Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений на гладких замкнутых контурах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

й О»

!г[0'\\ ^593 ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР МГУ

На правах рукописи

ИБРАХИМ АБДЕЛЬХАЙ АХМЕД ЭЛАВАДИ

ГГРШЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ГЛАДКИХ ЗАМКНУТЫХ КОНТУРАХ

(01.01.07 - вычислительная математика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на Соискании ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1983

Работа выполнена в государственном университете Молдовы

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Золотаревский В.А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, с.н.с. Гребенников А.И. Кандидат физико-математических наук, с.н.с. Матвеев А.Ф.

Ведущая организация: Одесский госуниверситет

Защита состоится "/о" Ш-О'НлР 1993г. в ' часов

на заседании специализированного совета (шифр /\, с 5 Л У)

при научно-исследовательском вычислительном центре МГУ по * адресу: 119899, Москва, Ленинские Горы, ИИ ВЦ МГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке НИ ВЦ МГУ."

Автореферат разослан "_"___1993г.

Ученый секретарь сшциализированного совета

канд.физ.-мат.наук,с.н.с.

^^^"^Киоса М.Н./

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Хорошо известно, что сингулярные

интегральные уравнения (кратко СИУ) и системы таких уравнения моделируют многочисленные прикладные задачи во многих областях естествознания, в том числе в математической физике, механике, аэродинамике, теории массового обслуживания, теории автоматического управления и др..

Как указано в монографиях Н.И. Мусхелишвили, Ф.Д. Гахова, Н.П. Векуа, в которых разработана теория СИУ и систем СИУ, точное решение этих уравнений удается найти лишь в редких частных случаях, причем, даже в этих случаях нахождение точного решения требует неоднократного вычисления сингулярных • интегралов, что сопряжено с большими теоретическими и вычислительными трудностями. Поэтому представляется актуальным проблема разработки различных приближенных методов репгёния СИУ и их систем.с соответствующим теоретическим обоснованием.

К настоящему времени для приближенного решения СИУ и их систем^ созданы' многочисленные методы, среда них прямые, которые получили строгое теоретическое обоснованна в различных функциональных пространствах. Эти исследования получили свое развитие, благодаря работам В.В. Иванова, Б.Г. Габдул-хаева, И.К. Лифанова, Г.М. Вашшкко, С.М. Белоцерковского, H.H. Тихоненко, В.А. Золотаревского, А.Ф. Матвеева, В.Д; Ди-данко, A.B. Джишкариани, Б.И. Мусаева, В.Н. Сейчука, В.П. Ка-душина, З.Пресдорфа, Б. Зильбермана, Д. Эллиот и др. Результаты в этом направлении относятся, в своей основной части, к разработке и теоретическому обоснованию прямых методов решения 'СИУ и их систем в том случае, когда уравнения заданы на стандартном контуре (либо единичная окружность, либо отрезок вещественной оси, либо вся числовая ось).Случая, когда контур, на котором заданы уравнения, отличен от стандартного, относится к мало исследованной области приближенных методов решения СИУ и требует своего дальнейшего развития. Отметим здесь недавно появившиеся исследования В.'А. Золотаревского, А.Ф. Матвеева, В.Н. Сейчука, У. Зизки, E.H. Шпигеля, 3. Прес-

дорфа, в которых обосновывались прямые методы (коллокаций, механических квадратур, сплайнов) для СИУ, заданных на замкнутых контурах определенной гладкости. При зтом обоснование методов проводилось при весьма жестких ограничениях на узлы дискретизации (В.А. Золотаревский, 3. Пресдорф) либо при дополнительных ограничениях на гладкость контура интегрирования (Матвеев А.Ф., Сейчук В.Н., У. Зизки, Е.М. Шпигель).'

Заметим, что попытка срести уравнения с произвольного контура на стандартный с тем, чтобы затем воспользоваться полученными ранее результатами по теоретическому обоснованию прямых методов, не решает задачу, а лишь усугубляет ее. Так, если от СИУ, заданного, например, на замкнутом гладком контуре, перейти с помощью функции Римана на единичную окружность, то при таком подходе возникают различные трудности как теоретического, так и практического характера. Перечислим некоторые из них.

1. Коэффициенты, ядро и правая часть преобразованного уравнения теряют свою гладкость; уже в случае лялуновского контура порядок их диффоренцируемоста уменьшается до единицы.

2. Появляется новое ядро

у'(п) х

такое, что интегральный оператор, определяемый этим ядром, в случае, когда контур г является ляпуновским (с показателем гладкости, равным м (о < ^ < и) переводит класс н^ в нй, где & - . Таким образом, в оценках скорости сходимости

будет участвовать показатель н и поэтому эти оценки будут всегда "связаны" с конкретным фиксированным контуром. Если же г входит в более широкий,- нежели ляпуповский класс контуров (не являясь ляпуновским), то интегральный оператор с ядром (I), вообще говоря, нарушает непрерывность функция и, следовательно, применять известные ранее результаты по обоснованию прямых методов решения СИУ, заданных на единичной окружности , не представляется возможным.

3. Из-за наличия разрыва у ядра к метод механичес-

ких квадратур непосредственно применять нельзя.

4. Вычислительные схемы методов содержат функцию Римана, нахождение которой сводится к решению нелинейного СИУ сложного вида. Поэтому такие вычислительные схемы на практике почти не используются.

Цель работы. Разработка и теоретическое обоснование

прямых методов решения СИУ, систем СИУ, СИУ со сдвигом и других классов СИУ в случае, когда уравнения заданы на произвольном замкнутом гладком контуре и рассмотрены в шкале гельдеровых пространств, а также в Лебеговских пространствах ■ Исследован весьма широкий класс точек дискретизации уравнений, составляющий множество семейств равнораспределен- ' ных точек на контуре.

Методика исследования. При выводе и обосновании полученных результатов в диссертации применяются эффективные современные метода из различных разделов теории функций вещественного и.комплексного переменных и функциональных уравнения, в том числе конструктивной теории функций, теории СИУ и краевых задач ТФКП. При этом существенным моментом является построение автором специальных элементов теории приближения фуннциз,-заданных на замкнутых гладких контурах в пространстве непрерывных функций, в гельдеровских пространствах и их обобщения,

а также в ь .

р

Научная новизна состоит в том, что до работ автора

диссертации, исследование численных методов решения сингулярных интегральных уравнений проводилось в случае, когда уравнения заданы на стандартном контуре (единичная окружность, отрезок вещественной оси или вся числовая ось); случай других контуров оставался, и основном, не исследованным.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты и метода диссоргации могут найти применение в общей теории прибли-

женных методов, в частности,' в численном анализа и при решений конкретных прикладных задач из указанных выше областей естествознания.

Аппробация работы. Основные результаьы работы докладывались на следующих семинарах и конференциях:

- семинар "Теория аппроксимации и приложения" кафедры численных методов и оптимизации университета Молдовы.

- семинар "Современные методы численного анализа" при НИ ВЦ МГУ.

•- Всесоюзный симпозиум "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики", Одесса, сентябрь, 1991.

- Республиканская научно-методическая конференция, посвященная 200-летию со дня рождения Н.И. Лобачевского; Одесса, сентябрь, 1992.

- Конференция математиков Беларуси, Гродно, • сентябрь-октябрь, 1992.

- Научная конференция профессорско-преподавательского состава госуниверситета Молдовы, Кишинев, январь,. 1993.

Публикации. Основные результаты- диссертации опубликованы

в 7 статьях автора. Результаты совместных работ принадлежат авторам-в равной мере.

Структура и, объем работы. Диссертация состоит, из- введения, трех глав, разбитых на- 10 параграфов,, принижений с численными результатами и списка литературы.

Общий объем работы - 136 страниц машинописного текста.

СОДЕРВДИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Перейдем теперь к более детальному описанию результатов диссертации.

Во введении обосновывается тема исследования, приводится

обзор содоркания диссертации и кратко излагаются основные результаты.

Первая глава (Я - 83) посвящена построению основного аппарата аппроксимации функций комплексного перэменного, заданных на замкнутых гладких контурах и оценок аппроксимации в равномерной метрике, в шкале гелъдаровых пространств и в пространствах Lp а < р < со).

Пусть на комплексной плоскости дана ограниченная одно- • связная область F+ с гладкой границей Г, причем дополнениэ замкнутой области f+= f+U г еоть одноопязная область р~, содержащая бесконечно удаленную точку г = ш.

Через г = v(w) будем обозначать функцию Ркмаяа для контура г, осуществляющую конформное отобранвниэ (|wl > 11 на. f": vf(<») = v1 (> о. Будем предполагать, что существуют два положительных числа т^г) и м1(г) таких, что

т1(Г) £ |V' (w) | < М4(Г) , |w| » 1.

Класс таких контуров обозначим через л. Известно, что класс а содержит в себе ляпуновскиэ, алыторовскио (или контуры, удйвлетворяхщш условию "j") и пшаляпуиовские контуры.

Пусть tjP i = о,2n■ (n - натуральное число) - совокупность различных между собой точек на г. Через ип обозначим оператор, который кзидой функции git), определенной на г, ставит г соответствие интерполяционный полином Лагранжа по узлам t., ; -- 5n:

2Гч

(Ug)(t)= У g С t.) JT ( t ) , ter; (2)

j(?o ' 1

t. an t-tk Vfc) = [~r}\ n" r-tT J = ÔT2ÏÏ, ter. (3)

J k=o.k?,!j j k ke-n

- Величина

>-t(n - Л.г=гшах > (t)|, n = 1,2,...

называется интерполяционными константами Лебега для контура г.

Поведение этих констант хорошо известно для случаев, когда контур г является отрезком вещественной оси либо совпадает с единичной окружностью, или же когда г является Ляпуновским контуром. Именно, если точки t., j = о,2п рзвнораспределвны на г, то числа удовлетворяют соотношению in(2n+i).

В 81 установлено, что если контур г принадлежит классу л, то для интерполяционных констант Лебега \п' справедливы аналогичные оценки. Точнее, справедлива

I е о р е м а I. Пусть г « л и пусть точки tj, j = 57?n, составляют семейство множеств равнораспределенных точек на г:

r , 2л1 .... __п гг

У С- г[в*р[гН7Г i ' _2п+Т s * < 2ÏÏTÎ-

(4)

Тогда существуют положительные постоянные шг(Г), м2(Г) и ма(Г) такие, что для всех натуральных п интерполяционные

константы Лебега хп удовлетворяют следующим соотношениям:

m (Г)•ln(2n+l ) < X < M tГ > + M (Г)•ln(2n+l ) .

2 rs z a

Во втором и третьем параграфах -устанавливаются оцэнии отклонения интерполяционного полинома Лагранжа от порождающее его функции в шкале гельдеровых пространств и в пространствах

L (1 < р < оо) .

Теорема Z. Пусть г с л и g(t) с н^сг j , о < a s i, г - o,i,"î,____Пусть, кроме того, n/îSosi, Если точки

t (j » о,2п) вычислены согласно (4), то

с +с 1п(2п+1)

И' - ° пг-"(<э'г,;«>-

Через с(г,м), где г - целое неотрицательное число и о < р < 1, обозначим 'подмножество контуров класса л, для которых функция z = v(v) непрерывно дифференцируема г-раз в {|v| fc и, причем v'r>(v) удовлетворяет на |«| = 1 условию Гельдера с показателем ?j.

Теорема 3. Пусть г е с(2;и и t и - o,2nj вычислены по формулам (4). Тогда

:б

¡¡unlU, 5 VP>-p

где Bt(p) - постоянная, зависящая от p, î < p <

Теорема 4. Пусть г e c<2;/j> и t <j = o,2n) определены в (4).

Тогда для каждой непрерывной на г функции g(t>

||9 ~ U„9||L S (1 + В1(р))Еп(д;Г), p

где Еп(д;Г)- - наилучшее равномерное приближение функции g(t) на г полиномами вида ) г tk, t е г.

k = rn

Для случая, когда контур г совпадает с единичной окружностью, результаты, диалогичные теоремам 2-4, были получе-. ны Б.Г. Габдулхаевым. В случае с = о и г - произвольный замкнутый гладкий контур, теоремы 1-4 установлены В.А. Золо-таревским. При переходе к произвольному гладкому контуру и расширению множества точек интерполирования в доказательстве этих теорем появляются новые значительные математические трудности.

Чйсть результатов этой главы опубликована в работах 12-7].

Во второй главе диссертации предложены вычислительные схемы и дано теоретическое обоснование для двух прямых методов решения систем СИУ эллиптического типа. К ним относятся методы коллокацив (его еще называют методом совпадения шш интерполяционным методом) и механических квадратур (называемый еще методом замены интеграла на конечную сумму).

В §5 для систем СИУ эллиптического типа, определенных на произвольном замкнутом гладком контуре, приведены вычислительные схемы методов коллокаций и механических квадратур и сформулированы теоремы о разрешимости вычислительных схем и сходимости этих методов в шкале гельдеровых пространств, а также в пространствах Lp(r), i < р < <*>.

Отметим, что предложенные в диосертации вычислительные-схемы этих методов и формулировки основных результатов по их теоретическому обоснованию применительно к произвольному

замкнутому контуру г переносятся на случай единичной окружности и совпадают (в случае, когда г = го) с известными ранее вычислительными схемами этих методов и результатами, полученными в работах Габдулхаева Б.Г. и Иванова В.В., однако доказательства не переносимы и при этом используется более сложный математический аппарат.

Рассмотрим систему СИУ

1

(Мхз)А(t)(Px)(t)+B(t)(Qx)(t) + 2TÎT / K(t,r)x(T)dT = f(t),t«r,

(5)

где ait), B<t) и K(t,T> - матрицы-функции (MФ) размерности m х m, f(t) - вектор-функция (ВФ) размерности m, определенные

на г, х(t) - искомая ВФ; р » ~<i + s), q = i - р, i - тождественный, a s - сингулярный оператор с ядром Кош:

1 х(т)

( Sx ) 11 ) ■ t G г.

г

Приближенное решение уравнения (5) ищем в виде полинома

vn(t) = £ «¿'V, ter, (6)

где ct(k » -n,n) - неизвестные постоянные вееторы размерности т.

Отметим, что в качестве базисных функций подпространства приближенных решений выбираются такие функции, сингулярный интеграл от которых вычисляется просто и точно. Таковыми являются, например, функции tk (k = o,±i,...); формулы (в) были выбраны с учетом этого факта, а также с учетом теорем 2-4, которые утверждают возможность аппроксимации функций, определенных на г, различными аппаратами приближения вида

Jrfctk, tar.

Если уравнение (5) решать методом коллокациз,. то неизвестные ik,k = -n,n находим как решение следующей системы

линейных алгебраических уравнения (кратко СЛАУ):.

t

A(v JL^'Ï '* Bltùy> +Д ¿г i K(VT,T"dTv 4

= f (t.) , j = 0, 2n, (7)

a при решении этого уравнения методом механических квадратур - из СЛАУ

"vl^ï + B<tj'lvJ I ï K<VW:;V

kzO ka-Pi 1' я - rs ш = О

= £ ( t.) , j = 0,2n, (8)

где комплексные числа л^", k = o,±i,±2,..., s = o,2n - определены в (3).

Теорема 5. Пусть выполняются следующие условия:

1) КОНТУР Г g Л;

2) элвменты МФ Aft) и в(t) принадлежат "„(Г);

О < а < 1, г - 0,1/2, . . .;

3) det Д( t ) •detB(t) * 0, te Г;

4) лэвьгэ чзстякэ индексы МФ B_1(t)A(t) все равны нулю; б) МФ K(t,T) ® [^(Г)1>>(л по обеим переменным, •

ВФ fit) е 1н^(Г))м;

6) оператор м имеет нулевое ядро: кег м = о;

7) о < гз < я s 1;

8) точки t.(j = 0,2п) вычисляются по формулам (4). Тогда при п > п4 (п4 определяется структурными свойствами коэффициентов уравнения) СМУ (7) ^меет единственное реке ние ,ч = -п,п. Приближенные решения v^(t), построенные

по формула (G), сходятся по норме [н (гпт к решению v(t) уравнения (5) и для скорости сходимости имеет место сцепка

Ilv - vnV о* г.Ты-п >"(v'r';*c>);

(0)

» I a при a < 1; При a » ,

(10)

где £t - достаточно малое положительное .число.

Теорема в, В условиях теоремы 5 при всех п г пг> п< (пг определяется свойствами коэффициентов уравнения) СЛАУ (8) имеет единственное решение çk, к » -п,п.

Приближенные решения v^(t), построенные по формула (в), сходятся по норме пространства iн/3(г) ]m к решению vit) урав нения-(5),со скоростью

1п2п

llv - vJf 0( (И)

гдэ da) определено в (10)*.

В следующая теорема устанавливается результат, являющийся, в определенном смысле окончательным, в котором вместо условия I) из теоремы Б используется условие:

I1) КОНТур Г ПрИНаДЛвЖИГ Классу С(2;И, о < м < 1.

Теорема 7. Пусть выполняется условие I') и условия 2) - 8) из теоремы 5.

Тогда справедливы все утверждения теоремы 6 с зашной там оценки (II) на лучшую (9).

Теорема 8. Пусть выполняются следующие условия:

I) кривая г принадлежит классу с(2;м), о < р < i;

¿2)í№ Ait) и B(t) принадлежат классу tHa<nimXin,

Û < a < 1, г = 0,1,...;

3) det Ait) t Bit) * 0,.- t в Г;

4) левые частные индексы МФ tT'ttjAit) равны нулю;

Б). £(t) « i cr ir ) i п ,к 11, т ) «¡ [ сг i г ) ] m по обеим шре-иенным;

в) Ker M - 0;

7) точки t í j - о,2п) вычислены по формуле (4).

Тогда при п > пя СЛАУ (7) имеет единственное решение ¡гк,

к » -п,п. Приблияюнные решения vn(t ), построенные согласно (в) сходятся по норме tLp<г)1m: 1 < р < m) к решению v(t) уравнения (Б) и.для скорости сходимости справедлива'следующая оценка

Hv'- VJP" ♦ —7 0(«(f"';4-,) +

п п

1 1 + — 0(" (к'";—) ) .

п

Теорема 9. В условиях теоре.чы 8 при всех п г п4> пэ СЛАУ (8) имеет единственное решение ггк, к = -п,п. Приближенные решения (6) сходятся по норме [ьр<глт(1 < р < ■») к решению vit) уравнения (5) со скоростью

i!v " vJp* + Л {o(«(f<r'.~n +

п п

+ 0(«Т(К,Г>;-^-) > + 0(«1(к'г>;-^-) .

Доказательству этих теорем посвящены 56 и 87.

Результаты этой главы опубликованы в t4i.

Третья глава посвящена теоретическому обоснованию прямых методов решения следующих классов уравнений: I) систем СИУ с ядром, имеющим слабую особенность в регулярной части; II) 'систем сингулярных югтегродифференциальных. уравнений; III) СИУ со сдвигом, удовлетворяющему условию Карлемана.

Уравнения I и III классов.решаются методами коллокаций и механических квадратур и теоретически обосновываются в прост-рантсвах гельдеровых функция и в Lp t г ). i < р < а>, а II "класса - методами коллокаций и квадратурйо-интерполяодонным в

паре пространств гельдеровых функция и в паре лебеговстсих

пространств.

В $9 рассматривается система СИУ' (5), в предположении, что ядро K(t,T) икзет слабую особенность:

. К ( Ь/ т) = ^-т ^•к'и.т) , 0 < г < 1,

к*!г,о - непрерывная МФ по обеим переменным.

Для таких уравнения вычислительные схемы метода коллокациа с практической точки зрения сильно усложняются, а метод механических квадратур непосредственно применить нельзя. В этом случае система СИУ (5) заменяется на уравнение, имеющее ту же характеристическую часть, что и уравнение (5), а ядро в регулярной части является непрерывной функцией относительно обеих пвременных.

В $10 предложены вычислительные схемы методов коллокациа . и механических квадратур-для СИУ со сдвигом,'удовлетворяющем условию Карлемана и заданных на произвольном контуре из л.

Теоретическое обоснование этих методов дано а шкале гельдаровых пространств и в пространствах I. .

Результаты этой главы опубликованы в работах (1,5,6).

В конце диссертации в качестве приложения рассматривает-' сн конкретное СИУ, определенное на эллипсе и имеюшэе применение в аэродинамике. Это уравнение решается численно на ЭВМ ' типа 1вм методами коллокациа и механических квадратур.Полученные численные результаты хорошо согласуются с теоретическими.

Выделим основные результаты, выносимые ва зашиту:

1. Асимптотическое поведение интерполяционных констант Лебега для произвольного зашшутого гладкого контура в случав семейства равнораспределении* узлов.

2. Установление сходимости интерполяционного полинома. Лагранжа к функции и оценка погрешности в равномерной метрике (с), в-шкале гельдаровых пространств (н^) ив Лебеговских пространствах ь <1 .< р ,< ш), в случае семейства равнораспре-

ленных узлов на произвольном замкнутом гладком контуре .

3. Теоретическое обоснование методов коллокаций и механических квадратур для систем СИУ и СИУ со слабой особенностью в, регулярной части, определенных на произвольном замкнутом гладком контуре в пространствах н^ и и.

4. Теоретическое обоснование метода коляовдциа и квадратурно-интерполяционного метода для систем СИДУ,определенных на произвольном замкнутом' гладком контуре в паре пространств гельдаровых функций и в паре Лебеговских пространств.

6. Теоретическое обоснование методов коллокациа и механических квадратур для СИУ со сдвигом Карлемана на произвольном замкнуто» гладком контуре.

Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю Владимиру Алексеевичу Золотаревскому за постоянную поддержку и ценные обсуждения постановок задач и результатов диссертации.

РАБОТЫ АВТОРА, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Золотаревский В.А., Элавада И.А. Прямые методы решения систем сингулярных интегро-дифференциалъяых урэвне&ий. Тезисы докладов V Всесоюзного симпозиума "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики". 15-19 сентября 1991г. Одесса: часть п, с. 22-23.

2. Золотаревский В.А., Элавади И.А. О методе редукции решения полных сингулярных интегральных уравнений по системе многочленов Фабера-Лорана. Тезисы докладов республиканской научно-методической конференции, посвященной 200-лепот со дня рождения Н.И.Лобачевского. 3-8 сентября 1992г. Одесса: часть и, с.НО.

3. Элавади -.И,А. Интерполирование функций в комплексной плоскости и приложения. Тезисы докладов конференции математиков Беларуси. 29 сентября - 2 октября 1992г. Гродно: Часть и, с.168. ,,

4, Элавади'И-А. Решение сингулярных интегральных уравнений' методом механических квадратур. Тезисы докладов научной конференции. профессорско-преподавательского состава госуниверситета Молдовы. 11-18 января, 1993г. Кишнев, , часть I, с.28.

Б, Элавади И.А, 0 применению! методов коллокаций и механи- . нических квадратур к приближенному решению сингулярных интегральных уравнении со сдвигом. Доп. в ВИНИТИ *2, 1993г., 13 с.

6. Элавади И.А. Приближенное решение систем сингулярных интегральных уравнений со слабой особенностью в регулярной части. Дэп. в ВИНИТИ »2; 1993г., 16 с,

7. Элавади И.А. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений с помощью рядов по многочленам Фабера-Лорана. Известия АН Республики Молдова, »3, 1993г., с.37-41.