Пульсирующие течения вязкой жидкости в трубах с различными механическими свойствами стенки тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ,.

ГЛАВА I. НЕСТАЦИОНАРНОЕ ПУЛЬСИРУЮЩЕЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ

В ТРУБАХ.

1.1. Течение вязкой несжимаемой жидкости в трубе с жесткими стенками

1.2. Течение жидкости в трубе с учетом упругих свойств стенки

ГЛАВА 2. НЕСТАЦИОНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ. ЖИДКОСТИ: В РАЗВЕТВЛЕННЫХ ТРУБЯ.

2.1. Решение задачи нестационарного течения жидкости в зоне разветвления

2.2. Нестационарные процессы в области разветвления с осредненными по времени параметрами колебаний

2.3. Изменение давления в зоне разветвления осциллирующего потока

ГЛАВА 3. ПУЛЬСИРУЮЩЕЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ С

ЖЕСТКОУПРУГОПРОНИЦАЕМЫМИ СТЕНКАМИ

3.1. Постановка и основные уравнения задачи

3.2. Стационарное течение жидкости

3.3. Особенности решения задач пульсирующего течения в упругопроницаемых трубах

3.4. Течения в жестких трубах с проницаемыми стенками

Актуальность проблемы* Интенсивное развитие трубопроводного транспорта в народном хозяйстве, в частности, в нефтяной,химической и текстильной промышленности, технологических процессах, гидротехнике, гидроприводах, гидропонике, при гидротранспорте, а также при изучении явлений в биологической механике вызывает острую необходимость исследований течения вязкой жидкости в различных трубопроводах с учетом упругой, упругопроницаемой характеристик стенки.

В последние годы большое внимание уделяют изучению пульсирующего течения вязкой жидкости в трубах, так как пульсирующий поток может ускорить фильтрацию жидкости через проницаемую стенку трубопровода и намного увеличивает процессы экстрагирования эфирных масел, синтетических материалов, лекарственных препаратов и т.д.

В области биологической механики особый интерес представляет реконструкция артериального русла с оптимальным искусственным заменителем (трансплантатом). При этом заменитель должен быть биосовместимым, биоинертным, нетоксичным, тромборезистентным /23Д Обеспечение этих требований в некоторой мере зависит от процесса установления нестационарных потоков и характера изменения скорости распространения пульсовой волны давления на стенку упругой трубы при протекании по ней вязкой несжимаемой жидкости. Кроме того, эти факторы являются одним из наиболее надежных показателей упругодеформативного состояния сосудистых стенок и позволяют с достаточной точностью количественно характеризовать величину упругого напряжения сосудистых стенок (артериального и искусственного заменителя).

Впервые результаты исследований пульсирующего течения жидкости в жесткой и упругой трубах опубликованы Громека И.С. в работах / 19,20 7. В них он определил скорости распространения пуль-срвой волны*

Затем пульсирующее течение в трубах с различными механическими свойствами стенки исследовали Витциг К. / 96 7, Крэндал И.Б. С80 7i Айберал / 89 7, Уомерсли Дж.Р. / 97-102 7» Атабек Г.Б. и Лью Г.С. / 74,76 7» Кокс Р.Г. / 25,78,79 7, Мирский И. / 90 7, Клип В. /83,84 7, Вирлоу Д.К.,Руло В.Т. /557, Энлайкер М.,Максвелл Дж.А. / 89 7» Медведев П.В. / 34 7» Амбарцумян С.А.,Мовси-сян Л.А. /"2 7, Рачев А.И. /487, Рубинов СЛ.,Келлер Дж.Б. /91/, Аминзаде Р.Ю. /4/» Регирер С.А.,Руткевич И.М. /50,51/, Миролю-бов С.Г. / 36,377, Валтнерис А.Д. /77, Лай*фут Э. /27/, Скейлак 3. /93,947, Фрайя Дж.А. /81/, Григорян C.G. и др. /15-187, Макдо-нальд Дж.А. /88/ и др.

Витциг К. /96] задачу о течении жидкости в тонкостенной трубке решает с помощью линеаризированных уравнений Навье-Стокса. Он получил формулы для определения скорости распространения пульсовой волны, полного сопротивления и скорости и первым учел влияние вязкости на параметры течения и распространения пульсовых волн в стенке.

Крендал И.Б. / 80 J, решая задачи пульсирующего течения в жесткой круглой бесконечной трубке, вывел формулы для профиля скорости, расхода жидкости,и импеданса при распространении синусоидальной волны давления.

Айберал А.С. /82 7» рассматривая пульсирующее течение жидкости в трубке, учитывал упругость стенки. Для описания течения жидкости он использовал линеаризированные уравнения Навье-Стокса, а для стенки - одномерные уравнения теории упругости. Результаты Витцига и Айберала мало отличаются друг от друга.

Уомерсли /91-102] более подробно исследовал пульсирующее течение жидкости в упругих трубах и сделал некоторые приложения к течению крови по кровеносным сосудам (артериям)» Он проанализировал скорость распространения пульсовой волны и степень затухания импульсов давления. Кроме того, показал уменьшение амплитуды колебаний и фазовые сдвиги расхода жидкости в зависимости от параметра

Атабек Г.Б. /75/ пульсирующее течение вязкой жидкости изучил в полубесконечной трубе; определена длина начального участка. При этом объемная расходовал скорость в начальном сечении трубы задавалась изменяющейся по периодическому закону; найденные длины начального участка существенно не отличались от длины стабилизации без пульсирующего потока. Подобные течения в [ 85,86/ рассмотрены в упругой трубе. В этом случае результаты исследований также аналогичны предыдущим.

Атабек и Лыо/74/, изучая пульсирующее течение вязкой жидкости в упругой трубе, определил, кроме поперечной волны давления, существование продольных сдвиговых волн. Они установили зависимость степени затухания поперечных и сдвиговых волн давления от параметра Уомерсли оС .

Кокс [ 25 ] дал подробный анализ исследований пульсирующего течения жидкости (крови) в тонкостенной трубе, где упругость стенки учитывалась в рамках линейной модели. В серии работ /9 £0 ,76, 78,79,84,90 ] определено влияние ортотропности, анизотропности, вязкоупругости, нелинейной упругости и вязкости стенок сосудов на скорость распространения пульсовых волн. В /"74, 76 7 изучено движение вязкой жидкости в упругой трубе. При этом стенки трубы представляли собой тонкостенную ортотропную оболочку. Выявлено, что -полное сопротивление в упругой трубе меньше, чем в жесткой. Эти результаты сравнены с экспериментальными для течения крови в артермальном русле.

Распространение волн в толстостенной трубке Кокс /78,79/ анализировал, пользуясь линеаризированными уравнениями Навье-Огокса для движения жидкости, а для стенки применил стандартную линейную вязкоупругую модель* В /78,79/ показано, что полученные в рамках моделей тонкостенных и толстостенных трубок результаты весьма близки» Подобного рода исследования проанализированы в [25] и в обзорной работе / 39/.

В последние годы появились работы, в которых учитывается влияние окружающей ткани на скорость распространения пульсовой волны /2/. Артерия представляется в виде бесконечно длинной ортотропной упругой цилиндрической оболочки, работающей в условиях безмомент-ного напряженного состояния. Жидкость (кровь) предполагается неньютоновской и несжимаемой, а ее движение - ламинарным, осесиммет-ричным. Окружающая тканевая среда представляется как бесконечное упругое пространство, в которое помещена артерия. Среда препятствует движению артерии только в радиальном направлении.

Для осесимметричных колебаний в рамках линейной теории получено общее дисперсионное уравнение с учетом инерции оболочки и окружающей тканевой среды. Выявлено, что скорость распространения пульсовой волны возрастает с увеличением модуля упругости окружающей ткани и с ростом длины волны. Для достаточно длинных волн вязкое течение приводит к уменьшению, скорости распространения пульсовых волн.

В работе /~48 ] учтено влияние начальных напряжений и сокращения гладкой мышцы на распространение пульсовой волны в артериальных сосудах. Установлено, что сокращение гладкой мышцы существенно влияет на скорость пульсовой волны первого типа, что связано с формами колебаний стенки, для которых при более высоких частотах преобладает радиальное перемещение, а вторая скорость распространения пульсовой волны связана с осевыми перемещениями • стенки сосудов и сузественно не меняется от влияния мышечной активности. В /7 J также анализируется распространение пульсовых волн давления по упругим сосудам.

В [ 36,31 J исследовано течение неньютоновской жидкости в трубах с учетом локального сужения и расширения. Задача решена численным методом и подробно изучено распределение давления, скорости и других параметров течения в сужающихся и расширяющихся областях. Подобные движения рассмотрены в [ 88 ] в упругой трубке. При этом определено влияние упругих свойств стенки на гидродинамическую характеристику потока. .

Григорян U.G. с соавторами [ 15,16 ] обнаружили новый эффект, состоящий в том, что при введении малых добавок высокомолекулярных полимеров в кровь переферическое сопротивление при ее течении снижается на десятки процентов.

Особый интерес представляет собой изучение пульсирующего течения вязкой жидкости, в частности, крови в трубках из вязко-упругого материала. Подобное исследование приводится в работах [ 50,57 /. Регирер С. А. и ^ткевич 1.М. [ 50,51 J для описания процесса деформирования стенок трубки применили нелинейную вязко-;; упругую модель Пойнтинга и показали возможные типы неустойчивости.

В определенном смысле причина возникновения звуков Коротова связана с изучением прохождения пульсовой волны по артериям,частично прижатым манжеткой. На основе таких постановок производились теоретические и экспериментальные исследования f 73 /. Полученные результаты подтверждают справедливость гипотезы о том,что звуки Коротова при диастоле связаны с динамическом неустойчивостью стенки артерии, вызванной сжатием ее измерительной манжеткой. С учетом инерционных и вязких свойств стенки аналогичная задача решалась в работах [ 17,18 Эта теория позволяет объяснить многие экспериментальные факты, относящиеся к звукам Короткова,

Пульсирующее течение крови и другие подобные явления подробно проанализированы в работах [ 1,5,14,24,27,28,29,33,39„49,52,57, 65,66,92 J. Основное внимание в них уделяется исследованию скорости распространения пульсовой волны и степени затухания импульсов давления*

Несмотря на достигнутые отечественными и зарубежными исследователями успехи по пульсирующему течению, нестационарные колебательные процессы в жесткой, упругой и упругопроницаемой трубах изучены недостаточно. Не проанализированы такие важные эффекты, как пристенные эффекты Ричардсона [ 13,70 /, М - образные формы распределения скорости и увеличения кинетической энергии в слоях, близких к стенкам меры затухания амплитуд колебаний давления и расхода жидкости и пути уменьшения полного сопротивления потока по длине трубопровода в зависимости от проницаемости и упруго-деформативного свойства стенки.

Обеспечение надежности и долговечности трубопроводного транспорта жидкости в перечисленных выше областях требует дальнейшего развития и усовершенствования методов изучения течения вязкой жидкости в трубах с различными механическими свойствами стенки. Поэтому проведение исследований в этом направлении целесообразно, а данная проблема актуальна*

Цель работы. Она заключалась в следующем: изучить нестационарное и стационарное пульсирующее течения вязкой несжимаемой жидкости в трубах с различными механическими свойствами стенки (жесткая, упругая, упругопроницаемая); определить закономерности изменения скорости распространения колебаний пульсовой волны давления на стенках упругой и упругопроницаемой труб; выявить законы затухания амплитуд давления и расхода жидкости по длине трубопровода; наметить пути уменьшения полного сопротивления движения жидкости при пульсирующем течении.

Научная новизна. Исследовано нестационарное и стационарное пульсирующие течения вязкой жидкости в прямоосной жесткой, упругой и простой разветвленной жесткой трубах. Получены оценки для времени установления гидродинамических параметров (давления, расхода жидкости и т.д.). Решены задачи о пульсирующем течении вязкой жидкости в жестко- и упругопроницаемой трубах. Выявлены новые гидродинамические закономерности. В пульсирующем потоке проницаемость стенки трубы приводит к затуханию амплитуды колебаний давления, расхода жидкости и других гидродинамических параметров течения. Импедансным методом выявлен? эффект уменьшения полного сопротивления при пульсирующем потоке.

Практическая ценность. Полученные результаты имеют научно-теоретическое значение в области гидродинамики, гидроупругости и гемодинамики. Предложенные методы определения скорости распространения пульсовой волны давления позволяют более точно характеризовать упругодеформативные состояния стенок трубы. Найденные для пульсирующего течения в проницаемой трубе эффекты дают возможность предложить практические методы ослабления пульсаций потока и уменьшения полного сопротивления путем создания дополнительного фильтрационного слоя внутри трубы около стенки.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы доложены и обсуждены на:

- Республиканской конференции молодых ученых и специалистов (Ташкент, 1978);

- Всесоюзной конференции по механике сплошных сред (Ташкент, 1979);

- объединенных семинарах лабораторий гидродинамики и аэродинамики Института механики и сейсмостойкости сооружений АН

УзССР (Ташкент, 1976-1984 );

- научно-теоретических конференциях Хорезмского государственного педагогического института имени В.ИЛнина (г, Ургенч, 1976 - 1984);

- Республиканской конференции по гидродинамике многофазных сред и ее приложения к нефтедобыче и орошению (Ташкент,1984);

Публикации. По теме диссертации опубликовано семь научных статей в республиканских журналах и сборниках, В них отражено основное содержание работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов; изложена на 115 страницах машинописного текста, включает в себя 16 рисунков и список использованной литературы из 102 наименований.

102 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Построено решение задачи о нестационарном пульсирующем течении жидкости в трубах с жесткими и упругими стенками. При этом для описания движения жидкости использованы линеаризированные уравнения Навье-Стокса. Упругость стенки описана на основе линейной упругой модели. Решение задачи получено с помощью преобразований Лапласа-Карсона. Приведены расчетные формулы для распределения давлений, скоростей и расхода жидкости. На основе этих формул сделан анализ для некоторых случаев. Для конкретного случая определен интервал изменения волнового параметра 0,1 JI, в котором для рассматриваемой задачи существенное значение имеют прямая и отраженная волны.

Исследованы расходные характеристики для упругой трубы. Выявлено, что уменьшение амплитуды колебаний расхода существенно зависит от параметра Уомерсли сС-М-Ё . При этом основные изменения происходят в интервале 0 ■< аС5, а при сЫъг пульсация расхода незначительна. При изучении переходного процесса в упругой трубе установлено, что давление, скорость и расход в ней устанавливаются быстрее, чем в трубе с жесткой стенкой.

2. Решена задача о нестационарном течении жидкости в простой разветвленной трубе. Найдены выражения для распределения давлений, скоростей и расхода жидкости. Установлено, что при мгновенном возникновении разветвления происходит перераспределение гидродинамических параметров; выявлено, что давление в области разветвления устанавливается быстрее, чем расход, Эта особенность существенно зависит от отношения радиусов разветвляющихся труб. Результаты исследований показали, что гидродинамические параметры (давление, скорость, расход и т.п.) в области разветвления устанавливаются медленнее (в десятки раз), чем в прямой трубе.

3. Доказано, что в пульсирующем потоке распределение давлений в области разветвления существенно зависит от частоты колебаний. При этом максимальное изменение происходит в интервале 0-^^-^0,5 1/с. Дальнейшее увеличение частоты колебаний не влияет на распределение давлений, т.е. амплитуда колебаний почти полностью стабилизируется.

4. Получено решение задачи о пульсирующем течении жидкости в проницаемой тонкостенной ортотропной цилиндрической трубе. Задача математически модулируется в двумерной постановке. Решение ее представлено в виде алгебраических сумм прямых и отраженных волн. Найдены формулы для распределения давлений, скоростей жидкости и для продольной и поперечной перемещений стенки. Исследовано стационарное течение жидкости в жесткой проницаемой трубе. Показано, что проницаемость стенки уменьшает эффективный импеданс.

5. Теоретически установлено, что при пульсирующем течении жидкости в проницаемой трубе пульсовые волны давления на стенку имеют конечную скорость. Выявлено, что проницаемость стенки ослабляет амплитуды колебаний давления, скорости, расхода жидкости и, тем самым, уменьшает полное сопротивление в потоке. Получена количественная мера зависимости этого эффекта от коэффициента проницаемости и частоты колебаний. При значениях коэффициента проницаемости пульсация практически не влияет на сопротивление. Эта особенность может иметь большое практическое значение как мера для ослабления пульсаций потока.

1. Александр Р. Биомеханика, - М.: Мир, 1970,339 с.

2. Амбарцумян С , А , , И о в с и с я н Л. А.

3. К вопросу распространения пульсовой волны, Механика полимеров, 1978, № 4, с.696-701.

4. Амбарцумян С . А . Общая теория анизотропных оболочек, М., 1974, 446 с.

5. Аминзаде Р . Ю . , Н г у е н Ван X о а н . Распространение гармоничных волн в вязкой жидкости, заключенной в тонкостенную ортотропную цилиндрическую оболочку. -Изв.АН УзССР, серия физ-техн.матем. наук, 1976, № 2, с.3-9.

6. Бранков Г. Основы биомеханики, М.: Мир,1981,254 с.

7. Блитштейн Ю#М.,Хубларян М.Г. Распространение волн возмущений жидкости в бесконечно длинном вяз-коупругом трубопроводе. Изв. АН СССР, MIT, 1975, № 3, с.99-104.

8. Валтвррис А. Д. Влияние вязкости крови на скорость распространения пульсовой волны, Изв. АН Латв.ССР, 1959, № 7, с. JL35-I4I.8» В а т с о н Д.Н. Теория бесселевых функций. М.: ИЛ, 1949, 799 с.

9. Вольмир А.С.,Гернштейн М.С. О поведении кровеносных сосудов как упругих оболочек. Изв. АН АрмССР, Механика, Г966, 19, № I, с.8-12.

10. Вольмир А.С.,Гернштейн М.С. Динамические и статические задачи теории деформируемых оболочек кровеносной системы. Прикладная механика, 1969, № I,с. 3-10.

11. В о л ь м и р А . С , Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи гидроупругости. М., 1979, 320 с.

12. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых тел. М., 1967, 984 с.

13. Галицейский Б. М., Рыжов Ю , А . ,

14. Я к у ш Е . В . Тепловые и гидродинамические процессы в колеблющихся потоках. М.: Машиностроение, 1977 , 256 с. 14» Гидродинамика кров ообращения.-Сб.переводов, М.; Мир, 1971, 269 с.

15. Григорян С.С. Методы механрки сплошных средв исследовании дыхания и кровообращения. Труды 1У Всес. съезда по теорет. и прикл* механике, Киев, 1978, с.258-288.

16. Григорян С.С.и др.О снижении гидродинамического сопротивления при перфузии задних конечностей крысы полимерными раствором. ДАН СССР, 1978, т.241, № 2, с.316-317.

17. Григорян С , С , , С а а к я н Ю . 3 . , Ц а т у -р я н А . К . О механизме генерации звуков Короткова. -ДАН СССР, 1980, т.251, № 3, с. 570-574.

18. Григорян С , С . , С в а к ян Ю . 3 . , Ц а туря н А . К . О причинах возникновения "бесконечного тона Короткова". ДАН СССР, 1981, т.259, № 4, с.793-795.

19. Громека И,С. О скорости распространения волнообразного движения жидкости в упругих трубах. М.: изд.АН СССР, 1952, с.172-183. (Собр.соч.).

20. Громека И.С. К теории движения жидкости в узких цилиндрических трубках. М.:изд. АН СССР, 1952, с.149-171. (Собр.соч.).

21. Зельдина З.А. В сб.Гидромеханика, Киев, Наукова думка, 1978, с.31-37.

22. Камке Э . Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Наука, 1971, 576 с.

23. Карванен Э . С • Экспериментальная модель для определения упругодеформативных свойств сосудистых трансплантатов, Механика композитных материалов, 1984, № I, сЛГО-Пб.

24. Каро К.,Педли Т . , Ш р о т е р Р.,

25. С и д У . Механика кровообращения, М.: Мир, 1981, 624 с.

26. Кокс Р. Г. Сравнение моделей артериального движениякрови, основанных на линеаризированных теориях распространения волн. В сб. Гидродинамика кровообращения, М.: Мир, 1971, с.43-60.

27. Конторович М • И • Операционное исчиление и нестационарные явления в электрических цепях. М.: Гос.изд. техн.-теор. лит-ры, 1955, 226 с.

28. Лайтфут Э. Явления переноса в живых системах. М. 1977, 520 с.

29. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях.- М.: Мир, 1981, 598 с.

30. Лайтхилл Д.Ж. Физиологическая гидродинамика (обзор). В сб.переводов ин. статей, Механика, 1973,3 (139)?с.60-82.

31. Леонов А,И. О медленном течении вязкой жидкостив трубе с пористыми стенками. Изв. АН СССР, ОТН и Механика и машиностроение, 1963, № 2, с.160-162.

32. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. -М.: Наука, 1973, 877 с.

33. Малмейотер А . К ♦ , К н е т с И.В. Основные направления развития биомеханики. Сов. пробл. биомеханики, Рига, 1984, № I, c.S-16.

34. Мюллер Т.Дж. Применение численных методов к ис-следованиюь физиологических течений. В сб. статей: Численные методы в динамике жидкостей, М.: Мир, 1981, с.80-151.

35. Медведев П.В. О способах определения скорости распространения пульсовой волны. Тр.Ленинградского ин-та усоверши вр., 1966 , вып.2, с.188-196.

36. Мешалкин Е.Н.,Кремлев Н.И, Тактика внеочередных операций при врожденных пороках сердца. -Ташкент: Медицина, 1973, 308 с.

37. Миролюбов С. Г. О пульсирующем течении вязкой жидкости через осесимметричную трубу с локальным сужением,-Изв. АН СССР, МЖ\ 1979, № 4, с.49-55.

38. Миролюбов С,Г. Пульсирующее течение ньютоновской жидкости через осесимметричную трубку с локальным расширением.-Изв. АН СССР, 'МШ\ 1979, № 6, с. 125-129.

39. Наврузов К.Н, Некоторые вопросы гидродинамики двухфазных сред в трубе с деформируемыми и недеформируемымистенками. Автореф. канд. дисс., Ташкент, 1976, 15 с.

40. Павловский Ю.Н.,Регирер С.А., Скобелева И.М. Гидродинамика крови. В кн.: Итоги науки, М.; Гидромеханика, 1968, ВИНИТИ, 1970, с.7-96.

41. Панферова Н.Е. Гиподинамия и сердечно-сосудистая система. М.:Наука, 1977, 259 с.

42. П е д л и Т • Гидродинамика крупных кровеносных сосудов.-М.: Мир, 1983, 400 с.

43. Пирогов В. П. и др. Прижизненное изучениеупругогистерезисных свойств аорты и ее ветвей, Механика композитных материалов, 1975, № 5.43, Попов Д , Н • Динамика и регулирование гидро- и пневмосистем, М.: Машиностроение, 1977, 424 с.

44. Регирер С.А.,Руткевич И.М. Волновые движения жидкости в трубах иа вязкоупругого материала. Волны малой амплитуды. Изв. АН СССР, MIT, 1975, № I, с.45-53.

45. Регирер С,А,,Руткевич И.М. Волновые движения в трубках из вязкоупругого материала. Инерционные эффекты. М.: Изд-во МГУ, 1978, с,244-263.

46. Регирер С . А , Лекции по биологической механике. М,:изд. МГУ, 1980, 144 с.

47. Седов Л . И . Механика сплошной среды. М.: Наука, т.1,2, 1967, 402 с.

48. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Гостехиздат, 1956, 520 с.

49. Слезкив Н.А. О развитом течении жидкости в трубе с проницаемыми стенками. ПММ, 1957, т.2.вып.4,с.591-593.

50. Т а р г С , М . Основные задачи теории ламинарных течений, М.: Гостехиздат, 1954, 420 с.

51. Уиггерис К. Динамика кровообращения. М.: Медгиз, 1957, 134 с.58. ! У и з е м Д . Линейные и нелинейные волны. М.: Мир,1977, 568 с.59. § айзуллаев Д. Наврузов К.,

52. Раджабова Р. Я, Пульсирующее и перистальтическое течение жидкости в трубах. Аннотации докл. Всесоюзн. конф. по механике сплошных сред, Ташкент, 1979, с.23.

53. Файзуллаев Д.#.,Умаров А. И. , Шакиров А. А. Гидродинамика одно- и двухфазных сред и ее практические приложения, Ташкент: Фан, 1980, 108 с.

54. Файзуллаев Д. Навру зов К., Фаттаев § . Н . Пульсирующее течение вязкой несжимаемой жидкости в круглой трубе с разветвлением. ДАН УзССР, 1981, № 10, с. 20-22.

55. Файзуллаев Д. Ф., Наврузов К. , Раджабова Р. Я. Неустановившееся течение вязкой несжимаемой жидкости в круглой трубе с переменным во времени градиентом давления. Изв. АН УзССР, серия техн.наук, 1982, № 2, с.45-48.

56. Файзуллаев Д . § . О гидродинамических проблемах орошения. Изв. АН УзССР, серия техн.наук, 1982, № 4, с.42-44.

57. Файзуллаев Д. Ф., Наврузов К.Н., Раджабова Р • Я . Распространение пульсовых волн жидкости в упругопроницаемых трубах. Тезисы доил. Республ. конф.: Гидродинамика многофазных сред и ее приложение к нефтедобыче и орошению, Ташкент, 1984, с.27.

58. Фолков Б . , Н и л ь Э . Кровообращение. М.: Медицина, 1976, 464 с.66. $ ы н Ю . Ч . Биомеханика. В сб.: Теоретическая и прикладная механика, Тр. 14-го Международного конгресса, ТИТАМ, М.: 1970, с. 100-135.

59. Ханин М. А., Антропов В. И. Математическая модель кровообращения при наличии искусственного сердца. -В сб. : Теоретич. и эксперимент, с&иофизика, Калиниград, 1977, вып.7^ с.19-33.

60. Хилкин A.M., Светлов В. А. Моделирование поражений сердца и сосудов в эксперименте. М.: Медицина, 1979, 384 с.

61. Чарный М.А. Неустановившееся течение реальной жидкости в трубах. М., 1975, с.296.

62. Шлихтинг Г, Теория пограничного слоя. -М.: Наука, 1974, 712 с.

63. Шумаков В. И. ,Телпекин В.Е. Вспомогательное кровообращение. М,.'Медицина, 1980, 248 с.

64. Я н к е и др. Специальные функции. М.,1977,342 с.

65. Энлайкер М.,Раман К. Р. Звуки Короткова при дистоле как явление динамической неустойчивости оболочек.-В сб.:Гидродинамика и кровообращение, М.: Мир,1971, с.61-88.

66. A t a b в к Н. В., L е w Н. S. Wave propagation through a viscous incompressible fluid contained in an initally stressed elastic tube, Biophys, J., 1966, N4, p.481-503.

67. Atabek H.B. End effects. In: Pulsatile blood flow (ed.E.O.Attinger) New York, Mo.-Graw -Hill, 1964, p.201-220.

68. Atabek H.B. Wave propagtion through a visoous fluid contained in a tethered initially stressed, orthotropic elastic tube, Biophus, J., 1968, 8, N5, p.626-649.

69. Chang C.C., Atabek H.B. The inled length for oscillatory flow and its effeotson the determination of the rate of flow in arteries, Physios in Med. and. Biol, 1961, 6, N2, p.303-317.

70. Cox R . H . Wave propagation through a newtonian fluid contained within a thick-walled, visoollastic tube. Biophus, Biophus, J., 1968, 8, N6, p.691-709.

71. Cox R . H . Wave propagation through a newtonian fluid oontained within a thick-walled viscoelas-tic tube: the ifluence of wall compressibility, J., Biomech, 1970, 3, N3, p.317-335.

72. Crandall I.B. Theory of vibrating systems and sound, New York, van Nostrand, 1927.

73. Fry D.L., Greenfield J. С. Jr., The matematioal approch to hemodynamics with particular reference to Woraersley's theory, In : Pulsatile blood flow (ed. E.O. Attinger ) , New York, Mo. Graw Hill, 1964, p.85-99.

74. Iberall A.S. Attenuation of osoilla -tory pressures in instrument linss, J. Res. Nat. Bur. standards, 1950, 45, N1, p.85-108.

75. Klip W . , Klip D . A . Phase velocity and damping of torsional waves in thin walled tubes of infinite length. In : Pulsatile blood flow, ( ed. E.O.Attinger ), New York, Mc. Graw -Hill, 1964, p.323-329.

76. Klip W . Velocity and damping of the pulse wave, Martinus Nyhoff Hague, 1962.

77. Kuchar N.R.,Ostrach S. Flows in the Entrance Reglones of elastic tubes, American Sosity of Meohanioal Engineers ( 1966 above,p.45-69.

78. К u с h ar N.R.,Ostrach S. Unsteady Entrance flows in elastic tubes With Applioation to the vascular system, Paper No 70-786 3rd fluid and Plasma Dynamics conference, Los Angeles ( June 29 Jule , 1, 1970 ).

79. Mo Donald D.A. Blood flow in arteries, Baltimore, 1968, p.496.

80. I i e p s с h D.,Moraveo S . , R a stogi A . К . , V 1 а о h о s N . S . Me a -suremet and oalculatuons of laminar flow In a nine -ty degree bifurcation. "J.Biomech" , 1982, 15, N7, p.473-485.

81. Maxwell I.A.,Anliker M . The dissipation and dispersion of small waves in arteries and veins with viscoelastio wall properties. Biophys . J., 1968, 8, N8, p.920-950.

82. M i r s к у I. Wave propagation in a viscous fluid contained in an orthotropio elastio tube , Biophys . J. 1967, 7, N2, p.165-186.

83. Rubinow S.Т.,Keller I . В . Wave propagation in a visooelastio tube ointaining a visoous fluid . J. Fluid Meoh. 1978, 88, N1,p.181-203.

84. Fedly T . Y . The fluid Dunamios of largl blood vessels. I. Fluid Dun. Trans ( PEL ) 1979 , vol 9, p.255-303.

85. Skalak R.,Wiener F.,Morkin E.,Fishman A.P. Energy distribution in the pulmonary circulation. 1. Theory . Phus. Med. Biol. 1961, p1, N2, p.287-294.

86. Skalak R. Wave propagation in blood flow. In : Biomechanics ( ed.Y.C.Fung ), New York, ASME, 1966, p.20-40.

87. W h i г 1 о w Б. К. , R о u 1 е a n W . Т . Period!о flow of a visoous liguid in a thick walled elastic tube. Bull. Math. Biophus., 1965, 27, N3,p.355-370.

88. Witzig К . Uber erzwungene wellenbewegungennzahe inkompressbler Flussigkeiten in elastischen Rohren, Thesis, Univ. of Bern, 1914.

89. Womersley I.R. Method for the oaiou -lation of velocity rate of flow and visoous drag in arteries when the pressure gradient is khown. J. Physiol., 1955, 127, N3, p.553-563.

90. Womersley I.R. Oscillatary m tion of a viscous liguid in a thinwalled elastio tube. I.The linear approximation for long waves, Phil.Magm, 1955, 46, N373, p.199-221.

91. Womersley I.R. An. elastio tube theory of pylse transmission and oscillatory flow in mammalian arteries. Wright Air Development Genter Teohn. Rep. TR 56-614, Wright Patterson AFB, Ohio, 1957.

92. Womersley I .R. Osoillatory flow in arteries : the constrained elastic tube as a model of arterial flow and pulse transmission. Phys. Med. Biol.,1957, N2, p.178-187.

93. Womersley I.R. Osoillatory flow in arteries. II.The reflection of the pulse wave at junotions and rigid inserts in the arterial system.

94. Phys.Med.Biol, 1958, 2, N4, p.313-323. 102. Womersley I.E. Osoillatory flow in arteries. III. Flow and pulse velooity formulae for a liguid whose viscosity varies with freguency. Phys. Med. Biol.,1958, 2, N4, p.374-382.