Прямая и обратная задачи для 2+1-мерного нелинейного уравнения BLP тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РГб Ом

2 8 АВГ 1995

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А.СТЕКЛОВА

На правах рукописи ГАРАГАШ Тамара Игоревна

УДК 517.2+530.145

ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ 2+1-МЕРНОГО НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ВЬР.

01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандпдта физико-математических наук

МОСКВА 1995

Работа выполнена в отделе квантовой теории поля Математического института им. В.А.Стеклова РАН

Научный руководитель - доктор фпзико - математических наук А.К.Погребков

Официальные оппоненты -

доктор физико-математических наук Александр Васильевич Михайлов (Институт теоретической физики им. Л.Д.Ландау)

кандидат физико-математических наук Леонид Витальевич Богданов (Российское отделение Международного института нелинейных исследований).

Ведущая организация - Институт теоретической и экспериментальной физики

о О /з^Р

Защита состоится Л» ег^ш 1995 г. в /' часов на заседании специализированного совета Д.002.38.01 при Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН (Москва, ул. Вавилова, д. 42).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИР АН.

Автореферат разослан " ^ " вЛл^З^ 1995 г.

Ученый секретарь специализированного совета,

доктор

физико-математических наук А.К. Гущин.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Интерес к исследованию двумерных задач рассеяния для дифференциальных операторов, задающих вспомогательные линейные задачи для интегрируемых уравнений в (2 + 1)-мерном пространстве-времени, резко возрос после обнаружения в 1988, что, подобно (1 + 1)-мсрному случаю, эти уравнения также имеют экспоненциально локализованные решения — солитоны, или дромионы. Были предложены специальные версии спектрального преобразования, позволяющие получить локализованные солитоны. Именно для решения такого рода задач и был первоначально предложен так называемый резольвентный подход, который использован в настоящей диссертации.

В данной работе посредством резольвентного подхода было осуществлено спектральное преобразование оператора Лакса уравнения BLP. Спектральная задача для элиптпческого аналога такого оператора активно исследовалась в литературе.

Основной проблемой при исследовании того или иного нелинейного эволюционного уравнения является возможность представления его в форме Лакса. Одним из критериев интегрируемости и способом получения пары Лакса является тест Пенлеве.

Целью работы является всестороннее изучение конкретной 2+1-мерной нелинейной интегрируемой системы эволюционных уравнений, так называемой системы BLP1, включающее изучение данной системы с помощью теста Пенлеве и метода обратного спектрального преобразования.

'Boiti M, Léon J J-P and fVmpim-lli F 1987 Inverse Problems 3 37-49

Методика исследования. Тест Пенлеве для данной системы использован в формулировке предложенной Вейсом, Табором и Карневалем2. Обратное спектральное преобразование осуществлено посредством резольвентного подхода, введенного в3.

Научная новизна.

1. В данной работе на примере системы BLP показано, что тест Пенлеве в его стандартной формулировке, вообще говоря, не может служить критерием интегрируемости нелинейных эволюционных уравнений. А именно, второй шаг теста Пенлеве - обрыв бесконечного ряда - не проходит для рассматриваемой системы. В работе предложена модификация процедуры обрыва ряда, позволяющая провести се для данной системы и получить преобразование Беклунда.

2. Построены некоторые специальные локализованные решения.

3. Построены прямая и обратная задачи рассеянпя, формулы восстанавливающие потенциалы задачи по известным данным рассеяния и решениям Иоста. Показано, что рассматриваемому линейному оператору дудх -Ь а(:г, у)дх + ß(x,y) + 1 отвечают два типа спектральных данных: соответствующие решения Иоста имеют как разрыв на вещественной оси спектрального параметра, так и ненулевую д-производную в комплексной плоскости.

4. Исследована линеаризованная версия системы н выделен класс начальных данных, который сохраняется в динамике. Восстановлена динамика резольвенты и выделен класс потенциалов, на котором

2Boiti M, Léon J J-P and Pempinelli F 1987 Inverse Problems 3 37-49

3M. Boiti, F. Pempinelli, A. K. Pogrebkov and M. C. Polivanov, "Resolvent approach for the nonsta.tiona.ry Schrödinger equation (standard case of rapidly decreasing potential)", in Proceedings of the seventh Workshop on Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems (NEEDS'91), World Scientific Pub. Co., Singapore (1992)

она существует. Показано, что он сохраняется в динамике. Получена

условия на данные рассеяния, при которых класс функций , в котором заданы данные рассеяния, сохраняется во времени. Построен производящий функционал для интегралов движения.

Полученные результаты являются новыми.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях "Солитоны в физике и математике" ( Калининград, сентябрь 1991 г.), "NEED'S - 92" (Дубна), "Нелинейность и интегрируемость: от математики к физике" (Франция, Монпелье, февраль 1995 г.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения и трех глав. Общий объем диссертации - 69 машинописных страниц. Список литературы содержит G2 наименования.

В первой главе, совпадающей с введением, дается обзор работ, близких к рассматриваемым вопросам, и кратко излагается содержание диссертации.

В данной работе рассматривается система

на две вещественные функщш а(1, х, у) и !3(t, х, у). Интегрируемоть

динамика решений Йоста и динамика данных рассеяния. Получены

Содержание работы

(0.1)

этой системы была установлена в работе®. Там же была предложена

'Boiti М, Leon J J-Г and Pcmpmelli F 1987 Inverse Problems 3 37-49

пара Лакса для этой системы:

(0.2)

Т2 = д1 + дхд1-р(х,у,*)

(0.3)

где р удовлетворяет уравнению ру = —2рхх.

В дальнейшем для краткости мы ссылаемся на эту систему как на уравнение ВЬР. Проведенное в настоящей работе исследование данной системы состоит из двух частей.

Первая из них, совпадающая со второй главой, содержит исследование системы (0.1) с помощью теста Пенлеве.

В первом параграфе второй главы показано, что скобки Пуассона

задают гампльтонову структуру данного уравнения.

В дальнейшем вторая глава посвящена непосредственно тесту Пенлеве.

Первым шагом теста Пенлеве, следуя стандартной идеологии, является проверка возможности представления общего решения системы (0.1) в виде формального бесконечного ряда по степеням некоторой функции Ф с правильным числом резонансов. Рассматриваются формальные ряды

Щх,уЛ а(х',У'^)} = 6(х' - х)6(у' - у)

и гамильтониан

оо со

а = £ апФ\ /? = £ Д.Ф",

где у, t) - произвольная бесконечно дифференцируемая функция своих аргументов, имеющая ноль первого порядка на некоторой гладкой поверхности S = {(л;, у, (!) | Ф(.г, у, i) = 0}, а коэффициентные функции а„ и ßn бесконечно дифференцируемы в некоторой области S, причем о-д'0 и /3^ нс обращаются в ноль на 5. Подставляя это разложение в уравнение, мы обнаруживаем, что возможны две ветви:

Na ~ — 1, Nß = — 1 (первая ветвь),

N„ = — 1, Nß = О (вторая ветвь).

Рассмотрим первую ветвь

Коэффициенты при лидирующей сингулярности: or_i = Фх и Р-1 = Фу. Все последующие коэффициенты могут быть найдены из рекурсионных соотношении. При этом возникает правильное число ожидаемых резонансов. Коэффициенты ßo, ßi, /?2 и /З3 оказываются произвольными.

Таким образом система BLP удовлетворяет первой части теста Пенлеве.

Второй шаг теста Пеплсве состоит в проверке возможности обрыва формальных рядов Лорана при некоторой конечной степени Ф. При этом требуется, чтобы оборванные ряды давали решение также по степеням этой функции. В работе показано, что обрыв рядов возможен только на нулевом уровне, а решения следует искать в виде: а = (log Ф)х + а0 и ß = (log Ф)„ + ßo.

В результате, мы получаем, что такой обрыв рядов для а и ß осуществим только при дополнительном условии ßx = ау, которое представляет собой связь на подмножестве решений уравнения BLP. Это условие совместно с динамикой, задаваемой системой BLP. При наложении этого условия система BLP сводится к одному уравнению

ctyt = (a2 + ax)xy. Этот случай является вырожденным п неинтересным, так как мы можем проинтегрировать получившееся уравнение по у и получить 1+1- мерное уравнение.

Итак, мы имеем пример интегрируемой системы, для которой процедура обрыва ряда возможна только на, некотором подмножестве решений. Следовательно, система BLP не удовлетворяет тесту Пенлевс в традиционной формулировке. В работе предложена модификация теста Пенлеве, которая позволяет оборвать ряд на всем множестве решений.

Для этого рассмотрим теперь новую функцию Ф: Ф = Ф £о° ФлФ"-, где Фо ф О II Ф„ - гладкие функции в некоторой окрестности поверхности S.

Эта функция Ф имеет ноль первого порядка на поверхности S. Используя введенную функцию, персразложнм формальный ряд для одной из функций а,/3 (пусть это будет а): а ~ (к^Ф)х + сипФ" и 0 — (log Ф)ь, + Р,Л>"- Очевидно, что приведенное разложение не отличается от традиционного, пока мы имеем дело с бесконечными рядами по степеням Ф и Ф. Однако обрыв рядов на некотором фиксированном уровне, т.е. при некоторых фиксированных степенях Ф и Ф, изменяет ситуацию коренным образом.

Новое оборванное разложение имеет вид: а — (log Ф) х + а-о и ¡3 — (log Ф)^ + /Зо- В результате описанного изменения процедуры обрыва ряда удается избежать возникновения условия на о^ и Д), которое создавало проблемы при стандартной процедуре. Непосредственные вычисления показывают, что Ф = ФД^Ф"1. Кроме того, мы получаем

пару уравнений на Ф: L\Ф = 0 п Lj^ — 05 гДе

Ь\ = дхду - (J dx' <*0,и + (log/?0,x)y) дх + /Зо,х,

L2-dt + дхдх - 2(а0 + (log А),*).у)д*-

L). L-, - лаксова пара для системы (0.1) на «о и Аь Помимо этого в работе получено преобразование Беклунда решения (а'о, А)) в решение (а,/8):

а = (log(<& А>,* Ф;1)), + а0 , Р = (log Ф)у + А)-

При рассмотрении второй ветви разложения возникает необходимость в использовании той же самой модифицированной процедуры обрыва ряда. Таким образом мы получаем, что:

а = -(log (Ф^Ф))* + а0, р=/Зо- /Ы^Г^ >

где 2Фгл'0 = Фt - Фхх п + ФхГ'Уж'ао.у + А^Ф = 0, где а0, А) удовлетворяют системе (0.1). Таким образом предыдущие формулы задают преобразование Беклунда: (ао, А)) —> («,/3).

Используя полученные пробразования Беклунда, в работе построены убывающие решения (для краткости мы выписываем выражения только для /3:

8Ы1ф2) ( ,2 ,2 Im(i'2) _ \

А

I Н2(4-М2)2

(-(Imi/)2 Ue{z2vfv) + Res Rci/ (1 - 4(Im;/)2) + (Imi/)2 Re(i//?)),

4Ь и

где V - спектральный параметр г = х — -р у—VI для первого решения и г = х — + для второго. Эти решения имеют полюса второго порядка при г = Он \г\ = 2. Проблема существования регулярных локализованных решений остается открытой.

Третья и четвертая главы диссертации посвящены методу обратного спектрального преобразования в прпменпи к системе (0.1), причем мы рассматриваем случай, когда на пространственной бесконечности а исчезает, а (3 обращается в константу. Для дальнейшего удобно сделать сдвиг /?—>/?+ 1, где новая функция (3 стремится на бесконечности к нулю.

Третья глава этой работы содержит исследование прямой и обратной, задачи рассеяния для оператора Ь — дхду + аду + (3 + 1 в случае действительных потенциалов, принадлежащих пространству Шварца <5. Это иследование осуществлено в рамках так называемого резольвентного подхода. Этот подход основывастя на возможности продолжения образа соответствующего дифференциального оператора по некоторым переменным в комплексную плоскость. Подробное описание объектов, используемых в этом подходе, можно найти в работах Войти, Псмшшелли, Погребкова и Поливанова. Содержится он также и . в настоящей диссертации.

Основные определения. Пусть ¿(р; q) - образ рассматриваемого оператора Лакса: Ь — Ьо — г;, V — гаС^ч + Р > ГДе ¿о = Я ~ 1 ~ образ оператора соответствующий нулевым потенциалам а и (3 , а V - образ оставшейся части оператора Ь, а <31 и образы операторов дх и ду.

Основной обект нашего иследования — резольвента М с ядром М(р; q) — определяется как обращение образа оператора Ь: М = Ь~1,

т.е.

LM — I, ML = I. (0.4)

Пусть по аналогии с определением (0.4) Mo = Lfy1, то есть М{)(р: q) = <5(p)/(qiq2 — 1)- Тогда уравнения (0.4) можно переписать как следующие интегральные уравнения на М:

М = М0 + MQVM , М = М0 4- MVMQ . (0.5)

В данной работе мы предполагаем однозначную разрешимость этпх интегральных уравнений. Доказательство этих фактов выходит за рамки данной работы п, возможно, потребует дополнительных ограничений на потенциалы а- и ß. помимо указанной выше принадлежности их пространству S.

Более того, мы считаем, что сингулярности М определяются лишь сипгуляркостями Мо в интегральных уравнениях (0.5). Понятно, что данное условие также сводится к некоторому условию малости V по сравнению с Lq. Это условие также означает отсутствие у оператора М дискретного спектра.

Ввиду вещественности потенциалов, введенные выше величины удовлетворяют условиям:

V* = v, L*0 = L0, А/о = М0, L* = L, M* = M(0.6)

где последнее равенство выполнено в силу сделанных выше предположений.

Основным инструментом исследования резольвенты является так называемая формула Гильберта1. Пусть помимо L задан некоторый

'М. Boiti, F. Pempmelli, А. К. Pogrebkov and М. С. Polivanov, Theor. Math. Phys. 93 (1992) 1200 - 1224.

M. Boiti, F. Peinpinelli and A. Pogrebkov, Tcoret. i Matern. Fizika 99 (1994) 185 - 200

другой оператор L = Lq — v п, соответственно, М — L~l . Тогда выполнено следующее тождество: М — М= —M(L — L)M. Эта формула имеет важный частный случай соответствующий сдвигу переменных q при условии, что а = а и ¡3 = /3. Для любого А £ S' мы обозначаем через z € с2, элемент S1 полученный посредством сдвига q) = А(р; q+z), а в случае, если сдвиг производится только по одной из компонент q, то Z\ или Z2, соответственно. Итак, мы полагаем L = l)7,\ и, соответственно, М — М^ и L — L— b{^ — Lq + iz^oi. Таким образом в этом случае выписанное выше тождество связывает между собой значения резольвенты в двух разных точках q:

Mw -М = -MW(42) - Lo)M - iz2M^aM (0.7)

подобно тому, как известное в спектральной теории операторов тождество Гильберта связывает между собой значения резольвенты, отвечающие различным значениям спектрального параметра.

В силу (0.5) резольвента М имеет справа и слева сингулярные множители Mq. Введем дополнительные функции, получаемые посредством транкировання, т.е. умножения на Lq: и = MLq, ш = LqM

и р — L^MLQ — L0.

Введение v и ш позволяет явно выделить сингулярные множители в (0.7):

М(ъ) -М = i/W(M0W - M0)u> - iz-^M^a-М0ш.

Из этой формулы видно, что при дифференцировании М по qL пли q2 возникают специальные редукции функций v и иг.

. , f dz\ Л dzi f к,!«,) . . • idziArfzif ! ,(2l)

И = J -—gi-ИДО2 )J , M = j-gi-l6(LQ2 H "

Производные М по ^ п <12 являются билинейными комбинациями таких редуцированных значений и и и). Знание таких представлений для З-пронзводиых резольвенты и асимптотического поведения резольвенты при при стремящихся к бесконечности ее комплексных переменных позволяет, используя теорему Лпувплля, получить представление М как билинейной комбинации таких редуцированных значений V п со: М =

Фурье преобразование \р) дает решение линейной задачи для рассматриваемого оператора Лакса. Аналогично Фурье преобразование для {и>| дает решение дуального уравнения. Фурье образы рассмотренных редукций резольвенты являются решениями Иоста. Для простоты мы называли ¡/у) и (о>| решениями Иоста тоже.

Условие полноты для решений Иоста следует из асимптотики М при ql —> со:

Доказана также ортонормпрованность решений Иоста:

И&И = Я2.

Коэффициенты разложения решений Иоста в окрестности тех значении спектрального параметра q2, при которых функции Грина соответствующих интегральных уравнений обращаются в ноль вычислены в данной работе в терминах потенциала V с помощью рекуррентной процедуры. В данном случае таких точек две: q2 — со и либо q2 = 0 для \и), либо Я2 + Р2 = 0 для

Решения Иоста имеют ненулевую 9-пропзводную в комплексной области и разрыв на вещественной осп . <9-и р он з в о д н ая решений Иоста была найдена непосредственным дифференцированием соответ-

ствующей редукций формулы Гильберта. Описание разрывов решений Иоста в резольвентном подходе сводится к вычислению скалярных произведений.

Используя теорему Лиувилля и найденные значения ¿-производной в комплексной области и разрыва на вещественной осп комплексного параметра решений Иоста, мы получили, что решения Иоста удовлетворяют следующим интегральным уравнениям:

и = 7 + 1 ^А^ ^ | {и]=1 + дз1 ШЫ i

где

В(р;ч) = * --)ее -^0) х

р1р2К(р){2 \ Р1Р2) а=±<г1=±

+ Ц{1 + а'А'(р))] р[р- - а'К(р)) + к

Н^ -1) +т) + т^Чх

х

Р(Р; I (f (1 - icr'K(p))) -Î>)}> К(Р) =

1 -

Р1Р2

ö^ — 1 j В = — ■ — 1 j В описывают d-производной рсшсннй Йо-ста в комплексной области спектрального параметра; 0^1 — В ц 0^1 — В описывают разрыв на вещественной оси спектрального параметра.

eil - —) è(p; q) - --£ £ «7'6(3q2 - crû) X

\ P1P2) 2p1p2R(p)

x6(3îq2 + |(1 + а'ВД))+ a'K{p)) + iao)) .

Из выписанных формул может создаться впечатление, что введено избыточное количество спектральных данных, описывающих разрыв на

вещественной оси спектрального параметра. Однако, если принять во внимание условие комплексного сопряжения, которое следует из вещественности потенциалов и характеристические уравнения на данные рассеяния, то число независимых данных рассеяния сокращаеся до правильного - одной комплекснозначной функции.

В работе также доказано, что решения интегральных уравнений обратной задачи задают решения исходной прямой задачи. Сказанное означает, что для восстановления самих потенциалов а и /3 мы можем воспользоваться асимптотическими свойствами решений Иоста как в нуле, так и на бесконечности спектрального параметра:

а{р) = _ / ч) , Р{р) = / ч) .

Четвертая глава данной работы посвящена исследованию эволюции объектов, введенных в третье главе. В первом параграфе мы рассматриваем лианеризованную версию уравнения ВЬР. Показано, что решения этой лианеризованной версии в общем случае обладают динамической неустойчивостью. Условием, обеспечивающим устойчивость решения такой системы, является стремление к нулю начальных данных а(р) и [3(р) вместе со всеми их производными при Р2 —> 0, а так лее убывание быстрее, чем квадратичная по р\ экспонента при Р\ —* оо.

В случае, когда потенциал и зависит от параметра, формула Гильберта позволяет выразить производную резольвенты по этому параметру. В частности, для производной резольвенты по времени получаем: М* = Мг>(М, После подстановки по уравнению ВЬР, мы получаем: М/ — МВ — АМ, где операторы А, В £ А п равны:

А = + 2(С?1(?2-1/?), В = (}\ + 2((?1б?2-1 (/3 + {<д2а))

Однако непосредственной редукцией полученного эволюционного уравнения для резольвенты невозможно получить динамику решений Иоста. Дифференцируя по времени коэффициенты разложения решения Иоста по положительным степеням спектрального параметра, реккурентные формулы для которых выглядят следующим образом

I ¿(]у(р - д; д)щ{д) + га{р)

=-рРПОе--Р1"1(Р)'

< \ /^(«(р - Т, <?К(<?) + га(р - д)уп- 1(д)) -р\Уп-\{р) п , ГгЛ ип+1 (р) =----РгМр),

легко убедиться, что производная по времени этих коэффициентных функций существует только при условии /3(р1,0) = 0. Наложение данного ограничения на класс потенциалов позволяет рассмотреть редукции эволюционного уравнения для резольвенты и получить эволюционные уравнения для функций Иоста

И( = ИЗ? - ¿И И = -<2?н + {и>\в.

и для данных рассеяния: = [В,(Э'(], д,В = [Б, б/,]. Из явного вида эволюционных уравнений для редуцированных значений р, входящих в определение В и В, например:

следует, что для того чтобы эволюция не выводила данные рассеяния из класса начальных данных (непрерывных быстроубывающих функции), на их поведение при рч » 0 необходимо наложить те же условия, что и на начальные данные линеаризованной задачи. То есть данные

рассеяния должны убывать быстрее любой степени при р2 —* 0 , а также убывать быстрее, чем квадратичная по р\ экспонента при ру оо.

В работе указана рекурентная процедура, задающая условпе быстрого убывания данных рассеяния при рч —» 0 в виде бесконечного ряда условий в терминах потенциалов а и Несколько первых условий на потенциалы имеют вид:

/Э|й=о = 0, [а(р) РЩР)} р2=0 = О,

\дРЛр) + ¡Ф) +Ц ^ра(р-р)/3(р)]р2=0 = 0. - (0-8)

Интегралы движения

Производная по времени предела 1ппр2+р2_^0 р(р; £(к)), при выполнении условий (0.8), определена и равна нулю. Таким образом, коэффициенты разложения значения такого предела в асимптотический ряд по степеням к при к —> 0 или к —» оо являются интегралами движения системы (0.1), а сам предел - производящей функцией для интегралов движения.

Производная по времени от значения предела 15тр2+ра_о р(р; £(к)) определена и равна нулю в независимости от способа стреления р к 0, хотя само значение данного предела, как это следует из интегрального представления, зависит от способа взятия предела. Мы используем такой порядок взятия этого предела, при котором сохраняется линейный рост \р) при q2 —► оо. Этот порядок таков: сначала р\ —* 0, а потом Р'2 —> 0. Пусть

Щк)= 1ш1д(рь0;*(к))

Тогда, интегральное представление для производящей функции интегралов движения есть:

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Garagash T.I.: On a Modification of the Painlevé Test for the BLP -Equation . В сб.: Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems, под ред.: В.Маханыдава, В.Пузинина и О.Пашаева, Worid Scientific, Singapore, 1993

2. Garagash T.I., Pogrebkov А.К.:Resolvent Method for Two - Dimensional Inverse Problems. В сб.: Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems, под ред.: В.Махадькова, В.Пузинина и О.Пашаева, World Scientific, Singapore, 1993

3. Гарагаш Т.И.: Модификация Пенлеве теста для сдстем нелинейных уравнений в частных производных. Тсор. н Мат. Фнз. 100, 1994 1075

4. Гарагаш Т.И., Погребков А.К.: Задача Рассеяния для Дифференциального Оператора дхду + 1 + а(х, у)ду + Ь(х, у). Теор. и Мат. Физ. 102, 1995 163 - 182

- 1081