Процессы инстантонного типа в моделях теории поля при высоких энергиях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

р Г Б ОА

г в нов да

- ° российская академия наук

институт ядерных исследований

На правах рукописи

Дам Тхань Шон

ПРОЦЕССЫ ИНСТАНТОННОГО ТИПА В МОДЕЛЯХ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ

01.04.02 — ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1994

Работа выполнена в Отделе теоретической физики Института ядерных исследований РАН.

Научные руководители:

доктор фпзшсо-ощтематпческпх наук.

член-корреспондент РАН " В. А. Русаков

кандидат фнзшщ-математпчеекпх наук П. Г. Тиняков

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Д. И. Казаков

доктор физико-математических наук В. А. Новиков

Ведущая организация:

Hay чво-псследовательскпй институт ядерной физики Московского государственного университета mi. М. В. Ломоносова

Зацшха-дпссерташш состоится '¿^л," С'й 1994 г.

в / j, часов на заседания Диссертационного совета Д 003.21.01 Института ядерных исследовании РАН (117312 Москва, проспект 60

—летня Октября, дом 7а).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института ядерных исследований РАН.

Автореферат разослан " " M-L'd? \

1994 г.

Ученый секретарь Совета

кандидат фдзпко-математпческнх imvK Б. А. Тулупов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Известно, что барпонное и лептонное чпсла не являются точно сохраняющимися величинами в стандартной модели электрослабых взаимодействий по-за наличия аномалий в дивергенциях соответствующих токов и сложной структуры вакуума калибровочной теорнп. Однако в процессах прп низких энергиях вероятность нарушения барпонного и леитонно-го чисел чрезвычайно мала, так как такпе процессы являются квантовыми туннельными переходами между различными классическими вакуумамп и их амплитуды подавленны экспонентой от действия ннстантона — решения евклидовых уравнений поля, интерполирующего между соседними вакуумамп калибровочной теорпп. Высота барьера, разделяющего соседние вакуумы в модели Глэшоу-Вайнберга-Салама, определяется статическим решением уравнений поля (сфалероном) п имеет по2эядок А1\у/о?\у 10 ТэВ. В ряде случаев, когда характерная энергпя является величиной того же порядка, что и масса сфалерона, процессы с В и Ь нарушением могут происходить с неподавленной вероятностью (например, прп высокой температуре).

Новым классом процессов, в которых может иметь место нарушение барпонного чпсла, являются столкновения высокоэнергпч-ных частиц. В первых попытках, опенки вероятности В нарушения в процессах рассеяния, предпринятых в 1990 году, обнаружено ее необычное поведение с энергией: было показано, что в лидирующем порядке теорпп возмущений вокруг пнетантона пол-

ное сечение переходов, нарушающих барпонное число, растет экспоненциально с энергией п напвно становится большим при некоторой энергии порядка массы сфалерона. Этот результат сразу вызвал большой интерес, поскольку если вероятность нарушения барпонного числа действительно становится неподавленной при энергиях порядка 10 ТэВ, то открывается уникальная возможность проверки фундаментальных непертубатпвных свойств ка-днбровочночнон теорпи на ускорительных установках в обозримом будущем.

К сожалению, в первых же работах было замечено, что при энергиях, сравнимых с массой сфалерона, имеются большие поправки к лидирующему результату теории возмущений вокруг пн-стантона. Анализ поправок показывает, что полное сечение пнст-нтонного перехода имеет экспоненциальный впд ехр(Р(Е/Ео)/д2), где Ео — масса сфалерона, а д — константа связи. Для того, чтобы исчезновение экспоненциального подавления имело место, необходимо наличие нуля функции Г. Техника теории возмущении вокруг пнстантона не подходит для выяснения общего поведения этой функции, поскольку с ее помощью удалось вычислить лптпь несколько членов нпзкоэнергетнческого разложения показателя экспоненты Е(Е/Ей). Таким образом, для нахождения вероятности инстантонных процессов на масштабе энергии сфалерона необходимо привлечь новые, не основанные на теории возмущений, методы теории поля.

Экспоненциальный впд полного сеченпя процессов ннстантон-ного тппа указывает на то, что методы, адекватные для оппса-

ния процессов пнстантонного тппа при высоких энергиях, могут иметь квазпкласспческпп характер. Именно на методы квазп-класспческого тппа в настоящее время возлагается наибольшая надежда на разрешение проблемы пнстантонных процессов.

Настоящая диссертация посвящается развитию квазпкласспче-скпх методов в применении к поучению процессов пнстантонного тппа в различных моделях теории поля при высоких энергиях.

Цель работы состоит в изучении процессов пнстантонного тппа в рассеянии частиц высокпх энергии п вычислении пх вероятности в простых моделях, выяснении возможности перехода без экспоненциального подавления и нахождении новых классических решений, описывающих процессы пнстантонного тппа.

Научная новпзна и практическая ценность. В диссертации впервые обнаружено сильное увеличение вероятности процессов пнстантонного тппа в двумерной модели с тонкими стенками. Найдено, что в этой модели при энергиях выше массы сфалерона вероятность пнстантонных переходов подавлена гораздо слабее, чем прп нулевой энергии.

Новым вкладом является формулировка классической граничной задачи, описывающей наиболее вероятный процесс пнстантонного тппа прп заданной энергпп и заданном (большом) числе начальных частпц. Подход, основанный на этой классической задаче, в прпнпппе позволяет вычислить вероятность переходов пнстантонного тппа "при больших (порядка 1 /д2) значениях чп-

ела начальных частиц п. С предположением о гладкости предела п —► 0 можно вычислить и вероятность пнетантонного перехода пз двухчастичных начальных состояний.

В диссертации получены новые решения пнетантонного типа в безмассовых моделях теории поля: в двумерной сигма-модели, в четырехмерной модели о'1. Впервые эти решения, а также аналогичное решение в теории Янга-Мпллса, интерпретированы на языке пнетантонных процессов. Показано, что онн описывают пнетантонные переходы при ненулевой энергии, в которых количество конечных частиц много больше начальных.

Новыми являются предложенные в диссертации двумерные скалярные модели (с экспоненциальным пли степенным взаимодействием). Онп служат пока единственным примером нетривиальных теорий, где вероятность пнетантонных процессов может быть вычислена в широкой области энергий п чпеел частиц вне рамок обычной теории возмущений вокруг пнетантона. Для вычисления вероятности развита новая техника, основанная на ирнблпже-- нпн "улучшенного разреженного пнетантонного газа". В рамках двумерной модели с экспоненциальным взаимодействием построен периодический инстантон при всех энергиях вплоть до массы сфалерона. Исследована возможность индуцированного распада вакуума без подавления в этой модели, впервые показано наличие подавления распадов ложного вакуума, индуцированных малым числом начальных частиц, при сколь угодно большой энергии.

Апробаппя диссертации. Результаты диссертации докладывались в 1991-1994 на научных семинарах НЯИ РАН, на Междуна-

родных семинарах "Кваркп-92" (Звенигород, 1992), "Кваркп-94" (Владимир, 1994), на Международной школе по физике частиц и астрофизике "Rencontres du Vietnam"(Ханой, 1993).

Публикации. По результатам дпссертацпп опубликовано 6 статей.

Объем работы. Диссертация состоит пз введения, четырех глав основного текста и заключения, содержит 122 страниц машинописного текста, в том числе 19 рисунков, а также список литературы пз 102 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введенпп обсуждается проблема нарушения барпонного и лептонного чисел в стандартной модели, ее связь с классическими решениями уравнений поля (пнстантоном, сфалероном), п предложенные подходы ее решенпя. Кратко изложено содержание п результаты дпссертацпп.

Глава 1 посвящена изучению непертурбатнвного рассеяния, протекающего через тонкостенные пузыри в рамках двумерной модели одного скалярного поля с потенциалом, имеющим два локальных минимума со слегка различными плотностями энергии. Данные процессы являются аналогом пнетантонных процессов в калибровочных теориях. Рассматриваемая модель допускает решенпя с тонкими стенкамп. Одно пз них — периодический пн-стантон, оппсывающпй процесс с максимальной амплитудой среди всех протекающих прп заданной энергпп. Эта конфигурация

найдена в тонкостенном приближении; установлено, что она соответствует следующей зависимости амплитуды Аапу->а„у от энергпп Е:

А-апу—шпу СХр

V2 п .ЕЕ

--17г — 2 агсэт---,

е \ 2ц ц\

(20)

где 2ц — энергия сфалерона, а е — малая разность плотностей энергпп ложного п правильного вакуумов. Показано, что структуры начального и конечного состояний в процессе, описываемом периодическим пнстантоном, не зависят от е, поэтому в экс. поненцпальном приближении по 1/е все пнстантонные процессы, включая процесс рассеяния двух частиц, имеют одинаковую амплитуду, равную Лапу^апу. Далее анализируются отдельные вклады в амплитуды эксклюзивных процессов п показано, что самый большой вклад действительно равен АаПу—апу При энергиях выше массы сфалерона подавление типа ехр(—соиб^с) исчезает п пнстантонные процессы могут быть подавлены только экспонен-той от обратной контакты связп, то есть много слабее, чем при нулевой энергпп. Таким образом, двумерная модель с тонкими стенками может служить примером значительного усиления нн-стантонных амплитуд.

Глава 2 диссертации посвящена формулировке классической гра-нпчной задачи, описывающей наиболее вероятный процесс ин-стантонного типа при заданной энергии п заданном числе частиц, а также ее решению для двумерной абелевой модели Хиггса при нпзкпх энергиях.

В разделе 2.1 расматрпвается рассеяние п начальных частиц с энергией Е в пределе д2 -+ 0 при фиксированных д2п, д2Е, где g — константа связи. Данный процесс рассмотрен в связи с предположением, что в пределе п —> 0 амплитуда такого процесса совпадает, в экспоненциальном приближении, с амплитудой рассеяния двух частиц. На основе формализма когерентных состояний показано, что конфигурация поля, соответствующая наиболее вероятному ннстантонному переходу среди всех процессов, имеющих заданную энергию п число частпц, является решением классической граничной задачи для уравнений поля на контуре ABCD в комплексной плоскости времени (рис. 1) с некоторым Т п со следующими граничными условиями

<£(í,x) действительно прп действительных í ,

<¿(k) = =(/ke+ eeflkei"ít') на лпнпп AB, t' -oo .

где t' = Re t на лпнпп AB, ç>(k) — фурье-компоненты поля ф, а О — некоторое число. Для нахождения вероятности пнстантонного процесса необходимо вычислить действие S для решения вдоль контура ABCD как функцию Т и в; сечение наиболее вероятного процесса с энергией Е и числом начальных частпц п тогда равняется exp(F(E, п)), где функция F(E, п) является преобразованием Лежандра от мнимой части действия,

F(E, п) = ET+ п9-2 Im 5(Т, 9) , ¿>(2ImS(r,fl)) _ d(2lmS(T,6))

эт п ~ дв

йе г

А

В

Т/2

С

Б

1т I

Рпс. 1: Контур в комплексной плоскости времени.

В разделе 2.2 данный подход применяется к двумерной абелевой модели Хиггса с тяжелым хпггсовым бозоном (так что масса бозона Хиггса Мц много больше массы векторного бозона Мц-). В области низких энергий адекватным приближением является разреженный инстаитонный газ, в котором конфигурация поля представляет собой суперпозицию полей пнстантояов п антппн-стантонов, расположенных в цепи, с разными коэффициентами. В рамках этого приближения вычислена функция Р. Получено, что она не зависит от п в логарифмическом приближении,

где Е,рк = V1-Мц .

В главе 3 найдены точные решения пнстантонного тппа в безмассовых теориях: в двумерной сигма-модели (раздел 3.1), в тео-

Янга-Мпллса (раздел 3.3). Найденные решения, если их рассматривать на контуре ЛВС В рпс.1, являются вещественными на

рпп фА с отрицательной константой связи (раздел 3.2) п в теории

евклидовом участке контура ВС и имеют точку поворота в t — 0. Этп два свойства обеспечивают вещественность поля на мпнков-ской осп времени.

Для нахождения этпх точных решений пспользуется свойство конформной инвариантности уравнений поля. Вначале в рамках сферически симметричной подстановки ищутся решения евклидовых уравненпй поля внутри шара единичного радиуса, пмеюгцпе нулевые производные на границе шара в нормальном направлении. После этого с помощью конформного преобразования, отображающего этот шар в верхнее полупростраяство, пз этпх решений получаются евклидовы решения, имеющие точкп поворота в t — 0. Таким образом находится, в каждой теории, двухпараме-трпческое семейство решенпй.

Показано, что при продолжении на комплексную плоскость времени решения имеют бесконечное множество спвгулярностей, и можно выбрать контур ABCD так, чтобы .между участком А В контура н мпнковской осью времени имелась ровно одна сингулярность (для каждого значения пространственных коордпнат). В этом случае решения соответствуют одноинстантонным переходам.

Найдены действия решенпй вдоль контура ABCD: во всех случаях действие равно действию ннстантона. Прямым вычислением топологического заряда установлено, что в случае сигма-моделп п теорпп Янга-Мпллса решения действительно интерполируют между соседними вакуума.мп.

В разделе 3.4 решенпя, найденные в предыдущих разделах, пн-

терпретпруются на языке ннстантонных переходов. Показано, что любое решение, регулярное на контуре АВСП рпс.1 и действительное на минковскоп осп времени (такпмп являются найденные решения), соответствует некоторому процессу пнстан-тонного тнпа. Начальное п конечное состояния этого процесса простым образом связаны с асимптотиками решения при бесконечно больших отрицательных п положительных временах. Применительно к найденным решениям эта процедура позволяет установить, что они соответствуют переходам между состояниям, имеющими малое (по сравнению с 1 /д1) число частпп, прпчем число частиц в начальном состоянии много меньше, чем в конечном. Амплитуды таких процессов подавлены экспонентой от действия пнстантона.

В Главе 4 изучаются процессы ннстантонного типа в классе моделей скалярного поля, где потенциал имеет специальный впд "квадратичной ямы с обрывом". В разделе 4.1 описывается одна пз нпх, а именно экспоненциальная модель, где лагранжиан пмеет впд

1 2 Ш2 ,2 , »»2г>2 Гох (Ф Л

£ - ~2(0,9? ~ -¿V + — ехр |2А - 1} .

где V играет роль обратной константы связп, а Л является дополнительным безразмерным параметром теории. В пределе больших Л многие решения уравнения поля могут быть найдены аналитически с точностью до 1 /Л. В частности найдены сфалерон (раздел 4.1.1) и ннстантон (раздел 4.1.2). Структуры сфалерона и пнстантона схожи: в обоих случаях онп имеют малую "сердце-

вину" с размером ?-0 •< т-1, в которой массой скалярного поля можно пренебречь, н уравнение поля пмеет впд уравнения Лпу-вплля,

а на расстояниях порядка ?л-1 только массовый член существенен и поле удовлетворяет уравнению Клейна-Гордона д^ф + гг?ф = 0. В промежуточной области (на расстояниях между г о п ш-1) эти два поведения гладко сшиваются, п о удовлетворяют безмассовому свободному уравнению д^ф = 0. Другими словами, в случаях сфа-лерона и пнетантона конфигурация поля представляет собой малую нелинейную сердцевину, сшитую с большим линейным "хвостом". Существование области сшивки (т.е., выполнение условия гд -С го-1) обеспечивает возможность нахождения решения. Размер сердевпны в случае сфалерона равен (Лго)-1, а в случае пнетантона он экспоненциально мал, /'о ~ е~хт~1. Найдены масса сфалерона Е^. число испускаемых частиц при распаде сфалерона в ложный вакуум /)д, а также действие пнетантона

В разделе 4.1.3 вычислено полное сеченпе пнетантонного процесса в лидирующем порядке теорпп возмущений вокруг пнетантона. Показано, что энергия, прп которой подавление наивно исчезает, много (в еЛ раз) больше, чем энергия сфалерона.

Центральной частью главы 4 является раздел 4.2, где описывается приближение "улучшенного разреженного пнетантонного газа", позволяющее решпть краевую задачу в широкой области энергий п чисел частиц. В разделе 4.2.1 показано, что в экспо-

ненцпальной модели обычное прпблпженпе разреженного инстан-

до меньших массы 'сфалерона. Однако существует формализм, позволяющий выйти за рамок обычной теории возмущений — в общем виде этот формализм (названный "приближением улучшенного разреженного пнстантонного газа") описан в разделе 4.2.2. В этом приближении, в отлнчпе от обычного приближения пнстантонного газа, учитывается влияние других пнстантонов в цепи на данный инстантон: сердцевина каждого пнстантона модифицируется коллективным полем других пнстантонов (в частности, изменяется ее размер). Это приближение применимо, когда размер сердцевин пнстантонов еще много меньше расстояний между ннмп, так что это коллективное поле является приблизительно постоянным внутри сердевпны каждого пнстантона.

В разделях 4.2.3 п 4.2.4 решения классической граничной задачи, сформулированной в главе 2, найдены в двух случаях: когда число начальных частиц порядка чпсла частиц сфалерона щ п когда оно меньше чпсла частиц сфалерона на фактор порядка 1/А. В первом случае показатель экспоненты подавления вычислен вплоть до энергии, где подавление практически исчезает. В частности, самый вероятных! процесс пнстантонного типа (опи-. сываемый периодическим пнстантоном) при энергпп Е < Ео имеет вероятность ег, где Р найдена в явном впде:

Энергия Есгц, при которой вероятность пнстантонного перехо-

тонного газа перестает быть справедливым при энергиях, гораз

да становится большой, оавпспт от числа начальных частиц п; в случае А-1 <С п/п^ -С 1 эта зависимость экспоненциальна,

Есгц(п) ос Е0 ехр |

\ 4 п

Прп применении приближения улучшенного разреженного газа к случаю малых чпсел начальных частпц выясняется, что оно позволяет вычпслпть вероятность только до некоторой энергпп, где показатель экспоненты подавленпя, хотя меньше пнстантонного, имеет тот же порядок.

В разделе 4.2.5 показано, что в рамках приближения улучшенного разреженного газа многопнстантонные процессы всегда более подавлены, чем однопнстантонные.

В разделе 4.3 найден перподпческпй пнстантон в области энергий, непосредственно прилегающей к массе сфалерона, где улучшенное приближение разреженного пнстантонного газа не работает. Техника нахол^дення решения схожа с топ, которая была применена для пнстантона: вначале находится периодическое решение уравнения Лпувплля, после этого оно сшивается с линейным хвостом. Таким образом, конфигурация периодического пнстантона известна во всей области энергпп, где он существует, т.е. от нуля до массы сфалерона, прослежена его эволюция от цепи пнстантонов к сфалерону.

Раздел 4.4 посвящен изучению процесса другого тппа — распада ложного вакуума, пндуцпрованного начальными частпцамп. Показано, что здесь ситуация аналогична ситуацпп в процессах пнстантонного тппа: при больших значениях чпсла начальных ча-

стпд можно добиться, в приближении улучшенного разреженного пнстантонного газа, значительного уменьшения экспоненциального подавления, чего нельзя сделать при малых числах частпц.

В разделе 4.5 изучается возможность существования классически разрешенных переходов из ложного в правильный вакуум. Если такпе процессы имеют место, то распад ложного вакуума не подавлен. В разделе 4.5.1 построены в общем впде решенпя мпнковкского уравнения Лпувплля п обсуждаются условия, при которых они могут соответствовать классически разрешенным переходам. В обшем впде эти решения зависят от одной произвольной фушщнп: один частный случай выбора этой функции (и его тривиальное обобщение) изучен в разделе 4.5.2. Показано, что в рамках этого анзапа классически разрешенные процессы существуют только когда число начальных частпц больше некоторого значення псгц (имеющего порядок по/А), а при п < псги такпе процессы не существуют ни при какой энергии. Для случая п > псгИ вычислена энергия, выше которой классический распад ложного вакуума возможен; при А-1 <С п/щ -С 1 эта энергия совпадает, в экспоненциальном приближении, с энергией Есгц(п)^ при которой показатель экспоненты подавления, вычисленный в рамках приближения улучшенногго разреженного газа, обращается в нуль. Таким образом, в случае А-1 <С п/щ -С 1 поведение вероятности индуцированного распада вакуума найдено при всех энергиях.

В раздел 4.5.3 приводится общее доказательство отсутствия решений, описывающих классически разрешенные переходы пз лож-

ного вакуума в правильный прп п < пстц. Такпм образом показано, еслп чпсло начальных частпц мало, распад ложного вакуума экспоненциально подавлен прп сколь угодно высоких энергиях.

Раздел 4.6 посвящен изложению результатов, полученных в модели со степенным взаимодействием ф*' прп болыппх N в рамках приближения улучшенного разреженного пнстантонного газа. Поведенпе амплитуд в этой модели качественно не отлпчается от случая экспоненциальной модели.

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в дпссертацпп.

Для защиты выдвпгаются следующие результаты, полученные в дпссертацпп:

1. На примере двумерной скалярной модели, допускающей тонкостенные решения, продемонстрирована возможность значительного увеличения вероятностп процессов пнстантонного тппа в столкновениях частпц высоких энергий.

2. Сформулирована классическая краевая задача в комплексной плоскости времени, описывающая наиболее вероятный пнетантон-ный переход прп заданной энергии п заданном числе частпц.

3. Получено в явном виде решение указанной краевой задачи для (1+1)-мерной абелевой модели Хпггса прп нпзхпх энергиях, найдена вероятность перехода.

4. Найдены семейства точных решенпй в безмассовых теориях: в двумерной спгма-моделп, в четырехмерной теории фА с отрицательной константой связи и в чистой теории Янга-Мпллса.

Показано, что эти решения имеют ту же структуру спнгуяярно-стей, что ожидается для пнстантонных процессов. Установлено, что эти решения описывают пнстантонные переходы пз некоторого начального состояния, имеющего много меньшее число частпц, чем конечное состояние. Вычислены амплитуды процессов, соответствующих этим решениям, и показано, что они подавлены пнстантонным фактором. Показано, что в случаях сигма-модели и теорпп Янга-Миллса найденные решения действительно описывают переходы между разными вакуумамн.

5. Найдены простые двумерные модели, где краевая задача, описывающая переходы пнстантонного типа при фиксированных энергии и числе частпц, может быть решена в широкой области энергий и чисел частиц, где обычная теорпя возмущений вокруг инстантона неприменима. Для пнстантонных процессов п процессов индуцированного распада вакуума прп больших значениях числа начальных частпц (порядка сфалеронного числа частпц) показатель экспоненты подавления вычислен вплоть до таких энергий, где подавление по существу отсутствует. Прп малом чпсле начальных частпц показатель экспоненты вычислен в более узком интервале энергий.

6. Аналитически найден периодический пнстантон в двумерной моделп с экспоненциальным взаимодействием во всем интервале энергий от нуля до массы сфалерона.

7. На основе изучения решений уравнений поля в в моделп с экспоненциальным взаимодействием в реальном времени установлено, что еслп число частиц п меньше найденного в работе тгсгц,

г

то процесс распада вакуума подавлен прп всех энергиях, а прп п > nCT.;t распад происходит без подавления прп достаточно высоких энергиях.

Основные результаты дпссертаппп опубликованы в работах:

1. V. A. Rubakov, D. Т. Son, P. G. Tinyakov, Initial state independence of non-perturbative scattering through thin wall bubbles in (1+1) dimensions. — Phys. Lett., 1992, v. 27SB p. 279-283.

2. V. A. Rubakov, D. T. Son, P. G. Tinyakov, Classical boundary value problem for instant on transitions at. high energies. — Phys. Lett.,

1992, v. 2S7B, p. 342-348.

3. V. A. Rubakov, D. T. Son, P. G. Tinyakov, An example of semiclassical instant on-like scattering: (l+l)-dimensional sigma model. — Nucl. Phys., 1993, v. B404, p. 65-90.

4. D. T. Son, P. G. Tinyakov, Examples of semiclassical instanton-like scattering: massless o4 and SU(2) gauge theory. — Nucl. Phys.,

1993, v. B415, p. 101-115.

5. D. T. Son, V. A. Rubakov, Instanton-like transitions at high energies in (1+1) dimensional scalar models. — Nucl. Phys., 1994, v. B422, p. 195-226.

6. V. A. Rubakov, D. T. Son, Instanton-like transitions at high energies in (1+1) dimensional scalar models. II. Classically allowed induced vacuum decay. — Nucl. Phys., 1994, v. B424, p. 55-70.

Отпечатано прямым репродуцированием с оригинала, представленного автором

Ф-т 60x84/16 Уч.-нздл. 1,0 Заказ №19124 Тираж 100 экз.