Распространение упругих волн в матричных композитных материалах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОВЕДЕНИЯ

на правах рукописи УДК 539. 3

ЛЕВИН Валерий Михайлович

РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛН В МАТРИЧНЫХ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛАХ

. Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

С. -Петербург 1932

Работа выполнена в Петрозаводском государственном университете

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Э.Л.АЭРО

доктор физико-математических наук, профессор А.А.ВАКУЛЕНКО

доктор физико-математических наук, профессор В.А.ПАЛЬМОВ

Ведущая организация - Институт физики земли им. О.Ю.Шмидта

на заседании специал и-

туте проблем машиноведения Российской академии наук по адресу: 199178, г. С.-Петербург, В.О. Большой пр. 61.

С диссертацией можно ознакомиться в научной биолиотеке ИШаш РАН.

О'^зив на автореферат, заверении!1 печатью, в одном экземпляре просим направить в адрес специализированного совета при Инспзту-те проблем машиноведения РАН: 199178, г. С.-Петербург, В.О. Большой пр., 61.

Российской академии наук

Защита состоится

Автореферат разослан

Учений секретарь специализированного совета

кандидат химических наук

В.П.ГЛИ1ЙН

ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Одним из интенсивно развивающихся в последние десятилетия направлений механики твердого деформируемого тела является теория микронесцнородных и композитных сред. К таким средам относятся многие современные конструкционные материалы: стекло-и углепластики, металлы, армированные жестким* частицами или волокнами, полимерные и металлические смеси, неоднородные керамикч и многие другие. Композитные материалы находят все более 1„лрокое применение в технике. Этим объясняется неослабевающий интерес к исследованию механических свсйств таких материалов и, в частности, влиянию их микроструктуры на весь спектр этих свойств.

Среди разнообразных композитных материалов важный класс составля ют так называемые матричлые композиты, состоящие из односвязно!4 однородной компонелтн (матрицы), в которой однородно распределено множество частиц наполнителя (включений). В качестве матрицы (связующего) применяются обычно металлы, полимеры или керамики. Наполнителем в таких материалах могут служить частицы различной природы и формы (песок, полые стекляньые шарики или волокна, тонкие металлические или углеродные чешуйки, высокопрочные карбидные "усы" и др.). Наиболее широкое применение е технике ьаходят композиты с металлической или полимерной матрицей, армированной непрерывными стеклянными, углеродными, боровыми, металлическими или полимерными волокнами. Одной из актуальных задач механики таких материалов является описание процесса распространения упругих волн в матричных композитах, который сопровождается рядом специфических эффектов: зависимостью скорости распространения волн от частоты (дисперсия) и затуханием вследствие рассеяния на не.однородное;ях.

Существенно что структура реальных композитных материалов,как правило, является стохастической, причем случайными могут быть как форма и размеры включений, так, и распределение их в пространстве. Поля смещений, деформаций и напряжений в таком материале при динамическом воздействии такжз являются случайными. Одной из вшкных задач механики композитов является определение средних значений (математических ожиданий) этих полей при детерминированных внешних воздействиях (задача осреднения). Решение этой задачи позволяет построить осредненное уравнение движения (эффективный волновой оператор) , описывающее распространение упругих колебаний в некоторой однородной среде, эквивалентной исходному композитному материалу. ГТе-

реход к такой среде оправдан, если размеры включений и расстояния между ними существенно меньше размеров конструкции. При этом для определения средних волновых полей в конструкциях из композитов можно использовать хорошо разработанные методы механики однородных сред.

Как известно, задача построения статистических моментов случайных полей в стохастически неоднородной среде в силу своей статистической нелинейности, кроме некоторых частных случаев, не может быть решена точно. Поэтому для решения этой задачи в замкнутом виде приходится вводить те или иные гипотезы и упрощающие предположения. К настоящему времени опубликовано большое число статей, посвященных приближенному решению проблемы осреднения при распространении волн в микронеодгсродных средах. Однгко, по-прежне: у, актуальной остается задача описания зависимости эффективных динамических характеристик таких сред от формы частиц наполнителя, их физических свойств и особенностей распределения в пространстве. Интерес к этой задаче в последнее время еще более возрос в связи с усовершенствованием ультразвуковой измерительной техники и появлением новых неразрушающих методов контроля качества материалов и изделий. Успешное применение этих методов требует теоретических представлений о механизмах рассеяния упругих волн на неоднороднос-тях и их количественной оценки, позволяющих по результатам измерения рассеянных волн судить о деталях микроструктуры материала (обратная задача рассеяния). В настоящее время эта задача решена лишь в случае малых флуктуаций свойств микронеодяородной среды (борцовское приближение). Для сред с произвольной флуктуацией сг.ойств ("контрастные" включения) приближенные методы решения этой задачи разработаны лишь для специальных типов случайных множеств неодно-родностей (гауссовские случайные множества).

Следует отметить, что наличие микроструктуры приводит к нелокальное""! срязи между осредненными физическими полями в композите. Учет нелокальностн необходим при описании эффектов дисперсии волн в композитных материалах, а так^е при рассмотрении закономерностей декодирования в областях сильного изменения внешних (макроскопических) полей. Методы описания э^'бктов нелокальности в стохастических композитах развиты в настоящее время недостаточно и их дальнейшая разработка является весьма актуальной.

Наконец, истинные напряжения п композитах (микронапряжения),

значительно отличаясь от средних, могут служить основной причиной накопления повреждений в таких материалах и начала процесса разрушения. Ноэтсму количественная оценка микронапряжений также является актуальной задачей.

Цель работы. Основной целью диссертационного исследования является решение задачи осреднения для матричных композитных материалов с различным типами включений другого компонента при заданном законе их распределения в объеме матрицы. Среди возможных типов наполни /елей можно выделить следующие, преде.авляющие нтиоольший интерес для приложений. Это квазисферические частицы, топкие жесткие диски (чешуйки}, жесткие короткие (по сравнению с размерами тела) волокна, непрерывные цилиндрические однонаправленные волокна. Для задач механики разрушения у геомеханики интерес представляют среды, содержащие случайное множество тонких податливых ("сухих"или зьлол-ненных жидкостью) включений и трепля. Решение задачи осреднения для указанных материалов з .ключается в построении эффективного волнового оператора, описывающего распространение волн в некоторой однородной среде, отклик которой на динамическое воздействие в некотором смысле эквивалентен отклику исходного композитного материала.

Задачи исследования. Основная трудность построения осредненного волнового уравнения связана с учето»" взаимодействия (эффектов многократного рассеяния) множества случайно расположенных включений, йдя решения этой задачи в диссертации используется новая модификация метода элективного (самосогласованного) поля. Предложенная самосогласованная схема позволяет приближенно описать такое взаимо-1ействие, сводя эт., проблему к решению одночастичных задач. Это определило план диссертационного исследования. Его первая часть пос-)ящена решению задачи о дифракции упругих волн на изолированном жлючешт в неограниченной однородной среде в длинноволновом приб-гижении. (Исключение составляет глава П, в которой возможности ме-•ода эффективного поля демонстрируются при решении сравнительно гростой с точки зрения математической постановки задачи о распро-транении акустических волн в матричных композитах). Круг одночас-ичннх задач определяется упомянутыми выше ти;.ами армирую-мх эле-ентов для композитных материалов.

Во второй части диссертации рассматривается распространение ут.-угих волн в матричных композитах, содержащих наполнители разлпч-ого типа. Для решения задачи осреднения используется новый вари-

ант метода эффективного поля. В начале этот метод применяется для построения эффективного волнового оператора для анизотропной среды со случайным множеством эллипсоидальных неоднородностей. При этом учитываются нелокальные свойства такой среды в длинноволновом приближении. Затем аналогичная задача решается для других типов, включений. Для случая изотропной матрицы, содержащей случайное множество сферических включений, а также сухих или заполненных жидкостью трещин, полученные явные выражения для скоростей упругих волн сравниваются с имеющимися в литературе экспериментальными данными и хорошо согласуются с ними.

В заключение определяется длинноголновый (статический) предел коэффициента концентрации напряжений на эллипсоидальны-: включениях в композитных материал^.: с учетом взаимодействия включений.

Новизна работы. В диссертации классическая задача о распространении акустических волн в матричных композитах обобщена на случай анизотропных сред, содержащих случайное множество эллипсоидальных включенгЧ. При этом не только плотность среды, но и ее сжимаемость считаются случайными функциями координат. При построении эффективного волнового оператора, описывающего распространение акустических волн в микронеоднородной среде, применен новый вариант метода эффективного поля. Предложен путь уточнения полученных результатов с помощью учета парных взаимодействий между включениями.

В диссертации разработан ряд новых методов решения задачи о дифракции упругих волн на включениях различных форм в длинноволновом приближении. При рассмотрении такой задачи для среды, содержащей тонкое податливое или жесткое включения, разработан новый метод построения главных члечов асимптотического разложения решения в ряды по малым параметрам. Построение этих членов сведено в работе к решению системы интегральных уравнений на срединной поверхности тонких включений. Для податливых и жестких включений эт.» уравнения существенно различаются.

В работе предложен новый метод построения главных членов асимптотического разложения волновых »юлей в однородной среде с включением и виде осесимыетричного короткого жесткого волокна. Задача пост;оьния этих членов сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Д'я волокон в форме прямолинейного цилиндра, вытянутого сфероида и двойного конуса решение это/ задачи получено в лвном виде.

В длинноволновом приближении решена задача о дифракции упругих волн на непрерывном цилиндрическом волокне с круговой Нормой поперечного сечения при ориентации волновой нормали падающей волны под произвольным углом к оси волокна.

Доказан аналог "оптической теоремы" для упругих колебаний, с помощью которой получены явные выражения для длинноволнового предела полных сечений рассеяния включений различных форм.

Во второй части диссертации разработана новая модификация метода элективного поля. С помощью этого метода решена задача осреднения для матричных композитов, содержащих случайное множество включений упомянутых выше типов. Построен эффективный волновой оператор, позволяющий получить явные выражения для скоростей распространения различных типов волн и их коэффициентов затухания вследствие рассеяния на неоднородностях. Показано, что этот оператор имеет нелокальный характер. При этом учитываются особенности пространственного распределения включений в объеме матрицы. Получено выражение для длинноволнового предела тензорного коэффициента концентрации напряжений на включениях в матричных композитных материалах.

Научная и практическая значимость. Научная значимость диссертации связана с созданием новых методов решения задач динамической теории упругости стохастически микронеоднородных сред. В частности, в работе предложен рациональный подход к решению задачи о дифракции длинных упругих волн на эллипсоидальном включении-в анизотропной однородной среде, предложены методы асимптотического построения решения этой задачи для тонких включений, жестких коротких и непрерывных цилиндрических волокон. Разработан метод решения стохастических динамических зада*: для матричных композитных материалов на основе оригинальной самосогласованной схемы.

Практическая значимость результатов диссертации связана с возможностью прогнозирования макроскопических характеристик распространения упругих волн (эффективных скоростей и коэффициентов затухания) в матричных композитных материалах в зависимости от йормы армирующих включений, их свойств и особенностей распределения в пространстве. Эти характеристики получены ватлитической форме, что облегчает выполнение практических расчетов. Результаты работы являются, кроме того, теоретической основой решения обратно!: задачи рассеяния (определение свойств и геометрических характеристик составляющих в композите по данным измерения рассеянных волн),важ-

ной для приложений в геомеханике и методах динамической спектроскопии.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на У (1983 г.), У1 (1980 г.1 и У11 (1990 г.1» Всесоюзных конференциях по механике композитных материалов (г. Рига), на 3-м Национальном Конгрессе по теоретической и прикладной механике (1977 г.,г. Варна, Болгария), на У1 Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (198С г., г. Ташкент), на коллоквиуме Евромех-278 (1991 г., г. Шумен, Болгария), на ХУШ-ом Международном Конгрессе по теоретической и-прикладной механике (1992 г., г. Хайфа, Израиль).

Публикации. Но общей теории композитных материалов опубликовано свыше 30 работ. Список 18 основных работ по теме диссертации приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из Введения, 6-и глав, Заключения, списка литературы из 182 наименований и двух Приложений. Содержит 7 рисунков, общий объем диссертации 325 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, отмечается значительный интерес к композитным материалам в различных областях техники, сформулирована цель работы, приведено краткое содержание всех ее глав, указаны положения, которые выносятся на защиту.

В первой главе рассматривается постяновка основных задач динамической теории упругости для стохастически неоднородных сплошных сред. Дан литературный обзор различных методов решения этих задач в случае матричных композитных материалов регулярной и случайной структур. Сформулирован круг задач, которые рассматриваются в дчссертации.

Во второй главе методом эффективного поля решается задача осреднения для скалярного волнового уравнения, описывающего стационарный волновой процесс в акустическом матричном композитном материале, содержащем случайное множество эллипсоидальных включений. Поскольку в основе этого метода лежит решение одночастичной задачи, сначала в длинноволновом приближении решается задача дифракции акустических волн на одном включении в неограниченной анизотропной среде. Пусть в такой среде с физическими характеристиками С^ и р имеется односвязная область У (включение) с другими свойствами С и . Если в среде с неоднородностью реализуется стационар-

ный волновой процесс с частотой ад , то волновое поле щх) в произвольной точке л Сх1>ха' среды удовлетворяет уравнению

(I)

■а

в котором следует положить

где УТ*) - характеристическая функция области Т .

Задачу определения поля ЦС*.) целесообрагчо свести к интегральному уравнению, более удобному, чем исходное дифференциальное для построения приближенных и численных решений. Представим для этой цели поле иСх) и оператор L в (I) в виде

им - и°(х) L-C+

{ i (3)

Здесь и°(х) -"падающее" внешнее поле - решение уравнения Отсюда и из (I) следует уравнение для l/V*0 - возмущения, связанного с наличием неоднородности

(4)

Действуя на обе части (4) оператором, обратным оператору ¿Г , приходим к уравнению для поля uf*}- ис(х)т и* С*)

. U Ос) = UCx) +J[£ хО С^з 5g Cx'J -ьр^Ъ-хОиС*')]^' (5)

Здесь ^ и(Ц) - градиент поля иЫ , уравнение .¿ля кото-

рого является следствием уравнения (5)

Ядра интегральных операторов в этих уравнениях выражаются через функцию Грина дОд оператора , явное выражение для которой при произвольной анизотропиг матрицы имеет вид

АЛЗ - - -

Уравнения (5) и (6) являются по существу уравнениями относительно полей UС*) и <^(=0 внутри области V , по которым поля вне V восстанавливаются однозначно. При приближенном решении этих уравнений поле ^С*) удобно рассматривать как независимую функцию. В ре-зулыате приходим к следующей системе двух интегральных уравнений, которые запишем е следующей символической форме

и = vg +

. ? (8) е -£%+/сеув -»■ л" v<?u

Ядра интегральных операторов в этих уравнениях сосредоточены в области V" , занятой включением. Если длина волны падающего поля Л существенно больше максимального геометрического размера включения, то функцию Глина (7) можно разложить в ряд по степеням Lúlxl/v(n)t Сь-(п) = (j>С~'р Л п^, , ограничившись

лишь первыми членами этого разложения в вещественной и мнимой частях этой Функции

j(x) - + íag, - Сп) - ity/n), (д)

В написанном выражении и далеэ 6J можно считать формально малым параметром и строить решение системы (в) в виде разложения по этому параметру

и ¿fafu^te, £[х) .¿0ео)к&(%) (Ю>

Подстановка этих выражений в уравнения (8) приводит к следующей системе интегральных уравнений относительно коэффициентов представления (10)

и®-О,

а

к(*с4в.сик5с^с1>

(II)

где обозначено

,/У „ „(У, > , л,. пС0,

(12)

В длинноволновом приближении изменением внешних полей и* и <£° в области У можно пренебречь. В этом случае для неоднородности эллипсоидальной формы система уравнений (II) может быть решена точно. Ее решение начинается с четвертого из уравнений системы (II). 3 силу полиномиальной консервативности оператора кэ для эллипсоидальной области при постоянном в V внешнем ноле поле £®£0 (ке V) также постоянно и определяется выражением

е;. - Сь' +РАе'Л-' (13)

з котором кслганеиты постоянного тензора Р внражчотся через ;тандартные эллиптические интеграла. После эт^го находится функция и(с* - линейная фикция координат. Переходя далее ч решении пятого 13 уравнений (II) относителшо функции ъУЗ , ко.-хло показать,

ет.) его прапая часть является квадратичной функцией координат. В :и.1у помянутого свойства оператора к" функция £^£4) такке

квадратична, причем коэффициенты этой зависимости выражаются через уже известные величины. Аналогиям могут быть решены и другие уравнения системы (II). Окончательный результат предстагпяется в виде

- сф и(Х) + ¿^ (х, а)

(14)

с5 с«з + \ Сх,и>)иСх):

eCx.cS) шЧ% + [_> бг.ч)- ¿0)(х) 4 6+ ¡¿¿1%).

Ы * «

где для входяпг'х в эти формулы тензорных коэффициентов при степенях со , компоненты которых - полиномы степени не выше третьей, в работе получены явные выражения.

Далее во второй главе рассматривается неограниченная акустическая среда, содержащая однородное в пространстве случайное множество включений. В случае гармонических колебаний с частотгЧ со волновое поле и'*.) удовлетворяет уравнению, аналогичному (5)

и С*) - х')и(х>)]у&)<1Х'(15)

Зчесь - характеристическая функция области V"» и Ун , заня-

той включениями, - область, занятая к -нм включением.

Для решения задачи осреднения в диссертации предложена самосогласованная схема, суть которой заключается в следующем. Выделим включение с номером 1с из типичной реализации их случайного множества. Введем для этого включения локальные внешние . оля и* и

г.* г

• ®ти пшш определены в и складываются из внешних полей ии ^ЗД и полей возмущений от всех остальных включений, кроме выделенного. Обозначим через и*(х) и <2аСч) поля, определенные в V и совпадающие с и* (х) и (ж) при хс . Как следует и? (15), поле ц*(х) определяется соотношением

ц (к) = иХ*)+ +/1Ы£Сх-х0и&<)]г(х>х<)с1х'(1е)

где чер^з обозначена характеристическая функция области,

определенной следующим образом: У - ¿УРГ при х £ V .

х ик I к

Предположим теперь, что поля и*&) и имеют одинаковую

структуру в любой из областей, занятых включениями (гипотеза ¡^метода эффективного поля!. В частности, если считать, что эти поля постоянны в каждой из областей (но могут быть различными для разных включений!, то волновые поля во включениях и(х) и £(*)(хбу) выражаются через локальные внешние поля с помощью тех же соотношений (14), которые получены при решении одночастичной задачи

и(х) - 1Ы,со)и'(х) + (х,и)в ф, е + (17)

Подстановка этих выражений в правую часть уравнения (16) приводит к самосогласованному уравнению для локального внешнего поля ц"(Ц) (зависимость функций от со здесь и далее подразумевается, но для краткости опущена)

ц\х)-иХ*> +Х'К(х,) + Х'} х°ёх • (18)

- ^ д(х- х') С1 Л^С-О +

Так как положение центров и ориентация включений случайны, то поля ц*(х) и - случайные функции координат, /равнение (18) является отправным для построения статистических моментов этих функций. Обозначим символом С/^'/*//^) х,тУ среднее значение случайной функции /(*) при условии, что точки а}, •*!<>• м3^ находятся во включениях. Отметим, что в работе используется осреднение по ансамблю реализаций случайного множества включений в композите. Предположим далее, что значения случайных функций и не зависят от свойств и геометрических характеристик включения, в котором находится точка -с (гипотеза Нг метода эффективного поля). Эсреднение затем уравнения (Г8) при условии хеУ дает

1/(х) = и'С*) + ([<г,0<,*0Г(х;хОХе^х')/*', *> +

4 </Г*, х'Жх;х'))(цХх')1х', V (-<;1 -<иХ*)/х>

Заметим, что условные средние под знаком интеграла в правой час-

П

ти (19) отличаются от среднего <•/*>• . Получить выражение для величины <и*£*0/*г,=с(> можно вновь с помощью уравнения (18), осреднив его при условии аг^луеУ . При этом его правая часть оказывается зависящей от более сложных условных средних. Повторение указанной операции приводит к бесконечной цепочке связанных статистических уравнений относительно условных средних все более сложной структуры. Поэтому возникает обычная в задачах такого рода проблема замыкания, которую можно решить лишь приближенно. Одну из простейших возможностей замыкания уже на первом шаге предоставляет так называемая "квазикристаллическая аппроксимация" (№.Лаке), в силу которой указанные условные средние совпадают

<Ц*Ы1х>=УХ*), /*,*■'>-(20)

С учетом этих равенств соотношение (19) принимает ви*

иЪс) - иХ*)+//<£6с,*'Ж*;^> + х'ХЛ^с!*' <21)

При некоторых предположениях относительно структуры случайного множества включений это уравнение преобразуется в уравнение типа свертки

+ "У/, ЧгСх.#)иЬлс/*: ж*-*!)-

Здесь /?_ - числовая концентрация включений, черты; сверху обозначено осреднение по объему V включения, а средние <1г(?'-Л!> и вычисляются по ансамблевым распределениям случайных величин

гге'Л и .

Функции и (*) и <£и будем называть эффективными волновыми нолями.' рйпнепие (22) позволяет выразить эффективное поле через падающее с/'С*) . Однако для дальнейшего удобно выразить поле II0е) через среднее волновое поле У(х)=(и(х))> в среде с неоднородностя-ми. Ллл это!! цели выражения (17) следует подставить в правую часть уравнения (.15) и оореднить результат по аноамг'ию реализаций случайного ммохествп включений. Результат имеет вид

Исключение внешнего поля Ц°С*) из уравнений (22) и (231 приводит к уравнению, связывающему величины , V Сх) и £ (х)

УЫ = УС*) - Л.<£[*)№-

Г (24)

, Ф& = 1- Ш*)

Преобразование Фурье превращает это уравнение в алгебраическое относительно фурье образов эффективных пол~й V (?0 и <о, -я)

'и(к), иск) по 6(к)[¿кы<^Лу &(к) -р^ЪъЩ (251

С (к) = ф(х)ехр(1к- х)^

где /с - векторный параметр преобразования Фурье. Заметим, что в правую часть уравнения (25^ входит величина <о^Ск)• которая не равна -¡к V (к) , поскольку операции дифференцирования и условного осреднения для функции и Сх) не перестановочны. Следовательно, для определения двух независимых Функций V (к) и <£ (к) требуется еще одно уравнение. Его можно получить с помощью описанной процедуры, исходя из уравнения (15), продифференцированного по координатам

(к)-<§ы(к) + л.бОфк^е'^^<ё*(к)+& $соЫ>уЩ] <26>

Для статистически изотропных множеств включений гладкая функция, быстро стремящаяся к нулю вне области с линейным размером ¿ (радиусом корреляции) порядка среднего пасстояния между центрами неоднородности. Так как в длинноволновом приближении к(« Л . то функцию е ' можно аппрокси;.лровать отрезком ряда

¡к-¡с . ,

е * 1+ (27)

Поело вычисления коэфф/цчентов в уравнениях (251 ч (26) с учетом :9) и (27) фурье-образы эффективных полей 1/Ск) и (к) выражаются ¡ерез к -представления средних полей п композите Результат подставляется затеи в правую часть уравнения (23), в котором предва-затально следует перейти к преобразованию Фурье. Действие после 1Того на обе стороны полуи иного равенства оператора /^-УСУ-у"1

приводит к следующему уравнению, которому удовлетворяет фурге-об-раз среднего волнового поля 1/Ск)

ССк,и>)Щк)=0, £(к,о>)=-& (28)

Очевидно, что оператор 1л представляет собой эффективный волновой оператор для акустической композитно;, среды. Входящие в него функции и определяются выражениями

* ^ " " (29)

С0а/'* ку+

В этих форм; лах коэффициенты при степенях к и « - постоянные величины, зависящие от свойств матрицы и включений, а также от геометрии и деталей пространственного распределения последних. Явные выражения для этих величин выписаны в работе.

Переход в (28) к а; -представлению имеет вид

-о, /сс!

(30)'

Это выражение ло виду совпадает с золновым оператором для однородной средк, однако С - не постоянный тензор, а оператор, который . ак же, как и инерционная характеристика параметрически зависит от частоты £0 . Как следует из (29), эти величины представляются в виде суммы функции от сс> и дифференциального оператора второго порядка. Таким образом, эквивалентная среда, свойства которой описываются оператором ¿Г , обладает пространственной и частотной (временной) дисперсией. Скорость распространения акустической вол1п в эквивалентной среде определяется действи1: ельными частями величин С и р* , а наличие в них мнимых составляющих означает, что распространяющаяся волна будет затухать вследствие некогерентного рассеяния на неоднородкютях. В работе эти эффекты иссле-дуютст подробно для среды с изотропной матрицей , со-

дерлщей случайное мно^ство сферических включений радиуса Р . Анализ полученных явных выражений для скорости распространения акустической полни и ее коэффициента затухания показывает, что скорость <л.:тмител|>но ка.:о заьисгт от деталей микроструктуры комггозит-

ного материала. Напротив, коэффициент затухания, выражение для которого имеет вид

г 2т _ г 1-П.З Г$> л2 „«/diW со * (?, « С

Г С 7-/ / (3D

где - числовая, ар- объемная концентрации включений, оказывается значительно более чувствительным к выбору функци., ^fc) , характеризующей особенности пространственного распределения включений.

Если центры включений находятся в узлах регулярной пространственной решетки, то функция фСх) является периодической с нулевым средним значением на ячейке периодичности, за исключением ячей"и с центром в нуле, где она равна единице. Поэтому интеграл ¿Г в (31) равен объему этой ячейки, т.е.о?»^ . Отсюда следует, что множитель 1- п. iJ в (31) равен нулю. Ято соответствует известному с*ак-ту отсутствия затухания длинных волн на периодической решетке неод-нородностей.

В заключение гла^ы П замыкание цепочки статистических уравнений относительно условных средних осуществляется на втором шаге. Это позволяет вкразить условные средние -\U*(x)jx: arf). n<dj(3c)/-:, агД характеризующие парные взаимодействия между включениями, через эффективные поля

и <$.(х). Послетгующая подстановка полученных зависимостей в правую часть уравнения (19) дает возможность вычислить поля Ъ fa) и d> (Ц), которые используются затем при выводе уточненных формул для величин С' и р* в эффективном вслговом операторе. Полученные уточненные выражения анализируются д.чя простейшего случая изотропной среды.

В третьей главе в длинноволновом приближении решается задача о рассеянии упругих волн на изолированном включении в неограниченной однородной в общем случае анизотропной среде с тензором упругих модулей С^ру, и плотностью р . Если в среде с неоднородностью, занимающей односвязную область V с упругими хпрактеркстигзми Qp^ •¡•С^^л плотностью p+fi , распространяются гармочпческие колебания с частотой СО , то плитуды полей смещений U (х) и деформаций в произвольной точке sc среды удовлетворяют следующим интегральным уравнения:.-

= ^ V30-

У^ - + С*-Х° ^(33)

+А К/г ^- ЪСх)

Здесь - тензор Грина волнового оператора для основной

среды, полученное в работе явное выражение для которого представи-мо в форме

где ЛЧ'Эс/г , интегралы берутся по поверхности единичной сферы , £ - вектор на этой сфере. В длинноволновом приближении ограничимся лишь главными членами разложения тензора в ряд по степеням со . При этом главным членом в его действительной части будем считать "статический" тензор

Грина ^^С*)» а в мнимой части сохраним члены до сс3 включительно

. (35)

В соответствии с этим разложением решение уравнений (32) к (331 ищется в виде

и^Ы-цЦоЭ+^С*), + (36)

Подстановка этих выражений в (32) и (33) приводит к следующей системе интегральных уравнений для действительных и мнимых частей функций ^(■х) и 6

= чг« •

К/*)* К/^+М^-^^^У^' (37)

Для включений эллипсоидальной формы система уравнений (37) может быть решена точно и это решение имеет вид

Л^- . V V •

где гГ - объем эллипсоида. Эти соотношения связывают поля смещений и деформаций внутри неоднородности с пэдаадим внесшим полем.

Полученные формулы для эллипсоида позволяют рассматривать случаи предельных его фор!., (сплющенные и вытянутые сфероиды). Однако с точки зрения некоторых приложений удобнее использовать специальные уравнения для тонких включений и коротких осесимметричнкх волокон. Поэтому далее рассматривается задача о дифракции упругах волн на включении, один из характерных размеров которого много меньше двух других (тонкое включение). Основной интерес для механики композитов представляют гонкие включения, модули упругости и плотность которых существенно отличаются от соответствующих характеристик основной среды. Пусть сначала материал включения существенно более податливый, чем основная среда, а их плотности - вели"1»;:и одного порядка. При этом решение задачи о дифракции длинних волн на таком включении зависит от д.^ух малых параметров: отношения характерных размеров включения и отношения характерных модулей угругости включения и матрицы ( С?'» ££ С? С?-0(е) ). При описании вол-

новых полой в окрестности податливого (трещиноподобного) включения ■целесообразно ограничиться главными членами разложения этих полей г ряды по калим параметрам <5} и • Задача построения этих членов решается на основе интегральных уравнений (32) и (33). В работе вокагано, что главные члены асимптотики по <?г и поля смещений вне тонкого трещиноподобного дефекта имеют вид

и/*]- (38>

Здесь ^ - срединная поверхность включения с нормалью Л(*) , а вектор ¿ (*) представляется в виде суммы действительной и мнимой

т

частей

А Ф *= Ь С*)

г

и>

(40)

в которой функции и являются решениями следующей си-

стемы интегральных уравнений

(х, х<) (х) С^ е^),

^ с*. *') ¿^м^,

Т*Сх, ОС') = - ПСх) с[к\х- хо е - 5Сх-хф&0,

Здесь кС*) - поперечпй размер включения вдоль нормали п. к поверхности в точке ас . При в^о система (41) переходит в уравнения для трещины в однородной упругой среде (разрезу по поверхности ¿2, ).

Пусть теперь жесткость и плотность включения существенно больше соответствующих характеристик основной среды ( СС^'с-ОС^), В работе показано, что главные члены ссимптотики по параметрам ^ ,

и волнового поля в среде вне тонкого жесткого включения представляются в форме

/Сх-' (42) & Г ' 2 где^^О- тензор, принадлежащий срединной поверхности включения О, ,'то есть

(43)

Плотности потенциалов 9^/*.) и ^(г) в правой части формулы (43) также представляются в виде'суммы действительных и мнимых частей

Ц Ю - 7^3 >-> +¡«^М, = гт'Сх) * ¿и\а(х) £44)

в которых тензоры Я^С*) и 9?« £*) удовлетворяют системе интегральных уравнений / '

уь^р* +к/г ^

у (ос) = А'Ьо 0(х)з'&(х\ Сс'У'

& й

а векторы ¿р б*:) и *и\ (х) определяются следующим образом 0<

¿г%) = кщ !ГЪд = А¡¿Г*(ХШ (46)

В общем случае системы уравнений (41) и (45; могут быть решены лишь численно. Однако для включений эллипсоидальной формы и постоянных в области внешних полях их решения могут быть найдены в аналитической форме. Эти решения получены в работе.

Далее в главе Ш решается задача о рассеянии упругих волн на коротком (по сравнению с длиной падающей волны) -естком осесимметрич-ном волокне. Решение этой задачи такяе зависит от двух малых параметров: отношения характерного диаметра волокна к его длине и отношения модулей упругости среды и волокна (£2) (г-лотности среды и включения считаются величинами одного порядка). Дм использования в дальнейшем в самгсогласованной схеме основной интерес представляют главные члены разложения волнового поля в окрестности такого включения в ряд по указанным калым параметрам. Задача построения этих членов реаается с помощью асимптотического анализа интегральных уравнений (32) и (33).

В рьботе показано, что единстве шой неизвестной задачи является • тэнзор деформации ¿^С*) внутри включения или тензор , связанней с. (х) соотношением £*)** Главный член асимптотики по и ^ функции "2* ¿у предстатишется в виде суммы медленно изменяющейся вдоль оси стержня составляющей и функций типа пограничного слоя, локализованных в малых окрестностях концов волок-

на или ребер на его внешней поверхности. Пусть г - координата вдоль оси волокна Г , длина которого 21 . Функцию рСг) - радиус поперечного сечения волокна - можю представить в виде

Г-7". С-(47)

где УСО - функция формы включения. и

Функция является комплексной

В работе показано, что действительная и мнимая части этого тензора допускают оценки

^ со - + оЬ), г^) - осе;'),

(48)

где /и - орт оси Г , а скалярные функции (£) и ^(Ю Удовлетворяют следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений

1491

где = ^ар^^^р' 1 ~ скорости распространения

поперечных и продольных волн в изотропной основной среде, £' - модуль Юнга волокна.

Произвольные постоянные в общем решен*™ диадеренциальных уравнений (49) определяются в работе из условия гинимизации невязки с правой частью уравнения (33) при подстановке в его правую часть функций М - + ¡а^С^тр, где и Т^СЪ являются

решениям уравнений (49), а тензор Грина^¡рСх) представляется своим длинноволновым разложением (35). Для цилиндрического волокна (&$■"•() такая процедура приводит к следующим условиям для определения произвольных постоянных в общем решении уравнений (49)

г'С*0-0, (50)

Решение уравнений (49) получено в главе Ш также для волокон эллипсоидальной формы <гО и в форме двойного конуса О®* 1-1*0

Приведем эти решения, полученные при условии постоянства внешнего поля на отрезке [-1,1]

г (О-[¿(О + (51)

1) цилиндр

Ли-/- щ., Ли - ^

2) эллипсоид

л~ 2 + ё^'ЩгТрёп^

3) двойной конус ,1

Гт < хтэ'г *^т*; АУГ)

Для цилиндрического и веретенообразного волокна эти выражения должны быть дополнены функциями типа пограничного слоя, локализованными в окрестностях концов волокна или ребер на его внешней поверхности (изломов функции /■(£) ). Эти добавки существенны при анализе детальной картины распределения упругих полей в окрестности включения. Однако в схеме эффективного поля фигурируют лишь интег-ралыше характеристики упругих полей внутри волокна, в которые функции типа пограничного слоя вносят пренебрежимо малый вклад.

Далее в главе Ш решается задача о дифракции упругих волн на непрерывном круговом цилиндрическом волокне в изотропной среде. В системе координат с осью аг^ , совпадающей с осью волокна, уравнение (32) может быть представлено в виде

с'

„Г г 5 / х

-ю 5 1 ^

где 5 - сечение цилиндра плоскостью х^

Преобразование Фурье по координате х переводит эго уравнение

в следующее

ч/^ - ч; & *

где тА - орт оси .

Если длина волны падающего поля Л существенно больше радиуса волокна О , при решении уравнения (53) относительно фурье-образов полей смещений и деформаций внутри включения можно учитывать лишь главные члены разложения решения в асимптотические ряды по малому параметру задачи . Результат асимптотического анализа уравнения (53) имеет вид

Входящие в эти соотношения тензорные коэффициенты являются комплексными функциями частоты и параметра преобразования Фурье . Явные выражения для компонентов этих тензоров, зависящих от упругих свойств матрицы и волокна, получены в работе. Отметим, что зависимость от ш учтена и в действительных частях этих величин. Это позволяет в методе эффективного поля описать особенности дисперсии упругих волн в средах, армированных однонаправленными непрерывны!.™ волокнами, которая может быть существенной и в длинноволновом приближении.

В заключение главы Ш доказывается аналог "оптической теоремы" для упругих колебании, определяющей полные сечения рассеяния упругих волн с волновым числом ^ и волновой нормалью я" в изотропной среде с неоднородностью, занимающей область V . В соответствии с этой теоремой полные сечения рассеяния продольных и поперечных ьолн определяются выражениями

- 1Г 1т[гГ- А0Г)1' ^/^уГ ^[с-Ш)] (55)

н которых обозначено

Л/") - иып), Ва0>) - (рп)

№-ф^ > '56> О-ч/З, , «/у; ,

е - единичный вектор поляризации поперечных волн.

С помощью приведенных формул определяются длинноволновые (рэле-евские1 пределы полных сечений рассеяния упругих волн для включений упомянутых выше форм.

Главы ТУ и У посвящены решению задачи осреднения для среды, содержащей однородное случайное множество включений. Для решения этой задачи используется модифицированный вариант метода эффективного поля, суть которого уже изложена выше (глава Щ. Опуская аналогичные детали, пригедем окончательное выражение для эффективного волнового оператора композитной среды, содержащей случайное множество эллипсоидальных включений

Здесь обозначено

с*- е - ¿<сеф- (V* у)]<е*>, с5- е+ <с*>,

' ' (58)

<с£ис">--3<с*>м<сК>, ^-/фс^х,

Тагам образом, эквивалентная среда, волновой процесс в которой описывается оператором Ь , обладает слабой пространственной дис-. ьерсией. В случае изотропной матрицы, наполнителем в которой служит случайное множество изотропных сфер, построена и исследована функция Грина оператора I, . Эта функция описывает распространение двух типов волн от точечного источника в эквивалентной среде. Первый из них представляет собой продольную и поперечную затухающие волны с коэффициентами затухания, пропорциональными ¿0* . Волны вто-

poro типа затухают значительно быстрее, чем первого (их затухание происходит на расстояниях порядка радиуса корреляции ¿ ). В работе получены явные выражения для скоростей распространения и коэффициентов затухания упругих волн в рассмотренном композите, обсуждается область применимости этих формул.

Результаты вычислений по формулам для скоростей упругих волн сравниваются с экспериментальными данными (Г.Кустер и М.Токзец) и хорошо согласуются с ними. К сожалению, данные измерения коэффициентов затухания практически отсутствуют в литературе. Поэтому детально проанализировать область применимости формул для этих коэффициентов не представляется возможным. Однако можно утверждать, что при малой концентрации включений эти сЬормулы становятся точными, а для регулярных структур приводят к правильным результатам - отсутствию затухания длинных волн вследствие когерентного рассеяния.

Затем в главе 1У рассматривается композитная среда со случайным множеством тонких (трещиноподобных и жестких) включений. Для включений такой формы в схему эффективного поля вносятся уточняющие изменения с целью более детального учета пространственного распределения ориентированных неоднородностей. Здесь возникает необходимость учитывать существенную зависимость состояния каждого включения от его ориентации в пространстве. Поэтому предполагается, что среднее значение эффективного поля, в котором находится выделенное включение, зависит от ориентации нормали т к его срединной поверхности. В результате появляются средние вида Т/^С^т) ^^и'С*)/*,™}

é0clrn) - fe)Iх! ЮУ » где <"- означает осреднение при ус-

ловии, что точка находится вт в;лючении ориентации tn . Использование далее упомянутых выше гипотез и Нг позволяет построить самосогласованные уравнения, связывающие указанные условные средние с макроскопическими волновыми полчки в композите. Решение этих уравнений позволяет затем получить, выражение для эффективного волнового оператора с учетом формы "корреляционной ямы", в которой находится типичное включение. Приведем здесь формулы для эффективных динамических характеристик среды со случайным множеством круговых в плане трещиноподобных дефект. Если эти дефекты ориентированы одинаково, то среда в целом трансверсально изотропна с осью симметрии, параллельной вектору т . Модуль сдвигауО. такой среды в трансверсальной плоскости совпадает с модулем сдвига матрицы. Остальные четыре эффективных модуля {/О* - продольный модуль сдвига.

/с* - объемный модуль при плоской деформации, а* - модуль продольного одноосного удлинения, I - соответствующий ему поперечный модуль) определяются выражениями

(59)

/is'/u-nSyjg>l к^хул-n<irkR>i ns* At^*- Л <yYfe>, ^-A

в которых обозначено

nR~frA4U f^J-f/V-p]}'1. к«'*рп* ■ v ф? (<»ч> - -fy -

Здесь А' иуЦ1 - коэффициенты Ляме включений, Фт(к) - Функция, характеризующая Форму корреляционной ямы, - ее аспект с для стохастических множеств включений - величина порядка среднего аспекта включений а/к. ).

С помощью этих формул в работе получены выражения для эффективных скоростей и коэффициентов затухания различных типов волн, распространяющихся в трещиноватой среде. Отдельно рассмотрев! случаи заполнения трещин идеальной или вязкой жидкостями. Полученные результаты сравниваются с некоторыми опытными данными (P.O.Коннел, Б.Бу-дянский).

Тот же вариант метода эффективного пол), используется для построения эффективного волнового оператора для среды, содержащей случайное множество тонких жестких дисков эллипсоидальной формы. Дл" такого композита также найдены скорости распространения и коэффициенты затухания учругих волн.

В заключительной части главы 1У рассматривается задача осредне-

ния для композитов, армированных короткими жесткими волокнами. Так же, как и в случае тонких включений, для решения этой задачи используется вариант метода эффективного поля, позволяющий учесть особенности пространственного распределения ориентированных неоднороднос-тей.

Найденные в работе выражения для скоростей распространения упругих волн в принятом приближении определяются значениями эффективных статических упругих модулей. Теоретическому определению этих величин посвящено большое количество исследований. Ддя цилиндрически:. волокон, наиболее часто встречающихся на практике, почти все они основаны на модели Келли-Тайсона или ее модификациях. Известны трудности согласования результатов, полученных с помощью этих моделей, с данными измерений. Полученные же в диссертации выражения для этих величин, благодаря учету "поперечных" составляющих волнового поля внутри волокна, а также аспекта (параметра/') корреляционной ямы, удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными (Ф.Раштейнер, М.Манейра, А.Абоди) как для однонаправленных, так и хаотически ориентированных волокон. Найдены также коэффициенты затухания упругих волн, распространяющихся в средах, армированных волокнами рассмотренных выше форм. Заметим, что с увеличением жесткости волокон зависимость коэффициентов затухания от их формы исчезает.

В пятой главе диссертации метод эффективного поля используется для построения эффективного волнового оператора для композитной среды, армированной однонаправленными непрерывными цилищц местами волокнами. Распространение упругих волн в таких средах сопровождается рядом особенностей. Во-первых, закон дисперсии скорости оказывается зависящим от направления распространения волны. Во-вторых, зависимость коэффициентов затухания от частоты ей в длинноволновом пределе отличается от известной зависимости Рэлея (~ ¡а4 ), характерной для неоднородностей конечных размеров.

Здесь при построении осредненного уравнения движения дисперсия скооости включена в рассмотрение. Полученное уравнение позволяет описать указанные особенности распространения плоской волны в композитном материале при ориентации волновой нормали под произвольным углом к направлению армирования.

Сначала рассматривается распространение волн перпендикулярно направлению армирования. В этом направлении могут распространяться

три затухающих волны: продольная и две поперечных с векторами поляризации, ориентированными поперек и вдоль волокон. Приведем, в частности, выражения для скорости' и коэффициента затухания поперечной волны с вектором поляризации т - ортом направления армирования

Как следует из приведенных формул, в длинноволновом приближении скорость этой поперечной волны лишь незначительно снижается с ростом частоты. Этот вывод согласуется с имеющимися в литературе экспериментальными данными (Х.Сутерланд, Р.Лингл).

Вдоль волокон в композитном материале могут распространяться продольная и поперечная волны. Скорость продольной волны в низкочастотном диапазоне также незначительно снижается с ростом частоты.

Что же касается поперечной волны, то в выражение для ее скорости входят два слагаемых, одно из которых описывает частотную, а другое -пространственную дисперсию. Структура этого второго слагаемого такова, что оно неограниченно возрастает с ростом разности между упругими модулями волокон и матрицы. Для современных композитных материалов на основе высокомодульных волокон и полимерного связующего это слагаемое оказывается доминирующим. В этом случае эффектами частотной дисперсии можно пренебречь по сравнению с пространственной, и скорость поперечной волны, •распространяющейся вдоль волокон, определяется выражением

где В^ - разность модулей Юнга волокон и матрицы. Отсюда следует, что скорость этой волны увеличивается с ростом частоты, причем это возрастание может быть существенным даже в том случае, когда длина волны существенно превышает диаметр волокна. Это согласуется с имеющимися экспериментальными данными (Т.Таучерт, А.Гуэельсу), а также результатам;!, полученными другим путем для регулярного располо-

о

(62)

жения волокон (Дж-Лхенбах, М.Хлявачек и др.). В случае регулярного расположения волокон затухание длинных волн отсутствует, так как множитель ^ , входящий в выражения для коэффициентов затухания, при этом равен нулю.

В шестой гл^ве диссертации устанавливается длинноволновый (статический'* предел коэффициента концентрации напряжений на эллипсоидальных включениях в композитных материалах. Сначала исследуются скачки напряжений при переходе через поверхность матрица-включение. Основой для этого анализа служит уравнение

= - е[к$(х)С-№], в'- з - й, 5 - (с)'1, з-е"'

описывающее поле напряжений внутри и в окрестности изолированного включения в. однородной среде. В результате определяется тензорный коэффициент концентрации напряжений (") , связывающий предельное извне значение тензора напряжений на границе включения в точке с нормалью Л с постоянным в Т внешним полем

- ^ ^, а- кчеосКм (65,

Здесь - фурье-образ функции к^С*) (однородная функция к

нулевой степени), а тензор определен в (38)

Затем рассматривается среда, содержащая случайное множество эллипсоидальных включений. В соответствии с методом эффективного поля для произвольного включения, занимающего область , вводится локальное внешнее поле • Предполагается, что изменением величины (х) в области можно пренебречь (однако она могет меняться от включения к включению).'Если поле известно, то в силу (65) можно найти предельное значение тензора напряжений ь среде на границе включения

Полученное выражение позволяет определить среднюю концентрацию напряжений на включениях в композите. Для этой цели достаточно заменить в (66) локальное внешнее поле &(*) ( при зсб-1£) его средним значением ^"(¿О/ос^ . Последнее с помощью описанной вы-

ше самосогласованной схемы можно выразить через средние (макроскопические) напряжения в композите. Эта зависимость представляется в форме

= [Л <*>)(*) (67)

Здесь А - псевдодифференциальный оператор, символ (фурье-образ ядра) которого определяется выражением

Л(к) = (1+рМ^Ск)С5'5>)"' Л*/к)-¡к%)$&е!к'хс1х (68)

где обозначено: . Поскольку концентрация напряжений на

одном включении (тензор ГТл; ) исследовалась достаточно подробно (И.А.Кунин, Т.Н.Миренкова, Э.Г.Соснина), далее основное внимание уделяется зависимости (67).

Если среднее поле <бЧЧ))> меняется достаточно медленно на расстояниях порядка радиуса корреляции I случайного множества включений, то символ А(к) можно разложить в ряд по к , ограничившись первыми членами этого разложения

Таким образом, оператор Л с символом (69) состоит из двух слагаемых: оператора умножения на тензор и дифференциального

оператора второго порядка. Следовательно, зависимость между микронапряжениями на границ., раздела фаз и средними напряжениями В' композите носит нелокальный характер. В работе приводятся ят ные выражения для входящих в эти формулы тензоров в некоторых частных случаях.

В заключении отмечено, что предложенный в работе вариант метода г'ффективного поля занимает промежуточное положение между известными самосогласованными схемами и методами типа сглаживания. Общим с методами самосогласования является введение локального внешнего поля, действующего на каждое включение в композите, и предположение об одинаковой структуре этого поля для всех включений. Отличие же от одночастичного приближения методов самосогласован^ состоит в

том, что локальное внешнее поле считается здесь случайно изменяющимся от включения к включению. Для построения замкнутых уравнений относительно статистических моментов эффективного поля используется приближенная процедура расцепления сложных средних, которая характерна и для ь.етодов сглаживания.

В Приложена I описаны тензорные базисы, используете в работе для представления четырех- и иестивалентных тензоров.

В Приложении 2 рассмотрены некоторые средние однородных случайных полей, фигурирующих в тексте работы.

Основные результаты работы, выносите па защиту

1. Разработан метод решения задачи рассеяния упругих волн на изолированном эллипсоидальном включении в1 однородной анизотропной среде в длинноволновом приближении.

2. Разработан метод построения главных членов асимптотических разложений волновых полей в среде с жестким или податливым включениями. Задача построения этих членов сведена в работе к решению интегральных ура-шени-й на срединной поверхности тонких включений. Получено регулярное представление операторов, входящих в указанные уравнения. В случае тонких эллипсоидальных включений получено аналитическое решение этих уравнений.

3. Предложен метод построения главных членов асимптотического разложения по малым пар;л:етра*л задачи рассеяния упругих волн на коротком жестком волокне в однородной изотропной среде. Получены дифференциальные уравнения для определения медленно изменяющихс.: действительной и мнимой частей волновых тлей внутр" волокна при условии, что длина волны падающего поля значительно превышает его максимальный размер. Найдены решения этих уравнений для волокон в форме цилиндра, вытянутого эллипсоида и двойного конуса.

4. Доказан аналог оптической теоремы дл>. упругих колебаний. С помощью этой теоремы получены выражения для полных сечений рассеяния включений различной формы.

5. Разработан модифицированный метод эффективного (самосогласованного) поля. Этот метод использован для решения задачи определения эффективных динамических характеристик анизотропной акустической среды, содержащей случайное множество эллипсоидальных неоднородно-стей. 11остроен эффективный волновой оператор для такой среды в длинноволновом приближении. Указан путь уточнения полученных резуль-

татов путем учета парных взаимодействий между включениями.

6. С помощью той же модификации метода эййективного поля построен эффективный волновой оператор, описывающий распространение упругих волн в среде, содержащей случайное множество неоднородномей с учетом эффектов многократного рассеяния. Найдена и исследована функция Грина этого оператора. Получены явные выражешш для скоростей распространения и коэффициентов затухания упругих волн в композитах, содержащих неоднородности следующих типов: эллипсоидальные и сферические включения, тонкие жесткие диски, тонкие податливые включения и трещины, осесимметричные жесткие короткие волокна.

7. Описаны особенности распространения упругих волн в средах, армированных непрерывными однонаправленными цилиндричесгами волокнами. Найдены скорости и коэфйициенты затухания различных типое волн, распространяющихся как поперек, так и вдоль волокон.

8. Получены явные выражения для длинноволнового предела коэффициента концентрации напряжений на эллипсоидальных включениях в композитных материалах с учетов взаимодействия включений.

Основные результаты диссертационной работы изложены в следующих публикациях:

1. Левин B.W. Скорость распространения и затухание длинноволновых упругих колебаний в композитных средах.//В сб. "Исследования по упругости и пластичности" - Изд-во Лен. ун-та, Л.:1976, с.46-59.

2. Левин В.М. О концентрации напряжений на включениях в композитных материалах.//Прикл. математика имеханика, 1977, т.41, с.735-743. '

3. Левин В.М. О концентрации напряжений на включениях в матричных композитах.//В сб. "Теоретическая и прикладная механика". Труды Ш Национального Конгресса по механике, 1977, Варна, Болгария,

с. 489-494.

4. Левин В.М. К определению полного сечения рассеяния при распространении упругих волн в среде с неоднородностью.//В сб."Исследования по теоретическим основам расчета строительных конструкций". Межвузовский тематический сборник трудов. Л.: 1983, с. 85-92.

f. Левин В.М., Канаун С.К. О распространен..,! упругих волн в средах с изолированными неоднородностями.//Рукопись деп. в ВИНИТИ, № 4167-83Деп., 1983, 49 с. 6. Канаун С.К., Левин В.М. О построении эффективного волнового оператора для среды с изолированными неоднородностями.//Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1984, S 5, с. 67-76.

7. Канаун С.К., Левин В.М. О микронапряжениях в композитных материалах в области сильно меняющихся внешних полей.//Механика композитных материалов, 1984, № 4, с. 625-629.

8. Левин В.М., Канаун С.К. О распространении упругих волн в средах с тонкими включениями.//Рукопись деп. в ВИНИТИ, № 610-84Деп, 1984, 70 с.

9. Левин В.М. О распространении упругих волн в средах, армированных непрерывными волокнами.//В сб.: "Исследования по механике строительных конструкций и материалов". ЛИСИ, Л.: 1985, с. 38-46.

10.Канаун С.К., Левин В.М. О распространении упругих волн в средах

с тонкими трещиноподобными включениями.//Прикл. математика и механика, 1986, т. 50, вып. 2, с. 309-319.

11.Канаун С.К., Левин В.М. О распространении упругих волн в средах

с тонкими хесткизд включениями.//Акустический журнал, 1986, т.32, КЗ, с. 402-407.

12.ЛеЕИН В.М. О распространении упругих волн в средах, армированных непрерывными волокнами.//Механика композитных материалов, 1986, № 3, с, 433-439.

13.Канаун С.К., Левин В.М. Эффективный волновой оператор для среды, аргированной короткими осесимметричными волокнами. //Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1989, № 6, с. I2I-I30.

14.Канаун С.К., Левин В.М. Распространение упругих волн в средах, армированных короткими жесткими волокнами. Л.: 1989, Препринт 17 (Лен. филиал ин-та машиноведения им. А.А.Благонравова АН СССР) 44 с.

15.Левин В.М., Канаун С.К. Упругие волны в матричных композитах, армированных тонкими жесткими включениями.//Механика композитных материалов, 1990, is 6, т. 1026-1032.

1С.Канаун С.К., Левин В.М. Упругие волны в матричных композитах, армированных однонаправленными волокнами.//Л.: 1991, Препринт 54 (Лен. филиал ин-та машиноведения им. А.А.Благонравова АН СССР), 43 о.

17Ллнаун С.К., Левин В.М. Распространение акустических волн в средах с изолированными ньоднорслностями.//С.-П.: 1992, Препринт 68 (Институт проблем машиноведения Российской АН), 49 с. •

18.Канпун С.К., Левин В.М. Распространение упругих волн в средах с изолированными неоднородностями.//У1 Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике: Аннот. докладов, Наука, Ташкент, 1986, с. 325.