеяния n-м узлом электронной волны, первоначально рассеянной на n'-м узле, с промежуточными актами многократного рассеяния на всех узлах решетки. Между актами рассеяния электронная волна распространяется свободно. Как следует из выражения для <", одноузельная матрица рассеяния описывает полное рассеяние электрона на n-м узле. Электрон может рассеиваться на га-м узле только

после хотя бы одного акта рассеяния на другом узле. Этим объясняется исключение («1 ф и) при переходе от 4" к (9). Уравнение (9) является строгим в одноэлектронном приближении.

Использование в дальнейшем реальных потенциалов ведёт к пеобо-споваппому усложнению,!! мы используем предложенную Андерсоном и Макмилланом модель "квазижидкого" металла, где комплексный потенциал рассеяния выбирается самосогласованным образом, давая закон дисперсии и отождествляя тем самым эффективную среду по отношению к рассматриваемому одноатомному кластеру.

Тогда функция Грина может быть представлена в виде

G(k,E) =

Е 1? 2 jAt J2 (2? Vexp(i6,)sin 6l j 1

и с учетом (7) матричные элементы 1\к< запишем

i]T)(2l -Hjeaip [i6,{k,E)am 6,{k,E) = 0. (10)

Выражение (10) дает нам комплексную связь между к и Е, т.е. является дисперсионным соотношением для произвольной решётки.

В общем случае, для комплексной величины к используется комплексный сдвиг фаз 5 , который описывается известным соотношением

to <5,(к Е) - kj'{kr~

Тогда плотность электронных состояний п(Е) определяется

п(Е) » зг-lSp ImG(E) = тг"1 Г G(r,r\ E)dr. (11)

Jo

Плотность состояний п(Е) внутри кластера радиусом гс с учетом (11) запишем.

П(Е):

¡Г1 Г 1тС(г,г')(]1-=ж-1Т(2!+1) /"с,(г,г')Лг, (12) J 0 J о

где (7((г, г') - радиальная функция Грина.

Для свободной электронпой волны с учётом сохранения нормировки С;(г, ?■'), получаем разрыв функции С?| при г ~ г'.

Принимая во внимание, что для случайной системы в нашем приближении учитываются только диагональные матричные элементы,

получим плотность состояний в вид«

щщ 1

~ О гс</1УК'с)

ЛЕ 2 с дк

1т а/, (13)

где - логарифмические производные на границе кластера гс .

Отметим, что эффективную форму выбранной среды в этой схеме определяет комплексная величина Ус.

Б третьем параграфе второй главы рассмотрено рассеяние на статистически распределенных рассеивателях для неупорядоченых систем с не всегда непрерывной функцией радиального распределения. В этом случае уровни энергии Е„ и отвечающие им состояния(г) тоже будут случайными.

В зависимости от исходной модели С(г, г'Е) может быть определена различным образом. Принимал, что кластер совпадает с ячейкой Вигнера-Зейца, уравнение Андерсена - Макмиллана (13) можно переписать.

где <5/ - фазовый сдвиг, /;(х) - регулярное решение УШ на радиусе Виг-нера - Зейтца гц-д, 71 = <11п 11(кг)/(¡г)\г\уб, Щ определяем из условий сшивки решения // = Л/}(Ат) + а^/(кг) и Н^(кг) на Щ(кг) - нерегулярное решение УШ при г 6 (гш, Г(гз) и к^(кг) - рассеянная волна вне

Для континуальной модели распределение рассеивателей в объеме задается с помощью непрерывной ФРР д(Я) .

Пусть в заданном объеме П электроны рассеиваются на непересекающихся сферически - симметричных МТ-потенциалах, координаты которых фиксированы набором Тогда полный одноэлектрон-

ный потенциал V в точке г равен сумме потенциалов

а одяоэлектронный гамильтониан Я и резольвентный оператор С, соответственно, имеют вид

а

Конфигурационное усреднение оператора рассеивания Т может быть выражено через парные корреляционные функции Учиты-

вая, что Ср = (1С¡<1Е и — можно члецы (ОцТСц) представить

в виде

боЕ= Е- -ЕЕ^(§<«)

а а « о. ,)/„ \ /

а о//? т/^0

о \ ио / /3?!« 7МД

Если принять с целью упрощения вычислений условие

¿Со(4* Е

тогда суммирование сведется к рассмотрению геометрической прогрессии и окончательная форма имеет вид

С0ТС0 =~е( + - Д)-1] Е • (14)

г» V ' ^ ^ • 0 -1а )

Полученное выражение позволяет выразить плотность электронных состояний через узельные матрицы рассеяния tj, функции Грина С и производные этих величин по эпергии.

С учётом координатного представления Ь -матрицы

< П|<«|Г2 <а(Г1,Г2) = <(Г) -Ва,г2 - Яа) .

и при условии <(г1,гг) ф 0, если Г[ и г2 < гт, имеем

= I ^Ы^воЬ-- п) х

х Цгх - Па, г-2 - П«)С0(г2 - г) = !(¡лг<?г\<1гг2Оъ(г - г,) х

х г(гьг2)С0(г2-г) = ^Е(2, + 1)ё-

ж аЬ

Этот плен, связанный с суммированием по «, даёт вклад от п ш;за-внсимых рассеивателей.

Раскрывая слагаемые в (Щ и проводя конфигурационное усреднение, получаем соотношение для плотности электропных состояний п(Е), в котором ближний порядок учитывается с помощью д(Я):

п(Е) = п°(Е) + - Т(21 + 1)& + тг/т(У(1 -* '<2 . Ь

+32к1т{ХУг); ■ (15)

X =-- ]Г(2! + - ЩЫ.д);

¡<2

Г = £(2.', + ^-'^С'^^Ёи^д);

/1<2

2 = [1 - (4тг)2г7У £(2/а + '2 <2

лоо

(/ад) = / к+{-/ЁК)а(П)П2с1г.

¿Ту,/5

= —(г/Ё)-1 Х2Д2/-(-1) ехр('15!)вт <5| есть изоэнергетическая ¿-матрица; - коэффициенты Гаунта. Как следует из (15), второе и третье слагаемые дают вклад в плотность состояний за счет многократного рассеяния.

Таким образом, для определения п(Е) необходимо иметь данные по сдвигу фаз и радиальному распределению рассеивателей, которые находятся либо из эксперимента, либо рассчитываются в одном из приближений, например, модели жестких сфер.

Для получения сдвига фаз необходимо задать соответствующий МТ-• потенциал. При построении "квазикристаллического" потенциала использовалась известная схема Матхайса, однако электронная плотность в расплаве при этом определяется из соотношения

С00 /-¡я+Н

е(г) = е„(г) + —- / д(г)мл /

где £„(г) - атомная электронная плотность. Она находится из решения УШ ио методике Германа-Скилмана для возбужденного атома 3</7 4ь1 с параметром экранировки X = 0,98. ФРР 0{Щ определяется в рамках модели жестких сфер, при этом параметр упаковки варьирован в интерпале (0,43-0,47), а диаметр сферы принимается равным диаметру сферы Вигнера-Зейтца.

Результаты расчета для железа по соотношению (12) представлены на рис.1. Из сопоставления результатов с известными данными следует, что в нашем случае Б - зона Ре заполнена частично и ее ширина равна 0,2 Иу4, т.е. несколько больше, чем в случае кластерной модели Вазвари. Плотность состояний на уровне Ферми Ер = 0,657(Л:ус},}, занимает промежуточное положение. Уширение пика п(Е) объясняется

тем, что континуальная модель в большей степени, чем модель "квазижидкого" металла, учитывает влияние ближнего порядка па электронную структуру 3й- металла. Как показывают расчеты, увеличение Ер приводит к уменьшению величины максимума п(Е) с одновременным уширением пика, что свидетельствует о делокализации ЗЛ - электронов.

В третьей главе рассмотрены процессы распространения трещины в неоднородной среде и соединения компактных материалов.

Первый параграф третьей главы посвящен рассмотрению траектории трещины в неоднородной среде. Рассмотрена двумерная наодно-родная упругая среда, в которой связь между напряжениями а(х, у), и деформациями е(г, у) имеет вид

<?(х,у) = Е(х,у)е(х,у). (10)

Здесь Е(х,у)- модуль Юнга и а(х,у) зависят от пространственных координат.

Принималось, что рассматриваемая плоскость находится под действием растягивающих нагрузок, приложенных на бесконечности, главные растягивающие напряжения направлены по У, а траектория возможной трещины нанравлеаа вдоль оси X.

Мы принимали, что траектория трещины суть линия, на которой функционал работы и(х,у) = [в а^п^тасг имеет экстремальное значение, П) - направляющий косирус .¡-й внешней нормали, <1о - элемент поверхности 6 означает полную вариацию.

Уравнение Эйлера, следующее из условия минимума функционала, было представлено

^"ТГтО + + = (17)

где введено обозначение Ь(х.у) = /,(:с.?у) = .

Уравнение (17) решалось приближённо.

В приближении у' < 1, что соответствует малым отклонениям от прямолхшейного распространения, будем ограничиваться только линейными членами по у', членами более высокого порядка пренебрегаем из-за малости. В уравнении траектории трещины разлагаем /ь /2 в ряд по степеням у и ограничиваемся в разложении членами пе выше 3-го порядка. Поскольку у = 0 есть решение уравпелия, то

/?(М) + Й(*,0) = 0. (18)

Кроме того, из-за малости отклонений трещины от прямолинейного распространения в уравнении (17) пренебрегаем членами порядка выше у. Стандартной заменой переменных у — z ехр( | f C(x,y)dy), где С(х, у) есть сумма всех коэффициентов при у', избавляемся в уравнении (17) от члеыов, содержащих у1.

z" + \]Ь ~ \ib + + -¡i^expA + = 0. ; (19)

A~l J h{x,y)dy .

Во втором параграфе главы рассматривается решение (19) в нулевом приближении

z" + N(x, 0)z + М(х, 0)z2 + L{x, 0)г3 = -£iF,(x, 0) - £2F2(x, 0). (20)

1 1 1 0) = 2 л - 4 fi + fli M^ = 2lf**exp A

L(x, 0) = ^jt^exp 2A.

Закон Гука для изотропного тела принимался в обычном виде. Считалось, что условия нагружешш таковы, что сг22 ф 0, оц — 0,i,j 1,2. Тогда для iV(r, г/),нолучпл1Г

\doi2 _ а'п дЕ] 2 " дх Е дх \ '

Предположение о характере граничных условий, обеспечивающих неизменность характера распределения напряжений, позволяет прогноз гровать направление распространения короткой (изменение х мало) трещины. Реально же необходимо процесс расчета траектории проводить, пересчитывая напряженное состояние, возникшее при профдвижении трещины на некоторое малое расстояние.

Вариационная задача с закрепленными концами (описываемая (17)) отвечает задаче определения вероятной поверхности излома конструкции между двумя известными концентраторами напряжений.

Уравнение (20) подробно исследовалось в линейном приближении.

z"+N{x, 0)2 = 0. (21)

Тогда: 1. Для JV < 0, Z ь-+ оо при х t-> оо,

N^^niu^m-l^-Ji

Да22 АЕ Viт22у 1

N(x,y) = 2---— + 21-) +-7-J-

fi22 Е \ 022 / 4aL

2. Для N > т > 0 трещина флуктуирует около у = 0 и если z(0) = О, z(0)' = t'i, то (/тм^а)*-,«,! < 6|. Распространение трещины устойчиво, ось х(у — 0) является экстремалью (удовлетворяет уравнению (2), и, следовательно, = 0, > 0.

3. Нелииейпый случай (устойчивость в большом)А/, N, L ~ const, е-малое. Тогда трещина флуктуирует относительно оси х, траектория имеет условно-периодический характер.

Рассмотрена траектория трещины в средах с детерминированной структурой. Принималось, что (Т22 = const,Е — Е(х), тогда (21) примет вид

А) Е — Ео8и1(&г + С), где С выбирается из физического условия неотрицательности модуля упругости. В этих условиях (22) сводится , к уравнению Хилла.

Решение уравнения (23) искалось и виде ряда экспонент. В разложений Фурье учитывались только первые четыре члена.

Для зон устойчивости уравнения получена система уравнений

' До = 3,4285 А,;

3,4285 At j- 7,1285 А3 - аВ{ = -В,; 3,4235 Bi + 7,4285 Bj - о А, = - А,; < 4 Л2 - аВ2 = -4А2; 4 Bi - аЛ3 = -4/У3; 0,5714Ai 4- 5,9G3031 А3 + аВ3 = 9А3; , 7,4285 Д, + 5,963031 Д3 + я^з = 9Д>.

Зоны устойчивости для уравнения (23) приведены на рис.2.

С другой стороны, (21) рассматривалось как уравнение, аналогичное уравнению Шрёдингера, и искалось его решение в виде суперпозиции прямой и обратной волн. Получено для коэффициента пропускания I) и коэффициента, отражения П.

Графики коэффициентов для возможной области их существования приведены на рис.3.

(22)

2» - (fca - ^ ctglkx)z = 0. 4

(23)

Полученные результаты позволяют предполагать, что существуют "зоны" или "области", при распространении по которым трещина, не способна пересечь границу этой области и либо останавливается, либо отражается от границы/ Существование подобных областей вытекает из физического ограниченна положительности подкоренных выражений в коэффициентах отражения и прохождения. В противном случае коэффициенты получаются мнимыми, и их физический смысл отвечает невозможности распространения трещины в этой области. Экспериментально подобное поведение трещины давно обнаружено (торможепие на зёрнах). Однако получен результат, что не только из мягкого материала трещина не может проникнуть в твёрдый, по к наоборот, из твёрдого в мягкий. В области мнимых коэффициентов должпо существовать '"подбарьерное" проникновение трещины из области в область. Физический смысл такого поведения есть исчезновение магистральной трещины, деградация ее до диффузных микротрещин к последующее развитие до первоначальной трещины.

B) Е{х) = Ец 4- кх, тогда уравнение траектории имеет вид

к2

--1----=0.

4(£о + кх)

Решение этого уравнения может быть.найдено численно

C) Е(х) — Ецехр (кх). Уравнение принимает вид

4

Его решение, г — ехр(^кх), следовательно

./5, 1

У = ехр ("у Ь- + - С{х,у)йу),

т.е. траектория трещины есть экспонента.

Б) Е(х) = Еа{схр,кх) + ехр{-кх■)) = Е0 ct.li кх, Тогда

д _ V в 2у/Г-ткх)

График коэффициентов прохождения и отражения показан на рис.4. Третий параграф главы носвящён исследованию процесса стоха-стизащщ траектории трещины. Для длины стохастизации получена оценка

= 2ПК ^ 2¿Т К" = Б ^ § й £

Л'-^ м - 0. £ = <Л*.

В четвёртом параграфе главы рассмотрены процессы формирования границы при высокоскоростном соударении пластин. Поскольку процессы распространения трещины и формирования границы можно рассматривать как эквивалентные с точностью до знака премеки, то полученные аффекты должны иметь определённое подобие.

Предложенная модель формирования границы рассматривает нелинейные члены в уравнении изогнутой оси балки на упругом основании, если в уравнении учесть более высокие степени в разложении прогиба гу по градиенту 3?. Модель иллюстрируется рис.7, на котором к = I гДо к - кривизна изогнутой оси; М = ¡гш - изгибающий момент; Е1- жесткость балки. Учитывая общее выражение для кривизны получим

Г1 Г Л* и

Г ^ „■»-Р'". (24)

При рассмотрении з'читыпаюгся слагаемые, квадратичные по производным (1и)/(1:С в разложении изгибающего момента.

С учётом того, что процессы колебаний л обоих пластинах после точки контакта должны иметь одинаковый вид, исходное уравнение записывается следующим образом:

15, "2

+3шшг.и\ххг) - (/31 Г, - ^2)1«,« = N(25) где Е\ - модуль упругости, Ег - касательный модуль^

Г/и,,,,, + (кк - к2)ш + N(41,^ + --(и£<1',1г + 31у(ш1„)2+

12(1-^)'

Т - приведенный модуль, I - момент инерции поперечного напряжсиого слоя;

к) - коэффициенты упругих оснований ¡-ой пластины, Ь - ширина пластины; и' - коэффициент Пуассона 1-й пластины; /'ь/'а - приведенные плотности; площади сечения; , х;, £ - производные по х, 1; пц - на-

чальные отклонения от прямолинейной оси: N — р(1 - - коэффициент', включающий множители, которые отвечают давлению ударной полны в металле и упруго-пластическому взаимодействию пластин

между собой; Е[ - модуль упругости верхней пластины. Учитывая, что «'i -С к К, правую сторону уравнения (25) приравниваем нулю.

TIw¡trtx + (Ai - h)w -Ь N{w,zr + у (w2rwiXX + Зш(ш,„)2+

+3wwrtw,lrx)(piFi - (hFi)w,a ~ 0. (26)

В таком виде уравнение (2G) представляет собой модифицированное уравнение Буссинеска, которое в гидродинамике описывает волны на мелкой воде, нелинейную волну в решетке, волны в плазме.

Полное аналитическое исследование развития упругой волны на ochodc нелинейного уравнения (26) представляет сложную математическую задачу. Однако начальную стадию процесса волнообразования можно описать, линеаризуя это уравнение. Подобным образом описывают, например, распространение волны в неоднородной турбулентной плазме. Решение уравнения ищется в виде линейной комбинации плоских полп: w = (а0 + o'yO^W+tf + ^ + y)e-¡(K*w+rt , где «о,6о - амалитуды стационарных волн, ш- частота, -фаза волны, а',Ь' - малые флуктуации частоты.

Получаем для амплитуды и фазы волны K>oi+y>) систему уравнений. После выделения в вей стационарной части,запишем.

Г ГД-т'У*) + N(~21\4>¡z + СаЬ^Я3) - (pi.Pi - ^F2)2a;0^,( = 0; . .

\ ТТК* + (&| - кг) + N(K* - ¡аЬК*) - foF, - p2F^l =0. '

Здесь оставлены только члены с основной частотой, ибо слагаемые с другими частотами на начальной стадии будут иметь малую интенсивность. Для упрощения соотношений диссипации при деформации не учитывалась, т.е. было принято аи

Для частоты из (27),получаем

¡TIК* + (?ч - k2) + Nj-Ю - 3а'Ч(П

Wü = v--ЫРГТЖ)--• (28)

Основная гармоника колебаний будет неустойчива, если ш2 < 0 . Поверхности устойчивости для систем Cil-Fe, Fe-Cu, Cu-Ni, Ni-Cu приведены на рис. 8,9,10,11. При расчетах принималось, что толщина метаемой пластины - 1мм, толщина основной пластины - 10мм, Физико-механические постоянные веществ брались табличными. На рис. 8 Си метается на Fe, на рис. 9 Ее - на Си, на рис. 10 Си - на Ni, на рис. 11 - Ni па Cu. ui, ...0/4 представляют сечения поверхности устойчивости при значениях давления 65,70,75,80 К Бар соответственно, Л",-

номер гармоники. Из расчётов следует, что чем менее давление в зоне соединения, тем больше номер возникающих в системе гармоник. Нулевое значение частоты отвечает зоне неустойчивости, т.е. невозможности возникновения соединения, тёмные области - резким перегибам поверхности устойчивости.

Время, определяющее процесс нарастания неустойчивости, будет 1 1

í( А):

im uq /tlk4íh-h)+n(-k>~3c',k*)'

V WiWJ)

Длина нарастания волны определяется формулой £.(А) = V¡,t, V/,-скорость точки контакта, L( А) - та длина, на которой происходит образование стационарной волны при высокоскоростном соударешш пластин. Максимальную амплитуду этой волны можно найти только точным решением (27). Остальные уравнения в системе позволяют оце-йить степень пригодности рассмотренного решения, так кок считается а' < ао (малая нелинейность).

В силу линейности уравнения (27) не определяют параметр а. Оценить их можно из опытных данных на участке стационарной волны. Так же оценивается и волновой вектор К — 2Р//Л

Таким образом, можно сделать определенные выводы:

- нелинейность уравнения отсутствует в случае N ~ О ( это равносильно Ei — EJ). Решение будет иметь синусоидальный вид. В эксперименте это отвечает синусоидальной границе при соударении металлов с одинаковыми механическими свойствами;

- форма границы сильно зависит от соотношений т.е решение несимметрично относительно замены пластин, так как знаменатель (pi-Fi — ¡.^Fi) имеет разные знаки и в одном случае может развиваться неустойчивость по основной гармонике, а в другом - неустойчивость может вообще не развиваться или развиваться по высшим гармоникам. Экспериментально это подтверждается различным характером границы при метании пластин разной твердости;

-критерий нарастания основной гармоники полны для p\F\ > pjFj должио быть

Tí К* + (ki - к,) < JV(A"2 + -<i2A'4). (29)

- о критических углах: в случае больших Л'.получаем : Tí < S/2N02.

Учитывая, что N ~ р ~ sin//, находим 7,,,,,,, при котором начнут

выполняться условия волнообразования.

Существует такое А',,,;,,, что в уравнении (29) членами, содержащими К4, можно пренебречь и, записав (кi - fco) < NK3, найти усло-

вия на К, когда это не выполняется. По экспериментальной формуле А = 26Язш21; это будет отвечать 7т«, при котором возможно струе-обраэование.

Спектр решений модифицированного уравнения Буссинеска содержит решения, которые отвечают обычной волне и солитонам. Какие решения реализуются, зависит от параметров, входящих в уравнение. Анализ показывает, что солитонные решения будут отвечать режимам, близким к критическим.

В приложении к диссертации описан процесс и приведены основные экспериментальные зависимости для высокоскоростного соударения металлов (сварки взрывом) .

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Основные научные результаты, изложенные в диссертации заключаются в следующем:

" 1. Получено уравнение траектории трещины в неоднородной среде для произвольных условий нагружения.

2. При распространении трещины в неоднородной среде в условиях неоднородного напряжённого состояния в материале обосновано существование областей замыкания для конкретных сред. Это позволяет объяснить остановки трещины на зёрнах, образование пор.

3. Определена форма границы, возникающая при сварке взрывом. Получены зависимости, описывающие процессы нарастания и затухания колебаний. Показано, что область сварки взрывом ограничивается зоной неустойчивости границы соединения. Неустойчивость вызвана невозможностью развития колебаний в зоне сварки. Чем выше давление, возникающее в зоне сварки, тем меньшее число гармоник может существовать в системе.

4. Определена длина, стох&стизацив ари распространении трещины в неоднородной среде.

5. Предложен способ оценки максимального значения поверхностной энергии двухкомпонентных неупорядоченных систем.

6. Обоснована связь микроскопической характеристики - плотности электронных состояний с макроскопическим критерием разрушения.

7. Предложена оптимальная методика расчёта энергии связи двухкомпонентных неупорядоченных композитов, пригодная для расчёта систем со статистически распределёнными рассеивателями.

8. Показано, что стохастическое рассмотрение приводит к получению усреднённых характеристик электронной структуры.

1С

§

40

30

го

40

■

V /

//

Л /

// /

$

1

о г 1 б а ю и

Ряс. 2. 3.11Ш устойчивости уравнения (23)

В,г 3,4 0,6

■Рис. I, Плотность электронных состояний системы:

____паи резулгтат,

___Асанс. и Ионесма,

Еазворн, _.._.._.. Фудшвнра

М- х 6

Рис. 3. Коэффициент прохождения £>(х} и отроения для предъ £»£,з/л(Ах*е)

цл

да;

а/ Рис. 4. Коэффициент отражения а/ и прохождения б/ для среды сМ Аэс

Рис. 5. Схема сварки взрывом: 3 - скорость детонация /7 - толидаа напряженного слоя

/ Рис. С. / Стеряэнь на уп-д ругом основании

ш(Ч

т1

..------Р' 65 КБлр

-Р. ККйяг

-----Р-^Хбл.'

Рис. 8. Зависимость частоты ст гашоникя длп систем;» М- Си.

Рис. 9. Зависимость частоты от гармошки для системы Са-М

ш(к) ¡Ю7

5 Ш 1! го

Рис. Ю. Зависимость частот«

от гармоники для системы Си-Те

а

» ю V го к

Рис.П. Зприсимссть частоты от гармоники д.чя системы Те-Си

Основные положения и результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Миклашевич И.А. Наумович Н.В. Фераячук И.Л. О начальной стадии процесса волнообразования при высокоскоростном соударе-шш пластин // В кн.1 Порошковая металлургия. Вып. 10.- Мн., 1986.-

2.Миклашевич И.А. Асанович В.Я. Бурылсв В.П. Вопросы микроскопической теории связи в биметаллических соединениях. //Деп. п ВИНИТИ N 4325-1389. Краснодар, 1989. - 65 с.

3. Миклашевич И.А. Асанович В.Я. Бурылеп В.П.. Микроскопические аспекты образования соединения при сварке взрывом // Адгезия расплавов и пайка материалов. Вып. 25. - 1991. - С.69-74.

4. Асанович В.Я. Баканов А.Н. Миклашевич И.А. Учет электронной компоненты при расчете диаграмм состояния на ЭВМ //Y Всесоюзное совещание "Диаграммы состояния металлических систем", Тезисы докладов. - М., 1989,-295 с.

5. Aijanovk.h V. Ya., Miklnshevich I. А. МТ ElFwtive Medium Approximation in R-Representation for the Electron Structure of 3d Metals // Fhys. Stat. Sol.(b), v.164, 1991, p. 445-451.

6. Миклашевич И.А., Дрозд С,Г. Траектория трещины в композиционном материале // XIX Молодежная иаучио-техническая конференция "Гагаринские чтения" 5-9 апреля 1993г. Тезисы докладов. -Ч.2.- М., 1993.- С. 71-72.

7. Micldashevich I., Chigarev A., Stocliastisatioli of crack growth direction in heterogenous! media //8 International Conference of fracture, Ukraine '93, Collections of Abstacts, Part 1, - p. 227.

8. Чигарев А.В., Миклашевич И,А. Расчет траектории трещины в композиционном материале п линейном приближении. // ДАН Беларуси^ N1.1995.

C.9G-100.