Спектры систем нелинейных интегральных уравнений и поперечники тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.М. ЛОМОНОСОВА

Механико - Математический факультет

РГ8 ОД

> У ; ..,! - На правах рукописи

УДК 517.5+517.518

НГУЕН ТЬЕН НАМ

СПЕКТРЫ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ПОПЕРЕЧНИКИ

Специальность 01.01.01. - Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 1994

Работа выполнена на кафедре Общих проблем управления механике - математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор В.М.Тихомиров Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, доцент А.П. Буслаев кандидат физико-математических наук, доцент Ю.А. Фарков Ведущая организация - Российский университет дружбы

народов

Защита состоится " 1.7 " ИЮНЯ 1994 г. в 16 час. 05 мин. на заседании специализированного совета Д.053.05.04 по математике при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу:

119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико- математический факультет, ауд. 1624

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико - математического факультета МГУ.

Автореферат разослан " 18 " МЯ.Я 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета по математике Д.053.05.04 при МГУ доктор физико- математических наук,

профессор Т.П. Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы.

Диссертация посвящена исследованиям в области нелинейного анализа и теории экстремальных задач и их приложениям в теории приближений. Речь идет прежде всего об изучении спектра некоторой системы нелинейных интегральных уравнений и его связи с задачей о нахождении точных значений поперечников для соответствующих классов гладких функций.

Пусть А'(.,.) - непрерывное ядро на единичном квадрате 12 := [0,1]2 и символ (а)(5) для чисел а € R и s G (1>оо) означает |а|,_155па . Объектом наших исследований является следующая нелинейная система управнений

x{t) = JK(t,T)u(r)d.T, tel (1)

(и(т)){р} = J l<(t,r)[x(t))i4)dt, r Ç I (2)

которая можно переписать в виде одного уравнения

A9(«(r)(p) = Qf A'(MM«)<fc)' dUr 6 1 (3)

где х(.) € Lq(I), и(.) € Lq(I), ||ti(.)||p < 1 . Если обозначить через К оператор, действующий из пространства Ьр{1) в L4(I) по правилу:

x(t) = A'u(t) := J K(t,T)u{r)dT, u(.) G M-0.

то уравнение (2) примет вид (u(r))(p) = À_?/v'*(i)(,)(r), где Ii* - сопряженный к К оператор, а уравнение (3), в свою очередь, запишется в виде

A q(n{r)){p} = K'(Ku)(q){r), (4)

Ясно, что при р = q = '2 , (4) переходит в класическое уравнение для s - чисел оператора К

А\(г) - к'*Ки(т), - (5)

Таким образом (4) - одно из возможных нелинейных (р, q) -обобщений линейного уравнения (5). С другой стороны, уравнение (4) можно рассматривать как обобщение нелинейного уравнения Штурма - Лиувидля, если заменить в (4) А" на ядро Римана

(t - г)('_1)

Gr(t, г) := -reZ, г > 1,

(г - 1)!

го нетрудно привести его к граничному нелинейному уравнению Штурм- Лиувиллевского типа:

= A-« («(«))(„, = (^О^1) = 0

соторое в течение ряда лет исследовано В.М. Тихомировым и :го учениками: А.П. Буслаевым, С.В. Бабаджановым и By Куок Гханем, а также А. Пинкусом. Обзор этой тематики можно най-:и в статье А.П. Буслаева и В.М. Тихомирова 1 . Дискретный 1ариант уравнения (4) рассматривал А.Л. Буслаев2.

Система (1)-(2) - это формально выписанные необходимые словия экстремума в следующей изолериметрической задаче

¡И.)||ч - sup, *(.) = А'и(.), \\и{.)\\¥ < 1, (7)

, также в задаче на максимум отношения Релея:

R(z-,k\p,q):= jj^Üjji sup, аг(.) = А'«(.), u(.)^Lp{I) (8)

Экстремальные задачи (7), (8) играют важную роль в различ-ых разделах анализа и механики. В частности они возникают

1 Буслаев А.П., Тихомиров В.М. Мат. сб. 1990, т. 180, N. 12, С. 1587-1606.

2Буслаев А.П. Мат. ааметки, 1988, Т. 47. N. 1, С. 39-46.

при нахождении томных значений поперечников соответствующих классов функций, а именно, следующих классов соболевского типа

WP(K) := {*(.) = A-u(.)|tt(.) € BLP(I))

(см. по этому поводу работы 3 4 5 6 и т.д.).

Принципиальным моментом эдесь является вполне положительность ядра К. Это понятие было введенно в работах Крейна М.Г. в 30-х годах как аналог понятия вполне положительной матрицы. К ядрам подобного типа относятся многие ио известных в анализе, механике и физике ядра, в том числе ядро Дирихле, Римана, Гаусса в непериодическом случае, ядро Валле-Пуссена в периодическом варианте и др. Свойствам вполне положительных ядер посвящена обширная литература (см. например, 7 8 9 10...).

Спектральные свойства вполне положительных матриц в линейном случае были обнаружены ранее в работах Перрона, Фро-бениуса, Келлога, Крейна. Систематическое их изложение, а также приложения к задачам механики можно найти в книге Гант-махера и Крейна п.

В линейном случае, (р = q - 2) , для уравнения (5) была доказана замечательная теорема о том, что ядро К К" имеет бесконечную последовательность простых, положительных спектраль-

3Тихомирои В.М. Некоторые вопросы теории приближения Изд. МГУ, 1976. 304 с.

4Тихомиров В.М. Теория приближения. Итоги техники и науки. Т. 14, М.: ВИНИТИ 1987. С. 103-260

5см. 1

ePinkus А. и- widths in approximation theory, Springer-Verlar, N-Y, 1985, 297p.

7Гактмахер Ф.Р., Крейн М.Г. Осцилляционные матрицы, ядра и малые колебания механических систем. М.: Гостехиэдат, 1950.

'Karlin S. Totally Positivity, V. 1, Stanford, Ca. Stanford University Press. 1968.

'Карлип С., Стадден В. Чербышеьские системы и их применение и анализе и статистике. М: Наука, 1976, 567с.

10Хнршма.н И., Уиддер Д. Преобразование тина сиертки М: ИЛ. !958, 312с.

I 1 п

см. 7 выше

ных чисел Л0 > Л1 > ... > 0 и соответствующая п - спектральному числу спектральная функция имеет в точности п простых нулей (первая - под номером "нуль" функция положительна на интервале I ).

Цель работы. Исследовать спектр системы нелинейных интегральных уравнений (1)-(2) в непериодическом случае. Получить точные решения для задачи о Колмогоровских и Бернштей-новских поперечниках класса \УР{К) в Ьч(1) при различных со-отношениях на р , <7 . Распространить полученные результаты на периодический случай.

Методы исследования. Для доказательства существования спектра использован метод итерации, разработанный Буслаевым А.П.

Для оценки поперечников применены метод аппроксимации интерполяционными сплайнами, предложенный Тихомировым В.М и методы теории экстремальных задач, развитые в работах 12 13

Научная новизна. Работа продолжает исследования, начатые Пинкусом А. (1975-1985) и дополняет некоторые результаты Буслаева А.П. и Тихомирова В.М. (1985-1990).

В диссертации содержатся следующие новые результаты:

1) Описан спектр системы нелинейных интегральных уравнений с обобщенными вполне положительными ядрами в непериодическом и периодическом случаях.

2) Вычислены точные значения поперечников по Колмогорову и по Бернштейну функциональных классов соболевского типа, Ц?р(К)(\Ур(С)) в метрике Ьч при различных соотношениях р, ц.

3) Вычислены точные значения нечетных поперечников по Бернштейну соболевских классов периодических функций в случае р < ([.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теорический характер и может представляет интерес для специалистов в области теории приближений и диффе-

|2см. 1,2,3,6 выше

13Магарнл-Ильяев Г.Г. Мат. сб. 1991, Т. 182, N. 11, С. 1635-1656.

ренциальных уравнении.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научном семинаре "Теория приближений" под рука-водством профессора В.М. Тихомирова в МГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликованы две статьи, одна из них в соавторстве. Их список приведен в конце автореферата.

Объем работы. Диссертация изложена на 68 машинописных страницах и состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 27 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дан краткий обзор работ, связанных с темой диссертации, приведены постановки изучаемых в диссертации задач и основные полученные результаты.

В главе I рассматривается неприодический случай. Пусть ядро /{(.,) - принадлежит классу обобщенных вполне положительных ядер 14 ( К € ЕТР - extended totally positive), т.е. оно бесконечно дифферецируемо на /2 I := [0,1] и для всякого набора точек из / : t\ < ¿2 < • • • < гп и 7i < т2 < ... < тп

> 0. (9)

Условие (9) гарантирует неравенство

Р(и(.)) < оо г-(х{.)) = 2'(Ки(.)) < Р(и(.)) (10)

В §1 приведены необходимые определения и некоторые сведения из функциального анализа теории экстремальных задач и топологии. Обозначим через 3Рп(К,р,д, I) - множество спектральных пар, у которых спектральная функция имеет внутри отрезка I ровно п простых нулей, а через зрп(К,р,д,1) -

14см. 6

соответствующее множество п - спектральных чисел. В §2, используя итерационный процесс, условие (10), и теорему Ворсука доказывается

Теорема 1.2.1 Если 1 < р, < оо, тг > 0 , К € ЕТР то ЗРп{К,р,я,1) ФЪ

В следующем-параграфе мы доказываем теорему о поперечниках для класса \¥р[К) . Обозначим

АГ" := пнп {А е *рп(К,р,д,Г)},ЛГх ■= тах {А е зрп(К,р,д,1)}.

Теорема 1.3.1 Пусть 1 < р, ц < оо, п > 0 , Л' 6 ЕТР , тогда

a. если 1 < д < р < оо то

¿„(И^Т), £,(/)) = 6п = сГ = А-"1

b. если 1 < р < </ < со го

= а--

Понятие поперечников впервые появлялось в работе А.Н. Колмогорова в 1936 году 15, где он ввел величину, названную в последствии его имени и характеризующую возможность найлучще-го приближения данного множества п - мерными подпространствами. Ему же принадлежал первый точный результат о поперечниках соболевских классов И^([-1г,1г]) в метрике ¿2([-тг,7г].

Новым импульсом в исследовании поперечников для функциональных классов служил цикл работ В.М. Тихомирова в 1959 -1969 годах (см. 16), где он раэвивал идеологию Колмогорова и ввел новые поперечники, (линейный, проекционный, категорный поперечники, поперечники по Бернштейну, по Гельфанду и т.д.)

Задача о нахождении точных значений поперечников для соболевских классов Ирассмотрена многими авторами, (см. сылки в 17 18) и окончательный ответ для поперечников по Колмо-

15Колмогоров А.Н. Избранные труды. Математика и механика. М: Наука, 1985. 470с.

16см. 3

17см. 1

18см. 3

горову был получен в работах 19 20, весовый вариант рассмотрен

в 21, точные значения поперечников по Бернштейну были полу-11

чены в .

Теорема 1.3.1 является аналогом соответствующего результата Буслаева и Тихомирова23 и обобщением результатов Пинкуса. 24 25. Легко заметить также, что в однородном случае р = д , учитывая известное соотношение между ¿п и Ьп , из теоремы 1.3.1 получаем, что

АГ'Я = К°х => СаЫ3рп(К,р,р,1)= 1

т.е. множество 5рп(Л',р,р,/) содержит только один элемент, и мы приходим к единственности п - спектрального числа, что было показано ранее в работе Пинкуса.

В §4 мы рассматриваем некоторые экстремальные задачи, связанные с классом ]/Ур[К) : задача о наилучшем приближении обобщенными К - сплайнами, задача об интерполяции, задача о точной константе в аналоге неравенства Виртингера. Показано, что во всех этих задачах, точные решения связаны с спектром системы (1)-(2).

Формулируем один из этих результатов. Рассмотрим задачу о наилучшем приближении обобщенными К - сплайнами. Пусть

Л„ := и = {М,=1 |0 < <1 < ¿2 < < «„ < 1}

и для кажкого £ € Лп, обозначим через :=

Л'(.,гп)}. сИтпЬп = п поскольку К 6 ЕТР. Подпространство

МО назовем подпространством К - сплайнов. Естественно

19Буслаев А.П., Тихомиров В.М. Некоторые вопросы нелинейного анализа и теории приближений. Докл. АН СССР, 1985, Т. 283, N. 1, С. 13-15.

20см. 1

21 Буслаев А.П. Дохл. АН СССР, 1989, Т. 305, N. 6, С. 1289-1294

"Буслаев А.П. О неравенстве Бернштейна - Никольского и поперечниках соболевских классов функций. Докл. РАН, 1992, Т. 323, N. 2, 202-205

23см. 1, 22

24см. 6

"Рткиз А. Соей. Аррг. 1985. V. 1, N. 2, Р. 15-62

"У

I

возникает вопрос о найлучшем приближении класса WP(K) подпространствами Ln(£), £ 6 А„ т.е. требуется оценить величину

D(Wp(K),Ln(0,Lq(I)) := sup inf ||х(.) - 5(.)||,

и найти оптимальное подпространство Z,n(£"), т.е. подпространство, для которого выполняется равенство

D(Wp(K),Ln{C),Lq(I)) = inf D(Wp{K),Ln(Z),Lq{I))

ieAn

= : Dn(Wp(Ii'),Lq(I))

Имеет место следующее

Предложение 1.4.1 Если 1 < q < р < оо, то

Dn(Wp(K),Lq(I)) = А™ где А™"1 определена, выше.

Во второй главе мы рассматриваем периодический случай и интегральный оператор, как правило - это оператор свертки. Как и в классической ситуации (для соболевских классов на окружности), благодаря периодичности удается уточнить результаты, полученные в предыдующей главе. В первом параграфе мы излагаем понятие вполне положительности в периодическом варианте, т.е. понятие невырожденного периодического не-увеличивающего осцилляцию ядра ((?(•) £ NCVD - от слова nondegerate cyclic variation diminishing) а также близкое понятие В - класса. Эти условия более слабые, чем условие обобщенно вполне положительности но как мы уже говорили, здесь нам удалось получить более точное описание спектра нашей системы.

В втором параграфе доказывается одна теорема о нечетных поперечниках по Бернштейну соболевского класса периодических функций Wp(T) , при этом доказывается единственность спектральных чисел для уравнения (6) в случае р < q (при р > q -это было доказано в 26).

26см. 1

Главным результатом параграфа является следующая: Теорема Н.2.1 Пусть п £ N, 1 < р < д < оо. Тогда,

62„-i(W;(r),L9(T)) = v(r,p,q)n~T

где i/(r,p,q) = )г(2х)1/р"1/|?А(г)р, q) и X(r,p,q) - значение следующей экстремальной задачи:

И.)1кцо,1]) - sup, х{.) £ И^([0,1]), «(,')(1"(2"1)') = о О < г < г - 1.

Этот результат является окончательным и обобщает результаты Тихомирова (р = q = оо ), Пинкуса (р = q = 1 ) и Магарил-Ильяева ( р = g £ (1, оо) ).

В §3 доказывается теорема о спектре следующей системы для симметричного В - (или NCVD - ) ядра

x(t) = а + G * u{t) := a + -i- / G(i - т)и(т)с1т

27Г Jt

(u(i))<P> = А-«С*((®))(,)(0 IHOIIp = 1.

где если ядро G £ NCVD то полагаем a = 0, а если G € В - то а: ||аг + С*и(.)||, = inf ||/? + G*u(.)lli

дел

Теорема II.3.1 Пусть ядро G принадлежит классу NCVD или В, G четная функция (G(-t) = G(t)). Тогда для всех п £ N существует спектральная пара (An,a-„(.)) £ SР-гп{С,p,q,T) со следующими свойствами:

а). Функция хп(.) имеет 2тг простых равноотстоящих нуля, нечетна относительно своих нулей и симметрична относительно вертикальных прямых, проходящей через нули своей производной.

b). Если xn(.) = ап + G * un(-), то функция un(.) тоже имеет 2п равноотстоящих нуля и также нечетна относительно своих нулей.

Эта теорема обобщает результаты Буслаева А.П. и Тихомирова В.М.27 где она доказана для ядра Бернулли, и результаты Пинкуса А.28, где он рассматривал данную задачу в неявном виде и в частных случаях ( р = q = 2, и в крайних случаях р — оо или 9=1).

Доказательство этой теоремы основано на методе итерации и разделяется на три этапа: сначала строится итерационый процесс, далее докалывается теорема для "хороших" ядер (т.е. для ядер, удовлетворяющих обобщенно В - ( NCVD - ) условию), и на третьем'шаге реализуется предельный переход к общему случаю.

В последнем параграфе распространяются результаты §3 из гл. I о точных значениях поперечников на периодический случай для класса WP{G) в метрике Lq(T) в общем случае.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю, профессору В.М. Тихомирову за постановки задач и постоянное внимание к работе.

Автор также благодарит д.ф-м.н. А.Г1. Буслаева и д.ф-м.н. Г.Г. Магарил - Ильяева за внимание и полезные обсуждения.

Работы автора по теме диссертации.

[1]. Нгуен Тьен Нам. Спектры нелинейных интегральных уравнений и поперечники функциональных классов // Матем. заметки, 1993, Т. 53, N. 4, стр. 101-110.

[2]. А.П. Буслаев, Г.Г. Магарил-Ильяев, Нгуен Тьен Нам. Точные значения поперечников по Бернштейну для соболевских классов периодических функций // Доклады РАН, 1994 (В печати).

27см. 1

28 с

СМ. 6