Псевдодифференциальные операторы и вопросы разрешимости краевых задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

СТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. В.И.РОМАНОВСКОГО

ПСЕВДОДИФФЕРЕНДИАЛЬНИЕ ОПЕРАТОРЫ И ВОПРОСЫ РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Специальность: 01.01.02 - Дифференциальные

уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степенк доктора физико-математических наук

На правах рукописи

Ташкент 1993

Работа выполнена на каЛедре Математической физики Ташкентского государственного университета

Официальные оппоненты: доктор Физико-математических наук,

. член-корреспондент НАН РК. '

■ БЛИЕВ Н.К.

доктор физико-математических наук, академик АН Туркменистана 0РА30В М.Б. '

доктор физико-математических наук

- ЛОГИНОВ Б.В.

Ведущая организация: Московский физико-технический институт

Защита диссертации состоится "30 и г>

в часов на заседании специализированного совета

Д 015.17.21 при Институте математики АН РУз по адресу: 700143, г. Ташкент, ул. Ф.Ходжаева, 29. , ...

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН РУз.

Автореферат разослан " Г-

Ученый секретарь •. . /

специализированного совета, ^ —

доктор физико-математических наук Хавшмов Ш.А.

ОЕНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАВОТ И

Актуальность темн. Теория псевдод№№эренииалыщх операторов (п.д.о,), созданная в последние три десятилетия, стала активным средством исследования дифференциальных (и псевдоди^е-ренпиальннх) уравнений в частных производных. Основы теории п.д.о. в современном виде были заложены в статьях Дж.Коиа, Л.Ниренберга и Л.Хермандера (см. (Ill ). Существенное дальнейшее развитие этой теории и еэ приложений получило в работах Л.Хермандера, М.С.Аграновича, Л.Р.Волевича, З.В.Груиина, Ю.В.Егорова, М.Сато, Т.Каваи, М.Кашивары, Ф.Трева, Х.Кумано-го, В.Я.Иврия и других. В этой, считающийся ныне классической, теории п.д.о. предполагается гладхость символа в кокасательном пространстве. Литература, посвяценная этой теории обширна и имеются несколько монографий [ ¿] , [3 ] , f 4 ] . [5 J , f 6 ] и др.

Однако при исследовании ряда задач математической физики возникает необходимость в п.д.о., символы которых допускают особенность в кокасательном расслоении. Например, такие операторы появляются при исследовании простейших нелокальных задач -

- разрешающие операторы двух- (или многоточечных задач являются п.д.о. с символами имеющими особенности. Такие операторы возникают также в квантовой механике, стохастической теории упругости и т.д. (см. fill ). ' - , •

С конца 70-х и начала 80-х годов на\длась разработка теории п.д.о. с символами с особенностями [7] , [ в] , f 9 ] , [ itiifll] . Прячем одновременно были предложены различные подходы.

Отметим также, что комплексные п.д.о. с особенностями позволили обнаружить глубокую связь между аналитической и экспоненциальной разрешимостями систем дифференциальных и псевдо-дифференциальннх уравнений.

Отмеченные обстоятельства стимулировали в последние годи активную разработку этой тематики рядом исследователей, что говорит, на нал! взгляд, об актуальности темы диссертации.

Цель работы. Цель» диссертационной работы являются:

1.1)исследование топологических пространств экспоненциальных и аналитических функций и Функционалов; " ,

Я)исследование пространств обобщенных функций, являющим« областями опрэделения п.д.о. с символами вещественного и комплексного аргумента.

2. Разработка алгебры п.д.о. с аналитическими' и мероморЛ-

нныи в области из £п .символами. ■

3. Исследований корректных постановок обіцих граничных

(вообще гссорк, ндлоюл>п.чх) задач для поевдоди^вренаиальннх уравнений и систем с вещественными н комплексными аналитическими (мероморфными) символами. '

4. Исследование разрешимости абстрактных нелинейных дифференциально -операторных уравнений бесконечного порядка и их приложений к краевым задачам.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Они состоят в следующем.

1.1) доказан критерий плотности пространств, являющихся областями определения п.д.о. с аналитическими в области из символами, в пространствах Соболева, Бесова и пр.;

2) наЩены точные условия замыкаемости п.д.о. с аналитическими символами в пространствах Соболева, Бесова и др.

2.1) установлен критерий корректности общих граничных

задач для псевдодифференпиальных уравнений с вещественно аналитическими символами; ^

2) найдены точные достаточные условия разрешимости (при невыполнении условий корректности) для эллиптических операторов с граничным оператором дробного порядка. В частности, найдеш точные значения порядка граничного оператора, при переходе через которые увеличивается 'число условий ортогональности.

3.1) доказана теорема об обратимости матричных символов с комплексно аналитическими или мероморфными символами;

2) установлено, что п.д.о, с мероморфными символами многозначны; определена "степень многозначности" в числовых характеристиках.

4.1) доказан критерий корректности систем п.д. уравнений с комплексно аналитическими символами;

2) установлена двойственность между аналитической разрешимостью систем диффаренпкальных уравнения и экспоненциальной разрешимостью двойственных п.л.уравнений;

3) аналогичные результаты установлены для обдях граничных задач длят систем п.д. уравнений (-¡одегкзг'нх, я частности,

- З -

задачу Копій);

4) доказана разрешимость обздх г'раничкых задач дав' систем п.д. уравнений с мороиорфннми символами.' ’

5.1) установлены критерий нетривиальности пространств бесконечно дифференцируемых векторов, порожденных линейиш замкнутым оператором, определенным в банаховом пространстве;

2) доказана разрешимость абстрактных діфїеренскально-опараторных уравнений бесконечного порядка, и как приложение установлена разрешимость некоторых нових классов нелинейных дифференциальных уравнений бесконечного порядка.

Метод» исследования. В первой главе основными методами исследования являются метода теории обобщенных функций,.теории расслоенных пространств и теории функций многих комплексных переменных. ' '

Во второй глава примешен метод, опирающийся на замыкаии" разрешающих операторов в пространствах конечной "гладкости" (Соболева, Бесова и др.). Такой подход, основанный на локализации особенностей символов разрешающих операторов, с помощью множества Q , по-видимому, применяется впервые. В этой главе такие использованы методы теории линейных эллиптических краевых завач и теории самоеолржшнкнх операторов. . . ■.

■ Б третьей !! четвертой главах1 использованы методы функционального гкаяаза, в частности, спектральной теории- ликейша операторов а теории функвай-.многих комплексних переменных.

Цоакти'-’оска.ч -л теоте-тическяіГценкость. Результаты диссертации р сспонксм нося-у теоретический характер. Они' мсг-ут быть также использовала в квантовой механике, теории упругости и других областях туш..

Апробация результата. Результаты диссертации до мерз полупекйя докладивалисх : на совместшх заседаниях Московскою мй^бл-атичсского об':;бстга л семинара ш. И.Г.Петровского (19Сйі\і, на Р.сеоо:з:-н,7.к ксн-£орс.шг.яг "'буншиокалыше м^тоян в катати-ческой іія;3і!і«г>" i 1987, Ташкент), "Лістуальпко проблемы комплексного анализа'' (I98t?, Ташкент), на Всесоюзных azmix г,«тематических ¡»колах (Вороне*, .1989,1930,1991 гг.), па Международной кожїарєннші л о ''Ди-Т^ерекипалыкл,'; уравнениям" (Москва, 1991 г.),

на Школе молодых ученых "Современные методы в теории краевых задаг.* (Воронеж, 1992 г.), на семинарах по "Дифференциальным уравнениям" в Московском энергетическом институте (рук. чл. корр. Российской АН Похожаэв С.И,, проф. Ломов С.А., проф. ДубяясюЛ Я.А.). яафеярм "Математического моделирования"

МЭЙ (рук. про*. Дудинский Ю.А.) кафедры "Математической физики" ТашГУ (рук. чл.корр. АН Республики Узбекистан, проф. Алимов Ш.А.), по дифференциальным уравнениям Института математики ем. Романовского В.И. АН Республики Узбекистан (рук. академик АН Республики Узбекистан Салахитдинов М.С., академик АН Республики Узбекистан Лдураев Т.fe.)

введения, четырех глав и списка литературы. Главы 1 - Ш составляют первую часть, а глава 1У - втору» часть работы. Каждая глава разбита на параграфы, а некоторые параграфы разбиты на пункты. Объем диссертации 233 страницы, включая 14 страниц цитированной литературы. В списке литературы 142 наименований.

СОДЕРКАНИБ PAR0TH .

Во введении содержится постановка задачи, краткая история вопроса и точные (формулировки основных результатов диссертации. В первой части развита теория псевдодифференциальннх операторов с негладкими символами (гл. 1) и исследованы некоторые вопросы теории краевых задач для псевдодиФФеренпиальных уравнений и систем (гл. П,Ш). Чо второЧ части (гл.17) иссте-дована разрешимость некоторых новях, классов ктаст:их задач для нелинейных зиМ.орешшшлшх урарквни'» бесконечного порядка.

В § 1 главк 1 введены новые просгранстл ссновннх и об:>\--некннх Яуккшгё. которые обозначены ооот^етсувенно череч 3 И является обобшекием нл ироизпопьнов значение

fe [1 )(>э ) , пространств j']-3' у- G ) , г-ищтанх в [ 11 j

И приспособленных ТОЛЬКО ДЛЯ р- 2. 'Люуег-тъъ (1Í- f'" играет роль множгства гладкости ст*од.-'г г..^'^ано^т1 -lít, „ магяп прапстгвкгь *пк rrr-on;« v:••г.у.“-;-- с:г“':".-: -■

XXtf '

нахових пространств. Оно полное неметризуемое пространство.

При исследовании корректности нвлокалышх грашгших задач в пространствах "конечной гладкости” ( S - пара-

метр гладкости) ватао наличие следующих двух фактов:

а) плотность влонения ТП-а.р ^ X(S) i

б) зашкаемость п.д.о. A (D ) ■' Шс^ с гладки? в G символом ¿ff- (¡¡') до пространств Ха); а такие существование замкнзтого сузшния слабого расширения

A* (-D) : №/б ], оператора A (D) в tf's\

Эти вопроси полностью исследовали в случае пространств Весова Хсз = Q* И Лизоокина-Тркбеля ХСГ>= At»

■ Г> * лГ*2 ■*/ * >

и в частности, пространств Соболева Wz . А именно, условие а) выполнено тогда и только тогда, когда . 4 G

ИМеОТ П.-Мерную Меру НУЛЬ; уСЛОВИе б) при [\ О CL (í_,00 )

• выполнено, если символ ) удовлетворяет оценке

¡¿Ia1 iDUMf)í¿Cju / «s 0]£ > О,П4%]<Í;

если р = 2, то необходимым и достаточным условием выполнения б) является условно ) I $ С (í +lfl)S , ge R14.

В §§ 3-7 строится комплексная теория п.д.о.. Отсутствие комплексного аналога преобразования Турье ставило серьезный трудности при разработке комплексной теории п.д.о. с переменными символами. Существующие преобразования Вореля и Фурье-Лапласа по своим свйствам далеки от классического преобразования Фурье, и следовательно, но давали желаемого результата. В 1984 г. Ю.А.Дуйикский ввел преобразование Фурье для аналитических в области С2 с С'п функций IL(Z) формулой

сК^)-) 8(.С) , т.е. как значение п. д.о, с постоянном символом на дельта функции Дирака. Это преобразование обладает многими свойствами, присущими вещественному преобразования Фурье. Оно оказалось расширением преобразования Бореля я обратным к преобразованию Турье-Лапласа. Т.0., зная теорию п.а.с, с постоянными символами мокно по аналогии с вещественной теорией построить Общую теорию п.д.о. с пвремеккнми символами.

В § 4 определено преобразование Фурье в расслоенных пространствах экспоненциальных функстЯ Ёучг ) к .t-ункшоналов (Сп) (оно обозначено через F )

и анаяктпческнх фуахцйй 0^Г(С2) и функшюналоэ Оі£ґ (с?) (обозначено ср ). Локальная теория послздких пространств дана и § 3. Вакянгж овоЧсгваии этех пространств является кои-мутатквкозть даграм«

^г(с-) ф? <&■&)

р-1 Чи,г

*1

Е^Ггп -<Л 0**(<Г7>) ш

; ~ф?і У/гА^3'

„ « , ' Р > где ' «=-г> означает иеоеход в сопряженное, а ’ '

ср ‘И 1

и " " - изоморфизмы соответстзуюдик ппеобразованяп.

¿5>~1 -

Пусть Эу (АІ; СЗ) , где _М -матрица порядка // с

>меі

порядка Л":? і с компонентами

иеянш зломенташ ГО.^ , класс матричных сшволов

^'4(к), сС(^0(^).

</ Ы*т;- у у ' '

Если У^с - постоянная часть с/ґ , то обозначил зі- = {%: сШ.'$-0 - О } . В 5 5 установлена обратимость матричных символоз из ).

Теорема ндСгл. Ц. МатркчнкН символ ' 5;^ £^(/4; £2.) обратил, т.є. для него существует 3^(74іС2)

тако?1, что і? ° $гі = :ЇҐІ°А = .7 ( ? - единичная матрша-

йзлзол), тогда и только тогда, когда ¡смеют место условия:

а) тц = -т; , ;,; = { >...) ..V, '

для некоторого набора ¡и1,... , (если т; - т <.о

то считается, что Щ (&,£).-= О );

с) С2л/0 = 0 . .

На основе диаграммы (1) в 6 С определена алгебра п.д.с.

0Р5д,(М;52) с с?лшажш из ) 'в виде А~(кц

= Ау- £./ Г'Ча" (с) !>!«>)

.1 уїЛиНОЕЛОЛе, ЧТО ОНИ ЯЄПРЄР«ВЯ0 Л8й ТВуй'Г в пространствах

нк;л различием таких операторов ст предкзтнп:* лзлжтся рї г/но-гозначпссть. Установлена "степень к;:огозкачкостдп посгзенйх операторов в чйолоемх характеристиках в зг^::о',а:ост:: ст ехмзо-ла и его области определения С2 .

вок о'іцл;:, бооіЬз гозсрл, нелегальні}:: гранил:: задач для пс&здодп']їгреяіЕ’Ельндх ура®:аш'с (п.д.у.)

пин суть олалигичоскле по р в нзкэтороЯ областя 6?с К“, ■ьпрор-ш.п по і « (%,тг) ; т(і,я) . %('Х) - заданные

Тип ураюквкая (2) - лрсизво.шшЛ. Условия (3), в

’•істпості:, содержат ус .товия 'Коси :?л;: Дирахлв. В случае дифферент: глыт оператороа АЛ{1,Т>) разлкчаае постанови кпа-бвій задач Огцоготочечнне, пнтеграяышв и др.) в разгшх проо-трамтрах изучалась инк’юси авторами (Рсрок В,И,, Итаігязк П.И., ВалзшиН! ?),Н,, Рс:.'л.н;:о В,В., Чезарн Л., Путчи II. и др.). При ясссадозгв;:;: нелокальных краевых задел возникает пройлоиі ;.:"лг;г.;"'іа ге тс1', --¡со в ште« подходе проявляется в вознид-

ооо^йк!п:;:ь'‘і у сх^'сдаг: п.д.о,, лз;:като:с!Т рззро::-3-

(''(¿р^-спа-/::. С рг-пулт-атоз глтаи 1, оолсіиь:;^:.

та .'•о:'.^г:г.гат;'л ссл:г.::'Г0'ТгоЧ с:':.;~с:;ог с по^сг'гл і'лгх-:ссі'&л . ус’.-а:-.;,з..!5:: кроте >:оррек:нсст:: гад?л (й),({',}. Г'гохь, І/'(¿.Д)*

- ( ¡С,6?,С)У <г7яз;и*8кт?ягиая система р*.іг?:тЛ

пссвягцзш. иссяедовапма коррэктних поотако-

к=о3...} т-і,

обыкновенного дифференциального уравнения /, (£ '>§) = О,

удовлетворяющая условию 6Ди„'(г,?)) = <{, (

символ Кронекера), которые получаются формальной заменой оператора дифференцирования 2) на параметр £ . Пусть, далее,

_Д1 - множество, где определитель МО) порядка ]Ц , с

компонентами '

/'/-г

обращается в нуль.

' В § 2 установлено, что если данные е ТП^ (или ^-е,р' ). К = 0,...,Й7-1, И Л й = 0 , то существует

единственное решение задачи (2),(3), принадлежащее

^""Кт^т^] (и™ с‘т,[(т,?тг);т^г. ),

причем для роптания имеет место представление ■

т-1

Н-0

,* их,

(соответственно, КОгЮ вместо 11к (1,Э) ).

Судественно опираясь на этот факт в § 3 доказан следующий результат.

Тэоргма ЗЛ(гл.Л). Задача.(2),(3) является ( I ,3 )-корректной тогда и только тогда, когда бкполнєнк условия!

1°) /4 является устранимым’особым множеством для

2°) для всзх і ^(^,71), к = 0,..., Ы - 1, j = 1,..., пг и при достаточно оольиих ] ч 5 имеет место неравенство

д іИ

В случае задачи Коши, как известно, система 17 0>г) зиалитэтна, и условие 1°) таореш выполнено автоматически; а полиномиальность роста И* (I, по Фактически есть

условна . Л И.Г.Петровского. Для (регулярных) эллиптических краевых, аад?.ч условие 2°) имеет место для всех Ц за пскигеенпегл, <1«ть может р - 0. А устранимость этой особой точки, на саком деле, <1олео сильное, Ч!'к условие Каатро-Лопа-

МИНСКОГО, и'М о I-.-1311110 С ГЫ&, ЧТО оа(1в.!С;>№НИ1’. ( I ,Ь ) - КОрЦ.' •

ности 'шьо п :льное, че:л оШ'иринятое, в кого рог/, допускается нетрив!*ап>исс1ь «я:<а и коялрн. ОсчгИир определение ( £ , s )-кор реклност’,; п 1 jc/'eiu-'OM смысяе, можно тчнте зопь^тъ услор-ио 1°) теоремы. :-»пооь также изучается корректность рассыатрикчс-моЯ

и'-ла’Н! р лросгрчночрчх /ЗД ( /\^ .

Г, ?■ Г, изучи» ri'crp'iK'üiijl аялпог затопи (:- ,(L-). ь ото-'! Ш'ЧЬЧ) ’лг.^р.ч^о'! i yurttraupiuibiiwü ¡'.счисление kti 'Iyi'.kh:',:* f(\i ЦОП ÿOICt-,'П'У -У.'V.HyTp'.! СПеК'КЛ G'A) (A - Л!'Не ?:ui;-

:4ai,'.KiiyiHiï o;it.: :.т.\г; « ^нах^Сл'.! ¡тостраигтгвз}.

î.v.jhi н-; ычюлкено •■гспоьт 1°) и-ni <:°) Tüopiv/u 'ni, •• (/),>.'! ; <-i:u>.>:>mr.vt но 'пи jjcck У; <-l . (’îüuko ,

'!>■ /] i .] v.'"':u )чн.> ih.ucîo, w np;f ¡y.pvyviimi

ycV’iil'H 1 / ,а.-. 1 f:h укч.^АТТ. - il) t.'K'i .:i j!OC: ■'iT''v№!;f; ус 'ОЕИЯ

нч;к!7йпнл i:'.irc’iici.. ib /3“' Un:; \,// ), и когерш.

'лкчан.чого.ч инзг-^уг,?,;.'л;:;., i1 ' ii чзучи"..)Сч H'о; j i ори« ;:;î г-чкпх

.yiü'i'l, -Л r.i.ieifiiO, KpUSLi.H лмлачи )ПЯ pabHOf.O Р и П'УИТ'Л’ЧйОКОГ.. иПйрЧТПВЧ ПТОПСГО ПОрНТКЛ

¥

А - 2., аЛ:г)1> и ^ )Ч*1, г,

lÿii'i

/3 .(V ].).! ;[ (а') </(V') „»/<.. <!*,.> |1;)

< ». - ?

‘•¡¡с- W j { л:} , |<fi~ ~ - ; -мякин ¿уншшп l (t. (ij~ о и •*

С? с. /?” - .»Г(.'*ь-?,:вйяил o'.rioTfc с лл.'-.чко!) rpaiMn.;1' Л.'.

8* IV, D) - песчшшиt-’epbiiimuчьимй шыратор ;[op.i..-K.i

О, ) . П-ашйГ.;«, ч:.) 'оо('х \ D) чСУЬ Го^де; : ВОИН!.'*

•порг<гор. I* ч.-чгпп'гги, ¡¡¡л*, нелык значениях и'л>длк.: i*'*,е-гя заличу j!r IMXJie, Н»!<*.!ЧШг И ü! 1C' -со Я ароИЗВЭЦНоП. Т.'ч , рск;1 !.nv.>ztw>;i/l

r\r.n4v. "¡i.Ti'epiкш'р,";:■' ;!^вегг»шв заггча на о-.гу'ьм н‘;№/;.-'ч ■..ччемл'1 (ю; >ï т:<!'н ; ■: стч;>а'1( роп. Тако1 ¡юл • vi тггжв

ГОЗЛ1.. Г 01! .к‘У ‘ ’Л . ■ п; -(НУк!;1ИН noO'i.IKOi) грчлкч.1)!«.': C.Ij^p3iü,'('V ,

' t. ; i" ;np^-.-;j-«, ;ip ;■ качоеггк».:’!^« нч^ью .i f. c-- -

i'D-iïte ГВ ■ "> i 1J "4. fn,; V • V

либо их число увеличивается. Такие значения назЕаны критически:.'!! ..

Рассмотри.*. в К”-+1 = -[( I ,£•): t >о, же краевую

задачу '

0 + Да./О.*>, (6,

В = УСх), Xc-Rк, (?)

oi 11 - О

с = ( j Sk„ ) > 11 пусть ^ -, !ito > гдй

-1Г(> æ) - решение задачи Дирихле с вулвт* даишл на границе.

Ъаорема 5.4,5.5(гл.П). Пусть выполнена условия: '

я) ослл о<0[0,1/г), то j’e

Ч& # Ej _ . ЕРвчвн Æ i

6) есдг oit" [rn-i/z j гл-t i/l) , ТО 11îs.ilj..Si.

/е#1*** ^ y>€ удоглсхгоряот

УСЛОК» OpïOrOUrJ&EOCïH f y; - Vj ) .1

Тогда cyqecïBjeï дошс^вспков psn:i:ra задали (в),(?), при-кяцяг^гг простраксгсу• /f? причем

диш jisro споаг'од;::^.:! оц;лп;-

r'r 4. / ,< ,f ¡yUl-Г/$fC//+-U * f </' ? и .г

r luiH II ± с[;:пи (fiT)b

i с; . ,

- ачгн^'И,

Y.:::.’\ ;V) r,, =■ -- ripc'io..;л i; направ-

ьг-' .■ ' !'■ утаорндс-

Тогда существует одаиствзтюо решение задачи (6)»(7 > из класса Н (Ка)), дли которого справедлива

+■

оценка

^ і и і н*ы а * с (ши^'Н+ічт,

Эта теоремы позволяют доказать суиастполажв пардмьгракса для задача (4),(5) для соответствующих значений с< , и следовательно их фредгольмозость. При этом, в случаї 3^ -

( -і Э/дхп Г к (4).(5) следует присоединить доголнитолькоо условие ■

и(х) = $ (сс) ; осе Го , (8)

где Г0 = |.есе<9£2 : ( г(х , I ) - О} пх - нормаль в тодсе

•ле ЭQ , і = (0,...,0Д) и Г0 - многообразие первого класса (см. Г 12/ )•

Аналогичный результат установлен также для краевых задач для эллиптических уравнений 2 Р. -го порядка.

В тостом параграфе наПдеиы крятичзскяо значения не-

которых абстрактных краевых задач для джйсрсшюально-опоратор-иых уравнений, порожденных сжюсопряжениам иоложителышм оператором, определенным в гильбертовом пространств.

В ксследопл;;а проблема коррехстности общих

граничных задач для систем коглілексмнх псегдодяФЗіерзнциальшіх, и в частности, ди;Тфзронш:альнмх уравнений

тК "'¿ніо (з)

і - і,..., л'\ ¿е 0^ с1 гег

1',ЛО

¿1) - связная область в Є1, /0 ‘

■■■ :.і) . ?"Л-

1'ОК'ГОр йункпии высоты N, А/ , я,

4

соответственно, Д (I г, V) кс'дпдексяше

-л.д.о.. V ’ ’ ' ' и ' ' ' к £

Рацача Коши содержится в (9),(10): <"Я7'га1 - о»1; ■*,

Г*нС . .. л

где 0.^ - 1, если £ , к - I ; йц - 0 в противном

случае. Ото, наиболее важная среди (9),(10), задача все время оставалась в центре внимания многих классиков С'огаи, Ковалевская, Аяамар, Хольмгрен, Соболев, Петровский к пр.). Хорошо известна, теорема Кози-Ковалевской, относящаяся к случаю дифференциальных операторов конечного порядка, В современное оформление теории задачи Коши больно!! вклад внесли Л.Швярн, Л.Херманпор, ?г.Лере, Я.Гординг, Т.Котаке, С.Чизохата, Л.я.Орешников,

’■.Тров, Я.Р.Волевич, С.Г.Гияликии и др. оадача Коши для дифференциальных уравнений 'бесконечного порядка изучалась в работах ?'!.*>.Коробейника, Д..-^.Леонтьева, !0.Л. Дудинского, -М.Кони и П.Шапирн, ?.'.С,':ауг)Няи, С.Гаяауика и пр.

Еще Коши и Ковалевской было известно, что если порядки

операторов А ^ удовлетворяют условий! СЧ’Л Ау * 3;-К, то имеет место однозначная локальная разрешимость в классе аналитических •Т.ушшиЧ. В 1<?74 г. С.Чизохата установил, что это условие в случае N = 1 является тагосе необходимым. Достаточным условном разрешимости в обчем случае, как показали

5.Лере, К.Гопдянг и Т.Котаке (1«‘>1 г.) является условие Лере-Ролевичгз '

сгс//\Г. и?; - т,- + я. - к (11)

Ч 4 1

’»то касается ?>?о*хо«имостк в об-п«.’ случае, то как выяснил Л.Л.Лубинскид (Н1ГУ г.), она оукеетвонно г-п висит от постановки задачи. А иуенно, если эволшпя особенностей решения происходит но боковой поверхности "характеристического птнчгфг’’, то необходимь','! ус И’г-нем является огс! Ац г- Г'( - Iиу , а если чволг":’!'..: црокомодил по ооковоч повсвхносг:; ''■'■«акторис-тичвекого ноьго Н'ч^чгтиучг: ^ч^тс.ч • г о .^’ос- 'о'пеЕгчо (11). V Т'!Н0'1 НЧ!П . что -‘ЧЛ'П^Че О.-'Ч

ч°Я р.:пие: 1.- о: яг !<:тр м”'МЧ - <гг''г\.

Иозврапясъ к о*щим граничным задачам (9),(10) отметим, что в панноч главе установлены неоЛходкмне и достаточные утопия локальной корректности в классах экспоненцияльнгх ”. аналитических Т'Ункпп1! и функционалов, а тагске двойственность чкспоненниаиьноЧ я аналитической разрешимостей для общих граничных задач.

3 § Я показан критерий корректности систем п.д.у.

ге С*1, к- o,sL-i , ¿ = 1,лгг

в кпассах пкспонешшалвннх я аналитических функций я функционалов. ачлиптические системы, в том случае, когда Z Естественное, 5¿ =1, i ~ i} , и B¿j = £>-j

ди^ерентшальные операторы конечного порядка jUy , и особенно, вопрос янататичкости решения исследовались в работах С.Н.Бернштейна, П.Г.Петровского, Л.Хермандера, А.Дуглиса и Т.Нипен^евга, С.В.Морри, 0.Л.Олейник и Е.В.Радкевича и др. г'тметпм, что А.Дуглис и Л.Ниренберг на порядки операторов ставили условия crol 6¡j ¿ hij - *l t , L,j = i .

Теорема 2.1(гт.!11). Система псевлодифференпиалышх уравне-

í’2) локально корректна в пространствах ' Еj ^ (JC”) тогда и только тогда, когда имеют места условия:

1) ds/frz Ще(*,1С) <j4* -JUjt , к-o,..., s.-l, £ = 0,...,Syi, ij , 3 O <-=■> 7W;K ^ o ) ;

ñ0 f) €2 - 0. . '".нелогично íopv.yдкруется токапьная корректность систем •!СРП10ли?<$врвнттьннх уравнений (1П) в пространствах яксяонан-”га "чтнх Зуякгоюналов.

ncv.o "ba дпагрттсн (1) систо?1э naWepewutia.tí-nKS "эапнвнп1*

*Г

сводится и системо псевдодгфіорешіиа^шіих уравнений вида (12). Тэоркид 2.4(гл.Ш) Олотема дл^оре.чциалышх уравнений (13)

локально корректна е н.гзо^ах тогда и только

тогда, когда выполнены условия:

1) оЫ т}~т1 ,

2) В0 Л С2 = .0.

В § 3 на базе результатов § 2, и известных результатов относительно задачи Кози изучается локальная корректность общих граничных задач (9),(10).

Теорема 3.1(гл.Ш). Граничная задача (9),(10) локально

корректна в пространствах Е* г**»-* ,(с“)

ін , £ + о і £ С0 /

тогда її только тогда, когда выполнен» условия:

1) г)* тгт^$1 --«•

2) ¿щ^ ЗЬ"? (а, с) б піі - + 1-й-

3) В0 П С2 = 0.

(Как и ранее, если правь'с части в 1),2) отрицательно, то

/9 ^ ^ ^ _ V

считается, что &;у = о , -Ду =0 ).

В этог,1 же параграфе изучена корректность граничных задач .для систем дкфі-зренциальпнх уравнений в классах (?- г ^ ^ (С^)

установлены двоіістеєннцє результати, а также разрешимость '

• к п к £

гршшчш'х задач, в которых оператори ^¡¡- , £};^ - .

~ суть п.д.о. с’кероморі-шіма символами. В последнем случае, как правило факт единственности не шзет места.

Наконон, в последнем параграфе (§4) цппноіг главы изучаются некоторые модеяьнно комплексные краевые задачи, сужения которых на выдестззнноз пространство дают задачу Дирихле для аллкпгическйх уравнена1*.

Втоппл чпсгг* дя^свртаилл, кл": стглгко йоспллэл'З

проі'ілег.'в разрзшг .ЧОСТЗ псхогорих КОЬЯХ КА. C30S ІЛЛЇЛІЧЛ ОЛДГ-Ч для нелянеСяых диТфурилцплльнчх ул.шя-паїі .Івско:; г:-.:с<.'э 'юрнллл. С таюті: уритан.илт сл/ллиш иг.опл: клллчл, гэлшл;".:^,. j л таких с^ллстлл на.укп, как теория уаругосто, гліліпоз’-ї лзлаллкл и др. Раорсылкостъ залалл топа Д/лилло к Кслл-£лрлхли ле-ллнзлшле лпТйерэлнкалъних урз.елєіп;!* '1;'<ллжст>ного пор.'л.кл лсело-цоваласъ ь работах Ю.А.;'у'1лкеУ',го л ¿re 7чсккп:г’. В это* гис-рпп га).:;;о, что^ы ссотсьтстзук: ,-j s -.wie “ai; ерг ел глос лзл rs/je-їрансгЕО'' ^ылс кєтр.!и::г.;.'і:ііо, І’сслелоь: . о л; ;,.':р,лїз котрій поста ijctíbciseii у 1. 1'эло*-ош:и костел tía ;i 1 •'-тр->.к’гпс..: спораюр-ногл лзіл.є. В лалостве "экоргс-плл'сллх'’ просгпзчс.7” юзллл^лл' пространства бесконечно лллулрсл:л:р"ел'іх сектор«» кзлотоуоі'о лї:яь%ого гьіжїутого оезратора А , олрздолаїшого з сднахогоу. пространства X , а гагзнно ,

где й.,, -л О р г* і - лиелозле последог:ат-злънозтл л Ю ) - П cD;’An) . Расск&тргс.'ался х:ва класса олера-

4 ' ÎV '

тгрол: сігвігт^АЧШ.с слогллоnr v:.r:a дал'.опса склллрлсго тлил и спер-:-, тор? с лусп:л с;лл.лрл:, р??елтлллал лолоріл: улол^етлорл'-л ке:;с;ор:л. лс::ол;';лл гост на беололелнссл;!, Еэ ллерлл елулял

гл" стрлл':олл \у (Л ; П. , » і Т)^гр .л;:глл7'ііС, ■ісгдл і. ?олї:;о

' * ^ .. * >' '> 7

теглл, ;'.o,,:Vd после лзллгздълое/л ¿ і сїл»;л. лллг

нел^лзелл л^еллеоігл' клллз Адл.:лрл слесл'з лл!лелльїллго Л"Л~-ллілл'-, л з с.тгчлЬ слслер леьыл: л:еллерол лрлеор:;■' ллллл.л-•лллосл. ?к'л л ззлле і лес- .л л: респолсллл гелера

:с л г, ¡і езл-лл* ле ллоегллс: re‘¡ тлел

предальних точек é(A), - mhokoctdo fio'icïbeiiüi^. зна-

чений бесконечной кратности, ëQ - { Afc£> (A) : /A/~ j где Гд = inf j /а I : ЛЄ énp и } Если CyiiSCTBVtT ¡¡00-ледоватэльность €з (А) такая, что l^n | *-.Гд

и А„ -* А0<£ t»0 , то неоішшмш і1 ¡юстточі^п у.:г. -ъ;4

неіриваадьаости V/ (А;«и>/^) является оїощ::.; лп ¡- .ь.еч (1‘1) цля всех сі є [о, ) ; если ліг-о Г| с\) ^

лийо £з0 содержит іасконо'-іно много изолироп-шш'л ^п них значений, ли1о кроется часть сГ ненрорнь-іоіч; опокгр .

такая, что 6 <= и If (<5) -/ О (Е - рм.'кмченно

единит для А), то ноо'-.хоаимш и цостаточнш уо.юнисчл нотр/ьн-

альносту; пространства \'/'уХаа„р ) ЯіШїи'ІСН О* ЛГИ^ОСТЪ

ряда (14) цля Гд ; а ю ьсоч ослалншл .му: ¡¡и • і.-.п-

мость ряда (14) при нокотором ^ > ГА .

В § 2 доказана абстрактной теорема о олръ^кгпрнепи н*;*ні -нейного отображения '

/ f ОС-> - СХ?

£ V/ (А-,аП1рп)-> w )> •

_ оэ

где W CA>0i>fi,)~ формально сонрд-конное ьч-осч і re.

По существу эта теоремі сводит вопрос раара:.;німст>; 7р:и.ноний бэсконочного порядка к вопросу ра-чріжікосїи урзвнкниЧ коцзчис/Г.» порядка. Предположим, что оуі;«еіБуі*т поелсдокігольнооть оне.-рч; :

ров «буу : $i(lC ) -¿Rift* ) . v:.. кг.етьоргасяш î: tiù jr.vr і а;".: у ¡поникл: a) iiyy - саръективни при к.акяом //51; л) ппн о..'клочно 'ІОЛЬШИК /V , при HaJ'toM lie. 5) (Д*) П*?ОТ К:ШП •> Ь'фЧВОИГТР -"козреттивностн"

. . * г..

Re <. У (и ) и. » * У ft г //л и IX' Ц :=. с>> ( и ),

ы ' nip ^

пса С ? О - кг.к-г.'«иа, ¡ь; ззвгояччл /V ; о) :ля 7-і':«!! вое ізйокаїсї.-косг/ Ц сС(ЛА/), сі і*з :*v '".-a •;i-j.«.;; ;

іго<= W (A\0'n,fn) в S) (Am), m = o,i,..., причем J^r (.Ц/? ) ~ Cl < , АҐ = 0,1, справедливо равенство

&пг <г ^,(Ц■ ),V> = <

. • Ж->с*э ■

ГДб гг<£ V/iX3("A;fln,P } - произвольный ¿лемент.

I / 00 / А Л

Теорема 2ЛСгл.1У). Пусть пространство W (л'?0»г>ГцУ нетривиально и для 4? выполнена условия а) - с). Тогда отображение с£ также сюръективно.

На осново этой теоремы в § 3 доказывается разрешимость ряда задач для дифференциальных уравнений бесконечного порядка, ранее но изученных, Прежде всего, это-задача Коти бесконечного порядка

оо п ,п К

t£Qi)= 2.Н) J~n -ТГп )= \г(з:\ссє(а,8Х(15

п=о

(fO

и (а) ~ 0 , п.-о, і,...

Afx^O.'favlxR^C1

где Cl < ё , Функиии І/іІ монотонны, коэрштивности, принадлежат классу Каратеолорп САР(р^), рд>1, и djiXSjfJ-O, к = д7ТГгї'.

Другой класс задач - задача Ксши-Дприхле. 'зсконечного порядна ’

L (u)+ Lg.CuJtiKC^x), и (о,г)/

сей<?,

I

д\(о,х) _ '

~дТ^ ~ ’ * ' ’ ~сє >

Du3uCt,3z'J = o , !iol=o,i,..., х&Эа, ієСо,т)!

гг;о - ограниченная область с бесконечно гладко" гр-і~

няцей В £2 ; ьДи) - нелинейное отображение типа (15), а ¡-¿„(И) - аналогичный оператор по пространственным переменяю? сс ..

Наконец, там ае 'рассматриваются общие граничные задачи цля параболических нелинейных диф^ерешшалышх уравнений бесконечного порядка

^ + 1-.Д,Си) = кС*,ас), (1/х)&(о,Г>£2,

В(иа’Чы0) = ^с), ссеЙ,

-.к)

V и(1,х)1дс2^°, 1^1 ~ 0,1,.,,

Результат» дисоерташш опубликовано и работах ангора, ояксок которых приводится л кие.

ЛИТЕРАТУРА

1Л1еевдоди'Тхререн1шапьнне операторы. Сб.переводов, ?.1.,"Яауяа", 1967.

2.В.В.Грузии. Псевдоди.ЗДереншалыше операторы. 1975.

3.А.А„!Субин. Псевяоди'Меренциаяыше операторн п спектральная теория. М.,"Наука", 1S78.

4.Î11 Ла^&г. PseucLocLJferzuhcit oper&tors. Prensión.

Uni у. p rea,, PruuiûK ,;Veu7 Jersey, 193:.

5. F. Tfi irei. Jn.ítocUu¿Co^ tо Ps ÇjaqLo cit//- eren¿i a.<? an,ct Fou,rier InH$ra.i opèretiorî. Püe(uiw РгеЦж Шп?

Vcr-fe a^d v, I, ij, Î9SZ.

6. L. Ногталийг. Jixi Myxiusii o$ JLLn¿ü.r Part ¿ai

sprwjerftr*« fiera,t, Н*.и.гШг$. Aeur jerb , To&uo, ms. ê

7. K.O. FVicirict-uS. PJгu.ctocUj-r&r&rLÍ¿oü¿ cpera,éorÇ; Лк ¿itírc-dactCciь, - Ceci. fi/pte-i, Courœ&t Ltblülaiê of malk stxettces, Ягиг.Уогк, i9?0,

б.'К.А.Плаыензвский, (M алгебрах, порожденных псевдодифференциальными операторами с особенностями символов. ДА1I CtíCP, 197?. 248, № 2, 275 - 302.

?.В.А.Шгамвневский. О краевых задачах для мероморФних псевдо-дифферсннланъннх операторов. Изв. ВУЗов, Математика, 19Р0,

Гг 4, 69 - 7В.

Ю.Ю.А.Ду^иксклЧ. 06 одном методе решения дифференциальных уравнений е частнкми производными. ЛАИ СССР, 19Р1, 258,

;5 4, 7Г>0 - 7С4.

И.Ю.А.Ду^иискп'!. ¡иго-<ра псевдодйЗфзрвнциалыгох операторов с аналитическими символами и ее нриложеняя :< математической Физике. У пехн мат.наук, 1982, т.37, вип. 5(224), 97 - 13?.

12. Ю. В. Егоров. ЛкнеАнне нч'ЭДершпшальные уравяечгя г лепного типа. М., "Наука", ШЧ. .

Работе автора во тема диссертанта.

1.3.Умаров С.Р. Г. теория задачи Кози для уравнвШ'Л г част’’' производи;.« на торе. ДАН УзССР, 19РЗ, )'• 1, ц - ь.

' •! .Уваров с затзчя ”опк ¡тля ри'М?1)/?я:ч:з инс-эпорзтогчи»

уравнений. Метауз.тем.сб. Л 45, М., МЭИ, 1984, 123 - 127.

15.Умаров G.Р. О некоторых пространствах бесконечного порядка к их пркложеккях к операторным уравнениям. ДАН СССР, 1984, 275, ÎS 2, S13 - 317.

16.Уизрои G.Р. Граничные задачи цля дифференциально-операторных уравнений к кх придожетак к псввцодг^фереициальнш уравнениям. Иев.МУзСОР, 1926, & 4, S3 - 42.

17. Умаров O.P. О накоторих пространствах, порождонних спок-тралыаст операторами и их пршіокениях. ЖІ, 1985, т. 40, зшь 5 (245), 215.

16. Умаров С.Р. Критерий нетривиальное™ пространств бесконечно дкфференцпруеанх векторов оператора с пустим спектром,

ДАН УзССР,. 1988, Га 1, 11 - 13.

19. Умаров С.Р. К теории нелинейных диффоренцкалышх уравнений

бесконечного порядка. Teszca доїм. Всесоюзной икали молодых учених "Фукииолалыше методі; Тажент, 19ВЄ, 64 -65.

20. Умаров С.Р. К корректности систем псевдодкс[фэрештальш;х уравнений с аналитический! символами. ДАН УзССР, 1962,

Ї? Э, 9 ~ 1Ü. ' .

21. Уыаров С.Р. О локальней корректности граничних задач для

псевдодиффер&шлюхьних уравнение. ДАН УзССР, 1989, )р 11, 7-9. . ■

22. Уыаров С.Р. Спектральная задача для псевдоди$ференциальннх уравнений с кокплекеккм аргументом. Тезиси догся. школы-семянара "Актуальные вопроси комплексного анализа”, Ташкент » 1983, 122.

231 Уваров С.Р. Разрешимость задаче Коша к Коши-Дирихле для нелинейных дадфарекцнадькых уравнений бесконечного порядка. Изв, АН .УзССР, сер. физ-тт, наук, 1989, Я 5 , 33 - 33.

24. Ушров С.?.„ Накетоеов 1. Преобразование Фурье одного класса атзгшчевхех fyæiasit. Шгеиагическай анализ» &л~ гзора и гвекетрка, Хй.каучкых трудов ТазіГУ. Ташкент, 1990,

' 69 - V?..

25. З'иаров O.P.. ¿добра пееадодкй«репцналышх операторов с пзрекешшкг .адалзитееккмк символами и корректность ссот-ветствувдЕХ уреЕвевнй. Щифїйрзнішальнио уравнения, 19S1,

, т. 27, i £„ ЗПГІ6 - Ш&.

2S. Уиаров С.Р., ¡0 корректности систем псеадодиффербкіщаяьких уравнений .с .перекешшки :бнаяотвчвьк2ми еж/.я-олаж, ДАН СССР,

1991, т. 318, № 4, 835 - 839.

27. Умаров С.Р. О представлении экспоненциальных функционалов. ДАН УзССР, 1990, № 4, 0 - 10.

28. .Умаров П.Р. О критических значениях порядка граничного оператора эллиптических краевых задач. УМН, 1991, т.46, внп. 6, с.201.

29. Умаров С.Р. О дрогіннх производных гармонических функций с заданным следом. ЛАН УэССР, 1992, № ю - 11, 17 - 19.

30. Умаров п.Р. К вопросу разрешимости нормальных систем комплексних псавдодифференциальннх уравнении произвольного пордцка, ДАН УзССР, 1992, №8-9, 12 - 14.

31. Умаров С.Р. Нелокальные граничные задачи для дифЪеренниаль-

по-операторннх уравнений. Тезисы лом ало в шкоян "Современные методы в теории краевых задач',' Воронеж, 4-8 мая, 1992, с. ЮР. ■

32. Умаров G.Р. О корректности граничных задач для псевдодиф-ференциальннх'уравнений с аналитическими символами. ДАН СССР, 1992, т. 322, № 6, 1036 - 1039.

Аннотация

Дисертация икки ,к^ксмдан иборат оулиб, биринчи :$иснда символи иккилаичи аргумент брича махсусликна эга булган псевдодифференциал операторлар наэарияси ивлаб чи^илган еа бу назариа асосида псевдодифференциал тенгламалар ва систеиалар учун уыукий нолокал чегаравий иасалзларнинг ечими иавиудлиги (корроктлиги) ыуамколарк Йрганилган, Иахсус симоолли псевдодифференциал операторлар квант мехакикаси, тулкин наэарияси ва фаннинг бои^а таруо^ларида иу>(им урин тутади.

Диссертщцизда синволи иккилаачи аргумент буйича коуриниа купхилликда , иахсусликка .эга булган псевдодифференциал операторлар учун ани^ланиш ' со^аси ва ' образи ролини уйновчи янги таі|с.имотлар фазоси киритилган, ^аада уларнинг классик Бесов ва Лизоркин-Трибель фазоларида ёпилыаси ыаваудлиги шартлари ани!$ланган. Бу фактларга асосланнб псевдодифференциал тенглака-лар учун уиуйий докал ва лекал б^лиаган чегаравий аасалаларнинг Бесов фазоларида ечиии мавиудлг.ги иартлари топилган. Хусусан Соболев фазоларида бу иартлар зарурнй ва етарли картлардир. Яиумий холда натива банах фаэосида анодрангак ихтиёрий чяэицли ёпш$ опяраторга кос дифференциал-оператор танглаиалар учун чегаравий иасалалар учун олингак. Теорека ааоти баварилмаган холларда ыасалада берилган каълук функциялар учун аник етарли вартлзр топилган, Буидай иасалалардан оирй чегаравий. оператор каср тартибга зга булган холдир. Олинган натика тадбипі сифатида гармоник санкция каср хосиласининг чегараэий ккйи.плари, нуль сатхлари берилгаь полигарионик Функция ягоиалиги ве параиетрга 6о?лшц бйлгак дифференциал - илерагор тенгламалар ечиии иаьаидлиги урганилган,

Наълукки, аргукентлзрв одичай булган сийзояли певздо-днфоереяциах. операторлар иаэарияевда Ф\фъе аляавтирквк хури УГ’ин тутади. Йино Сурье алыавтирисишшг комплекс аналоги фаііда каълуи булнага.члиги саоабяи коклленс псевдодифференциал операторлар наза,інистій яратикда кийинчиликлар каввуд эди, Диссертацией ишдо суіуіі ва аналитик функциялар ва $ у нкциоаа лларнинг і^йтлак фа^иларида Оурье алааитириии аиикланган. Киритилган оператор .чиссалари ¡спу,зтидан классик Фурье алнаытирныига дкии, Бц .-ілйаетіїривгз асосланий, кокллевс аргяаентли исездодиффе-

ренциал опреаторлар алгебраси «урилган, ]$осил «илиигая алгебра тадбири сифатида комплекс псевдодифференциал тенглааалар за систеналар учун уауний б^лган чегзразий аасаяаяар урГ'_нйяган. Чргакилган иасалалар хусдсан Коаи касаласини уз кчига олади. Бу ма$!алар корректлигикинг зарурий • sa »тарлк вартлари Яере-2олввич, хаада Дуглис-Ниренберг гартлари бирлавмасидан иборат эканлиги ксбот дилинган.

Та’кидлаб утааизки. «ероморф сикволди псевдодкфференцкал сператорлар куп (¡ийиатлидир. "Куп дийнатлилин даранаси" фа^атгика сииволга боглии, булиай, балки $айси со.^ада царала-ётгаилигкга .'¡ая богли^дир. Диссертацияда иероаорф сиазояли псевдодйфференцкзл операторларнинг кушдейкатлилигина ифода ¡рлувчи сонли характеристика учун форнула исботланган.

Диссертация нккинчи !$исйида чексиз тартибли дифференциал тенгламалар учун куйилгэн баъэи янги иасалалар вчини иавнудлиги исботланган. Чексиз тартибли дифференциал тенгламалар назариа-сида "энергетик" ечиклар фазосининг тривнал булааслиги иу^иидир. Икни кухна холда, яъни чизи^ли оператор спектрал булган холда ва спектри буя т^плаидая иборат бЭлган холда абстракт "знерггтик" ечкалар фазосининг нотривиэллии элоаати ксбот килингак. Бу иати-яагэ асосланган холда чексиэ тартибли Кози, Кови-Дирихле ва умуиий чизицсиэ чегаравий аасалалар ечиии «авяудлкги курсатилган.

, . SUMMARY

The dissertation consists of tso parts. In the first part it is developed the theory of pseudodiffersntial operators with syabols with singularities with respect to dual variable and on this bass investigated the probles of solvability of problsss for pseudodifferential equations and systeas.

P.s it is aeli known, the theory of pssudodlfferential opers-tors vas found by J.Kohn and L.Sirenberg and L.Horsander in the middle of sexties. 10 year? later by Н.Яаяаге and H.Cordos and O.Hilliaas was studyed the* pseudodiffsrential operators with nonrequiar symbr«is. ftleost sisultaneousiy it vas started b>

■7.fl.Dubinskii , B.fl.PIasenevsKf 1 and otNrs ths invest ids1 ion? or.

f v f! * ' } ■''?c 7 '',r '-i У!!! •'p •* гЬ'*'“Ь

d singularities uith rsspcct to dusl ysridbls. Such Qpsrstors arise in the quantum mechanics, wave theory and other branches of sciences.

in the dissecrtation it is introdused the new spaces of test functions and distributions, uhere a pseudodifferential operators with singular syiahois acts and found the conditions of their closebility up to classical Besov and Lizorkin - Tribel spaces. These facts peraited ■ to establish the conditions of uell-posedness in the Besov spaces of general (nonlokal) boundary probleas for pseudodifferential equations, considered in a strip of the n-dUens.ional Euclidean space. In particularly, in the case oi Sobolev spaces these conditions are nesessary and sufficient. In general case the corresponding result is proved for boundary problems for differential-operator equations ffenerated by a-linear doused operator. Hhsn it is not fulfilled the conditions of theorem it is found the sharp sufficient conditions of solvability far the data of considered probleus. One of the same problem is the .boundary one with boundary operator of the fractional degree, fis an

applications it is studied the boundary values of haraonic

functions and the uniqueness of polyharmonic functions with given zero levels and solvability of differential-operator equations depending on a parameter.

Note that the basic instrument in construction of

pseudodifferential operators with real analitic symbols is the Fourier thansfora. The absence of coaple.x anolog of Fourier transfore have been caused the , specific difficulties by a

constraction of the. complex theory of pseudodifferential operators, Ke determine the Fourier transform in the fiber ’ -;?3ces of analitic and enter funcstions and functionals. This iizri'/i'c-r's is close, to the classical. Fourier transform. Based lc: :I;;i-.rodused transfara ue constract an algebra of complex

operators. As an applications ue study the

iwli-posedntss of general boundary probleas far cseudciiUfierential equations and systeas uith coaplex arguaents. it should be noted that pseudodifferential operators uith BerGBorphic syabols are suitivalent. The "degree of nultivaience" depends not only on its sysbol but also on doeain

»here a symbol is defined. In our trork It Is found the forsula for nuaber characteristic of aultivalense of coaplex pseudodifferential operators.

In the Second part of the dissertation we prove the Solvability of soae new boundary value probleas for differential equations of infinite order. As it is known, in the theory of differential equations of infinite order it is nesessery that the "energy" space of solutions is nontrivial. In two iaportant cases, naaelv when the "energy” space is generated by a spectral operator and an operator with eapty spectrui the nontriviality criterion of this spaces is proved. Thanks to this results it is proved the solvability of soae boundary probleas of infinite order: The Cauchy and Cauchy-Oirichlet ones and Soae boundary probleas utth nonlinear boundary operator of infinite order.