Расчет тонкостенных пространственных конструкций сложной формы методом граничных элементов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

КРАМИН Тимур Владимирович

РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

СЛОЖНОЙ ФОРМЫ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ — 1995

Работа выполнена в Казанском государственном университете.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Ю.П. Артюхин.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.Н. Паймушин.

кандидат физико-математических наук, доцент А.ГГ. Грибов.

Ведущая организация:

Казанский государственный технологический университет.

Защита диссертации состоится 25 января 1996 г. в 14.30 на заседании диссертационного Совета Д 053.29.01 по физико-математическим наукам Казанского Государственного университета (г. Казань, ул. Левина, 18).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета.

Отзывы на автореферат просим присылать по адресу: 420008, г.Казань, ул. Ленина, 18, КГУ, Научная часть.

Автореферат разослан 22)(цекабря 1995г.

Ученый секретарь диссертационного Совета, доктор физико -математических наук,

А.И. Голованов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность проблемы.

Широкое использование легких конструкций в виде пластин и оболочек в строительстве, машине-, авиа-, кораблестроении делает особенно важными их исследования на прочность. Наличие в конструкциях опор, прямолинейных дефектов типа трещин и включений усложняет построение физических и. математических моделей и, в конечном итоге, их расчет. Решение указанных задач требует применения достаточно универсальных теоретических подходов при использовании строго обоснованного математическою аппарата.

В связи с требованием надежности, качества, экономичности строительных конструкций и машип и одновременным развитием вычислительной техники на первый план выходит задача по разработке эффективных численных методов для решения на ЭВМ задач механики твердого деформируемого тела (в частности, в теории пластин сложной геометрии). Метод граничных элементов (МГЭ) является одним из наиболее эффективных методов расчета напряженно-деформируемого состояния (НДС) пластин и оболочек. Непрямой МГЭ (метод компенсирующих нагрузок (МКН)) и метод разрывных решений (МРР), рассмотренные в работе, имеют корректную механическую интерпретацию, представляющую преимущества в практическом применении.

Существенный вклад в развитие метода граничных интегральных уравнений (МГИУ) как аналитического метода внесли Мих-лин С.Г., Купрадзе В. Д., Мусхелишвили Н.И. и Смирнов В.И. С прикладной точки зрения этот метод описан в работах Верюж-ского Ю.В., Крузо и Риццо, посвященных развитию и применению МГЭ в механике деформируемого твердого тела.

Построение и исследование фундаментальных решений теории пластин и оболочек, как теоретической базы МГЭ, проводится в работах Лукасевича С., Ольшанского В.П., Шевченко В.П.

Продвижение в развитии МГЭ для задач изгиба нластин осуществлено в работах Толкачева В.М. Особое внимание уделено теоретическому анализу.

Морарем Г. А. построены матрицы разрывных решений для сосредоточенных скачкон механических величин в теории пластин. Эти решепия позволяют привести разнообразные задачи при на-

личии дефектов к интегральным уравнениям.

В механике твердого деформируемого тела задачи расчета пластин и оболочек нри наличии разрезов представляют особый интерес. Являясь во многих случаях причиной разрушения конструкции, дефекты сильно влияют на ее работоспособность, что предопределяет теоретическую и практическую значимость указанного класса задач.

Вопросы, связанные с оценкой НДС, обусловленного наличием в телах дефектов произвольной природы рассмотрены в работах: Осадчуха В.А., Панасюка В.В., Попова Г.Я., Саврука М.Я., Хижняка В.К., Шевченко В.П., посвященных проблеме концентрации напряжений у дефектов типа трещин или включений.

Развитие МГЭ в теории пластин представлено работами Артюхина Ю.П., Банцарева H.H., Ваттерфилда Р., Бенерджи П., Вребия К., Венцеля Э.С., Верюжского Ю.В., Вроубела А., Грибова А.П., Кильчевского H.A., Копейкина Ю.Д., Коренева К.Г., Крамина М.В., Крауча С., Кулакова В.М., Паймушина В.Н., Се-разутдинова М.Н., Синявского A.JI., Старфилда Ф., Толкачева В.М., Трофимова A.M., Угодчикова А.Г., Хуторянского Н.М. и других.

Обзор, приведенный в работе, представлен широким спектром подходов использования метода граничных интегральных уравнений Vi непосредственно МГЭ для решения различных задач теории пластин. Однако большая часть работ содержит те или иные ограничения в постановке задачи (относительно геометрии, граничных условий, внешнего пагружения). Анализ предшествующих работ свидетельствует об актуальности выбранного направления исследований и позволяет сделать вывод о необходимости разработки универсальных теоретических подходов и эффективных численных алгоритмов в изучаемой области механики твердого деформируемого тела. Настоящая работа предполагает продвижение в решении данной проблемы.

Целью диссертационной работы является:

развитие метода граничных элементов (МГЭ) для исследования пространственных пластинчатых конструкций (при наличии в них дефектов различной природы и формы) на базе решений для изгиба и обобщенного плоского напряженного состояния пластин. Основой МГЭ является существование фундаментального

решения, которое в случае изгиба и растяжения пластин имеет прости полиномиально-логарифмический вид. В то же время для пространственных конструкций сложной формы фундаментальные решения либо отсутствуют, либо имеют громоздкие выражения в рядах и специальных функциях, которые трудны для численной реализации МГЭ. Предлагается способ использования простых фундаментальных решений для пластин при построении интегральных уравнений, описывающих НЛС пластинчатых систем.

Для подавляющего большинства случаев простая граничная дискретизация обязательно ведет к значительно меньшей системе уравнений, чем любая схема дискретизации всего тела. С другой стороны, матрицы порождаемых при помощи МГЭ систем являются заполненными для однородной области и блочно-лейточными, когда имеется более одной подобласти, тогда как значительно большие матрицы, которые получаются при применении метода конечных элементов (МКЭ), относительно редко заполнепы. По мере увеличения размерности задач, совокупные расходы для схем МГЭ, связанные с ЭВМ, увеличиваются значительно менее резко в зависимости от размера задачи, чем для схем МКЭ. МГЭ включает моделирование только граничной геометрии системы. Как только получены решения па границе, могут быть вычислены значения переменных, описывающих решение, и любых последовательно выбираемых внутренних точках. В силу непрерывности решения можно находить значения переменных в любой заданной внутренней точке (выбрав ее по-еле основного анализа) с очень высокой точностью, например в областях концентрации напряжений. В заключение можно отметить, что граничное интегральное уравнение, является формулировкой поставленной задачи, ведущей к точному ее решению, погрешности вследствие дискретизации и численных аппроксимаций возникают только на границах. Погрешности могут быть ■ очень малыми, если процедура численного интегрирования сделана достаточно сложной. Кроме того, численное интегрирование всегда есть более устойчивый и точный процесс, чем численное дифференцирование.

На защиту выносятся:

1. Построение и анализ граничных интегральных уравнений

теории тонких пластин, пространственных конструкций, состоящих из пластин с криволинейными разрезами для всех основных видов граничных условий.

2. Итерационный процесс, основанный на МГЭ для расчета пологих оболочек отрицательной гауссовой кривизны.

3. Развитие и применение метода компенсирующих нагрузок (непрямого МГЭ) и метода разрывных решений (МРР) к задачам о пространственных конструкциях, состоящих из пластин сложной формы, и пологих оболочках при наличии в них разрезов.

4. Разработка алгоритмов численной реализации МКН и МРР для задач теории пластин и задач о пластинчатых конструкциях и пологих оболочках двоякой кривизны сложной формы.

5. Создание на основе полученных алгоритмов пакета совместимых программ для исследования НДС тонкостенных конструкций сложной формы иод действием произвольной нагрузки при всех основных условиях закрепления.

6. Результаты решения новых задач и их анализ.

Научная новизна работы заключается в проведении следующих исследований:

1. В строгой математической постановке и при использовании ряда теорий (теория обобщенных функций, теория математического анализа, теория потенциала, теория аналитических функций) обобщены известные и получены новые результаты в области предельных значений потенциалов с порядком особенности в интегральных ядрах до четвертого включительно. Проведено сравнение результатов, полученных различными теориями и этим показана достоверность используемых методов. Таким образом впервые получены математически корректные граничные интегральные и интегро-дифференциальные уравнения с гиперсингулярными ядрами: 1) соответствующие граничному условию на свободном участке контура пластины сложного очертания при изгибе, 2) имеющие место в задачах теории изгиба и растяжения пластин с криволинейными трещинами;

2. Построены аффективные численные алгоритмы для совместной схемы МКН и МРР при решении широкого класса задач теории пластин и оболочек; рассмотрено НЛС пластин, пластинчатых конструкций сложного контура с криволинейными разрезами; создано программное обеспечение, реализующее вышеука-

занные алгоритмы.

3. Осуществлена постановка и полное численное решение но-ных задач теории пластин, пластинчатых конструкций и пологих оболочек.

4. Изучеп ряд новых механических эффектов, связанных с наличием в пластине различных дефектов - отверстий и трещин, и при рассмотрении пластинчатой конструкции.

■Достоверность результатов и выводов,, сформулированных в диссертационной работе, обеспечивается:

- применением аналитических методов вычисления сингулярных и суперсингулярных интегралов и высоко точных квадратурных формул для интегрирования в численных алгоритмах,

- согласованностью теоретических результатов, полученных различными методами и теориями для создания разрешающей системы интегральных уравнений,

- устойчивой сходимостью решения для всех задач при более точной дискретизации на контуре,

- совпадением результатов разработанного программного комплекса с результатами решения ряда тестовых задач, которые имеют аналитическое решение или решение, полученное другими численными методами.

- осуществлением апостериорной оценки достоверности решений с помощью определения невязки выполнения граничных условий в промежуточных точках контура, а также оценки точности приближенного решения, полученного в ходе итерационного процесса, исходя из функциональной сходимости вектора фиктивных сил во всей области.

Практическая ценность. Разработанный комплекс программ может быть использован как в учебных целях, так и инженерами, научными сотрудниками для решения задач в области мапшно-и авиастроения, строительства. Полученные на основе разработанного метода и реализующего его программного обеспечения результаты расчетов могут быть использованы проектными и конструкторскими организациями в комплексе прочностных исследований конструкций.

Апробация работы. По основным результатам работы автор награжден дипломом лауреата конкурса "Молодые дарования"

в области механики и машиноведения, организованного Меж-

дународным гуманитарным фондом "Знание".

Основные результаты диссертации доложены и обсуждены:

- на научной конференции студентов и преподавателей вузов ТССР, Казань, 1991 г.

- на Итоговых научных конференциях Казанского государственного университета за (1993-1994 гг.);

- на сешшаре кафедры теоретической механики Казанского технического университета (1994 г.);

- на международной научно-технической конференции "Меха-пика машиностроения.", Набережные Челны, 1995г.;

- на 47 Республиканской научной конференции по итогам научных исследований и внедрению их в производство., Казань, 1995г.;

- иа 4 международной конференции "Лаврентьевские чтения" по математике, механики и физике, Казань, 19951*.;

- на 17 международной конференции по теории оболочек и пластин, Казань, 1995г.;

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ.

Структура и содержание работы. Диссертационная работа состоит из введения, семи разделов, заключения, библиографического списка (включающего 208 наименований) на 202 страницах и приложения (5 страниц).

Во введении обсуждаются актуальность и степень освоения изучаемой проблемы, определяется место настоящей диссерта-циоппой работы как в общем направлении расчета тонкостенных конструкций сложной геометрии, так и в разработке и развитии новых эффективных подходов в методах граничных интегральных уравнений.

В представленной работе дается постановка задачи МГЭ для сложиого напряженного состояния пластин и для пространственной пластинчатой конструкции, состоящей из пластин Сложной формы. Основой для решения задач о пространственных конструкциях, составленных из пластин сложной формы является уже выполненное исследование НДС пластин при изгибе и в условиях ОПНС.

Уравнения равновесия малого »лемента пластины при изгибе

в

и для плоского напряженного состояния имеют вид:

nV2m + (А + ц)им + X; = 0,V'Vua - ^ = 0, i = 1,2,

где м,- - перемещения,X,- - нагрузки, A,/i - упругие постоянные, D - цилиндрическая жесткость. МГЭ основан на преобразовании дифференциальных уравнений к разрешающей системе граничных интегральных уравнений. Расположим компенсирующие источники </((), т((); 1,(0, г2(С), (которые представляют собой поперечное усилие и распределенный момент, действующий в нормальной к контуру Г плоскости; тангенциальные усилия в глобальной системе координат) вдоль границы Г, а нри наличии трещин - но линиям разрезов разместим скачки в перемещениях и угле поворота в локальной системе координат («„)(£), (и»)(С),

(иьХС), <0»>(С).

Обозначим объединенный контур пластины, который содержит в себе линии всех имеющих место разрезов, через Г.

Суммируя результаты приведенного раннее исследования, получаем следующие интегральные представления:

ГШ = Ц + J№<,,т)Тс1Г+ j[R}\(en),(wn)fdr г f

(1)

J ДОМ/Д? + J\H]\{un),(va)}TdY

г f

где Lw = Luv = [u,v,Tni,Snitl]r, Ll,Llv - векто-

ра частных решений для соответствующих механических величин при внешнем нагружешш Р: перемещения и,« определяются в тобллт.тюй системе координат XOY, тангенциальные усилия Т%х , 5,,., 81, угол поворота, изгибающий момент и обобщенная поперечная сила MnnQ*ni- в локальной системе ri\,Si с началом в точке z\ если г 6 Г, то »i,.»j - нормаль и касательная к контуру Г в точке л соответственно. |Я], \Н], [Я], \Н] - матрицы фундаментальных решений размерпостью (4 х 2).

Для пластины, находящейся в условиях сложного напряженного состояния граничные условия на контуре Г будут представлены следующими комбинациями:

1) защемленный край: ы(1) = О, §~(г) = О, и{1) = О, «(*) = О,

2) шарнирно опертый край: ~ О, МП1(1) = О, и(г) = О,

»(<) = 0,*6Т,

3) свободный край: <£,(<) = 0 , МЛ](г) = 0, Г,, (О = О, = О,

где М] - нормаль к контуру Г н точке I.

Таким образом, решение задачи сводится к системе четырех попарно несвязанных граничных интегральных уравнений относительно неизвестных компенсирующих нагрузок т(С), ¡¡((), которая может быть получена с помощью проведения предельного перехода из области на границу. Составленная система путем дискретизаций постоянными элементами трансформируется в систему линейных алгебраических уравнений, подлежащую численному решению.

Лалес рассматривается пространственная конструкция, состоящая из к пластин, соединенных по прямым отрезкам Ь^ ] = 1, ГЩ. Величины с индексами г вверху обозначают параметры ¿-ой пластины. В пластинах вводим системы пространственных координат (X1, У,£')> * = 1 Пусть, для определенности, паралелен О'УI £ Е], Е] - множество номеров пластин, соединенных по Ь]. Расположим компенсирующие источники д'(С), т'(С). (С), 4(0, вдоль границы Г' области £11.

Условия контакта па для пластин, соединенных но. имеют вид:

и'1~= и1 соф1 - ш'згп/?', к/1 = и'яйф1 + хи'созр1,

^('^созр1 ~ тф') = о, + = О,

1-де /?' - двумерный угол между /;-ой и ¿-ой пластинами. Здесь ¿1 - некоторый номер из Е].

При рассмотрении к пластин, соединенных по одному и тому же прямолинейному контуру Ь будут иметь место 4к условий контакта, четыре из которых связывают между собой' силовые факторы, остальные являются кинематическими условиями. В результате имеем для каждой пластины, составляющей пространственную конструкцию, четыре граничных интегральных уравнения. Связь между соединенными пластинами осуществляется

посредством граничных уравнений, определенных на L¡, в которых представлены компенсирующие нагрузки всех соединенных по Lj пластин.

Первый раздел исследования посвящен теоретическому анализу предельных спойств потенциалов в системах разрешающих интегральных уравнений и вычислению сингулярных интегралов для всех, рассмотренных далее, задач о пластинах, пластинчатых системах и пологих оболочках. В первом подразделе строятся ядра интегральных уравнений, соответствующих дифференциальному уравнению изгиба DSt^w — Р, где D = Eh3/12(1 — í/2) - изгибная жесткость пластины толщиной h с коэффициентом Пуассона и, Р - интенсивность внешнего нормального давления, действующего на пластину. Определяются предельные свойства потенциалов для всех, имеющих место в задаче изгиба пластин и в условиях обобщенного плоского напряженного состояния (ОПНС), ядер.

Во втором и третьем подразделах Раздела 1 вычисляются интегралы с пеинтегрируемыми особенностями (в том числе с особенностью рг, к > 1), где применяются подход Адамара и теория обобщенных функций соответственно.

В четвертом подразделе Раздела 1 рассмотрен метод локализации для получения предельных свойств потенциалов с особенностями порядка jf.

Лля анализа предельных свойств потенциалов с суперсингулярными ядрами в граничных интегральных уравнениях при использовании разрывных решений необходимо исследовать ряд потенциалов, некоторые из которых имеют вид:

Pi[z) = n{()Fi(z, СУГ(С), >' = 1,56,/í - плотность г

где в общем виде (см.рис.1)

cosfc 7 eos' 7i sinm 7 sin" 71 104л Fi(z,Q =---—-, к,(,т,п — целые, p = 1,2, J,4,

ti COR^fifxX) 7» CO8 7 Sil! У filU ГЛ . 1

и например /<э = b34 = —х"751—31, ¿41 =

Формулы для предельных значений всех 56 потенциалов выписывать не представляется целесообразным, приведем только некоторые характерные окончательные результаты (для контуров

и плотностей, удовлетворяющих определенным условиям гладкости):

1.^(20) = Т^Ы«Оо) + -РвОо)- (2)

где индексы (+) и (-) определяют значения интегралов при подходе к контуру соответственно из внутренней и из внешней областей относительно границы Г; к - кривизна контура в точке г0. Запишем указанное предельное свойство потенциала Р9 в схематичном виде для скачков Д = который используем для представления предельных свойств других потенциалов:

3.^1 = ±|М"* ± ±

где а,-, г = 3,4 - коэффициент при ¿-м члене разложения в ряд Тейлора функции графика Г относительно локальной правой системы координат (с центром в точке г0, ось абсцисс направлена по касательной) в окрестности точки го.

Приведенный в правой части соотношения (2) интеграл вычисляется с помощью разделения границы на регулярную часть и участок, содержащий особую точку. Интегрирование по последнему производится с использованием подхода Адамара.

Система разрешающих интегральных уравнений для изгиба пластин в классической постановке определяются во втором разделе. Представляется целесообразным привести полную запись интегрального уравнения, соответствующего статическому условию для обобщенной перерезывающей силы:

/[[(4 соз 71+2(1-1/) созЪ соз 2^] х г

Х<*(0+ т(С)1(4сов(7 + 71) + 2(1 - |/)(сов(7 + ^ак г^))^]- . - т«)И0 - соэ718т7Йп271)Д;]1</Г(С) = 0. (3)

г*

Первый впеинтегральный член есть частное решение неоднородного уравнения изгиба для обобщенной поперечной силы, второй - скачок потенциала двойного слоя; подчеркнутое выражение

является скачком потепциала с ядром

4 cow 7 cos3 71 3 cos2 71 cos 0, а 4(1 - v)[-------] A =7-7i

Который, наряду с другими потенциалами, исследуется методом локализации. Потенциалы с другими сингулярными ядрами второго порядка непрерывны при переходе из области па границу (они являются нормальной.производной потенциала двойного слоя). Это показано и н настоящей работе, и в монографии Куранта Р. "Уравнения с: частными производными" (1964). Наличие подчеркнутого виеиптегрального члепа в данной работе ука-_!ьшае,1'ся впервые. Оно обусловлено представлением обобщенной поперечной силы через производную от крутящего момента В случае равенства нулю крутящего момента (симметричное пагружение) подчеркнутый впеиптегральный член равен нулю. Ранее, при использовании данного уравнения Венцель Э.С., Трофимов A.M. и др. (Венцель Э.С., Лжан-'Гемиров К.Е., Трофимов A.M., Неголыиа Е.В. "Метод компенсирующих нагрузок в задачах теории 'тонких пластинок и оболочек." ,1992) полагали (ссылаясь па результат только для нормальной производной потенциала двойного слоя в монографии Куранта), что он равен нулю. Влияние второго внеинтегрального члена будет особенно существенно для пластип со свободным контуром, имеющим участки с большой кривизной.

При решении сунерсингулярных интегральных уравнений можно выделить дна подхода. Первый, традиционный, основан на использовании интегрирования по частям, который приводит к понижению порядка особенностей в ядрах. Для простых ядер с. особенностью второго порядка применение этого метода достаточно аффективно и интегрирование но частям осуществляется без особых трудностей. В случае, когда ядра имеют сложный вид и высокий порядок особенности, процедура интегрирования но частям может оказаться неприменимой или приведет к неоправданно большим затратам при теоретическом выводе интегральных уравнений и практическом счете. Здесь, безусловно, болей; эффективным будет решети: гиперсипгулярных уравнений непосредственно. Такой подход был предложен Поповым Г.Я. и разнит Оншцуком О.В., Морарем Г.А. Он применяется и в данной работе.

Преодоление сложностей, связанных с неинтегрируемымк особенностями в ядре приведенного интегрального уравнения осу-щеспишется разными способами. Существует метод, позволяющий понизить порядок особенности, применяя интегрирование по частям, а также подход, предложенный А.П. Грибовым, дающий возможность исключить из области интегрирования особую точку из чисто механических соображений, то есть равенства нулю суммы реакции на контуре Г в проекции на ось 0Z от действия некоторого нормального сосредоточенного момента, приложенного на элементе границы, содержащем особую точку. И результате исследования оказалось, что численные расчеты д.шным способом совпадают с результатами вычислений при использовании главного значения по Лдамару. Этот факт предопределяет возможность и достоверность использования конечной части по Адамару для вычисления суперсингулярных интегралов.

В этом же разделе дается постановка статической несвязанной задачи термоупругости пластины. Решение основывается на приведении температурных факторов к фиктивным поверхностным силам.

В третьем разделе приводится разрешающая система интегральных уравнений для ОПИС пластин и отмечаются их предельные свойства.

В первом-подразделе Раздела 4 рассматривается класс задач о бесконечных пластинах с прямолинейными и криволинейными разрезами. Здесь же составляется система разрешающих уравнений для пластины в условиях ОПНС и при изгибе, имеющей разрез с использованием метода разрывных решений. Для тестирования данного подхода проводится расчет бесконечной пластины с разрезом [у = 0,]xj < а), к которому на бесконечности приложено растягивающее тангенциальное усилие р0 вдоль оси Oy. Кроме того, решается задача для пластины той же геометрии при изгибе, загруженной на бесконечности постоянными моментами Л/и, действующими в плоскостях, нормальных к пластине и проходящих через центр разреза (начало координат). Считается, здесь и далее, что на краях трещины отсутствуют напряжения (опободний край).

Во втором подразделе Раздела 4 предлагается способ числен-

пого вычисления коэффициента интенсивности напряжений (КИП) в у< лоциях ОШ1С (коэффициент интенсивности моментов (КИМ) при изгибе) при концентрации напряжений в вершине трещины. Обсуждается специфика его вычисления в данной постановке. Проводится сравнение значений коэффициентов интенсивности напряжений, полученных в настоящем исследовании и методом ортогональных многочленов. Расхождение между указанными результатами внутри области не превышает 3% при N = 40 (2% для N = 80), а в окрестности трещины - пе превышает 5 — 7% (вычисление КИИ, КИМ).

В разделе 5 осуществляется постановка задачи для пластины, имеющей криволинейный разрез. Вычисляются фундаментальные решения в локальной, связанной с контуром, системе координат и строится разрешающая система граничных интегральных и ингегро-дифференциальных уравнений, внеинтегральные члены в которых получены методом локализации. Из-за громоздкости система разрешающих уравнений для криволинейной трещины в бесконечной пластине при изгибе будет записана в схематичном виде

МЦ1) + Mwni)(t) + J2(0ni){t)+

г

QZ(t) + MwTH)(l) + JM(t)+ I [Ql:y(t,0{vni)(0 + QL?(U)<ff.l>(0]dT(C),

г

где через J;, г = 1,4 обозначены следующие дифференциальные операторы J\H = С\и2ц + С2ц", J= Лз^ = С*клц + С$кц" +

+ С7аАц, J4)i = C$K2fi. + Со/А Cj = const, j = 1,9. Обозна-челия ядер интегральных уравнений можно проилюстрировать следующим образом: А/1™''3 - фундаментальное решение для изгибающего момента от сосредоточенного скачка прогиба с особенностью третьего порядка. Аналогично выписывается система интегральных уравнений для ОПНО пластины с бесконечной трещиной. •

Рассмотрим частный случай прямолинейной трещины, для которого внеиптегральные члены имеют компактный вид: ^ = (1 + е)(25 + 27*/)/*", = 0, ^ = 0, /4 = (1 + ^>(-13 +

Внеинтегральные члены для прямолинейной трещины при ОГГНС определенные как скачки потенциалов, отсутствуют.

Выполнено комбинирование МКН и МРР при решении задачи о пластине конечных размеров с разрезом. Определяется влияние удаления вершины трещины от границы на КИМ при изгибе пластины.

Сложное напряженное состояние пространственной пластинчатой конструкции, состоящей из пластин сложной формы при наличии в них криволинейных разрезов исследуется в Разделе 6. Отмечаются некоторые особенности при рассмотрении пластинчатой конструкции: каждая составляющая пластина находится в условиях сложного напряженного состояния (то есть изгибные и растягивающие факторы присутствуют одновременно, следовательно па границе необходимо задавать все рассмотренные выше компенсирующие источники). На части контура пластины, где опа соединена с другими пластинами исследуемой конструкции, необходимо записывать условия сопряжения (на линии соедине-1щя пластин)) с помощью которых осуществляется связь статических и геометрических компопепт НДС соединеппых пластип, п то время как при отдельном рассмотрении пластины па всем контуре необходимо удовлетворить только граничные условия. Когда линия соединения пластип проходит по внутренней области одпой из пих, то необходимо распределить компенсирующие источники добавочно вдоль этой лшши (внутри этой пластины), для другой - добавлять источники це нужно.

В работе рассматривается пространственная конструкция, состоящая из двух, соединенных по прямой Ь, .пластин (рис.2). На примере этой задачи обсуждаются основные положения применяемого подхода. В исследуемом случае восемь уравнений на линии соединения двух пластин заменят восемь граничных условий, которые имели бы место при отдельном рассмотрении пластин (четыре условия для каждой из двух пластин). Связь между соединенными пластинами осуществляется посредством граничных уравнений, заданных на Ь. Решены тестовые (когда пластины находятся в одпой плоскости) и новые задачи для пространствеп-

пой конструкции, состоящей из двух пластин.

Анализируя НДС пространственных конструкций, составленных из тонких пластин, предлагается исследовать распределение» только изгибных напряжений и поперечных к плоскостям пластин перемещений, так как для большинства койкретных случаев последние значительно превышают соответствующие тангенциальные факторы. Например, при рассмотренном выше соединении двух пластин, для различных распределенных нагружений (направленных под различными углами в — п = 1,9 к нормалям пластин), при всех значениях величины угла /3 и смешанных граничных условиях отношение максимальных компонент тензора изгибных напряжений к соответствующим компонентам тензора тангенциальных напряжений не превосходит 0.01, т.е. 1 процента, а отношение максимального значения прогиба к соответствующим компонентам тангенциальных смещений - менее 310~4,

При исследовании конструкции, составленной из двух пластин, для искомых величин на линии сопряжения можно сделать вывод: в угловых точках концентрация усилий и моментов в окрестностях частей границы пластин, где происходит изменение граничных условий (например, от заделки к свободному краю), снижается. Этот факт объясняется тем, что в первом случае имеет место упругая заделка одной пластины к другой, что приводит к ограниченности в особых точках усилий и моментов (рис.3).

Расчет пологих оболочек двоякой кривизны со сложным очертанием контура методом, предложенным Грибовым А.II., проводится в Разделе 7. Система дифференциальных уравнений теории пологих оболочек постоянной кривизны в компонентах перемещений имеет вид:

где щ - компоненты вектора перемещений ¡(/], - некоторые дифференциальные операторы. Ныделяя дифференциальные операторы для пластины в урапнепиях (4) имеем:

торые добавочные фиктивные нагрузки, связанные с кривизной

Ь,\j\lj = = (1,3),

(4)

;; X* = Х{ + (Т{, а,, г = 1,2- неко-

(5)

оболочки.

При рассмотрении оболочки двоякой кривизны в качестве начального приближения принимается нластина. Решая задачу для пластины, можно определить фиктивные нагрузки задачи (5). Этот процесс итерационно продолжается до достижения функциональной сходимости (с определенной точностью) вектора фиктивных сил но всей области. Таким способом удается построить решение системы (4) для оболочек положительной, нулевой и отрицательной гауссовых кривизн. О возможности решепия последнего класса задач итерационным методом в работах Грибова А.П. не упоминалось. Исследована область сходимости итерационного процесса. Алгоритм проверен на тесте с точным аналитическим решением оболочки, опертой на прямоуголышй плап.

Каждый раздел снабжен описанием численных результатов пред ставленных в графическом, табличном виде.

В заключении приведены основные результаты и выводы диссертации.

В диссертационной работе рассмотрена задача расчета нла-__ стин, пространственных конструкций и пологих оболочек сложной геометрии с разрезами методом граничных элементов.

В результате проведенных исследований:

1. На основании фундаментальных решений, составлена система разрешающих сингулярных и суперсингулярных интегральных уравнеций:

1) проведено исследование предельных свойств потенциалов интегральных уравнений для рассматриваемых краевых задач;

2) осуществлена регуляризация сингулярных интегралов в смысле конечной части по Адамару.

2. Методом разрывных решений рассмотрены задачи о бесконечных и конечных пластинах сложной формы с прямолинейными и криволинейными разрезами.

3. Рассмотрены пространственные конструкции, состоящие из пластин сложного очертания.

4. Исследован итерационный МГЭ для расчета пологих оболочек отрицательной гауссовой кривизны при использовании фундаментальных решений для пластин,

5. Осуществлена численная реализация разработанных алгоритмов, обсуждены вопросы оценки достоверности полученных

приближенных решений:

1) рассмотрено большое число задач для пластин со сложной геометрией (область, занятая пластиной - выпуклая и невыпуклая, односвязная и многоснязная) при всех основных способах закрепления па границе, под действием различных видов нагру-жения.

2) решены тестовые задачи для оценки адекватности метода и ряд новых задач для демонстрации его эффективности; результаты включают методы вычисления КИН(КИМ) и анализ их достоверности.

6. Для реализации расчетной схемы МГЭ был создан пакет программ для ПЭВМ (IBM - PS - AT - 486, FORTRAN - 77) для решения рассмотренных в работе задач и проведены численные эксперименты, позволяющие выработать практические рекомендации для пользователя по применению программного комплекса.

Осповное содержа1ше диссертации опубликовано в работах:

1. Артюхин Ю.П., Гурьянов И.Н., Крамин М.В., Крамин Т.В. Метод потенциала в задачах механики пластин и оболочек. Jla-врентьевские чтения.: Тез. докл. 4 межд. конф. по математике, механики и физике, Казань, Изд-во Казан, гос. ун-та, 1995, с.

2. Артюхин Ю.П., Крамин Т.В. Исследование изгаба пластины сложной формы методом граничных элементов.; Казан, гос. ун-т. - Казань, 1994. - 16 с. Деп. в ВИНИТИ, 31.10.94, N2475 - В94.

3. Артюхин Ю.П., Крамин Т.В. Напряженно-деформируемое состояние пространственных конструкций, состоящих из пластин сложной формы. Казан, гос. ун-т. - Казань, 1994. - 14 с. Деп. в ВИНИТИ, 28.10.94, JV2446 - В94.

4. Артюхин IO.U., Крамин Т.В. Расчет неограниченной пластины с разрезом методом граничны/, элементов.; Казан, гос. ун-т". - Казань, 1994- - 17 с. Деп. в ВИНИТИ, 31.10.94, JV2474 ■ В94.

5. Артюхин Ю.П., Крамин Т.В. Решение задачи термоупру-'осш для изгиба пластины сложного очертания методом компенсирующих нагрузок.; Казан, гос. ун-т. - Казань, 1994. - 15 с. Деп. н ВИНИТИ, 28.10.94, ЛГ2445 - В94.

6. Артюхин Ю.П., Крамин Т.В. Численный анализ плоской

задачи теории упругости для пластин сложной фориы. Казан, гос. ун-т. - Казань, 1994. - 17 с. Деп. в ВИНИТИ, 28.10.94, N2443 - В94.

7. Артюхин Ю.П., Красин Т.В. Расчет пластины с разрезом методом граничных элементов. Тез. докл. межд. научно-техн. конф., Набережные Челны, Изд-во Камского политеха, ин-та, 1995, с.81-82.

8. Крамин Т.В. Анализ напряженно-деформируемого состояния пространственных конструкций, состоящих из пластин сложной формы. Тез. докл. межд. научно-техн. конф., Набережные Челны, Изд-во Камского политехи, ин-та, 1995, с.83.

9. Крамин 'Г.В. Изгиб пластины сложного очертания. Тез. док. пауч. конф. студ. и препод, вузов ТССР, Казань, 1991 г. /Казац. авиац. ин-т. Казань, 1991. ч.П, - с.16.

10. Крамин Т.В., Артюхин Ю.П. Расчет пластин при наличии ь них дефектом различной природы методом разрывных решений. Тез. докл. респ. научной конф. по итогам научных исследований и внедрению их в производство, Казань, Изд-во Казан, ипж.-строит. ин-та, 1995, с. 52.

11. Крамин Т.В., Артюхин Ю.П. Расчет пространственных конструкций, составлешшх из пластин сложной формы методом компесирующих нагрузок. Тез. докл. респ. научной конф. по итогам паучных исследований и внедрению их в производство, Казань, Изд-mjo Казан, инж.-строит. ин-та, 1995, с.67.

12. Крамип Т.В., Артюхин Ю.П. Расчет пластинчатых кон-с-фукций и пологих оболочек методом граничных элементов. Тез. докл. 17 межд. конф. но теории оболочек и пластин. Казань, Изд-ао Качан, гос. ун-та, 1995, с.

13. К rami п T.V., Kramin M.V., Artuhin U.P. The Application of the Boundary Element Method for Analysis of Stress-Strain State of a Plates and Shallow Shells of Arbitrary Shape. Int. Conf. on lightweight .structures in civil engineering, Warsaw University of Technology, 25-29 September, Warsaw, Poland, 1995, p.111.

M ф

У

w.Qn

X

PMCJ

jimmi/tiimiiiii/i

Рис.2

w/м/ш/шмм

Сдано в набор 16.12.95 г. Подписано в печать 18.12.95 г. Форм .бум. 60 х 84 1/16. Печ.л. 1. Тираж 100. Заказ 469.

Лаборатория оперативной полиграфии КГУ 420008 Казань, Ленина, 4/5