Расчет элементов конструкций из упругих неоднородных материалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
|
Плевако, Владимир Павлович
АВТОР
|
||||
|
доктора технических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Харьков
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1998
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
ШСГИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОБУДУВАННЯ ¡м. А.М.ПЩГОРНОГО
^ НАН УКРАЙШ
• ° « ^
Плевако Володимир Павлович
УДК 539.3
РОЗРАХУНКИ ЕЛЕМЕНТШ КОНСТРУКЦ1Й 13 ПРУЖНИХ НЕОДНОР1ДНИХ МАТЕР1АЛЮ
01.02.04 - Мехатка деформ1вного твердого тша
Автореферат
дисертаци на здобухгя наукового ступеня доктора техшчних наук
Харгав 1993
Дисертащя ерукопис.
Робота еиконат у ХармвськШ дожавши академи технологи та оргашзацп харчування. Миистерство освгги Украши.
Офщшт опоиешпи:
доктор техшчних наук, професор Ольшапськии Василь Павлович, Харювський шститут пожежно! безпеки МВС Украши, начальник кафедри прикладно'1 мехашки
доктор фшгко-матсматичиих наук,
професор Процснко Володнмир Сидорович, Харювський ав1ацшшш шститут, професор кафедри вшцоГ математики
доктор техшчних наук,
старший науковий cnißp о бггник Яиютш бвген ГригорШович, ШМаш HAH Украши, провщний науковий сшвробшшк
ПровШна установи.: Харювський державний полггехшчний ушверситет, кафедра "Динамка та мщшсть машш", Миистерство освгш Украйш, м.Харюв
Захисг дисертаци вщбудеться "££" 1998 р. о 14 год.
на зааданш спещашзовано! вчено!ради Д 64л 8(И)1в1нст1пуп проблем машинобудувания HAH Украши в аудитори №1112 за адресою: 310046, Харкш, вул.Пожарського, 2/10.
3 дисертащею можна ознайомитися у б1блютещ 1нституту проблем машинобудування HAH Укра'ши за адресою: 310046, XapKiß, вул.Пожарського, 2/10.
Автореферат розкланий 'М' ^ЛЛСС(У1ГЮ 199В р.
Вчении секретар спещал1зовано! вчено'1 ради
Зайцев Б.П.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальшсть теми. Неоднорщшсть притаманна практично вам матер1алам, яю використовуються у техннц 1 будовнищта. Бона обумов-лена пигою низкою чинншав, яю умовно можна подалити на тригрупи:
1. Д1Я довкяшя (температурIII поля, радаащя, волопсть 1 т.п.).
2. Особлттост! виготовлення (прокатка, кувагпгя, затпердшня литва, бетону 1 т.п.).
3. Реалазащя проектного задуму (наявшеть арматури, вклгочень, шар1в з шших матер1ал!в).
Удосконаления розрахушав пов'язане з урахуванням вгашву неод-норщностей реальних матср1ал1в на напружено-деформований стан пружиих ТТЛ. Однак труднонц, з якими доводиться стикатися при розн'язанш конкретних задач, невгоирно складшни аналопчних проблем класично'1 теорп пружносп, тому що в засадничих дифереищальних р1впяш1ях теори пружносп вшшкають змили коефкценти. Саме цими характерними труднощами можна пояснити той факт, що до цього часу строгими апалггнчппми методами вдалося розв'язати лише зада'ы для тш найпростшшх геометричиих форм з елементарними залежиостями мехатчних характеристик матер(алу вад координат точок. Це, у свою черту, значио обмежуе сферу вживания отриманих результат: у бшъ-шосп випадюв тага за лежи осп не дозволяють з допустимою точшепо описувати змшу параметр1в пружносп в реалышх тогах. Тому розроб-лення ефективних метода визначення наиружеио-деформованого стану конструкщй, яга виготовлеш з пружних матер1ал!в зi складиими типами неодаорщностей, е важливою народногосподарською задачею.
Мета досладжень - отримання для таг класичиих форм строгих аиа-лiтичниx розв'язюв цшо1 Ш1зки крайових задач статики, яю становлять значний практичний 1 теоретичний штсрес, з детальним вивченням пе-рерозподшу напружень, що обумовлене неоднорщгастю. Як правило, вивчаються окремг випадки неоднорщностей, коли иружш властавосп матср1ашв описуються пор1вняио складиими фушацями одте! координата. Конструкцн ¿з неоднорщних матер1ашв такого типу дуже пошнре-ш. Це, перш за все, дорожш одяги. покриття летовищ, щщгош иромис-лових споруд, иружш пщвалини машин 1 будавель, неоднорщш за висо-тою балки та плити, товстостшш цшгивдри 1 трубопровода, крши бруси, монолгаи гребл! клиноподабного профшо 1 т.п. 1снуюч1 метода розра-хунгав таких тш, яга ¡но/у закршлено в шструкц1ях 1 методичних пора-
дах, часом недосконаш i можуть привести до неточно! оцшки напруже-но-деформованого стану. Особливо це сгосуеться дорожшх одяпв, де в неоднорщшсть конструкций котра значною Mipoio визначаеться задумом проектувальника, cyrreBi корективи вносить водно-тепловий режим, який постшпо змипоеться. Недооцшка реального характеру неоднорщ-Hocii може привести до б а г а то мш, яр да шх збиттав.
В останш десяттцнччя значного розвитку набули наближеш метода розв'язання крайових проблем механЬси деформ1вного твердого тша, KOTpi, як правило, дозволяють отримати число в i результати з достат-нього для практики точшспо. Широкого розповсюдження набули МСЕ, ciTKOBi, Bapiaqimii та проекцшш метода. 1'х розвипош присвячеш робота майже ycix сучасних науковщв. Це дослщження М.М.Бородачова, Я.Й.Бурака, А.Т.Васильчеико, Ю.С.Воробйова, Л.О.Галша, Я.М.Григоренка, Д.В.Гршицького, В.Т.Гршченка, 1.В.Гончарука, О.М.Гузя, Б.Я.Кантора, Г.С.Юта, Г.Б.Колчша, О. С. Ко см о д ам i анськ о г о, Л.В.Курпи, О.М.Литвина, ГЛЛьвова, М.Д.Мартиненко, О.К.Морачковського, ВЛ.Моссаковського, Ю.М.Немша,
В.П.Ольшанського, В.В.Панасюка, Н.Д.Панкратово!, А.М.Щдгорного, Ю.М.Подшьчука, Я.С.Пщстригача, Г.Я.Попова, А.К.Приварникова, В.С.Проценка, В.Л.Рвачова, К.М.Русинка, А.П.Слкаренка, Н.Д.Сизово!, НЛ.Синекоп, М.С.Синекопа, А.Й.Стрельченка, М.Й.Теилого, А.Ф.Улпко, А.П.Фшппова, О.М.Шевченка, Ю.М.Шевченка, ТЛ.Шейко, Н.Г.Шульженка, €.Г.Яшотша та багатьох шших aBTopie. Проте, незважаючи на широке розповсюдження чисель-них методов розрахушав, вщчувасться нестача аиалпичних розв'язмв, KOTpi дозволяють яюсно ощшовати вплив неоднорщностей MaTcpianin на напружено-деформований стан пружних Tin. 3 iimioro боку, точш розв'язки правлять за надшш тестоги зразки для наближепих мегодш.
Отже, актуальгасть теми визначаеться, з одного боку, поширешстю конструкхди з пружних неоднорщних MaTcpianii!, а з шшого - вщсутшс-тю анаттичних розв'язюв для багатьох вщносно складних видав неод-иорщпостей, KOTpi зустр1чаються на практищ.
Основш иауков1 розробки i результати, яы виносяться до захисту:
- загальш розв'язки просторових i плоских задач статики дня неод-норщних ¡зотропних середовищ, параметри пружносп яких е довшыш-ми диференцшовними функщями одше! декартово! координата;
- методика, яка дозволяе узагальнювати отримаш тим чи шшим способом розв'язки р1внянь тсорп пружносп на б тыл склад!а типи не-однорщностей;
- формули для визначення величин стрнбюв у деяких компонентов тензора напружень при перехода через поверхшо, на якш стрнбково змЬ шоються параметрн пружносп изотропного або ашзотропиого матср1а-лу;
-розв'язок плоско! задач! згину прямокутних ашзотропних елемен-лв балочного типу, як! знаходяться пщ да сю масових та поверхневих навантажень;
- алгоритм розв'язання деяких двовтирних обернених задач теорп пружносп неоднорщних середовищ у полярних координатах, що дозволяе вивчати деформаци тш таких класичних форм, як довга труба, яка знаходиться пщ даего внутршшього 1 зовншшього тисюв, кривий брус, клин [ т.п. При цьому на напруження не накладаготься шяю обмежишя, за винятком штегровносп функщй;
- розв'язок задач! теори пружност! для аналопчних тш, але у "прямш" постановщ для нипадку, коли мехашчш характеристики мате-р1алу подаються через довшып функцл;
-розв'язок задач! про дао сил усередиш зчеплених однорщних гав-простор^в з вщмишими пружнимн властивостями;
- розв'язок задач! про деформаци гавпростору, пружш характеристики якого змнпоються з глибиното. Розглянуто р!зномаштш реальш види неоднорщюстей матер1алу тша при да на його поверхщо нормаль-них 1 зсувних зусиль;
- розв'язок задач! про ртновагу неоднородного за глибиного пруж-ного шару, який нерозривно зчеплений з однорщним твпростором. Система пщдана да поверхневого навантажешш. Деталышй ама;пз напру-жено-деформованого стану шару з окремими випадками неоднорщнос-тей стосовно до можливих Т1ш!в конструкцш дорожтх одяпв;
- рекомендаци з проектування! розрахушав дорожшх одяпв;
- ефективний метод наближеного розв'язання задач! про шар, який грунтуеться на замии шару системою зчеплених однорщних шар!в (метод прямокутгошв) або неоднорщних (метод трапещй). Використан-ня цих метода для визначення перем!щень ! напружень у дорожшх одя-гах з покриттями :п складапши законами змши параметр!в пружносп.
Робота виконувалась згщно плану наукових дослщжень Харгавсь-ко! державно! академп технолог!! та оргашзацп харчування. В гай вщо-
бражеш результата, яю отримаш при виконанш 13 госпдоготярних та держбюджетних po6iT.
Достов1рн'1сть рсзультатш дослщжень, наведених в дисертаци, забез-печуеться:
а) стропстю отриманихрозв'язюв задач теорй пружносп;
б) зб1гом в окремих випадках з вщомими розв'язками iiuunx aBTopie;
в) доброю узгоджешстю з експериментальними даними, яю отримаш лабораго{лями ХАД1;
г) позитивними наспщсами обговорень i оцшок розв'язюв, яю ро-бились на конференщях, семшарах, а також при здаванш завершеиих госпдогсшрних та держбюджетних po6iT за тематикою дисертаци;
д) позит1шним досвщом багатор1чного використання розв'язгав окремих задач у нормативних документах для po3paxyinciB дорожшх одяпв.
Наукова новизна отрнманих результатов. Bei науков! положения i розв'язки, яю автор виносить до захисту, noei. Лише cnoci6 побудови наближеного розв'язку зада1п про ршновагу неоднорщного шару, який названо методом прямокутнигав, частково розроблявся шшими дослщ-никами. У дисертаци його удосконалено у бис спрощення i збшьшепня ефективносп з узагалъненням на бшыл складний випадок деформаци.
Практичне значения роботи. Методи i результата розв'язгав конк-ретних задач вшсористовуються при проектуванш i розрахунках будаве-льних конструкщй (дорожш одяги, покриття летовшц, пщлоги промис-лових та громадекких будншав, анкерш фундаменти). Отримаш результата можуть бути використаш в шженернш практищ машинобудування (розрахунки товстостшних трубопровода, неоднорщних балок, плит, кривих брус!в, кл1ппв i т.п.) i в геоф1зищ при визначенш nporHHiß земно!" поверхн1 при заповненш водоймищ, при моделюванш пщвалин пдроте-хшчних споруд, будавелышх конструкщй, машин.
Результата дослцркень можна вживати при реал!зацй методу пруж-1шх розв'язюв, коли визначаються напружено-деформоваш стани плас-тичних та в'язко-пластичних тш.
Наведеш у дисертацшнш робо-ri анаттичш розв'язки 1шзки задач статики можуть слугувати дослщникам як модельш при розробщ чисе-льних метода, апробаци наближених розв'язмв та яюсно! ощнки результат розрахунюв вщповщалышх елеменив конструкцш.
Особистнй пиесок здобувача. Bei ще! та розв'язки, ям наведеш у ди-сертацй", належать автору. Роль cnißaBTopiß у шдготовш окремих пубга-кацш зводилася до ощики можлнво! сфери використання результата дослщжеиь або у пщготовщ графгаю! шформаци.
Апробащя результатов дисертацн. Ochobhí результата дослщжеиь допозщались, обговорговались i були схвалеш на наетупних конферен-щях, симпоз1умах та семшарах: Науково-техшчшй конференцй НТТ Буддндустрп (XapKin, 1971); VI Всесоюзшй конференцй з míuhoctí i плас-thhhoctí (Москва, 1975); IV Республжанськш конференцй' математшав Бшорусп (MiíiebK, 1975); X Всесоюзшй конференцй' з теорп оболонок та пластан (KyTaíci, 1975); Всесоюзшй М1жпупвськш науково-техшчшй конференцй з míuhoctí дорожшх одяпв (Харюв, 1978); VII Всесоюзшй нарадо дорожшпав "Прискорення науково-техшчного прогресу, пщви-щешш продуктивное!! пращ i hkoctí дорожшх po6ÍT" (Москва, 1981); VIII Всесоюзшй конференцй' молодих науковщв i cneniajiicTin "Ochobhí напрямки з пщвищення науково-техшчного ртня проектування i буддв-шщтва автомобшышх дорш i moctíb" (Москва, 1981); VI Тематичнш конференцй "Практична реалпашя чиселышх методов розрахунив шже-нерних копструкцш" (Лешнград, 1983); Всесоюзнш науково-техшчнш конференцй "Ochobhí напрямки розвитку техники для оброблення i зби-рашш цукрового буряку за шдустр1алыпши технолопями" (Харюв, 1986); Республжанськш н аук о во -tcxi ií4i iiií конференцй "Ефектизш чисе-льнi методи розв'язання крайових задач механжи деформ1вних Tin" (Харгав, 1989), а також на семшарах 1нституту проблем маппшобуду-вання HAH Укра'йш (Kcpiunrac академж В.Л.Рвачов), щор1чних наукових конференцмх у ХДАТОХ i ХАД1.
Рсалвацш роботи. Результата дослщжеиь автора у визначенш на-пружено-деформованого стану неоднородного шару i системи зчеплених mapÍB, яю лежать на однородному nißnpocTopi, а також широта hiicjiobí даш i графши були викориеташ при пщгототц настугашх дпочих нор-мативних документ:
1. Инструкция по проектированию дорожных одежд нежесткого типа. ВСН 46-83. Мшпрансстрой СССР. - М.: Транспорт, 1985. - 156 с.
2. Альбомы типовых экономичных дорожных одежд для областей УССР. Ведомственный сборник. - К.: Миндорстрой УССР, Укрги-продор. - 1974-1976.- 60 с.
3. Методические рекомендации по конструированию и расчету нежестких дорожных одежд применительно к ВСН 46-72 для условий УССР (МР 36-77). - К.: Миндорстрой УССР, 1977. - 115 с.
4. ДБН (Вщомч! норми). Проектування та будавництво жорстких та з жорсткими прошарками дорожшх одяпв. К.: Укравтодор (Проект 1996).
Окре\а теми дослщжень автора дисертаци увШшли в вщом1 учбом поабники шших науковщв:
1. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных сред. - М.: Изд-во Моск.ун-та, 1976. - 368 с. (Результата дисертанта на с.307-315, с.320-327).
2. Колтунов М.А., Васильев Ю.Н., Черных В.А. Упругость и прочность цилиндрических тел. - М.: Высшая школа. - 1975. - 528 с. (Результата дисертанта на с. 143-14).
3. Калужский Я.А., Медведкова Н.А., Ряпухин В.Н. Проектирование дорожных одежд - К.: Вища шк., 1987. - 100 с. (Результата дисертанта на с.39-40, с.65-66, с.68-69).
Публпсацн. Основш результата дисертаци опублпеоваш у 30 роботах, з яких 2 - монографп. В журналах опубликовано 17 статей (12 одно-оабних). П'ять робгг увшшли до наукових зб1рншав, 6 - надруковаш у матер1алах та тезах конференщй.
Структура I обсяг робота. Дисертащя складаеться ¡з вступу, десяти роздшв, висновк1в 1 списку використаних джерел. Текст дисертащ! мае обсяг 297 сторшок, гаостращ! (68 рисушав) - 41 сторижа, 19 таблиць -11 сторшок. Б!блюгра(}пя шеппъ 230 найменувань на 22 сторшках. За-гальгаш обсяг робота - 371 сторшка.
ЗМ1СТ РОБОТИ
Увстут подаеться загальна характеристика роботи, формулюеться мета дослщження ! обгрунтовуеться актуальшеть теми. Стасло наводя-ться найбшып вагом! результата, яга вшюсяться на захист, !х наукова новизна, практичне значения. Наводяться також даш про апробацио робота! реал!зацио отриманих результат.
У першому роздт дано огляд лператури за темою дисертаци. Кон-статуеться, що число публисащй, присвячених проблемам теорн пружно-сп неоднорщних середовищ, невгапшо зростае, до того ж уже в середит 70-х ромв !хкшьк!сть перевалила за дв1 з половиною тисяч1. Тому автор
дисертаци' був змушений обмежитися лише оглядом дослщжсиь, в яких строгими анаттнчними методами вивчаються задат статики для непе-рервио неоднорщних Tin. 1з огляду зроблено висновок, що незважаючи на значшш обсяг публпсацш точш розв'язки вдалося знайти лише для найпростшшх залежностей параметр1в пружносп вщ координат точки. Так, у декартовш систем! координат це експоненщальна, частково сте-пенева i декшька ¡нших. Конетатовано, що цей факт стас на завада широкому використагапо отриманих результате для вивчення напружено-деформованого стану реальних пружнихтиг.
Так зваш "загалып розв'язки", яю допомагають знаходити аналь TH4Hi розв'язки конкретних задач, отримат для елементарних випадюв неоднорвдюстей. Так, у просторовш задач! загалыгайрозв'язок вдалось вщшукати лише для експоненщалышго закону змши модуля пружносп при сталому коефвдит Пуасона (робота Ю.М.Шевченка, Г.Я.Попова, Л.Н.Тер-Мкртчяна та щ.). Вшмток складас шше аналог функцп' напру-жень Epi у плоскш зада1». Ця функщя вводиться за допомогою тих же залежностей, що i у випадку однородного матер1алу.
Так 3BaHi "обернет задач!" розв'язаш тшьки для Tin елементарних форм i полгв напружень.
Проаиалповаш у першому роздкщ дисертаци близько двох сотень основних po6iT попередниюв дозволили ретельшше обгрунтувати мету дослщжень та iï актуальшсть.
Другий роздЫ дисертаци присвячений побудов1 загальних розв'язюв. Внвчасться просторова задача Teopiï пружносп для ¡зотроп-ного неоднорщного матер1алу, Mexani4ni характеристики якого - функ-Щ1 декартово! координата 2. Показано, що без обмеження загальносп р1вняння ртноваги у перемвденнях можиа подшити на дай системи:
(1)
= AS-pi Ui-ç>2 U2,
dz
S =
-д
1-v 0 2ff
'1-v
dT dz
-1
0 0
BT-<K u3,
(2)
0 -
0
l-2v 2(1 - v)G 0 v
T^v
J_
G 0
-д 0
u, =
"o" "о"
0 0
, U2 =
1 0
0 1
Т =
X 0 MG , и3 = "0'
л -AG 0 1
А
дх2 ду1
<Pi=Z, Д^ :
Др3=-
де C7(z) - модуль зсуву, v(z) - коефицшт Пуасона. Фушсци rpt (¿=1,2,3) виражаються через масов! сшш X, Y, Z:
ах эу_
ду дх
Персмицення у декартовш систем! координат виражаються через розв'язки pie нянь (1), (2) так:
и ..
х дх ду
дХ дУ дх ду
иу =-
uz=S2
ду дх
Показано, що матричш ртняння (1), (2) екв^валентш таким:
(3)
(4)
dz az
= Л 1
(5)
(6)
де
Л = —
dz'1
л2 л -7 л2л ЭХ дУ
А Л. = Z , Д Лт --+-
урЛ, GV dz
(7)
^ \дг
дХ дУ дх ду ' л ду дх
Функци" , \ Т\ виражаються через 1
Формули (4)-(7) визначають перший вар1ант загального розв'язку просторово1 задач1 теори пружносп неоднорщних середовшц. Для розв'язання будь-яко! задач1 статики для тша з одном1рною неоднорщ-шетю треба вщшукати при вщповцршх граничних умовах розв'язки ди-ферешцалышхр1внянь (5), (6).
Якщо пруясне середовшце однорщне 1 Х=У=2=0, то загалышй розв'язок буде подано сукугапспо бнармошчно! та гармошчноУ функцш. У дисертацшнш робст показано, що вщом1 розв'язки Н.Ф.Папковича, Г.Нейбера, Б.Г.Гальоркша та шших е окремими випадками наведеного вшце.
У робот! отримано ще кшька вар1анттв загалышх розв'язгав. Так, при вщсутносп масових сил повшш наб1р диференщалышх р1внянь мае вигляд
Я'
£1£ г' дг.
и
-—А/^з =0, 8'
- 20" АЦ =0, (у = 1 / 2)
С
2 (7
С? дг lyтg = \IG,
лг3=о.
(9)
(10)
(И) (12)
(13)
(14)
(15)
1
8'
1 -V g
Показано, що для визначення напружено-деформованого стану довольного тша треба розв'язати при мдповщних крайових умовах одие з р1внянь для функци Ц (/'=1,2,...,5) I одие- для N¡ (/=1,2,3).
Розгляиуто також задачу статики для неоднородного прямол1ншно-ашзотропного пла, яке знаходиться в умовах просто! деформаци (площнна хОг). Узагальнений закон Гука мае вигляд ех = с\\°х +С12СТ> +С,3(Тг +сх$тгх, «У = с\2°х + с22 СГу + С23а, + с25тгх = 0,
ег = с13°"х +с23а у +с33сгг + с35ггх< У гх = С\Ь°Х +с25 а у + С35 ст 2 + С55 тгх,
де ех, еу, е7, угх - вщносш деформацп, с,у = - параметри пружносп матер1алу.
У дисертацшнш робот доведено, що для розв'язання будь-яко! пло-ско1 задач1 теори пружност1 необхщно знайти розв'язок такого дифере-нщального р1вняння четвертого порядку:
(16)
дг
дхдг
д2Ь
дх1
дг
д \й
дг)\ дх\ дг дг\
35
дЬ дг
зз
дЪ
дх4
Косфиценти йу виражаються через комбшаци параметр1в Сц (при плоскому напруженому сташ = Су)\ функщя Л залежить вщ <1у \ розв'язюв наступнихр1внянь:
2 ■
дАк{
х =
д3Л2
(18)
дх* дх"
У третьему роздШ розгаядаються питания побудови розв'язюв отриманих у другому роздал! р1внянь.
У першому параграф! вивчено наступну проблему. Припустимо, що ддя тша з параметрами пружносп 0_(г), к_(г)
вдалось розв'язати одне з р1внянь для функци Ц (/=1,2.....5). Ставиться
питания: якими мають бути мехашчш характеристики О (г), у(г) мате-р1алу, щоб цей розв'язок задоволышв р1вняшпо для шшо? функци ?
В дисертащйнш робот! це питания дослщжсно. Складено таблицю зв'язмв м1ж розв'язками р1зних р1внянь. Так, наприклад, за умови, що знаемо Ь^^Ц було знайдено
кО(г)
Визначеш зв'язки 1 м1ж ршняннями для функцш N1 1 N2. Так, якщо знаемо Л^ для середовища з модулем зсуву £7_(г), то цей розв'язок за-довольнить 1 р1вняннго для функци N2 за умови, що в ньому
Отримаш результат» дозволяють значно збшьшити коло вщомих випадкт неоднорвдностей матер1алу, для яких можна побудувати анаш-тичш розв'язки задач теорц пружносп.
Перспектива приведения статичних задач до крайових проблем такого непогано вивченого ршняння математично! физики, яким е р1вняння Лапласа, здаеться дуже привабливою. Це дозволило б скористатися "каталогами" готових розв'язюв у р1зних системах координат, а, крш
того, у двовим1рпому i деяких трившмрних. випадках - апаратом теори фуикцШ комплексно! змншоь
У дисертащйнш робоп знайдено кшька портняно простих тишв неоднорщностей, для яких загалыгай розв'язок можна подати через га-pMoiii4iii функцн. Так, напргаслад, якщо модуль зсуву - ппербол1Чна функщя виду G(z) = G0 / (1 + cz), а коефщснт Пуасона у = v (z) - довшь-
на, то для фуикци L] знайдено таку залежшсть:
1
U = п + \x(i)\vi{x,y,z)-v2{x,y,'h-z)[dî. (19)
'о
Тут у/к(х, у,z) (к = 1,2)- довшьш гармошчга функции Отримано також розв'язки pinimiib для степеневого закону змши модуля зсуву G(z) = Gq (1 + cz)b при v = const i деяких бшьш складних.
В дисертацшшй робоп вивчалась можлшпсть використання методу роздшу змшних для розв'язаши р1виянь (8)-(15). Розв'язки шукались у вигляда добутку двох невщомих функцш
U = Y„-(x, j) Si(z)(i =1,2.....5), Ni = Т2у(х,у) tj(z) (; =1,2,3). (20)
Якщо пщставити ni вирази у ртияппя (8)-(15), то побачимо, що змшго роздшяються, якщо функцп 1Р|(х, , Т2у (х, >>) задоволыгаоть
двовю.прному piiiiiiiHiiio Гельмгольця дч' + «2Т = 0 (а - числовий параметр). При цьому для функцШ Sj, tj отримашо звичайш диферегицальш
р1вняння, Так, при i,j= 1,2 маемо
Л
fi \ {d 2 -т~а Kl \ d2 2 —r-a s
UzZ J Idz2
(23)
+ а1К25 = 0, (21)
Г, +—Г, — аг Г| = 0 , Г2 +—Г2 -«2Г2= О, (22)
G С/
1-у)/в, К2 =(1/б)\ якщо
К, = 1/(1/6) , ЯКЩО^=52.
Штрихом позначено диференцловання по г.
Розв'язки рпшяння Гельмгольця у р1зних системах координат добре вщомь Отже, проблема полягае у знаходжснш функцШ .у,-, Г,- ¡з вщповь
дгшх р^внянь. В кнщевому вигляда !х вдаеться поршняно просто знайти лише для екепоненщального закону змши модуля зсуву при у =
const i деяких immix. Так Н.А.Ростовцев частково вивчав степеневий
закон G(z) = G0 zm при v = const.
За допомогою вадомих теореггичннх гадходав i довццшка Е.Камке можна знайти багато залежностей G(z) , для яких ршняння (22) штегруе-
ться у юнцевому виглядо. Складниною е проблема знаходження функцш si. Розв'язаних ршшшь четвертого порядку значно менше, шж другого.
Можна припустити, що задача значно опроститься, якицо р!вняння (21) вдасться роздшити на два другого порядку. Таю ршняння краще вивче-Hi, що дозволить знайти Ti функци G(z), v(z), для яких можуть бути знайдеш розв'язки.
В дисертаци показано, що ршняння (21) можна записати у виглядд
d _Х' d {cpY-Xx' аг dz2 X dz 2<px <p X
<P
/ d | tp'x'
4 = 0- (24)
dz2 X dz 2<px <p x Функци K{, К2, яга зв'язаш з характеристиками пружносп G, v залежностями (23), виражаються через функци <р, х i числовий параметр Л
f t ч" ^
--- > ^-2 — —1—
х' а <р
<Р
<Р
1/2
—а
+ Л*
(25)
Якщо Я ^ 0, то ршняння (24) еюпвалентно наступним: .
+ + (/ =(26)
Отже, диференщальне ршняння четвертого порядку (21) роздшено на два другого. Явно, що проштегрувати !х у кшцевому виглядд можна лише для обмеженого набору функцш <р,/ або х- Тому 1 пошук р1внянь, яга можна розв'язати, природно вести у тагай послщовносп: спочатку задаемося функщями <р ia.f i знаходимо (г,а), а ¿з залежностей (25) коефвденти К12. Потш ¡з залежностей (23) розшукуемо мехашчш характеристики середовища.
Запропонована методика вельми ефекгивна. В дисертаци тшьки для двох значень <р =1 1 у> -г знайдено бшьше двадцяти розв'язгав \ це не межа. Отримаш функци О(г), у{г) м1стять до 6-7 1 бшьше довшьних ста-
лих, що дозволяе у деяких конкретних випадках описувати з достатшм
ступенем точносп реальш закони змши мехашчних характеристик ма-тер1алу. Серед знайдених е, наприклад, тага:
Якщо в цих залежностях покласти /3 о - Р \ = 0, то прийдемо до експоненщального { степеневого закошв змши модуля зсуву, ям частко-во вивчалися поиередниками.
Четвертий роздиг присвячено визначегапо закону розподшу напру-жень в тих зонах пружних тш, де е вкгаочепня з шших мaтepiaлiв.
Розглянуто тшо довитыю! форми з ашзотрошсго загального типу. На нього дцоть стал! або тага, що змнпоготься з часом, шшантажсния. 5 - одна з поверхонь усередган тша, на якш мехашчш характеристики матер!алу зазнають розриву неперервиосп, а М - одна з точок на по-всрхш т], ортогональга криволшшш координата таю, що повер-хия у, г) = £* збпасться з Л" в I деякому и окон!. Поста-
влено наступну задачу: визначити напруження в точщ М2^*,т}*,С*
якщо вони вщо\н в точщ М^*, 7}*, £* - , котра лежить поряд з М(, але
по шший бцс иоверхн! 5.
Вважаеться, що на поверхш Я матер! а л и повшстю зчеплеш, тобто в зош контакту перемщення щ ! напружешш <т ^ задовольняють та-
юш умовам:
«Г = 4. («' = 6 ъС) • (27)
Тут ! нижче верхшй знак мшус означае, що розглядаеться значения фу1псцй в точщ Мх, а плюс - в точщ М2, при цьому припускаемо, що м1ж щши точками не дноть зосереджеш сили. Отже, напруження
(/ = в точках М\ ! збйатоться! тому у подалыному писатиме-
мо IX без верхшх знагав.
Умови (27) дозволжоть знайти шукаш залежност!. Так при триви-мгрнш деформацн ¡зотропного т!ла отримаш тага формули:
= Р + Р . 4а\п '
= Р+Р\<г7,п+Р3<*(£ .
Iх А< }У Рг= I л, 'у (28)
я - у+ + 0
3 е-(1-и+)(1+о' <г "
У п'ятому роздШ розглянуто обернену двовмпрну задачу теорц пружносп неоднорщних середовищ в поляршй систем! координат г, р. Видшено три р1зновиди задачг
1. Задаш напруження аг, ор, т гр \ модуль зсуву О(г,0). Треба
знайти закон змши коефииенту Пуасона у = у{г,0) .
2. Вщом1 напруження. Треба знайти можлив! функцп 0(г,/3), у(г,р),
при котрих реал1зуеться заданий напружений стан.
3. Вщо\п напруження 1 функщя у{г,р). Треба вщшукати модуль
зсуву.
Доведено, що перни два р1зношщи обернено! задач1 зводяться до розв'язання р1вняння Пуасона.
Третш р1зновид - найбшып складний. Тому спочапсу було розглянуто випадок, коли тгр = 0. Як вщомо з класично! теорн, такий напружений стан може вшшкнути у тшах типу довгого цшиндра, при чистому згиш кривого бруса, у клиш, бшя деяких отвор1в 1 т.п. Р1вняння нерозри-вносп деформацш в цьому випадку можна привести до вигляду (штрихом позначено диференцдовашю по г)
1 = 0
г г г2 дрг
(
у*етг - (1 - у*)сгр ? =-^-,—> / = -
де у* = у при плоскш деформаци 1 V* - у!{\ + у) при плоскому напруже-
ному сташ.
Методом роздшу змшних було знайдено частинш розв'язки цього ртняния для доншьно! функцп / = /(г) , а значить для довшышх зако-
шв змши коефвдшту Пуасона v=v(r) i напружень.
Знаючи F, неважко знайти i G. Так, наприклад, коли розшукувався модуль зсуву, як функщя коордннати г, то було отримаио наступиу за-лежшсть:
(1-/)егp-v*(Tr dr dr
де Ах, А2 - довшьш стал1.
Цей результат дозволив отримати аналггичш розв'язки обернених задач для тш типу довго! труби, яка знаходиться гад даею зовшшнього i внутрйпнього тисгав, кривого бруса, клина i т.п. Детальний розгляд них задач дозволив виявити випадки, коли значш змаш в неоднорщносп матер1алу тш не позначаються на Ix напруженому сташ, i випадки, коли незначш перемши в неоднорщносп спричиняготь до великих змш у полях напружень.
У роботах иопередниюв аналопчт задач1 вивчалися дня найпрос-'riiimx noniB напружень.
Було також розглянуто обернену задачу для кривого бруса, котрий гаддано да сил, прикладених до торщв, у випадку, коли тгр £ 0. Знайдено точний розв'язок вщповщного р1вняння для довшьних напружень i v(r).
Задач! для аналопчних тш i схем завантаження були розглянуп i у звичайшй "ирямш" постановщ, коли розшукуготься перемйцення i на-пруження. Отримаш розв'язки обернешь проблем дозволили знизити порядки вщповщних piBHHHb для функцш напружень i розв'язати i'x для випадку, коли параметри пружносп Maxepiajry виражаютьея через дм довшый функцй координата г.
Ушостому роздШ вивчалася плоска задача про зги и неоднородно* за висотою балки (плита) (О^х <1, -!ц h2) при навантажеши
об'емними i поверхневими силами. Вважалося, що довжина I значно бшьша за висоту h = 1ц +h2, що дозволило в вщповщносп до принципу
Сен-Венана вимагати суворого дотримання граничних умов лише на довгих боках, а на коротких обмежитися ix задоволенням "у середньо-му". Marcpian тта модешовався прямолйийио-ашзотропним середови-
щем з площшюю пружно! омметры, для яко! узагальнешш закон Гука мае вигляд (16). Вважалося, що характеристики пружносп матер1алу -довшьш функци координата г. Зокрема, балка (плита) може бути бага-тошаровою.
Для розв'язання задач! в ршнянга (17) було зроблено перехад до вщ-носних координат | = х//, = 1 введет позначення Б = д!д£, , е = И//.
Формальний розв'язок р1вняння (17) шукався у виглядц ряду
Ь = Ы4
Ь0 +етл +(еВ)2Ь2+...+(£В)пЬп+...]. (29)
Якщо тдсгавити цей ряд у р1вняння (17), з1брати подабш члени при однакових степенях оператора Б i прир1вняти 1х до нуля, то отримаемо рекурентну послщовшсть простих диференц1альнихр1внянь.
Довшьш функци вщ яю вшопсають при штегруванш цих р1внянь, дозволяють задовольнити умовам на довгих боках балки (плити), а до-вшьшсть у вибор! функцш А1)2 ¡з (18) - "пом'якшеним" умовам на коротких.
1з запису функци L у вигляда (29) випливае, що формули для визна-чення напружень I перемицень мають форму формальних рядив по степенях оператора И. Тому, якщо поверхнев1 сили задаш у вигляда полшокпв по а масов1
^ т
к=о к=о
(а к(0»Рк(0 ' Довшьш штегровш функци), то полшомами по £ будуть також 1 функци Ьп 1 ряда швидко об1рвуться.
На наведених у диссртацы прикладах показано, що неоднорщтсть суттево впливае на розподш напружень 1 використання для розрахунюв балок (плит) формул опору матерТатв може привести до похибок порядку 25% 1 бшыпе у б ¡к занижения максимальних напружень.
Отримаш результати можуть бути використаш 1 при розв'язанш температурно! задача
У роботах попередншав розглядалися лише окрем1 випадки проб-леми для найпростшшх поверхневих навантажень 1 тишв закршлення кшщв балок (плит).
У сьомому роздт вивчалася проблема визначення напружено-деформованого стану двох твпростор1в, яких злютовано на площиш г=0 1 якз мають вщмшш мехашчш характеристики. Швпростору г<0 на-
дано №1, а другому - №2. У вщповщиосп до uici нумерацп bcí всличшш, hkí вщносяться до nienpocropiB, мають позначки 1 або 2. Закон змши параметр1в пружносп у tíjií може бути записаний у вигляда: G(z) = G{+50(z)(G2 -G¡), y(z) = y, + ¿>0(z)(y2 -y¡), де S0(z) - одгашчиа
функщя Хевкайда.
Ha piBHi z - -h до твпросггору №1 лрикладене навантажеиня, яке змшгоеться за законом fir, ft (г,p,z - цишндричш координата). Роз-
глянуто дам задачи А. Сили дають у nanpaMi oci z. В. Сили ддготь у на-пря\п oci х. При цьому припускалося, що функцйо f(r,(J) можна подати
у вигляда подвшного розвинення у ряд Фур'е по /? i штеграл Ганкеля по г
+00 00
fir, ft = lLeimí}\agm(a)Jm{ar)da (30)
т=-<х> о
j 2я-оо \
8М = Т~Ц fir, ft e~l т Pjm (a f)rdrdp\, LK о о )
де Jmiar) - функщя Бесселя першого роду порядку т.
Для розв'язання задач1 А було використано перший Bapiairr загаль-ного розв'язку у вигляда (4)-(7) при = 0. Навантаження розглядалося
як дая масових сил Z з штенсившспо розподшу у npocropi
+00 °°
Z = Sx{z + h)f(r,P) = Sxiz + h) IeimP\agmiá)Jmiar)da. (31)
гп~-оо о Тут <5j (z) - дельта-функщя Д1рака. Функщя L\ розшукувалася у вигляда
+ОЭ 00
Ц = I,eimf} I a gm (a) J т (а г) s, (z, a) a3 da, (32)
W7=-oo О
де Jj (z, а) - функщя, яка пщлягае визначеншо.
Якщо пщставити вирази (31), (32) в (5) i скористатися властив остями узагальнених функцш, то отримаемо неоднорщне лшшне диференщ-альне piBiwmiH для визначення jj, з розв'язашшм якого не вшшкае проблем. 1з умови, що перемщення i напруження мають бути обмеженими при z -> ±оо , отримуемо граничш умови дня функци .Vj
lim s, = О.
Для визначення перемццень маемо наступш формули:
+00
ur =- De,OT/3J gm(a) Qlm р](z,a) da,
m=-oo о
+oc a (a\
Ufi=i Irn Jm(ar)Pi(z,a)da , (33)
m=-oo 0
+00 «0
Щ = gm(«) Jm(.a>r) P2(z>a) ¿a
w=-co о
OCT
В формули для визначення перемццень i напружень входять функци Pic(z,a) (fc= 1,2,3,4), KOTpi пов'язаш з (г, се) такими залежностями (штрихом позначено диференцновання по z):
p{=~\{\-v)s" +a2vsx\ (g-MG),
(34)
p2 +a2™,]} , p3=su p4=a~isl .
Якщо зовшшнс навантаження осесиметричне, то / = /(г), gm(a) = 0 для вах т О \ формули (33) значно спрощуються, а вщ рядов
залшпаеться по одному члену. Так, у випадку, коли дае зосереджена сила Р, то /(г) = Р61 (г) /(2л г) , (а) = Р I (2я) 1 штеграли в залежностях (33) беруться в елементарних функщях. Окремими випадками цих зале-жностей е класичт розв'язки Кельвша, Бусшеска, Н.Шандру, Ю.Н.Васильева.
Графнси на рис.1 шюструюгь розподш напружень аг в однорщно-му (рис. 1а) 1 неоднородному (рис. 16) просторах. На них нанесет лшн однакових значень безрозм1рно! величини сг = сгг/г2 / Р. Графж на рис. 16 побудовано для випадку, коли 02/С7,=3, У\=У2= \ IА. На осях координат вщкладеш безрозм1рш величини р = г I к \ £ = г I к.
Рис.1. Розподш нормальних напружень в однорщному (а) та неоднорщному (б) просторах.
Якщо пор1вняти рис.1б з рис.1а, який побудовано за розв'язком Кельвша, то побачимо, що неоднорщшсть суттево впливае на розподол напружень.
Для розв'язання задач! В про навантаження тша силами, що дооть у напрямку oci х, ïx треба вважати масовими силами X i подати у форм!, подбит до (31), а функци Ц i Ni шукати у виглядо 0 +00 00 L, =— X elmfijgm(pc) J m{af) sx{z,a) a* da ,
РХ W!=-00 о
(35)
0 +00 00
N, =— I eimP\gm(a) Jm{ar) ф,a) a 2 da . еУ m=-oo о
Тода для функщй ^(z,a), f|(z,a) отримаемо нескладш диференщальш р1вняння i подальший хщ розв'язання задач! не викликае трудноиов.
При до в напрям1 oci х зосереджено1 сили к!нцев! формули вдаеться подати в елементарних функцшх. Окремими випадками цих формул е класичш розв'язки Кельвша, Черугп, Р.Мшдщна, Н.Шандру.
Отримаш результата мають значний теоретичшш i практичний штерес. Роль сингулярних розв'язюв в теорп пружноси добре вщома, а ïx практичне застосувашм часто пов'язане з розрахунками грунтових i скелышх гадвалин. Вважаеться припустимим використання при розра-хунках методов теорй' пружносп, якщо шдвалини пращоють у пружнш стадо. Розв'язок наведено!' вище задач! дозволяе розраховувати шдва-лини глибоко закладсних конструкцШ, яю знаходяться поблизу вщ границ! двох iuapiB велико! потужносп i мають pi3Hi MexaHi4ni характеристики.
У восьмому po3dini розв'язано задачу про деформацц твпростору г à 0 з р1зномаштними реальними законами змши мехашчних парамет-piB з глибиною. Граничну поверхню тша пщцано до сил, розподал яких характеризуеться фушацею f(r,fl).
KpiM явного теоретичного значения результата можуть знайти практичне застосування при оцшц! напружень у масивних неоднорщних тагах поблизу мкць прикладення сил, при моделюванш щдвалин кон-струкцш i споруд та складаиш прогнозу ïx осадок.
Показано, що у випадку да нормалышх до поверхш сил /(г,р), яга
подаш у вигляда (30), доетатньо знайти розв'язок одного з р1внянь (8)-(12) для функци Ц (¿=1,2,. ..,5) при вщповщних граничних умовах. Йог о
треба шукати у вигляда, подобному до (32), якщо замнгати шдекси 1 на /. То/ц для функцй' s¿ (г, а) отримаемо звичайне днференщальне р1вняння
четвертого порядку (при 1=1,2 воно мае вигляд (21)). Критер1ем вибору того чи шшого ршняния е можлшисть його розв'язання. У третьему роздал днсертаци знайдено с1м видав функщональних залежностей па-раметр1В пружносп вщ г, для яких вдалося знайти . Вони мають значш
иерспективи практичного використання. Наведемо деталька з них.
У роботах попередниюв вивчалися експоненщальний закон змши модуля зсуву i степеневий типу G'(z) =G0zm (т< 1) при сталому у. В останньому випадку фпична нереалыпсть середовища явна: у noBepxiii гавпростору модуль зсуву дор1вшос нулевк
Чотири довшып стал1, яю входять до функцп j,(z,а), дозволяють
задовольнити крайовим умовам i в загальному випадку навантаження отримати розв'язок у вигляда (33). В днсертаци детальш число в i результата отримано для модуля зсуву G(z) - Ой(\ + сг)Ь при v = const. Побу-доваю графгки розподшу перемицеиь i напружень в niBnpocTopi при да на його noBepxni зосереджено! сили. Виявлено незвичайш ефекти на-пруженого стану, яю не зустр1чаються у випадку однородного MaTepiany.
Детально вивчалися деформацц гавпростору при да на нього у на-пря\н oci х зсувних сил, задания у вигляда, аналогичному до (31). Для розв'язання задач1 функци Lt, N j ( /=1,2,...,5; 7=1,2,3 ) розшукуються у
вигляда, подобному до (35).
Отримаш у восьмому роздал! результата узагальшоють класичш розв'язки Бусшеска, Черутп, Фламана.
Дев'ятий розд'ш присвячено вивчеиию напружено-деформованого стану неоднородного за глибиною шару завтовшки h, який нерозривно
1. G(z) = G0(1 + cz)b, v = const.
2.G(z) = G0(l + cz)b, у =
ytZi +m3 z\ + m3
3. G(z) =
зчеплений з однорщним швпроетором. На конструкцта доють нормальш 1 зсувш до поверхш навантажешш. Розв'язок задач! становить значний практичний штерее при проектуванш ! розрахунках дорожшх одяпв. Воии, як ведомо, споруджуюхься у виглядо багатошарових систем. Угор! укладають шари з мщиих матер!ал1в, знизу - з меишими значениями модул!в зсуву. Технология зведення спричиняе згладжування стрибкових змш модул!в в зонах контакту шар!в. Кр!м того, модуш зсуву можуть падати з глибиною ! в межах одного шару через недосконашсть процесу ущшьнення матер!алу. Тому у так званому "метода ХАДГ' розрахунк!в дорожшх одяпв вважаеться припу схимим зам!сть схщчастого закону змши модул!в використовувати неперервну залежн!сть. Попередниками частково дослщжувався лише експопенщалышй закон. Обмежеш ! не досить надшш числов! результата по визначенню максималышх проги-шв конструкци вщ дш нормальннх сил були отримат за умови, що модуль зсуву низу зб!гасться з модулем п!впростору. Напруження не ви-значались. Ц! факти р1зко звужують сферу використання результата ! роблять актуальною проблему розв'язання сформульовано! вище задач! для р!зних титв неоднорцщостей.
В дисертаци показано, що для цього достатньо знайти вщповщш розв'язки одного з р1внянь (8)-(12) для шару! одного - для швпростору. Розв'язки треба шукати у виглядо, подобному до (32), попередньо замь
нивши та ^ на Ь^, ^ (и=1,2). Тут верхнш шдекс (1) вщноситься
до шару, а (2) - до швпростору.
Яюцо пщставити вр1вняння(8)-(12),то дляфункцш х-'2) {г, а)
отримаемо диферснщальш р1вняння четвертого порядку. 1х розв'язання для багатьох тигав неоднорщностен подано у третьому роздан. Так, у випадку, коли модуль зсуву зм!шоеться за гшерболою 0{г) = / (1 + сг)
при довшьному коефкцат Пуасона у (г), було отримано наступну за-
лежшсть:
= <Гаг{[с, -С3 1(2)}е-2а(к-г) +С2 + С3Л,(г,а) + С4[я2(г,а)-,
де С к (к =1,2,3,4) - довшьш функци параметру штегрування а, яи шд-
лягають визначешпо з граничних умов; Ят (т =1,2), 1(г) - функци, як!
залежать вщ характеру змши коефцценту Пуасона. Для швпростору було взято таку залежшсть:
= [с5 +а{1-}1){С5 +С6)]е~аг .
Задоволення граничних умов на поверхш конструкци i в зош контакту тару з гшпростором приводить до системи з шести лшшннх алге-брамних ргвнянь для визначення функцш Ср- (А: =1,2.....6). Остаточш
формули для перемицень при довольному навантажешп записуються у вигляда, подобному до (33).
Автор дисертацп при внконант госпдоговгрних poöiT i договор1в про творчу сгавдружшсть з ХАД1 зробив деталыгай анадп напружено-деформованого стану конструкцш з гшербол1чним та скспонетйальпим законами змнги модулш. Розрахунки велись для загальновживано? схеми завантажегаы - pimioMipne на плошд круга. Визначались максималышй прогин i розподш напружень в inapi вздовж oci симетрн. Було обчислено майже двадцять тисяч штеграл1п, побудовано численш графши i таблица Вони обшмають увесь даапазон можливих значень параметр1в конструкцш i дозволяють впевнено визначати i'x напружено-деформований стан. На ix ocnoßi разом 3i сп1вробтппсами ХАД1 було розроблено ре-комендацц для проектувальштав. Результата використовуготъся при розрахунках дорожшх одяпв. Вони увшшли до нормативиих документа, яга назваш у вступнш частнш до автореферату i частково наведет в дисертаци.
Для щгострацп результата обчислень наведемо деяи графики.
Деформативт властивосгп дорожш.х одяпв часто оцшняоть величиною так званого еквгвалеитного модуля Ge , тобто величиною модуля
зсуву такого однородного швпростору, який nijt, даею аналопчного на-вантаження мае таку ж максимальну осадку. Графши на рис.2-4 дозволяють визначати коефйценти екв1валснтиост1 a = G0 I Ge для конструкщй з гшерботчшш законом змнш модуля (G0 - модуль у noBepxni шару). Вони побудоваш для ршшх значень G2/Gx, де G^, G2 - модул1 зсуву MaTcpianiß шару при 2 = h та п1впростору. Упродовж oci абсцис вщкладено величину ¿; = ö I h (б - радаус круга навантажеши). Цифри на кривих - pi3iii значения /ц =G0 / G,.
Десятий роздт присвячено побудов1 матричних метода в задач1 про piBHOBary пакету з п зчеплених М1Ж собою inapiB, яю лежать на од-норщному nianpocTopi. Конструкщя завантажена нормалышми до пол-BepxHi i зеувними силами. MaTepian mapin неоднорщний за товщиною. Нумер а ni я шарт в пакет! ведеться зверху, починаючи з №1. Bei величи-ни, ям вщносяться до к-го шару, позначаються верхшм Ьщексом (к).
Коеф'иуенти еквталентносп конструкций при 3M¡H¡ модуля зсуву за пперболою
3 конструкцию пов'язана цилшдрична система координат, початок яко1 знаходиться на поверхш, а вкь г напрямлена вертикально В1шз. Припу-
скаеться, що точкиз координатами г = (к= 1,2.....п\ 0 <г^ <г2 <...<!„)
2п = Л ) знаходяться у площинахконтактов шар1в.
При да нормалышх до поверхш конструкцн сил, поданих у шггля/ц (30), розв'язок матричного р1вняння (1) для к-то шару шукався у вигляда (<?о - модуль зсуву при 2=0)
¿¡О
+00
о
(СоаГ'о-^а)
а<у[к)(г,а)
(г, а)
йа, (36)
де а} (г, а) - функци, як! гадлягаготь визначешпо.
Якщо пщставити цю залежшсть в р1вняния (1), то отримаемо на-ступну систему диференщалышх р!внянь (шдекси к вщкинуто):
- = аА V,
¿г
(37)
У
, А = 1-у
0
сг4 2С+
1-У
1
-1 1
О
0
1-2у
2(1-и)С?+
1
\-у
1/(?+
0
1 1
де = - вщносний модуль зсуву.
Позначимо через О.2 (а А) матрнцант систем» (37) для к-го шару, гк
тобто фундаментальиу матрицю, котра перетворюеться у одиничну при
Очевидно, що матрицанти П2 (а А) завжди можуть бути знайдеш
2к
для тих тишв неоднорщностей матер1ал1в, для яких вдаеться розв'язати одне з р!вняш> (8)-(12). В дисертацшшй робой наведеш матрщанти доя однородного шару 1 шару, модуль зсуву якого змипоеться за гшербол!ч-ного залежшстго при довшыгому коефвдент! Пуасона.
у
1з умов повного зчеплення limpie i Í3 граш1чш!х умов на нижнШ по-верхш z—h було отримано рекурентну формулу для визначення функцш
Мк^=П*2к~1(аЛ)Мк, Vk=MkC (к=п,п-1,...,1). (38)
Тут С = col |cr3 (Л, а), сг4 (Д cz)}; Мп - матриця розм1ром 4x2, еле-менти яко! виражаються через характеристики пружносп Nurrepiany гав-
G<fc+1> = G2, v<-k+»=v2
1-2V2 l-r2
2G2+ Gt
Мп = l-v2 1-2V2
Gt 2G2+
1 0
0 1
Матриця С м1стить невщом! функцй параметру а, вщ яких зале-жить розподщ напружень по низу пакета шарн$. Знайти !х можна лише ¡з граничних умов на верхнш поверхш пакету г = 0. Для цього треба п раз1в вжити формулу (38) 1 знайти матрицю Му, Тода Уу = ЬЛ^С \ iз
крайових умов при г - 0 можемо знайти С. Осгаточш формули для визначення перемицень мають вигляд, подабний до (33).
Викладена методика була використана 1 при розробщ способу на-ближеного розв'язку задач! про ргвновагу шару. Для цього вш розбива-вся на систему з п тонших шар1в. Яюцо в межах кожного шару змшш параметри пружносп наблизити сталими величинами, то приходимо до так званого методу прямокутниюв, а яюцо закон змши модуля зсуву на-ближати гшерболою - до методу трапецш. Зауважимо, що у роботах попередштав розроблявся лише аналог методу прямокутниюв. Запро-понована в дисертацй методика розрахушав простила i значно ефектив-шша. Бона була використана при визначеши передбачуваних прогишв дорожшх одяпв, яю реконстругоються. Результата знашлли експеримен-тальне гадтвердження { були використаш в ХАД1 при тдготовщ нормативно! лператури.
висновки
Неоднорщшсть притаманна матер ¡а лам багатьох еяементш машин, конструкцШ, споруд 1 може суттево вплинутн на 1х напружено-деформованнй стан. Проте до цього часу строгими аналгшчннми методами вдалось дослщити лише задач! для тш найпростппих форм з еле-ментарними залежностями мехашчних характеристик вщ координат точок. Це, у свою чергу, значно обмежуе сферу вживания отриманих результата.
В дисертацШнш робот! в межах единого пщходу розв'язано низку задач теори пружносп, як! стаповлять значний практичний та науко-вий штсрсс.
1. Отримано загальш розв'язки просторово! зада1п статики дня неоднородного {зотропного середовшца, параметри пружносп якого е функщями одтеТ декартово! координата.
Р1вняння р1вноваги у персмпцшнях подщено на дел бтын просп системи. Вщгак вони зведеш до двох лннйних диференщальннх р1внянь у частннних похщних, одне з яких четвертого, а шше - другого порядюв. Отримано п'ять вар!аттв ртняпня четвертого порядку, з яких три для дов1льних модуля зсуву 6(г)! коефицснта Пуасона у (г), а решта - для
матер1алу з параметрами виду , у = 1 / 2. Р^вняння другого порядку
наведено у трьох вар1антах.
Показано, що у випадку однородного матер1алу ¿з отриманих зале-жносгей можна перейти до вщомих розв'язйв, запропоиованих П.Ф.Папковичем, Г.Нейбером, Б.Г.Гальоркншм, Е.Треффцем та иппими авторами.
Отримано також загальний розв'язок плоско! задач! для неоднорь дного атзотрогаюго матер!алу, мехашчш характеристики якого - фун-кци одше! декартово! коордшгати.
2. Встановлено залежносп м1ж ршшми вар1антами загальних розв'язк!в, що дозволяе узагальшовати знайдеш тим чи нпцнм способом розв'язки р1внянь для конкретних неоднорщностей на бтын складт.
3. Дослщжено можлив1сть подашга загального розв'язку просторово! задач! теори пружносп через гармогачш функц». Визначено можлив1 тапи неоднорщностей матер1алу.
4. Розроблено методику знаходження частишшх розв'язгав засад-1шчих ршшнь за допомогою методу роздшу змшних. Звичайш диферен-
щальш ¡линяния четвертого порядку, яга при цьому з'являються, розда-ляються на два другого, що значно полегшуе проблему. Запропоновано бшьше двох десяткш функцюналышх залежностей параметр1в пружносп вад декартово! координата, для котрнх р1вняння теори пружносп йггег-руються у скшченному виглядк
5. Знайдено формули для визначення можлпяих величин стрибкш у деяких компонентов тензора напружень при перехода через поверхню, на якш стрибково змшюютъся мехашчш характеристики ¡зотропного або ашзотропного матер1алу.
6. Розроблено алгоритм розв'язання двовшпрно! обернено! задач) теори пружносп для тш типу довгоУ труби, яка гаддана до зовншшього 1 внутршшього тискт, кривого бруса, клина 1 т.п. При цьому на напру-ження не накладаютъся 1ияга обмеження, за винятком штегровност! функцш. Знайдено випадки, коли значш змши в неоднорщносп матер1а-лу шяк не позначаються на напруженому сташ тша, I випадки, коли невелик! змиш в неоднородное« спричшшоть до р!зко! змши у полях напружень 1 перемицень.
Отримаш результата дозволили знайти розв'язки задач для перель чених вище тш у класичнШ "прямш" постановщ для випадку, коли мехашчш характеристики материалу подаються через дв1 довшьш функци.
У роботах попередшпав аналопчш задач! частково вивчалися лише дпя найелементарншшх напружень.
7. Розв'язано плосю задач! згину ашзотропних прямокутних еле-менгпв балкового типу з довшыюю поперечною неоднорщшетю при на-вантаженш масовими та поверхневими силами. Показано, що ¡снугоч! теори згину балок у деяких випадках дають значно занижеш значения екстремальних напружень.
Результата можуть бути використаш 1 при розв'язанн! температур-но! задач!.
В. Отримано розв'язок задач! про дао сил усередиш зчеплених гав-простор!в з вщмшними пружними властивостями. Показано, що у випадку дш зосереджених навантажень напружешш ! перемщення можуть бути подаш через елементарш функци.
Наведет результата узагальнюють вщом! розв'язки Кельвша, Бу-с!неска, Мшдпша, Черут-п та шших, яка походять !з отриманих як окрем! випадки.
Результата можуть бути використаш при розрахунках грунтових I скелышх пщвалин, коли глибоко закладена конструкщя знаходиться
поблизу граншц двох шapiв велико! потужносп з водмшними мехашч-ними характеристиками.
9. Розв'язано задачу про деформацп гавпростору г > 0 з рпномашт-ними реалышми законами змши параметр1в пружноси з глибиною при да на його поверхш нормальга!Х \ дотнчних навантажень. Деталый чис-лов1 результата отримано для степеиево! залежностз модуля зсуву виду О (г) - (70(1 + сг) при Виявлено незвнчашй ефекти напруженого
стану, яга не спостершаються у однородному та. Так, при да стискуючо-го навантаження усередгай гавпростору з'являеться область, у яюй на-пруження <т2 розтягуючь
Отримаш результата узагальшоють водом! розв'язки Бусшеска, Че-руга, Фламана. Вони дозволяють ощшовати напруження у масивних неодноршшх тшах поблизу м!сць прикладення навантажень, а також можуть бути шгкористаш при перев1рщ мшносп подвалил споруд I скла-дашш прогнозу !х осадок.
10. Розглянуто задачу про напружено-деформований стан неоднородного за глибиною шару, який нерозривно зчеплено з однородним гав-простором \ поддано да поверхневого навантаження. Запропоновано методику розв'язання для ршшх тшйв неоднородностей. Деталый чис-лов1 результата отримаш для ппербол1чного 1 експонешйального зако-гав змиш модущв пружносп. Проанал1зовано особливосп розподшу на-пружень 1 перемицень в шар1 при р^зних значениях параметров констру-кцн. Результата використовувались при просктуванш { розрахунках до-рожшх одяпв. Рекомендацн з конструювання 1 розрахушав увшшли до даочих нормативних документа.
11. Розглянуто задачу про ржновагу пакету зчеплених м1ж собою неоднородшх шар1в, який лежить на однородному твпросторк На поверхш конструщи даогь нормальш I зеувш зусилля. 1з умови поедиання шар1в знайдено рекуренпй залежност!, як1 дозволяють матрицго почат-кових параметр1в на одному бощ пакету подати через граничга умови на шшому.
Запропоновано ефективш епособи побудови наближеного розв'язку задач! про р1вновагу неоднородного шару, яга грунтуються на його зам™ системою зчеплених однородних (метод прямокутшпав) або неоднорщних (метод трапещй) шар1в. На водмшу вод запропонованих рагаше цштми авторами аиалопв метода прямокутшпав подаш в ди-сертацп способи розрахушав бшьш просп 1 одеально пристосова1Й для
визначення напружень 1 перемнцень в конструкциях з1 складними законами змши мехашчних характеристик матер1алу. Результата використо-
вувались при проектуванш 1 розрахунках одяпв дор1г, ям реконструю-
валися, а також при шдготовщ нормативних документов.
ОСНОВШ ПУБЛ1КАЦН ЗА МАТЕР1АЛАМИ ДИСЕРТАЩЙН01РОБОТИ
1. Плевако В.П. Общие решения в задачах теории упругости неоднородных сред. - Харьков: Основа, 1997. - 160 с.
2. Батраков О.Т., Медведкова Н.А., Плевако В.П., Ряпухин В.Н. Усиление нежестких дорожных одежд. - М.: Транспорт, 1985. - 144 с.
3. Плевако В.П. Двумерная обратная задача теории упругости неоднородных сред в полярных координатах // Прикл. мат. и мех. - 1985. -Т.49. - Вып.5. - С.775-783.
4. Плевако В.П. Деформация неоднородного полупространства под действием поверхностной нагрузки // Прикл. мех. - 1973. - Т.9. -Вып.6. - С. 16-23.
5. Плевако В.П. Деформация неоднородного слоя, спаянного с полупространством // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. - 1974. - №5. -С.34-42.
6. Плевако В.П. Задача о действии сдвигающих сил, приложенных к поверхности неоднородного полупространства // Прикл. мех. - 1973. -Т.9. - Вьш.11. - С.49-55.
7. Плевако В.П. К теории упругости неоднородных сред // Прикл. мат. и мех. - 1971. - Т.35. - Вып.5. - С.853-860.
8. Плевако В.П. Напряженное состояние неоднородного слоя, покоящегося на упругом полупространстве // Прикл. мех. - 1972. - Т.8. - Вып.4. - С.68-76.
9. Плевако В.П. Неоднородный слой, сцепленный с полупространством, под воздействием внутренних и внешних сил // Прикл. мат. и мех. -1974. - Т.38. №5. - С.865-875.
10. Плевако В.П. О возможности использования гармонических функций при решении задач теории упругости неоднородных сред // Прикл. мат. и мех. - 1972. - Т.36. - Вып.5. - С.886-894.
11. Плевако В.П. Плоские задачи изгиба неоднородных тел при полиномиальных нагружениях П Прикл. мех. - 1978. - Т. 14. - С.59-65.
12. Плевако В.П. Равновесие неоднородной полуплоскости под действием усилий, приложенных к границе // Прикл. мат. и мех. - 1973. -Т.37. - Вып.5. - С.905-913.
13. Плевако В.П. Распределение напряжений в зоне скачкообразного изменения упругих свойств неоднородного материала // Прикл. мат. и мех. - 1979. - Т.43. - Вып.4. - С.760-764.
14. Плевако В.П. Сосредоточенная сила внутри сцепленных полупространств // Основания, фундаменты и механика грунтов. - 1969. - №3. -С.9-11.
15. Плевако В.П., Керевич A.A. Неоднородный слой, сцепленный с полупространством, под воздействием внешних сил // Прикл. мех. -1987. - Т.13. - №5. - С.11-16.
16. Плевако В.П., Батраков О.Т., Медведкова H.A. Совершенствование расчета нежестких дорожных одежд// Изв. вузов. Сер. стр-во и архит. - 1973. - №5. - С.140-145.
17. Плевако В.П., Медведкова H.A. Осадки дорожной одежды от воздействия расчетной нагрузки // Изв. вузов. Сер. стр-во и архит. - 1974. -№8. -С. 148-153.
18. Плевако В.П., Медведкова H.A. Развитие метода расчета на прочность нежестких дорожных одежд // Изв. вузов. Сер. стр-во и архит. -1976. - №9. - С.141-145.
19. Калужский Я.А., Плевако В.П. Принципы проектирования дорожных одежд с жесткими прослойками // Изв. вузов. Сер. стр-во и архит. - 1972. - №5. - С.142-146.
20. Плевако В.П., Башлачева Г.М. До проблеми розв'язань pißimib тео-pii' пружноеп неоднорщних середовищ // Новые технологии пищевых производств: Сб. научн. тр., ХГАТОП. - Харьков, 1995. - С.294-296.
21. Плевако В.П. Построение общих решений трехмерной задачи теории упругости неоднородных сред // Прогрессивные технологии пищевых производств: Сб. научн. тр., ХИОП. - Харьков, 1992. - С.228-233.
22. Плевако В.П. Равновесие неоднородного полупространства // Эффективные численные методы решения краевых задач механики твердого деформируемого тела : Тез. докл. Респ. науч.-техн. конф. 27-29 сент. 1989. - Харьков, 1989. - Ч. 2. - С.77-78.
ЛНОТАЦП
Плевако В.П. Розрахунки елемеитЗв конструкцш и пружних ие-однорщних матср1ал1в. - Рукопнс.
Дисерхащя на здобуття наукового ступени доктора техшчних наук за спещалыйстю 01.02.04 - мехашка деформ1вното твердого Tina. -1нститут проблем машинобудування HAH Укра'ши, Харюв, 1998.
Дисертацно присвячено побудот аналггичних розв'язкт задач Teopii пружносп неоднорщних середовищ. В основному розглядаються пла, мехашчго характеристики яких - функцй одтеГ декартово! координата. Знайдено п'ятнадцять Bapianrin загальних розв'язюв просторово! задач1 для 1зотропного середовища i один BapiaHT плоскоУ - для ашзот-ропного. Отримано розв'язки щгх р1внянь для багатьох окремих випад-KiB неоднородность Результата вшсористовуються для досшджснь плоских задач згину неоднорщних балок i деформацш натвнескшчешшх i нескшчешшх тривтнрних пружних тш. Дослщжеш проблем» розрахун-KiB багатошарових систем i обернених задач. Основш результата були використаш при пщготовщ нормативних матер1ал1в з розрахунмв до-рожшх одяпв.
Ключов1 слова: теоргя пружносп, неоднорщш матер1али, триви-MipHi i плоси задачу аналгшчш роза 'язки.
Плевако В.П. Расчет элементов конструкций из упругих неоднородных материалов. - Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - институт проблем машиностроения HAH Украины, Харьков, 1998.
Диссертация посвящена вопросам построения аналитических решений задач теории упругости неоднородных сред. В основном рассматриваются тела, механические характеристики которых - функции одной декартовой координаты. Найдено пятнадцать вариантов общих решений пространственной задачи для изотропной среды и один вариант плоской - для анизотропной. Получены решения этих уравнений для многих частных случаев неоднородности. Результаты используются для исследования плоских задач изгиба неоднородных балок и дефор-
маций полубесконечных и бесконечных трехмерных упругих тел. Исследованы проблемы расчета многослойных систем и обратных задач. Основные результаты диссертации использованы при подготовке нормативных материалов по расчету дорожных одежд.
Ключевые слова: теория упругости, неоднородные материалы, трехмерные и плоские задачи, аналитические решения.
Plevako V.P. Elements of Constructions from Elastic Non-Homogeneous Materials Design. Manuscript.
The doctor's degree of technical sciences, speciality 01.02.04 - Mechanics of a deformed solid. The Institute of Machine-building Problems. NAS Ukraine, Kharkiv. 1998.
The thesis is devoted to the problems of the analytical decisions making the theory elasticity tasks of non-homogeneous media. In the thesis the bodies mechanical characteristics of which are the functions of one Cartesian coordinate are mainly being considered. Fifteen variants of general decisions of space problem for isotropic media and one variant of flat one for anisotropic media have been found. The decisions of the equations for many particular cases of non-homogeneity have been received. The results are used for the research of the flat tasks of non-homogeneous curve beams and deformations of semi-infinite and infinite three dimensions elastic bodies.
The problems of multilayer systems design and reverse tasks have been investigated.
The main results of the thesis are used while preparing standards materials as to the design of the road coating.
Key words: theory of elastie'y, non-homogeneous materials, three-dimensions and flat tasks, analytical cisions.
ГОдп. додруку 4 лютого 1998 р. Формат 60x84 1/16. Ilanip газет. Друк офс. Обл.-вид.арк. 2,0. Ум.друк. арк. 2,2. Ум.фарб.вщб. 2,2. Тираж 100 прим. Зам. 2,%
ДОД ХДАТОХ. Харив-51, вул.Клочювська, 333.
