Пульсирующие течения двухфазных и неньютоновских жидкостей в трубах и каналах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

-5/. У П

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

•V.

НАВРУЗОВ Куралбай

УДК 532.529/532.5:532.135

ПУЛЬСИРУЮЩИЕ ТЕЧЕНИЯ ДВУХФАЗНЫХ И НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ В ТРУБАХ

И КАНАЛАХ

01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических иаук

Ленинград — 1990

Работа выполнена в Институте механики и сейсмостойкости сооружений им. М. Т. Уразбаева АН УзССР.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Буевич Ю. А., заслуженный деятель науки и техники БССР, доктор технических наук, профессор Шуль-ман 3. П., доктор технических наук, профессор Заблоцкий Н. Д.

Ведущая организация — Отделение механики многофазных систем института теплофизики СО АН СССР (^Тюмень).

Защита состоится декабря 1990 г. в. ~~ . час. на заседании специализированного совета Д 063.38.15 Ленинградского государственного технического университета по адресу:

195251, ул. Политехническая, 29, корпус —__ ауд--

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Технического университета.

Автореферат разослан _ноября 1990 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук

Е. М. СМИРНОВ

г:.. 2.

,г' „ ( ОБШ ХАРАКТЕРИСТИКА' РАБОТЫ

-Актуальноот;ь проблемы. Развитие мзханики пульсирующих пото-:-к^в-Фрубопроводах с учетом реологических характеристик айдйо-стей. и деформируемости стенок имеет яеоьма большое практичео-коз значений в народном хозяйстве, в частности, в Нефтяной йро-даишеиноотя при транспортировке внсокоШэких нефтей по трубопроводам и при бурении( а технических й технологических процессах для ускорения фильтраций хшдкостей через зсяпиллярно-порйб-тыэ тела -¿в угольной и химической йромшдэянооти, при ьлутрй-почэенном и капельном орошении) ('да ускорения процессов 'экстрагирования вфйрных масел, синтетический материалов,' лекарственных препаратов; для очистка и доводки различная систем а легкой промышленности, медицинской й хйшчеохоЙ.апкаратуре,-

Кроме того, в последние годы а. связй о интенсивным внедро-Наем в практику трубопроводов, изготовленных «э сянтотиЧескйх полимерных (.итериалов, а также с изучением тока кровй-в кровеносных сосудах сил важным учет мех&йичэокйх свойств (подаТЛЙ-вость) их стеной В.некоторых случаях сушественянЧйкже силы, действующе со огоронн окружавшей 'среди» ;Рвшекйв"э№х ёадйЧ-"" ' основано на глубокие теоретических и экспериментальных исследованиях различных видов течений жидкостей и смесвй с.учетом их реологии, структурообразошниН, фддбвнх пэрйхоДов, сЛйпайия и дробления чаотйц и других эффектов. Это, в свою очередь, ", . тесно связано о выбором гидромеханических моделей'о учетом тех или иных физических явлений»- » " ■ - г

Во многих случаях течение сыаси с высокой точностью может описываться нелинейной неньютоновской Моделью о учетам релаксации и иногда без учета ее. К таким жлдКоотям кгаяно отнести следумзде: раствора полимеров, суспензий, гдйниотые раствори, масляные краски» кондитерские, фармацевтические п пишевЫв про- -дуктк, ракетное топливо, строительные и нефтебурШйб раствори,"" пульпн, гздп18 коыпойитпмр магеркалн, {«зиолйгйчошаав' яНахоотп, в том число кровь, слизь и др. Однако в некоторых случаях оме-си, состсНщяе из несколылх компонентов (жидкие и твердые час-гиду, жидкость и пузырьки газа) не могут описываться односко-ростной неньююновской моделыз. В общем случае такй'е смеси

когяо отнести к двухфазным йяв многофазным средам, в которых ' относительные скораота фав значительны ииоташше плотности каздой фавы существенно отличаются друг от друга. Осавдеиаа частиц ва счет сила тяжести в вязкой однородной аяи релакои-рузидей среде охшоываеЕся в (Зольшнотве случаев только много-скороотной "взаимопроникавшей" моделью j так кек в етом процесса двавенив частиц направлено в одну оюрону, в дажение еид-. Костя - в про тиловодойную. Поэтому вйОор гидромеханических моделей очень важен»

Необходимость изучения дшкения смасей в виде одноокороо-таой (гомогенной? я многофазной (готерогенйой) сред и кень&то-иовской жидко от в трубах и Каналах обусловлена распространением прогрессивных способов транспортировки полимерных а синтетических материалов по (трубопроводам* вспольвошнием сий«е~ тическах волокон, усовершенствованием сабербов полава (янутрй-тчвенный, капельный, бороздковШ), а также ростом требований к различный технологическим нроцэссам, например, в бурящихся скважинах для устновлешшв регулирования реологических свойств жидкости, улучшения еффактввности наноса шбурешшх пород по кольдавоку пространству. В процессе е.кснлуатащш таких сйотем йногда могут возникать различные техническив неполадки, приводи®е к снакешда вффактвности кспольэуеыой аппаратуры. Например, ¡шдкоегь, имеишд ршшкоирущйэ свойства при переходных процессах» особенно ори ауоковоы и оотановочиаы течениях, Moser значительно колебаться по основным гидродшшми-ческйм характеристикам» вшивая в рабочей системе резонансные явления, которые могут стать главным разрушающим фактором орта* лов рабочих систем.

Контактная задачагидродяшмлке я в теории упругоста до настоящего времени не требовала "особого внимания. Однако ускорение «аучно-технмчеоксго прогресса потребовала вспольэоваияй наук яа стыке гидроуиругоста, аероупругостй, биофизики, биомеханики й т.п. Задачи гидроупрутости лмеют нешловажное значение ара изучении.гидроприводов, разлйчных технических и.технологических аппаратов, магистральных надземных и лодэерицх трубопроводов, а также при изучении физики явлений при движении крова в крупных артериях и венах,, особенно когда йидкосхь

подчиняется нень&тонрвряаму релакокрумюму еакону, В таких процессах колебание улруговяйкой жидкости сочетается о коле-двтвм о';еда «рубоцрсйодв,

Этд лсследовавня дгрякг значительную роль при оценке уп~ р1то-девормгпшцого овойотва отанкя трубопровода. В целом специфика таких ®адач со стоит в том,, что вдэсь приходится ре-кат'Ь два й йоязэ взаимосвязанные вадачш рассматривать течение кидаооти или смеси» деформации втенкя й окружавшей ореда . под действием гидодо'.нашмаскех сил* ймеотй о тем на границах раздела вмэото классических условий необходимо еадавать болев 0Й0КНН8 усдоййд сапряйайия« Отсюда оледует, что рассматриваемые процессы действительна весьма йяоша» что оаусловлоно необходимостью так составления йеолог.чческкя уравнений, так и решения сопряжений йадач;,

8 связй о №й (¡ольшяатва отечественных й еаруйешк tfc-' сяедоватэлэй привадят указанные сяотёш уравншйй к упроией-иому Mijtty, счатая| нанрашр, Что дефориацая oTeittai. происходят и рамках лянейной упругой йодвлй* йротйеэйезд в ней япдкбЬгь -ньютоновская {а в некоторая ся- вдшльмая) п Кройе' того, йеКоторйе кз них с£рзнйОДЁйЫ:оя гйдравйгёёскимй прабяа-женйями Потока в трубопроводах раоскатряваютс^ s основном й сгаШонарйОй йли квазйстацйойарной поотапо&ке. 3 то во время во Шсгих технических» 'технологических й апологических прйбля-, жв!Шйх ймзют место существенно иемацйЬШряне» й огдвяннШс .слу-т чаях пульсирующие течеййЯ, прй этом Часто реологические Ьйой-ствй текущей «itfkactn смйьйЬ отличаются от ньютоновских, а деформаций стенки не подчиняются лййейному закону Гуйа. Поэтов, в указаний вМе проблемах существенную роль играете учат нелинейности реологических законов кндкосгей а деформаций стенок трубопроводов! В связи с stmt ара поотроайгШ ciicreiia ураМекйЙ требуется конкретизация рассматриваемого круга явлений путвы введения гипотез относительно свойств жидкости , стенки и окружающей среды, а также, возможно* упрощение последних.

В этах Перечисленных направлениях для решения конкретных пра:.тЙческйх задач Необходимо совместно рйшйФь ряд уравнений, отражающих определенные физико-мехйНическйе законы, которые одедНолагайтся справедливыми для раесматрйьйешх явленйй, В

связи с этим з данной диссертационной работе в основном рассматриваются сопряженные задачи< выводятся уравнения сохранения массы, уравнения количества движения для шдаомей и оме-оай и да деформации огонки трубопровода. Составляются реологи-чзotólo уравнения состояния л соответствующие начальные в граничные условия. Ба основе paspadoтайной теории решаются конкретные практические вадачи, особенно пульсирующего течения жидко си* и стоя в трубах и каналах о деформируемыми и недефор-шруемыми стенками, возникающие в инженерной а биологической механике.

Цель .исследования заключается в разработке гидродинамической теории пульсирующих течений в напорных трубопроводах и каналах о учетом реолотчаческих характеристик жидкостей и смз-сей и деформируемости охенки. На основе этой теории осуществлено :

решение конкретных задач о пульсирующем течении яайьюгоно-вскях жидкостей л смесей в трубах и каналах со сложной геометрией (экаоткой, деформируемой, разветвленной и т.н.) и анализ полученных решений с точки зрения обнаружения новых гидродинамических эффектов как в ламинарном, так и в турбулентном режиме течения; ■

исследование процесса установления нестационарных истоков как при течении нвныотоновоких жидкостей, так и при течении двухфазных сред;

изучение скорости распространения пульсовой волны и давления на стенку упругого русла при' протекании в нем жидкости сложной реологии;

определение характера изменения гидравлического сопротивления в нестационарном процессе с учетом реологической характеристики жидкостей и стойка трубы;

установление закономерностей затухания амплитуда колебаний давления и расхода жидкости;

. выявление путей -уменьшения полного сопротивления движению жидко очи при пульсйрумием течении по длине трубопровода в. зависимости от различной, геометрии как в ламинарном, гак .и п турбулентном режиме течения; ■ исследование пульсирующего точения двухфазных сред в тру-

бах плоского, круглого и кольцевого сеченпГц

выявление элективных способов скорости осаждения групповых частиц в вязкой однородной среде.

Объект ppo.neKQPap.nft - нестационарные и стационарные пуль-сирувдзо те'и-чня ненызтоновмотх, двухфазных вязких жидкостей в трубах с раллпчными механическими свойствами стенки (жесткая, вязкоупругая, разветвлвнная) при ламинарном и турбулентном репшах течения.

Devosu иоследотаявя. Для реыэния ряда нестационарных задач применена мотодн математической физики, в частности преобразование Jlaimca-KapeoHa, методы Зурьо? методы Даламбера, косинус-пресбразоганме бурьо о кояочвюа прздедаив* Дав решения недя-ивйиюс задач пршленени тагла чпалешшв методы: методы конечных разностей, метода мультивязких приближений, метода аппроксимации сплайн-фушсц;::!, метода иторадпн» методы прямой и обратной прогонки. Для обработки окешрппшталышх данных применены метода теория вероятностей и ызтематической статистики, в частности метод наименьших квадратов.

Научная нопг'^тгп, разработана теория пульсарухяях потоков в напорных; трубопроводах о учетом реологии глдкостей и дефор-' ?.г.;руемоота отснял, Рсшзн ряд коифотгазс практических задач в лзие.'щой п нелинейной постановке. Ипедкояен едшшй подход к решению класса задач с распространением гармонических волн в вязкоупругпх трубопроводах, внутри которал течет копыотспсвс-кая упруговязкая глдкость по пульсиружипм законам, Проанализированы особенности переходных процессов в труба;: п каналах при течении реологически слоглмх яядкоотей о учетом деформируемости стенки. Решен ряд задал о дшизешш неныэтоновиюх кидкостей в трубах п каналах ш основе аппроксимациошгаЙ модели и определены пределы ее применимости для конкретных случаев. Исследованы пульсирующие течонйя нейьетоновгашх жидкостей в круглой, цилиндрической, и плоской трубах п выявлены новые гидродинамический эффекты. Исследованы турбулентные пульсирующие поток;) яидкойгей в круглой, цилиндрической и кольцевш. трубах с применением приближенной аппроксигационной модели, где турбулентный поток жидкости рассматривается гак течение "наследственной" среды, при этом обнаружены новые гидродинамические

закономерности в турбулентном пульсирующем штоке. Решены задачи о распространении гармонических волн в вязкоупругом трубопро воде в условиях турбулентного режима течения. Исследованы пульсирующе течения вязкоядеалышх и вязких двухфазных сред в круглых, кольцевых и плоских каналах при наличии пристенных слоев. Найдены эффективные способы определения скорости оседа- . ния групповых'частиц, б частности эритроцитов, в вязкой (плазменной) фазе.

Практическая .ценность. Разработанная теория о пульсирующих течениях реологически сложных жидкостей в деформируемых и недоформируемых трубах и каналах является вкладом в дальнейшее развитие гидромеханики неньютоновских жидкостей. Решение класса задач о распространении гармонических и негармонических волн в упругом и вязкоупругом трубопроводе при ламинарном и турбулентном режимах течения позволяет более точно охарактеризовав упругодеформатинные состояния стенок труби. Полученные формулы ври решении задач пульсирующего и непульсируюшего течений жидкости н смеси в разветвленных трубах и каналах позволяют рассчитывать оптимальный режим орошения и элементы техни-1Ш полива применительно к новым способам орошения (внутрйпоч-ввнному, капельному, импульсному й т.п.),'при распределении по бороздам, ответвлениям и магистральным каналам.

Разработанные методы исследования неустановившегося течения упруговязкой "наследственной" жидкости в трубах и шпалах дают возможность правильно оценивать происходящие в физике явления при пуске и останове рабочих органов транспортирующих систем. Результаты исследования движений неньютоновских жидкостей в трубах и каналах могут быть широко применены при транспортировке высоковязкой нефти по трубопроводам, при бурении, нанесении покрытий на провода и кабели расплавом полимеров и других композитных материалов, а также контейнерном транспорте. Исследования пульсирующего течения двухфазных сред в трубах и каналах при наличии пристенного слоя могут быть применены при регулировании пропускной способности трубопровода. Полученные эффекты скорости оседания групповых частиц в двухфазной среде Могут быть применены при диагностике в медицине и рафинировании массл.

Апробация работы. Отдельные результата работа и работа в целом доложены на семинарах лаборатории механики жидкости и многофазных сред Института механика и сейсмостойкости сооружений имени М.Т.Уразбаева АН УзССР (Ташкент, 1986-1988), Республиканской конференции молодых ученых и специалистов (Ташкент, 1978), Всесоюзной конференции ш механика сплошных сред (Ташкент, 1973), Всесоюзной школе по механика многофазных сред (Ташкент, 1982), Всесоюзном зональном совещании ЩГХ "Тепло и массообмен" (Ташкент, 1983), Республиканской конференции по гидродинамике многофазных сред и ее приложению к нефтедобыче и орошению (Ташкент, 1984), У1 Всесоюзном съезде по механике полимерных и композитных материалов (Рига, 1986), Всесоюзной конференции механики оплошных сред и электродинамики (Рига, Латвийский госуниверситет ям.Стучки, 1986), на научно-теоретических конференциях Хорезмского госпединститута имени В.И. Ленина (Ургенч, 1986-1986),

Публикации» По теме диссертации опубликовано 2 монографии и более 25 научных статей.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения^ сели глав, выводов, изложена на 30? страницах машинописного текста, включает в себя рисунков и список использованной литературы из 181 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЙ ДОССЕРШЩ

Во введении обосновывается актуальность темы, сформулирована цель исследования, кратко наложено содержание диссертации, дан обзор исследований, связанных непосредственно с рассматриваемыми в диссертации вопросами,

В главе I выводятся основные уравнения движения неньютоновских жидкостей в деформируемых трубопроводах. На основе феноменологического метода исследования рассматриваемые жидкость или твердое тело считаются сплошными средами. Вывод основных уравнений основывается .на балансовых соотношениях пли принципах сохранения, отражающих соответствующие физические законы, при этом уравнения сохранения массы любой определенной системы, уравнения движения сплошной среды "в напряжениях" вы-, водятся в общем виде для жидкости, газа и твердого тела. Отличая между ними выражаются в составлении реологического уравне-

ни я состояния, определяющего связь мезду напряжением и скоростью сдвига. Классическим примером этих уравнений является закон Ньютона для жидкости, а для твердого тола - закон Гука. Однако многие жидкости и твердые тела не всегда с достаточной полнотой описываются классическими законами. Поэтому в этой главе описаны реологические уравнения состояния для упругих и неупругих неньютоновсхкх жидкостей. Вместе с тем выводится уравнение деформации стенки трубопровода с учетом ее реологических свойств. Общее уравнение динамики сплошной средл выводится в § 1.1. Здесь привадятся уравнения законов сохранения массы для однофазной и для многофазной среды. Уравнения количества двикения приводятся для однофазной односкоростной среды в "напряжениях". Вместо реологического уравнения как частного случая приводится закон Ньютона. Для анализа неныотоновсКих жидкостей и составления его реологических уравнений состояния жидкость в § 1.2 разделяется на две, группы: жидкость, не обладающая упругими свойстваид (нелинейновяэкая* вязкопластичпая) в обладающая ими (упруговязкая, упруговязкопластичная), Нелинейная жидкость с достаточной точностью до квадратичного члена описывается на модели Рейнера-Ревлина |

где В - тензор скорости, у. - скалярные функции, зависящие от I,, 1г, 13 . 1с - трех главных инвариантов тензора скоростей деформации, 1 - единичный тензор. Уравнение (I) обобцается для вязнопластичшй жидкости на основании понятия предельного напряжения текучести . В этом случае *и<еС0 скорость сдвига всегда остается равной нулю, а кажущаяся вискозометрическая вязкость стремится к бесконечности. Таким образом, вместо уравнения Рейнера-Равлина используется обобщенное уравнение вязкопластичной жидкости

«с-т. = д (В). <«

Уравнение (2) для одноосного течения имеет вид

Здесь д(?) о достаточно высокой точноотью можно аппроксимировать полином /V - степени или линейным, кубическим оплайном

т»« 4

или в беараввдрной форме

Таким путем вязкоддаошчну» модель, не учитывающую упругие свойства| можно записать используя формулы (3), (4), (б).

В атой главе приведен подробный обзор по составлению реологического уравнения состояния упруговязких и упруговязко-пластичных жидкостей. Среди предложенных многочисленных моделей наиболее обобщенными моделями упруговяэких жидкоотей являются модели Трусделлаи Нолла, основанные на аксиоматичеокйх подходах рациональной, механики '

(6)

Здесь . «=а - тензорный функциойал, ) - тензор деформации Нощи. В этих моделях в отличие от других дазкопластйчных моделей напряжение определяется не, мгновенной деформацией око-роотей, а ее полной предысторией. Для медленных течений первым приближением простой жидкости является уравнение ньютоновской, а вторым приближением - уравнение Ревлина-бриксона. Хотя нолла в ска я жидкость обобщает большое количество- моделей и от нее следует целый класс* определяющий уравнения, или как целый клноо поведения материала, но как раз это обобщение является' ее недостатком, так как большинство течений, предетавляюаих практический интерес, нельзя изучить заранее, не определив конкретный вид функционала.

Как и следовало ожидать, возможны и другие описания сложного поведения, наблюдаемого в реальных жидкостях. Наиболее •

I.I

распространенной моделью упруговаэглх жидкостей в инженерной механике является обобщенная даковелловская модель. Она основана на одномерных механических моделях, составленных из "пру-екн" (упругость) и "поршней" (жидкость). Эта модель в большинстве работ обобщается комбинированием, соединением маковеллов-ских тел. В стационарном процессе, как в частном сл^-гае, из обобщенной максвелловской модели при VVc могшо получить ньютоновскую и обобщзнно-ньютоновскузо модели. ОдШако из этих моделей (модель Труеделла и Нолла, обобщенная модель Гкаксвел-ла), как частных случаен, не можем получить вязкопластичпуга, так как максвелловская жидкость в гидростатическом положении (т.е. в состоянии покоя) не может неограниченно долго поддерживать непзотропные напряжения, происходит движение (или деформация) жидкости. Поэтому пластическое тело в нестационарном состоянии на описывается обобщенной маковслловской моделью. По-видимому, Шведов впервые вместо релаксационной формулы Максвелла пре тюлшд реологическое уравнение для упругивязко- . пластичных жидкостей, где вместо напряжения сдвига была исполь-аоЕана разность предельного напряжения сдвига. В этой главе также обобщается шкевелловеная модель для упрутовязкошЬстич-рой жидкости путем замены Т - тензора напряжения на

Т- Т„ - разностьи тензоров. Здесь Т0 есть остаточный тензор напряжения, практически не релаксируюший. Таким образом, для упруговязконлаотпчной жидкости предложена обобщающая максвелловская модель

Hs -, Js-p = iu l , Т-т- Т» . (7)

Для конкретных реологических моделей параметры /к f c¡ к , Я„)

имеют определенные значения. Например, для моделей Мейстра ( И )

1 = i, (С №ЛЛ , JL- !Ь.

Берда-Карро (в к) j ; д _ i j{ £ д* ) ^

Шкдональда-Еерда-Карро (П5н) £ - (\Л® Лв)/(1 *Лк

Следует отметить, что описание реологического уравнения состояния более сложной жидкости (в стационарном случае имеющей неньютоновскую зависимость) приходится сталкиваться с нелинейно!! формой начальной ньютоновской вязкости, В этом случае вме-ото ^ = необходимо использовать нелинейную стацио-

нарную кямуыукся вязкость. Однако в нестационарном случае она может зависеть также от времени. Отсюда следует, что шшепри-. веденные модели являются первоначальным этапом описания реологически слокяшс жидкостей. Описания сильнонелинейнцх моделей упруговязких, упруговязкопластичных и ряда других кидкостей (здесь имеется в виду "реопексия" и "тиксотропия") требуют тщательного изучения специальных сложных материалов о точки зрещщ их реологии. Приведены динамические уравнения деформации стенки трубопровода с учетом его вязкоупругих свойств. Кроме вышеизложенных в этой главе предложены методы аппрокси-^ мации функции а помощью полиномов, сплайнов и.сходящихся рядов. Сформулированы начальные и сопряженные краевые условия для сложных систем (жидкость - оболочка - окружающая среда)* В главе 2 анализируются некоторые особенности пульсируют-« течений неныотоновских релаксирумцих яидкоотей в трубах^ стенки которых деформируются согласно закону линейной вязко-упрутой модели. Как известно, решение неустановившихся задач приводит к значительным математическим трудностям даже для ньютоновской жидкости. Поэтому для решения задач применяются методы упрощения, основанные на оценке членов, входящих в уравнения. Предполагается, что отношение толшины стенки к диаметру трубы шло и стенка жестко прикреплена к окружающей среде. Влияние окружающей среда учитывается гак присоединенная к оболочке масса. Кроме того, труба считается длинной и

трах моделей

незакрепленной, отношения поперечной скорости к продольным скоростям, а также отношения радиуса к ее длине весьма малы. На основании принятых допущений приведены системы уравнений, описываюие течения неньютоновских жидкостей в длинном вязко-упругом канале, имеющем плоское или круговое поперечное сечение, в упрощенном виде

дэс. эг ^ <> ъг '

ai

эв, a. D

i.tK'

: Для того, чтобы завершить математическую постановку Задачи о пульсирующем течении неньютоновских жидкостей в длинном вязкоупругом канале, необходимо составить уравнение деформации стенки, определить начальные й краевые условия. Так¡как рассматриваются малые деформации стенки, притом чисто радиальные, можем считать, что стенки трубы или канала жестко при- ,• креплены к окружающей среде, вследствие чего она не может совершать двияения вдоль оси. О учетом этих предположений получена упрощенная модель деформации стенки в виде

стенка трубы деформируется с малой амплитудой, первоначальное положение является круглым, поэтому при 4= о, о жидкость в начальном состоянии предполагается "покоящейся",

* 4 = при -1=0.

рассматриваемое течение происходит в длинном канале, поэтому рыб раны его характерные участки, имеющие, длину. ¿ и ширину А ,

причем выполняется условие Vi ¡L < < 1 . Формулы давления в начальном и конечном характерном сечениях представлены в обобщенном комплексном виде, реальная часть которых описывает движение жидкости в вязкоупругом канале.

lia. стенке канала или трубы задаются условия сопряжения: поперечная скорость равняется скорости радиального перемещения стенки, а продольная скорость удовлетворяет условиям прилипания. В оси трубы выполняются условия осесимметричности течения.

Видно, что полученные системы уравнений являются нелинейными относительно сжимаемости и реологии жидкостей, так как

Jî сап.$1 , , дк определяются с помощью модели (м) , (в*), (М6К)являются функцией скорости деформации, поэтому системы уравнений (8), как известно автору, не имеют аналитического решения, кроме случая, когда ; аги, , Этот случай всегда выполним для малосжимаемой (капельной) жидкости, Кроме этого, для медленных течений, где скорость деформирования меньше скорости релаксационных процессов, можно ограничиться линейным приближением, считая, что I,. I, тогда Ри = 1» [2^,

с = (г - ге - ta)/3 . % = , * = >

таким путем система уравнений полностью линеаризуется, и для колебаний с малой амплитудой можно получить аналитическое решение для канала плоского и круглого сечения.

Для каналов плоского сачения легко произвести численные расчеты. Однако при решении задач длЯ круглой цилиндрической трубы полученные расчетные формулы содержат Бесселевы функции, аргументом которых являются комплексные переменные. Выделение его действительных и мнимых частей в общем виде не существует. Поэтому при малых и больших модулях аргумента получено асимптотическое решение. Задача решена аналитическим путем, с помощью применения преобразования Лапласа-Карсона и получены расчетные формулы для распределения давления и средней объемной 'скорости потока. Они являются весьма сложными и громоздкими для расчета. Поэтому для качественного анализа исследованы

некоторые частные случаи, вытекающие из общих, но имеющих важное значение в технических и технологических процессах.

Исследованы установившиеся течения упруговязкой жидкости в каналах плоского и круглого сечения с жесткими стенками, когда градиент давления изменятся по периодическому закону во времени. Результаты численных расчетов для течения упруговязкой жидкости 'со свойствами не зависящими от скорости деформации ^ 1 показывают, что профиль скоросш в пульсирующем штоке существенна отличается от профиля скорости вязкой ньютоновской жидкости в зависимости от числа упругости

Е Ь , характеризующего отношение времени релаксации и времени прохождения через трубу, сдвиговых возмущений в вязкой жидкости, т.е. ЕЬгА^/^Ь! . С другой стороны, пульсирующий поток вязкой жидкости характеризуется колебательным числом Рейнольдса и* а рУ, Ь8, />1 или Яеы = .

Следовательно, пульсирующее течение упруговязкой жидкости в плоском и круглом канале характеризуется двумя числами - числом упругости еА , и числом Рейнольдса Когда <<<1, то распределение скоростей в пульсирующем потока происходит, ■ как в вязкой ньютоновской жидкости. С* увеличением <*. 1! профилях скорости появляются распределения колебательного характера при течении ньютоновских и упрутовязких жидкостей.'Однако в упруговязкой жидкости м -образные профили скорости начинаются при меньших значениях колебательного числа Рейнольдса. Особый интерес иредсгавлшш следующие предельные случаи: X) 1>>Кеи»Е1, 2) Кеи>>1>>Е1.) 3) ^ ^ Е I >> Ке^ 4) > > £ I. » 1,

б) б Ь > > 1 . > >. К ем 6) £ ц > > > > 1.

При выполнении условий I) и 3) движение жидкости безинер-ционно. В этом случае колебательный поток упруговязкой жидкости существенно не отличается от ньютоновской, причем распределение скоростей имеет параболический характер. Все законы, существующие для вязкой ньютоновской жидкости, в стационарном режиме_полностью выполняются. Тем самым колебание скорости, расхода жидкости и другие динамические характеристики колеб-

лютея в той же фазе, что и градиент давления. В случае 2) процессы переноса с учетом упругих свойств безинерционны, а в текущей жидкости определяются именно инерцией и .наличием пограничного слоя. Упруговязкая жидкость ведет себя как вязкая ньютоновская, так как время реолаксации существенно меньше, чем характерное время распространения вязкого сдвигового возмущения. В 5) случав, где колебательное число Рейнольдса существенно меньше единицы, распределение профиля скорости в вязкой ньютоновской жидкости носит яораболическнй характер, а в упру-говяэкой жидкости в распределении профиля скорости а отличив отньвтоновских наблюдается колебательный, т.е. отклоняется от параболических распределений. Сувдаотвеннне изменения происходят в случаях 4) и 6). Здеоь прослаивается опережение колебания градиента давления по фазе а отклонение в профилях скоростей от параболической. Кроме того, упругие свойотва жидкости такке существенно влияют на колебательный процесс.

При больших значениях йеи>>»1при течении'в каналах упру-говязкой и вязкой ньютоновской аидности наблюдаются м -образные профиля скоростей, т.е. максимальное переметение частиц ' жидкости происходит около станки, меньшее - а центре трубы. Кроме того, возможно одновременное движение в разных оечениях по радиусу в противополоаных направлениях, Появляются -образине профили скоростей при течении вязкой жидкости, которые связаны с одновременным действием двух эффектов: инерции яид-кооти и вязкого трения. С ростом частоты уменьшается глубина, на которую распространяется влияние трения жидкости о стенки, увеличивается область в ядре штока, где определяющую роль играют силы инерции. Под действием мгновенного значения градиента давления в слоях жидкооги у стенки, имеющих меньшую скорость из-за влияния вязкости, изменение скорости происходит быстрее, чем, скажем, в ядре потока, В результате скорость жидкости у стенки может менять знак под влиянием изменения знака градиента давления, а в ядре потока за очет инерции движения продолжается еще в прежнем направлении. Этим объясняется возможность появления в профилях распределения скоростей 'при осциллирующем патоке м -образного профиля.

Исследована осредненная скорость по поперечному сечению

в осциллирующем потоке в зависимости от числа упругости и колебательного числа Рейнольдса и? , При условии, что числа упругости и колебательного числа Рейнольдса намного меньше единицы, градиент давления и осредненная скорость колеблются в одной фазе и амплитуда колебания скорости определяется по законам стационарного бесколебательного течения. С увеличением в колебании расходной характеристики наблюдается сдвиг от фазы градиента давления и уменьшения амплитуды колебаний. Этот эффект значительно усиливается при течении упруговязкой жидкости, когда число упругости значительно. При значениях >, 1 о практические колебания амплитуды расхода жидкости равняются приблизительно нулю, а сдвиг фазы в вязкой ньютоновской такой же, как и в упруговязкой жидкости. Другой характерной особенностью пульсирующего потока упруговязкой жидкости является исследование полного гидравлического сопротивления и индуктивности (импеданс) для ньютоновской, а также упруговязкой жидкости. Ишеданс-определяется отношением градиента давления к средней скорости. Расчеты показывают, что полное.гидравлическое сопротивление увеличивается при пульсирующем потоке 'с ростом колебательного числа , когда жидкость подчиняемся ньютоновскому закону. При течении упруговязкой жидкости пол- '' ное гидравлическое сопротивление возрастает, когда числб упругости значительно меньше. При больших значениях в числе упругости Е I может происходить уменьшение гидравлического сопротивления даже от сопротивления при стационарном течении.

Исследован аннулярный эффект Ричардсона при различных значениях колебательного параметра Уомерсли при пульсирующем течении ньютоновской жидкости и при течении упруговязкой жид- ' кости.

Результаты расчета показывают, что распределение осредненно< го квадрата скорости имеет максимум вблизи стенки, а не на оси трубы. Это характерно для ньютоновской и упруговязкой жидкости. В отличие от ньютоновской жидкости при течении упруговязкой .аффект Ричардсона значительно усиливается, что каблвда-егся в профиле осредненного квадрата скорости колебания по радиусу трубы.

Проанализированы неустановившиеся течения упрутовязкой кидкости в трубах круглого и плоского сечений с жесткими стенками под действием постоянного градиента давления. Для конкретного случая вместо упрутовязкой жидкости принята модель Зддройда с двумя релаксационными коэффициентами. Установлено, гго в начальный момент внезапно повышается скорость и расход кидкости возрастает до некоторого максимального значения» затем постепенно он уменьшается, асимптотически, стремясь к зна-1ению при установившемся течении. Иссяедпта также эффект "Уп-)утого возврата" для максимальной скороаш и расхода жидкости 1ри снятии градиента давления. Эффект сзиествент зависит от шсла упругости Е1 . Когда II** * , процесс существенно не »тличаетоя от процесса установления параметров ньютоновской шдкости. При Ц 3 & наступают самые максимальные

солебания, в том числе максимальный эффект упругого возврата I плоской трубе. При Ъ/, » 1 , например, вне области существования комплексных корней уравнения колебательный характер [ерехода действительно исчезает, процесс заново переходит к [ыотоновскому закону, когда Е I мало, а при больших [вреходный процесс имеет диффузионный характер.

Таким образом, анализ полученных численных расчетов пока-ывает, что влияние свойств упруговязких жидкостей на процесс :ерехода от нестационарности к стационарности существенно в проделанном диапазоне значений числа упругости . ., в конк-етных случаях, когда течение происходит в плоском канале, чис-:о упругости изменяется в интервале (0,6; 4). Вне.э^ого интер-ала упругая жидкость ведет себя практически как ньютоновская ри малых значениях Е и , при больших в жидкости на наблюда-тся колебаний переходных процессов, в частности, расход жид-ооти и скорость сначала монотонно убывают до некоторого мини-ального значения, затем постепенно увеличиваются, асимптоти-еоки стремясь к значению при установившемся течении .

Для качественного анализа решения также исследованы пульси-ующие течения неньютоновской жидкости в вязкоупругой трубе при ольших значениях времени. В этом случае изменение давления, родней объемной скорости и других гидродинамических парамет-ов существенно зависит от волнового параметра.

VIыа = + }

где - коэффициент затухания волны на единицу безразмерной длины; - безразмерная скорость волны, т.е. безразмерная скорость распространения колебаний в направлении оси Величина характеризуется с использованием сжимаемости

жидкостей и растяжимости вязкоупругих стенок трубы в виде

где с«= V £о/(!>*1)*Л (1 "" егг) - скорость Моэнса-Кор-товеча. Для конкретных случаев с«. - распространение пульсовой волны давления на стенка может быть значительно меньшим, чем скорость звука в капельной ящдкости. Например, в крупных кровеносных сосудах с*,» 5 + 8 м/с, 1400 м/о, с„„

0,033 * 0,053, т.е. с«./а, намного меньше единицы. Поэтому в этих системах" жидкость можно считать несжимаемой. Тогда выражение 6 (с а) наиног'о упрощается. н - комплексный безразмерный импеданс, равный ~ /V • Для малых п больших значений параметра приведены асимптотические формулы для ■?( и £ и ■Найдены формулы для определения скорости распространения пульсовой волны давления на стенку. Для изучения распространения пульсовой волны давлений:'ло потоку и против из общего ращения вадачи в частном, .случае при- ^ г о и £ ** > В1- о получена формула

р =Р„[Л еМ- ^7Ш*) ~ еХ)] >

где Р4 - давления в начальном и конечном сечениях трубы. Отсюда следует, что пульсовые волны давления и вязкоупругой цилиндрической трубе распространяются с одной и той же скоростью по потоку и против него, однако амплитуды колебаний различны. Коэффициенты /1 и ЛЛ при малых значениях + 1 неограниченно возрастают, но их разность

Л езс^ {-МЫТГПЩк)- (¿¿) (1 -

Следовательно, при значениях ju|« 1 давление в вяз-коупрутой трубе распределяется по линейному закону, т.е. в этом случае по закону Луазейля. При больших значениях \7{ + ij\ » IjA-* I; ./),->• о распространение волны против потока можно не учитывать. При о, \ < 1•»■ jaИ < 1 распроотранение волны по течению и против течения необходимо учитывать.

Исследовано также изменение безразмерного расхода й/й„ в зависимости от o)t при разных значениях сх и переходные процессы в вязкоупругих и жестких трубах. Установлено, что в вязкоупругих трубах амплитуда колебаний давления и расхода жидкости имеют меньшие значения, чем в жесткой трубе. Кроме того, пульсации давления, скорости, расхода и других гидродинамических параметров затухают по длине трубопровода. Нестационарные процессы устанавливаются быстрее в вязкоупругой трубе, чем в жесткой. Вязкоутгругие свойства стенки могут существеннее влиять на затухание, чем на скорость распространения волны давления.

В главе 3 численным методом решены задачи о движении неньютоновских релаксирукишх жидкостей в трубах плоского, круг-« лого и кольцевого сечения. Решения построены на основе неявной, консервативной конечно-разностной схемы. Линейная задача, когда релаксирующие функции имеют постоянные значения, решается прямой и обратной прогонкой. Нелинейная задача решена простой итерацией. Рассматривается неустановившееся течение упруго-вязкой жидкости в трубах под действием постоянного градиента давления. Приведены численные результаты расчета. Выявлено, что в отличие от ньютоновской жидкости одной из физических особенностей упруговязкой жидкости является то, что в начальный момент времени для отношения максимальной скорости к стационарной после достижения своего максимального значения начинается стадия монотонного убывания. В этой стадии данное отношение может быть даже меньше стационарной скорости. В итоге в последующий момент наблюдались случаи колебательного движения.

Исследуются неустановленные течения нелинейноупруговяз-ких жидкостей в каналах плоского и круглого сечения. Нелинейные свойства жидкости не влияют существенно на процесс уставов-

лоякя гидродинамических параметров, когда число El < < 1 , ® Г;рогивном случае могут значительно отклоняться от линейности, Исследуется также эффект упругого возврата при неустановившемся течении. Как известно, такая картина течения не отмечается при течении ньютоновской жидкости, где переход к установившемуся режиму происходит плавно, в монотонно убывавшем ре-•жиме. Жидкость, имеющая упругую деформацию, вызывает инерционный возврат, который существенно отличается от плавного перехода. В этом случае после прекращения воздействия градиента давления движение жидкости резко замедляется. Значение скорости, расхода жидкости и другие гидродинамические параметры могут быть в 3-4 раза меньше тех же величин, чем в стационарном 'случае,

В целях более глубокого изучения этого процесса поставлены 'следующие задачи: в момент времени t* i* в плоской и круглой , трубах в стационарном состоянии происходит движение улруговяз-кой жидкости, Начиная с момента 1: = t* градиент каления вне- ■ "запно снижается, наступает неустановившийся процесс. Для наглядности приведены результаты численных решений, полученных 'при помощи моделей Мейстера, Берда-Карро, Макдональда. Йыявле- , но, что при движении ньютоновской жидкости после снятия градиента давления переход осуществляется монотонно. При движении же упрутовязкой жидкости возникает резкое снижение скорости, а в последующие моменты скорость и другие гидродинамические параметры резко возрастают, затем, колеблясь вокруг своего стационарного значения, переходят в режим установившегося состояния. Резкое изменение гидродинамических характеристик некоторых технических состояний в переходный период, т.е. повышение характеристик течения в результате мгновенного изменения градиента давления или мгновенного понижения градиента давления до нуля, приводит к разрушению рабочей системы, а в некоторых случаях может привести к появлению резонансных явлений. Ввиду этого при управлении движением упруговязкой жидкости в переходный период движение жидкости следует рассматривать гене следствие плавного увеличения или уменьшения градиента давления.

Исследование неустановившихся пульсирующих течений упру-

говязгсой жидкости а трубах и каналах плоского и круглого сечения показало, что релаксационные свойства жидкооти существен- • но влияют на колебания профиля распределения скороотей, В уп-руговяэкой жидкости м -образные профили начинаются при мень- ■ ших значениях колебательного' параметра «х1, , в данном случае

¿о = 0,1, при = 10 , = 2,5, V/« «= 1,5 Этот эффект ньютоновской жидкости начинается при значениях

. Кромо того, в упруговязкой жидкости в несколько раз увеличивается амплитуда колебаний по оравнению с амплитудой колебаний'ньютоновской жидкости. Наложение колебаний градиента давления вдоль канала, заполненного упруговязкой жидкостью, вызывает опережение смещения жидких частиц около стенок, чем на оси трубы, Этот эффект также наблюдается при течении ньютоновской жидкости. Сравнение численных результатов течения упруговяз1Шх жидкостей с результатами аналитических решений для ньютоновской жадности показало, что эффект опережения фазы смешения жидких частиц около стенки наблюдается раньше, и в усиленном варианте происходит при течении упруговязкой жидкости, так как в упруговязкой жидкости инерционные перемещения более выражены по сравнению с ньютоновской.

В главе 4 исследовано нестационарное течение реологически сложных жидкостей в простой разветиленно жесткой трубе с одиночным ветвлением (простым называется трубопровод постоянного диамотра без местных неоднородностсй). решении зчда-чи сделаны некоторые допущения, размеры уз::о .достаточно малы по сравнению с длиной трубопровода., концевые незначи-

тельны, в узлах разветвления выполняются условия непрерывности давления и расхода лшдкостн.

Принято, что до врс:лопи о клдкость в основной трубе движется под деЗстшск псняклсгося по периодическому закону градиента давления, начиная с момента ^ = о внезапно возникает движение в «ЗокоьоЛ (ответвленной) трубе н это течение .па всех участках обусловливай.' нозннкновеняе иве/ацэогюрзде процессов. На основа укозешке: кредяоложонвЗ и допудаизй движшпо жида ;сти в каждой трубе сызсаваетой лииоолизироваинами од помор«-ним! уравнениями дшвкшзя упруговязкой жидкости при .градиентах давления, задаваемых в :;пде

ЭР™ _ , .V«' а=с - «"V ¿т

- к*л I (С-ад

V- т

где функция, причем ¡^т) = I при т> 1 , и ^(Ь) ^ о

при =1; Р, - средние заданные давления в ш мольном сечении основной трубы; ^ м Р, - средние заданные давления в конечном сечении основной и ответвленной трубах; Рс (-1) среднее давление на ответвленном участке; ■C^ , €г , С $ -' значения длин соответствующих труб, Р,*, , Р,* } рД } р*, > Рт,,, ?ПС , Р„, •, р*, - коэффициента Фурье; со -

круговая частота колебаний; п- - номер гнрмоники колебаний.

На стенке скорость удовлетворяет' условиям нрилшшшя. С применением преобразования Лшиюса-Вяроопа но переменной получено решение.задачи, при этом найдены формулы для распределения давлений, скоростей и расхода жидкости, а тек*« определено давление в зоне разветвления.

Для анализа решения исследованы нестационарные процессы в области разветвления с осредненннш по времени пмршлетргпш ,• а также осциллирующее течение ньютоновской жидкости. Осреднением по'периодам колебаний получены формулы для рлопределения давлений, скоростей и расхода жидкости.

Для конкретных расчетов приняты следующие значения параметров:

Я , г ; = 2; < ; в. Г} 4= 4 = 4 > рс/?*=г,

р

- Ю (Ч -о. »1 г *.»«■'/<«*> ¡^О. с м/с.

Расчеты показали, что при внезапном возиякиовшя* от егт-влешш происходит пероргшцюделенпе гидродинамичеекку ияр-и'ет-ров, существенно эависяпео от огисп'»1!ия рпдиусп "¡оч'иг.й,т^убы к радиусу основной. При о на учостке от1>'пвл"«пя т кренив имеет значение Рс.= 7 и после обртзонании бокового чече-

гая для случая 1?, ¡Кг - 2 оно резко падает до 6,,41, затеи медленно возрастает до предельного значения С,48, При /Ка = 0,6 давление на участке ответвления скачком падает до 3,6, с течением времени давление падает, до предельного значения 2,64.

Следовательно, в указанных вариантах давление устанавливается по-разному: в первом случае, когда радиус боковой трубы меньше радиуса основной, оно падает резко, затем увеличивается, а во втором, когда /й, =0,5, давление падает медленно, продолжает уменьшаться.

Численные расчеты проведены также для определения времени установления расхода жидкости. В данном случае'после открытия боковой трубы расход жидкости устанавливается тем быстрее, чем больше расход. Существенное перераспределение расхода жидкости наблюдается при

КЛгг Я , ; пг ; г, I и, ~ О, г.

Исследовано пульсирующее течение жидкости в разветвленной трубе для определения влияния пульсами потока на изменение давления в зоне разветвления. Согласно чйслсшшм расчетам, амплитуда давления в разветвленной области эиачзтелыю изменяется при частоте колебаний .ь» в интервале иы<«. г ч/с«1^ При дальнейшем увеличении а амплитуда давления существенно но меняется. При частоте, соответствующей частоте колебаний в артериальном русле (<ЛэгТГ /сел ), амплитуда колебаний давления почти полностью восстанавливается.

В гл^яе. 5 рассмотрены приближенные решения задач движения неньютоновских жидкостей в плоской и цилиндрической трубах при помоши аппроксимации сходяшхся рядов и сплайн-фуикций.

Решена -задача движения неныотоповской жидкости н плоской и круглой цилиндрической трубах при помош ллпроксимпционшй модели, осиоиашюА н.ч яскаипо^жл; счодешзсся рп^ь

/ 'Г \,Т1

т = у. "... С1.....

Здесь Т - скорость сдвига, а.т ~ кооф^лционт ряда, который определяется при помощи разложения функции в ряд Тейлора, л окрестности' Та К^у имеет свое значение, соответствующее каждой частной модели ньютоновской и неиьютоповской жидкостей;

шкеат&й®« зшчввие касательного напряжения» имеющего место для рассматриваемого случая на стенках, при атом определены скорости сдвига в упругом ядре, а также вне ддра. Предложены в общем виде формулы расходов вязкой жидкости и упругого ядра.

Дтя конкретного случая движения жидкости в трубах рассмотрены модели Кессона, Шверова-Бингама, приведено решение задач для плоской и круглой цилиндрической труб,

Найденные решения сопоставлены с точными решениями для некоторых частных случаев "(ньютоновской, ыведова-бингамовской и кэссоновской жидкостей). Расчеты показывают, что при учете первых грех членов ряда погрешность приближенной формулы составляет 1,5%.

Решена задача движения неньютоновской жидкости в трубах бесконечной длины при. помощи аппроксимации линейных и кубических сплайн-функций.

Получены формулы распределения скоростей, объемного расхода потока. В качестве примера рассмотрен случай кэссоновской жидкости. Приведены численные расчеты, результаты сопоставлены с точными решениями. Сравнение при А7 =10 (где У -число деления области) точного и приближенного значений объемного расхода при различных значениях (где и. и * - радиусы,ядра и трубы) показало, что погрешность приближенной формулы не превышает 0,5,1. Отмечено, что Использование метода сплайн-функций упрощает решение задачи и, экономит машинное время прй вачйслекйях алгоритмов.на ЭНЛ.

' Ксследохаяз 5акке пульсирующее течение неньютоновской жидкости в круглой й плоской бесконечных трубах при малых и больших амплитудах колебаний расходов. Задача решена при помощи ап-проксимацаонной модели о применением сплайн-функции. Получено уравнение движения. Учтено ядро штока, т.е. поле течения разделено на две области (ядро, вне ядра), В ядре поток нэньюто-новской жидкости движется как жесткий стержень, т.е. здесь пренебрегают его упругой деформацией. Вне ядра она создает поде потока.

Сформулировано граничное условие - условие прилипания на твердой границе (стенке),, а также равенство скоростей и каса-

тельных напряжений на границе раздела.

Равновесные уравнения движения упругой области предложены ? с учетом того, что разность поверхностных и.внутренних сил в рассматриваемой области равна силам инерции жидкости. Пульса-1 ция потока создавалась при помоют вынужденных колебаний градиента давления, что обусловливает колебания и других гйдро- . динамических параметров: скорости касательного Напряжения, радиуса упругого ядра потока и т.д.

Решения получены с применением аппроксимации сплайн-функ-. •ции первого порядка, при этом градиент давления считается периодически неменяющимся во времени. На границе упругого ядра выполняется условие максимума< а на твердой стенке - условие прилипания. На узлах каждой подобласти выполняется условие непрерывности скорости, касательного напряжения и скорости сдвига. Для решения задачи методом мультивязкпх приближений поле 1 потока разбивается на- Ы равных слоев. Зависимость касательного напряжения от сдвиговой скорости аппроксимируется на каждом отрезке деления с помощью кусочно-линейного сплайна.

Решение для каждого слоя найдено в виде ряда по гармоническим компонентам. Задача решена в нулевом и нервом приближениях. Нулевое приближение характеризует стационарное движение со средним градиентом давления, в котором происходят колебания. Первое приближение определяет колебания распределения скорости, расхода и других гидродинамических характеристик. • '1

Расчеты проведены для случая, когда в трубе движется вязко-пластичная жидкость согласно модели Шведова-Бенгама.' Упругая область течения при пульсировании имеет колебательный характер; в этом случае радиус ядра при низкочастотных колебаниях значительно изменяется по амплитуде, а при высокочастотных -незначительно отслоняется от своего среднего значения.

Численным методом также исследованы решения задач о пульсирующем течении неныотоновских жидкостей, подчиняющихся стеленному реологическому закону под воздействием пускового и осциллирующего градиентов давления. Задача решена численным методом з неявной конечно-разностной форме. Сравнив численное решение уравнения движения неныотоновских жидкостей, при п = I / аналитическим решением ньютоновской жидкости при прочих рав-

ных условиях, мн установили, что для всех радиальных координат результаты численных и аналитических решений согласуются в пределах 1%.

Результаты анализа -доказали, что скорость на центральной линии пускового потока быстрее достигает стационарного состояния при большем значении показателя степенного закона. Сдвиг фазы между давлением и скоростью изменяется в поперечном сечении трубы, обладая максимумом на центральной линии, в зависимости от колебательного параметра Уомерсла Ы.0 , причем для каждого случая сдвиг фаз возрастает о увеличением показателя степенного закона. Во всех случаях с увеличением чаототы колебаний сдвиг фаз мзаду давлением и скоростью асимптотически приближается к 90° в зависимости от показателя степенного закона.

3 главе 6 дан краткий обзор проблемы неустойчивости пульсирующего течения, т.е. перехода ламинарного пульсирующего течения к турбулентному. Решены задачи относительно турбулентного течения жидкости в круглой цилиндрической трубе, в стационарной и киазистационарной (пульсирующей) постановке, при этом нелинейная турбулентная вязкость учитывается на основе гипотезы Л.Прандтля. Длина пути перемещения определяется с помощью формулы Л.Прандтля-Нпкурадзе, .демпфирующий множитель находится по кодифицированной формуле Ван-Дриста. Для решения задачи нелинейная турбулентная вязкость аппроксимирована линейным сплайном и при реаениа задач применен метод мультивязких приближений. Результаты решения стационарной задачи сопоставлены с экспериментальными результатами Никурадзе. Получены аналогичные результаты. Как известно автору, пульсирующие турбулентные течения, начиная с 1959 г. привлекали внимание многих исследователей. Установлено, что при транспортировке твердых групповых частиц в воде о помощью искусственно созданных пульсирующих потоков экономия энергозатрат достигает 33%,

С этой целью в главе 6 исследованы пулисирукаав турбулентные течения мдакостя в круглой цилиндрический т^убе. решении задач нелинейная часть уравнений е.;:лро:;оиг»гс;?свана линейным сплайном. Града е. пдавления ^ -..ил синуех^адльпому-закону. Получены формулы для распределяя вдофихл ока;-ости и объеиюго расхода жидкости. Результата анализа пульсирующего

турбулентного течения жидкости сопоставлены с результатами той же задачи при ламинарном течении,

Выявлены существенные отличия в распределении скоростей по поперечному сечению трубопровода в различные моменты. В турбулентном течении жидкости А -образные профили появляются при -больших значениях колебательного параметра Уомерсли, в данном случае при Ы„> 10, тогда как при ламинарном течении они начинают появляться при о< >, 4. Кроме того, в турбулентном течении жидкости в несколько раз увеличивается амплитуда колебаний сравнительно с амплитудами колебаний ньютоновской жидкости. Сравнение численных результатов расчета турбулентного течения с результатами аналитических решений той 'же задачи для ньютоновской ламинарной жидкости показало, что эффект опережения фазы смешения жидкой частицы около стенки наблюдается позднее при турбулентном гечешш, чем при ламинарном.

В главе, 7 анализируются пульсирующие течения вязкоидеаль-ных и вязких двухфазных сред в круглой и плоской трубах с учетом и без учета пристенного.слоя.

При движении глубинных насосов, при спуско-подъемных операциях и трубопроводных транспортировках имеют место движения различных смесей, моделируемые как двухфазный поток. При таком движении появляется пристенный слой. В технике трубопроводного транспорта для уменьшения сопротивления движения потока, характеризуемого меньшей вязкостью -по сравнению с основным потоком, ' ■ пристенный слой создают искусственно. Исследования показали, что при движении двухфазных сред в трубопроводах несущая жидкость образует пристенный слой, а при движения нефти со свободной поверхностью около стенки возникает водяная подуака..В некоторых случаях пристенный оффект наблюдается также при точении крови в сосудах.

Изучено движение вязких двухфазных сред в крутлой цилиндрической трубе бесконечной длннн. Задача решена в предположении, что среди нссяшкаеш, приведенные шкшгоста постелили, движение происходит прямолинейно и параллельно оси' цилиндра, толЕина пристенного слоя незначительна, течение в отом случае куэттовскос (линейное). Для решения задачи испольеовппы уравнения взаимопрониканиях сред Рахматулина. За граничные условия

приняты условия прилипания к стенка, равенство скоростей, а также касательных напряжений на границе раздела.

Система уравнений движения интегрирована методом Даламбера, определены распределения скоростей и расход каждой фазы смеси. Проведен численный анализ полученных формул, а также исследована реология смеси вязких двухфазных сред с учетом пристенного слоя. Изучено влияние этого слоя на параметры течения для различных плотностей и вязкостей фаз. Выявлено, что с увеличением толщины пристенного слоя до определенного значения расход' всего потока увеличивается, если вязкость жидкости этого слоя меньше вязкости каждой фазы.

В этой главе также решается задача по определении параметров многофазных сред в пульсирующем течении, Исхода из модели многоскоростной гидродинамики, математически эта задача формулируется в виде нелинейной системы дифференциальных уравнений.

Для упрошения уравнений произведена оценка членов, входящих в уравнения, в предложениях,.что отношения поперечных скоростей к продольным, а также ширины канала к длина трубы оесь-ма малы. После оценки и линеаризации по Озеену эти уравнения сводятся к приближенной линейной системе дифференциальных уравнений параболического типа. _ .

Для решения этой задачи применено косинус-преобразование Фурье-с конечными пределами по поперечной координате. Найдены формулы для определения распределения скоростей фаз. На основе этих выражений исследовано пульсирующее течение Двухфазных сред в бесконечной трубе, когда среднерасходовые скорости подчиняются периодическому закону во времени. Для этого случая построен график изменения скорости в сечениях трубы в различные моменты времени.

Выявлено, что при пульсирующем или осциллирующем течении кинетической энергии будет больше в слоях, близких к стенке, а не на оси трубы. Это значительно выражено при течении менее вязкой фазы в двухфазном потоке. Проведены числовые расчеты для определения ранее установленного эффекта Ричардсона в_ двухфазном течении. Расчеты показали, что для этого течения эффект существенно зависит от состава и реологических свойств смеси. Например, при добавлении менее вязкой фазы.к более вязкой эф-

фект усиливается.

Проведены теоретические и экспериментальные наследования групповых осаждений частиц в двухфазной среде,- Теоретически модель осаждения частиц основана вд мпогоокоростном движении смесей. Математически эта задача формулируется в.виде нелинейной системы дифференциальных уравнений взаимопроникавших многофазных сред, При решении задач приманен метод конечных разнос-.. той, Экспериментальные я теоретические данные указывают на су-" юеотвован«® различных кривых оседания групповых частиц.в зависимости от коэффициента агрегации. Кривые, полученные теоретическим й экспериментальным путем, хорошо согласуются мзкду собой. •

ОСНОВНЫЕ ВЫВОЛУ

I, Составлены реологические уравнения состояния неупругих (обобщенно-ньютоновских, вязкопластичных) и упругих (упруто-вязкопластичных) жидкоотей в обобщенном виде. Выведены дифференциальные уравнения деформации стенки трубы с учетом того, что внутри нее течет вязкая'неньйтойовская жидкость и труба изготовлена иэ вязкоупругого материала»

Предложены методики линеаризации системы-^решений движения неньютоновских ралаксируших жидкостей в трубах, стенки которых деформируются согласно законам линейной вйзюупругой модели.

Даны решения задач о неустановившемся течении неныотоновс-ких релаксйруздшх- жидкостей в трубах и каналах о учетом и без учета податливости стенок труби. Проанализированы неустановй-шиеся, установившиеся и пульсирующие течения упруговязкой жидкости в трубах а каналах плоского, круглого и кольцевого оече-•шя с жесткими и податливыми отенкамл.

В установившихся пульсирующих режимах течения упруговязкой видкости выявлены появления М -образного профиля скорооти при леНьших значениях колебательного параметра Уомерслп в отлпчио >т течения ньютоновской жидкости. Исследовано изменение полного гидравлического сопротивления и индуктивности (импеданса) 1ри -пульсирующем потоке ньютоновской жидкости. Такая же карта-га иабледается при течении упруговязкой жидкостикогда число гпругосги значительно меньше единицы. При больших значениях- ■ араметра упругоотй в течении наблвдается иная картина, па,.

полное гидравлическое сопротивление уменьшается, имея некоторый максимум в зависимости от колебательного параметра и упругого числа . Даже при £1. О Д8 может происходить уменьшение полного сопротивления сравнительно непульсяруыаего (стационарного) потока.

2, Исследован аннулярный эффект Ричардсона при разливших значениях колебательного параметра Уомерсли как при пульсирующем течении ньютоновской жидко с: л., так и при течении упруговязкой жидкости. Установлено, что максимальные перемещения ньютоновское! жидкости 'у стенки происходят при изменении

в интервале (8,9), а при 10 линеаризуется практически

равномерное распределение колебательной скорости по сечению трубы. При пульсирующем течении упруговязкой жидкое«! аннулярный с^ект Ричардсона усиливается сравнительно с ньютоновской Жидкостью, а также могут наблюдаться колебательные изменения При распределении осреднешого во времени квадрата скорости от радиуса трубы.

3. Проанализированы переходные процессы при течении упруговязкой жидкости в 'трубах круглого, плоского и кольцевого се-чешя, когда градиент давления внезапно прикладывается или снимается, при этом выявлены существенные отличая переходных процессов, возникавши при течении упруговязкой жидкости, от процессов при течении ньютоновской жидкости, наблюдается монотонный переход нестационарных процессов к' стационарному. При течениях упруговязкой жидкости значения скорости и расхода, резко увеличиваясь, доходят'до своего максимума, в максимальной'точке'их значения могут быть в 3-4 раза выше своего стационарного значения. Затем наступает стадия уменьшения и колебательного перехода к стационарному режиму течения. При сбросе градиента давления наблюдается следующая картина: в начальной стадии, значения скорости и расхода резко падают, образуя обратное течение по потоку. Они могут достигать 2,5-3-кратного значения в зависимости от числа упругости в начальный момент, затем начинается монотонное увеличение И колебательная стадия переходного процесса. Анализируется влияние нелинейных реологических свойств жидкости на распределение профиля скорости установления гидродинамических характеристик при переходном цро-цессе.

4, Построены решения задач о нестационарном пульсирующем течении ньютоновской жидкости в трубах с учетом податливости стенок трубы. Вязкая упругость стенок описана на. основе линейной вязкоупругой модели Больцмана-Вольтерра без учета влияния ' окружающей среды. Определены интервала изменения- волнового параметра с», 1 1 , в котором для рассматриваемой задачи существенное значение имеет прямая (падающая) и отраженная (обратная) волны.

Выявлено, что колебания расхода жидкости в упругой "'рубе существенно зависят от параметра Усмерсли, причем основные изменения происходят в интервале о, 1 < ы> < . Давление, скорость и расход в упругой трубе устанавливается быстрёе, чем в труба с жесткими стенками. Вязкоупругое свойство более существенно влияет га затухание, чем на скорость распространения волны ' давления.

5. Решена задача о нестационарном течении непьктоновской жидкости в простой разветвленной трубе. Рдйдеиы выражения для распределения профиля скоростей, расхода жидкости и давления в области стветвленпя, В качестве примера в разветвленной об-.••зоти исследованы течение ньюхокопской жидкости. Установлено, что при внезапном возникновении ответвления происходит перераспределение гидродинамических параметров; выявлено, что давление в области разветвления устанавливается быстрое, чем расход. Эта особенность существенно зависит от отношения радиусов'' разветвляющих труб. Результаты исслэдспаппй показали, что гидродинамические параметры (давление, скорость, расход и т.п.) в области разветвления устанавливаются медлен не (в десятки раз), чем в прямо¡1 трубе.

6. На основе приближенной модели неньвтомвскоИ жидкости решен ряд конкретных задач движения в трупах и каналах. Найдены предали применимости модели путем сравнения тлучминк приближенных результатов с точными решениям!, шкмячио, -«то ирч сллайн-аннроксашши «олучихи'ся более точные результаты, чем при разложении функций в ряды. Вштлепы эффекты, указывающие па то, что радиус упругого ядра вязкоплаечт.чвого потока колеблется по поперечному сечению трубы. При низких частотах амплитуда колебания радиуса упругого ядра существенно изменяется, а

при высоких оотаегся практически неизменной,

• 7. Численным методом исследованы решения задач о пульсирующем течении неньютоновоких жидкостей, подчинявшихся степенному, реологическому закону и подвергаемых в круглой труба совместному воздействию пуокового и осциллирующего градиента давления, Сравнив численное решение о аналитическим, в чаотности, при значении показателя степенного параметра п при прочих равных уоловиях установлено, что для всех радиальных координат результаты численных и аналитических решений согласуются в пределах 1%, "

Численные результаты показывают, что скорость на центральной линии пускового потока быстрее достигает стационарного состояния при,большем значении показателя степенного закона. Сдвиг фазы между давлением и скоростью изменяется в поперечном сзчении трубы, обладая максимумом на центральной линии, в зависимости от колебательного.параметра Уомерсли, причем для каждого данного случая сдвиг фаз 'возрастает о увеличением показателя степенного закона, Во всех случаях с увеличением частоты колебаний сдвиг фаз между давлением и скороотью асимптотически приближается к 20° в зависимости от показателя степенного за- ' кона. При больших значениях последнее приближение к 90° происходит. медленно,.

8. Решены задачи о турбулентном течении жидкости в круглой цилиндрической трубе в- стационарной и пульсирующей постановке при помощи применения апарокоимационной приближенной модели методом мульгивязких приближений. Полученные результаты. сопоставлены с экспериментальными результатами Никурадзе, получено хорошее совпадение.

Приведено сравнение пульсирующего турбулентного течения жидкости о ламинарным при прочих равных условиях. Выявлены существенные отличия в распределениях скоростей по поперечному сечению трубопровода в различные моменты времени.

9. Предложен аналитический метод решения задач о пульслру-тви течении двухфазных вязких сред в плоской и круглой трубах. Выявлено, что в пульсирующем течении с увеличением частоты ко-, лёбания, наблюдается опережение фазы в оси трубы по отношению

к слоям, расположенным близко к стопкам, причем при течении

менее вязкой среди опережение более значительно. Научение осред-пенного во времени кг-адрата скорости при пульсирующем двухфазном точении вдоль циртш копала логаэало, что эффект Рйчардсо- • па проявляется более значительно при добавлении Менее вязкой фаза к более вязкой.

10. Проведена теоретические и экспериментальные исследования групповых осаждений частиц в двухфазной среде. При решении задач применен метод конечных разностей. . Расчетам! показано, что нахождение компонентой скорости, их эволюционной части уравнений движения прй применении явных схем накладывает очень строгое ограничение на шаг по времени. Возрастает схемная вязкость и снижается адекватность модели изучаемому явлению. Поэтому компоненты скорости находились из уравнений, сйисывашах • взаимодействие фаз» что позволило увеличить шаг по времени в несколько раз.

11. Экспериментальными исследованиями оспдашш частиц в ньютоновской жидкости, в частности о'седания эритроцитов в крови человека, выявлено, что .оно происходит неравномерно, скачкообразно, периоды ускорения оседания сменяются замедлением. Особый интерес представляют два типа оседания: Первый - оседание эритроцитов, которое было не очень интенсивным в начале наблюдения, с осветлением пристенного слоя, за счет накопления эритроцитов в ядре капилляра, Второе - интенсивное оседание эритроцитов, которое начиналось в начало ¡аблкшшя, пропсхо- ■ див'пее без осветления пристенного слоя. Вместе с тем влияние станки на оседание частиц в жидкости существенно зависит от радиуса капиллярной трубы. Выявлено, что кривая скорости оседания эритроцитов (СОЭ) зависит от характера и тяжести болезни, фракционное исследование оседания эритроцитов более тоньше отражает состояние организма, чем СОЭ в обычной модификации. Измене- • ние кривых оседания эритроцитов отнесено к самым ранним признакам, указывающим на улучшение или ухудшение состояния больного при отсутствии каких-либо клинических симптомов (температуры, морфологических изменений крови п т.д.).

Экспериментальные и теоретические данные показывают на существенное различие кривых скорости оседаний эритроцитов в процессе наблюдения в зависимости от коэффициента К (агрегации).

Кривые, полученные теоретическим и экспериментальным путем, хорошо согласуются между собой,

В заключение следует отметать, что рассмотрено современное состояние гидродинамики пульсирующих потоков при малых скоростях. Цроведеш исследования однофазных, двухфазных штоков на различных гидродинамических моделях; ньютоновской, неныотонов-ской, релаксирующей, линейной, нелинейной, упруговязкой,- уцру-говязкопластичной, а также изучены движения двухфазных сред в рамках взаимопроникающих моделей. Теоретические результаты, приведенные в диссертационной работе, могут найти применение при решении некоторых вопросов техники, биомеханики, сельского хозяйства и других отраслей народного хозяйотва. Следует продолжить изучение движения пульсирующих потоков с учетом сложной реологии жидкооги и податливости стенок трубы в двухмерном, трехмерном пространстве. Этд работа ограни;чивается решением одномерных, в некоторых случаях двухмерных задач пульсирующих течений релаксирушйх жидкостей в тонкостенной деформируемой и недефорыируемой трубах при малых деформациях. Это направление должно развиваться и в направлении исследования труб с толстыми стенками, с учетом сложной реолотии жидкостей. Естественно, что в этом случае задача приобретает более сложный вид, необходимо преодолеть математические трудности, связанные с ее пространственноотью, реологической сложностью жидкости и стенок трубы. Это требует применения численных методов решения и их реализации на ЭВМ.

Принятые обозначения:

- плотность; С -напряжения, = - тен-

,зор сдвиговых напряжений или девяатор; - символ Кронеке-

ра; - динамическая вязкость; г - единичный тензор;

в - девиатор тензора скоростей деформации; > -

первый, второй, третий инварианты тензора скоростей; ф - скорость деформации; * - радиус трубы{,■ В» радиус срединной поверхности трубы; i - время; *г - радиальная координата;

х - продольная координата; И - ширина канала; Ь, - тол-пина стенки; - предел текучести; - напряжения на стенке; ъ) - частота колебаний; Р - давление; Я^ - время

релаксации; дзета-функции Ригана; Б, - модуль упругос-

ти Юнга; и, г> - продольная й поперечная скорости жидкости;

т) - геометрический параметр канала; .- кинематическая вязкость; б" _ коэффициент Пуассона; - скорость распространения пульсовой волны давления (скорость Моэнса-Кортевеча);

■X, ц - продольная и поперечная координаты} Т - девиатор , тензора напряжений! V - среда ера сходовая скорость; fij, -плотность материала стенки; - перемещение или деформация стенки; Т, - характерное время; U - характерная длина ; 9t -дефект модуля; £(t) - интегральное ядро релаксация; Ы„ - колебательный параметр Уомерсли; а,„ - коэффициент ряда; Л** -объемный модуль упругости жидкости; безразмерные числа (критерии): Re ест и h\ - число Рейнольдса; Д \\ ¡j<\, число упругости; vin - число Байсенберга; - скорость звука.

Список основных работ, опубликованных но теме диссертации

1. Наврузов К, Гидродинамика пульсирующих течений в трубопроводах. - Ташкент: Фан, I2BS. - 112 с.

2. Файзуллаев Д.Ф., Наврузов К. Гидродинамика пульсирующих потоков. - Ташкент: Фан,- 1986. - 192 с.

3. Файзуллаев Д.®,, Наврузов К. Движение двухфазных сред в . сужающейся плоской трубе с .дефоршруемшд! стенкамп//Изв..

■ АН УзССР, серия техн.наук, 1975, К 5. - С.38-42.

4. Наврузов К. О движении вязкой жидкости в трубах о-деформирующейся стенной. М. Деп. ВИНИТИ, й ISO!, 1975.- 7 с. '

5. Наврузов К. Некоторые вопросы гидродинамики двухфазных срод

в трубе с деформируемыми стенками, Автореф. дне. ... кавд. физ.-мат.наук. Ташкент, 1976. - 15 с. 8. Наврузов К. Пульсирующее течение вязкой несжимаемой двухфазной среды и круглой цидшщрнческой трубе//ДДН УзОТ, I9VC, Г> 7.- С. 16-17.

7. Наврузов К. Пульсирующее течение вязкой несжимаемой жидкости в трубах/Дезисы докл. Республ. конф. молода ученых и специалистов. Ташкент, 1978. - С.54-55.

В. йайзуллаев Д., Радоабова Р.Я,, Наврузов К. О движении вязкой несжимаемой жидкости в круглой трубе с медленно изменявшимися отенкакл//Изв.АН УзСЗР, серия техн. наук, Х978, • 1} о: - 0.52-58, •

9. Наврузов К. О движении вязкой несжимаемой жидкости в круглой трубе при малых числам Рейнольдса//Исследования па теории чисел и механике. - Ташкент, 1979. - 0.7-10.

10. Файзуллаев Д.и., Каврувов К., радшбова Р.Я. Пульсирующее а перистальтическое течение ¡.шдкистп в трубах/Лкиотедш докл. Всесо&зк.конф. по ксхаивко сплошшх сред. Ташкент, 1579. - С,23.

XI, С;аЙзуллаез Д.ф.,Наврузов К,, йаттаов Ф.Н. Иульсярушаэ тече иве вязкой нёюхгаексй жидкости в круглой труби с раавэт-влеклег^/ДШ УэССР, 1981, Я 10, - С.20-23.

13. Оайзуллаев Д.Й., Наврузов К., Радаайсшз Р.Я» Неустановившееся течение вязкой несклшеыой пщсосчк а круглой трубе с переменным во времени градиентом равленпя//Кзв.АН УзССР, серия гехн.иаук, 1Э82. - 2. - С.45-48.

13. Наврузов К. Периодические течения в трубе с медленно изменяющимися сгенкаг.ш//Иссяедования по механике жидкостей., -Таилсеят, 1984. - С.12-20.

14. Наврузов К., Раджайова Р.Я. Пульсирующие течения вязкой жидкости в трубе с упругими свойствами стенки/УИоследова-ния по механике жидкостей. - Ташкент, 1634. - С.28-44.

15. Файзуллаев Д.&., Наврузов К., Радаабова Р.Я. Распространен! .пульсовьос. волн жидкости и уирутопронпцаемнх трубах/Дезисы докл. Республ. конф. "Гидродинамика многофазных сред и ее

'приложение к нефтедобыче и орошению". - Ташкент, 1984» -С. 27.

16. Сайзулпаев Д.Ф., Наврузов К, Обобщенная апцроксимавионная модель неньютоновских кнда>сгей//Изв.ЛН УэССР, серия техн. наук. 1985. И 3. - С.54-58.

17. Наврузов К., Радкабова Р.Я., йайзудлаев ,Д.Ф. Пульсирующее течение жидкости в'трубах с различными реологическими,свой ствамл стенки/Дезксы докладов на У1 Всесоюзном съезде по прикладной и теоретической механике. - Ташкент, 1986.-С.47

18. Наврузов К. Распространение гармонических волн в вязкоупру-гом трубопроводе, содержащем жйдкость//Тезисы докладов на У1 Всесоюзной конфоренции по механике полимерных композитных материалов. - Рига, 1986, - 0.89,

19. Наврузов К., Ахмедаанова Г.Д,, Якубоа Б.С. Об одном приближенном решении задач неныотоновоких жидкостей//Изв,АН УзССР, серия техн.наук. - I9E6, - № 5. - С.51-56.

20. Наврузов К., Радкабова Р.Я. Пульсирующее течение вязкой жидкости в трубах с упругими свойствами стенки//Гидрогазо-динамика одНо- и многофазных сред,- Ташкент, 1986. - 0.6863.

21. Наврузов К., Раджабова Р.Я. Пульсирующее течение вязкой жидкости в трубах с различными механическими свойствами стенки/УГидро- газодинамика одно- и многофазных'сред. -Таикент. - 1986. - C.B4-I02.

22. Наврузов К., Раджабова Р.Я. Стационарные течения жидкости в трубах с прониадешш стенка,чи//Гидроазродинамика многофазных сред. - Ташкент. - 1987. - С.66-72.

23. Радкабова Р.Я., Наврузов К. Пульсирующие течения жидкости в трубах с проницаемым) стенками//Гвдрааэродинамика многофазных сред. - Ташкент. - 1Э87. - С.73-84.

24. Наврузов К., Якубов E.G..Ахмеданова Г.Д., Хакбердиев Д.Б. Приближенная механическая модель нелинейно-вязких жидкостей и ее приложения/УТезисы докладов па Республиканской научно-теоретической конференции "Механика жидкостей и многофазных сред".- Ташкент, - 1988. - С.34,

25. Наврузов К. Гидродинамическая теория пульсирующих потоков //Тезисы докладов Республиканской конференции, посвященной памяти академика АН УзССР X.А.Рахматулина. - Ташкент. -1989. - С.32-33.

26. ФаЙзуллаев Д.Ф., Наврузов К., Хакбердиев Д.Б. Нестационарное течение жидкости, в вязкоупругих трубах//Изв. АН УзССР, серия техн. наук,- 1989.- Js 7, - С.40-47.

27. Наврузов К., Ахмеданова Г.Д., Якубов Б.С., Хакбердиев Д.Б. Движение ивныотоиовскоп жидкости в трубе с учетом пристеночного слоя//Изв.АН УзССР, серия техн. наук. - 1989. - J5 2. - С, 53-56.