Расширения дуальных пар операторов и функция Вейля. тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Могилевский, Вадим Йосифович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Донецк
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1998
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ
Могілевський Вадим Йосифрвич
УДК513.
РОЗШИРЕННЯ ДУАЛЬНИХ ПАР ОПЕРАТОРІВ І ФУНКЦІЯ ВЕЙЛЯ
01.01.01 — математичний аналіз
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук
Донецьк— 1998
Дисертацією е рукопис
Робота виконана в Донецькому державному університеті Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наукдоцент
Маламуд Марк Мордкович,
Донецький державний університет, доцент кафедри математичного аналізу і теорії функцій
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор
Рофе-Бекетов Федір Семенович,
Фізико-технічний інститут низьких температур НАН України ім. Б.І. Вєркіна (м. Харків), провідний науковий співробітник відділу математичної фізики
доктор фізико-математичних наук, доцент Сторож Олег Георгійович,
Львівський державний університет ім. Івана Франка, професор кафедри математичного і функціонального аналізу
Провідна установа: Інститут математики НАН України (м. Київ), відділ диференціальних рівнянь з частинними похідними
Захист відбудеться “2.7“ 199?р. о '/¿годині на засіданні спеціалізованої вченої ради
Д 11.193.01 Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: м. Донецьк, вуя. Р. Люксембург, 74
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки за адресою: м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74
Автореферат розісланий “ 4’їі‘ О 9
Вчений секретар спеціалізованої вченої ради
1998 р. •
Д Марковський АІ.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Теорія розширень ермітових операторів розроблена з достатньою повнотою і знаходить застосування як у класичних задачах аналізу (проблема моментів, інтерполяційна проблема Неваплінни-Піка тощо), так і при дослідженні крайових задач для самоспряжених диференціальних виразів (вивчення спектра, одержання спектральних розкладів тощо). Перші основні результати тут отримано фон Нейманом у 1929 р., хоча окремі факти для оператора Штурма-Ліувілля та якобійових матриць було виявлено ще раніше відповідно ґ. Вейлем та Т. Карлеманом. Фундаментальний внесок у теорію розширень зробили також К. Фрідріхс, Г. Гамбургер, М Стоун, М.Г. Крейн, М.А. Наймарк, Б. Секефальві-Надь, М.О. Красносельський, A.B. Штраус та багато інших математиків. Зокрема, в роботах М.Г. Крейна та М.А. Наймарка подається формула для узагальнених резольвент, яка грає важливу роль як в теорії розширень, так і в її застосуваннях.
Останнім часом в роботах Ф.С. Рофе-Бекетова, В.І. Горбачук, М.Л. Горбачука, А Н. Кочубея , В.М. Брука одержав розвиток підхід, побудований на абстрактному варіанті 2-ї формули Гріна н формалізований у понятті граничної трійки (раніше — простір граничних значень (ПГЗ)) для ермітова оператора. Одна з переваг цього підходу при застосуванні до диференціальних операторів полягає в тому, що деякі властивості власних розширень описуються безпосередньо в термінах крайових умов. В.О. Деркач та М.М Маламуд для кожної граничної трійки впровадили функцію Вейля, яка для оператора Штурма-Ліувілля збігається з класичною функцією Вейля, а для диференціальних операторів порядку 2п — із характеристичною матрицею в сенсі М.А. Наймарка. Цими ж авторами знайдено зв’язок формули М.Г. Крейна для резольвент з граничними трійками, uto дозволило в термінах абстрактних крайових умов і функції Вейля описати розширення із заданими спектральними властивостями (такі, що зберігають лакуну, вносять до неї скінченну кількість дискретних рівней тощо), а також породжені ними узагальнені резольвенти.
Аналогічні питання для дуальних пар неермітових операторів, що породжуються, зокрема, несамоспряженими диференціальними та різницевими виразами з операторними коефіцієнтами,є менш дослідженими. Тут перш за все слід відзначити роботу М.Й. Вішика, у якій розв’язність, нормальна розв’язність та інші властивості розширень дуальної пари {А, В} обмежено оборотних операторів описуються в термінах операторів, що діють з Кег Л' в Кег В'. Л.И. Вайнерман,
В.Е. Лянце та О.Г. Сторож формалізували підхід і розвинули результати М.И. Вішика, впровадивши поняття граничної трійки (крайової пари) для дуальної пари щільно визначених операторів, і застосували його для вивчення диференціальних та диференціально-грашгчюіх операторів. Необхідно відзначити також роботу В.Б. Лідського1', у якій для оператора Штурма-Ліувілля l[y\ =-y+q{x)y з комплексним потенціалом цілком природньо виникла функція, аналогічна класичній функції Вейля при q(.x) = <у(-т).
Саме тому уявляється актуальним подальший розвиток теорії розширень дуальних пар щільно
'> Лидский В.Б. Несамосопряженный оператор типа Штурма - Лиувилля с дискретным спектром II Тр. Моск. Мат. о-ва. -1960.-9.-С.45-79.
та нещільно визначених операторів за допомогою граничнач трійок і абстрактної функції Вейля, а також її застосувань до несамоспряжених диференціальних і різницевих операторів.
Зв’язок з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана згідно з планом наукової роботи кафедри математичного аналізу та теорії функцій ДонДУ за темою В 86.50.1/4.14 ‘Теорія операторів і комплексний аналіз”. Напрямок досліджень, вибраний в дисертації, передбаче-ний планами наукової роботи Донецького державного університету.
Мета дослідження:
— впровадити поняття функції Вейля для граничної трійки, дати її внутрішню характеристику і описати спектральні властивості розширень та узагальнені резольвенти в термінах абстрактних крайових умов і функції Вейля;
— застосувати отримані результати до несамоспряжених диференціальних і різницевих операторів для опису їх властивостей в термінах крайових умов і функції Вейля.
Наукова новизна. В дисертації викладено такі нові результати:
1. На довільні дуальні пари поширено поняття Q-функції, розглянуте для ермітових операторів М.Г. Крейном, Г. Лангером і Б. Тексторіусом; визначено необхідні та достатні умови для того, щоб аналітична оператор-функція була Q-функцією деякої простої дуальної пари операторів; доведено, що Q-функція визначає просту дуальну пару з точністю до слабкої подібності. Для дуальної пари обмежених операторів Q-функція збігається з передавальною функцією деякої динамічної системи в сенсі Д.З. Арова.
2. Впроваджено поняття граничної трійки для дуальної пари нещільно визначених операторів, яке в щільному випадку збігається з наведеним в роботах В.Е. Лянце і О.Г. Сторожа. Кожній граничній трійці ставиться у відповідність функція Вейля — аналог функції, впровадженої для оператора Штурма-Ліувілля з комплексним потенціалом В.Б. Лідським. Доведено, що оператор-функція € Q-функцією дуальної пари тоді і тільки тоді, коли вона є функцією Вейля для деякої граничної трійки. Описано спектр власних розширень дуальної пари в термінах абстрактних граничних умов і функції Вейля.
3. Одержано формулу для узагальнених (зокрема, канонічних) резольвент дуальної пари операторів, яка доповнює формулу М.Г. Крейна для ермітових операторів. Як наслідок з формули для резольвент одержано твердження про резольвентну порівнянність розширень. Для дуальних пар стисків одержано опис узагальнених резольвент, породжених стисками; цей результат доповнює результати Г. Лангера та Б. Тексторіуса.
4. Результати, перелічені в попередніх пунктах, застосовано для дослідження несамоспряжених диференціальних виразів з операторними коефіцієнтами і породжених юши операторів, що діють в /,2((0,i>); Я), ¿<оо (Я— гільбертів простір, dim Н < те). Для деяких видів таких виразів в термінах крайових умов описано спектр власних розширень мінімального оператора; указано достатню умову дискретності спектра; одержано зображення узагальнених (зокрема, канонічних) резольвент у вигляді інтегрального оператора з операторним ядром, що узагальнює відомі теореми у віпадку dim Я < ®.
5. Для симетричних диференціальних операторів в L2 ((0,оо);Я) довільного (як парного, так і
непарного) порядку з будь - якими рівними індексами дефекту побудовано граничну трійку (ПГЗ), яка дозволяє описувати власні розширенім за допомогою крайових умов на кінцях інтервалу (О.оо), а також досліджено відповідну функцію Вейля. Аналогічна задача розв’язана для симетричних різницевих операторів в /2((0,<»);#) з довільними індексами дефекту. Ці результати доповнюють результати робіт Ф.С. Рофе-Бекетова, О.М. Холькіна, Б.П. Аллахвердіева, В.О. Деркача і М.М. Маламуда.
Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації носять теоретичний характер. Вони можуть знайти застосування при вивченні граничних задач, що виникають в математичній фізиці.
Особистий внесок здобувана. В дисертації використані результати сумісної роботи [4], в якій автору належить опис спектра розширень (лема 2), доведення формули для узагальнених резольвент в теоремі 1, а також теорема про дуальні пари стисків (теорема 2).
Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися на міжнародній конференції пам’яті М.Г. Крейна (Одеса, 1997), на семінарах в ІМ НАН України (Київ, кер. проф. M.JI. Горбачук), ІПММ НАН України (Донецьк, кер. проф. В.І. Рязанов), ДоиДУ (Донецьк, кер. доц. М.М. Маламуд).
Публікації. Основні результати дисертації опубликовані у 4 статтях у наукових журналах [1-4] та в одніх тезах конференції [5].
Структура роботи. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 85 найменувань. Повний обсяг дисертації становить 154 стор. машинописного тексту, з яких список використаних джерел займає 7 стор.
ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обгрунтовано актуальність теми і коротко викладено нові результати, одержані в дисертації, а також роз’яснено позначення: -D, Ж, Я— гільбертів простір; [-Ц, А], 0(Х), ,-02) ([■В],<5(-0))—множина відповідно неперервних та компактних операторів з -й, » Л, (і i); AIL
— звуження оператора А на лінеал L; Р,— ортопроектор на підлростір L; i/(°o,fi)={гєС:
|с|> /?}; для довільної множини J?c€ {геС:5 С, (С^ ,С )—відкрита ліва (верхня,
нижня) півплощина комплексної площини.
Розділ 1 містить огляд літератури з питань теорії розширень, порушених у дисертації.
Розділ 2 присвячено дослідженню розширень дуальних пар лінійних відношень (операторів) в абстрактному гільбертовому просторі.
У підрозділі 2.1 подаються необхідні відомості щодо лінійних відношень в -В0 © -й,, тобто лі-неалів в гільбертовому просторі 4>0 © -5),. Множина замкнених відношень в Х)0 © -0, (в -0 © -0) позначена С(-О0,-О,) (С(-В)), при цьому для відношення Т eC(JjQ,ii,) покладено Т* єС(-0и.0а)
— відношення, спряжене з Т; 3>(Т), Кег Т — відповідно область визначення, образ та
ядро Г. Для відношення Т єС(£„,£,) писатимемо: 0 єр(Г), якщо Т~' 0 єДГ), якщо
Т~'50]; 0 є<тр(Г), якщо КегГ^О; Об(г,(Г), якщо Кег Г=0, ¿Я(Т) - £%{D *
0 єсгг(7) в усіх інших випадках. Позначимо, далі, р{Т), <т,(Г), <т0(Т), сг,(Т)— резольвентна
множина й точковий, неперервний та залишковий спектр відношення Т єС(-В), р(Т)— його поле регулярності, Пч(7^ = ЬЭ&(Т-А)— дефектний підпростір відношення Т єС(-й), 11^(2") = = {{f,Af}'.f єП1(Г)}с7-‘, X\T = S)Q3I{T), П(Т) = {{0,л}:л еХІ^.} с Ґ. Надалі кожний замкнений оператор Г, що діє з -£>0 в -0,, ототожнюється з його графіком і розглядається як елемент з
У підрозділі 2.2 впроваджується поняття Q-функції дуальної пари й вивчаються її властивості.
Означення 1, Відношення А, Б єС(-С) утворюють дуальну пару (д. п.) {А, В), якщо Ас В" (oflc/), тобто (/’,g) = (/,g’) V/ = [/,/'} є A Vg = {g,g'} еВ. Д.п. операторів {А,В) називається обмеженою, якщо 2(A), 3/{В)—підпростори в -S й А е[-£(А),$], В є[5?(В),Х>].
Відношення А єС(-й) будемо називати власним розширенням д.п. {А,В] й відносити до класу Ext {А,В}, якщо Ас Ас В'. Для обмеженої д.п. {А,В} позначимо ¿И{А,Щ = Ext {Л,іі}П[Хі]— множина обмежених розширень.
Означення 2. /) Нехай А є Ext{/),fi}, J2°a, Л?,— гільбертові простори. Оператор-функція 2(A), визначена на відкритій множині Sicр(А) із значеннями в 1Ж0,Л\] називається GQ-функцією д.п. {А,В}, що належить розширенню А, якщо
Q(z)-Q(X) = (: - л)/г №/л(г) (1)
Тут yj(r) (zeif) — оператор-функція із значеннями в [J^,njB)] така, що Кегуя(г) = 0, ЩГзШ = П.(В) й
Га(-) = J';IW + (z-'*X'i-z)'V;i№ Vz.Ag^;
/-.(Д) (Я е.5?.) — аналогічна функція із значеннями в [¿%,Пл(Л)] для розширення А* eExt[B,^}; іі) GQ-функція Q(^) називається Q-функцією, якщо при деякому Я ^3 оператори у ¿(А), /-¡.(Я) з(1)єізоморфізмами.
Відзначимо, що у випадку А = В, А - Л~, ^ = С,иС_ надане означення збігається з означенням Q-функції ермітова оператора в сенсі М.Г. Крейна.
Нехай A eC[J)J, -fl0— підпростір в -0 й /(І-0о:= {{/,/’} є А / е -00} с А. Підпростір -В0 називається інваріантним для А, якщо ЯІІ>0 с -00 Ф -0о.
Означення 3. і) Відношенім AeC(S>) називається ^-простим (Зср(А)— відкрита множина в С ), якщо не існує підпростору -І>0 с -i), -ї)0 Ф {0}, інваріантного для А й такого, що З! с p{AS>0) ( Л1-Й0 єС(-Й0)). Оператор А є [.£?(/!),-&! називається простим, якщо не існує підпро-стору -£>0 є 3(A) -0О Ф {0[, інваріантного для А; іі) Д.п. {А,В] називається -простою, якщо відношення А, В відповідно З- й 3і, -прості. Обмежена д. п. {А, В] називається простою, якщо оператори А, В прості.
Твердження 1. і) Якщо д.п. відношень {А,В) ¿’-проста, то {А,В) є дуальною парою операторів. Д.п. операторів {А,В} є ^-простою тоді й тільки тоді, копи span{ttA(4):A єЗ.} = = span{tl¡(В):А єЗ} = S>; іі) Якщо Зzd U(vo,lt)— область в С, то простота обмеженої д.п. еквівалентна її ^-простоті.
Відзначимо, що для ермітова відношення А у випадку З = С_ надане означення і?-простоти збігається з відомим.
Означення 4. Д.п. {А,В} будемо відносити до класу X ^, якщо Ла єр(А), Ла єр(В) «оператор Рп є ізоморфізмом ПЛ](В) на П^(А). Обмежену д.п. [А,В} будемо відносити до
класу ІГ«,, якщо оператор Р3,{Л)\3(В) є ізоморфізмом 2(8) на 3(А).
Внутрішня характеристика О-функцій і GQ-фyнкцiй подається в такій теоремі.
Теорема 1. Нехай З с С— внутрішність простого зімкненого контуру, (?(Я)— голоморфна в замиканні З області З оператор-функція із значеннями в [Жа,Ж^. Тоді; і) для того, щоб функція О(Х) (А є 59) була Є О-функцісю ^-простої д.п. операторів, необхідно й досить, щоб КегО'(Я) = ПКег( £/(/■))'= {0}; іі) для того, щоб функція ()(А) (Л єЗ) була О-функцісю деякої -2і-простої д.п. операторів {^,В}єХд> (Л^еЗ), необхідно й досить, щоб оператор 0і (Х0) був ізоморфізмом на Ж].
Далі в роботі розглядаються 0-функції обмежених д.п. Тут, зокрема, доведено, що голоморфна в точці Я = т оператор-функція ()(А.) не може бути О-функцісю простої д.п., якщо ця д.п. не с обмеженою. Загальний вигляд (К}-функцш і О-функцій обмежених д.п. та їх внутришня характеристика подаються в таких теоремах.
Теорема 2. Нехай {/1,5} — обмежена д.п., А є&{А,В], 3 ^ Г/(®,Щ— відкрита множина в
С. Визначена в 3! оператор-функція @(Л) із значеннями в є <3<2-функціек> д.п. {А, В],
то належить розширенню А, тоді й тільки тоді, коли вона має вигляд
Є(Я) = 5 + С*(Л-Л)-1Я, Х^З, (2)
де ^є[^,Па], КегР= {0}, ЩР) = ПВ, Ge[J^,TlJ, KerG={0}, ¿?(G) = nA. При
цьому функція (2) є Q-функцією тоді й тільки тоді, коли ЩF) = Пя, -X(G) - Пл.
Теорема 3. Нехаґг 3! а: С— зовнішність простого зімкненого контуру, Q(A)— голоморфна в замиканні 3! області 3 оператор-функція із значеннями a [Жа,.//{]. Тоді: ;)для того, щоб функція (ДА) (Я еЗ) була GQ-функцією простої обмеженої д.п. {А,В}, що належить розширенню А є&{А,В}, необхідно й досить, щоб: а) Kerg'(A) = ПДе^ Кег(2’(Я))'= {0}; б) функція Q(A) була голоморфною при А = °о; іі) для того, щоб функція Q(Я) (Я є .Й?) була Q-функцією простої обмеженої д.п. {Л,В} єіГ., необхідно й досить, щоб здійснювалась умова б) й оператор (/(«):= я A(Q(A) - Q(<n)) був ізоморфізмом^ на
Як показали Г. Лангер та Б. Тексторіус, неванліннівська оператор-функція Q(X) є Q-функцією обмеженого ермітова оператора А, що належить розширенню А = А' є[-0], тоді й тільки тоді, коли вона голоморфна при Я = со й 0 є p(\mQU)). Неважко довести, що ці умови рівносильні умовам частини іі) теореми 3.
Нагадаємо, далі, що оператори А, є [і), ] (і = 1,2) є слабко подібними, якщо існує замкнений
оператор X такий, що 2{Х) = §{, Щ) = іг, KerX={0} й АхЗ(Х)с3(Х), XАх\3(Х) = = АгХ. В наступній теоремі доведено, що GQ-функція визначає відповідне розширення однозначно з точністю до слабкої подібності.
Теорема 4. Нехай б,(Я) (Я є і?) — GQ-функція -простої д.п. операторів {А,,В,}, що нале-
жить розширенню 4 (/ = 1,2). Для того, щоб резольвенти (4 - Л)-1 (А є.1?) були слабко подібними (за допомогою одного оператора X), необхідно й досить, щоб QIW = Q2(A) + C (Лє0, С = const).
Наслідок 1. Якщо за умов теореми 4 £■з {/(«>,R)— область в С, {А,,В,}— обмежена д.п. й
A, е^{АІ,ВІ}, то умова Q(A) = Q2(A) + С с необхідною й достатньою для слабкої подібності операторів А,.
В роботі також подаються достатні умови на обмежені д.п. {А,,В,}, за яких слабка подібність операторів А, переходить в подібність. Цей факт, зокрема, має місце, якщо dim^(S,)<co (¿ = 1,2).
Як відомо, оператор-функція вигпяду (2) із довільними обмеженими операторами S, F, G, А є передавальною функцією деякої лінійної стаціонарної динамічної системи. Звідси випливає, що одержані результати щодо обмежених д.п. доповнюють відомі результати Д.З. Арова.
У підрозділі 2.3 впроваджено поняття абстрактної функції Вейля і знайдено зв’язок між Q-функціями і функціями Вейля.
Означення 5. Граничною трійкою (ГТ) д.п. {А,В] називається сукупність П = {Жх® Жй,Гв, ГА], в якій Л?0, Жх—гільбертові простори, а Гв = сої(Г‘ ГЦ).В’ Ж^®Жа, ГА = со\(ГА Гц): А* —> Ж0 ® Ж1 — сюр’ективні лінійні оператори, що задовільняють співвідношенню
v/ = {/,Лев', vg={g>g'}eA' (/',g)-(/,g') = (/?/./?!)-(/?/, ^1) (З)
В роботі доведено, що оператори Гв, ГА обмежені й КегГ1 - А, КегГА = В; тому у випадку щільно визначених операторів А, В означення 5 збігається з означенням крайової пари в сенсі
B.Е. Лянце й О.Г. Сторожа.
Особливу роль надалі відіграє розширення Д,:= Кег У"“ є Ext {А,В], при цьому А," = Кег ГА є є Ext {В, А}.
Кожна ГТ є узагальненою граничною трійкою в сенсі такого означення
Означення 6. Нехай {А,В]— д.п. відношень й А., В.— лінеали такі, що В. = В', А, - А’. Сукупність Пg = {Л^ФЖ^Г",ГА}, в якій Жа, Жх— гільбертові простори, а Гя =со1(/'Ів ГІ')\В.-*ЖХ ®Ж^, ГА - со1(Г,1 ): А —> Ж0 ® Жх— лінійні оператори, називається узагаль-
неною граничною трійкою (УГТ) д.п. {А,В}, якщо: 1) для будь яких f = {/,/'} efi., g = {g,g'} e А. має місце формула Гріна (3); 2) ЩГ") - Ж^, = Жх\ 3) якщо А^аЯ,
А0:= Кег У"/ ,то Аа єС( 4)) й 4,'с А, А^ = Кег/^1.
В роботі для кожної УГТ доведені такі співвідношення: 1) Д, є Ext (А,В) ; 2) КегГв = А, КетГА = В;3) &(ГВ) = ЖІ®Ж0, ЩГА) = Ж0®Ж,.
Дія будь-якої УГТ д.п. {А, В] позначимо = П,(В)ПЙ., П'І(А)-П;1(А)Г\А.. Виявляється, що VA ср{/\,) оператор ГЦш\(В) є обмежено оборотним; тому коректно визначеною є оператор -функція YnW = я’,(/'/Шд(В))'1, де л",— ортопроектор в -Offi-D на -ВФ{0}. Функція ynW голоморфна в р(А0) і набуває значення в [J^,tl_,(S)], причому 3!(у,,(?.)) = ПДВ) й
Зауважимо, иіо кожній УГТ Т1г - {Ж\ ®Л"0,ГВ,ГЛ) д.п. {А,В] відповідає УГТ ГҐЯ = {Жа®Л^,ГЛ,ГВ) д.п. {В,А}, з якою пов’язана голоморфна в р(А^) оператор-функція ^(Я) = (^т;(Л)Г' із значеннями в [^,ПД(Л)]. Крім того, УГТ Пг є граничною трійкою тоді й тільки тоді, коли Л(Я)) = ПЛ(В), ¿?(/я-(Я)) = П~(Л) для будь-яких Я єр(Л<>) •
В наступному означенні впроваджується поняття функції Вейля — одного з основних об’єктів роботи.
Означення 7. Функцією Вейля М(Д):= МП(Х), що відповідає УГТ Пг = {Л^®Л^,Гв ,ГЛ} д.п. {А,В}, називається оператор-функція, визначена на відкритій множині З'сріА,) рівністю
Г* їй; (В) = (Я)Г0* Іії; (В), Я є 3>.
В роботі доведено, що функція Вейля А/(А) визначена коректно, голоморфна в і? із значеннями в ,/Ґх \ і задовольняє співвідношенню
Л/(г) - М(Х) (.-- Я)Г'П.(Я)Гп(:) (4)
Функція МП.(Х) для УГТ П'г зв’язаназ Л/я(Я) рівністю Л/я- (Я) = (Л/„ (Я))', Я є-і?..
Відзначимо, що у випадку А - В функція А/(А) збігається з функцією Вейля для ермітова оператора в сенсі В.О. Деркача і М.М. Маламуда.
Із (4) випливає, що функція Вейля А/(Я) є вСЗ-функцією. Обернене твердження містить така
Теорема 5. Кожна ОО-функція д.п. {Л,В}, що належить розширенню уі , с функцією Вейля для деякої УГТ {ЛҐ1®Жа,Гв,ГА} такої, що А = А,х (:= КетГ°). вО-функція є О-функціда толі й тільки тоді, коли вона є функцією Вейля для деякої ГТ.
Із теореми 5 вишиває, що усі доведені в підрозділі 1.1 властивості (^-функцій автоматично переносяться на функції Вейля.
У підрозділі 2.4 в термінах абстрактних граничних умов і функції Вейля описано спектр власних розширень д.п. та її узагальнені резольвенти. Дія кожної ГТ {¿%® Л^,ГВ,ГА] д.п. [А,В) існує бієктивна відповідність А +*ГВА = {{ГВ/,ГВ/}.} єЛ}:= 9 між розширеннями А єЕхІ{Л,В} та відношеннями в € С(Жй,Жх), яка записується у вигляді А = Ав. Таким чином, еквівалентність / є А0 <^>{ГВ/, Гв/} є 9 відіграє роль абстрактної граничної умови для розширення А = Ад. Опис спектра власного розширення Аа в термінах відношення в і функції Вейля А/(Я) містить гаке
Твердження 2. Нехай {Жх® ЛҐа,Гв ,ГЛ}—-ГТд.п. {А,В}, М(Л)—відповідна функція Вейля, АдЄЕЩА.В), ЯєДД,), і] г в~ А/(Я) єС(^,^). Тоді
ЯєД.4в)о0єД7л), Яє<т,(Лв)оОєо-,(»7д) (< = />, с,г), Я бДІЇ,)оО єр^);
- Я) = .5?( - Я) о ) = ^( ); (іішКег (Л„ - Я) = сІітКег ;
со<ііт.З?(4, - Я) = ахНт,5?(7д)
В роботі доведено, що розширення А єЕх!{А,В), для якого р(А)[Лр(А0) * 0, можна задати абстрактною граничною умовою
— 8—
/ = {/,/'} є А o Qrff+Ctff = 0,
де С0 є[^], С, е[^,^] й образ оператора С=(С0 С,):^Ф^-» збігаєтьсяз
Наслідок 2. Якщо розширення Л є Ext {A,B¡ задасться формулою (5) й туЛ:= С0 + С,Л/(Я), то вірними є висновки твердження 2.
Означення 8. Оператор-функція Я,,, визначена на відкритій множині 3іэЛ0 із значенням в [-0], називається узагальненою резольвентою д.п. (А,В} і відноситься до класу Щ{А,В},Л0), якщо існує простір -0 та відношення А єС(-Й) такі, шо: 1) Ас А, Вс/; 2) для деякого околу иіЛ^сЯПріА) R¿ = P^A-Xy'lS) (А єС/(Я0,<5)).
В роботі доведено, що кожна узагальнена резольвента породжується деяким мінімальним розширенням 4. єдиним з точністю до слабкої подібності резольвент (А - А0)~‘.
В наступній теоремі міститься один з основних результатів роботи — опис узагальнених резольвент.
Теорема 6. Нехай П= {Ж[®Л%,ГВ,ГА} — ГТд.п. {А,В] відношень в -В, М(Я) — відповідна функція Вейля. Тоді:
1)якщо А = Аа є Ext {А, В}, то для будь-якого А еДЯв)Пр(Л)
(А, -Я)'1 = (А,-ЯГ' +Гп(Мв-М(Х)У1Г'п.(Х) (6)
2) якщо Я0 єр{Аа), то формула (для узагальнених резольвент)
= (4, - ¿Ґ + rnW'PWr'n- (Я) (7)
установлює бієктивну відповідність між узагальненими резольвентами /?А єЛ({Л,В},А0) й опе-ратор-функціями р(А), голоморфними в точці Д0 із значеннями в [Жх,Жа\. При цьому для будь-якого g є Л вектор / = Rxg є розв’язком такої граничної задачі із спектральним параметром Я в граничній умові
/:= {f,S+'¥) єВ\ (/^ + д>(Л)М(Л))Г‘/-?{X)r*f = 0.
Наслідок 3. Якщо розширення А є Ext (4-й} задане умовою (5), то для будь-якого
Я є/>(Л)Пр(А)
(А - Я)'1 = (4) - -ІҐ + ^(¿XQ + С^Я))-'^ (Я).
Відзначимо, що формула (7) доповнює відому формулу М.Г. Крейна для резольвент ермітова оператора (випадок А-В) і результати В. О. Деркача та ММ. Маламуда. Для дуальної пари щільно визначених операторів наслідки 2,3 одержані в дисертації О.Г. Сторожа.
Паслідок 4 (про резольвентну порівнянність розширень). Якщо в, (і = 1,2),
Д ер(А0)Пр(\)Пр(Авг), то для будь-якого оператора Се[Ж0,Ж,] такого, що 0єр(в,-С) (і = 1,2 ), має місце еквівалентність
(Д,_ - Д)-' Д)-1 є Є(-й) о (0, - су1 - (в2 - су' є О(Жх,Лґй)
Якщо, зокрема, - Bt то в правій частині наведеної еквівалентності можна
писати В,-В2 є.в(Л?0,Л?[)
В цьому ж підрозділі аналогічні питання розглядаються для обмежених д.п. та дуальних пар стисків. Нехай Пг = {Ж[@Ж’а,Гв,ГА)— УГТ обмеженої д.п. [А,В) така, що 4,=Кег.Г® є
є ¿ЇЇ {А, В); гї;=гігПА, rij = П, ПА, де В., А. — області візначення операторів Гв, Г1. Виявляється, що оператори Г*ІПд, Г^Щ є обмежено оборотними; тому коректно визначені оператори Yn = x2{rZ\ti’Byl е[^,Пг], гп- =Яі(ГЇ\‘Л\у1 є[^,П4] такі, що Я(г„) = Пв, Щуп-) = ПА (тут я2— ортопроектор в -D® Х> на {0}Ф-В). У цьому випадку оператор-функція уп(Д) має вигляд Г„(Х) = -(Аа-Лу1у„ й у„ =Чті^Хул(Л). Нехай, далі, ЛГ=ГБп'„ так що
&п = ГІуп. В роботі доведено, що &п і відповідна функція Вейля М(Д) має вигляд
М{Х) = ^п + уп.{А<>-Х)->уп, Хе/КА,); (8)
при цьому М{X) є функцією Вейля для ГТ тоді й тільки тоді, коли ¿Я(у п) = V.B, &(у .) = П<. Порівняння формул (2) і (8) дає рівності S = F — уп, G = yп-, які установлюють зв’язок між Q-функшями (передавальними функція™) та функціями Вейля.
В наступній теоремі подається опис узагальнених ¿3 - резольвент обмеженої д.п., тобто узагальнених резольвент, породжених обмеженими розширеннями А є [-S].
Теорема 7. Нехай 77 = {.Лґ[<Ь.Жа,Гв,ГА}— ГГ обмеженої д.п. [А,В), Д, = КегV® є£?{А,В], М(Л) — відповідна функція Вейля. Тоді формула
R, = (4, -Д)-' +у„(ДХг(Д)- М(Д))->;.(Я), Д 6І/(»,Я)
задає бієктивну відповідність між узагальненими ,й?-резольвентами Rt д.п. {А,В] та голоморфними в точці Д = оо функціями г(Д) із значеннями в С{Л"„,Л^) такими, що
0 є/з(г(и)-^). Резольвента R, є канонічною тоді й тільки тоді, коли г(Д) = r ( = const).
Надалі обмежена д.п. {А,В) називається дуального парою стисків (д.п.с.), якщо ¡ЛІ|< 1, jjBjj < 1. Позначимо %’{А,В)— множина усіх стисків Л є&[А,В].
Означення 9. ГТ /7= {Л^®Л%,ГЯ,ГА} д.п. {Л,й} називається стискуючою, якщо має місце еквівалентність
А = Ав є&{А,В} о К:= 9~1 в[ЛГи^, |*Ц< 1.
В роботі доведено, що ГТ 77 д.п.с. {А,В}, для якої .■% є.5?{А,В}, є стискуючою тоді й тільки тоді, коли < 1 і рівність
A~A9-rnK{l,t-f„K)-if,r
задає бієктивну відповідність між розширеннями А є&{А,В) та стисками К Зокрема,
-10ГГ є стискуючою, якщо оператори Д,, уп, у'„-> утворюють унітарний вузол Л в сенсі М.С. Бродського. В цьому випадку {А,В] є д.п. ізометрій, а функція Вейля М(Л) збігається з характеристичною функцією вузла Л.
Опис узагальнених с-резольвент д.п.с. {А,В}, тобто узагальнених резольвент, породжених стисками, містить така
Теорема 8. Нехай П-{J%®,ГХ}— стискуюча ГТ д.п.с. {А,В}, М(Х) — відповідна функція Вейля. Тоді: і) Д, є &{Л,В} й ||Л/(Я)|< 1 VA є£/(оо,1); if) формула (для узагальнених резольвент)
Я4 = (Д.-Л)'1 + У„(Л)- ЩЛ)г(Л)У‘у'п.(І), Л 61/(00,1) (9)
задає бісктивну відповідність між узагальненими с-резольвентами та голоморфними в U(да,1) оператор-функціями т(Л) із значеннями в йтакими, що |)г(Д)|< 1 (Я є£/(да,!)).
В роботі показано, що для кожного А, що належить до досить широкого підкласу розширень з І? {А,В}, існує стискуюча ГТ д.п.с. {А,В), для якої Д, = А. Тут також побудовано стискуючу ГТ спеціального вигляду, для яхої формула (9) збігається із відповідною формулою з роботи Г. Лангера та Б. Тексторіуса; тому теорема 8 доповнює результати цієї роботи.
Розділ 2 присвячено застосуванню викладених вище результатів до диференціальних та різницевих операторів.
У підрозділі 2.1 розглядаються оператори, породжені взаємно спряженими диференціальними виразами порядку 2л
Цу] = ¿(-1)*{(/Vly1,)№ +(ч„-іу{‘~'>УкІ]) + р„у (10)
А-1
гм=Хн/ «а.****’ )“’ - У*’];+а*, (і і)
1-1
де pt(t), qt(t)—визначені на проміжку (а, Ь) (~а><а <Ь £ ю) достатньо гладкі оператор-функції із значеннями в [Н] (Я— гільбертів простір, dim Я < °о ), 0 є р(р0(/)) Vi є (а ,6). Позначимо У*1, :11] (к = 0 + 2п) — квазіпохідні для виразів (10), (11) відповідно. Вирази (10), (11) породжують в просторі -D:= ^((а.і^Я) відповідно мінімальні А, В й максимальні L, М диференціальні оператори (д. о.), причому А' = М, В' -L й оператори А, В утворюють д.п. {А, В}.
Для кожної функції у &£(В‘), z єЗ(А') позначимо її,(<) = {У*~ч(0}", ^(0 =
и,(0~ {г£*-,,(0}Г» = ""'’MJi.t— вектор-функції із значеннями в Я", y(j) = {uy(t),vy{t)}:
(a,b)-+ Н2”, i(l) = {ij'(t),vt(i)}:(a,b) -> Н1”. Для довільного т-компонентного операторного розв’язку У (і, Я) = (^(ї,Д))”.,:(а,А) —> [Нт,Н] рівняння її = Яї покладемо W[Y](t,X) = = (ЩОЯЖ;„:(<!,/>)->[Н",Н2'}, де = #*-«(/,Л),= ї]2'-%,Я) (к = 1,2,...,л).
Введемо також оператор J є [Я" ©Я”], •/{/,/'} = {-/',/} V{/,/') є//”©//".
Нехай вирази(ІО), (11) визначені на скінченному відрізку [0,6]. Тоді сукупність {//2" © Н1",ГВ, Гл), де Vy аЗ(В') Г‘ у -у(Ь), ґЦу = у(0), Vz єЩА') r*z = -Jz(0), = -Jz(b), утворює
ГТ д.п. {Л,В}, для якої функція Вейля визначена всюди в С і має вигляд М(Я) = ЩУ0 ](Ь, Я) (тут
К0(г,Я):[0,6] ——операторний розв’язок рівняння IY = XY такий, що lV[Yt](0,X) = I ).
Враховуючи результати розділу 1, надалі будемо вважати, що власне розширення А мінімального д.о. А задасться крайовими умовами
>'Є^(Л)ОС0У(0) + С,Я6) = 0. (12)
де С0 ,С, є [Я2"] і ¿?((С0 С,)) = Я2". Зауважимо, що у випадку dim// < <ю умова ¿?((С„ С,)) = = Н1" означає, що крайові умови (12) містять 2л лінійно незалежних форм.
В наступному твердженні, яке с наслідком твердження 2, наведено опис спектра власних розширень в термінах крайових умов.
Твердження 3. Нехай А-— власне розширення мінімального д.о. А, задане умовами (12), Т(Л):~ С0 + СЩУЛЬЛ). Тоді
Лер(А)оОєр(Г(Х)) (13)
Я є<тД/1)с>0єсті(7’(/1)), і = p,c,r; X єр(А) о-О є/>(Г(Я)); ¿?(Д-Я) = ЩА-Л) » оі?(Г(Я)) = М(Т(Х)), dimKer(/4 - А) = dim Кег Г(Я); codim.SF(.4-A) = со dim ¿?(Г(Я))
Наслідок 5. Нехай власне розширення А задане умовами
ує&(А)<* v,(0) = ^(О), <?'%(Ь) + С(2%(Ь) = 0,
де Ва = (ВХ-,. С<к) = (С<к,)1.1 Є[ЯЧ (* = 1.2). Покладемо y(U) = (Г,(/Д));:[0,і]->[Я”,Нілі-компонентний операторний розв’язок рівняння ІУ = ЛУ такий, що W\Y\(0,l) = со1(/ В0):
Я" -> Я" © Я”, ФІ.І,Х) = (!?''"(' Д))",„, Я) = (If ""(г,А))",,,, ЦЯ): = С“’<Р(М) + Сг)<Р(Ь,Л).
Тоді вірними є співвідношення (13), (14).
Відзначимо, що для д.о. типу ІІІтурма-Ліувіяля твердження 3 одержано О.Г. Сторожем, а формула (13) в наслідку 5 доведена Ф.С. Рофе-Бекетовим, M.JI. Горбачуком.
Означення 10. Замкнений оператор Т мас дискретний спектр, якщо його спектр складається з ізольованих власних значень скінченної кратності й для кожного Я еа(Т) образ ЩТ- Я) є замкненим підпростором.
Як відомо, компактність резольвенти є достатньою (а у випадку Т=Ґ також й необхідною) умовою дискретності спектра оператора Г. В той же час у випадку dimH = <ю мінімальний д.о. А не має розширень з компактною резольвентою. В наступному твердженні, при доведенні якого використовується наслідок 4, подається достатня умова для дискретності спектра розширення А мінімального д.о. А.
Твердження 4. Якщо власне розширення А задане умовами (12), р(А) #0 й принаймні один з операторів С0, С, в (12) компактний, то оператор А має дискретний спектр.
Далі в роботі розглядаються вирази (10), (11), визначені на півосі [0,оо). Позначимо Y0(t, Я): [0,со) [Я2",Я]—2п-компонентний операторний розв’язок рівняшія IY = XY такий, що
»та((и)=/и,.,20 (/,Л) — аналогічний розв’язок рівняння С 2- XZ.
Означення 11. Визначений на півосі [0, от) вираз (10) називається квазірегулярним, якщо при
деякому Я0 єС ||У0(/,Я0)Ц2£* <«, ||2Г0(Г,Я0)|2Л <те, і g-квазірегулярним (в деякій точці Я„ єС),
О о
якщо Л0 ер(А), Ла ер(В) і VA g//2" J|K0(a0)fcf<*<«, ]fa(t,It)hfЛ <«.
0 0 '
Для квазірегулярного виразу УД єС J|]K0(f,Â)|V/ < оо, jjjz^/.A^iü < оо й р(Л) = р(й) = С;
о о
тому квазірегулярний вираз є g-квазірегулярним в будь-якій точці А є С.
Для кожної функції ує&(В'), zєЗ(А') позначимо Fy(t) = W~'[Ya](t,X0)ÿ(t):[0,cc)->Я2", <5г(/) = fK_1[Z0](i,A0)r(i):[Û,cc) -> Я2'. Виявляється, що для g-квазірегулярного в точці Л„ виразу (10)існують слабкі границі Ff(oo)=w-iim,_mFy(t), С?г(со) = м>- при цьому сукуп-
ність {Н2"®Н*,ГВ,ҐА], де Vує$(В') Г‘у=Ру(х), rfy = ÿ(0), \/:є&(А') rAz = ~Jz(0), /■¿‘т = -У Ог(«>), утворює ГТ Д-п. {4,5}, для якої функція Вейля визначена в деякому околі точки Л0 і має вигляд
MA) = и'-1ііп(_(»,чК](лЯ0)ЩГ0К^Д)).
В квазірегулярному випадку функція М(Л) визначена всюди в С й усі слабкі границі заміняються сильними.
Надалі будемо вважати, що для g-квазірегулярного виразу власне розширення А мінімального д.о. А задається крайовими умовами
у є 0(1) а Crjy(0) + С, Î? (®) = 0, (15)
аналогічними умовам ( 12).
Якщо розширення А задане умова™ (15) і Т(Л):= С0 + С\М(А), то вірними є співвідношення (13), (14). У квазірегулярному випадку розширення А має дискретний спектр, якщо р(А) * 0 і принаймні один з операторів С0, С, в (15) компактний.
В наступній теоремі, доведення якої базується на теоремі 6, одержано інтегральне зображення резольвент розширення А.
Теорема 9. Нехай вираз (10) є g-квазірегулярним в точці А0, Ло(во) — власне розширення мінімального д.о. 4(5) з областю визначення і?(4,) = {у е.З(В‘)-.у(0) = 0) (&(Ва) = {; еі?(Л"): z(0) = 0} ). Тоді : і) якщо власне розширеїшя А задане умовами (15) і Л єр(4)Пр(4>)Пр(В0’) (зокрема, Л ер(А)С\и(Ла), де t/(A0)— деякий окіл точки А0),то
V/ є -0 [( А - Лу'/](х) = J K(x,t,X)f(l)dt,
о
де інтеграл збігається слабко й К(х,і,Л)—визначена в [0,°о) х [0,°о) оператор-функція із значеннями в [Я]
і і) Рівність
(RJXx-) = ]G(x,t,X)mdt,
О
J
в якій інтеграл збігається слабко й операторне ядро вигляду
" ’ 1у0(дглттіслх />*,
задає бієкгивку відповідність між узагальненими резольвентами єҐ2({Л,В},Хо) та голомор-фними в точці А0 оператор-фуикціями Ф(1) із значеннями в [Я2"].
Для квазірегулярного виразу 11|{АГ(дг,г,Я)|2«йгА < да, < оо і слабка збіжність
о о о о
інтегралів заміняється сильною.
Далі в роботі розглядаються вирази (10) на піаосі, в яких у, =0, Не/>4(>)>О V/ є[0,оо). Позначимо р(ґ>Л) = (ру(г,Я));.[0,оО)-4.[Я">ЯЗ, ч/((,Х) =(^(» Д))М0,«)-> [Я",Я] — п-
компонентні операторні розв’язки рівняння її = Я¥ такі, що Щ<р](0,Я) = соІ(/ 0),
Щу/](0,Х) = со!(0 -7), (»(Г,Я), #(/,Я)— аналогічні розв’язки рівняння /"2 = ЯЛ.
Твердження 5. Нехай при деякому Я єС, здійснюється одна з таких еквівалентних умов
V/! єЯ”, Л * 0 и^,Д)Л^ = |||ш(/,Я)А|| Ж =озо||}у(Г,А)А| є?/ = ||^(/,Я)Л= да
оо оо
Тоді ця умова здійснюється для будь-яких Я єС, і сукупність П= {Нп ®Н’,Ге,Гл}, де /"¡".у = -й,(°), Г0Й >' = 7(0), = -й.(0), ГА: = 7,(0) (у єЗ(В’), ієЗ(А')), утворює ГТ д.п.
мінімальних операторів {А,В], для якої функція Вейля Л/(Л) = (А// ;(Л))"уж1 є[Ял] (Л є С,) однозначно визначається однією з таких еквівалентних умов
|(^(М) + ]£Л/^(Л)^(/,Л)ХУ'ДЛЯ) + }>]Я(ЛЛ).Л4(Л))Л <»■/„, у = 1,2,...,/)
о . і«1
|оО('Д) + £ А/л(АК('>Я)Хг-//,Я) + ^й>1(ґ,Я)М*(Я))Л <«■/„, > = 1,2,...,л
О **І 1*1
Зауважимо, що аналогічне твердження має місце також і для виразів (10) таких, шо Ітр^і) > 0. Якщо в цьому випадку п = 1, рк = р], то функція Вейля Л/(А) збігається з функцією, впровадженою М.Л. Горбачуком. Відзначимо також, що у випадку сІітЯ = 1 умови твердження. 5 рівносильні рівностям сіітПДВ) = <3іт!!^(/і) = п VЯєCl. В цьому випадку за умови п = 1 функція Вейля з твердження 5 збігається з функцією, впровадженою В.Б. Лідським.
У підрозділі 3.2 розглядаються формапьно-самоспряжені диференціальні вирази 1[у\ на півосі довільного (як парного, так і непарного) порядку, коефіцієнти яких набувають значення в [Я]. Позначимо ІХп Ь—відповідно мінімальний та максимальний д.о., породжені в /,((0,ю);Я) виразом 1[у] (/„ с /^ = і); л*(/„), л_(£0)— дефектні числа оператора Ц,. В роботі для випадку дітЯссо, лДЛ„) = п_(Ь0) 52т}іт/7 побудовано граничну трійку (ПГЗ) оператора , яка дозволяє описувати власні розширення в термінах граничних значень функції у є 3(1,) та її квазіпохід-нях. Для виразів парного порядку цей результат містить
Теорема 10. Нехай сіітЯ< со, /¡у]— самоспряжений вираз (10) порядку 2п, пл() = п_(Д,):= := т < 2гссііт// й [у,і](І) = Vу,: є3(1.). Тоді існують функції *,,г, с2(Ь), ; = 1-ні,
і = т - лйітЯ такі, що простір Лґ = Н" ®С’ та лінійні оператори /*„, У", є [¿'(/О, Я],
гі>'= {'УШЛ-і], Г0у= {йу(Щу>х,[у,*,}„}
утворюють ПГЗ {-Ж,Г1,Га\ оператора 1^.
В роботі також побудовано ПГЗ для оператора породженого виразом порядку 2л + 1. В скалярному випадку (dimtf = 1) такий ПГЗ має вигляд Л = {С" ©С'*1 ,Г, ,,Г0}, де s = m-n-1,
sign^COXfy.^L -|?„(0f У”>(0))}
Г„у = {>(0),...;y-‘'(0),[>',>'1L,..,b',y1L,[>'^oL +l?o(0)|V"40)}.
В наведених формулах Jr0, yt, (/= 1 + j) — деякі функції з i?(£), qQ(t)— коефіцієнт при старшій похідній у відповідному виразі.
Зауважимо, що зазначені результати доповнюють результати робіт О.М. Холькина, Б.П. Аллах-вердієва, Ф.Г. Максудова, в яких аналогічні ПГЗ побудовано за умови т~2п dim Я або/та за деяких інших додаткових умов (у скалярному випадку для виразів порядку 2 л + 1 ці умови напевно не здійснюються).
В цьому ж підрозділі знайдено функцію Вейля для ПГЗ з теореми 10 у випадку 2п = 4, т = 3.
У підрозділі 3.3 розглядаються оператори, породжені взаємно спряженими різницевими виразами
Уу={у*}о (ly)k=C*-Jk-i + Bkyk +Akyk^k = QX- (16)
Vz = {zk}0 {I Z)k = + Дк2* ^QZA+I* (17)
де yt,-t eff, At,Bk,Ct є[Я], A_t = C_, = 0. З цими виразами пов’язана д.п. операторів {А,В) в
•й:= (2((0,«);Я), де А = А', В = 2Р, /Iі, £’— оператори, породжені виразами (16), (17) на ганеалі
фінітних послідовностей. Позначимо Р(Л) = {/»(Я)}о, (?(Я) = {{?t(A)]” (PtW,Qt(X) є [Я]) — операторні розв’язки пов’язаної з (16) системи
С^_1+(В,-Л)Г4 + Л^+1= 0, ¿ = 1,2,... (18)
такі, що /^(Л) = І,/‘¡(Л) = -А^'(В0-Л); Q,(A) = 0; {^(А) = 4>'-Аналогічні розв’язки такої ж системи для виразу (17) позначимо S( A) = {St (Я)},, Т{Л)={Тк (Я)}". ~
Нехай спочатку dimH = п<со, Ct - A't, = так шо L\- А—симетричний оператор в S.
Для кожного А є р{ і) введемо підпростір Нд = {/ еЯ^РДА)/)]2 <®}сЯ і розглянемо
t»o
систему (18) відносно невідомих операторів Yt є[Яд,Я]. Виявляється, що ця система має єдиний розв’язок Q(J-) = (&(Я)іо . б*(Я)є[ЯА,Я] такий, що j?(QaM))HQ Нк, (й„ - А)(Ї(А) +
+ЛЙ(Я) = /ял i£|&(A)jf<=o.
1.0
Теорема 11. Нехай 0 ep{L) йоператор L має індекси дефекту (m,m), m<,n. Тоді: /) простір Я0 (тобто Яд при А = 0) та оператори Г, є[^(Л'),Я0] (/ = 0,1), " '
г,у = ит^,(а'(0)ЛУ^,-&\,(0'Кл). г0у = Нт,_ (П'(0)4л+, - РІ№<У>)
утворюють ПГЗ оператора іі) відповідна функція Вейля має вигляд М(Х) = В(Х)ІУ1(Х), де
ад=і™^„Ф'ло)А>р^(Х)-ёио)4п(»), дя>=ііп^. ^(р;(0)4рі„(Д)-рі;,(о)л>1(я)).
Відзначимо, що якщо т=п (о Яя = Я), то послідовність ()(Х) с послідовністю операторних поліномів 2-го роду. Для цього випадку теорема 11 доведена В.О. Деркачем та М.М Маламудом, Ф.Г. Максудовим та Б.П. Аллахвердіевим.
Нехай, далі, сіішЯ < а>, Ск = -АІ, Іїе Вк > 0 і при деякому X є С,
УЛ є Я, А * О ¿1П(А)А|2 = = оо
**0 к*0 *
Тоді оператори А, В максимально акретивні, А - В* і наведена умова здійснюється УАєС,. Позначимо &(А0)={{ук}% є&(А):у0 = 0}, ЩВ0)= {{ік}” е&(В):г0 = 0}, А^ = АХЯ^), Ва = = В1 2>(В0). В роботі побудовано ГТ (Я® Я,/"'6’ ,Г4‘} д.п. нещільно визначених операторів Л0}, для якої фуіпсція Вейля М{&) (Я єС,) однозначно визначається однією з таких еквівалентних умов
¿(М*(Л)/Ї(Я) + Й(ЛЖА(Я)М(Л)+а (Я)) < »• /
*-0
¿(М(Я)5;(Л) + 7;(Я))(^(І)ЛГ(Я) + ГДЛ)) < 00 • /,
при цьому Яе М(Х) > 0 УЯ є С,.
Зауважимо, що аналогічне твердження має місце також і для виразів (16) таких, що Ск = Лк, Ітй, >0. В цьому випадку функція М(Я) визначена в С. і ІтА-/(Д)<0. Якщо, крім того, ІшВ, = 0 (самоспряжений вираз), то /¡¡(Я), ()к(Л) є операторними поліномами 1-го та 2-го роду, а функція Вейля М(Х) збігається з функцією, впровадженою Ю.М. Березанським.
ВИСНОВКИ
Останнім часом у теорії розширень ермітових операторів одержав розвиток підхід, побудований на понятті граничної трійки і абстрактної функції Вейля. Використання такого підходу дозволяє ряд задач теорії розширень розв’язувати в термінах абстрактних граничних умов (крайових умов у випадку диференціальних операторів). Поруч з тим аналогічні методи дослідження дуальних пар неермітових операторів розроблені з недостатньою повнотою і потребують подальшого розвитку. В цьому напрямку в роботі одержані такі результати:
1. Впроваджено поняття СЬфункції дуальної пари операторів і досліджені її властивості.
2. Впроваджено поняття граничної трійки для дуальної пари нещільно визначених операторів та функції Вейля. Встановлено зв’язок між (^-функціями та функціями Вейля. Описано спектр власних розширень в термінах абстрактних граничних умов і функції Вейля.
3. Одержано формулу для узагальнених резольвент дуальної пари операторів, яка доповнює відому формулу М.Г. Крейна для ермітових операторів.
4. Для операторів, породжених несамоспряженими диференціальними виразами з операторними коефіцієнтами, описано спектр в термінах крайових умов, указано достатню умову
дискретності спектра, одержано інтегральне зображення резольвент.
5. Для симетричних диференціальних та різницевих операторів при довільних індексах дефекту побудовано граничну трійку, яка дозволяє описувати власні розширення за допомогою крайових умов.
Результати робот можуть знайти застосування як для подальшого розвитку абстрактної теорії розширень, так і при дослідженні несамоспряжених граничних задач.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Могилевский В.И. О собственных расширениях сингулярного дифференциального оператора в пространстве вектор-функций // ДАН Украины, Сер. А. - 1994. - N 9. - с. 29 - 33.
2. Могилевский В.И. О расширениях и функции Вейля конечно-разностного оператора // Доп. Нац. акад. наук України. - 1995. - N 6. - с. 26 - 29.
3. Могилевский В.И. О собственных расширениях сингулярного дифференциального оператора в пространстве вектор-функций // Укр.мат. журн. - 1995. - т. 47, N 5. - с. 671 - 685.
4. Matamud М.М., Mogitevskii V.I. On extensions of dual pairs of operators И Доп. Нац. акад. наук України. -1997. -N 1. - с. ЗО - 37.
5. Mogilevskii V.I. On extensions of dual pairs of operators // M. Krein Internationa] Conference “Operator Theory and Applications”, Odessa, August 18-22. 1997. - Odessa. Ukraine. - 1997. -p. 72 -73.
Могілевський В.Й. Розширення дуальних пар операторів і функція Вейля. — Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 — математичний аналіз. — Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 1998. .
Дисертація містить дослідження з теорії розширень дуальних пар щільно та нещільно визначених операторів у гільбертовому просторі. За допомогою методів, що грунтуються на понятті граничної трійки та абстрактної функції Вейля, одержано опис спектра власних розширень дуальної пари і узагальнених (зокрема, кононічних) резольвент. Вивчено властивості функції Вейяя, одержано її внутрішню характеристику і знайдено зв’язок з іншими об’єктами теорії розширень. Застосування одержаних результатів до несамоспряжених диференціальних операторів дозволило описати їхній спектр в термінах крайових умов та одержати інтегральне зображення резольвенти.
Ключові слова: дуальна пара операторів, гранична трійка, функція Вейля, резольвента, спектр, диференціальний оператор.
Могилевский В.И. Расширения дуальных пар операторов и функция Вейля. — Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 — математический анализ. — Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 1998.
Диссертация содержит исследования по теории расширений дуальных пар плотно и неплотно заданных операторов в гильбертовом пространстве. С помощью методов, основанных на понятии граничной тройки и абстрактной функции Вейля, получено описание спектра собственных расширений дуальной пары и обобщенных (в частности, канонических) резольвент. Изучены свойства функции Вейля, приведена ее внутренняя характеристика и найдена связь с другими объектами теории расширений. Применение полученных результатов к несамосопряженным дифференциальным операторам позволило описать их спектр в терминах краевых условий и получить интегральное представление резольвенты.
Ключевые слова: дуальная пара операторов, граничная тройка, функция Вейля, резольвента, спектр, дифференциальный оператор.
Mogilevskii V.I. Extensions of dual pairs of operators and Weyl function. — Manuscript.
Thesis for a kandidat’s degree by speciality 01.01.01 — mathematical analysis. — The Institute of Applied Mathematics an Mechanics of National Academy of Science of Ukraine, Donetsk, 1998.
The dissertation contains investigations on the extension theory of dual pairs of densely and nondensely defined operators in Hilbert space. The description of spectrum of proper extensions and of generalized resolvents is obtained by means of a boundary triplet and an abstract Weyl function. The Weyl function’s properties, its inner characteristic and connection with other objects of extension theory are found. The application of these results to not self-adjoint differential operators enabled to describe their spectrum in the terms of boundary conditions and to obtain the integral representation of resolvents.
Key words: dual pair of operators, boundary triplet, Weyl function, resolvent, spectrum, differential operator.
