Расчет структуры силикатных стекол в модели поряризуемых ионов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

. ГЛАЗКОВ Василий Валентинович

РАСЧЕТ СТРУКТУРЫ СИЛИКАТНЫХ СТЕКОЛ В МОДЕЛИ ПОЛЯРИЗУЕМЫХ ИОНОВ

01.04.07 - физика твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1995

Работа выполнена на кафедре теоретической физики и астрономии Российского государственного педагогического университета имени А.И.Герцена.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Е.Д.Трифонов

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Ю.Б.Малыханов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник А.К.Пржевуский

кандидат физико-математических наук, доцент В.М.Грабов

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

университет

Защита диссертации состоится " Т с■■У*"I '-Л 1995 г. в {£ часов на заседании диссертационного совета К 113.05.03 Российского государственного педагогического университета им. А.И.Герцэна по адресу: 191186, г. Санкт-Петербург, набережная реки Мойки, д.48.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке РГПУ им. А.И.Герцена.

Автореферат разослан " ^ " ¿С^г^Пул 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Н.К.Михеева

зационных членов потенциалов межатомного взаимодействия; - выполнить структурный анализ полученных моделей и провести сравнение структурных характеристик с данными экспериментальных исследования и расчетами в других моделях.

Научим новизна полученных результатов я выводов. Впервые

изучено влияние учета поляризуемости ионов на структурные свойства силикатных систем; ранее структурные свойства изучались лишь в ионной модели. Впервые найдена радиальная зависимость усредненного электростатического потенциала в окрестности ионов в неупорядоченной структуре. Эти результаты использовались нами при расчетах электронных характеристик иона о2" (энергии основного состояния, волновых функций и поляризуемости) в структуре силикатного стекла. Аналогичные расчеты проводились только для кристаллических твердых тел [13. Впервые для моделей стекол вычислялась функция распределения электростатического поля в позиции ионов. В отличие от методов, развитых для аналогичных расчетов в плазме саз, предложенный в диссертации подход имоот более общий характер и может быть применил для систем, содержащих ионы любой кратности. В работе сзэ были вычислены коэффициенты диполь-дапольного дисперсионного взаимодействия для пар ионов о2"- о2"и -о из условия наилучшего представления с помощью потенциала, включающего в себя это взаимодействие, поверхности потенциальной энергии, полученной в квантово - механическом расчете. В диссертации произведен расчет этих параметров, а также коэффициентов диполь-квадрупольного и квадруполь-квадрупольного взаимодействия с помощью приближенного метода через атомные характеристики указанных ионов ( поляризуемости и потенциалы ионизации).

Практическое значена« диссертационной работы состоит в создании эффективных методов машинного моделирования, дающих возможность строить модели силикатных стекол (в том числе с учетом поляризуемости ионов), исследовать их структуру и физические . свойства в зависимости от состава и других параметров. Построенные модели структуры стекол могут быть использованы для интерпретации данных . по дифракции и проверки теоретических моделей неупорядоченных систем. Разработан также

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми. Исследования структуры силикатных стекол привлекают в последние года повышенное внимание как с теоретической, так и с прикладной точек зрения. Прямш экспериментальные методы исследования, использующие дифракцию рентгеновских лучей, ядерный магнитный резонанс и другио физические явления, дают важную информацию о строении стекла, но этих данных недостаточно для того, чтобы полностью охарактеризовать его структуру. Отсутствие трансляционной симметрии приводит к резкому снижению информативности экспериментов и неоднозначной их интерпретации. Поэтому большое значение приобретают работы по построению теоретических моделей неупорядоченных систем и, в частности, моделирование на ЭВМ. "

До настоящего времени большинство работ по расчоту структуры стекол производилась с использованием иошюй модели, где ионы рассматриваются как бесструктурные силобью центры. В этой модели взаимодействие между ионами описываотся модельным потенциалом Борна-Майера, представляюшда собой сумму дальнодеяствующей кулоновской энергии взаимодействия точечных зарядов и быстро спадающей с расстоянием энергии обменного отталкивания. Актуальной задачей является усовершенствование ионной модели, которое может быть сделано по двум направлениям:

- учет ковалентного взаимодействия ионов ближаяшого окружения!

- учет, поляризационных ( индукционного и дисперсионного ) взаимодействий ионов.

Целью диссертаций бЫЛО ПОСТрСЮНИЭ СТруКТурНЫХ МОДОЛОЙ

силикатных стекол с учетом поляризационных взаимодействий между ионами, сопоставление результатов с экспериментом и расчетами в чисто ионной модели.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить комплекс задач:

- разработать методику учета поляризационных взаимодействий атомов и ионов в расчетах структуры силикатных стекол;

- произвести квантовомеханическш расчеты параметров поляри-

комплекс программ для расчета параметров электронной структуры атомов и ионов во внешнем электрическом поле.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Модели силикатных стекол, построенные методом Монте-Карло на основе потенциалов, учитывающих поляризационные взаимодействия, позволяют уточнить их структурные характеристики: учет индукционных и дисперсионных взаимодействий приводит к более узким главным максимумам функций радиального распределения по сравнению с чисто ионной моделью.

2. Функция среднего электростатического потенциала в окрестности ионов может быть использована в качестве потенциала окружения при вычислении параметров электронной структуры ионов в стекле. Учет этого потенциала для иона о2" приводит к его стабилизации. В силикатных стеклах она слабо зависит от эквимолярной замены оксида модификатора. При построении структурных моделей силикатных стекол с учетом поляризационных взаимодействий существенно использовать величины поляризуемостей несвободных ионов.

3. Положения максимумов функций распределения электрического поля для скоррелированных ( гс ) и некоррелированных ( гнс) конфигураций атомов связаны неравенством гс < ^. Величины наиболее вероятных электрических полей в точках нахождения ионов кислорода различной степени связности с ионами кремния связаны соотношением рэ< которое не зависит от типа катиона модификатора. Здесь г , т^ и гэ- наиболее вероятные величины электрических полей в точках нахождения одно-связных, двухсвязных ( мостиковых ) и трзхсвязных ионов кислорода, соответственно.

Апробация работы. Результаты исследований были доложены на Герценовских чтениях (РГПУ им. А.И.Герцена,' С.-Петербург, 1991-1994). на семинарах кафедры теоретической физики и астрономии РГПУ им. А.И.Герцена ( С.-Петербург. 1991 - 1994 ), на 2-ой Межреспубликанской научно-методической конференции "Использование научно-технических достижений в демонстрационном эксперименте" ( Саранск, юэл ). на научных конференциях МГ1В' та. М.Е.Евс.ввъова < г.Саранск. 1991 - 1994 ).

публикации. Основное содержание диссертации опублжовано

в 7 печатных работах, список которых приведен в конце настоящего автореферата.

структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, основных результатов и выводов, общего списка литературы, включающего isa наименования. Объем диссертации составляет íes страниц, включая гэ рисунков, 17 таблиц и г приложения.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цель работы и основные задачи, научная новизна и практическая значимость полученных результатов, перечислены основные положения, выносимые на защиту, даны сведения об апробации работы и публикациях, в которых изложено основное содержание диссертации, кратко охарактеризована каждая из че-рех глав.

в первой главе диссертации дан краткий обзор традиционных методов моделирования неупорядоченных материалов - Монте-Карло и молекулярной динамики, приведены различные модельные потенциалы, используемые в расчетах структуры стекол.

В заключение первой главы изложена основная задача диссертационного исследования, заключающаяся в изучении влияния поляризуемости ионов на структурные характеристики моделей силикатного стекла, исследовании распределения электрического "поля в позиции расположения ионов. и электростатического потенциала в окрестности ионов, а также разработке методики вычисления параметров электронной структуры ионов, находящихся в кристаллическом окружении. Ранее такие исследования для моделей стекол не проводились.

Во второе главе диссертации показано, что индукционные и дисперсионные члены в потенциале естественно появляются в результате мультипольного разложения оператора электростатического взаимодействия ионных систем. Приводятся формулы, устанавливающие связь констант дисперсионного взаимодействия с

поляризуемостью взаимодействующих атомов. На основе этих форт

4 + 2 —

мул вычислены константы для взаимодействия ионов и о .

В мультипольном приближении энергия дисперсионного взаимодействия пары атомов имеет вид

где к - расстояние между атомами, сг ^ ^ -параметры разложения, которые в принципе могут быть найдены с помощью квантовоме-ханического расчета. Однако подобные расчеты являются очень сложными даже для простых атомных систем. Поэтому понятен интерес к приблишнным методам, позволяющим сравнительно легко получать параметры этого взаимодействия. В диссертации для расчета с2. ^использовалась методика, разработанная в с-*]. При этом для вычисления с21<.„ необходимо использовать экспериментальные или теоретические значения, поляризуемостей атомов и несколько первых потенциалов ионизации. В нашем случае положение осложняется тем, что свободный ион о2" нестабилен и диссоциирует на ион о" и электрон . Для его стабилизации использовался дополнительный электростатический (маделун-говский) потенциал, который добавлялся к ядерному потенциалу. Этот потенциал рассчитывался нами для силикатных систем в модели точечных ионов. Теоретические значения для потенциалов ионизации рассчитывались с помощью программы, которая решает уравнения Хартри-Фока в приближении "наполнения" оболочек для атомных систем, имеющих электроны в оболочках гя и гр. Точность полученных коэффициентов с21 + 4 для ионов г14+ и ог~ оценивалась косвенно с помощью вычисления этих параметров для атомов неона, изоэлектронному ряду которого принадлежат указанные ионы и для которого имеются многочисленные экспериментальные и теоретические данные (см. Табл. 1). Из Табл. 1 видно, что совпадение результатов для неона является достаточно хорошим. Это позволяет надеяться на аналогичную точность полученных нами коэффициентов для рассматриваемых ионов- Обсуждаются и другко способы вычисления параметров потенциалов взаимодействия.

Таблица 1.

Вычисленные значения коэффициентов дисперсионного

взаимодействия атоиов Ые , 51

и о

И-г

Пара „атомов ,,

с6, а. е.

"8"

-10'

пг

Но - Ме

О2" -О2" 214+-0г"

6.06 е. 87а

0. О7 124. 26

1. 61

82. 33 76. ООа О. 17 4454. 48 30.10

1172. 08 1173.00а О. 49

203961. 84 879. 72

а!-данные взяты из [51.

В этой главе также развивается новый квантовомеханическиа метод расчета отдельных вкладов в энергию ван-дер-ваальсового взаимодействия атомов и молекул, основанный на мультипольном разложении потенциала электростатического взаимодействия двух систем зарядов, рассматриваемого как возмущение сеэ. Путем варьирования поправки второго порядка к энергии взаимодействия получены уравнения для вычисления индукционного и дисперсионного вкладов. Волновая функция основного состояния изолированных систем выбиралась в однодетерминантной форме, функции возбужденных состояний - в виде суперпозиции одаовозбужденных конфигураций < приближение Тамма - Данкова >. В таком подходе для вычисления дисперсионной энергии необходимо решать уравнения, которые по своей структуре совпадают с уравнениями для расчета поляризуемости. В качестве иллюстрации метода выполнены расчеты энергии дисперсионного взаимодействия двух- и четырехзлектронных атомов и ионов.

в третьей главе проведено моделирование методом Монте-Карло структуры с иликатных стекол, модифицированных ионами ы, N3, к, мд и ва и активированных ионами неодима. Все модели содержали 69у. оксида стеклообразователя, 277. - оксида модификатора и 47.- оксида активатора. Расчет проводился по методике, предложенной в с 7 ]. Приведены структурные характеристики, в том числе функция распределения электрического поля в позициях расположения активатора (см. рис. 1) и функция

среднего электростатического ( мадедунговского ) потенциала в окрестности ионов. Потенциал vм в точке ( х., у. , 2. ) из окрестности какого-либо выделенного иона, созданный зарядами окружающих ионов, можно вычислить согласно формуле

ум<"1' v = "зюг i 1 x x г р ' <2>

1 J 6

где штрих у знака суммы означает пропуск слагаемого, отвечающего электростатическому потенциалу заряда исследуемого иона, 1чат - число ионов модели, я. - заряд j - го иона, - расстояние от j - го иона до 1 - ой исследуемой точки (точки, где вычисляется потенциал), Рв - полином Саулса свз. Исследуемая точка при вычислении ставилась в центр ячейки. Усреднение проводилось по числу исследуемых конфигураций м , по числу' ионов сорта а в модели и по трем направлениям х, у, я. Результаты расчета приведены на рис. г .

Вычислялось также распределение ионов о2" по степени связности с ионом (см. табл. 2 ) и для каждого типа ионов о2" вычислялись функции распределения электрического поля и среднего электростатического потенциала (см. табл.з и рис.з).

Таблица г.

Процентные соотношения атомов кислорода различной степени связности с атомами кремния в радиусе 2.2 А° в стеклах с различными модификаторами при температуре Т-474К.

11 "Количество "Количество »Количество "Количество " Модификатор безсвязных односвязных двухсвязных трехсвяэных 5_¡¡° "г в *_¡¡° 'г ° *_до в У. „о 7 в У. д

О 17.4, 63 19.6

N3 О 30.4 63 в. 5

К О 32.6 58.7 8.7

Мд О 26.2 59.6 14.2

Ва О 23.9 66.5 9.6

ЭЮ О 4 81 15

2

Рис.1. Функция распределения электрического поля в позиции неодима { модификатор на рисунке).

г. А

Рис.з. Средаий злектро статический потенциал в окрестности иона о2" различной степени СВЯЗНОСТИ С 21 " * (ИОДИфИКаТОр N3 —-одаосвязвые. —мостико-вые, ...... -трохсвязные).

Рис.г. Средний электростатический потенциал в окрестности иона о2" в стеклах с и к.

Г. о. с.

Рис.4. Функция распределе: электрического поля в по: ции ионов для статистичес независимых конфигураций и для отрелаксированной ст. темы бю (б).

-К)

Таблица з.

Наиболее вероятные значения электрического поля в позиции ионов кислорода различной степени связности с ионом кремния в стеклах с различными модификаторами при Т-474К.

II ■ Модификатор и Наиб.вероятн.знач.поля на кислородах, а.е."

односвязных мостиковых трехсвязных 1

II а и 0.24 0.15 1 0.15

N3 0. 22 0. 18 0. 08

к О. 26 0. 17 0.15

Мд 0. 20 0.17 0.13

Ва 0. 26 0.18 0.14

II 1 ____ ... -. .. К

Данные таблицы з показывают, что выполняется соотношение гэ< г2< ^ Здесь га и наиболее вероятные величины злектрически1 полей в точках нахождения односвязных, двухсвязных и трехсвязных ионов кислорода, соответственно. Для рассматриваемых стекол это соотношение не зависит от типа катиона модификатора.

Расчеты функции распределения электрического поля в позиции ионов показывают, что для моделей, подвергшихся релаксации (установлению корреляций), максимум сужается и сдвигается в сторону меньших полей (рис.4). Это соответствует результату, приведенному в саз.

в четвертое глав« проведены расчеты структуры чистого силикатного стекла' с использованием потенциалов межатомного взаимодействия трех видов», чисто ионного, с дисперсионными членами и с индукционными членами

V,: = - + А^ехрС-г^/р^), (3)

и

Уд г и

и

г и

'и

и

+ А . . • ехр <-г . ./р. .),

и к и ^ '

(4)

1 J

«Ч,

а .+ а . • а. )

J ^ 1

1 J

+ (А .

В. . 1 J

и

>•ехр<—г. ■ /р . у и ^и

(5) ) .

и

В формулах <з>.<4> и (5>:Ч.,а. - заряд и пожчризуекостъ 1-1

я

иона, гij-межионное расстояние, а. в.^-параметры оттал-

кивания, c.j - коэффициент дисперсионного диполь-дипольного взаимодействия. Вид потенциала <з> был взят в работе саз, где проведен анализ ионной модели на основе теории возмущений с обменом. Дополнительное слагаемое в отталкивательной части потенциала отражает связь шрекрывания и поляризации электронных оболочек. Для расчета использовался вариант метода Монте-Карло, предложенный в работе с73. Кулоновские взаимодействия суммировались согласно свэ. Основные структурные параметры моделей приведены в таблице 4, где приняты следующие обозначения: И - модель с ионным взаимодействием, Д - модель с дисперсионным взаимодействием, Ин - модель с индукционным взаимодействием, Э - экспериментальные результаты с ю з; - положения максимумов функций радиального распределения sí-о, sí-sí, о-о, соответственно; nj 2 .^координационные числа sí-о, sí-sí, о-о; sj 2 3- ширина главных пиков функций g(г) на половине максимальных высот. Координационные числа определялись как значения функций п<г> при г равном 2.2, з.7 и з.в ft°.

Таблица 4.

Сравнение структурных параметров моделей. ^

в-8-8-1-ii-ii-8-1-г--я-а

mj, а° nj sj, а° нг, а° ng s2, а° mg, а° n3 s3> а°

■í-:-1-¡¡-ь

и 1,61 4,0 0,29 3,04 .5,0 0,49 2,49 11,5 0,74 Д 1, 69 4,0 0,23 3, 01 5, о 0,71 2,77 12, о о, 63 Ин 1,64 4,0 о.ео 3,07 е,б 0,57 2,56 12,0 0,37

, э , 1,62, 4,0 н 0,10 и 3, 12 , 4,0 , 0,20, 2,65н 6,0,0,30 ,

Для максимумов функций распределения углов о-бх-о и б^-о-б!

МОДвЛИ ДаЮТ ВвЛИЧИНЫ: И - 101°И 142°, Д - ИО°И 126°, Ин -юз°и 139°. Вычисления функции д31_0<г>" подтверждают известный факт, что в чисто иойной модели ширина главного максимума (~о.з а°> превышает экспериментальное значение (-0.1 а°). Для Д- и Ин-моделей эти значения несколько меньше, но и они превышают экспериментальную величину <0.23 и 0.20 а°) . Ближе к экспериментальной величине эти значения и для функции д0_0<г>. Для функций ^Si_Sl<r) модели Д и Ин дают более широкие главные максимумы <0.71 и о.К7 а°>. Таким образом, катион-анионное и

8

анион-анионное распределения,характеризующие самый ближний порядок в структуре стекла, при учете индукционного и дисперсионного взаимодействия получаются более узкими, а катион-катионное распределение, характеризующее следующий интервал расстояний - более широким, чем в ионной модели.

Одним из недостатков ионной модели является завышение координационных чисел Бг-Б! и о-о. Из таблицы 4 видно, что модели Д и Ин указанный недостаток не устраняют и даже дают более высокие координационные числа.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В работе исследовалось влияние поляризационных добавок в энергию межатомного взаимодействия на структурные характеристики моделей силикатного стекла; показана возможность уточнения получаемой структурной информации. Результаты работы могут быть использованы для объяснения и прогнозирования свойств силикатных стекол.

Основные результаты и выводы работы состоят в следующем:

1. Методом Монте-Карло в ионном приближении были получены модели активированных неодимом силикатных стекол с различными щелочными и щелочноземельными модификаторами:

0.69510 .о. 271.1 0.0.0«М О , 0.69 510 .0.27 N3 0-0.04 Ый О ,

2 2 2 3' 2 2 2 Э'

0.69 БЮ .0.27 К 0.0.04 N<1 О , 0.69 БЮ .0.27 МдО.0.04 Не! О ,

2 2 2 3' 2 3 2 э'

0.69 51О^ .0.27 ВаО.0.04 Мс^С^. Для ПОЛуЧвННЫХ М0ДЭЛ8Й

рассчитаны парные функции радиального распределения, функции координационного числа.

2. Предложены новые характеристики структурных моделей стекла! зависимость среднего электростатического потенциала от расстояния в окрестности расположения ионов и функция распределения электрического поля в позиции расположения ионов. Обнаружено отклонение от распределения Хольцмарка, не учитывающего корреляцию в расположении ионов. Разработанный метод применим к системам ионов с различными кратностями зарядов.

3. Проведен расчет в приближении Хартри-Фока волновой функции

и энергии иона о2" в среднем электростатическом потенциале в силикатном стекле. Показано, что учет этого потенциала приводит к стабилизации иона.

4. Разработана методика вычисления поляризуемости в приближении Харпри-Фока методом конечных возмущений для атомов и ионов с заполненной оболочкой ( содержащих до ю электронов ) в том числе для ионов, находящихся в кристаллическом окружении.

5. Предложен новый квантовомеханический метод расчета отдельных вкладов в энергию ван-дер-ваальсового взаимодействия атомов и молекул, основанный на мультипольном разложении потенциала электростатического взаимодействия двух систем зарядов, рассматриваемого как возмущение.

ь. С использованием приближенных формул вычислены коэффиэнты дисперсионного взаимодействия для пар ионов 4+- г!4*, о2"-о2" И о2'.

7. Выявлено влияние учета поляризационных добавок к энергии взаимодействия атомов на структурные характеристики моделей: построены модели чистого силикатного стекла с учетом индукционного и дисперсионного взаимодействия ионов. Результаты сравниваются с экспериментом и результатами в чисто ионной модоли.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Глазков В.В. Полуэмпирическия расчет параметров дисперсионного взаимодействия атомов. // Тезисы зо-ой научной коферен-ции МГПИ им.М.Е.Евсевьева, Саранск, юа4, с.64,65.

2. Глазков В. В. Моделирование структуры силикатного стекла с учетом поляризуемости ионов. // Радиофизика и электроника: Сборник научных трудов.- Саранск, МГПИ им.М.Е.Евсевьева, 1вв4,

С. 71-76.

3. Малыханов Ю.Б., Глазков В.В. К расчету переходных поляризу-емостей молекул.// Там же, с. 12-16.

4. Глазков В. В. Компьютерное моделирование неупорядоченных материалов. // Тезисы 2-ой Межреспубликанской научно-методической конференции "Использование научно-технических дости-

жений в демонстрационном эксперименте". Саранск,1994, с.184.

5. Бочкова Р.В., Дьяконова В.И.. Глазков В.В. Изучение статистических закономерностей методом молекулярной динамики. // Там же, с.41.

6. Глазков В.В. Полузмпирический расчет параметров дисперсионного взаимодействия ионов 31"" и о2" . // Опт. и спектр.- 1995

- т.78, В.г, С. 193.

7. Малыханов Ю.Б., Глазков В.В. Расчет энергии ван-дер-вааль-сового взаимодействия в рамках вариационной теории возмущений. // Ж. структ. ХИМИИ - 1995 - Т.36, N4, С. 600-607.

1. Mahan G.D. // Solid state ionics - 1980 - v.l, p.27.

2. Hooper C.F. //Rhys. Rev. - 1968 - v. 165 - N1. p. 215.

3. Tsuneyuki S., Tsukada M. , Aoki H., Matsui Y. // Phys. Rev.Let.- 1988 - v.61 -N 7,p.869.

4. Patil S.H. //Phys.Rev.A - 1986 - v.33, p.90.

5. Бараш Ю.С. Силы Ван-дер-Ваальса. М.:Наука, i9B8, 344 с.

6. см. с6] списка публикаций автора.

7. Metropolis N. А., Rosenbluth A.W., Rosenbluth M.N., Teller A.N., Teller E. // J.Chem.Phys.- 1953 - v.21. p.1087.

8. Soules T.F. //J.Chem.Phys.- 1980 - v.72, p.6314.

9. Brumer P., Karplus M.//J.Chem.Phys.- 1973 - v.58, p.3903.

10. Mozzi B.R.L., Warren B.E. // J.Appl. Crystal.- 1969 - v.2,

Подписано в печать 25.05.95. Формат бо х 84 1/16. Бумага офсетная. Усл. п. Л. о. 93. Уч. -ИЗД. Л. о. 96. Тираж 100 экз. Заказ 447.

Мордовский государственный педагогический институт имени М.Е.Евсевьева. Лаборатория множительной техники. 4зооо7, Саранск, ул. Студенческая, на.

Цитируемая литература

р.164.