Расчет эффективных упругих характеристик сред с периодическими пустотами и включениями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Постановка задач. Теоремы. ц

§ I. Постановка статических задач теории уп- II ругости с периодическими коэффициентами.

§ 2. Вспомогательные обозначения и функции.

§ 3. Усредненные или эффективные коэффициен- 18 ты.

§ 4. Вспомогательные леммы. Теоремы.

§ 5. Доказательство лемм I - 4 и теорем I - 25 3.

ГЛАВА II. Трубные включения.

§ I. Постановка задач. Построение решений и 39 усредненных коэффициентов через решение вспомогательных задач.

§ 2. Решение вспомогательных задач.

2.1. Ячеечная задача для уравнения Ла- 51 пласа.

2.2. Ячеечная плоская задача теории уп- 55 ругости.

§ 3. Вспомогательные функции. Усредненные 67 коэффициенты.

3.1. Случай прямоугольных декартовых 68 координат.

3.2. Общий случай косоугольных декар- 73 товых координат.

ГЛАВА III. Круглые цилиндрические отверстия и включе- 76 ния.

§ I. Вспомогательные функции. Усредненные 76 коэффициенты.

§ 2. Системы линейных алгебраических урав- 80 нений.

§ 3. Расчеты на ЭВМ.

3.1. Влияние концентрации отверстий и 85 включений.

3.2. Влияние включений на усредненные 86 коэффициенты.

3.2.1. Менее жесткие включения.

3.2.2. Более жесткие включения.

3.3. Влияние соотношения сторон ячейки 92 периодичности.

§ 4. Асимптотика по р решений вспомогательных систем линейных алгебраических уравнений.

Работа посвящена изучению объемного напряженно-деформи-■ рованного состояния /НДС/ трехмерных тел с большим числом двоякопериодических круглых цилиндрических пустот или включений и нахождению эффективных упругих характеристик /ЭУХ/ таких тел при произвольных условиях на внешней границе тела. Под ЭУХ будем понимать компоненты тензора обобщенного закона Гука такого сплошного однородного тела, которым можно приближенно заменить исходное тело с пустотами или включениями.

Исследованию задач теории упругости с периодическими коэффициентами посвящена обширная техническая и математическая литература /см., например, - 4£] /• Это связано с тем, что в настоящее время все чаще возникает необходимость расчета конструкций и материалов, имеющих периодическую структуру, обусловленная широким применением армированных и перфорированных материалов и элементов конструкций. При расчете таких конструкций необходимо найти как ЭУХ, так и распределение напряжений внутри тела с учетом концентрации напряжений вблизи включений и пустот. Знание ЭУХ позволяет определить поведение элемента конструкции во всей конструкции без учета микронеоднородности материала. А от концентрации напряжений зависит появление микротрещин и разрушение всего элемента.

В том случае, когда включений или пустот достаточно много, решение соответствующих задач с помощью ЭВМ без их предварительного исследования и упрощения бывает затруднено, а часто и практически невозможно, не говоря уже о нецелесообразности, из-за вынужденного слишком мелкого разбиения тела. Но для таких задач оказывается возможным применить асимптотические методы, позволяющие найти приближенное решение и ЭУХ, исходя из решений более простых вспомогательных задач.

Плоские задачи теории упругости для бесконечных областей с двоякопериодическими отверстиями рассмотрели сначала Натанзон В.Я. [ , применивший для плоской задачи теории упругости с круглыми отверстиями идею разложения решения в ряд по эллиптическим функциям в форме Вейерштрасса, а затем Койтер [ 8, который свел задачу с отверстиями произвольной формы к интегральному уравнению Фредголъма II рода.

Григолзок Э.И. и Филыптинский Л.А. Ш УЪ, 9 1 рассмотрели более общие, чем в работе [.11 плоские задачи теории упругости для бесконечных областей с двоякопериодическими круглыми отверстиями, задачи для перфорированных пластин и оболочек, сформулировали и решили задачу ггриведения /т.е. нахождения ЭУХ/ для рассмотренных ими задач, рассмотрели случай, когда в отверстия вставлены упругие шайбы, сделали обзор различных исследований по перфорированным пластинам и оболочкам.

В 70-х годах XX в. появились новые асимптотические методы, позволяющие решать различные П. -мерные задачи с периодическими коэффициентами. Эти подходы были развиты в работах как советских авторов [ \ ,2, 11,15] , так и зарубежных [ 5, £\ ] .в настоящей работе используется асимптотический метод усреднения Бахвалова Н.С. [ 1,£1

Наряду с асимптотическими методами продолжает развиваться инженерный подход для определения ЭУХ и упрощения исходной задачи. В работе [541 разработан метод расчета перфорированных днищ атомных реакторов, основанный на сведении задачи к толстой однородной плите с ЭУХ. При дополнительных упрощениях и предположениях в [401 предложен метод получения ЭУХ некоторых трехмерных задач.

В литературе имелось доказательство применимости асимптотической методики Бахвалова Н.С. для трехмерных задач теории упругости без пустот в случае периодичности упругих характеристик вдоль всех осей координат. В главе I настоящей работы приведено доказательство для трехмерных задач теории упругос-ти.с пустотами, периодичными вдоль всех осей координат, рассмотрен случай, когда на границе пустот задается одинаковая для всех пустот самоуравновешенная нагрузка, дано доказательство для специфического случая двоякопериодических цилиндрических пустот. Решение раскладывается по малому параметру £ , где £ - отношение большей стороны ячейки периодичности к характерному макроразмеру тела. Помимо ЭУХ, используемый в работе асимптотический метод позволяет находить поле напряжений с учетом внутренней структуры тела при объемном НДС и произвольных условиях на внешней границе трехмерного тела.

Так как на практике часто встречаются круглые цилиндрические пустоты и включения, то представляет интерес построить явное решение этих задач /уменьшение времени счета на ЭВМ, повышение точности вычислений, возможность явного исследования влияния различных факторов на ЭУХ с целью оптимизации параметров задачи/.

В рассмотрены очень жесткие по сравнению с основным материалом включения, объемная концентрация которых мала. В [3£] исследован случай произвольных эллиптических включений, но, как указано в [46] , используемый при этом метод имеет свои погрешности и пределы применимости. Метод усреднения задач с пустотами, используемый в [35], не позволяет находить поле напряжений с учетом микронеоднородности материала.' В литературе не было решения трехмерных задач теории упругости с двоякопериодическими цилиндрическими пустотами или включениями и включениями в виде круглых труб, построенного на основе методики Бахвалова Н.С.

Во II главе настоящей работы построено асимптотическое решение и ЭУХ трехмерных краевых задач теории упругости с двоякопериодическими включениями в виде 1фуглых изотропных труб, основанное на результатах главы I. Круглые цилиндрические отверстия и включения являются частными случаями этой задачи. Для решения плоских вспомогательных задач на ячейке периодичности использовался подход, аналогичный приведенному в [ 41 , модифицированный с учетом специфики решаемых задач. Интересно отметить, что даже в случае усреднения плоской задачи теории упругости вспомогательные задачи для определения ЭУХ оказались иными, чем в С 4] .

Случай круглых цилиндрических отверстий или сплошных включений, наиболее часто встречающийся в практических расчетах, ■более детально исследован в главе III настоящей работы. В этой главе получены явные формулы для нахождения ЭУХ и проведен численный анализ влияния на ЭУХ различных физических и геометрических факторов, основанный на расчетах на ЭВМ.

Постановка задач, рассмотренных в работе, определяется запросами практики. Решение для случая трубных включений может быть использовано для расчета конструкций, в которых трубы применяются для охлаждения, массивных железобетонных конструкций с технологическим оборудованием в виде труб. А перфорированные и армированные элементы конструкций находят широкое применение в различных отраслях ггромышленности, в строительстве и самолетостроении.

Перейдем теперь к более подробному изложению применяемого в работе асимптотического метода на следующем примере. Рассмотрим случай, когда в круговом цилиндре V , высота и диаметр основания которого равны I, имеется двоякопериодичес-кая система сквозных отверстий, расположенных с периодом £ вдоль двух осей прямоугольной декартовой системы координат. Оси этих цилиндрических отверстий совпадают с осью цилиндра

V , выполненного из изотропного материала с постоянными Ламе А и . Условие равновесия цилиндра запишем в форме где (Л|Д - тензор обобщенного закона Гука, связывающего перемещения Ц. и напряжения б^ через деформации: ерг^Г ь причем кусочно постоянные С^ ^ . ^ равны"*0"внутри Густот и = ^е^Д^'^^К в остальной части цилиндраНа поверхности пустот задана самоуравновешенная одинаковая для всех пустот нагрузка:

3 ' г

2 - I и к - 4, 2 , 3 , где П. - единичный вектор внешней к области "У^ нормали. Пусть на одной части поверхности цилиндра "V заданы перемещения (Л - 1/ , а з на остальной - напряжения: ^ ГС- - рк7 к

Тогда решение этой задачи с точностью до членов порядка £ можно представить в следующем виде: (Л = и > г-р У * +-ъы.'

О 4

У и - ^к Решение по приведенным выше формулам строится в следующей последовательности.

I. Из решения вспомогательных задач на ячейке периодичности находятся

1С(ф и N (ч) .

2. По найденным N л вычисляются ЭУХ

3. Решается усредненная задача в сплошном однородном орто-тропном цилиндре V с ЭУХ : 01л П , со следующими условиями

1 J ^ 77 на границе цилиндра: U - U , там,где были заданы перемещения, 2, Kl; = Pfc. , , там, где pi Лп были заданы напряжения, где ^"учЛ^.гД и 14 j

Таким образом, в асимптотическую формулу для напряжений входит три типа слагаемых: медленно меняющиеся слагаемые, зависящие от перемещений усредненной задачи; быстро осциллирующие слагаемые, амплитуда которых зависит от перемещений усредненной задачи; быстро осциллирующие периодические слагаемые, амплитуда которых зависит от интенсивности приложенной к границе отверстий нагрузки.

На защиту выносится:

1. Обоснование асимптотической методики усреднения трехмерных краевых задач теории упругости при наличии пустот в ячейке периодичности.

2. Решение вспомогательных задач на ячейке периодичности в случае двоякопериодических цилиндрических отверстий или включений и включений в виде труб кругового сечения в условиях, налагаемых методом усреднения.

3. Явные формулы для вычисления ЭУХ в рассмотренных задачах.

4. Численное исследование на ЭВМ влияния на ЭУХ геометрии ячейки периодичности и соотношения упругих постоянных основного материала и материала включений при различной концентрации отверстий или включений.

В работе используется сквозная нумерация формул в каждой главе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В работе обосновано применение методики Бахвалова Н.С. для нахождения объемного напряженно-деформированного состояния упругого тела при наличии в ячейке периодичности замкнутых или цилиндрических пустот, загруженных самоуравновешенной нагрузкой.

2. Для нахождения упругого равновесия трехмерных изотропных тел с двоякопериодической системой круглых цилиндрических отверстий или включений и включений в виде труб решены вспомогательные задачи на ячейке периодичности в условиях, налагаемых методом усреднения. Показано, что при наличии в теле объемного напряженно-деформированного состояния вспомогательные задачи являются плоскими задачами теории упругости и стационарной теплопроводности на ячейке периодичности. Выявлена слабая зависимость числа разрешающих систем линейных алгебраических уравнений от соотношения упругих характеристик основного материала и материала включений. Выписаны явные решения этих систем при малых концентрациях отверстий и включений.

3. В работе получены явные формулы для нахождения 9-ти различных эффективных упругих постоянных обобщенного закона Гука в случае круглых цилиндрических отверстий и включений.

4. Для вычисления коэффициентов разрешающих систем уравнений, их решения и формирования эффективных характеристик составлена программа для расчетов на ЭВМ. На основе расчетов по этой программе удалось установить следующее:

- эффективные характеристики всегда меньше обычных средних по объему, причем их расхождение увеличивается с ростом концентрации отверстий и включений; так в случае включений с постоянными Ламе на порядок большими, чем у основного материала, это расхождение достигает 54% даже при концентрации 0.0314 =0.2/, а в случае отверстий - только 8%; при концентрации 0.636 / ^ = 0.9/ - 401% и 1403% соответственно, причем меньше всего расхождение для коэф-А зъ фициента , характеризующего упругие свойства вдоль осей отверстий и включений: для включений - 13%, а для отверстий - всего 3%;

- эффективный коэффициент СХЪЪ линейно зависит от соотношения постоянных Ламе включения и основного материала;

- на эффект косвенного армирования слабо влияет значительное увеличение жесткости включений /при одинаковой концентрации эффект практически одинаков для включений в 10 и в 100 раз более жестких, чем основной материал/;

- даже при небольших /4.9%/ концентрациях отверстий и включений эффективные упругие характеристики существенно зависят от соотношения сторон прямоугольной ячейки периодичности, причем наиболее ярко эта зависимость выражена в случае отверстий;

- в случае плоской задачи теории упругости эффективные характеристики совпадают с приведенными, полученными в С 43.

5. Расчет на ЭВМ "защемленного" по боковой поверхности орто-тропного вдлиндра с высотой, равной диаметру основания, загруженного равномерно распределенной по верхнему основанию нагрузкой, с эффективными характеристиками и со средними по объему при концентрации отверстий 33% показал, что в I случае в нижней точке оси цилиндра напряжения и вертикальные перемещения оказались на 14% и 37% больше, чем во II случае, а на боковой поверхности максимальные сжимающие напряжения - на 15% /см. приложение/.

1. Бахвалов U.C. Ооредненные характеристики тел с периодической структурой,- Докл. АН СССР, 1974,т.218,№ 5,с.1046-Ю48.

2. Бахвалов Н.С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстроосцилирующими коэффициентами.-Докл. АН СССР, 1975, т.221, № 3, с.516-519.

3. Григолюк Э.И., Фильштинский JI.A. Упругое равновесие изотропной плоскости с двоякопериодической системой включений.-Прикладная механика, 1966, т.2, fê 9, с.1-7.

4. Григолюк Э.И., Фильштинский I.A. Перфорированные пластины и оболочки.- М.: Наука, 1970.- 556с.

5. De Glorie Е.,£рacpoío S. jSuKa conVeraenza degCi intearaCi dett'ener^tQ per operatori eaitUci de£2 ordlne boll.V*. Hot. Í975, v.8, p. 391-411.

6. Марченко B.A., Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей.- Киев: Наукова думка, 1974.- 278с.

7. Натанзон В.Я. О напряжениях в растягиваемой пластинке, ослабленной одинаковыми отверстиями, расположенными в шахматном порядке.- Матем. сб., 1935,т.42, № 5, с.616-636.

8. Kolter W.T. /Stress distribution in cm infinite ePas-Uc sheet wcth a douitu-periodic setof eauciÊ ho?eç>.- Bou nc*Q ru Vro&Cev^Ç 1) efferent.ouat. MecUson UniU. Wisconsin Press, I960; p

9. Григолюк Э.И., Фильштинский JI.A. Поперечный изгиб изотропной плоскости, опирающейся на двоякопериодическую систему точечных опор.- Докл. АН СССР, 1964, т. 157, JÊ 6, с. 13161318.

10. Ю.Ван Фо Фы Г.А. Теория армированных материалов с покрытиями.- Киев: Наукова думка, 1971.- 232с.

11. Бердичевский В. Л. Пространственное осреднение периодических структур. Докл. АН СССР, 1975, т. 222, № 3, с. 565- 568.

12. Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. -М.: Наука, 1975. 415 с.

13. Долгих В.Н., Филыптинский Л.А. Об одной модели регулярной кусочно-неоднородной среды. Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела, 1976, В 2, с. 158 - 164.

14. Ч^юу-оиН^ G. Coffifrot'ieme.nt /77aciosc-Ofoco^ue,cl'uhe. ¡ов-ал^^о^ /о е'ъ с о cl ¿¿pu е. mentàCectc/foieJb ùkv Uioti-L.; -/976/ i/ $-34.

15. Бердичевский В.Л. Об осреднении периодических структур.- Прикл. мат. и мех., 1977, т. 41, tè 6, с. 993 1006.

16. Канаун С.К. 0 приближении самосогласованного поля для упругой композиционной среды. Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1977, № 2, с. 160 - 169.

17. Шермергор Т.Д. Теория упругости мшфонеоднородных сред.- М.: Наука, 1977. 400 с.

18. Козлов С.М. Осреднение дифференциальных операторов с почти-периодическими быстро осциллирующими коэффициентами.- Докл. АН СССР, 1977, т. 236, № 5, с. 1063 1071.

19. Ха Тьен Нгоан. О сходимости решений краевых задач для последовательности эллиптических систем. Вестн. Моск. унта. Сер. математика, механика, 1977, $5, с. 83 - 92.р>0 $0о L rvcis ОСо'Ьоиплл cjjUj G SctCh^

20. G&cub-. H О то g Section^ cla,bU cUà оиъ*л.Ь*>

21. Ь. aotrtfe*. — С. R. Лcad. S ai. Se^Ue Jf.

22. CHsCCuSùons Z c^ сЫея ou. c/e¿ t-^ous L oc ice¿ foehe'ocUc^u с ment. — C. #1. Jf ocucL . /9? ,& $6 , A A23. ih^Qt-ound . H'отпос^-егиСзсиЬ'ог) d&i jo^o-"¿¿У tlhea stut-dtusLO, i^é?t¿ocLÍQ^uj¿. -- R-e-cM. ctezosp.j

23. Ваваркин A.C., Салтаник Р.Л. Эффективные упругие характеристики тел с изолированными трещинами, полостями и жесткими неоднородностями. Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела, 1978, № 2, с. 95 - 107.

24. Горбачев В.И. Эффективные механические характеристики неоднородных тел с периодической структурой. Упругость и неупругость. M., 1978, вып. 5, с. 7 - 12.

25. G ajß 0&a<f. О meí ocióte- ¿><fe ctt-ал/fl tj е/г, /77 o el LC £oи/. — . hCLL^k. P. bodj.;ve 7f (tdvqj, 309, 9/-/зз.

26. Пастухова C.E. Осреднение краевых задач в перфорированных областях. Успехи мат. наук, 1979, т. ХХХ1У, вып. 4, с. 205 - 206.

27. Cójale. Bo¿*> R Со fnjoo'vi&.me.n t e¿ %ési$>{Gtnc& des m)efe¿tx me.~-¿a diques rnuetifi- аррв. , /9 79, У- 3j1. Yi , p. //9 /¿iz .

28. К tenez, Óf¿t¿ch a. ъ t. G taclecieai. cltSo^olet, ih iccndorn hne.oi m евои$ tcccíy. ¡f, Ptoc. JJnoe*.

29. Soc. С су. ; /в#о , /Об, л/f, /о, e/Y

30. Нуллер Б.М., Рыбкин М.Б. 0 краевых задачах для упругих областей периодической структуры, деформируемых произвольной нагрузкой. Изв. ВНИИ гидротехн., 1980, т. 136, с. 49-55,138.

31. Иосифъян Г.А., Олейник O.A., Панасенко Г.П. Асимптотическое разложение решения системы теории упругости с периодическими быстро освдллирующими коэффициентами.- Докл. АН СССР, 1982, т. 266, Л I, с. 18-22.

32. Калугин О.Ю. Усреднение 1фаевой задачи теории упругости в перфорированных областях.- Докл. АН СССР, 1982, т. 266, №5, с. I097-II00.

33. Олейник O.A., Иосифъян Г.А. Оценка отклонения решения системы теории упругости в перфорированных областях от решения усредненной системы.- Успехи мат. наук, 1982, т. 37, №5, с. 195-196.

34. Олейник O.A., Иосифъян Г.А. Асимптотическое решение системы теории упругости в бесконечной области с условиями периодичности по части переменных.- Тр. Тбилис. ун-та. Сер. мат., мех., астрономия, 1982, с. 232-233, 196-232.

35. Косарев А.Ю. Асимптотика осредненных характеристик периодических упругих сред с сильно изменяющимися свойствами.-Докл. АН СССР, 1982,т. 267, J6 I, с. 38-42.

36. Левин В.М., Николаевский В.Н. Осреднение по объему и континуальная теория упругих сред с микроструктурой.- Совр. пробл. мех. и авиации. ГЛ. ,1982, с. 182-193.

37. Süuc^u&t P. tihA /пе~{к£>с(е. с/соиаррвсвлёсоя сшх т/в/емг efft А'^« ■ " tke~o>L. eigJL, d , duf>pe. , /о. ?9 eS.m/'n-ce* a tirusLtu-'te. roe.'ftCooLiep^e ¡ot-^t'ocfe ei cC>afrcui'sseu ъ Сомра.ъавее . -С. к. Л cad. -act. /9gJL/

38. JTtöwrcu ^сьь . Н отоqe. Г) ¡£<*Л{ои o<f вспеои'с -ecpua^t/o^s. —J?^?.

39. Калугин О.Ю. Усреднение краевых задач теории упругости в областях с периодически расположенными пустотами.- М., 1982. -16 е.- Рукопись представлена Моск. инж.-строит, ин-том. Деп. в ВИНИТИ 4 февр. 1983, В 641-83.

40. Олейник O.A., Иосифьян Г.А., Панасенко Г.П. Асимптотическое разложение решений системы теории упругости в перфорированных областях.- Мат. сб., 1983, т. 120, I I, с. 22-41.

41. Rc^eJaj ß. Qua&ftsLitbte Jt^we-i^dLusiCj. Fin.ite~ €ветеь t гъо^гат-msysie-nегАгъ. Zefi-tcLoa. , /37&, ¿8, A/i ,

42. Нарыжский А.Г. Использование периодичности напряженно-деформированного состояния в МКЭ.- Вопр. мех. тверд, тела. Харьков, 1981, № 2, с. 99-102.

43. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных.- М.: Наука, 1976. 392 с.

44. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. -М.: Высшая школа, 1977. 431 с.

45. Амензаде Ю.А. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1976. - 272 с.

46. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. -М.: Мир, 1974. 159 с.

47. Дюво Г., Лионе Ж. Л. Неравенства в механике и физике. - М.: Наука, 1980. - 384 с.

48. Мельников Н.П. Теоретическое и экспериментальное исследование напряженного состояния перфорированных плит. Сб. "Материалы по стальным конструкциям", М., 1957, т.1, с. II -53.