Прямые методы приближенного решения сингулярных интегральных уравнений и их приложение к задачам аэродинамики и физики элементарных частиц тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

0.1. О редукции задач математической физики к сингулярным интегральным уравнениям.

§ 0.2. Необходимые сведения из теории сингулярных интегральных уравнений.^ ^

§ 0.3. Основные результаты работы.Ъ®

РАЗДЕЛ I

ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЯДРОМ КОШИ .Ь Г

ГЛАВА 1.

ПРИБЛИЖЕННОЕ

РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ (СИУ) НА ПРОИЗВОЛЬНОЙ КУСОЧНО-ГЛАДКОЙ КРИВОЙ.^

1.1. О корректной постановке задачи решения характеристического уравнения.

1.2. О построении решения СИУ, имеющего заданный порядок на бесконечности.

1.3. Свойства сингулярных интегральных операторов К0. К, К0' и

1.4. О корректной постановке задачи решения полного уравне ния.

1.5. Прямые методы приближенного решения СИУ на произвольной кусочно-гладкой кривой. о"

ГЛАВА 2.

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

2.1. Свойства действительных интегральных операторов и действительные уравнения. ^^

2.2. О корректной постановке задачи решения действительного сингулярного интегрального уравнения. ^ ^

2.3. Многочлены, ассоциированные с действительными сингулярными интегральными операторами на [-1,1].^

2.4. Вычислительные схемы решения характеристического урав

Н, СТ^ НиЯ. . •

2.5. Прямые методы приближенного решения полных действительных уравнений.

ГЛАВА 3.

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ СИУ 1-ГО РОДА С РАЗРЫВНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ НА ОТРЕЗКЕ И СИСТЕМЕ ОТРЕЗКОВ .1.Я-2

§ 3.1. Квадратурные формулы для сингулярного интеграла с ядром Коши .л

§ 3.2. О саморегуляризации задачи вычисления сингулярных интегралов с ядром Коши и Гильберта в метрике С

§ 3.3. Об устойчивом в метрике С приближенном решении сингулярных интегральных уравнений, разрешимых в замкнутой форме .4ЧА

§ 3.4. Приближенное решение характеристического сингулярного интегрального уравнения .ДЧ

§ 3.5. Приближенное решение полного сингулярного интегрального уравнения .^

§ 3.6. Приближенное решение сингулярного интегрального уравнения на системе отрезков . i £

ГЛАВА 4.

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНПИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СИДУ) С ЯДРОМ КОШИ .4.

§ 4.1. Задача Коши для интегро-дифференциального уравнения

§ 4.2. СИДУ разрешимые в замкнут,ой форме. {Т

§ 4.3. Прямые методы приближенного решения СИДУ.Л ТгЪ

ГЛАВА 5.

УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ К МАЛЫМ ИЗМЕНЕНИЯМ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ.\

§ 5.1. Приближенное решение сингулярного интегрального уравнения на отрезке с равноотстоящими узлами.

§ 5.2. Приближенное решение сингулярного интегрального уравнения на отрезке с неравномерным распределением узлов.

§ 5.3. Приближенное решение сингулярного интегрального уравнения на окружности.О

5.4. О построении статистических решений СИУ со сл правой частью. учайной^ ^

5.5. О построении статистических решений СИУ со случайным интегральным оператором.

РАЗДЕЛ II ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДОЗВУКОВЫХ СКОРОСТЕЙ И ЧАСТИЦ.

ЗАДАЧ ФИЗИКИ

АЭРОДИНАМИКИ

ЭЛЕМЕНТАРНЫХ

ГЛАВА 6.

ОБТЕКАНИЕ ПАРАШЮТОВ. ДЕЛЬТОПЛАНОВ И БЛИЗКИХ К НИМ АППАРАТОВ "МАЛОЙ АВИАЦИИ".

§ 6.1. Постановка задачи.^"^"а

§ 6.2. Численный метод решения линейного уравнения.

§ 6.3. Численный метод решения нелинейного уравнения.

§ 6.4. Примеры расчетов

41. ЙЬ

ГЛАВА 7.

ОБТЕКАНИЕ КРЫЛА УМЕРЕННОЙ ТОЛЩИНЫ.

§ 7.1. Обтекание изолированного профиля.г °

§ 7.2. Моделирование движения профиля у поверхности раздела ~ сред.

§ 7.3. Обтекание конечной решетки телесных профилей.

§ 7.4. Нестационарное обтекание профиля.• Ясз

§ 7.5. Обтекание профиля со скалъжением ." г*

§ 7.6. Примеры расчетов . ¡гт

§ 7.7. Моделирование телесности крыла конечного размаха.Ъ I т

ГЛАВА 8.

ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО КРЫЛА С ЭЛЕМЕНТАМИ МЕХАНИЗАЦИИ

5.1. Обтекание профиля с закрылком и предкрылком

1.2. Обтекание разрезного крыла.

ГЛАВА 9.

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФИЗИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ.

9.1. Приближенное решение интегрального уравнения фоторо- ^

7г - мезонов на нуклонах.

9.2. Приближенное решение интегрального уравнения Тер. } ¿И

Мартиросяна — Скорнякова. ДОПОЛНЕНИЕ.

Предлагаемая работа посвящена численному решению интегральных уравнений, возникающих при математическом моделировании задач стационарной и нестационарной аэродинамики дозвуковых скоростей проницаемых и телесных поверхностей и физики элементарных частиц. Она содержит основные результаты, полученные автором в течение последних пятнадцати лет.

Задачи аэродинамики дозвуковых скоростей вихревым методом [20. 21. 16] сводятся к интегральным уравнениям 1-го и 2-го рода: плоские задачи - к уравнениям с ядром Коши. интегралы в которых понимаются в смысле главного значения; пространственные задачи - к уравнениям с интегралами понимаемыми в смысле конечного значения по Адамару. Так как рассматриваемые нами интегральные уравнения кроме аэродинамики и физики элементарных частиц применяются во многих других областях науки и техники, предлагаемые в диссертации численные методы могут быть использованы и используются при решении не только задач аэродинамики и физики элементарных частиц . Некоторые из таких задач приводятся в тексте диссертации или в ее приложении. Так. например, результаты первой и третьей глав, посвященные приближенному решению СИУ на системе отрезков, стали основным вычислительным аппаратом для целой научной школы, созданной на кафедре математической физики Харьковского университета [44. 41. 42. 43. 99; 45. 46. 47. 48]. где решаются задачи теплофизики, электродинамики и дифракции волн на плоских решетках с помощью сведения их к СИУ на системе отрезков. Однако основным объектом и целью нашего исследования было построение численных методов решения интегральных уравнений конкретных задач аэродинамики и физики элементарных частиц, что нашло свое отражение в названии работы. Предлагаемая работа состоит из двух разделов, приложения и дополнения. В первом разделе исследуются линейные сингулярные интегральные уравнения и рассматриваются приближенные методы их решения. Второй раздел посвящен применению этих методов к задачам аэродинамики и физики элементарных частиц. В приложении приводится краткий перечень сокращений и обозначений используемых в тексте диссертации, а в дополнении предлагается краткое описание пакета программ приближенного решения СИУ. основанного на прямых методах изложенных в диссертации. Эффективность программной реализации изложенных методов иллюстрируется численными расчетами на примере конкретных уравнений.

В настоящее время имеется большое число научных статей, посвященных приближенному решению сингулярных интегральных уравнений. Многие из них условно можно разбить на две группы:

1) работы чисто теоретического характера, в которых строятся вычислительные схемы и исследуются вопросы их сходимости и устойчивости:

2) работы, посвященные численному решению конкретных СИУ. возникающих в приложениях.

Авторы первой группы работ, как правило, далеки от проблем численного решения 7 конкретных прикладных задач, они рекомендуют решать "как надо", но не всегда то. что необходимо, а лишь то. что получается или кажется им интересным. Авторы второй группы решают то, что нужно, но не всегда так. как надо.

Однако с усложнением прикладных задач и в связи с развитием вычислительной техники появилась острая потребность в создании научных групп, состоящих из математиков и научных сотрудников, использующих математический аппарат для построения и обоснования эффективных вычислительных схем решения конкретных прикладных задач и доведения их до численной реализации. Автор настоящей диссертации является членом одной из таких групп, созданной в ВВИА им. Н.Е.Жуковского для решения задач аэродинамики методом дискретных вихрей (МДВ). К работам по приближенному решению СИУ придерживающимся нашего принципы: "Решать то. что нужно и так. как надо!" следует отнести [57. 59. 65, 104. 41. 105. 77] и ряд других. МДВ по существу является разновидностью метода граничных элементов решения задач аэродинамики дозвуковых скоростей. Граничные элементы в нем имеют наглядное аэродинамическое толкование. По этой причине аэродинамики по началу даже не до конца понимали, какие граничные интегральные уравнения они решают. Первое обстоятельство (наглядность) позволило распространить этот метод на широкий класс задач аэродинамики, второе - вызвало беспокойство отсутствием его математического обоснования. В методе дискретных вихрей поверхность обтекаемого тела заменяется непреывным вихревым слоем неизвестной интенсивности. Введенный вихревой слой является аэродинамической моделью процесса обтекания тела. Он призван индуцировать в окружающей среде поле скоростей, равное полю скоростей индуцируемому обтекаемым телом. Таким образом задача сводится к определению интенсивности введенного вихревого слоя. Для этого непрерывный вихревой слой и след за ним аппроксимируются системой дискретных вихревых нитей (вихрей). На теле выбираются точки, называемые расчетными, в которых требуется выполнение граничных условий: в них сумма нормальных к поверхности тела составляющих скоростей, индуцируемых дискретными вихрями и набегающим потоком, равна нулю или скорости протекания. Задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений для искомой интенсивности дискретных вихрей. Требуемый класс решений (режим обтекания) выделяется соответствующим выбором места расположения дискретных вихрей и расчетных точек. Проиллюстрируем это на задаче обтекания крыла бесконечного размаха. Крыло считается бесконечно тонким, его сечение плоскостью Ожу представляет собой отрезок [-1.1] (Фиг.1). К тем кромкам крыла, где искомая интенсивность вихревого слоя обращается в бесконечность, дискретный вихрь располагается ближе, опережая расчетную точку. А от тех кромок, где интенсивность вихревого слоя должна быть ограничена, дискретный вихрь удален дальше, ограждаясь от кромки расчетной точкой (см. Фиг.1). 8

СХЕМА МДВ РАСПОЛОЖЕНИЯ ВИХРЕЙ И РАСЧЕТНЫХ ТОЧЕК а)

Фиг. 1 точки расположения дискретных вихрей расчетные точки, в которых выполняются граничные условия режим бесциркуляционного обтекания режим циркуляционного обтекания режим безударного обтекания х 9

Именно в таком виде был сформулирован метод дискретных вихрей в 1955 году в докторской диссертации С.М.Белоцерковского [20]. МДВ позволил с единой точки зрения моделировать линейные и нелинейные, стационарные и нестационарные задачи аэродинамики и гидродинамики как для простейших тел. так и для компановок в целом. Численные расчеты, проводимые в ВВИА им. Н.Е.Жуковского. ЦАГИ и в других институтах и конструкторских бюро, давали хорошее согласование с экспериментальными данными.

Математическое обоснование МДВ для стационарных и нестационарных задач аэродинамики тонкого непроницаемого профиля и тонкого непроницаемого крыла конечного размаха было получено И.К.Лифановым в его докторской диссертации (за подробным его изложением мы отсылаем к монографиям [16. 99]). В [16. 99] показано. что системы линейных алгебраических уравнений метода дискретных вихрей аппроксимируют сингулярные интегральные уравнения первого рода. Искомой функцией в сингулярных интегральных уравнениях является интенсивность непрерывного вихревого слоя. Эти системы невырождены и их решения сходятся к решениям соответствующих СИУ. Автором настоящей диссертации установлено, что МДВ решения плоских задач аэродинамики обладает свойством авторегуляризации *(см. главу 5). После математического обоснования и обобщений метод дискретных вихрей решения СИУ 1-го рода находит свое применение в смежных областях: в плоских задачах теории упругости [18. 16. 99]. электродинамике и теплофизике [44. 41. 42. 43] (см. главу три). Затем идеи МДВ были распространены на линейные одномерные СИУ 2-го рода с действительными постоянными коэффициентами. Это позволило И.К.Лифанову и А.А.Саакяну применить их к решению контактных задач о вдавливании равномерно движущихся штампов [104].

При математическом моделировании задач аэродинамики проницаемых и телесных поверхностей мы приходим к СИУ 2-го рода с переменными коэффициентами, для которых указанные выше вычислительные схемы перестают работать. Попытки аэродинамиков аппроксимировать сингулярный интеграл без должного согласования с аппроксимацией внеинтегрального слагаемого были малоэффективными для численного решения таких уравнений (результаты расчетов см. в дополнении к диссертации). Формальный перенос вычислительных схем для СИУ 1-го рода на СИУ 2-го рода приводил к большим погрешностям на границе и давал медленную сходимость внутри области интегрирования.

Назрела необходимость построения эффективных вычислительных схем решения СИУ 2-го рода с переменными коэффициентами. Построение, обоснование и реализация на ЭВМ таких вычислительных схем и занимают основное место второй главы диссертации. Первая наша работа в этом направлении была опубликована в 1983 году [103]. В ней предлагается прямой метод приближенного решения линейного одномерного СИУ 2-го рода с действительными переменными коэффициентами на отрезке в случае, когда коэффициент при сингулярном интеграле является мно

1Термин авторегуляризации (саморегуляризапии) введен в работах А.П. Тихонова. В.И.Дмитриева и Е.В.Захарова [58. 173]. см. также [33].

10 гочленом. Именно с таким уравнением приходится иметь дело при моделировании методом дискретных вихрей задачи обтекания проницаемого профиля. Циркуляционная задача обтекания проницаемого профиля приводит к уравнению с нулевым индексом, интегральное уравнение бесциркуляционной задачи имеет индекс ге > 0. при безударном обтекании профиля индекс ге < 0. Суть предложенного метода состоит в дискретизации исследуемого уравнения. В результате получается система линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей, своей для различных значений индекса СИУ ге. Метод построения алгебраических систем уравнений использует идеи МДВ и. по существу, может рассматриваться, как обобщение его на случай СИУ с переменными коэффициентами. Дискретизация основана на аппроксимации искомого решения интерполяционным многочленом Лагранжа с последующей коллокацией полученного функционального уравнения. При этом используются два множества ортогональных многочленов (обобщенных многочленов Якоби). корни которых служат узлами интерполяции и точками коллокации. Отметим, что вопросы построения приближенного решения изучаемого СИУ с применением указанных многочленов рассматривались ранее в работах Д.Эллиотта и М.Доу. [186. 187. 189]. Д.Эллиотт и М.Доу сводили задачу решения СИУ к системе линейных алгебраических уравнений с прямоугольной матрицей размерности (га — ге) х т. совпадающей с нашей при ге = 0. Не исследуя вопроса о выделении единственного решения при положительном индексе и вопроса об удовлетворении условий разрешимости при отрицательном индексе. Д.Эллиотт и М.Доу приводят ряд достаточных условий, характеризующих сходимость приближенного решения к точному. Важное место в указанных работах занимает результат, полученный Д.Эллиоттом [188]. в котором он устанавливает тесную связь между характеристическим сингулярным интегральным оператором (СИО) данной задачи и системой обобщенных многочленов Якоби соответствующих весовой функции ассоциированной с этим интегральным оператором. При этом под соответствием обобщенных многочленов Якоби данной весовой функции понимается, что последняя является тем самым весом, по которому данные обобщенные многочлены Якоби ортогональны на [-1.1]. Д.Эллиоттом было доказано. что если коэффициент при сингулярном интеграле является многочленом степени Т\ 0. то характеристический СИО данной задачи переводит произведение ассоциированной с ним весовой функции на соответствующий ей обобщенный многочлен Якоби в обобщенный многочлен Якоби соответствующий весовой функции, ассоциированной с союзным интегральным оператором. Причем указанные соотношения выполняются для обобщенных многочленов Якоби. степень которых больше некоторого натурального числа, зависящего от г 1 и индекса исходного СИО. Частным случаем этого результата является хорошо известный ранее факт [77. 176] о редукции сингулярным интегральным оператором 2-го рода с постоянными коэффициентами классических многочленов Якоби друг в друга или. в частности, о редукции сингулярным интегралом многочленов Чебышева 1-го рода в многочлены Чебышева 2-го рода (формула Глауэрта). Отправным моментом в рассуждениях Д.Эллиотта является тезис о том. что. зная весовые функции ассоциированные с данным СИО и с союзным с ним оператором, мы сможем определить соответствующие им обоб

11 щенные многочлены Якоби и их корни из трехчленного рекурентного соотношения, известного в теории ортогональных многочленов. Корни этих обобщенных многочленов Якоби используются в качестве точек интерполяции и коллокации. а сами многочлены входят в выражения для коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений дискретной задачи, соответствующей исходному СИУ. Обогащая результаты Д.Эллиотта и М.Доу идеями МДВ. нам в [103] удалось построить метод приближенного решения СИУ для проницаемого профиля во всех режимах обтекания: бесциркуляционного обтекания (аз > 0); циркуляционного обтекания (аз = 0). безударного обтекания (аз < 0). Построеннная нами вычислительная схема отличалась от работ Д.Эллиотта и М.Доу тем. что мы выделяли единственное решение исходного СИУ при ге > 0 и вводили необходимое число регуляризирующих неизвестных при ае < 0. что давало нам однозначно разрешимую систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей. При численной реализации схемы, предложенной в нашей заметке [103]. аэродинамики столкнулись с большими вычислительными трудностями, которые, как выяснилось, присущи и работам Д.Эллиотта и М.Доу. Дело в том. что наша вычислительная схема, также как и методы. описанные Д.Эллиоттом и М.Доу. использовали в качестве точек дискретизации корни обобщенных многочленов Якоби. Точное нахождение этих корней, за редким исключением, невозможно. А значит, вычислительная схема не может быть реализована. Или. по крайней мере, нуждается в уточнении и в анализе на устойчивость к возмущениям точек дискретизации. Заметим, что сингулярный интегральный оператор не ограничен в метрике С. Кроме того, коэффициенты системы линейных алгебраических уравнений, аппроксимирующей СИУ. сами определяются через эти обобщенные многочлены Якоби. Таким образом, для реализации вычислительной схемы необходимы значения обобщенных многочленов Якоби и их корней. Данное обстоятельство вызвало желание освободиться от требования специального выбора точек дискретизации и замены обобщенных многочленов Якоби на более подходящие. Тем более, что численные расчеты, проводимые нами на модельных примерах, показывали, что такой подход приводит к хорошим результатам. Потребность освободиться от специального выбора точек дискретизации была реализована в наших последующих работах [118. 120. 121. 7]. в которых предложен прямой метод приближенного решения СИУ для проницаемого профиля без специального выбора точек дискретизации. Это удалось сделать в силу того, что [118] указанный нами выше важный результат, полученный Д.Эллиоттом, остается в силе и при замене обобщенных многочленов Якоби на произвольные многочлены. Другими словами, если коэффициент при сингулярном интеграле является многочленом степени г, ^ 0. то характеристический СИО 2-го рода переводит произведение ассоциированной с ним весовой функции на произвольный многочлен в некоторый многочлен, который может быть определен конструктивно. Последнее замечание является существенным, т.к. конструктивное определение указанного нами многочлена необходимо для задания коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений аппроксимирующих наше СИУ. Полученное нами конструктивное доказательство этого утверждения позволило освободиться от излишне жестких условий на точки дискретизации.

12

Таким образом, если в предложенной ранее схеме в качестве точек дискретизации использовались корни обобщенных многочленов Якоби, то теперь в качестве таких точек можно выбирать, например, корни многочленов Чебышева. На основе полученной нами новой вычислительной схемы в ВВИА им. Н.Е.Жуковского был создан комплекс программ для приближенного решения СИУ уравнений аэродинамики [125]. После опубликования работ Д.Эллиотта. М.Доу [186. 187. 188. 189] и наших заметок [103. 118. 120. 7. 121] появляется большое число статей (см. например, работы П.Юнганнса [192. 193. 194], Б.М.Мусаева [143, 138, 140, 141]. Габдулхаева [39], М.А. Шешко [182]. П.Юнганнса и Б.Сильберманна [195] и др.) посвященных обоснованию вычислительных схем для СИУ с переменными коэффициентами в различных метрических пространствах. Во всех этих работах точками дискретизации являются корни обобщенных многочленов Якоби, а коэффициент при сингулярном интеграле равен многочлену или единице. В силу сказанного выше, результаты этих статей для уравнений с переменными коэффициентами носят сугубо теоретический характер. т.к. используемые ими узлы интерполяции и коллокации находятся явно лишь в случае СИУ с вещественными постоянными коэффициентами. Таким образом, переход к развитию вычислительных схем решения СИУ без специального выбора точек дискретизации стал выгодно отличать наши исследования от работ других авторов своей практической направленностью. Такой подход дает возможность при построении вычислительной схемы более полно учитывать специфику поведения правой части и регулярного ядра, а также снимает часто непростую задачу вычисления корней указанных выше ортогональных многочленов. Более того, он позволил обобщить полученные нами результаты для действительных СИУ на отрезке на случай комплексного СИУ на произвольной кусочно-гладкой кривой. Такое обобщение также опирается на свойство сингулярного интегрального оператора (СИО) переводить произведение весовой функции на многочлен в новый многочлен. Только в случае комплексного СИО на произвольной кусочно-гладкой кривой L в этом свойстве действительные многочлены следует заменить на обобщенные комплексные полиномы вида m п ^

Pm:n(Z) •'= Ys + £ / ч, ; О, £ L. к=0 s=1 \Z а)

Такое свойство для комплексного СИО на произвольной кусочно-гладкой кривой установлено в [7, 8]. При этом, полученный при отображении обобщенный полином определяется конструктивно (более подробно см. об этом в главе I). Моделирование методом дискретных вихрей задачи обтекания телесного профиля приводит к потребности численного решения линейного одномерного СИУ с переменными действительными коэффициентами. Коэффициент при сингулярном интеграле в этом уравнении не является многочленом и обращается в ноль на концах отрезка интегрирования как степенная функция с дробным показателем степени. Это обстоятельство не позволяет использовать вычислительные схемы, указанные нами выше.

Для построения новой вычислительной схемы надо было усилить упомянутый ранее результат Д.Эллиотта, обобщив его на стачай СИО с произвольным действительным переменным коэффициентом при сингулярном интеграле. Это нам удалось.

13

Оказалось [123. 129] - что для достижения этой цели надо несколько изменить весовые функции. При этом СИО также переводит один ортогональный многочлен в другой. Усилив результат Д.Эллиотта, мы построили вычислительную схему для СИУ с переменными действительными коэффициентами, к которому сводится задача обтекания телесного профиля. Эта вычислительная схема была применена также для решения нестационарной задачи обтекания телесного профиля. Далее этот результат был перенесен на комплексное СИУ на произвольной кусочно-гладкой кривой, у которого мы теперь не требуем, чтобы коэффициент при сингулярном интеграле был многочленом [129. 197]. Как известно решение любой математической задачи начинается с исследований на корректность ее постановки. Это особенно касается СИУ как первых представителей нетеровых операторных уравнений. При численном решении сингулярных интегральных уравнений возможно нарушение всех трех условий корректности по Адамару. Поэтому, рассматривая СИУ. мы нуждаемся в применении методов регуляризации, которые в нашем случае обычно заключаются в доопределении задачи и/или во введении регуляризирующих неизвестных. Для характеристического уравнения задача регуляризации решена полностью [103; 118; 120; 121, 7]. Подход предложенный для характеристического уравнения использовался и для регуляризации полного СИУ. Однако; это было возможно лишь при введении дополнительных излишне жестких ограничений. Эти ограничения вводились во всех известных автору работах по приближенному решению полных СИУ. Проверить их выполнение очень трудно. В [197, 135]. а также в первых двух главах диссертации указываются примеры полных СИУ; для которых такой подход регуляризации приводит к посторонним решениям. Методы регуляризации полного СИУ, снимающие эти ограничения; предложены в [135]. Они позволили нам построить и обосновать вычислительные схемы решения полных СИУ (см. главы I. И), которые нельзя было решить известными ранее математически обоснованными приближенными методами. К ним. в частности; относятся задачи решения полных СИУ попадающих на спектр. Суть этих методов регуляризации состоит в том, что решением или квазирешением 2 исследуемого полного уравнения считается функция; удовлетворяющая всегда однозначно разрешимой системе интегральных уравнений; которая получена из исходного СИУ путем доопределения и/или введения регуляризирующих неизвестных. Из решения этой системы интегральных уравнений по найденным значениям регуляризирующих неизвестных определяется: "разрешимо ли исходное СИУ ?" В случае, когда разрешимость исходного СИУ нарушена только за счет малой погрешности исходных данных; что соответствует малым значениям регуляризирующих неизвестных; полученное квазирешение будет мало отличаться от решения СИУ отвечающего неизвестным нам точным значениям исходных данных. Установленное нами свойство характеристического СИО переводить произведение весовой функции на многочлен (или обобщенный полином) в новый многочлен (или обобщенный полином) обеспечивает интерполяционную степень точности, рассматриваемым нами вычислительным схемам решения СИУ. Для обо

2если исходное СИУ не разрешимо

14 снования этих вычислительных схем для произвольных непрерывных по Гельдеру функций мы использовали вариант общей теории приближенных методов решения линейных уравнений Л.В.Канторовича, описанный в [175]. В [175] за приближенное решение линейного операторного уравнения

Ах = у (0.1) с оператором А непрерывно обратимым на паре банаховых пространств (X. У) принимается точное решение другого линейного уравнения

Ап хп = уп, (0.2) где. для каждого натурального п. оператор Ап действует на той же паре банаховых пространств (X. Y). причем, при п —»■ ос выполняются соотношения:

1) АпА:=\\Ап-А\\^0, (0.3)

2) А0:пу.= \\уп-у\\у-+0. (0.4)

В качестве уравнения (0.1) в нашем случае используется система интегральных уравнений. в которую перейдет исходное СИУ после его доопределения и регуляризации. А в качестве уравнения (0.2) мы используем систему, полученную из (0.1) после интерполяционной аппроксимации в ней правой части, регулярного ядра и искомого решения. Свойство СИО переводить многочлен в многочлен" позволяет рассматривать построенное нами операторное уравнение (0.2) на той же паре пространств, что и уравнение (0.1). При этом, соотношения (0.3) и (0.4) будут выполняться, если точки дискретизации выбраны так. что интерполяционные процессы, аппроксимирующие правую часть и регулярное ядро, будут сходиться для каждой непрервной по Гельдеру функции. Оценивая скорость сходимости приближенного решения к точному решению исходного СИУ в нормах пространства Z2 с весом и учитывая, что. при определенном выборе весовых функций, сингулярный интеграл ограничен в ¿2 с весом, нам удается применить к рассматриваемым схемам общую теорию приближенных методов, описанную в [175]. При этом точки дискретизации следует выбирать таким образом, чтобы произведение постоянной Лебега на наилучшее приближение исходных данных многочленами было бесконечно малым при бесконечном увеличении числа узлов дискретизации. Последнее заведомо будет выполняться, если в качестве точек дискретизации выбрать корни многочленов Чебышева 1-го рода. В последующих двух главах первого раздела диссертации рассматриваются прямые методы решения СИУ на отрезке и системе отрезков с разрывной правой частью, а также прямые методы решения сингулярных интегро-дифференциальных уравнений. Далее в главе 5 исследуются вопросы устойчивости полученных решений к малым изменениям исходных данных. В разделе 2 построенные вычислительные схемы применяются к решению задач аэродинамики и физики элементарных частиц. В § 0.1 рассмотрим примеры прикладных задач сводящихся к СИУ.

15

§ 0.1. О редукции задач математической физики к сингулярным интегральным уравнениям

Пристальный интерес к развитию численных методов решения СИУ объясняется широким кругом задач сводящихся к уравнениям такого вида. Хорошо известны сингулярные интегральные уравнения теории упругости носящие имена Н.И.Мусхелишвили. Д.И.Шермана. Дж.Лауричелли. Широк диапазон прикладных задач сводящихся к уравнению Прандтля. известного так же. как уравнение крыла самолета. Сингулярным интегральным уравнениям, сводящимся к задачам теории упругости, посвящены монографии Н.И.Мусхелишвили [145]. А.И.Каландия [73]. В.З.Партона и П.И.Перлина [151]. Многочисленные примеры прикладных задач аэродинамики, теории упругости, электродинамики и дифракции волн, решаемых методом СИУ. приводятся в монографиях С.М.Белоцерковского. И.К.Лифанова [16. 185] и С.М.Белоцерковского, М.И.Ништа [22]. В книгах И.К.Лифанова [99. 196] рассматриваются вопросы сведения краевых задач математической физики и некоторых прикладных областей к СИУ методом потенциала. В монографии авторов В.В. Панасюк. М.П.Саврук. А.П.Дацышин [148] к сингулярным интегральным уравнениям сводятся задачи теории упругости, теплопроводности и термоупругости для тел ослабленных системой трещин. Применению метода СИУ к задачам теории дифракции посвящены монографии авторов: В.В.Панасюк. М.П.Саврук. З.Т.Назарчук [149]. Е.В.Захаров. Ю.В.Пименов [68]. Д.Колтон. Кресс [80] с дополнением Ю.А.Еремина и Е.В.Захарова. Вопросы применения СИУ к задачам теории массового обслуживания обсуждаются в монографии Дж.Коэна и О.Боксмана [81]. В обзорной статье И.К.Лифанова и Е.Е.Тыртышникова [105] приводятся примеры прикладных задач сводящихся к СИУ и изучаются эффективные быстрые алгоритмы их решения, основанные на том. что квадратурные методы решения исследуемых уравнений приводят к системам с матрицами специального вида. Многочисленные примеры смешанных краевых задач теплопроводности, дифракции волн на решетках. задач электродинамики и электростатики сводящихся к СИУ на системе отрезков рассмотрены в работах Ю.В.Ганделя и его учеников [41. 42. 43. 45. 46; 47. 48]. Ниже приводится ряд конкретных примеров сведения теоретических и практических задач к линейным одномерным сингулярным интегральным уравнениям или к системам таких уравнений.

Плоские задачи аэродинамики. Как уже упоминалось во введении все важные с точки зрения аэродинамики характеристики крыльев большого удлинения вычисляются с помощью так называемой теории крыла бесконечного размаха или профиля. При моделировании обтекания профиля методом дискретных вихрей его поверхность заменяется непрерывным вихревым слоем неизвестной интенсивности. Задача сводится к нахождению такой интенсивности вихревого слоя, чтобы он индуцировал в окружающей среде поле скоростей равное полю индуцируемому обтекаемым профилем. Интенсивность находится из граничных условий, вид которых зависит от свойств обтекаемого профиля и исследуемого режима обтекания. При

16 меняя формулу Био-Савара из граничных условий получим СИУ

7Г J х — Хп J

7Г ^ X — Хо относительно искомой интенсивности вихревого слоя 7(ж). Задача обтекания тонкого непроницаемого профиля сводится к характеристическому сингулярному интегральному уравнению первого рода. т.е. а (х0) = М{х0, х) = 0;Ь(жо) = тг- Режимам бесциркуляционного, циркуляционного и безударного обтекания профиля отвечают решения СИУ индекса аэ = 0, аз = 1, ге — — 1 соответственно. Задача обтекания профиля у раздела сред приводит к полному СИУ первого рода. т.е. а(ж0) = О, М(х0. х) = х0 - х

2тг[(ж0-ж)2 + 16/г2] ! где к - расстояние от профиля до границы раздела сред. При рассмотрении профиля оснащенного закрылком и/или предкрылком правая часть СИУ будет иметь разрывы первого рода. Задача обтекания равномерно проницаемого тонкого профиля приводит нас к СИУ второго рода с коэффициентом при сингулярном интеграле равном единице, т.е. а(х0) ф 0. Ь(хо) = 1. В случае неравномерно проницаемого профиля искомая интенсивность 'у(х) находится из нелинейного СИУ вида

7,ж0) + / / м{х0,х)ф)(1х = ф{х0). X — Хо 7 -1 -1

Задача обтекания телесного непроницаемого профиля приводит к линейному СИУ второго рода с переменными коэффициентами у которого коэффициент при сингулярном интеграле является произвольной функцией непрерывной по Гельдеру на [-1.1]. В частности СИУ задачи обтекания симметричного телесного профиля имеет вид а(ж0)7(жо) + br(x0)bi(x0) Г 7(x)dx h(x0)

TT

X — Хо

7Г

J M(x0:x)-f{x)dx = Ь1{хо)ф1{хо), (0.1.1) где br(xо) - многочлен степени г ^ 0. а функция bi(xo) имеет конечное число нулей на [-1,1]. С применением прямых численных методов решения действительных СИУ, построенных в главах II и III, к описанным выше задачам аэродинамики можно познакомиться во втором разделе данной диссертации.

Смешанные краевые задачи математической физики, сводящиеся к СИУ на системе отрезков. В качестве примеров смешанных краевых задач для уравнений Лапласа сводящихся к СИУ на системе отрезков рассмотрим три краевые задачи [44]: задачу о стационарном распределении температур в однородной среде, двумерную задачу о стационарном распределении температуры в однородном слое между двумя параллельными плоскостями и двумерную задачу о стационарном распределении температуры в однородном слое ограниченном "двойной решеткой".

17

Задача о стационарном распределении температуры в однородной среде. Рассмотрим задачу о стационарном распределении температуры в однородной среде между двумя бесконечными коаксиальными цилиндрическими поверхностями в случае, когда на внешней поверхности и на части внутренней, состоящей из конечного числа продольных полос, поддерживается температура, а на оставшейся части внутренней поверхности задан тепловой поток.

Пусть оси цилиндров совпадают с осью г декартовой системы координат, а сечение плоскостью ХОУ - кольцо с внутренним радиусом Н\ и внешним Я2. Введем в плоскости сечения поляризованные координаты г. у. Внутренняя цилиндрическая поверхность разбивается на две системы продольных полос: г = Яи е Е*. -ос < 2 < +ос} и г = Я\. <р € Е. — ос < 2 < +ос} . где 7Г < «1 < /?! < . < ат < ¡Зт < 7Г

Е=и{ак,Рк), Е* к= 1

-7Г.7Г] \ Е.

Ограничиваясь случаем, когда температура не зависит от г. обозначим температурное поле между цилиндрами и = и(г.(р) . Я\ < г < Я2.

Для его определения в рассматриваемом случае имеем краевую задачу: Ли = 0 /?1 < г < Я2 О г = Я2 0 ,(р € Е* г = ЯХ п оддержи вается постоянная температура ди = /((¿?) ,<р € Е задан тепловой дг г = Я1 поток где / - заданная гладкая функция, а и = и(г. <р). ^ г ^ Я2 ищется в классе дважды непрерывно дифференцируемых внутри кольца и непрерывных до его границы функций.

Двумерная задача о стационарном распределении температуры в однородном слое между двумя параллельными плоскостями. К СИУ можно свести и ряд смешанных краевых задач в плоском слое в случае, когда искомое решение - переодическая функция одной из декартовых координат. Простейшей задачей такого типа является двумерная задача о стационарном распределении температуры в однородном слое между двумя параллельными плоскостями, когда на одной из них и на периодически повтояющейся системе полос второй граничной плоскости поддерживается заданная температура, а на оставшейся части границы задан тепловой поток. Для определения температурного поля и = и(х, г), —ос < х < ос. О ^ 2 ^ Н имеем такую краевую задачу:

19 т%

Ег = и Ы; Ргк) ; Е* = [-1Г, 7Г \ Ег , { = 1, 2; к=1 га к=1

7г < ац < (Зц < . < а,-т,- < Д-тг < п где при г — 1.2 /¿(ж) £ Ei - заданные гладкие функции.

Методы решения краевых задач такого вида для уравнений Лапласа и Гельмголь-ца путем сведения их к парным уравнениям, которые в свою очередь редуцируются к СИУ на системе отрезков активно развиваются в Харьковском университете. Возможность сведения парных уравнений к СИУ на системе отрезков обосновано Ю.В.Ганделем в [49]. Корректная постановка задачи решения СИУ на системе отрезков дается нами в главе I. а численные методы решения таких уравнений строятся в главе III. смотри также [103].

Задача квантовой теории поля. В качестве примера задачи квантовой теории поля рассмотрим процесс фоторождения ж -мезонов на нуклонах [122]. Ограничиваясь областью малых энергий и определяя амплитуду мезон-нуклонного рассеяния из соответствующих дисперсионных соотношений, для амплитуды фоторождения 7Г -мезонов на нуклонах у%{х) г = 1.2. 3 получим систему СИУ специального вида где а,-(ж). Ьг(х). Мг](хо. х) и ф{(ж) - известные функции характеризующие процесс рассеяния. Численное решение данной системы уравнений обсуждается во втором разделе диссертации.

Краевые задачи теории переноса лучистой энергии [3, 4]. Прежде чем приступить к обсуждению подходов редукции задач теории переноса нейтронов. 7 - квантов и т.п. к СИУ. выпишем простейшую краевую задачу теории переноса нейтронов в плоской геометрии. Плоская стационарная задача об облучении бесконечно длинной пластины а ^ х ^ Ь толщиной (Ь — а). Ь. а £ Л : а < Ь в плоскости 0ху поверхностными источниками нейтронов, расположенными слева и справа от пластины, приводит к интегро-дифференциальному уравнению 1.2.3, х0е{-1:р),

0.1.2)

-1

0 < с < 1 . -1 < ¡л < 1 в плоском слое а < х < Ъ с граничными условиями ф{а.ц) =/+{ц), ц> 0 = ¡'{¡л). ц < 0

0.1.3)

0.1.4)

20 где ф(х.ц) - искомая плотность нейтронов в точке х £ (а.Ь) летящих под углом ip = arceos ¡jl с направлением оси Ох. параметр с характеризует рассеивающие свойства среды, т.е. считается, что нейтроны в процессе движения испытывают столкновения с ядрами среды, поглощаясь с вероятность (1-е) и рассеиваясь с вероятностью с на каждом акте столкновения. Известные функции f^(¡J.) характеризуют плотности излучения поверхностных источников нейтронов. При этом знак "+" указывает на источник расположенный слева, а знак " — на источник расположенный справа от излучаемой пластины. Тот факт, что ряд задач теории переноса нейтронов, 7 -квантов и т.п. может быть сведен к решению СИУ, известен сравнительно давно. По-видимому, впервые редукция краевой задачи теории переноса к СИУ была осуществлена в конце 40-х годов в работах В.В.Соболева, посвященных исследованию явлений переноса излучения в атмосферах звезд и планет [167]. Однако сформулированные В.В.Соболевым т.н. линейные интегральные уравнения для коэффициентов яркости долгое время оставались, по-видимому, неизвестными широкому кругу специалистов по теории переноса нейтронов. Более широкую известность в теории переноса нейтронов приобрел метод К.М.Кейза редукции к СИУ. сформулированный в 1960 г. [78]. Метод К.М.Кейза представляет собой разновидность метода Фурье разделения переменных, когда решение краевой задачи ищется в виде суперпозиции частных решений соответствующего уравнения переноса нейтронов с неопределенными коэффициентами, к задаче определения которых и редуцируется исходная краевая задача. Согласно методу К.М.Кейза коэффициенты определяются из решения СИУ с отрицательным индексом, которое по существу является союзным к СИУ, полученному В.В.Соболевым. Так, например, для сформулированной нами плоской стационарной задачи об облучении протяженной пластины заданным потоком нейтронов метод К.М.Кейза заключается в том. что решение краевой задачи (0.1.2). (0.1.3), (0.1.4) будем искать в виде х—а Ъ—х 1 ф(х,ц) = а+Ф+(ц) е +а~Ф~(ц) е + / А+{и) Ф(/л/л) е'4^du+ о о J А~ {и) Ф(и. ц)

-1 суперпозиции элементарных решений с неизвестными коэффициентами A±(i/). где vQ - известный параметр и0 ^ (—1,1), а Ф±(и.ц) - известные функции. Подставляя выписанное выражение для решения в граничные условия (0.1.3).(0.1.4) получим два независимых СИУ:

О ^ О где \{ц) := 1 - f jf = 1 - f ln g,' индекс СИУ ж = -1. а точки 0 и 1 являются особенными узлами (см. определение особенных узлов в § 0.2).

22

СИУ типа уравнений В.В.Соболева естественным образом возникают путем редукции краевых задач теории переноса нейтронов к решению соответствующих граничных интегральных уравнений для плотности нейтронов по границе раздела однородных подобластей. Так. например, для сформулированной нами краевой задачи теории переноса (0.1.2). (0.1.3). (0.1.4) СИУ уравнение В.В.Соболева имеет вид

АН »/ ф{и) + у / * У ^ + / К(и,ц) 1Л ф = ¡(и), V = (0.1). (0.1.5)

О У ^ о К уравнению (0.1.5) индекса ге = 1 следует добавить условие 1

I К(и,ц) цф(ц) ац = С, (0.1.6) 0 где А(г/) = 1 — у 1п а точки 0 и 1 являются точками автоматической ограниченности.

Вопросы решения краевых задач теории переноса нейтронов путем редукции их к сингулярным интегральным уравнениям достаточно подробно изложены в наших заметках [3. 4].

Задача о давлении жесткого штампа на упругую полуплоскость. Пусть контур жесткого штампа вдавленного в упругую полуплоскость у < 0. имеет уравнение у = /(ж) при |ж| ^ а. а участники границы \х\> а свободны от напряжений. Пусть, кроме, штамп вдавлен силами нормальными к его границе. Тогда поле напряжений в полуплоскости определяется из следующего сингулярного интегрального уравнения [69]

1 [ = 2сх

7Г ] 1-й С2 + 1 а где to € {а-Ь). а С\ и с2 - упругие постоянные полуплоскости у < 0. Аналогично строится сингулярное интегральное уравнение в случае, когда на плоскость давит несколько штампов. В монографии [99] задача о вдавливании равномерно движущегося штампа в упругую полуплоскость с учетом тепловыделения сводится к системе двух сингулярных интегральных уравнений первого и второго рода с постоянными коэффициентами. В [99] также выписано СИУ первого рода к которому сводится задача о вдавливании пары равномерно движущихся штампов в упругую полосу.

Смешанная задача теории упругости. Пусть плоская, вообще говоря, многосвязная область, ограниченная гладким контуром Ь. заполнена упругой средой. И пусть на одной части контура Ь\ заданы смещения, а на другой Ь — заданы силы, действующие на среду этой области. Тогда задача об определении напряжений в такой среде сводится к нахождению функции Гурса являющейся решением

СИУ [69] ттг 3 г — ¿о

23 где t0 G I, C2 - упругая постоянная, а правая часть Ф(^о) - известное интегральное выражение содержащее под знаками интегралов неизвестную функцию <p(t). Однако ядра этих интегралов могут иметь только слабую особенность. Таким образом данная смешанная задача теории упругости сводится к полному СИУ по границе области L. Корректная постановка задачи и вычислительная схема решения полного комплексного СИУ на произвольной кусочно-гладкой кривой L рассматривается в главе I настоящей диссертации.