Расходимость рядов Дюлака и разрешение особенностей в семействах дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

московский ордена ленина, ордена октябрьской революции и ордена трудового красного знамени государственный униве( сктет впегга и.в.ломоносова

Кохапя.чо-нвгвкчтвчоскяй факультэг

На лразак рукояяеа

ТР^Ю'ЮВ Сергей Игоревич

УПК. 517.925.7

?лсхсяишсть ?ялсз яалгасх и рАЗгизгю?г: цсозпгшостей я сжкгйствлх яимЕРЕпцал.чьтас урАглггння

01.01.02 - дкффорокцкальные уравненяя

автореферат диссертация на соискание степпня кандидата физико-математических наук

Москва 1990

Диссертация выполнена на кафедра дифференциальных уравнений ниханико-иатекатвческого факультета Московского государственного университета им. И.В.Ломоносова.

Научный руководитель - к.ф.-it.il. Ю.С.Пльдшо;шо.

Официальные оппоненты;

доктор фазвко-кагенатнчосииз: наук,

профессор Я.Н.Бабвцоа, кандидат фнзико-н&теиптическюг наук В.В.Ежов.

Ведущая организация -

ПатематическнЁ институт йи. Стеклова АН СССР.

Защита состоятся 1591 гола на

заседании сивцкалнз «¡рованного совета Д.053.05.04 при Московской государственном университете кн. К.В.Ломоносова по адресу: 115099, Москва, Лонкнскво горы, КГУ, нехс-илко-иатэнатичссквИ факультет, аудитория ~ рЬУ*

С двссертацве8'нокио ознакомиться в библиотеке иэжйпзко-катонатвчоского факультета НГУ: Главное зсан&е, 15 это».

Автореферат разослан и ТУ" С^С^С^^ 1990 года.

»

Ученый секретарь спвцяалязкропанного совета Я.053.05.04 пря ИГУ

доцент £Т.П.Лукашенко.

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТ!!.

Актуальность тдмы. Проблема кокачностя чяслл продольных цзклов у аналятическях дифференциальных урапноняй на компакт».« двумерных многообразиях эарзнасг одно пл ц&итрзлышх каст d аналитической теории даффераш^алысых уравнений.

1. Основным инструментом росвняя проблемы конечкостя для ян-

дявйдуалыьк дкффзрвицяалькьгг уразнопяй 'явлдатс;? псамптоткчас-

кпэ ряям Дголака для прообразооакяЗ конодромпп слошыя цвкпоз

аналяткчэсккп двффэрснцгеяьнмх урльнэпяй ::а дяунорпш: нкогооб-

1)

рэзкяя. Впорвио оки была апедакч Ягллакст; в некуарэ .

Од:;ако вопрос о схоялностя этв:г рлдог до плсгог.щэго ррэкокя оставался отгфыт^м. В кекуарз Яслак сбрппаотс.ч с ашмв рядами» KSK со сходлзшияся (nit сяодгмость позволила Ся доказать те-

орвку ксизч::остп числа чродоль:&м: циклоп акаягтгппскзх вектор-

5 1

гаа: полвЭ па сфера, как это сдолано d [ ,§23]) Постольку мне-гпа споцгаласты вслед за Лал&хок полагал-, что т&каг сгодякост!. якоот косто acerca, исслодоаакпэ расходпкоств зтях рядов а просты;: случаях является при!шгпяалыгым aoírpocsi.

2. Проблема рвпкомерной ограниченности aserta 'йрадольимх цкк-лоа в сомейстаая двффороипналыэлс уразнпняй в н£стсш;яЗ момонт находится а начадыой стадия разработки. 3 скатьях Р.Русеарп ' з Я.С.Пльстэнхо 3), гдо б*.«лв предложены программы posante;

Лллак А. О прэдельных цяклак.Л.¡Наука,1930. Яоиззаг1а R. A noto on finita cyclit'y property and Hilbert'о 16 r>roblera//Lect. Kotes Math. 1983. V. 1331. P.3 61-160.

этих проблан, и качество первого принципиального иага была сформулирована следующая задача:

Разработать конструкции разрешения особенностей в семо&ствах дифференциальных уравнений, позвопямцую свости рассмотрение произвольного семейства к рассмотрение семейств, в которых все особые точки каидого индивидуального уравнения, вклвченного в семейство, являются элементарными. (Элементарная особая течка -это точка, ляиоаразБЦНя в которой смеет котя Сы одно понуловос собственное значение ).

Такое разрешение особенностей позволяет одновременно свестг все огромное разнообразве локальных фазовых портретов вндаввду-аль!ш уравно::г;2, включенных в семейства, к обоэрнноиу множеству частные случаев, для которых разработана с активно прикеня-отсл теория нормальных форм.

Цель работы. 1. Нахождение иаобкодакьас в достаточных условий для сходимость ряда Лелька для преобразования ионодрояий в случае простейшего сложного циклаi потла сепаратрисы невирондеиного седла. Доказательство существования аналитических с, в качестве ваакого частного случая, полвномнальних йвкторилс полей с петлей сепаратрисы к расходЯщанся рядом Дзалака.

2. Разработка нетодов разревеиая особэннэстоВ о семе£стваг дифференциальных уравненвй на двуморных многообразиях. Фориулс-ровка в доказательство аналога теоремы Бендиксона-ЗаЁденберга— Дюмортье для сенеВств.

3) Дрнольд В.И. s др. Некоторые норспеншв задаче теорвв дифференциальных уравнений в матенчтвческоВ фазики // Усп. Натем. 1!аук. 1Э39. Т.44. Bun.4.(268) С.191-202. (Раздал "Задача Ю.С.Нльяшекко")

Общая методика доследовании.

В частя работы, касающейся рядст Двлака, пироко ясяользуэтся теория формальных норналькьос фор.ч я фушшяокалыагх кодулеЯ. Првкопяшся такяа результаты кногоморного конплэксного пналяза (тэсрвма Грауэрта об аппроксинацая).

П разработке конструкции разратгеняя особенностей яспользуог-ся тоорпя апалатяческях множостз, ряманоеьг-с повврхиостей, а тикза злемоцты алгебраической гвонэтрая (о частноста, тоорана 5вропзкз о разрешения особонностеЛ).

Научная новязна. Основгив розультаты диссертация являются новиия.

1. Доказан крятервВ расходякости ряда Дюлзка для прообразова-йяя ксноярокяи петля сопоратряси кэгыроядотеого содпа апалатв-ческого секторного пояя ка плоскости.

2. Доказана теорока о роалезацпа ловсгго ростка аналп~ичзского

векторного поля в особой точно твпа кездгрскдэнноа содло о :<лас-

»»

се аналвтэтаскяя пскторга/п полей, заданных а областа на плос-коств а висвазх потлю сопаратр*сы.

3. Установлено, что в ссмйВстзо пояакомяальиьсс векторных полей стэпепа п для прогзвольиого паю вокторкыо поля, пкосдао петля сепаратрясы к расходящейся ряд Далака для чтой потля, содержатся в типичкмх двупаракэтрячвских свкэЭстваз:.

4. Сфорнулярован я доказан аналог тэсромы Беидяксот-Зайдвн-борга-Дэкортьо для саивЯств полой направлений. Еруг?,х.з словака, доказано, что для любого семейства полой направланпВ, заданного на сокейстае двуксрных многообразий я удовлетвордакзегс естественным условиям, существует хорошо раздутое семейство (определения си. а описания главы 2).

Попутно б*:пн получены следующие результата.

5. Оценка чысла шагов, достаточного «ял получения хорсиаго раздутая ростка особой точка индивидуального векторного поля из плоскости чорез кратность отой точки.

6. Доказан факт равномерной огранкчонностк кратности особых точик в самеЕствах дмфферовдмалымх.уравнений, огранячвннок на произвольный преднокпакт в тотальной пространстве семейства.

Приложения. Работа носят теоретнчекий характер. Ео результаты могут найти применение при далышЕиеЕ разработка проблем конечности числа предельных циклов.

Результаты, касавшиеся рядов Дюлака, иогут быть вспользоьа-1Ы в задачах теории иорналыых форм векторных полой.

Конструкция разрешения особенностей, предложенная в работе, является походом исследования различны,: бифуркацкошых задач, вознмкиишях в различгмх исследованиях по фчзпко, механике о биологии.

Апробация работ». Результаты работы докладывались на всесоюзной конференции "Совносгкыо заседания Московского хатекатв-ческого общества в секкнара вн. И .Г.Петровского" в ИГУ в X9G7 б 193В гг, на Второй Сибирской вколо "Алгебра с анализ" в Томска в 1Э88 г и на XIII Всесоюзной пколе по творкк операторов в функциональных пространствах а Куйбштво а 1988 г.

Результаты диссертации докладывалась иа семинаре "Днфферэн-цвалькыо уравнения" /руководитель - к.ф.-я.н. Ю.С.Нльнаенно/.

Публикация. Основные результаты диссертация опубликовав в двух ' работах автора, сгысои которых прмводоп с конце автореферата. Работ по »ено диссертеаин, напасанних в соавторства, нет.

Структура % обьэм дксссртациа. Диссертация состоят сэ введения, двух глаз, содаржащнх 12 параграфов я трв:; прклогпннй: одно к первой главе яда ко второй. Обаяй объон работы - 126 странки. Пнбляографяя включает 30 итикэновакнЯ.

1. ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ Д!'ССПРГАЦЙ!'.

Во введения обосновывается актуая^псс;ть ни а приярдекы формулировка оскосных р-эзультптоа днссвр-.ацки.

Гиава 1 посвях-эиа вопросу с ргсходспс^'гя г.ядоэ Дь^лака. Прилогвиао к этой главе содержат гок&эатояьство оцокок, яслоль-зуекьсс прп работа с фориалыюЭ Пориальк^Г; фириоЕ росткзр врк-тср|&ас полоЗ в особ'ия точках ткна. ««пирождчисос спг,пп>

В главе 2 рассматривается анзлйгпческяо сокгЗгтли ползП иапр1г?лвниа, даптсл формулировки дскааагочьсгйа зсноаноП тпо-ромьг о разрешение особосиэстзЯ м тай кагизлзной 'тноргш. о се-чояягтх", яяллетшйся клтвпой частью ко,"стру:<т5за. Прр яток ос-ксвноо вкя.чанпэ з гяаяо удаляется комплексному случае. Яркло-со-наа А к -этой гяавэ поспящоцо доказательств? раппежсркза огракс -чаниостя краткое.» особых точек сенойства. В приго:: л:ии 13 лря-водятся всиокогатолыь.э результаты, необхосг.чкэ Дач сотзатоль-г:тва зощестгонкого ".аряЕнтй основная тоорокм.

Паройдем к болвэ подробной}- язггокеизг! рег^дь'/атев диссертация.

С главе 1 рассвдтргваэтся вналятячвско"» пскторйо^ пола на действительной плоскости с особой точней тяпь содпо с ветлой езпаратрвсы г (си. "ряс 1).

-5-

Выбером произвольную аналитическую трансверсалъ Г к сепаратрисе 7 • Тогда на одной вэ двух частой трансверсалв опраде-

лен росток преобразования ионодронни; й^,: (Г ,0) -» (Г ,0),

при этом преобразована:: каждая точкч хеГ+ Переходит в следующую по времени посла х точку перосвченвя полутрансверсали Г+ к фазовое кривой секторного поля с началом в точка х.

Как показм Дюлак, отобрааоине разлагается в аеднптотв-чески5 ряд, називаамыЯ в современных работах рядом Дслака:

га

а х^о + Г ?.(1п и) о<ь>0<у ...<...—++« ,

Р^ - веществе шив многочлены, хе(К ,0), а0»0.

Разложимость означает, что для любого положительного Н имеет ичего следующая асимптотика !-

й?(х) - 8н(х) - о(хН), где - частная cyi.ua ряда до членов степени не вьвзе II:

v

У г

Ох*о + 2; Р1(1п X) х 1, *'кян<ук+1.

а

и

1-1

Основная локальная теорема 1. Ряд Дюлаха для преобразования ыонодрохии легаяи сспаракриры г псвырождеикого седла сходится тогда и только тогда, когда роста/; вехепорпого поля в особой точке петли орбитапько аналитически эквивалентен своей формальной ли исОиой опи резонансной нормальной форхс (см. чассъ 1, §1 П.А).

-6- Ьмс.1

Теорема 2. Пуспл зада» произвольный росток аналитического векторного поля в особой точке папа седло. Тогда супес.тпуеп аналитическое векпор ¡>ос пол*, зеванное на открытой области плоскости, ииеютее петпа сепаратрисы, причем рссток поля о пер-вине петли орби&алыго аналитически эквивалентен ванному ростку.

Теорема 3. Для лх&оео пеЮ , я пространстве г,апинотгсгьиых векторных полей спепени не визе п на вг.цссп$е.:.:оП плоскссгли су-цестяуеа область, в которой содержится аналитическое подипоео-обраэие N со следующий сяойсъвачи. Любое векторное полз оэ N ииеса петлю сепаратрисы, причем ряд Долака преобралозакия ыоподрсмии этой пепли расхозьлся. Ннояеспг.о И иагсп кар-ззкср-пость 2.

Параграфы 1,2,3 глагы 1 поеаяаеки доказатсш.'зтпам соответственно тоорпи 1,2,3. Парягрзфы почти нагазястм. П §3 пс-пользуотся теорока 1.

Тоорена 1 сводят полулокальнуга задачу о псзедэняч пекторио-го поля а окрестности петля сепаратрисы :< легальной . задаче о поаоденяя векторного поля е окрестности особой точчя. Когда в особой точке типа содло отношение сабст£йк;аге чпеог. линеаризация рационально ялп "слишком хороио" прибякгаогеп рмдяоианькы-нк, расходимость норкалпзуюяяж замен, как правило, янэот место Теорска 1 показывает, что вря гтон расходятся я ряды Дюла-

ка.

Теорема 3 , также как я тоорока 2, яплкэтея тоарэмоЯ рее.т-

Г5-:---

' Яльяпонко Ю.С. 3 теории нормальных фор« аг.алнтнчоскях

регаяалькых уравнений гря нарушении усиэвяЬ Д.Я.Брюгго расходимость - правило, сходимость - исключонио//8бТН.НГУ. Сер.1. Математика, механика. 1981. Вып.2. с.10-15.

зацаи. Л именно, аз теорешд 3 следует, что я двуиараматряческвх сонойствах полиномиальных векторных полей встречаются поля, неустранимые малый повелением семе'Зстыа, которые кмепт петла сепаратрисы с расходявимся рядом .Шалака. Доказательство использует результаты вычисленяя фулкцконалыплх модулей орбитальной

аналитической классификация ростко.в векторных полей в особо!;

5) 6) точке 1, ' .

Доказательство творены 2 опирается на теорему многомерного

7}

комплексного анализа, полученную Грауэртои

Соглашение. Если из оговорено .¿рот^вное, есо перечисленные ииже формулировки откосится одновременно к комплексному я вещественному случаи. Пря этом под аиапятвчиостыэ надо подразумевать соотвотственно голоморфность п вещественную аналитичность.

Изложению глаиы 2 предпошлем насколько определении. Опредвпзнно. Аналитическим семействои двумерких многообразий (!1,а,п) с n-мерной базой параметров и тотальным п+г-нернын пространствен будем называть совокупность многообразий И, Б а

сП--'---

' Щербаков А. А. О ростках отобраяеняй, аналитически неэквивалентных своей формальной нормальной форме//$уш:цкон.вналкз. 1982, Т.16. ВЫП.2. С.94-95.

Елизаров И.. Орбитальная аналаткчоскаа иоэкзввалвнтиоси

2

седловых резонансных оекторнии полай о (С ,0). //Натек.сб. 1984. Т.123(165). С.534-549. 7)

' Grauert Н. On Levi's probleu and the imbedding of rea] analytic sianifold3//Anm -s of Math. l?60. 68. P.460—472 ( русский перевод: сб. Математика. 1SC0. Т.4. МЗ. С.29-40).

-О-

аналитического огобраленяя проекции ir: и —> В ияетясго pa::r п о язбо?} точно многообразия И. Будем обозначать любой слой ;[_1{с5, ееВ, черзз Очевидно F£ - двумерное аналатпческоз многообразие.

Спредэлоняо. 1} Аналитическое полэ направ-поняй ?;а аналити-

ческом многообразия И - это направодниое аиалятччосиоо множество а прооктйвязярованном касательном расслоения ТР!1 над М, пе-росекаж'зеся с лбзан слоен этого расслоения в одянктзошюЗ точка я задгимдеасл э окрестности каждой точна из i! аналитическим ssKTop.TJM полей, на равный тождественно нули.

2) Особыма точками поля направлений назыяаптся га я только то точка аз и; над которыми описанное неприводимое множество перо-секаотсн со слоон расслоения ТГМ болео, чем а одчоЯ точке.

3) Анэяятзческое поло направлений а, заданное па тотальной

«иогообразяя соисьЧстэа двумор:пж многообразий (!!,В,тг) , л касап-

яоэся слоаз IF.) называется аналитическим combüctboh полой чсп-с '--

равлвняЗ. Множеством особьсг точек сеноЗстпа назовем :шожестпо особых'точек поля направлений П, задающего это семейство.

Леина. яяо^йсяво особых аочегс п сенейспяа полей поправлений либо пусто, либо являемся аналитическим инояеагтом, в комплекс-и он случае однородной коразмерности 2, а х> ведес/пэенном - ко-раэиерпосш не низе 2.

Слэдствао. Пересечениi xno.ie.cr.na особих точек П с /ггбим слоен Г , CíD является анплиетческим нг.охестпоя. nptr гаоч в y.'jcuuocsnt Cj'i размерности экого ttuonscsua, возможны при различные ситуации:

1) нульмерно: пег особые s>ciku и:о/.ироааны .va слос;

2) Í1 c^noíiepi'o: vгизолирорат'ч-? слое оссбие r-очгч •-■(•рзяу-ra хривыа;

3) Пс двухерно: некоторая связная коипоиекгаз слой целикох состоит из особых точен.

В случзо 3) будем называть слой Fc крягячссквн.

Опрвделение. Точку qell назовем существенно особой точкой семейства полей направлений а, если она является особо!.' точкой ограничения arc(q) поля а на спой Fn(qj» продолженного на слое до поля направлений с сзолярованшке особый^ точками*^. Иноя;ество всох существенно особых точок будок обозначать через

"ODS* '

Важнык понятием при изучении структуры особых точок в семействах полеС направлений является дискретизация нкожестви особых точок. Перейден к определению этого понятия.

Определение. Рисскотр$к в тотальном пространстве семейства (Н,В,л) аналитическое множество П. Назовем точку qsíi этого кио-кества гзолироианноЗ на слоо, еслп она изолирована в поресечв-нак ^^(q) множества П со слоок Fn(qj- Подмножество изолированных на слоях точек иночества обозначим через

Определенно. В вещественной случае полезно дне сналктичес-кого множества ficíl ввести множество общих изолированных на слоях точек tlgen ls следующий образок: flgen is - П1о \ (0\ftis) .

Опредзленио. Дискретизацией существенно особых точек семейства полей направлений в комплексно-аналитическом семейство полей направлений назовем конечную совокупность аналитически?: множеств (íl^), таких, что любая суиестганно особая точка семой-ства полой направлений является изолированной на слое точкой хотя бы одного из множеств :

^ Такое продолжение существует по сформулкрованной выпе лекно.

-10-

Определение. Дискретизацией существенно особых точен семейства полай напразлоняй з заиестзешго-анзлятическом случао назовем иопечнув совокупность аналитических множеств (П^), таких,

что П s U Ш,) . . ess 7 » i'gen ls

Лемма.(О дискретизации), Пусхъ задано аналитическое семейство полей направлений с непустым ипохествоа особых почек П и не содеряацсе критических слоев. Пусть ограничение прсехции п на П собственное. Тогда у ссмеОс.-пза полей исправлений существует дискретизация существенно особых иочех.

Пгрейдви топэрь к описания конструкции разрешения особенностей п семействах.

Определенна. Пусть дано аналитическое многообразие D. Раз-порткоЗ многообразия D будем называть аналитическое многообра-зхо У тоЗ яа размерности s aro сюръектапное аналитическое отображение на данное многообразие р:5 ~г-»В, локально Сзаналн-тачосков э обшой точка многообразия 5. Прп этом многообразие В пэ обязательно связно я, болеэ того, не обязательно состоит из конечного числа связных компонент.

Определение. Назовем раэпэртку конечной, если для любого компакта КсВ сумоствует нонпаит КсВ, образ которого р(К) совладает с К.

Опрвдяление. Раздутое сеиаВстао многообразий для смоЯства (Н,В, ir; И —» В) задано, если определены:

- новое семейство (И,В, ir: ¡1 -> 3 ), где В является

конечно"! разверткой базы В г р:В -» В,

- голоморфное отображение тотальных многообразий Н: М -> И ,

такое, что коммутативна дяаграммма:

П -у-> н

* i i я 3-2-, в

- ограниченно отображения Н на любой слой Fяслявгся голоморфный отображение»: F—»F ._, и представляется в виде иомпо-

с Р V с J

»ицяс конечного числа обратных с-процессов.

Определонйс. Если в исходном семейство многообразен (К,В,п) задано семейство полай направлений , то' ка раздутом cgkgíctbg кногообраззй определено раздутое семейство полеР. направлений: К4а «• а.

Основная теореьа. Если аналитическое семей сел о полей направлений (Н,В,к) fc содьрвит критических слоев и огранича-и ограничение проекции tí на кнояеевюа й всо: особых почек семейства полей направлений является сойс.г.всниии, то sao сеиейса-

вс иыееп хороаее раздутие (ñ,Б, п: Т; ->В , а, р, Н), а

ииенно выполняются следукцие усглсрядсниа;

1) все существенно особые яочки полей направлений «- Оли всех сеБ являются эленсипарнини (по есть индивидуальное пояс направлений в окрестности люб о 2 ракой гг,оч:,и задается исх&орньп; полей, линеаризация которого и этой щочке ипсеа хоС.я бы одно ненулевое собственное значение ).

2) нега критических слоев;,

3) п каждой связной кокпоп<;.1яе тонального п]юс,г:рапст.1ца раз духа г о ссиейсаяа чновесызо всех существенно особах точек паяя нащюБлекиО содериится в объединении копанного числа сечений.

1 Теорема верна как в коиплексно-акалвтвчоском, так п п весэс?-ванпо-аналятЕЧОскск вариантах. В главе 2 дане-' пилное доквав,-тельство комплоксло-апалиткческого варианта к сформулнрована вецэствошод аналоги больвинства ' /тиеркдеикЗ. Приложение В к этой глава посаякеио зивершоняю доказательства вещестиенно-аиг-явтвческого серванте основной теоремы.

Разрегзизэ особенностей и соноПство (получолсэ хорсзо раздутого сэтшПстса) получаемся с поискьга чередовании sn;r:í лрячноз* развертка dasu и раздутие соченяя сонейства (т.о. операция про-пздоияя с-процасса s каядом слое и точках свчоиая).

ОпрэДслонво. Пусть дано семо.Тстяо кногообразиЗ (И,В, к) п

конечная развертка базы р: 3—>В. Иазово.ч соноЗстзпн с разавр-

иутой базой раздутоо семейство (íi,3,7rifí->В,р,Н) , осля ог-

ранжчонаа отобраивная Н на ¿жбоЗ слой задаог бнакалптя-

чосиоо отобпахеино слоев а

с р(с)

Основ j:um результатом о развертках базы в сеиаЗствах является слздуювдя тзорана, фориулярусщаяся без упоминания т-зрмннов тэо-рая дафферешдпальких уравнения.

Творэиа о сечонзях. Пусяъ дано аналитическое сенсйсяяо ыпо-гообразиП (И, 13,я: И->3 ) ( din B=n, din ,7=п+м) а конечное число зкаликичасхих хиояеаяв, каких, чгг.о ограничение Проекции л на лсбое из "cus ннозееяв является собсглениип. Тогда для эпого caeCcr.ia сугхесглуеп сенейсяпо с развернупой базой, некое, ченз над л'аядоО сиягяоО хонпс.чгнаой развернутой базы эаныхаяие И— прообраза анояасяса я вецестзснпои случае- ^г,)

для л»5ого i аезиа a объединении конечного числа егчепий.

Tacpoxa верна о для яобых натуральных а й п. Ее доказательств cyEtosTBDüsio опнраэтея на тзорему Хпронахя о разрошэнял особенностей.

Ецэ одмаи ваэиздм мояонток з доказательство основной тоорекм о разреяеивн особенностей в сеноЯстяая ясляэтся разномерная сцопха члела ¡r-прсцессоз, которые» достаточно пропоет» а каждом слоо ссизЯстви по веек суигаствепно особых точках, чтобы рассыпать этя точка isa олонелгар;а^-;.

Пусть дано аналитическое поло напра&лонзЕ па двуиорком многообразии. Кножоствс его особых точек дкекротно.

Определение. Назовем эталон раздутия эдешвремоноо проводонпс сг-процессоа во всех его особых точках.

Определение. Ограничен многообразие до окрестностс прокз-вольной особой точки данного поля направлений, не содер^ацзВ других особых точек. Назовем степенью вырокдзния отой особой точке минкмалькзо количество этапов раздутия, каобходииоо для рассыпаняя исходной особой точки на элонептарныа.

Очевидно, определение но аавясит от выбора окрестности особой точки.

Лоима. Степень вырождения любой особой кочки ка пргвосхосип д+2 ,где ц - кратность опой точки.

О приложение А с покошыэ теоремы ГабризлоБа С) доказана следующая лемма.

Лемма. В лобок аналитической семеЗсгаве полеО направление, ограниченноы на произвольный ойхрытыН предхоиЛакз в яосюлыюз .пространстве, кратность всех суцес.ъпспно особых точек равномерно ограничена.

Тем самым в дшссертацка доказана равномерная ограниченность степени вырождения особы» точек семейства.

Основная теорема о хорошо раздутом семействе доказывается с помощь» леммы о дискретизации, теоремы о сечениях с факта равномерной ограниченности степени вырождения существенно особых точек на продкомпактном множестве.

8).Габриэлов А.К. О проекциях полуаналитических множеств// Функинои. анализ.1968. Т.2. Вып.4. С.18-30.

К. сскалоняп, структура особых точек семейств полей каправлэ-изй ио:гот оказаться весьма слоаноЗ даже а случае, когда псэ существенно особые точкп спиоЗства элементарны. В свяэя с этан полозпо эвеств следующее определенно.

Определения. Особая точка семейства полаЯ .чзпразлоннЗ называется рагулярно возмущенной, осл» в малой окрестности данной точка ссе особые точки семейства являются существенно особыми. В про?ипиок случаэ особая точка называется сингулярно возмудаи-ной.

Как нетрудно убеляться, сингулярно возмущенные точка образует в слоо свнгуллрно зозмупениого поля направлений чисто сдно-порноэ :шоаество. Пра этан общая сингулярно возмущенная точка зю явллотся супостаопно особо!! точкой секоЭства.

конструкция раэрсманяя особенностей, описанная в диссертация пороавзет нопыа сянгулярно возмущенные поля шпрашшнаЗ. Л аиаипо, пра раэдутяа сэчоннп, заданного в тотальном пространство сем<э?3ства полой направлений, множество сингулярно всзиущап-ных точек раздутого семейства полой направлений нояот цолвкон содержать проэктзоныо прямые, вклеенные в слоя, лежащие над но-нотсрыи аналитическим подмножеством базы коразмерности ныше 1.

Таких образом, результаты, нзлояош&ю во второй глаза дис-сартацзй, рсжапт первую задачу программы, сформулированной в статьла 2) я 3).

Кромо того, данные результаты показиз&ат, что эту программу необходимо пополнить сцо одням качественно новым пунктом:

Исследование сингулярных заэиутхепий в рассматриваемом классе sexсхзрныя na.i'il, с какяе возникавших при разрешении особенностей в сгмеОсязах дачного класса.

Автор глубоко признателен своему руководителе) Б.С.Кльяшонхо аа постоянной внегшнхг к многочисленные обсуждения в процессе работы над дмссар^ацкоС.

Список работ автора но теме диссертация.

31. РпсходЕкоеть рядов Дшшка // Катек, сйсрншг, 1920, тЛЗ^» С. 37-50.

32. Разраиендо особенностей с семействам ьнаийгчсск::;;: диффэрэкцнаяыг.ьо; ураскекаЗ // Рукопксь Дгпаияроиаип г ЕШШТЕ 2i.07.C3, «4160-030.