Программные средства сравнительного исследования численных методов линейной алгебры и решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. СОВРЕМЕННЫЕ ТЕСТОВЫЕ НАБОРЫ.

ГЛАВА 2. ГЕНЕРАТОРЫ ТЕСТОВЫХ МАТРИЦ И СИСТЕМ.

2*1. Особенности построения тестовых матриц и систем с помощью ЭВМ.

2.2. Построение несимметричных матриц с заданными собственными числами.

2.3. Построение симметричных матриц с заданными собственными числами.

2.4. Построение тестовых линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений

ГЛАВА 3. ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА

ЛИНТЕСТ В ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТАХ.

3.1. Проверка работоспособности комплекса

3.2. Применение комплекса ЛИНТЕСТ для сравнения по точности алгоритмов вычисления матричной экспоненты

3.3. Применение комплекса ЛИНТЕСТ для сравнения по точности алгоритмов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

3.4. Применение итерационных методов при реализации неявных методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Переход от численного метода к его программной реализации, как стало очевидным в последнее время, является далеко не формальной операцией [59^. В то же время потребность в надежных и эффективных программах с каждым годом возрастает. При создании математического обеспечения трудности технологического характера - машинное время, значимость числа, точность вычислений, объем программы, объем перерабатываемой информации, объем доступной памяти - стали преобладающими* По мнению авторов [6l] ". сейчас масштабы и объем этих трудностей настолько выросли, что можно говорить, что задача их преодоления сама стала задачей науки и представляет собой проблему фундаментального значения" •

Появление многочисленных программных реализаций численных методов заставляет по новому взглянуть на основную задачу теории численных методов о поиске наилучшего в некотором смысле алгоритма из данного класса [43*] • Здесь на первый план выдвигается задача об оценке влияния ошибки округления на точность вычислений, без решения которой сравнивать между собой программные реализации немыслимо. В этом смысле показательной является [97*], где обсуждаются различные, широко распространенные на практике, программные реализации вычисления матричной экспоненты, авторы которой считают их не более как сомнительными с точки зрения точности вычислений.

При том, что растет число работ, авторы которых проводят анализ влияния ошибки округления и получают различные оценки, практика показывает, что эти оценки могут сильно отличаться от истинного положения дел (например, см. [lI5}).

Обилие программных реализаций порождает еще одну проблему возможность непредсказуемых последствий использования "сомнительных" программ в фундаментальных исследованиях [59^. К сожалению, большинство из авторов, публикующих программы, ограничивается лишь элементарными примерами, иллюстрирующими работоспособность модулей или пакетов, что приводит к необходимости либо полностью довериться автору, либо самостоятельно проводить проверку модуля, либо, что оказывается иногда еще проще, заново написать программу. Так как задача проверки программ является вспомогательной для пользователя, то и качество ее решения обычно невысоко. Как справедливо отмечается, например в |<5l], отсутствие авторского права на программы, сложности, возникающие при публикации, отнюдь не стимулируют создание эффективного математического обеспечения для проверки работоспособности и качества реализации численных методов.

Ко всему сказанному следует добавить еще и то, что отсутствие иерархии программных реализаций в какой-либо области, а главное методов установления этой иерархии, приводит лишь к дальнейшему росту числа программ и соответственно к многократному дублированию работы программистов.

Другой важной проблемой, связанной с программными реализациями, является проблема тестовых наборов. В нашей стране эту огромную работу начала группа, возглавлявшаяся В.Н.Фаддеевой. Трудно переоценить значение этой работы и вклад, внесенный Верой Николаевной, до последних дней своей жизни подававшей пример подлинной научной работы и помогавшей делом и советом всем, кто обращался к ней.

Технология изготовления программной реализации численного метода содержит два этапа, где необходимо иметь обширный набор задач этап тестирования и этап проведения численного эксперимента. На ранних этапах использования ЭВМ, когда среди математического обеспечения преобладали не слишком сложные стандартные подпрограммы численных методов, тестированию, в современном его понимании [7, 8, 26, 27) , практически не уделяли никакого внимания и под тестированием подразумевалось сравнительное исследование или же, например, экспериментальное исследование устойчивости [99]. Вследствие этого за примерами, на которых проводилось сравнительное исследование, закрепилось название тестовых примеров, хотя сейчас в этот термин вкладывают совсем другой смысл. Создание пакетов прикладных программ и систематизированных коллекций [78, 79, 109, НО, III] привело к тому, что вопросам тестирования программных комплексов для численных расчетов стали уделять не меньше внимания, чем программным комплексам для обработки символьной информации [22, 33, 35]. Однако до сих пор все еще довольно распространенным является мнение, что они настолько просты [9] с точки зрения программирования, что для них хороши и старые способы создания программных комплексов. Основой этой точки зрения служит утверждение, что объем связей и соответствий между программой и данными на входе и выходе в вычислительных задачах не очень велик, и человеку под силу удержать его в своей памяти. Тестирование современных программных комплексов требует разработки специальных методов (из-за присутствия ошибок округления) и наборов тестовых примеров. Подчас задачи тестирования понимают слишком узко и сводят его к проверке программной реализации численного метода на случайных примерах. Даже более тщательные проверки - сбор данных о работе модуля на больших наборах тестовых примеров - как это, например, было сделано при создании систематизированной коллекции [5, 71, 78, 79, 109, НО, IIlJ, не дают гарантии, что ошибки устранены, они могут обнаружиться через несколько лет после начала эксплуатации пакета. Однако надо пригнать, что пока испытание модуля на большом числе примеров остается единственным практически пригодным средством тестирования.

При проведении численного эксперимента решающее значение имеет разнообразие тестовых примеров. Чем разнообразнее представлены тестовые примеры, тем более гибко можно проводить численный эксперимент. Численный эксперимент проводится с помощью ЭВМ и поэтому надо стремиться к тому, чтобы тестовые примеры были представлены в форме, удобной для программиста. Традиционные коллекции мало приспособлены для этих целей. Численный эксперимент требует создания специального стандартного математического грамм создают самостоятельно и практически всегда заново для каждой задачи, что приводит к неоправданному дублированию рабоционными коллекциями, создавать специальные подпрограммы, позволяющие генерировать тестовые примеры для данной прикладной области с необходимыми исследователю свойствами. Такие подпрограммы, генераторы тестовых примеров, должны обладать следующими преимуществами:

1. Компактностью - способностью создавать целый класс объектов, как функцию от небольшого числа параметров.

2. Транспортабельностью - написанный на языке высокого уровня, с необходимыми средствами настройки на длину разрядной сетки и применяемой системы счисления, генератор должен легко переноситься на различные типы вычислительных машин.

3. Доступностью - наличие текстов на языке высокого уровня делает его доступным как разработчику математического обеспечения, так и пользователю практически любой квалификации, причем для описания численного эксперимента достаточно указать лишь величины параметров, при которых он проводился. обеспечения

Сейчас в большинстве лабораторий этот вид про

Поэтому представляется целесообразным, наряду с тради

К числу достоинств генераторов следует отнести и то, что разработчику предоставлена возможность конструировать тест ио-ходя из своих потребностей, а не искать в коллекции наиболее подходящий.

Данная работа посвящена созданию стандартного математического обеспечения для генерирования тестовых примеров, необходимых для численных методов линейной алгебры и методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Как и в линейной алгебре, так и при решении обыкновенных дифференциальных уравнений, в основе тестовых примеров лежат матрицы с заданными свойствами. В идеале хотелось бы иметь возможность строить матрицы, у которых известны все характеристики - собственные и сингулярные числа, правые и левые собственные векторы, характеристическое уравнение и т.д. Имея такие матрицы можно строить и системы линейных алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений с заранее известным решением*

Ограниченность разрядной сетки и, как следствие, отличие множества чисел, представимых в ЭВМ, от поля вещественных чисел приводит к тому, что не все матрицы можно представить и сформировать в ЭВМ, не исказив каких-то из характеристик. Примером может служить матрица Гильберта [i, бо}, не представимая точно на \1 машинах с двоичной арифметикой. По этой же причине нельзя непосредственно использовать хорошо известные разложения, позволяющие по заданным характеристикам строить матрицы, как это делают, когда строят матрицы небольшой размерности в поле вещественных чисел вручную. Для генерации тестовых матриц с помощью ЭВМ приходится использовать специально подобранные преобразования подобия, что естественно является ограничением. Вопрос о последствиях этого ограничения остается пока открытым, поэтому целесообразно одновременно проводить исследование как на традиционных наборах, так и на примерах, построенных с помощью генераторов. До сих пор исследователи применяли традиционные тестовые коллекции. Первые работы, посвященные применению генераторов, следует отнести видимо к 1980 г. [ИЗ, ш].

Рассмотрим классы матриц, которые целесообразно иметь в коллекции (независимо от формы коллекции). Будем говорить только о вещественных квадратных матрицах.

1. Матрицы с заданными собственными числами.

2. Матрицы с заданными сингулярными числами.

3. Симметричные матрицы.

4. Разреженные матрицы.

Хотелось бы, чтобы обусловленность этих матриц по отношению к задаче обращения и проблеме собственных значений менялась бы в широких пределах. С помощью этих матриц можно построить системы

1. Ах=6

2. i^cAoc + fe ; х(о)»Яо лЛ с известным решением.

Обычно, наряду с системой (з), в коллекцию включают и нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений [50, 75]).

В первой главе рассматриваются существующие тестовые наборы и методы построения тестовых матриц. Обсуждаются недостатки традиционных коллекций. Различные способы конструирования тестовых матриц иллюстрируются примерами. Более подробное описание тестовых наборов можно найти в [4б].

Во второй главе приводятся способы построения генераторов тестовых матриц и систем, указанных выше. Разработаны и обоснованы алгоритмы построения матриц без ошибок округления.

В третьей главе приводится описание проверки работоспособности программного комплекса ЛИНТЕСТ. На примере широко распространенных численных методов демонстрируются возможности комплекса. Дополнительно в третью главу включено описание численного эксперимента, показывающего целесообразность применения итерационных методов вариационного типа для решения систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при реализации неявных методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Отдельно, в приложение, вынесены инструкция по эксплуатации программного комплекса ЛИНТЕСТ и тексты всех программ комплекса.

Научная новизна работы заключается в разработанном способе построения тестовых матриц различных типоз без ошибок округления. Основанные на нем генераторы не искажают заданных характеристик, тем самым все ошибки принадлежат исследуемому методу.

Практическая ценность заключается в пакете "ЛИНТЕСТ", с помощью которого можно строить тестовые системы. Пакет автоматически настраивается на длину разрядной сетки используемой ЭВМ с двоичной арифметикой.

Основные положения, которые выносятся на защиту:

- методы построения вещественных матриц с помощью ЭВМ без ошибок округления (матрицы MI.I-MI.4, глава 2);

- методы построения разреженных матриц с помощью ЭВМ;

- структура и программная реализация комплекса ЛИНТЕСТ;

- программная реализация метода сопряженных направлений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Резкое увеличение за последнее время числа и сложности подпрограмм и пакетов, реализующих численные методы линейной алгебры и методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений приводит к необходимости их тщательного тестирования и проведения численных экспериментов с целью установления иерархии подпрограмм. Эта работа не возможна без наличия разнообразных тестовых примеров и средств автоматизации численного эксперимента.

Представляется целесообразным иметь коллекции тестовых примеров, состоящие из трех разделов.

1. Небольшое (определяемое возможностями ЭШ и методами хранения информации) число примеров, протестированных и являющихся по каким-либо причинам "трудными" для существующих численных методов. Например, [831.

2. Набор параметрических матриц и систем, оформленных в виде стандартных подпрограмм, для снятия зависимостей от размерности и варьируемой характеристики.

3. Генераторов тестовых матриц и систем, представимых в ЭВМ без ошибок округления или с учетом ее влияния на задаваемые входные параметры (собственные или сингулярные числа и т.д.).

В работе основное внимание уделялось формированию второго и третьего разделов коллекции. С этой целью были рассмотрены существующие тестовые наборы, дана их классификация, собрана и систематизирована коллекция параметрических матриц [46].

Для расширения возможностей инструментальных систем были созданы генераторы тестовых матриц и систем, позволяющие строить без ошибок округления как несимметричные, так и симметричные матрицы с заданными собственными или сингулярными числами. Генераторы, совместно с рядом обслуживающих программ составили программный комплекс "ЛИНТЕСТ", предназначенный для формирования матриц и систем с заданными характеристиками.

Работоспособность комплекса продемонстрирована на ряде хорошо известных программных реализаций численных методов. Так же с помощью численного эксперимента была показана целесообразность применения итерационных методов типа сопряженных направлений при решении систем алгебраических уравнений, возникающих при реализации неявных методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

1. Агеев М.И., Алик В.П., Малюк Л.В., Марков Ю.й. Алгоритмы (51-100). - ВЦ АН СССР, вцп.2, М.: 1966, с.ЮЗ.

2. Аксельрод И.Р., Белоус Л.Ф. Программирование на языке СИРИУС. Вычислительная математика и вычислительная техника. 1973, Ш 4, с.68-120.

3. Аксельрод И.Р., Белоус Л.Ф., Шлейников В.И. СПУТНИК -система построения трансляторов. Харьков: Препринт ФТИНТ, 2-77, 1976, с.23.

4. Арефьева Н.А., Пушкина И.П., Родионов С.Г. HIP0 - технология - метод разработки и сквозного документирования программ по принципу "сверху-вниз". - Управляющие системы и машины,1978, Ш 3, с.35-39.

5. Арушанян О.Б. Некоторые современные концепции конструирования библиотек численного анализа. Вестник МГУ, серия "Вычислительная математика и кибернетика", 197£/1, с.58-72.

6. Бахвалов Н.С.;Лисленные методы. T.I М.: Наука, 1973, с.627.

7. Безбородов Ю.М. Индивидуальная отладка программ. М.: Наука, 1982, с.189.

8. Брукс Ф.П. мл. Как проектируются и создаются программные комплексы. Пер. с англ. М.: Наука, 1979, с.168.

9. Вельбицкий И.В., Ходаковский В.Н., Шолмов Л.М. Технологический комплекс производства программ на машинах ЕС ЭВМ, БЭСМ-6. М.: Статистика, 1980, с.263.

10. Воеводин В.В. Вычислительные методы линейной алгебры. -М.: Наука, 1978, с.ЗОЗ.

11. Воскобойников С.П., Сениченков Ю.Б. О воспроизведении модели расплывания плазмы в магнитном поле на ЦВМ. Автоматизация проектирования и экспериментальных исследований. Межвуз. сб. Л.: 1980, с.30-32.

12. Воскобойников С.П., Ракитский Ю.В., Рожанский В.А., Се-ниченков Ю.Б., Цендин Л.Д. Численное моделирование диффузии сильного возмущения слабоионизованной плазмы в магнитном поле. -АН СССР, Физика плазмы, т.6, М.: 1980, с.1370-1376.

13. Воскобойников С.П., Сениченков Ю.Б., Цукерман И.А. К вопросу о скорости сходимости метода двухступенчатого градиентного спуска. ЖВМ и МФ, т.23, № 5, 1983, с.1227-1230.

14. Вычислительная математика и программирование в физических исследованиях. Киев: Наукова думка, 1981, с.75.

15. Годунов С.К. Решение систем линейных уравнений. Новосибирск: Наука, 1980, с.177.

16. Дал Д., Дейкстра Э., Хоор К. Структурное программирование. Пер.с англ. М.: Мир, 1975.

17. Демирчян К.С., Ракитекий Ю.В. Новые методы оптимизации численных расчетов электрических цепей и полей. Известия АН СССР. Энергетика и транспорт, 1981, №2, с.46-52.

18. Ермаков В.В., Калиткин Н.Н. Двухступенчатый градиентный спуск. IBM и МФ, Ш 4, 1980, с.1040-1046.

19. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. М.: Наука, 1975, с.319.

20. Ильин В.П. Разностные методы решения эллиптических уравнений. Новосибирск: изд.НГУ, 1970, с.263.

21. Ильин В.П. Численные методы решения задач электродинамики. Новосибирск: Наука, 1977, с.204.

22. Карпов В.Я., Корягин Д.А., Самарский А.А. Принципы разработки пакетов прикладных программ для задач математической физики. IBM и МФ, т.18, № 2, 1978, с.458-468.

23. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Основныеалгоритмы. Пер. с англ. М.: Мир, 1976, с.734.

24. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Получислён-ные алгоритмы. Пер. с англ. М.: Мир, 1977, с.723.

25. Козлов Н.И. Организация вычислительных работ. М.: Наука, 1981, с.239.

26. Маерс Г. Надежность программного обеспечения. Пер. с англ. М.: Мир, 1980, с.359.

27. Маерс Г. Искусство тестирования программ. Пер. с англ.-М.: Финансы и статистика, 1982, с.175.

28. Марчук Г.И., Агошоков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М., Наука, 1981, с.416.

29. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решения разностных схем. М.: Наука, 1979, с.318.

30. Молчанов И.Н., Николенко Л.Д., Кириченко М.П. Об одном пакете программ для решения систем линейных алгебраических уравнений. Кибернетика, 1972, Ш I, с.127-133.

31. Молчанов И.Н., Зубатенко B.C., Николенко Л.Д., Яковлев М.Ф. Пакет программ для решения систем линейных алгебраических уравнений на ЕС-ЭВМ. Киев: ИК АН УССР. Препринт 82-22, с.41.

32. Молчанов И.Н., Яковлев М.Ф. Условия окончания итерационных процессов, гарантирующих заданную точность. ДАН УССР, сер.А., 1980, 1 6, с.21-23.

33. Николенко Л.Д. Тесты для проверки математического обеспечения ЭВМ для решения систем линейных алгебраических уравнений. Киев: ИК АН УССР, 1980, с.3-26.

34. Норри Д., Ж. де Фриз. Введение в метод конечных элементов. Пер. с франц. М.: Мир, 1981, с.304.

35. Пакеты прикладных программ. (Методы и разработки). -Новосибирск: Наука, 1981, с.222.

36. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений.

37. Численные методы. Пер. с англ. М.: Мир, 1983, с.384.

38. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979, с.208.

39. Ракитский Ю.В., Сениченков Ю.Б. О воспроизведении динамических процессов при моделировании экологических систем. В сб. Рациональное использование природных ресурсов и охрана окружающей среды. Межвуз. сб., вып.2, Л., 1978, с.20-24.

40. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Сениченков Ю.Б., Воско-бойников С.П. Алгоритмы и программы интегрирования дифференциальных уравнений. Л.: ЛПИ, 1982, с.88.

41. Рвачев В.Л., Манько Г.П., Суворова И.Г. Программирование задач линейной алгебры в генераторе программ "Поле-З". -Харьков: АН УССР, ИПМаш, Препринт-196, 1981, с.66.

42. Самарский А.А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Вестник АН СССР, 1979, 5.

43. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978, с.592.

44. Сборник научных программ на ФОРТРАНЕ. Вып.2. М.: Статистика, 1974, с.221.

45. Сениченков Ю.Б. О свойствах метода исключения в задаче о наименьших квадратах. Рук.деп. в ВИНИТИ, № 811-82 ДЕЛ, с.18.

46. Сениченков Ю.Б. Генератор тестовых матриц. Рук. деп. в ВИНИТИ, Ш 2221-82 ДЕП, с.24.

47. Сениченков Ю.Б. Тестовые матрицы и наборы. Рук. деп. в ВИНИТИ, Ш 1616-82 ДЕП, с.83.

48. Сениченков Ю.Б. Программная реализация линейных моделей. В сб. Исследование систем управления с применением ЭВМ, труды ЛПИ №391, Л.: 1983, с.84-87.

49. Сениченков Ю.Б., Слок Е.А. Генераторы разреженных матриц. Рук. деп. в ВИНИТИ, Ш 3691-83 ДЕЛ, с.26.

50. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Под ред. Халла, пер. с англ. М.: Мир, 1979, с.312.

51. Тейер Т., Липов М., Нельсон 3. Надежность программного обеспечения. Пер. с англ. М.: Мир, 1981, с.325.

52. Тьюарсон Р. Разреженные матрицы. Пер. с англ. М.: Мир, 1977, с.187.

53. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. Пер. с англ. М.: Наука, 1970, с.564.

54. Уилкинсон Дж., Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. М.: Машиностроение, 1976, с.389.

55. Фаддеева В.Н., Колотилина Л.Ю. Вычислительные методы линейной алгебры. Набор матриц для тестирования. 4.1-3. Ленингр. отд. матем. ин-та АН СССР, 1982-1983, с.387.

56. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. Записки научных семинаров ЛОМИ, т.54. Л.: Наука, 1975, с.3-228.

57. Фаддеева В.Н., Икрамов Х.Д., Мейник Е.А., Фурса Т.Г. Вычислительные методы линейной алгебры. Библиографический указатель 1975-1980 гг. Ленингр. отд. мат. ин-та АН СССР, 1982,с.334.

58. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. Пер. с англ. М.: Мир, 1980, с.277.

59. Форсайт Дж., Моулер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. Пер. с англ. М.: Мир, 1969, с.166.

60. Яненко Н.Н., Карначук В.И., Коновалов А.Н. Проблемы математической технологии. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 8, 3, 1977.

61. CJiaAwioviirrtfui S.,juUnj R.S., ёхр&'сЛ itnTe*s*j СЛИСКАМ YWimfoM o-f ce/il<UKi c^cu^autc,. Mailt.

62. Сомри-t., 4 96Я, XI) U8-VSO67. cJioW T | H«£ entfeACj Yt0. K' ZM Kvto/Wia, ^'делгаГа^цг* & сптГеДSes.SJAM68. (Writ. a, AftoJ-hifc -teat ma-tux jor dete*-ЫмьЫ b . ^IAM iW, So-$b

63. Mint fc.E. A c?-| mat^ce^ to teлt ivitfvibioYL . Comrnuvts, ACM; }}

64. С&И*/ A-K., Соки A-R. Vcui Sfoavt o.R Senega-feiuft 1kt Zi/vPAck Condition evUmat<^ /.«ct. tfoW, Mdi, im; p U-Si

65. W. d. Tie tcmtluckon, o\ \WLWJui<d Ыаtine Mta/iie*. SIAM.ftev. W4J6 л!1

66. C-oc^ w.d. fte FkN/PACK pa.clca.ge of sb€aa£iwictio»L, WtCnel ItcwactioHj о I Matte metiwie, voC. i (iS^J ,4 HS

67. Co&j W. Э. Tk£ едГа^ца-tcon 0\ mibema

68. Udl Ivt w/.c, Het^e^ EJ.^^jw^te*t vnetkoold; EnqW<*>ct Ctit|s, л/.3. Police-Ил^

69. W.R, oTaA'claW o{ wttiemkudiк- dote, p^^^oM^.Wa/L^an/CLjfo^M^ j

70. EvL^lit W.H , heat T.G , XinJeAu,. Confab и л vum^ae me-fctioelj |or %ti|f oi o.o(е.,fell, 4 5", лН, <io-4?

71. Евей&и'и. Р.З. A -two раЛа^е-Ы, t^t Mta'jc.

72. Мои leit mitten $or Mvimi-SWcu-tG.W-, Zr^/PACK t^er-s' yiiole .1. PluUcte^ Wco ; ЪГАМ;

73. Go^r&ow feo^ sAok^cJlU 1 <J- ,6.ft. Ла-Ых e^jsient toi/idus EIVACK1. Oriolevj, ъп^p.80• Geoji c.w. лГши^сса of otdinm

74. ЖсЦейенй'е^и&Иоиу. Urn au^ikinykftto ^o! S1AKA RPV. Lb Joi ,192b, p 8i. &eititj A.l (9K, towcWton oK^f iwiwiiW

75. Gecvi C.W a ilwiflL o\ W июК'од1 ;

76. Gtecjot^ tfa/ine^ A c^Kection,oj matttce^ ^r tu-Ki^ aovHputationA^ aApvlliw} SCOUJok- ^di/te^ \Л/оч6ч Ivft^^'ence

77. ИаЯ С.д., Poicluk^ ТА- oj уо^Ь'Лi-e^t maWcH WVMi Ku.o'w/vl j>o iiii ife -Spec 1 Сощ , AcM vji ;

78. Це&«оМ Д g-eweiae^aW о I aо| UtтЫщ . Ma-Hi .Со игрц{ л/1о£;1. Ш-Ш86. кгааГеМ fovttaJ S^m.wei'u'c. Уна^ад pHiu^ted сылс( ес'ое^ЛсЬг^. MaHi. Мд., v. Ы-М

79. HtvLclmcai-^k А-С. GEAR: оЖ'лал^ АсЦгЪькм

80. Sfcc^or W. S. Te^t mokioc, .for LHiTetiioit . Cowiwiuh Acm; Mb \o!L.

81. Dawson Наио'ц «.fl. SoWu* -M <Ци,ал,е4 Ew.g&'w/W fit*ffl wwэо.^ектел. />-Н. MaVimWttt. iow. Au^t. WlaHt". ioc. Цтз-Шо), 5 39 5".91. сйэШп, M. A 4et о\ Uil УпаЫ Ш.МаНь,tаЛ>к\ (XmcL <?<Ииг си'сЦ. Со input 6", 9, W5X

82. ДАмои, If ЗичГел-УМ о\ foLvjde^mo^e тЫЩ

83. XloHt. itoun Hie^ . kb( 1Ш), <js-\oo, эз. уЦоЛси* M.} VniuK W. . jlftK'x 1ки>*у омЛ moAtioe, , СШ^и. awi- басок,1.c.

84. P. in VnaU'ce и^&ЫаМ, Coyne Уп(к\АлСг Uti, Ca£(U>ioj iWi^^l-l ц-fi, 95.Ы1\М<Ь H'W, A Ho-le Йи

85. Лот G.fe. уЦвК'х ooJHpu-iab'oH ^flr foHtavi Quel ра^ц. Соитии* Acm^^a/4^

86. До^г G-ft. Vaw 5?осск. C. Afivieleevt cWiwji Wajj'i "to Cout-c. tile -^сроцем ti'oi^toakx. AmrUcL • Akhu. ШЭДе^ (Wp</i. Pap. ЗфгК,^ Ох|оЫ lil-l^98. A.C.L A Ut mafe.1. Соитии*

87. MtWKbv, M. J odd Ле -е^^а^ок. ^toQ-Koe. tV)timioK ъчоуиьщь. Coe.Tvicb^i. 0{p«. AaWu v,G , Лой ; ;100. bftwtwq A-C.R. Pu mn+iix fc'g^ifec+nj. Сожилии^ fcc-M ; л19 545"

88. Ot+ega, Д.Л. oj Ы mab'c^ b102. yuitii M. Resell. Wclvlcuhq CL уид-ЫХ,f) . Qcolouration, oj e^vufa&ie* euieL ex^Kt^idota. ^uwi^. .Aaiii., \ Ъ}\МВ}Ш-Ъ0Чюз.Pie. Л.Д. ft te^t i^bioe |or iviiT^itf^ ^iecbwu. Соитии^ MlM ; JT, So?

89. Ю4. ЛоДуугауи. A-®. к Hjd-U ova, cl iet o\ "U^i nalatCM Jor Uin-Kovi, .Cov*ишН АСМ;ШД9,Я57 Ю5.£о^г 1 ConoLitiovb Ииитбела o| Pie

90. Ьоитмм Асм, } \Ъ:>\%) Ю6. ftu-tUVicu^n И, ©ю i^i тЬлЫ

91. СоШо<£. iM.\tnm\i Се и Vi£. tfort, ^сй. -Jc^i <1962

92. CU^we, /Wiowt АрП'еХ J/dHiewA^1.2- -Hiqi^ Gr. tluoji oAqdw OMCL1.f^CfttioMi , Ctca4eim'e, дГелл/.dn^tl-tnk W QMQfyi;*!

93. Ыvutfwty о. <WMCU\C .Report Л> Шоm.Wa^fH ft,и. P^^i u tuku^

94. Jta au^ ac^ac^ ^ -fc тоЖ j,'^

95. Gtavtj-itknuoli йаН Циач^ aic^uJWUSol слдАУиелсл u^U'on oi. M^uoicuMi ^ 5)8 о Tus. wo/id G.C. U ±{оч oftkt ^akot -^foujentidX nviK accuTacj ^Iri^k1. Зам. дир профессо "1. Морозов1. Акт о внедрении

96. Главный' --инженер ПО ■ v К^р-рскш! -. зав од"1. Вэ сильева'&зг.1. АКТ

97. Результатом внедрения шляется сокращение машинного времени при выполнении расчетов, в среднем, в 10-15 раз.

98. Главный инженер СКБ-2 /l{jjL ' " / К).Б. Ильин /

99. Начальник бюрв инженерных расчетов1. СКБ-2: / д.н. Щульцев /1. Начальник отдела СКБ-21. С.С.Давыдов /