Расчет регулярных пластинчатых систем методом конечных полос в смешанной форме тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.03 ВАК РФ

Перечень основных обозначений.

В в е д е н и е

I. СЖШАБНАЯ ФОИЛА КОНЕЧНЫХ ПОЛОС.

1*1. Численный обзор и анализ методов расчета пластинчато-стержневых систем

1.2. Смешанная форма конечных полос при расчете пластин на изгиб.

1.3. Метод конечных полос в плоской задаче расчета пластин.

П. ВЫБОР СИСТЕМЫ АШКЖСИМИРУЩИХ ФУНКЦИЙ.

2.1. Использование тригонометрических и балочных функций

2.2. Построение единой системы функций для различных граничных условий.

2.3. Примеры по использованию предлагаемых.систем аппроксимирующих функций.

Ш. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛАСТИН

ПОДКРЕПЛЕННЫХ РЕБРАМИ ЖЕСТКОСТИ.

3.1. Метод конечных полос дяя расчета пластин, подкрепленных ребрами жесткости.

1У. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ПОЛОС В ЗАДАЧЕ О СОБСТВЕННЫХ И

ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ.

4.1. Уравнение метода конечных полос в смешанной форме в задачах колебаний

4.2. Собственные колебания подкрепленных пластин

4.3. Примеры определения собственных частот и форм вынужденных колебаний.

У. АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ, СХОДИМОСТИ И ОСОБЕННОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ

МЕТОДА НА ЭВМ.ИЗ

5.1. Особенности реализации алгоритма на ЭВМ.

5.2. Анализ сходимости алгоритма и точность решения.

В основных направлениях экономического и социального развития СССР на I98I-I985 годы и на период до 1990 г, говорится: важное значение в нашем экономическом строительстве приобретает снижение материалоемкости продзгкции, экономное расходование сырья, топлива, энергии, металла". Применение современных материалов, создание прогрессивных форм конструкции, основанных на широком использовании элементов в виде тонкостенных пластин в салшх различных областях современной техники и строительства, разработка уточненных методов расчета, учитывающих реальные свойства материала и условия работы конструкций, широкое внедрение ЭВМ в практику работы научных и проектных организаций вот далеко не полный перечень возможностей для успешного решения данной задачи. Научные исследования, связанные с решением вышеназванной проблемы, актуальны и проводятся в различных аспектах. Одним из важных широко разрабатываеьшх направлений является развитие численных методов решения задач теории пластин, обладающих универсальностью, позволяющих достаточно точно учесть конструктивные особенности и быть в то же время простыми для численной реализации. Б трудах П.М.Варвака, В.З.Власова, П.Ф.Папковича, П.Тимошенко и др. изложены вопросы построения общей теории пластин, предложены практические методы решения задач статики и динамики. В монографиях и статьях А.В.Александрова, Д.В.Вайнберга, В.А.Постнова, Д.Н.Соболева, А.Ш.Смирнова, В.Д.Райзера, Л.А.Розина, А.Р.Ржаницына, А.П.Филина, Н.Н.Шапошникова и др. авторов исследовались вопросы дальнейшего развития теории, совершенствования численных методов решения более сложных задач теории пластин и пластинчатых систем.Б последнее врегдя получил широкое развитие универсальный метод метод конечных элементов. Теоретически методом конечных элементов можно рассчитать любые конструкции. Однако при расчете сложных конструкций приходится разбивать рассматриваемые объекты на большое число конечных элементов, и даже при этом не всегда уцается получить приемлемые решения задачи, так как в этом случае требуются большие объеглы машинной пагшти, а вычислительные возможности ограничены. Это является весыла существенным недостатком метода. Для каждого класса задач необходим свой оптимальный подход, позволяющий наиболее просто и достаточно точно рассчитать конструкцию. Именно поэтому появляются различные модификации метода конечных элементов. ]1дЕ определенного класса задач, обладающих регулярными свойствами в одном направлении, рационально применять метод конечных полос. Аналогично методу Ритца неизвестные по одной координате, вдоль которой свойства постоянны, аппроксимируются отрезком ряда, что существенно снижает порядок разрешающей системы. По другой координате конструкция разбивается на полосы, это позволяет учесть изменение: геометрии, физико-механических параметров, внешней нагрузки, переменные граничные условия и т.д. в данном направлении. Итак, метод конечных полос по одной координате обладает достоинством аналитического метода Ритца, а по другой аналогичен методу конечных элементов. Обычно метод конечных полос применяется в форме перемещений, то есть за основные неизвестные берутся перемещения и углы поворота. Решение задачи через усилия и перемещения (смешанная форма) позволяет при меньшем числе неизвестных более точно найти решение, чем если решать только в перемещениях. Это связано с тем, что напряжения и усилия в методе конечных элементов в форме перемещений находятся численно через первые и вторые производные от перемещений соответственно. А известно, что в этом случае точность найденных напряжений, усилий будет ниже, чем перемещений. Учитывая отмеченное выше обстоятельство в работе предлагается метод конечных полос в смешанной форме, где в качестве основных неизвестных приняты перемещения и моменты. На защиту выносятся следующие положения: алгоритм метода конечных полос в смешанной форме для решения задач статики и динамики пластин; алгоритм метода конечных полос для решения плоской задачи теории упругости; система аппроксимирующих функций, позволящая получить решение при любой комбинации граничных условий; результаты расчетов рассмотренных задач и рекомендации по применению разработанного алгоритма.I cjMiiAHHAH твлк гжгодА КОНЕЧНЫХ полос I.I. Численный обзор и анализ методов расчета пластинчато-стерншевых систем Существует два подхода к решению прикладных задач механики. При одном из них используются дифференциальные уравнения, описывающие поведение некоторой бесконечно влалой области. Другой вариационный состоит в том, что постулируется экстремальный принцип справедливый для всей области. С математической точки зрения оба эти подхода эквивалентны и решение, полученное при одном подходе, является решением и при другом. Поэтому каждый из них может быть принят в качестве основного. При использовании первого подхода для получения решения наряду с системой дифференциальных уравнений, описывающих изучаемый процесс, необходимы краевые и начальные условия (в случае диншлической задачи). Основные методы решения дифференциальных уравнений можно

Основные результаты работы могут быть сформулированы следующим образом.

1. Предложен новый вариант метода конечных полос в смешанной форме, позволяющий получать решения задачи о напряженно-деформированном состоянии, а также о собственных и вынужденных колебаниях прямоугольных пластин и пластин|подкрепленных ребрами с более высокой точностью, чем традиционными методами при сравнимой трудоемкости расчетов или с той же точностью, но более простым путем.

2. Построена система аппроксимирующих функций, позволяющая единообразно решать поставленную задачу при любых видах граничных условий.

3. Построен алгоритм, составлена программа решения задач о напряженно-деформированном состоянии, собственных, и вынужденных колебаниях, прямоугольных и подкрепленных пластин.

4. Проведены исследования особенностей метода конечных полос в смешанной форме. Дана оценка его точности, трудоемкости вычислительного процесса.

5. Решен ряд конкретных примеров, подтверждающих точность и эффективность предложенной методики, а также тлеющих самостоятельный практический интерес.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Абрамов Б.В., Грушин А.П., Евдокимов Б.М. О связи матриц жесткости геометрически подобных элементов. - В сб.: Прочность и устойчивость инженерных конструкций. Барнаул, 1979, № 2, с.20-24.

2. Абовский Н.П., Андреев Н.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. Красноярск, 1973, 287 с.

3. Александров А.В., Лащенков Б.Я., Шапошников Н.Н. Строительная механика. Тонкостенные пространственные конструкции. М.:Строй-издат, 1983, 488 с.

4. Бабаков И.М. Теория колебаний. М., 1958, 628 с.

5. Балан Т.А., Бродский П.С. , Коган Б.М., Раздорожная О.В., Скрипкина О.П. Оценка эффективности различных типов поперечных элементов изгибаемых пластин. Гос.проект.ин-т. Кишиневгорпроект, Кишинев, 1982, 16 с.

6. Барскова Н.А. Метод конечных элементов в строительной механике и механике сплошной среды. Реферативный обзор зарубежной литературы за 1966-1970. Л., 1971, 7 с.

7. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.:Стройиздат,1982, 447 с. . .

8. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т.2. М.,1962, 639 с.

9. Болотин В.В., Макаров Б.П., Мишенков Г.В., Швейко Ю.Ю. Асимптотический метод исследования спектра собственных частот упругих пластинок. Сб.: Расчеты на прочность, вып.6. М.,1960.

10. Бублик Б.Н. Численные решения. динамических задач теории пластин и оболочек. Киев, 1976, 222 с.

11. II. Бурман Я.З. Применение вариационного метода декомпозиции к решению линейных задач изгиба прямоугольных плит. Казан.ун-т,Казань, 1979, 9 с. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 20 ноября 1979, № 3945-79 Деп.).

12. Вайнберг Д.В. Справочник по прочности, устойчивости и колебаниям пластин. Киев, Будивельник, 1973 , 488 с.

13. Вайнберг Д.В., Вайнберг Е.Д. Расчет пластин. Киев .Будивельник, 1970, 435 с.

14. Вайнберг Д.В., Писаренко Г.С. Механические колебания и их роль в технике. М.: Наука, 1965, 276 с.

15. Ванюшенков М.Г. Применение метода начальных функций для расчета параллелограмных пластинок. Изв.Вузов. Строительство и архитектура, I, 1966, с.

16. Варвак П.М., Бузук И.М., Городецкий А.С. и др. Метод конечных элементов в механике сплошной среды. Киев, 1976.

17. Варвак П.М., Городецкий А.С., Киричевский В.В., Сахаров А.С, Метод конечного элемента в механике деформируемых тел. Прикл.мех. 1972, т.8, вып.З, с. 8-12

18. Власов Б.Ф. Алгоритм выбора аппроксимирующих функций применительно к задачам изгиба тонких упругих плит. Строительная механика, Сб.статей УДН, Москва, 1970, с. 13-17.

19. Власов В.З. Избранные труды, т.З. Тонкостенные системы. М.: Наука, 1964, 472 с.

20. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967, 984 с.

21. Вольмир А.С., Терских В.Н. Исследования динамики конструкций из композитных материалов на основе метода суперэлементов. Механика композицитных материалов. 1979, JS 4, с.650-655.

22. Гончаренко В.М., Марчук В.А. Применение метода Ньютона-Канторовича к решению задачи об изгибе пластинки из нелинейно-упругого материала. Исследования по краевым задачам. Труды каф.мат.физ Киев, 1981, с.101-108.

23. Гордон Л.А., Корсанова Л.В. Способы уточнения МЕСЭ применительно к задачам пластин средней толщины. Изв.ВНШгидротехн., 1979, вып.13. с.59-65.

24. Ериголюк Э.И., Грингауз М.Т., Долгих В.Н., Фияьштинский Jl.i Об изгибе упругих пластин с регулярной структурой. "Изв.АН СССР. Мех. тверд, тела',. 1982, № 3, с.124-130.

25. Гут ер Р. С., Кудрявцев Л. Д., Левитан Б.М. Элементы теории функций. Гос.изд.физ.-мат.лит-ры, М., 1963, 244 с.

26. Деклау Ж. Метод конечных элементов. М.:Мир,1976, 95 с.

27. Ден-Гортог Дли Механические колебания. Пер. с англ. М.: Физматгиз, I960, 580 с.

28. Докшина Г.П., Салов П.Н. Метод конечных элементов в строительной механике и механике твердого деформированного тела. -Аннотир.библиогр.указатель отечественной литературы. 1970-1976. Л., 1977, 13 с.

29. Дудник И.Ф., Савченко В.А., Цветков М.М. Изгиб прямоугольной пластины произвольной жесткости при одновременном действии нормальной нагрузки и усилий в срединной плоскости. В кн.: Статика сооружений. Киев, КИСИ, 1978, с.150-153.

30. Евзоров И.Д. Оценки погрешности несовместных конечных элементов плиты. Киев, Деп. в УкрЕИИНТИ, 5.05.79, & 1466, 16 с.

31. Жигалко Ю.П., Дмитриев М.М. Динамика ребристых пластин и оболочек. Исслед. по теор.пластин и оболочек. Казань, 1978,в.13, с.3-30.

32. Зенкевич O.K. Метод конечных элементов в технике. М.:Мир, 1975, 541 с.

33. Иванов В.Н. Вариационно-разностный метод расчета пластин и оболочек. Расчет оболочек строительных констругащй. М. ,1982, с. 130-134.

34. Казарян Д.С. Определение частот и форм собственных колебании плит с кусочно-постоянной жесткостью и массой. В сб.: Расчет сооружений на сейсмические воздействия. - Ереван, 1982, с.79-86.

35. Карпиловский B.C. Методы конструирования конечных элементов. Киев, Деп. в УкрНИИНТИ, 10.06.80, В 2153, 14 с.

36. Кандидов В.П., Чесноков С.С., Выслоух В.А. Методы конечных элементов в задачах динамики.,М.: МГУ, 1980, 165 с.

37. Канторович Л .В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.-Л.; Физматгиз, 1963, 696 с.

38. Колебания линейных систем, т.1. Под ред.Болотина В.В. М.: Машиностроение, 1978, 352 с.

39. Колесников И.10. К расчету неравномерно.нагретых трехслойных пластин со смешанными граничными условиями. Изв.вузов. Авиационная техника, 1981, JS 4, с.86-90.

40. Колесников И.Ю. Метод конечных рядов Фурье и его применение к расчету трехслойных пластин со сложными граничными условиями. -Изв.АН СССР. Механика твердого тела, 1982, JS I, с.169-175.

41. Колесников И.Ю. Расчет пластин с несколькими участками различных закреплений. Расчет тонкостенных элементов конструкций на прочность, устойчивость колебаний.и долговечность. М. ,1983, с.32-36.

42. Колчаков М.И., Драгалев К.С. К, методу конечных полос. -Строительство, 1980, в.27, В 9, с.6-10.

43. Корбач В.Г., Петров ЮЛ1. Расчет пластинок и оболочек сложной формы в плане дифференциально-разностным методам в полярных координатах. Прочность констрзгкции летательного аппарата. Харьков,1981, Я 6, с.58-68. . .

44. Корбач В.Г. ,Шетров Ю.П. Автоматизация расчета на изгиб пластин со смешанными граничными условиями, Автоматизация и механизация технологических процессов. Харьков, 1981, J5 2, с.97-105.

45. Коренев Б.Г. Статика пластинок. В кн.: Строительная механика в СССР. I9I7-I967 гг. М.: Стройиздат, 1969, с.135-164.

46. Корнеэв В.Г. Сопоставление метода конечных элементов с вариационно-разностным методом решения задач теории упругости. -Изв.ВНШГ, т,83, 1967, с.

47. Корнеев В.Г., Розин Л.А. Дифференциальная форма метода конечных элементов применительно к задачам теории упругости. -В кн.: Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975, с.

48. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Файзулина М.А. Расчет гибких треугольных и четырехугольных пластин. Труды семинара по теории оболочек, Казанский физ.-тех.ин-т, АН СССР, 1980, JS 13, с.21-28.

49. Короткин Я.И., Локшин А.З., Сивух Й.Л. Изгиб и устойчивость пластин и круговых цилиндрических оболочек. Судпромгиз,1955, 308 с.

50. Крон Г. Исследование сложных систем по частям диакопти-ка. - М.: Наука, 1972. . .

51. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислитель- . ные методы высшей.математики, т.2. Минск:Высшая школа,1975, 671 с.

52. Крысько В.А. Оптимизация пластинчатых систем. Прикл.мех. 1981, 17, с.54-59.

53. Крысько В.А., Бочкарев В.В. Изгиб пластин и оболочек переменной жесткости. Изв.вузов. Машиностроение, 1982, Jl> 9,с.41-45.

54. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т.1. М.-Л., Гостехтеориздат, 1951,342 с.

55. Куршин Л.М., Матвеев К.А., Подружин Е.Г. Изгиб подкрепленной пластины. Изв. вузов. Строительство и архитектура, 1982,8, с.35-38.

56. Ланс Дж.Н. Численные методы для быстродействующих вычислительных машин. М.: Изд. ин.лит., 1962, 208 с.

57. Ленько О.Н. Треугольный конечный элемент при динамическом расчете пластин на изгиб. Мех. материалов и транс, конструкций, Л., 1980, с.52-65.

58. Леонтьев Н.Н., Соболев Д.Н. Вариационные принципы строительной механики и основные теоремы об упругих системах. МИСИим. В.В.Куйбышева, 1980, 52 с.

59. Лисицын Ъ.М., Вериженко В.Е. Об одном направлении развития метода конечных элементов. Прикл. механика, т.Х1У, в.4, Киев, 1978, с.42-56.

60. Ляхович Л.С., Мулик Е.И. Смешанная форма метода конечных полос. Изд. Томского ун-та, Томск, 1983, с.114-119.

61. Макеев А.Ф., Овчинников И.Г. Применение вариационного метода Ритца к расчету пластин из нелинейно-упругого разносопротив-лявдего материала. Саратов, политехн.ин-т, Саратов, 1981, 12 с. (рук.деп. в ВИНИТИ 12 ноября X98I, 5193-81 Деп.).

62. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране. М.: Мир, 1977, 584 с.

63. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970, 512 с.

64. Михлин С.Г. Вариационно-сеточная аппроксимация. Зап.научн. семинара ЛОМИ, 48, 1974, с.27-41.

65. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. В 2-х ч. Под.ред.Смирнова А.Ф., М. :Стройиздат,

66. Монахов И.К. Применение метода полос к расчету ортотропных оболочек двоякой кривизны .-Прикладная механика, т.6, в,8, 1973.

67. Мулик Е.И. Применение метода конечных полос к расчету пластин на собственные колебания. В сб.Вопросы механики и прикладной математики. Томск: Изд.Томск.ун-та, 1983, с.ПО-ПЗ.

68. Новацкий.В. Динамика сооружений. Пер. с польск. М.:Стройиз-дат, 1963, 376 с.

69. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976, 464 с.

70. Омаров Е.О. Решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний прямоугольных изотропных пластин. Караганд.политехи, ин-т, Караганда, 1982, 16 с. (Рук.деп. в ВИНИТИ 2 февр.1983 г.,595.83 Деп.).

71. Павлов Е.В. Решение задач динамики произвольных пластин МКЭ. МВТУ им.Н.Э.Баумана, 1979, 9 с.

72. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории упругих колебаний. М.: Машиностроение, 1967, 316 с.

73. Папкович П.Ф. Труды по строительной механике корабля. т.З. Л.: Судпромгиз, 1962, 527 с.

74. Паутов А.Н., Толкачев И.Н. Расчет напряженно-деформированного состояния пространственных пластинчатых систем. Прикл.пробл. прочн. и пластинч. Горький, 1983, №23, с.102-113.

75. Петров В.Б. Численное исследование деформативности пространственных пластинчатых систем. Расчеты на прочность. М.:1983,1. В 24, с.246-254. .

76. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. Л.:Судостроение, 1977, 279 с.

77. Постнов В.А., Дмитриев С.А., Елтышев Б.К., Родинов А.А. Метод супер-элементов в расчетах инженерных сооружений. Л.:Судостроение, 1979, 287 с.

78. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974, 342 с.

79. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в 3-х т. Под общ.ред. Биргера И.А. и Поновко Я.Г. М.: Машиностроение, т.1, т.З. 1968, 831 с.

80. Рогалевич В.В. Решение.краевых задач теории пластин и оболочек методом коллокаций. Тр. семинара по теории оболочек. Казан.физ.-техн.ин-т АН СССР, 1980, J5 13, с.5-20.

81. Розин Л.А. О связи метода.конечных элементов с методом Бубнова-Галеркина и Ритца. В кн.: Строительная механика сооружений. Л.,ЛПИ,1971, 194 с.

82. Розин Л.А. Автоматизация алгоритма метода сил в строительной механике. Строительная механика и расчет сооружений, 4, 1976, с.21-26.

83. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Стройиздат, 1977, 129 с.

84. Розин Л.А. Современное состояние МКЭ в строительной механике. Изв.вузов. Строительство и архитектура, 1981, II,с.41-54. . .

85. Розин Л.А. Вариационная постановка задач для упругих систем. Л., Изд.Ленингр.ун-та, 1978, 223 с.

86. Савул;а'Я.Г., Шинкоренко Г.М. Расчет криволинейных трубчатых оболочек полуаналитическим методом конечных элементов г Изв. Мех. тверд.тела, 11 2, 1980, с.168-173. . . .

87. Савченко В.А., Васильев В.В., Портнова В.Д. Расчет напряжений и собственных частот колебаний в стеклопластшсовых лопатках шахтных осевых вентиляторов. Донец.ин-т торговли. Донецк, 1982, • 36 с.

88. Сахаров А.С. Моментная схема конечных элементов (МСКЭ) с учетом жестких смещений.-Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Будивельник, вып.24, 1974.

89. Сегерлинд Д. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979, 392 с.

90. Синицын А.П. Метод конечных элементов в динамике сооружений. М.: Стройиздат, 1978, 230 с.

91. Сливкер Б.И. Метод Ритца в задачах теории упругости, основанных на последовательной минимизации двух функционалов. Изв. АН СССР. Мех.тверд.тела. 1982, JS 2, с.57-64.

92. Стренг Г., Фикс Жд. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977, 349 с.

93. Стриклин , Кейслер " , Риземан . Оценка методов решения задач строительной механики, нелинейность которых связана со свойствами материала и (или) геометрией. Ракетная техника и космонавтика. 1973, 1Ь 3, гл.II, с.168-173.

94. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.:Наука, 1967, 444 с.

95. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. М.: Физматгиз, 1963, 635 с.

96. Тимошенко С.П., ГудьерДк. Теории упругости. М.: Наука, 1975, 575 с.

97. Толстов С.П. Ряды Фурье. М.: Наука, 1971.

98. Тюряхин А.С. Прямоугольная пластина, загруженная внутри контура произвольной нагрузки. Вопросы повышения наделен ости и оптимизации строитальных конструкций. Саранск, 1981, с.4-9.

99. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. Пер. с англ. М.:Наука, 1970, 564 с.

100. Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке Алгол. М.: Машиностроение, 1976, 390 с. .

101. Фаддеев Д.К., Фаддеев В.Н. .Вычислительные методы линейной алгебры. М., Физматгиз, 1963, 656 с.

102. Филипович А.П. Применение смешанного метода конечных элементов в задачах об изгибе пологих оболочек. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1982, в.13, JS 4, 143-162 с.

103. Филин А.П. Современные проблемы использования ЭЦВМ в механике твердого деформируемого тела. I., 1974, 70 с.

104. Фролов Б.Н. К решению задач о плоском напряженном состоянии анизотропной пластинки методом начальных функций. Строительная механика и расчет сооружений. 1982, с.14-17.

105. Храпов А.А., Готлив А.А. Комбинированный метод расчета массивных бетонных плотин на.полубесконечном линейном деформируемом основании. Изв.ВНИГ, т.105, 1974.

106. Цейтлин А.И., Гликман Б.Т. Колебания.прямоугольных пластин со смешанными краевыми условиями. В сбИсследования по теории сооружений. М., 1972, в.19, с.185-195.

107. Шкелев Л.Т. Приближенный метод исследования напряженно-деформированного состояния пластин средней толщины. В кн.: Статика сооружений. Киев, КИСИ, 1978, с.31-34.

108. УН. Лг^г/S a,/id S. . Еяег^уand Umdustai апоЛиШ . Amw^L SneJnec^un^.xfoL 25, </9se m- /Ь.

109. Bac%ioi^sif,lLfieii&uf. df/uz&zti /ъите-ъи&т pltft «XaZdJotycA . „ Jit/t. . fat. " mt, г?, a/^pt Si-642. . У, cAan M.YtT* SicUtc astet dу ляпис сшМ(/4<г 9jf test &ectov/a£4<f fi/uk titt/i mefod. „ Сет/ггЛ. Stzaefi.*

110. F,iTSrip Method. Prcc. *<>'■ ty95, p.p. 29eS-29?9, -1969.

111. У. К Cheung . Яи Finite Strip Method 4d-rubdatUL &f £EfOiU St&B<L . Proceed*'n^A. в/ Jfa rlca/г Society of Ct№ fop/utXL. rfoi. 34, £Sf6, 196g, p.p. /565- /37f.

112. US. у К CktWif . Sk> Fin-ill Strtf> Method l* Jfta^sfi. of g£cu£ic Ptadei -utiUi TzJo 0j2po<utt S/ft-tg Supposed Bndd. . Proc. Inst. C/V^nfc.; 40, /-?;/96S,

113. P- К/. Cfoch . Ffrute ш phasici&dhowt ComA^tad/erv, P/tt* Surf A fy. Sept./960. //£ Fuji/ л Furr/ztiOHeff fit/t nze/irfac/?e* Jer peftifsHc* ptoctten^ere С/?г?с//?9. „ J/?^. -JrcJi. " SO А/б j p.

114. S. Okosh and F.L Wihon. Jirra/ntc StressrM'l of dpi^m/Ktirtc Struct и rec une/ez ArS//-rary . Report f£QC 63-/0 f Соёе^г If &ifinitrUf, Vmcfoi/tu &f j Setfietg ^ Sept.969.

115. Kant T&ri/rK. HufiieP/c&g OfiO'&f&i ef elaX-tic pta£ei rJ/J?t i-uFo ejopoiite s//r?pty s/jfpez -ied fyldi fy o/ntfo//neMvd. „ Ce/njbojt. Struct * /9Г/, 14, //3-4, p. J95-203.

116. Ko/t/ecz/zy le^ c/ . Ptc><&Fefius её&сяыиа, 3{/(/<? vc/wc t zD7e oAretoufy/?.,, fo/t&tr, jootrt. kter. i ZZa&toso-uT. , /9?/.

117. Ref profit" s-f. p. Г9-///} /9М.2/. Мае eta. Yak/О, ttayasAi Mas*., Мог/ tit-ttft\ Побоку ГАК кий t70/7f£i/n, л ом к ifs/. proc.

118. Soc. £,v. . , /9ft, Мз/9,р 22-36.

119. С tfteoer. asiot decifn fat-Ad Bex 6~/reftr Зг/Jfes. US. SFSM70-2Z.

120. Uepartwel о/ С/Vii frpuerin^ University1.frrЯ id} BerkePej; Лес. /970.423. 6-ospdi/wiTIjuis канод-Ц. The Boundary ek/ne/it method & pfatez. „ Jp*e M^tA

121. MoJeil, /912; 6y Afr p 237- 244,

122. Щ Smith 'Том & £г>*сГе± , j^/ T. £

123. Bucktofr tf &ti#efuxC -ttec&L 4* &caJ fa&p. struc/r. Prcc, Л/пег. Soc !9t2p. /337- /366.72 s. H 7. Turner R: W. Ctouth, H.C. Marl in Vict L X Topp. SZ/ffnen W cfe/fec^of ссщее* *£шс£«г>е*. %ouma£ ^ ЛтлацЬс* &cit/tu. гМ.23, 19S6 р./з. T05~-<P23.

124. Q6t K. J. WUibM W M • Autfaei1. ШЛОГф/С FoMefi Ши vBftfiten . /f^W W SFSM7V-2 Ue/oaU^^ а/бЖ127. £L Wits on . Ut*c6$n<U ^ Jxisu/nmttnc sofrc/i. //// 3 l96Spjo2269-2274. ' r '