Производные чебышевские пространства и гауссовы квадратуры тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АЛЬ-ФАРАБИ

РГ6 00

- 1 ПАИ 1993

На правах рукописи

СЕКЕРБАЕВ МАРАТ АМАНБАЕВИЧ

ПРОИЗВОДНЫЕ ЧЕБЫШЕВСКИЕ ПРОСТРАНСТВА И ГАУССОВЫ КВАДРАТУРЫ

01. 01. 01 — Математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алма-Ата — 1993

Работа выполнена на кафедре математического анализа математического факультета Казахского государственного университета имени Аль-Фараби.

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущая организация

— доктор физико-математических наук, профессор

A. А. ЖЕНСЫКБАЕВ.

•— доктор физико-математических наук, профессор

B. И. БЕРДЫШЕВ; кандидат физико-математических наук, с. н. с.

Б. Л. БАЙДЕЛЬДИНОВ.

— Саратовский государственный университет.

Защита состоится 17 марта 1993 г. в 15 часов на заседании регионального специализированного совета К 058.01.17 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Казахском государственном университете имени Аль-Фараби по адресу: 480012, г. Алма-Ата, ул. Ма-санчи, 39/47, КазГУ, математический факультет (учебный корпус Л° 4).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке КазГУ имени Аль-Фараби.

Авторефеат разослан « »_1993 г.

Ученый секретарь регионального специализированного созета, кандидат физико-математических наук,

доцент А. А. БЕДЕЛЬБАЕВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми. Сиотеш Чебыгаева играет важную роль во многих областях математики: в теории аппроксимация (в частности, в методах интерполяции и квадратурных формулах ) , а краевых задачах к задачах,' связанных с оецишйдаонвыми свойствами ядра дифференциального оператора n-го порядка, в теории неравенств, в. статистических приложениях и т. д.

В современной ыатематико исследуется различные виды чебьг-шэгских систем: Т- , СТ- , ЕТ- , ЕСТ- , ОТ- , УДЗТ-систеш.

Классическая чебышевская система - Т-систеиа - размерности п+1 состоит из инояества непрерывных функций [&■(.} о ' определенных на множестве 1«=- R и характеризуется тем свойством, что любой нетривиальный многочлен имеет иа I не болео чем п различных нулей. Многочлены по ЕТ- и WT-сиетеые {u-J^to имеет на I но Солээ чем п нулей с учетои их кратностей и, соответственно, не более чем п перемен знака на X . Система [ц^] называется СТ-скстэиой (ЕСТ-, WT-систешй) размерности п+1 , если для всех k«0: п функции образуй! Т-систеьсу < ЕТ- , УГ-систему ) на

I (определения различных видов чебышэвеких систем см., например,в ^ ).

Исследованием свойств чебышвских скстэы занимались А. А. Марков , С. Н. Берпатейа , А. Х&ар , IL Г. Кре^н, А. А. Нудельнан, G. Карлин, КСтадден, Ч. Дейвис, Л.Л.Щукэйкер н др. В последнее время ряд новых результатов в теории чебыгэвских систем получэн

1) Карлин С., Стадден В. Чэбьшэвекиз систеш и их примекекЕа в анализе и статистике. Lb Наука, 1976.

- 4 -

в работах Д.Цзнка, L L Еэнсыкбаева, О. В. Давыдова.

Цедь работы ааклзчаетея в исследовании свойств чэбьасзвсккг систем, а также применении их в теории квадратурна формул.

Научная новизна. В настоящей работе рэшеи ряд задач теор:а: пркблиазнкя фующий. Именно, получены Kpirrepiai чвбышевостк к обобщенной чебызгэвостк фиксированного' порядка производных пространств, а такие установлены существование к еднкстБЗКпоств гауссовых квадратур для чэбшэвских систем.

Теоретическая и практическая значимость реаультатоз. Полученные результаты шгут применяться в вопросах приближенного интегрирования гадюк функций по дискретной информации о них. Возможно приложение в ряде вопросов классического анализа, теории обьзаювенных дифференциальных уравнений, вичкслгаельной ыа-тештики.

Аппробашм работы. Результаты диссертации докладывались на 6-й Саратовской зимней школе по теории функций и приближений (Саратов, яке. -февр., 1092 г.); на семинаре по теории приближэ-нш под руководством проф. Ю. К Субботика отдела теории приближения УО РАН (Екатеринбург, 1992 г.); на семинаре по теории функций под руководством проф. К Т. Темиргалиева и доц. К. ÏL Нау-рызбаева в Казгосуниверситете (Алма-Ата, 1S92 г.); на семинаре кафедры математического анализа.

Публикация. Ш теме'диссертации опубликовано 4 работы 1-4. •

Структура и об"ем работы. Диссертация состоит из введения, трех глаз и списка цитированной литературы ira 29 наименований и аанишет 84 страницы иавинопксного текста.

Через

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ С5 будеи обоаначать пространства ьесзствешгл

рг.о яэпроршпо дийэранцирувмых фугпящй на I ^ Л , гдэ X сста сэгшнт, яатэраал либо полуинтервал (конечный или бэско-пзчньй). Чэрео Сссь.бп » СЛсь.о) . » обозначим про-

етрк:ст£0 С° , оста X совпадает соответственно с С

Еояэшаэшрваэ данэЯш» пространство паярернзвых па X

<

^уаяцяЯ вазнэзэтса чебшезекам, ша Т-дростраястзоы, есгп она содэрзггг бсзю, авг1225!йся' на I Т-систвшй той та размерное* та. Лзазогячяш образом опрэдэпэтея СТ-, Ш ЕСТ- , уг-, ТОТ-

лрпагргшегза.

. Дуста ' X - ясэЯаое • П. + -/ -5*эрпоэ ( п, £ ЗМ ^ код-пространство'из С^ я - етокзстзо 3 -к производных

Йгазщий гз УС ).

■ Ставятся задача : кветм услиязи дапзго удоялягзорять щзо-

лг V (3)

страистао л. , чтобы Л баао

1) сгабнм чзбыгзвешш' постраястзои ( Ш- пространством )

ргз;герноста И- -6 +■;

Е) обобгзнныи полным ^аЗ^засют пространством ( ЗСТ-про-

стргпсгзом ) раэз.эрпостя <г. - 6 + ^ ;

3} обобцэшегл паггт.21 пространстаоу разиэрности

И.-3+4' , ЯСрадв к-3 ( 'КЗ < к < ГЬ + Н >;

4) ОбоОЕЗШКМ ЧЭСКПЖСКам ПрОСТрЙЯСТ£051 (ПТ-Щ!0СТра2СТ£0и)

разаэркоотя И- - 3 + 4 порядет к -5 ( 4 4 6 <к4 ГШ).

3 пэрзнх дэу% сдугзд задача рзезна А. Д. ""«гшзйеэгьм ,

■ я-сдуеэ 1) ' прп -5« ^ тшеэ Д.Глпгязм ^ .

. П ерзая г л а. а а' дпссэртечтп ' еосгэзгаа рэгэззэ

2) гЬэгну!£Ьзау А. А., Оп йэгчугитез оГ СЬэЬузЬэу зрагэ, Тоэкса Йгкдународвоа ште!згич&сярЯ га^фэрешга, .Ъсоздеэг.-с. .19.

- 6 -

поставленной задачи в случаях 3) и 4).

§ 1.1. носит вспомогательный характер: здесь приводятся известные факты из теории Т-систем.

ХИ)

является

.обобщенный полный чебышевским пространством (ЕСТ-пространствоы) размерности гь~&.+ А , порядка к~3 .

Теорема 1.2.4. Цусть X - |г+ 4 -мерное подпространство из С- . Пространство •является ЕСТ-пространством раз-

мерности IX - 4 -Ы , порядка к'- ¡5 тогда и только тогда когда X содержит базис { и.„ , и,<, ..и-«! такой, что 14^ = 1. , I = 0: 4-Л , и являющийся ЕСТ-системой к-го порядка. .

В § 1.3. получен критерий обобщенной чебышевости размерности (г.-¿4--/ , порядка к - 6 для .Х'^ • Если для решения поставленной задачи в случаях 1), 2) и 3) не важно, где задано пространство функций X' - на сегменте, интервале или полуинтервале, то для получения критерия -просто чебышевости ( обобщенной чебышевости ) пространства X ^ оказывается важно учитывать , содержит • или нет множество Г концевые точки. '

Теорема 1.3.5. Цусть X - 1г+4-мерное подпространство из . Щространство 6 -х производных ( 4 ^ к—П )

является ЕТ-пространством размерности гъ - 3 , порядка к - Ь тогда и только тогда , когда X содержит базис такой, что Шо-Ь1 , 1=0'. ¿-4 , и являющийся ЕСТ-систешй порядка к .

3) Zwick D. Characterization of VT-Spaces Whose Derivatives Form a VT-Space, J. Appro*. Theory 38 (1982), 188-191.

-т-

Теорэка 1.3.8. Цусть X -кэ СсКа^. Пространство -х прогагодлытЧ 4 ¡Ь )

явгяэтся 'ВТ-прсстрелстЕои рзя5йрноста я.--£ < , кряж:-

га . й - 5 гогдз и тогда, когда- X свяодаачблш:-:

Р д. I.

^Ч-Н'О ^£кой, .что и^-Ь , 1 = 0:4-4 , и

1) ЕТ-скстекяй порядка к сз С СЬ, Ь) ;

2) 2СГ-с!ято«53 ПОРЯДК* к (&., ь) .

Теорека 1. 3.7. Пусть л. - IX* 4 -123320 псщщэегг^ззся®-;'

Ск-н , ,

са,6э.15здстрЕногво Ь -к гзхкзголгнг-Ч Л IV ):

✓V . язгпэтся ЕТ-простр-гнагаоа рзгцэр^гсеи^- . шргяп

13 к - Ь тогда я тод51ю тогда, кагдз X солзржгбзаззс-

(а^-^о 1ЕК0Й» 470 и.^^ , 1-0:5-4 , п ягпгЕ^йся..

1) ЕТ-систешй порядка к па С<ЦбО ;

2) ЕСТ-систешй порядка к га £&,6) пли на (Л.,63;. Ег:« вспомогатвяьЕкй Сгст, в 5 1.3 доказштзтса

Тзоргьз 1.3.1. Цусть систем {ц.«, .являете®? ЕТ-системой к -го порпкта па (СЦ&.) , ( А к 4 (Ь ). Тог^а сучэствует свстеьз [^,«./4.} такая, иго '^L=ípc^n(^^j}jtf, 1ч:!1, п яэлягй^ясп EGT-cr.aTet.aa к -го порядка па (0,,Ь) .

Эта теорэка является сбобг^энпеи известного утозргдзшя о том, что Лйуа Т~спсгеиу ка открнгои патервага иогпо хпгойгз

прообразовать а СТ-спсто:^ (за по оттого 121р1®зс:^л е.-гсгз-

•

Дс.т богза детального госпргагга узггзэзх пал щагэрсшя-в . койЦэ 3-1:. 3' пргйядагся разлачню сржэр^.

В' о о р о г* глаз о ргссиатряваягса ва^зча еос-стспозлешет йтейкга копрзршяих ползттехыак ¿ушщтгаыгл о кжаси порядке» ««йбсга. ' -:.

Пусть Ь - лтгвйяйг сзарзропка погаетедьпнЗ фупг-щшйог:,

-зздЕяггый'яа некотором пространстве .X определенных на £0,4 Л функций, содержащем линейно независимую систему .

Задав некоторое множество квадратур , рассмотрим фор-

мулу восстановления

где £ функционал погрешности.

Квадратура 0 называется точной на множестве МСХ г если ЖО,М>0, т.е. ШйА^О У/б М . _

Ставится задача: во множестве С^ найти квадратуру 0, , точную для многочленов наиболее высокого порядка N по системе Ц-а :

где ^^-{а-о,..1Мтч} - подсистема И^Ст-^ги ).

Шлагая , что система 1Мц. имеет гладкость ,

{X п, с~ С , функционал L будем восстанавливать

посредством квадратур вида

где множества А, В ^ Ж« (2 )< : ~{0,4,И- •/}) и числа

* ¡<1^ к ) фиксированы, 1<1 - нечетные, а коэффициенты и узлы 0 = Хо < могут варьироваться.

Квадратуре ( 1 ) сопоставим множества

З^км

и числа о(ф=т, с((¡,)=тм (]6^] ,

m

Условие П^(К) ( см.^ ) . Квадратура ( 1 ) удовлетворяет условию f К) ( i О ) , если шюеества

А и Ь

имеют вид A-AoWZ^YZi) , b = .

где , Aoybo^Z^ и ашолняптся условия Шлиа:

К + [АлZjMbлZj|*j. (j=оnùrufK+IA1 + 1Ы; i}).

В § 2.1 приводятся основные факты и понятия из теории гауссовых квадратур и на основе результатов , полученных в рервой главе, доказывается следующая

Теорема 2.1.1. Пусть ULpj является ЕТ-системой поряд-¡ta ¡< (c(Q,)< к < N ) на Cd,6j и ÈCT-систешй порядка к ра ÎCL,6) или на{&,&3 .причем ••• = ti4(^< к)

{} ьяокество квадратур ( 1 ) удовлетворяет условии П^ Тогда для любого линейного положительного функционала ]_, а Q, существует квадратура, точная на . Если k>c(QJ , то гауссова квадратура единственна для IX ^ .

Гауссовым квадратурам , точным на чебышевскйх системах, посвящены работы Д. Барроу , А. А. Шнсыкбвева , Б. Боянова , Д. & Бресса и Н.Дин , Д. Дглпсона , С. Карлина и А.Пинкуса ,

Д. Барроу ' была доказана теорема существования и

Р. Баррара и Г. Лээба' и др.

Д. Барроу ^ была единственности гауссовых квадратур, с фиксированный узлом,

4) Еэнсыкбаез А. А. Сплайны в теории восстановления.

U : Наука, 1992. Б) Barrow D. L. On multiple node Gaussian quadrature formulae, Math. Conp. 32, No. 142 (1978), 431-439.

точных на периодических ЕТ-системах. В § 2.2 решается задача о возможности повышения порядка точности этих квадратур за счет вариации фиксированного узла . Основной результат этого параграфа составляет

Теорема 2.2.1. Пусть ¿Х. ^ является 1-перйодйчвской ЕТ-системой равшрности , а функции ^м+я'^'Ы^^м+^^м«}

образ ут 1-периодическую ЕТ-систему размерности Я+й. . Тогда сущэствует квадратура вида

точная на подсистеш = У С У-ы ■(-<]' » где

Х^З^-М ,, к(_ - фиксированию нечетные числа.

Хорошо известно, что если фунвдии и^-1,..., образует периодическую чебышэвекую систему , то 6 . нечетно . В случае четного Ь = й. пг- линейно независимую систему 1-периодических функций на С*"* СЦ,... , Ц-гм' назовем-кваги-ЕТ-системой , если функции Ша ,..., аДГгъ образуют 1-периодическую ЕТ-систему, а любой ненулевой многочлен р из подпространства (Х^, порожденного элементами СЦ,..., (¿¿^ имеет на периоде не более £.т. нулей с учетом краткостей. ' Квазичебыдавские системы были рассмотрены 0. Е Давыдовым для решения альтернансных задач для периодических функций. Если брать в качестве СС^-Н квазичебытевскую систему , то теорему 2.2.1 можно обобщать следующим образом:

б) Давыдов О. Е К адьтетнаненш теоремам для периодически

' . - » г

функций. Сб. научных трудов Днепропетровского университета. 1989, 21-26.

( 3 )

- 11 -

Теорема 2.2.3. Пусть Ц является квази-ЕТ-систеыой размерности N+4 = 32.^. Тогда существует квадратура О, вида (.2), точная на , где Х4<„1<ссЛ<ос.^¿^(¡С-Н^ кь - фиксированные нечетные числа.

В третьей главе рассматривается задача восстановления линейных' непрерывных ^нкционалов , не обладающие свойством положительности.

В § 3.1 рассматривается квадратуры вида

I и.«.) бШиуъПа-х^М и.°'(о)ь

а- ¿»Ш 1-1 У иеь ^

где 6(-Ь)ёС-со,-/Л " положительная весовая функция , ^>0 (1 = 4:11.) - кратности узлов , А, В2 ^ ,

Исследуюгся вопросы существования и единственности множества узлов СС-1 (1=4:П., 0<Х^<..,< ) , для которых при соответствуй^« весах <Я/у квадратура ( 3 ) точна на ЕТ-системе {и-.ь-ми-нЗ размерности N . Если такая квадратура существует , то она называется обобщенной гауссовой. Эта

7)

задача восходит к работе Б. Еоянова, д. пресса и Е Дин ' , в которой решатся аналогичные проблемы при А= Жъ и

В § 3.2 доказывается существование и. единственность квадратуры вида ^ . ^ , V ; г

2 <! 1Н ' .¡=0 J J»0 У ■*• 7

7) Bojanov В. D., Braess D., Hira Din, Generalized Gaussian quadrature formulas, J. Approx. Theory 48 (1986), 335-353.

где 0>(Ь)€:С, - 1-периодическая пояэйлеяьиая фуикцкл, ^ (I- О: Гь ) - кратности узлов , точной на 1-першдичэской : ЕТ-систею размерности ^ • Здесь априори погзгази -

часло ]\г' нечетнщ, поскольку периодические чобклэзскг.з ска. теш пшют только нечэтнув размерность.

В § 3.3 изучался обоб-цекные гауссовы каэдатуры, тошнэ ..

1

на слабых чебышевских системах (УТ-систо;^). '

Определение. Ш-систеыа И^С^ (Е?-«:ств*.а сорила ГЪ, : п, < 6 ) назызается Ш,-система (ЕТ -скстеаой порядка го ) раэшрности т- , если ¿рал (Л- ^ есть ет-щюстраястзо (ЕТ-пространство порядка п.-<5 ) разшрности т-6 .

Рассмотрим шюкество квадратур вида ( 3 ) для \П-с::а-тем. Введем следующие множества :

л обозначим левую п правую части ( 3 ) чзрзз

Ш) ,

и соответственно.

Условие ( си^О ). Снстеьа удов-

летворяет ' условию О/ х ,

СС^ , если при яйбых Су , ш разных пула

одновре*йшю, иайдэтсс ахаизнт IX- такой, что

П£я атом и и, тат в точках зс^ взпрзршшь© вршхз-,' воднш 4 -го порядка (1=-*: ¿Ъ ) а либо Ц, 6 -5рйП- Ц. ^ , либо и, является УГ^-гзрадоляенгэы сисгеш

?еоре«з а а 1. Пусть - система, удовлетворяйся

услззтзэ v'vj Of.<r.; а !.2юглстпо квадратур Q/ ' удовлетворяет yc-лоше) П^Д). Тогда сузэстгуэ? fie бо-^з сдаоЛ квадратуры Qtty о сэктором узлоа О^о^сс^-.ХЗ^/М , точцой на LiN .

, Дгя системы Llfr[lli.....LLnj чореэ ©(ее) обозначим онрздели-

то:а сяэдуазрй кпторпоятцкотгаП ¡задачи

Оу (ссг) «5ij Spy,, i,р-о: ПН ftlt <j€?p ( 4 J .

где [LLjG ipCUb il^, .

Теорема 3.3.2. пусть ' U-jy3^,.»,^] ^ этуспстогд, удоа-летворяюшая условна Wi do. .. мгакэство 'гшодратур Q/ удовлетворяет условна »а кратности ^ [i—JUt)

удовлетворяют .нэрааокству

Пусть, кроме того, сугзстауог точгз ^ £ Д. jv , п шторой определитель скстзм урганэкий ( 4 ) для Ц^ ^(^^О . Тогда одоетвто« одшиявоипея квадратура Q€ ф , 'точная на систеыэ bt^ .

При t = <2- , ЬЛмг. , фуздощокоя Ы{) в ( 3 ) ямя-ется полоиитэлънш. В сто;* случаз тоорэиз 3.3.3 бавз доказала ' д. а.езнсыкйпзещ ^ .

ОСГОВШЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЮСЕРТАЦИИ СПУБЕШОВД-ЧН В РАБОТАХ

1. Секербаеп ILL Кпадратурныэ «¡ориулы, точнь» па. подснстеш ПЭрКОДИЧЭСКОЙ ЧЭб^ЭЕСКОЙ CIIC1GMJ / Каз. гос. ун-т. -Алма-Ата, 1991. - 12с.- Дэп. 2 ДззЮШНГЛ 2Э. 10.91, JJ £329 - ?

2. СокорСаев И А. ОЗобцэйякэ гауссовы квадратуры, точикэ на по-ркодических чебыЕэп'скях с::стег/лх- / Ем. гос. уп-т. -Аласа-Ата,19Э1. - 1Ес. - Дэп. а ЕхэШПШ! 29.10.91, К ГЛ"0 - Р..

3. Секербаев М.А. О чебышевости производных пространств

/Каа. гос. ун-т. - Алма-Ата, 1992. - 13с. - Дэп. в КазНИШГИ 21.12.92, N3943 - Р.

4. Секербаев ПЛ. Некоторые свойства чебыщевских систем. /Каз. гос. ун-т. - Алма-Ата, 1992. - 8с. - Дан. в КазШЗшТИ 21.12.92, N 3944 - Р.

'■■¿И

МЛЗЬГЛ!ДА.МА.Диссертациялык жумыста функциями яуыктау теория-сындаги кейбхр есептер шепгёледЬ Атап айтцанда Чебышевтгк крите— риг жене кецгстчктег: жалпылама Чвбыгаевтхк ретг <5ек1т1лген туынды-ниц критериг, сонымен бтрге Чебышевт^ч сястемасындагы Гаусстыц квадратуралардыц бар болуы жене жалгыздыгы алынды.

А.ттынган нэтижелер У31лхсс13 функииялардын жуыцтап интегралдау теориясында цолданылады, сонымен щатар классикалыц аналиэда, диффе-ренииалдац тендеулер теориясында, есептеу математикаскнда алынган нетижелер цолданылуы мумк:н.

Ли. цот «Юммточхнс». 3«к. ^ г*Р-/(/0