р-скованные подгруппы и р-слияние в конечных группах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК БЕЛАРУСИ ИНСТИТУТ " МАТЕМАТИКИ

Ш

На правах рукописи

- ГЙРЙСТ ВЛАДИСЛАВ ЭДУАРДОВИЧ

р-СКОВАНШЕ ПОДГРУППЫ И р-СШНИЕ В КОНЬЧШХ. ГРУШАХ.

0Г.0Г.С6 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск - 1992

Работа выполнена в ГоМ ^ЛЬОКОН Отделен и Ц Беларуси

Научный руководитель: доктор физико-математических неук, профессор РОМАНОВСКИЙ Александр Васильевич

Официальные

ошоненты: / доктор физико-математических наук

/ КАЗАРИН Лев Сергеевич / кандидат физико-математических наук ВЕДЕРНИКОВ Виктор Александрович Ведущая организация: ■ Институт математики АН Украины

Защита состоится " 19 " с^>е&р<1АЯ Г99]Тг. в 15е0 часов на заседании специализированного совета Д 006.19.0Е в Институте математики АН Беларуси по адресу: 220072, Минск, ул. Сурганова, II.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Беларуси.

Автореферат разослан " )9 " оРГДой^ 1392 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор фи с лко-мате матиче ских наук

Л

.С.Рапинчук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАЕОТь! Актуальность теш. Исследование свойств конечных групп в зависимости от сво;1ств их р-подгрупп, порождений р-подгрупп и характера вложения подгрупп в группу остается одним кз центральных направлений в теоши конечных групп. Глубокие Результаты в этом направлении получены Д.Томтсо-но*. ^-чГпоубертако:;., Д./лытеряным, Д.Горенстейном и другими автора*.®. ¿ругоз важксо неяравяониз исследований -получение информации о строении конечной группы, допускающей автоморфизмы с некоторыми условиями на строение множества неподвижных точек. Например, хорошо известен результат д.Томпсона о нильпотентности конечной гоуппы, допуска- . вщей автоморфизм простого порядка Сез неподвижных точек.

Настояшач диссертация посвящена вопросам, касающимся обеих указанных направлений.

|,;ель работа. Целью настоящей работы является: (I) исследование свойств конечных р-скованк№' групп и приложение их к изучению р-слияния и р-факторгрупп у конечных групп; (2) изучение строения конечной группы X, допускающей копро-стой автоморфизм .у простого порядка в случае, когда С^(у) есть р-груп'ла (в частности, когда <=ф(р), где Р есть

у-допустимая силсвская р-подгцуппа из' Х^.

¡.'етоль нсследовашм. В работе используются следующие методологические аспекты современной теории конечных гтэупп: ([) теоретеко-мьояеетвенный анализ; (2) метод математической нид/гаш; Ъ) р-локальныл анализ; (А) <гР<р)-птзедста-вленкя конечных групп.

Научная новизна. В работе получены следующие основные новые результаты:

I. Устанавливается принадлежность к ОрО:) некоторых р-подгрупп р-скованных групп X с 0р> (Х)=1.

• 2. Устанавливается существование нетривиачьной характеристической р-подгруппы у р-скованнои группа X с 0р< 0:)= =1, не содержащей определенных композиционных факторов гши чем усиливается теорема Дж.Глаубешана 10.8.17 из

3. Доказана Сг^^-факторизацил одного класса п-ло-кальных конечных групп.

4. Описаны конечные простые К-группы, у которых всо подгрупш, содержащие силовскую 2-подгруппу, разрешимы и имеют 2-длину Е.

5. Доказана нильпотентность конечной группы X, допускающей ко простой автоморфизм у простого порядка

что £й>(Р), где Р есть у-допустимая силовскач р-под-

группа почетного порядка из X.

Лт-эктическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях свойств р-скованных конечных групп и в анализе р-слияния в конечных группах.

Публикации и апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [Г] - [Б] .

Hu.ppe.tt В., .МасЦилп. N. Ят±е , Щ. -

Ве*ь&№.: Эргсл^еЛ-- ЧеяЛа^., <982,- 454 р

' Кроме того, основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на XIX всесоюзной алгебраической конференции во Львове (198? г.), на XI Всесоюзном симпозиуме по теории групп в Свердловске (1989 г.). Часть результатов главы 1У докладывалась на семинаре ГЬмельского госуниверситета им. Г.Скарины, руководимом членом-корреспондентом АН республики ¿еларусь, доктором физико-математических наук, профессором Л.А.Шеметковдм.

Структура и объем работы. Диссертация содержит 80 страниц машинописного текста и состоит из четырех глав, первая из KOTOPJX носит вводный характер. Библиография - 46 наименований.

СОдйРНШЁ ЛИССЙРТАИпОННОЛ РАБОТЫ В главе I вводятся обозначения, определения, дается ксторя вопроса и обзор результатов, полученных другими авторами в данном направлении. Приводится также список основ-шх используемых результатов.

ú ([ вводятся основные определения и обозначения. Определения. Пусть р - простое число. Ае(Р) - множество элементарных абелевых подгрупп наибольшего порядка в р-группе Р. As_j(P) - множество элементарных абелевых подгрупп В из р-гр/пш Р таких, что 1В1=1А1/р, где А € Ае(Р). J JP)= < А / А € AgíP) > , Je_T(P)= < А / А € Ag.jCP) U U Ае(Р)> . I X í р — порядок силовской р-подгрупш группы X.

Пусть Г - некоторое множество групп. Группа X называется к$(Т)-свободной fr-свободной), если в X нет подгрупп Н и К таких, что К < Л «i X ÍK < Н £ X) и Я/К изоморфна группе из Г (что записываем кратко: Ц/К

.. ' - 5 -

СЯеУ(р) - множество конечных групп лиевского типа, определенных над конечным полем характеристики р. К -группа - это группа, у которой неаСелевы композиционные факторы являются известными простыми группами.

Пусть р, fr , -Z. - попарно различные простые числа, < у> - циклическая группа порядка ^ , действующая на {р, J -группе X. X назовем группой типа А( t-), если она обладает следующими свойствами: (Г) X=F(X)XA, где А-шдгруппа Картера в X порядка ^-р , 1Сд(у)1=р; (2) сионские подгруппы из X являются элементарными абелевыми и JC^(y) 1=рк+3-; (3) Ор(Х) и О^/Х1* - минимальные нормальные подгруппы в группе X Х<у> ; (4) ОрОСЬР^х... xPN, где Pj -изоморфные минимальные нормальные р-подгруппы в X 'которых при >1 в X точно Ь'= 'с- , причем IPj|=pK, J=I,...,-t_ ).

Б §2 показана актуальность работы и кратко изложены основные результаты диссертации,

В §6 главы I приводятся используемые результаты.

В главе ТЛ проводится детальное изучение свойств конечных р-скованных групп. Наиболее общий результат следующий:

2.1.2. Теорема. Пусть X - конечная группа с силовскоп р-подгруппой Р, Op(XUT, C^iT) £ Т. Пусть В - нормальна* р-подгруппа в X такая, что С'ТСВ> £ В. Пусть Г=В0 <з В|- <1 ... ... <1 BjpB - отрезок нормального ряда группы л, эякльченшЛ внутри В. Предположим, что А - такая подгруппа в Р, что [ВК,А,А] с. вк_г дг-я всех k=I,...,iv. Тогда

(1) Ар S Т;

(2) AST, если выполняется одно следук,..^х условий:

(2.1) р=2 и X ( вгСг®) , Ъгы )-свободна, (2,10=1;

(2.2) р=о и X ( 51.(2,3.) )-свободна;

(2.3) р »5 и X кф( Cke.tr(р) - {Ев(ре)} )-свободна.

(?)

Теорема 2. Е.2 обобщает теорему 8.1.3 из в двух направлениях: [) не требуется абелевости подгруппы А; 2) условие Л < Р заменяется более слабым: [ВК,А,А] с з^^ для всех к. Крож того, в случае р условие [ БЬСа.р)]-свободное ти заменяется более слабым условием кф(Л )-свободности, Л = СЬ&^Ср) - |Ед(ре)} . в частности, у р-скованных групп X с Ор| 00 = 1, удовлетворяющих одному из условий (2.1) - (2.3) всегда %2(Р) <= Ор(Х).

Каждая конечная р-группа Р обладает неединичными характеристическими подгруппами Глаубермана ^СР), К<Р) и К(Р)= -К(Р)П КС?1». (О/,отри определение 10.8.4 в Следующая

теорема усиливает теорему Дк.Глаубермана 10.8.17 из

2. 2. Г. Теорема. Пусть X - конечная группа с скловской р-подгруппол Р, Ор(Х)=Т, С^(Т) £ Т. Предположим, что выполняется одно из следующих условий:

([) р -2 и X ( ЭгС2е) , Ъ2Ы 1-свободна, (2,;0=Г; (с) Р--0 и X ( (ЭЬ (2,з;})_свободна; (.зЧ р>Ь и X К(|( Ске1Х(р) - {ЕаГре>} )-свободна. Тогда , К(Т)=К(Р). Бчастности, К(Р) < X.

Со главы [С доказывается следующая

Теорема. Пусть X - конечная группа с силовскоа

^ &огеа.2^е1.гг 2). Э-1пИе. Т^е.^ Уоа^.:

Н а'г^рй'г. а.пЛ } 1963,- 52? р.

р-подгруппой Р, ОрОО/1, г - абелева нормальная р-подгцуп-па в X такая, что 0р(Х/С)=1, где C=Cx(z). Пусть Р0=РПС, Р* - любая подгруппа, удовлетворяющая условию Р 2 Р*=> Р0. Пусть Х=Х/С есть квазипростая группа, которая при р=2 является К-группой. Тогда имеет место одна из возможностей:

(2) р=2, х/г(х) € с/ьеггса) V {1^8),М221М;у,М24}и{^к}

(3) р»5, Х/г(Х) € СКетГСр> - (Е8Гре)} ;

(4) р==3 и либо Х/г(1) есть К-группа, либо СХ.Е*) -квадратичная пара для некоторого главного « актора Е* группы Х-<Е, заключенного внутри Е= QICZ)

Из этой теоремы с помощью рассуждения Фратти.га получается аналог факторизации Д.Томпсона (предложение 4Д64 в (3Ь Х=мЦ3_1(Р)С(г(Р)) для разрешимой ( {2)е , ®|0) )-свободной группы X с 0(Х)=1 и силовской ¡^-подгруппой Р.

В главе III продолжается изучение свойств р-скован-ш групп и указываются некоторые приложения этих свойств.

Из результатов §1 этой главы отметим следующий:

З.Г.6. Теорема. Пусть X - конечная группа с силовской р-подгруппой Р, Т - слабо замкнутая в Р относительно X подгруппа. Пусть А £ 2(Р), А <а 1,(Т) и А £ Рх влечет А 2 ^[А.Т*] . Тогда Х/0Р(Х> ^ I/А)/0Р(К'АП.

Эта теорема обощает известную теорему Ф.Холла-О.Грю-на о р-нормальных группах (при А=2(Р), Т--Р1.

^ Лэренстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. - М.: Мир, 1985. - 352 с.

Главны;! результат §2 главы III есть

3.2.2. Следствие. Пусть X - конечная р-скованная группа с сило'вской р-подгруппой Р. Тогда X=NiJfP))Ciz(P>p)OpiOO.

Здесь Jf?} обозначает порождение абелевых подгрупп максимального порядка в р-группе Р.

Отметим два приложения этого результата.

3.2.6. Следствие. Цусть X - конечная группа с силов-ской р-подгруппой Р. Если подгруппа C^(zfP)P) является р-разрешимой группой р-длины Г., то j(P) и zfjfP)) сильно замкнуты в Р относительно X. В частности, N^z(J'P))) контролирует р-слиянке в X.

3.2Л0. Следствие. Цусть X - конечная группа с сшгов-ской р-подгруппой Р. Если нормализатор каждой р-подгр.уппы из Р является р-разрешимой группой р-длины I, то контролирует слияние элементов из Р в X.

Из результата §3 главы III следует описание конечных простых K-групп, у которых любая собственная подгруппа, содержащая силовскую 2-подгр.уппу, является разрешимой группой 2-длкны I. С Это группы hzCf) дяя подходящих нечетных f , либо L з(з;> , L^CJ) , L3(ZK) , ЦСг*1), Sp4(2ft; , UзОЛ, бгОгЪ).

Глава I/ посвящена изучению строения конечной группы л, допускающей непростой автоморфизм у простого порядка, в зависимости от вида подгруппы В=С^(у).

Из результатов этой главы отметим

4Л.то. Следствие. Ц/сть X - конечная группа, '.оцуска-

ющая автоморфизм у простого порядка t , OXI, -t )=Т, в= =СхГу\ j> = [р € П(Х) / 1^1В1р=1Х1р . Пусть р е у , р^2. Если В имеет нормальное р-дополнение, то и X его имеет.

Следующий результат из §2 главы ТУ можно рассматривать как обобщение упомянутого на странице 3 результата Д. Томпсона.

4.2. Iw Теорема. Если конечная группа X допускает автоморфизм у простого порядка ^ , ПХ1, -t )=Г, С^(у)=в, Р - у-допусткмая силовская р-подгруппа из X, р/-2, и В с с ф(Р), то X - нильпотентная группа.

Отметим, что при этих же' условиях в работе д0ка_ зано лишь, что X имеет нильпотентное нормальное р-дополнение.

В §3 главы 1У исследуется ситуация, когда ri £z/P). Отметим следующий результат.

4.3.3. Следствие. Пусть конечная группа X допускает ввто:ло;>» зи у простого порядка , 'IXI, t )=Т. Пусть В= с. Z(P>, где Р - у-доцустимая силовская р-подгпупта из X, р > 3. Если X не имеет у-допустимых ceKm'.ii типа Ai t), то либо В <э< X, либо Х=В • F4X) .

В заключение автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических

aconescu M. Jïuiomotfkt'sms оС- ръсте otde*. j^txen.^- ih<> Tkdi.tin.i sub^iouf) e^

sp- subyzaup.-Bo££. TbJone. t*>»i.

rJ3.-p. 331-333.

w -

наук, профессору A.B.Романовскому за полезные советы и постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Гарист В.У. К свойствам р-скованных конечных групп. -Тез. сооби. XIX Всесоюзн. алгебр, конф., часть вторая, S - II сент. 1987 г. - Львов, 1987. - С. 66.

2. Гарист В.Э. К свойствам р-скованных конечных групп. -Тез, сообш. XI Всесоюзн. симпоз. по теории групп, 31.01 - 2.02, IS89 г. - Свердловск, 1989. - С. 34.

3. Гарист В.-З. К свойствам конечных р-скованных групп. -ВесцГ АН БССР, сер. фГз.-мат. н., 1991, И5, с. 120. Рукопись депонирована в ВИНИТИ 02.10.90, N520I-B SO.

4. Гарист В.З. О конечных группах, допускающих автоморфизм простого порядка. - Препринт N19(469), Институт математики АН БССР, Шнек, 1991. - 14 с.

5. Гарист В.З. К свойствам конечных р-скованных групп, II, - Becul АН БССР, сер. ф1з.-мат. н.,-1992, НЗ-4, с.

39 -41.

Подписано к по-ит::

Формат оО х С-1 C',t п.л. Т.:р.т>: ЮС оке. Бзспдзтно. Ротапринт Гсме~ьокогу vccj^-f - :'энного укиг.-.ч-.г.-гет^

H4UIÖJ г.Го'-Х'..:., ул. ï

- И -