Прямые методы решения линейных интегральных уравнений с частными операторами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

1 о э. г

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИШМ'СИТГ г

11а 11[>;пшх р \ киши к

САТТЛРОНА ЛЯЛЯ ГУММ'ОПНЛ

ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

1)1. 01. 01—математический акали,:

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математи ческих наук

КАЗАНЬ 191)2

Диссертация выполнена на кафедр.; математического анализа Казанского ордена Трудового Красного Знамени государственного педагогического института

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Б.Г.Габдуахаев Официальные оппононты: доктор физико-математических

Подущая организация: Белорусский государственный

университет

и 1 1 часов на заседании специализированного Совет<1 по математике М" К 033.20.05 Казанского государственного университета им.В.И.Ульянова-Ленина по адресу: 420008, 1.Казань, ул.Ленина, 18, корпус 2, ауд.217.

Г диссертацией можно ознакомиться в научной библпог по Vпиве неитога (г.Казань. уп.ЛенинаЛ 8}.

наук, про^юссор Л.И.Ч1Шрнкови, кандидат физико-математических наук, доцент Н.Я.Тихоненко

Ученый секретарь 1:11ец »лг.» и и зп рованн ого Сов< профессор

Б.Н.ШАПУКОВ

W.

0В11АЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми. Многочисленные теоретические и прикладные аядаччг математической физики, квантовой механики, теории упругости, гидромеханики, аэродинамики приводят к необходимости рш9ппя интеграличлс уравнений с частники интеграль-жл.'к сперяторяш. Teopsm -аких уравнений посвящены работп многих аЕторгп. Так, •.•глр'лиет.. линейные интегральные уравнения с чтсими* ас}:"г->гуг i. v;hv i-родгольма изучали Fenyö S , Лгч-?- ..nr.cn 4 •'.'., г п ■ , ловалсшко Н.В., Тпвиишзнлдо С.;-. , Урч*!. ".пя о тинтегралами и ядрами типа свертки чсуч^ли "••.г-зру Н. '•*. . in-р А., Симоненко И.Б., Коваленко Н.В. и .¡д.,. Ш*' п—.т»'-:- -fp'tt-;. .-п|я с частныш операторами с порылэн-пер>пнет '¡р-п.-.:-.-»-егрирования исследовали Вольтерра В., ГУрса 3., Г., 'fhuya Ü.H. и другие.

Из указанных работ следует, что интегральные уравнения с частными операторами точно (т.е. в замкнутом виде) решаются лишь в редких случаях.Поэтому как для теории, так и для приложений большое значение имеет разработка приближенных методов решения таких уравнений с соответствующим теоретическим обоснованием. Некоторые результаты в этой области получены в работах Окоделова О.П., Полякова Р.В., Тивончука В.И., Морозовой JI.JI., Габдулхаева Б.Г., Ахметова С.М., Касьянова В.И., Lenkart Uwe и др. Однако, несмотря на сказанное, в этой области остается все еще много нерешенных задач. Настоящая диссертация d некоторой степени восполняет этот пробел, решение в работе задачи входят в план научных исследований кафедры теории функций и приближений Казанского университета (7 регистрации - сГ86(Я20-'г£Л

Цель рзботы: разработка и теоретическое обоснование прямых и а];оек!!iс,ч;Ti-'х "г годов рс«гоквк лтяге '••ннх интегральнътх ; nar-rr.-HH.'i с частными инт«»' с,кт;-тгоргл;;:.

Методика исследований, дывод и обоснование полученных в работе результатов основывается на конструктивной теории фушс-' ни'), ь том числе теории сплайнов, на общей теории приближенных методой анализа к линелисм функциональном анализе.

Научная новизна проведенных в диссертации исследований заключается в следующем: разработаны и теоретически обоснованы вычислительные схемы прямых и проекционных методов решения двумерных линеяних интегральных уравнений с частными интегральными операторами, ¿ля практической реализации полученных в диссертации результатов предложены и обоснованы также схемы аппроксимативно-итеративных методов решения указанных уравнений.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в,ней результаты могут быть применены при дальнейшем развитии методов решения интегральных уравнений с частными операторами. Они могут быть применены также при решении конкретных прикладных задач, сводящихся к таким уравнениям.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научно.': конференции молодых ученых и специалистов Казанского педагогического института (1990 г.), на Всесоюзной Школе по теории функций и приближений (Саратов, 1990 г.),- на Республиканской научно-технической конференции "Интегральные уравнения в прикладном моделировании" (Одесса, 1989 г.), на Республиканской научной конференции."Экстремальные задачи теории приближения и их приложегая" (Киев, 1990 г.), на Всесоюзном симпозиуме "Метод дискретных особенностей в" задачах математической физики" (Одесса, 1991 г.), на Международной научной конференции "Лобачевский и современная геометрия" (Казань, [99.? г. 'Кроме того, результаты работы, по мере их получения, докладывались на наусих семинарах 1»'идри -и-ории фикций и г.риближе-

кий Казанского университета (1989 - 1992 гг.) и на итоговых научных конференциях Казанского университета (1909 - 1991 гг.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в семи работах автора, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двенадцати параграфов и списка литературы, она изложена на [3'-' страницах машинописного текста, список литературы насчитывает 8? наименований.

1РАТКОЕ СОДЙЗШШ РАБОТЫ

Во введении охарактеризованы актуальность темы, теоретическая и практическая значимость исследования, цель работы, приводится краткий обзор работ, примыкающих к теме диссертант,, и излагается краткое содержание полученных автором результатов.

3 первом параграфе ставится задача решения двумерного линейного интегрального уравнения вида

} 1

■. *■е

(а,* ц -00<C<A<00),

V

где - известные числовые параметры, - извест-

ные функции, а - искомая функция. Здесь яе рассматри-

ваются условия ограниченности оператора Т , определенного .левой частью уравнения (.1), в функциональных пространствах 1а=Ц[о.)6;с,с1] и С =С [а-,6 ; с,с1] , а также 'приводятся необходимые для дальнейшего исследования вспомогательные оезультата из теории приближения ■йуннцил полиномами и сплайнами, из об^еп тео-

рии приближенных методов анализа, а также некоторые результаты на линейного функционального анализа.

Во втором параграфе предлагается общий проекционный метод решения уравнения II) и дается теоретическое обоснование. Под теоретическим обоснованием всюду ъ диссертации понимается^»*?) следующий круг вопросов:

а1 установление осуществимости алгоритма; б) доказательство теорем существования и единственности приближенного решения; iO доказательство сходимости приближенных решений к точному и установление скорости сходимости; г) установление оценок погрешности приближенных реаекий; д) исследование устойчивости и обусловленности приближенных методов.

Приведем описание этого метода. Пусть X 311_г . Запишем уравнение (I) в операторной форме

T^I-K^I-AK^-vK/H-f (4,-fcX), <.2

где I - единичный оператор в Lt . Обозначим через подпространство всех алгебраических многочленов от двух- переменных вида

П. ITU

ц«о j»0

где Хг(н) - многочлены Лежавдра степени г по переменной Z , Пусть ~ множество всех аддитивных и однородных ,

проекционных (Р^ = Р^) операторов, отображающих X в Х^ .

1, Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ.-И.: Наукг 1984.-752 с.

2. Габдулхаев Б.Р. Оптимальные аппроксимации решений линейных зг дач. - Казань: оазан. ун-т, 1930.-23Л с.

Обозначим через ?гил= | с класс операторов, огра-

ниченных из в , т»е« Р^ > Юи, -ОЮ-

Приближенное решение ^ £ Хпт .уравнения (I) опреде-

ляем как точное решение следующего операторного уравнения:

Ясно, что уравнение (4) эквивалентно системе ( П. + 1 )(-т. + 1) линейных алгебраических уравнений (л.а.у.) относительно кооффици-ентов многочлена (3).

В этом параграфе доказано, что при некоторых условиях, накладываемых на элементы уравнения (I), как точное уравнение (I) так и соответствующее ему приближенное уравнение (4) имеют единственные решения соответственно Ч е X и ^т, ПРИ любых правых частях |еХ и ' Доказано Так" же, что приближенные решения ^п««, сходятся к точному решению Ч* уравнения (I) в среднем со скоростью

где ЕЛ(Ч ЦЕ^Т)-частное наилучшее среднехвадратическое приближение функции Ч*€ 1_г алгебраическим! многочленами степени п-(т) по переменной х. (соответственно ^ ). Здесь и далее под !|' В понимается обычная норма в пространстве -

^[>,6; с,с1]. .

Оценка (5) позволяет установить скорость сходимости общего . проекционного метода (Г) - (4) в зависимости от структурных свойств коэффициентов исходного уравнения (I). В частности, показано, что, если ццра , и правая часть | уразнения (I) такоЕы, что точное решение ^'(з:,^) имеет г-1 непрерывных ч ют-ннх производных по х (равномерно относительно ^ ) и (.-1

непрерывных частных производных по (равномерно относительно х ) причем г - с производные по х и I - о производные по у квадратично-суммируемы в области с,с1] , то скорость сходимости метода оценивается соотношением

и'-ГмЛ-ок*--4)-

И свою очередь, ота огеика позволила нам доказать равномерную сходимость метод,а СП - (4) со скоростью

ч. ! а

если только а хт.и г>2.,.1>2 •

Следует отметить, что предложенная в этом параграфе общая охо?,¡а исследования общего проекционного метода (I) - (4) использо-панл Hai.ni при теоретическом обосновании конкретных проекционных методов решения уравнения (I) и его аналогов, причем 1.ами методы являются как полиномиальными, так и сплайновыми.

Третям параграф посвящен исследованию метода наименьших квадратов (м.н.к.) решения уравнения II). Здесь приближенные решения ниуг:я я шде полиномов или ~-:е сплайнов (нулевой и первой степеней). Обоснование этого метода в ряде частных случаев можно полу-чигь из результатов §2. Однако, общие результаты Михлина С.Г1" ) и Г'лбдулхаева Б.Г.С^по м.н.к. позволяют обосновать этот метод для уравнения (I) в более общем случае.

Согласно м.н.к. приближенные решения уравнения (I; лцутся в виде (3), а неизвестные коэффициенты (к-0,*п., ]» О,т.) определяются из условия минимальности функционала I! { "ТЧ^И* Обоснование указанного метода проведено в случае, когда ядра 6, £ Д таковы, что оператор К является ограниченным из в

3. ;.1;:хлин С.Г. Оариагионпне методы в математической Сизяке.-'.:

_ о ..

1_ . Эго означает, что ядрг могут быть и елябосингуляршми,

-г.

например, они могут иметь вид

где - непрерывные функции своих аргументов, а

Использование двумерных сплайнов нулевой и первой степеней в построении приближенных решений уравнения (I) позволяет получить разреженную матрицу м.н.к., однако здесь порядок сходимости метода но может быть лучше ^—» где ъ ~ степе11Ь

аппроксимирующего сплайна.

В четвертом параграфе дана и теоретически обоснована вычислительная схема метода сплайн-коллокаций решения уравнения (I) в случае малых параметров . Приближенные решения ищут-

ся в виде двумерных сплайнов нулевой, первой и третьей степеней. Оценки погрешности установлены в терминах частных наилучших равномерных приближений одномерными сплайнами степени г на соответствующих одномерных сетках узлов. Эти оценки и известные результаты по теории* сплайнов позволяют исследовать скорость сходимости метода в зависимости от структурных свойств исходных данных. В частности, показано, что в связи с насыщаемостью сплайн-методов, максимальный порядок сходимости при применении бикубических сплайнов равен 0(|АаГ+ И^Г) , где 1^1(11^11) -норма сетки по переменной хе [сь,Ь] (^е

В пятом параграфе исследуется метод полиномиальной коллока-ции решения уравнения (I). Преимуществом этого метода в отличие от метода сплайн-коллокаций, рассмотренного в предыдущем параграфе, является то, что он не обладает свойством насыщаемости и улучшение структур:!^- •"•эойств исход»ж даншпс роде? к погсоошл»

порядка сходимости метода. Обоснование метода коллокаций проводится в пространстве квадратично-суммируемых функций. Из сходимости и среднем как следствие выводится равномерная сходимость.

Применение рассмотренных в предыдущих параграфах прямых методов к решению уравнения (I) приводит к необходимости вычисления значительного количества интегралов, которые, в свою очередь, на практике вычисляются в редких случаях, поэтому в общем случае необходимо их приближенное вычисление. Поэтому с вычислительной точки зрения наиболее просто реализуемым методом является квадратурно-кубатурный метод (к.к.м.), основанный на замене входящих в уравнение интегралов некоторыми сходящимися квадратурным! и кубатурными формулами. Этот метод подробно исследуется в местом параграфе диссертации.

Е. уравнении (I) частные интегралы заменим квадратурными формулами Гаусса по переметим соответственно £ и , а двойной интеграл - кубатурной формулой Гаусса, основанной на повторном применении одномерных формул Гаусса. Известно, что узлами Гаусса хге [а.,6] (г-ойь), [е.,А] (объявляются корни полиномов Летандра Х11м(х) • й Хт^ степеней п+1 и т.+1 соответственно. Отбросив соответствующие остаточные члены, для нахождения приближенных значений искомой функций

в УЗЛ0Вьк точках г-о~И , Ь^оТт, , прихо- .

дим к системе (п,+4)(пп+1) л.а.у.'

1*0 р.о

где А^.Бр - коя"усициепти фор.гул Гаусса, а Сг1 ^ Н (х. .

Приближенное решение _ ( исходного .уравнения(I )

восстановим в виде двойного аиубраичнекого многочлена Лагранжа

Ч* /^ufff'-JMÎiM_, /•

t»0 l"0

где £ C^J ~ решение системы (6).

Обоснование рассматриваемой схемы к.к.м. (I), (6), (7) проводится в пространстве квадратично-суммируемых функций и при достаточной гладкости коэффициентов исходного уравнения выводится равномерная сходимость метода и устанавливается эффективная оценка погрешности. При обосновании метода существенно использованы результаты предыдущего параграфа.

• Для иллюстрации приведем лишь следующий результат Т е о р е м.а^б.2. Пусть выполнены условия:

а) М^Ч»*) » ^»С^'У'Ч)» ^.С36^'*»^'4 i*»^) " непрерывные функции своих аргументов в соответствующих областях,

б) оператор T'L-i La линейно обратим,

В) Д./* И Ul((.b-a)lli,l6+((i-fi)HJ6)<1

, причем

функции 1ц и ^ и числа п. и m. таковы, что Uvn Е* (ij ''Un 53 tira E^(lt) =0,

П.-УОО оо

pa-»OQ !»V-»00

где

'- частное наилучшее равномерное приближение ФУНКЦИИ по переменной 1 алгебраическими много-

членами степени не выше n, , Е^ - определяется анало-

гично.

Тогда при всех достаточно больших лит, система (б) имеет единственное решение Сх1 (г- Ôjrl, ¡, = Ô~trt) и приближенные решения (7) сходятся п среднем к точному решению Ч* уравнения (I) с определенной скоростью .

р и0-г> ' I

Если жо в условиях теоремы Ь.'4. п ^ ^ , ч, £ п^ ^ ^ , МН^До^^^;1 (^>0,0^1). ТО при а^*^ Чпт.-* Ч** в среднем со скоростью

из которой, в свою очередь, следует равномерная сходимость метода при г+оЬ2,£+^>2 со скоростью

В седьмом параграфе проводится обоснование в пространстве методов Гале рюша и коллокаций решения одного,интересного на наш взгляд, частного вида уравнения (I), когда параметры Л,у«', V могут быть произвольными, но связанными соотношением V " . а двумерный оператор К, является произведением частных опрераторов К, и , т.е. К,=.К,/1С, (К,1=1 К^*Ка) . Однако, здесь на ядро оператора К^(К^)приходится накладывать

более жесткие условия, но при этом ядро оператора К^К,) в

*

значительной мере остается произвольным.

В восьмом параграфе обосновывается метод Галеркина и м.н.к. решения уравнения (I), когда оператор Т .определенный левой частью уравнения, является положительно определенным.Обоснование такке проводится в пространстве ,при этом на коэффициенты уравнения накладьпзаюся минимальные ограничения.

В девятом параграфе предложены аналитические и приближенные методы исследования полного линейного интегрального уравнения вида

. «* а

0 о

1Т 1ТС

(в)

I) о

с разностными ядрами, где

известные ¿X - периодические функции своих аргументов, а Ч (х,^- искомая функция.

Здесь найдено достаточное условие существования непрерывного обратного оператора Т * к оператору Т: ^(С0,^]^^^,!^ определенного левой частью уравнения (8), и установлена его структура. Пусть, например, выполняется условие

1-е.(1„)-С](1.) -* о (с0=о,±1 - г,...),

где СК(1Д СД^), - коэффициенты ^ье в комплекс-

ной форме указанных функций. Тогда существует Т '• [.^[О. Ц[0,и он выратается в виде

П-ГГ_

причем

||Т'М| < _1___

Используя этот результат, в этом параграфе приводятся также способы обоснования приближенного решения уравнения (8) методами Галеркина и коллокаций и дано их теоретическое обоснование, в указанном выше смысле.

. В десятом параграфе исследуются вопросы устойчивости решений точного уравнения (I) и прямых приближенных методов его решения, рассмотренных вше. Здесь же исследуются также вопросы обусловленности прямых методов решения уравнения (I). Показано, что решение уравнения (I) устойчиво и что в условиях дабой из теорем §§2-9 общий проекционный метод и методы коллокаций, наименьших квадратов, Галеркина, квадратурно-кубатурние методы устойчивы относительно малых возцущений элементов приближающих уравнений. Здесь же показано, что если точное уравнение хорошо

обусловлено, то в условиях теорем 2.2, 2.3, 5.2, 5.3, 6.2, 6.3, 9.1 - 9.4 хорошо обусловленными являются также соответствующие приближенные уравнения.

В одиннадцатом параграфе приведены вычислительные схемы и доказана сходимость аппроксимативно-итеративных методов (а.и.м. решения уравнени (I). Предложена вычислительная схема и проведено теоретическое обоснование одного из важнейших частных случаев а.и.м. - метода уточняющих итераций для уравнения (I), основанного на аппроксимации ядер частных интегральных операторов вырожденными. Кроме того, предложена удобная в практическом применении схема кубатурно-итерационного метода решения уравнения (I) и проведено обоснование.

В двенадцатом параграфе приводятся некоторые замечания и дополнения. В частности,, здесь отмечается, что результаты предыдущих параграфов остаются в силе для уравнени! зщв. (I) о периодическими коэффициентами, а также для двумерных- линейных интегральных уравнений с частными операторами с переменными верхними пределами (результаты в этих случаях несколько упрощаются и усиливаются). .

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Предложен общий проекционный метод решения двумерных линейных интегральных уравнений с частными интегральными операторами и дано его теоретическое обоснование. На основе этого результата проведено обоснование полиномиальных и ■ онлайновых методов наименьших квадратов, Галеркина и коллокаций,

2. Предложена вычислительная схема квадратурно-кубатурного метода решения двумерных интегральных уравнений с частными интегральными операторами и установлено ее теоретическое обоснование. Установлено также обоснование кубатурно-итерационного

- 15 -

метода решешя указанных уравК ий.

Ъ. Предложены-и обоснованы аналитические и пьиблихщшпле методы решешя двумерных интегральных уравнении с частными интегральными операторами, порожденные разностными перио;. ческиыи ядрами.

4. Дано теоретическое обоснование проекциоино-итеративних методов решения двумерных линейных ингагралыш:: уравнений с частными шггзгралышми onepaTopaj.ni.

В заключение автор вкатает искреннюю признательность своему научному руководителю профессору Билсуру Г'абдулхаеяичу Габдулхаову за постановку задач и постоянное внимание хс работе.

По результатам диссертации опубликованы следую'дие -работы:

Х.Саттарова Л.Г. О приближенном решении линейных интегралышх уравнений о частными операторами методами наименьших квадратов и Галеркина// Казан, пед. ин-т.- Казань, 1У90.-ЗТс.-Деп. в ВИНИТИ 24.04.90, Р 2210-В90.

2. Саттарова Л.Г. Коллокационные методы решения линейных интегральных уравнений с частными операторами// Казан, пед. ин-т.-. Казань, 1990.-2бс.-Деп. в ВИНИТИ 26.07.90, 1.°-42Ь7-В90.

3. Саттарова Л.Г. Конечномерные приближения решений линейных интегральных уравнений с частными операторами//Тр.Саратов. зимней Школы по теории функций и приближений,1990.-Саратов; Изд-во Сарат. ун-та, 1992.

4. Саттарова Л.Г. К численному решению двумерных линейных интегральных уравнений с частными операторами квадратурно-ку-батурным методом// Казан, пед. йн-т,- Казань, 199[.-Т6с.-Деп. в ВИНИТИ 05.04.91, В? 1472-В91.

5. Саттарова Л. Г. О коллокационных методах и квадратурно-кубатурном методе решешя двумерных лине ¡и ¡их интегральных уравнений с частными операторами// Казан.пед.ин-т,- Казань,

1991.- 19с.- Дел. в ВИНИТИ 05.04.91, Р 1473-В91.

6. Саттарова Л. Г. Метод уточняющих итераций решения двумерных линейных интегральных уравнений с частными операторами/ Казан, пед. ин-т.-Казань,1991.- 14с.- Деп. в ВИНИТИ 18.04.91, '¡п 1640-ВЭ1.

7. Саттарова Л. Г. Метод Галеркина решения линейк гх интегральных уравнений с частными операторами//Метод дискретных особенностей в задачах математической физикм, Т991.- Одесса: Изд-во 01У.