Рациональное армирование пластин при продольном и поперечном нагружении тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Со СГ)

о

¿О

£____На правах рукописи

Янковский Андрей Петрович

РАЦИОНАЛЬНОЕ АРМИРОВАНИЕ ПЛАСТИН ПРИ ПРОДОЛЬНОМ И ПОПЕРЕЧНОМ НАГРУЖЕНИИ

01.02.04. - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НОВОСИБИРСК - 1995

Работа выполнена в Институте теоретической и прикладной механики СО РАН, г. Новосибирск

доктор физико-математических наук, профессор Ю.В.Немировский

доктор технических наук, профессор В.В.Кабанов

кандидат физико-математических наук А.А.Шваб

Новосибирский Государственный Технический Университет

Защита диссертации состоится -¿3. 12. 199б' г. в ¡1_часов

на заседании специализированного совета К 002.55.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте гидродинамики СО РАН по адресу:

630090, г. Новосибирск, проспект академика М.А.Лаврентьева, 15.

С диссертацией можно ознакомиться в ОиОдиотеке Института гидродинамики СО РАН.

Автореферат разослан " " 1996г.

Ученый секретарь специализированного совета К 002.55.01 в ИМ СО РАН кандидат физико-математических наук

Научный руководитель

Официальные оппоненты »>

Ведущая организация

/

, •— Ю.М.Волчков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Конструкции, выполненные из армированных волокнами материалов, в последние года находят широкое применение в различных элементах авиационной, космической и машиностроительной техники. Применение армированных материалов позволяет создавать конструкции с широким спектром уникальных свойств, которые не могут быть реализованы при использовании обычных конструкционных материалов. Однако высокие показатели удельной прочности волокнистых композитов, выявленные при простейших испытаниях образцов на растяжение-сжатие вдоль армирующих волокон, далеко не гарантируют достаточно надежной работы изготовленных из них конструкций в условиях сложного напряженного состояния. 3 силу самого принципа создания таких материалов механические характеристики армирующих волокон на порядки превышают соответствующие характеристики связующего. Поэтому изменение структуры армирования в конструкции может привести к существенному изменению ее несущей способности. Поскольку серьезных технологических ограничений по регулированию структуры армирования в конструкциях типа пластин не существует, то особую важность приобретает задача их рационального армирования (РА). Цель РА заключается в определении такой структуры армирования конструкции, при которой несущая способность волокон использовалась бы наиболее полно. Кроме того, постановка задачи о РА должна принимать во внимание реальные возможности Технологического режима изготовления волокон. В связи с этим задача РА пластин и плоских композитных конструкций формулируется как задача отыскания таких траекторий армирования высокомодульными волокнами постоянного поперечного сечения, вдоль которых волокна оказываются равнонапряженными. А значит, особую актуальность приобретают математическая постановка соответствующей задачи и ее решение.

Целью настоящей работы является:

- постановка и решение двумерной термоупругой задачи РА плоских композитных конструкций, статически нагруженных в своей плоскости, с учетом стационарного теплового воздействия;

- разработка модели теплопроводности армированного слоя, учитывающей в первом приближении основные термические свойства волокнистой композиции и имеющей достаточно простой вид для дальнейшего анализа;

- постановка и решение одномерной и двумерной задач РА квазиоднородных пластин при статическом поперечном изгибе, подчиняющихся гипотезам .Кирхгофа-Лява (при упругом поведении обеих фаз композиции);

- разработка численных методов интегрирования двумерных задач РА плоских композитных конструкций и изгибаемых пластин;

- исследование, по-возможности, ряда вопросов, связанных с проблемой существования решения задачи РА плоских конструкций и изгибаемых пластин; анализ влияния на структуру РА температурного поля и замены жесткого закрепления на упругое в плоских конструкциях; исследование вопросов неединственности решения задачи РА и управления рациональными проектами с целью выбора лучшего проекта из целого пучка решений.

Научная новизна:

- предложена простая модель теплопроводности армированного слоя, учитывающая основные термические свойства волокнистой композиции, и определены некоторые типы теплового воздействия, при которых задачу теплопроводности можно считать решенной независимо от решения задачи РА;

- получены условия постоянства поперечных сечений волокон вдоль линий излома траекторий армирования и выявлены некоторые свойства, присущие плоским конструкциям и пластинам, армированным волокнами постоянного поперечного сечения;

- поставлены и решены (при некоторых типах закрепления) двумерные термоупругие сопряженные и контактные задачи РА плоских композитных конструкций с учетом теплового воздействия в классах гладких и разрывных функций;

- поставлены и решены (при некоторых типах опирания) осесиммет-ричная и двумерная сопряженные задачи РА изгибаемых пластин в классах гладких и разрывных функций; определены некоторые типы опирания пластин, подчиняющихся гипотезам Кирхгофа-Лява, при которых гладкие решения задачи РА вообще не существуют;

- показана возможность существования нескольких решений' задачи РА при одних и тех же входных данных и возможность управления рациональными проектами за счет варьирования линий разрыва решения и начальных условий для интенсивностей армирования;

- разработан численный метод интегрирования задач' РА плоских конструкций и изгибаемых пластин, являющийся аналитическим обобщением классического метода Рунге-Кутта на двумерный случай.

Практическая ценность. Разработанные методики и составленные для ПЭВМ IBM РС/АТ-386 программы позволяют определять структуру РА, распределение температурного поля и напряженно-деформированное состояние (НДС) в плоских конструкциях и изгибаемых пластинах и могут быть использованы в проектной и расчетной практике конструкторских и научно-исследовательских организаций.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на:

- 50-ой и 51-ой Научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава НГАС с участием представителей строительных, проектных и научно-исследовательских организаций (Новосибирск 1993, 1994 гг.);

- XIII и XIV Межреспубликанских конференциях по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Новосибирск 1993 г., Волгоград 1995 Г.);

- 17-ой Международной конференции по теории оболочек и пластин (Казань 1995 г.);

- Конференции по проблемам оптимизации в механике деформируемого твердого тела (Н.Новгород 1995 г.);

- 2-ой Межреспубликанской конференции по механике и технологии изделий из металлических и металлокерамических композиционных материалов (Волгоград 1995 г.).

- 2-м Сибирском Конгрессе по Прикладной и Индустриальной Математике (ИНПРИМ-96) (Новосибирск 1996 г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликованы 2 научные работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 77 наименований. Работа изложена на 210 страницах машинописного текста, содержит 7 таблиц и 17 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор исследований, посвященных рассматриваемой проблеме, и прийедено обоснование актуальности темы диссертации; сформулирована цель работы, отмечена ее научная новизна и практическая значимость, а также кратко изложено содержание глав диссертации.

Первая глава посвящена постановке и разработке методов реше-

ния двумерной задачи РА плоских композитных конструкций равнона-пряженными волокнами постоянного поперечного сечения с учетом теплового воздействия.

§ 1.1 содержит формальную постановку задачи РА. При исследовании столь сложных задач, как РА конструкций равнонапряженными волокнами, особую актуальность приобретает вопрос о выборе тер-мо-механической модели поведения армированного слоя. Очевидно, что при решении этого вопроса естественно ориентироваться на модели, описывающие основные свойства композитов и имеющие в то же время наиболее простой вид для последующего анализа. Поэтому в начале § 1.1 обосновывается выбор структурной модели армированного. материала, предложенной в работах Ю.В. Нэмировского и Б.С. Резникова. Кроме этих зависимостей, связывающих осредненные напряжения, деформации и температуру, для постановки задачи РА используются: уравнения равновесия плоской задачи теории упругости; условия постоянства поперечных сечений волокон, предложенные С.Б. Бушмановым и Ю.В. Немировским и записанные в дифференциальной форме; условия равнонапряженцости волокон; дифференциальные соотношения Каши, связывающие деформации и перемещения. Для решения термоупругой задачи РА предлагается простая модель теплопроводности армированного слоя, учитывающая в первом приближении его основные термические свойства, и выводится уравнение плоской стационарной теплопроводности, коэффициенты которого зависят от параметров армирования. К этим уравнениям и соотношениям присоединяются статические, кинематические и тепловые граничные условия, заданные на контуре Г, ограничивающем конструкцию. Так как условия постоянства поперечных сечений волокон являются фактически законом сохранения площадей поперечных сечений волокон, значения функций интенсивностей армирования можно задавать не на всем контуре Г, а только на той его части, где волокна входят в конструкцию. Поэтому для интенсивностей армирования только на части контура Г задаются начальные условия (их не следует путать с начальными условиями по времени в нестационарных задачах).

Условие равнонапряженности волокон вдоль их траекторий (с заданным уровнем напряжений), использующееся в качестве критерия РА, является очень жестким и может быть выполнено далеко не во всех конструкциях.. Естественным ослаблением этого условия служит отказ от требования отыскания только гладких решений задачи РА. При этом предполагается, что область G, занимаемая конструкцией

в плане, может состоять из нескольких контактирующих между собой подобластей, в каждой из которых материалы связующего и волокон имеют свои механические характеристики, а все известные и неизвестные функции - необходимую гладкость, причем - для еще большего смягчения условия РА - допускается наличие таких подобластей, в которых условие равнонапряженности вообще не выполняется.

Для завершения постановки задачи РА в такой расширенной форме к уравнениям, соотношениям и граничным условиям, указанным выше, добавляются статические, кинематические и тепловые условия стыковки вдоль линий контакта означенных подобластей. К этим условиям стыковки присоединяются начальные условия для интенсивнос-тей армирования, заданные на линиях контакта подобластей, или условия постоянства поперечных сечений волокон, которые предварительно выводятся на основе их интегральной формы по той же схеме, что и условия Гюгонио, выполняющиеся на линиях разрыва решения уравнений газовой динамики.

В § 1.2 исходная система, граничные условия и условия стыковки приводятся к разрешающему виду. Для этого из уравнений равновесия, статических граничных условий и статических условий стыковки за счет соотношений Дюгамеля-Неймана и дифференциальных соотношений Коши исключаются напряжения и деформации. После чего замкнутая система разрешающих уравнений, граничные условия и условия стыковки в качестве неизвестных функций содержат только параметры армирования, перемещения и температуру. При этом сам вид системы разрешающих уравнений указывает на то, что при решении задачи РА необходимо решать фактически три связанные между собой задачи: определение параметров РА, отыскание температурного поля и НДС в конструкции. Исследование (с помощью детерминан-тного метода) типа этой системы показало, что она относится к квазилинейным системам смешанно-составного типа и всегда имеет действительные характеристики, совпадающие с траекториями армирования. Кроме того, если учитывается тепловое воздействие, то система имеет две мнимые характеристики, порождаемые уравнением теплопроводности, которое при произвольном наборе параметров армирования, подчиняющихся неравенствам

N

шь>0 (й=1У иь<1, (1 >

А к=1 * удовлетворяет условиям эллиптичности. Здесь - интенсивность

армировании волокном к-го семейства, N - число семейств армирую-

щих волокон. Неравенства (1) являются физическими ограничениями, означающими, что плотность армирования не может быть отрицательной функцией и что волокна не могут заполнять объем больший, чем объем конструкции.

В настоящее время теория уравнений смешанно-составного типа разработана неполно, поэтому аналитическое исследование свойств решений системы разрешающих уравнений в общем виде вызывает значительные трудности. Однако некоторые свойства решений этой системы можно указать. Так, уравнение теплопроводности, записанное в дивергентной форме, удовлетворяет условиям эллиптичности при выполнении неравенств (1), поэтому температура 0 при отсутствии внутренних источников тепла может достигать своих наибольшего и наименьшего значений только на контуре Г, а значит, при задании на всем контуре Г постоянного значения температуры 60 функция в во всей конструкции будет равна 0О, и следовательно, в этом случае задачу теплопроводности можно считать решенной независимо от решения задачи РА. Формальное интегрирование условия постоянства поперечных сечений волокон й-го семейства вдоль траекторий армирования показывает, что знак функции шк определяется знаком начального условия для интенсивностей армирования то есть выполнения первых N неравенств (1) всегда можно добиться, задав шн£>0 Анализ условия постоянства поперечных сечений во-

локон, записанного в интегральной форме, позволил 'установить следующие факты: во-первых, семейство траекторий армирования волокон постоянного поперечного сечения не может иметь огибающей (иначе нарушается последнее неравенство (1)), в частности, траектории армирования не могут по касательным направлениям приближаться к контуру конструкции; во-вторых, если двусвязная область С ограничена внешним контуром Г? и внутренним - Г2 и, кроме того, на контуре Г2 волощш только выходят (или только входят) из области в, то за счет стягивания внутреннего контура Г2 в точку невозможно получить односвязную область С, ограниченную только контуром Т1 и армированную всюду волокнами постоянного поперечного сечения;■в-третьих, волокна одного и того же семейства не могут пересекаться и асимптотически приближаться к некоторой кривой.

Статические, кинематические и тепловые граничные условия являются естественными условиями в задачах механики деформируемого твердого тела и определяются конкретными условиями эксплуатации.

Начальные же условия для интенсивностей армирования ш являются технологическими условиями, фактически означающими количество волокон й-го семейства, внедряемых в конструкцию. Выбор количества внедряемых волокон является, в определенной степени, произвольным, удовлетворяющим лишь неравенствам (1) и условиям существования соответствующего проекта РА. Следовательно, задача РА обладает произволами, связанными с заданием Варьируя фукк-ции шн;?г можно получить целые пучки решений задачи РА,

из которых можно выбирать проекты с определенными свойствами, например, с наименьшим расходом армирующих волокон или с наименьшей интенсивностью напряжений в связующем, или другие. Это означает, что проектами РА можно управлять.

§ 1.3 посвящен итерационному методу решения задачи РА плоских композитных конструкций. Предложенный здесь итерационный процесс относится к разряду методов теории возмущений, при этом в качестве малого параметра X используется отношение модуля упругости связующего к модулю упругости волокна первого семейства. Анализ уравнений итерационного процесса в зависимости от числа семейств волокон N показал, что при внедрении в конструкцию двух семейств арматуры (N=2) итерационный метод при решении задачи РА позволяет "расщепить" ранее связанные задачи определения параметров РА, температурного поля и НДС в конструкции и решать их для соответствующих приближений последовательно на каждой итерации. В этом случае исходная система разрешающих уравнений на каждой итерации расттадаетя на три замкнутые подсистемы: первая подсистема состоит из двух уравнений равновесия и двух условий постоянства поперечных сечений волокон и определяет приближения для параметров РА (углов и плотностей армирования: а^, (&=1,2)); вторая подсистема состоит из одного уравнения теплопроводности, которое, если первая подсистема проинтегрирована, является линейным эллиптическим уравнением 2-го порядка относительно приближения для температуры; третья подсистема состоит из двух условий равнона-пряженности волокон и, если первые две подсистемы проинтегрированы, является линейной гиперболической относительно приближений для перемещений и?, Так как первая и третья подсистемы имеют только действительные совпадающие характеристики и на каждой итерации статические и кинематические граничные условия задают для них начальные условия для приближений параметров РА и перемещений, то для этих подсистем естественным образом ставится за-

дача Коли; для второй же подсистемы решается обычная граничная задача плоской стационарной теплопроводности.

Если в конструкцию внедряются одно или более двух семейств волокон (N¿2), то предложенный итерационный процесс не приводит к столь значительному упрощению системы разрешающих уравнений, в силу чего эти случаи не исследуются подробно в'§ 1.3.

Анализ статических граничных условий и статических условий стыковки при №=2 показал, что на каждой итерации их можно двояко разрешить относительно приближений углов армирования, а значит, итерационный метод позволяет получить при одних и тех же входных данных до 2м решений задачи РА, если они существуют (здесь М -количество подобластей непрерывности и гладкости решения). Таким образом, при помощи методов возмущений удалось показать, что задача РА плоских композитных конструкций может иметь нееданствен-ное решение.

Глава вторая посвящена постановке и разработке методов решения задачи РА квазиоднородных пластин постоянной толщины при поперечном изгибе, подчиняющихся гипотезам Кирхгофа-Лява.

§ 2.1 содержит формальную постановку задачи РА изгибаемых пластин равнонапряженными волокнами. В качестве закона Гука здесь выбирается та же модель армированного слоя, что и в первой главе, но без учета теплового воздействия. Кроме закона Гука для постановки задачи РА используются: уравнения равновесия Нагибаемых пластин; дифференциальные условия постоянства поперечных Сечений волокон; условия равнонапряженности волокон, которые в силу гипотез Кирхгофа-Лява при поперечном изгибе выполняются на верхней и нижней сторонах пластины, но напряжения в волокнах при этом отличаются лишь знаком в зависимости от выбора той или иной стороны; дифференциальные соотношения, связывающие деформации с прогибом. К этий уравнениям и соотношениям присоединяются.статические и кинематические граничные условия, заданные на кромке Г, ограничивающей пластину, и, кроме того, на части кромки Г, где волокна входят в пластину, задаются начальные условия для интен-сивностей армирования. Для завершения постановки задачи РА в класса разрывных функций используются статические и кинематические условия стыковки и начальные условия для интенсивностей армирования, заданные на линиях контакта подобластей непрерывности (гладкости) решения, а также условия постоянства поперечных сечений волокон вдоль тех же линий контакта.

В § 2.2 исходная система, граничные условия и условия стыковки приводятся к разрешающему виду. Для этого из уравнений равновесия, статических граничных условий и статических условий стыковки за счет закона Гуна и выражений, связывающих деформации с прогибом, исключаются силовые факторы и деформации. После чего замкнутая система разрешающих уравнений, граничные условия и условия стыковки в качестве неизвестных функций содержат только параметры армирования и прогиб. Сам вид системы разрешающих уравнений указывает на то, что при решении задачи РА необходимо рассмаиривать две связанные мевду собой задачи: определение параметров РА и НДС в пластине. Исследование типа этой системы показывает, что она относится к квазилинейным системам составного типа и всегда имеет однократные действительные характеристики, совпадающие с траекториями армирования, трехкратные действительные характеристики, ортогональные траекториям армирования, и двукратные мнимые характеристики.

Теория квазилинейных систем составного типа разработана не настолько полно, чтобы можно было аналитически исследовать свойства решений системы разрешающих уравнений в общем виде. Однако анализ условий равнонапряженности волокон позволил определить следующие типы закрепления поперечно изгибаемых пластин, при которых гладкие решения задачи РА не существуют вообще: 1) пластина жестко защемлена по всей кромке Г, ее ограничивающей; 2) пластина оперта по всей кромке Г, а по части Г еще и защемлена; 3) на одной части кромки пластина оперта, на другой части жестко защемлена, а на третьей - задана податливая опора с защемлением (при этом первая часть контура может вообще отсутствовать). Итак, для указанных типов закрепления нужно разыскивать разрывные решения задачи РА. При этом найдутся такие линии разрыва решения Г , при переходе через которые напряжения в равнонапряжен-ных волокнах будут менять знак. Но в этом случае вблизи Г^ напряжения В' связующем могут достигать больших по модулю значений, следствием чего может стать разрушение пластины, а значит, в окрестности таких линий целесообразно отказаться от выполнения условия равнонапряженности арматуры. Кроме того, анализ условия равнонапряженности вблизи кромки пластины, которая жестко защемлена, показал, что чем меньше угол между траекторией армирования и касательной к кромке, тем больше по модулю деформации.в пластине и, кяк следствие этого, напряжения в связующем. Причем в

предел-, когда указанный угол стремится к нулю, деформации по модулю неограниченно возрастают (что опять же приводит к разрушению пластины).

Как и в задаче РА плоских композитных конструкций, так и в задаче РА изгибаемых пластин можно управлять проектами РА за счет варьирования начальных условий для интенсивностей армирования, отбирая лучшие в том или ином смысле решения.

В § 2.3 исследуется итерационный метод решения задачи РА квазиоднородных поперечно изгибаемых пластин. Предложенный итерационный процесс относится к разряду методов теории возмущений, а в качестве малого параметра А., как и в § 1.3, выступает отношение модуля упругости связующего к модулю упругости волокна первого семейства. Анализ уравнений итерационного процесса в зависимости от числа семейств волокон N показывает, что при внедрении в пластину одного семейства арматуры <У=1) итерационный метод при решении задачи РА позволяет "расщепить" ранее связанные задачи .определения параметров РА и НДС в пластине и решать их для соответствующих приближений последовательно на каждой итеращш. При этом система разрешающих уравнений на каждой итерации распадается на две замкнутые подсистемы: первая подсистема состоит из одного уравнения равновесия и одного условия постоянства поперечных сечений волокон и определяет приближения для параметров РА вторая подсистема состоит из одного условия равнонапря-женности волокон и, если первая подсистема уже проинтегрирована, является линейным параболическим уравнением второго порядка относительно приближения для прогиба и. Так как эти прдсистемы имеют только действительные совпадающие характеристики и на каждой итерации статические и кинематические граничные условия задают для них начальные условия, то для этих подсистем естественным образом ставится задача Коши при аналитических входных данных. (Здесь нужно отметить, что для параболического уравнения, соответствующего условию равнонапряженности волокон, ставится принципиально иная краевая задача, чем для параболического уравнения, описывающего процесс нестационарной одномерной теплопроводности, и постановка задачи Коши для параболического уравнения второго порядка, возможно, является новой постановкой в краевых задачах механики. Однако выяснение вопроса корректности постановки такой задачи не является актуальным в рамках настоящей ра-

боты, поскольку, как указано выше, входные данные для уравнений итерационного процесса предполагаются аналитическими.)

Анализ статических граничных условий и статических условий стыковки показал, что на кавдой итерации можно получить два набора решений для приближений углов- армирования. Эти два ^решения задают направления, симметричные относительно нормалей к кромкам и линиям стыковки. Следовательно, итерационный метод позволяет получить при одних и тех же входных данных до 2м решений задачи РА, если они существуют (здесь по-прежнему V - количество подобластей непрерывности решения). Причем, если входные данные задачи обладают симметрией относительно некоторой оси, лежащей в срединной плоскости пластины, то среди указанных решений обязательно найдутся два таких, что структура РА и НДС в них будут симметричны относительно этой оси. Если по одному из двух выделенных проектов уже изготовлена квазиоднородная пластина, то пластину со вторым проектом укладки арматуры можно получить поворотом готовой конструкции вокруг оси симметрии на угол %. В частности, все решения осесимметричных задач обладают отмеченным свойством.

Если в пластину внедряются более одного семейства арматуры (№>2). то предложенный итерационный метод не приводит к столь существенному упрощению системы разрешающих уравнений, в силу чего эти случаи не исследуются подробно в § 2.3.

В § 2.4 анализируется случай РА квазиоднородных пластин при осесимметричном поперечном изгибе. Система разрешающих уравнений при этом сводится к системе обыкновенных квазилинейных уравнений первого порядка, для которой решается двухточечная граничная задача. Показывается, что в осесимметричном случае с практической точки зрения вполне достаточно в пластину внедрять два семейства арматуры, изготовленных из одного материала и уложенных по ради-альносимметричным траекториям. Если итерационный процесс, предложенный в § 2.3, позволяет решить задачу РА только при одном типе закрепления пластины, а именно, при задании на одной части кромки статических граничных условий, а на другой - опоры с защемлением, то уравнения осесимметричного изгиба удается численно проинтегрировать методом пристрелки для четырех типов закрепления кольцевых пластин: 1) опора с изгибающим моментом на одной кромке и статическое нагружение на другой; 2) жесткое защемление

на одной кромке и ста/тическое нагружение на другой; 3) опора с изгибающим моментом на одной кромке и податливая опора с защемлением на другой; 4) опоры с изгибающими моментами на обеих кромках. Следовательно, итерационный метод (§ 2.3) далеко не при всех Т1уах закрепления пластины позволяет отыскивать существующие решения задачи РА.

Третья глава посвящена обсуждению численных методов решения задачи РА плоских композитных конструкций и изгибаемых пластин.

В начале главы кратко обсуждаются вопросы приближенного интегрирования систем разрешающих уравнений при помощи метода конечных разностей (МКР). При таком подходе конечно-разностные аналоги систем разрешающих уравнений и граничных условий оказываются системами трансцендентных уравнений, для решения которых необходимо использовать итерационные методы, например, метод Ньютона. Чтобы начать такие итерационные процессы, нужно задать начальные приближения для разыскиваемых функций. Об этих приближениях в общем случае ничего неизвестно. Кроме того, дело осложняется тем, что на сегодняшний день ничего неизвестно и об условиях существования решения таких трансцендентных уравнений. Все это делает МКР мало эффективным при решении задач РА, когда аппроксимируются непосредственно системы разрешающих уравнений. В сложившейся ситуации целесообразно воспользоваться приближенным интегрированием не систем разрешающих уравнений, а систем, получающихся за счет применения итерационных методов (методов теории возмущений), предложенных в §§ 1.3 и 2.3. Так как при этом подсистемы уравнений, определяющие приближения для параметров армирования и перемещений (или прогиба), имеют только действительные совпадающие характеристики, то для приближенного интегрирования задачи Коши, соответствующей им, можно использовать метод характеристик (Масео) или МКР. Однако эти методы эффективны лишь при однократном интегрировании указанных подсистем и малопригодны при многократно повторяющемся интегрировании (чего требуют итерационные процессы). Это вызвано особенностями уравнений итерационных процессов. А именно: при решении задачи РА плоских конструкций для определения приближений для перемещений требуется проинтегрировать систему гиперболических уравнений первого порядка, а для продолжения итерационного процесса необходимо эти приближения дважда продифференцировать (то есть порядок уравнений, задающих неизвестные функции, меньше, чем порядок производ-

шх от этих функций, которые потребуются для построения следующей итерации). Еще более ярко эта особенность проявляется при реиении задачи РА изгибаемых пластин, где для определения приближения для прогиба используется дифференциальное уравнение второго порядка, а затем это приближение четырежды дифференцируется для получения уравнений, задающих приближения для параметров армирования на следующей итерации. Эта особенность итерационных процессов требует при численной их реализации высокой точности интегрирования соответствующих систем. Классические численные метода интегрирования (МКР, метод Массо) при этом приводят либо к потере точности, которая быстро накапливается от итерации к итерации, либо к неявным схемам интегрирования задачи Кошя. Для устранения этих недостатков предлагается численный метод, полученный за счет аналитического обобщения классического метода Рунге-Кутта на двумерный случай.

суть обобщения метода Рунге-Кутта излагается на примере одного уравнения в частных производных первого порядка. Пусть для некоторой функции т(т},,т)а) задано дифференциальное уравнение

£(Т}(, Т)2> V,-у,2) (2)

и начальное условие на прямой Г0: т](=7}го=сопз1;:

где I, у0 - известные функции, имеющие гладкость по всем аргументам таких порядков, какие потребуются в процессе рассуздений;, индекс после запятой означает частную производную по соответствующей переменной т]{ ({=1,2'). Необходимо построить приближенное решение задачи Коши (2), (3) на прямой Г*: т)?=т);о+й=соп81;, где Ь. - шаг интегрирования.

Согласно общей идее классического метода Рунге-Кутта в качестве приближенного решения задачи Ковш выберем функцию

ет(1ьт)2)=У0(т]2)+ргоко(11(т]2)+..•+Ргг^г(11,т]2), г=1;2,'3... (4)

где

к1(Ь,Т12)=М1 (СХКг), Го^(т),0, Т)2, т0(л2). <г2т0ет^)),

1-1 1-1 (5)

Здесь Ш^г; бlJ, рг1 - постоянные, подлежащие опреде-

лению; й^ - полная производная от сложной функции § по переменной т)2. Рассуждениями, подобными тем, что используются при изложении метода Рунге-Кутта, удалось показать, что постоянные и 8iJ в выражениях (5) совпадают (7^= а постоянные (3{, 7 ,

р определяются из ристем уравнений, полностью совпадающих с соответствующими системами классического метода Рунге-Кутта. Предложенный метод приближенного интегрирования задачи Коши (2), (3) имеет следующие особенности: 1) приближенное решение получается в аналитической, а не в дискретной форме (как в МКР); 2) метод относится к явным схемам интегрирования; 3) отклонение приближенного решения (4) от точного в окрестности линии Го имеет порядок 0{ЪГ+1), что .позволяет интегрировать задачу Коши с высокой точностью. Подобно тому, как в одномерном случае все схемы численного интегрирования задачи Коши по методу Рунге-Кутта с одного уравнения переносятся на системы уравнений первого порядка, можно предложенный метод обобщить и на случай интегрирования задачи Коши для системы уравнений вида (2), где в (2), (3) под V, ч0, Г нужно понимать вектор-функции.

Дальнейшим естественным обобщением метода Рунге-Кутта служит его адаптация к интегрированию задачи Коши, поставленной для системы уравнений второго порядка следующего вида:

Г(т);, т]2, V, у,2, v,22), (б)

для которой заданы начальные условия (3). В этом случае в качестве приближенного решения задачи Коши по-прежнему выбирается вектор-функция (4), но выражения для 1 (1=1,2,...,г) в (5) соответствующим образом изменяются в силу зависимости вектор-функции Г в (6) от аргумента V, . Обобщенным методом Рунге-Кутта, примененным к решению задачи Коши (3), (6), удалось проинтегрировать с высокой точностью уравнение плоской стационарной теплопроводности для армированной конструкции, которое сначала было приведено к системе двух уравнений вида (В). Так как для уравнения теплопроводности на каждой итерации ставится граничная задача, а не задача Коши, указанную систему уравнений приходится интегрировать с применением метода матричной прогонки.

Вычисление в (5) полных производных по переменной т]2 в общем случае неудобно, поэтому указанные производные целесообразно заменить их конечно-разностными аналогами. Используя различные шаблоны аппроксимации оператора дифференцирования по т) на различных этапах обобщенного метода Рунге-Кутта (т.е. при определении различных Г{), можно получить численные схемы интегрирования с различными свойствами. Так, если эти шаблоны одинаковы для всех то получим хорошо известный метод прямых, совмещенный с классическим методом Рунге-Кутта. С другой стороны, в работах

авторов Shu C.-W., Osher S. предложены шаблоны дифференцирования по т} , обеспечивающие монотонность схемы интегрирования для решений с ограниченной полной вариацией (так называемые TVD схемы).

Аналитическое представление (4) приближенного решения задачи Коши (2), (3) позволяет: во-первых, более гибко использовать шаблоны агатроксимации оператора дифференцирования по т)2 в различных узлах и на различных этапах метода Рунге-Кутта и оценивать погрешность, вносимую в решение заменой этого оператора его конечно-разностным -аналогом, чего не позволяют сделать известные численные методы, основанные на схемах Рунге-Кутта (например, метод прямых или методы, предложенные Shu C.-W., Osher S.); во-вторых, перейти к обобщению на многомерные случаи неклассических методов Рунге-Кутта, которые могут оказаться эффективными для уравнений типа (2), обладающих свойством жесткости по переменной т) , обеспечивая необходимые условия устойчивости.

Итак, предложенный метод позволяет численно с высокой точ ностью проинтегрировать уравнения задач РА плоских конструкций и изгибаемых пластин, получающиеся из систем разрешающих уравнений за счет применения методов теории возмущений.

Четвертая глава посвящена обсуждению точных и приближенных решений задач РА.

В § 4.1 анализируются конкретные решения задач РА плоских упругих и термоупругих конструкций. Чтобы вызвать доверие к результатам этого параграфа и показ'ать, что задачи РА могут быть решены для конструкций различной формы и при различных типах их закрепления и нагружения (а не в каких-то исключительных случаях), вначале исследуются простые примеры, допускающие аналитические решения. Так, для конструкции типа протяженной стенки постоянной высоты, закрепление и нагружениа которой не' изменяются в продольном направлении, при равномерном нагреве (охлаждении) или отсутствии теплового воздействия задача РА интегрируется в квадратурах, и ее решение для любого количества семейств армирующих волокон сводится к. решению замкнутой системы трансцендентных уравнений относительно параметров армирования и деформаций в стенке. В частных случаях нагружения, когда нагрузки имеют только продольные или поперечные (по высоте) составляющие, при внедрении двух семейств арматуры, изготовленных из одного материала и уложенных симметрично по высоте стенки с одинаковой плот-

ностыо, указанная система сводится к алгебраическим .уравнениям ьосьмого и четвертого порядков, соответственно, относительно косинуса угла армирования, причем коэффициенты этих уравнений параметрически зависят от уровня нагрева конструкции и постоянной, характеризующей общее количество волокон, внедряемых в стенку. Следовательно, многообразие решений таких задач РА порождается возможностью варьирования параметра, характеризующего количество волокон, и тем, что уравнения, определяющие эти решения, являются алгебраическими уравнениями высоких порядков.

Далее, чтобы продемонстрировать возможность решения задачи для конструкций иной формы, рассматривается случай осесиммегрич-ного нагружения в окружном направлении кольцевой пластины (такое нагружение может возникать при работе торсионных механизмов). Если при этом в пластину внедрять два семейства арматуры, изготовленных из одного материала (приняв напряжения в волокнах разных семейств равными по модулю и противоположными по знаку) и уложенных радиальносимметрично с одинаковой плотностью, то такая задача становится статически определимой и ее решение сводится к решению а.1нчернического уравнения восьмого порядка относительно ксгаиуса угла армирования. Следовательно, для такой конструкции при соответствующих входных данных можно получить до восьми проектов РА, причем структуры армирования будут параметрически зависеть от константы, характеризующей общее число волокон, внедряемых в пластину.

Затем приводится аналитическое решение термоупругой задачи РА для кольцевой пластины, равномерно нагретой и нагруженной на внутренней и внешней кромках постоянным давлением. При этом из всех возможных решений задачи выделяется случай однородного деформированного состояния, когда радиальные и окружные деформации равны, а сдвиговые деформации отсутствуют. Несложным преобразованием некзьестных функций термоупругая задача РА сводится к упругой, решение которой известно из работ С.Б. Бушманова и Ю.В. Немировекого.

После рассмотрения аналитических решений задач РА в § 4.1 обсуждаются приближенные решения для односвязных и двусвязных плоских конструкций достаточно произвольной формы, при произвольном их закреплении и нагружении, удовлетворяющих лишь условиям существования соответствующих проектов РА. Сначала приводятся два пешенин одной и той же задачи в классе гладких функций для дьу

связной конструкции сложной формы и проводится их сравнение. Затем исследуется влияние теплового воздействия на структуру РА и НДС в конструкции при различных способах нагрева; исследуется влияние замены жесткого закрепления конструкции на упругое (последняя задача может трактоваться так: упругая двумерная среда имеет отверстие сложной формы, подкрепленное криволинейным кольцом с рациональной структурой армирования; НДС в упругой среде определяется при этом за счет приближенного решения интегральных уравнений, полученных на основе решения задачи Кельвина для плоской деформации в изотропной и ортотропной среде, особенности в несобственных интегралах выделяются за счет использования прямолинейных граничных элементов метода фиктивных нагрузок). В конце параграфа приводится сопряженное (разрывное) решение задачи РА для односвязной конструкции, гладкое решение которой методами теории возмущений получить не удается.

Исследования, проведенные в этом параграфе, позволяют сделать следующие выводы. Во-первых, плоские задачи РА могут иметь множество решений, на совокупности которых можно осуществлять целевое управление (оптимизацию). Во-вторых, в термоупругих задачах РА можно пренебрегать тепловыми эффектами при определении структуры армирования, если отношение модуля упругости связующего к модулю упругости волокна имеет порядок 1СГ2 (например, эпоксидная смола, армированная высокомодульными углеродными волокнами), что существенно упрощает решение задачи; при величине указанного отношения порядка 1СГ7 (например, эпоксидная смола, армированная вискозными волокнами с низкой жесткостью) тепловое воздействие существенно влияет на структуру РА и НДС в конструкции, и пренебрегать этим воздействием недопустимо. Причем, если коэффициенты линейного теплового расширения волокон больше соответствующего коэффициента связущего, то при совпадении знака температуры со знаком напряжения в волокнах траектории РА сгущаются, а при расхождении этих знаков - разреживаются (картина меняется на противоположную, если указанные коэффициенты волокон меньше коэффициента связующего). В-третьих, во многих конструкциях, не подверженных тепловому воздействию, при отсутствии распределенных массовых нагрузок укладка высокомодульных волокон, по прямолинейным траекториям, определяемым первыми приближениями по методам теории возмущений, приводит к проектам, близким к рациональным, что удобно с технологической точки зрения.

В § 4.2 обсуждаются решения задач РА квазиоднородныХ поперечно изгибаемых пластин.'Опять же, чтобы- вызв'ать доверие читателя к результатам этого параграфа, вначале рассматривается случай цилиндрического изгиба прямоугольной пластины большой протяженности, нагружение и закрепление которой не изменяются в продольном направлении. Эта задача интегрируется в квадратурах и ее решение для любого числа семейств волокон сводится к решению замкнутой системы трансцендентных уравнений относительно параметров армирования и деформаций в пластине. В частных случаях: внедрение одного семейства арматуры или двух семейств, изготовленных из одного метериала и уложенных симметрично относительно поперечного (по ширине) направления с одинаковой плотностью, указанная система сводится к алгебраическим уравнениям четвертого порядка относительно косинуса угла армирования, причем коэффициенты этих уравнений- параметрически зависят от констант, характеризующих общее количество волокон, внедряемых в пластину. Следовательно, как и в случае плоских конструкций, многообразие решений задач РА изгибаемых пластин определяется возможностью варьирования указанных параметров и тем, что при их фиксированных значениях и соответствующих входных данных алгебраические уравнения могут иметь до четырех действительных корней.

Далее обсуждаются приближенные решения задачи РА поперечно изгибаемых пластин достаточно произвольной формы и способы целебного управления соответствующими структурами армирования. Сначала приводится пример, когда в полученной решении нарушается последнее физическое ограничение (1), то есть решение существует с мат»м*»1,ич*окой точки »рения, но не реализуемо .на практике. Для преодоления »той ситуации предлагаются три типа управления проектами армирования: 1) отыскание других решений ваДачи, удовлетворяющих неравенствам (1); 2) варьирование начальных условз^й для интенсивностей армирования; 3) использование сопряженных (разрывных) решений задачи, удовлетворяющих (1). Затем рассматривается совокупность сопряженных решений задачи РА, полученных при одних и тех же входных данных, и проводится сравнение этих решений. В заключение обсуждаются осесимметричные проекты армирования изгибаемых пластин. При этом выясняется, что методы теории возмущений, предложенные для решения задачи в §5 1.3 и 2.3, позволяют отыскивать далеко не все проекты - РА (о чем свидетельствуют и аналитические решения), и обсуждаются причины, по которым методы

теории возмущений "сужают" множество отыскиваемых решений. Приводятся примеры оптимального управления структурами армирования на множестве проектов с равнонапряженной арматурой.

В заключении сформулированы выводы, вытекающие из анализа основных результатов,, полученных при исследовании задач РА плоских конструкций и поперечно изгибаемых пластин.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1) предложена модель теплопроводности армированного слоя, учитывающая в первом приближении основные термические свойства волокнистой композиции и имеющая достаточно простой вид для дальнейшего анализа задачи, получено условие постоянства поперечных сечений волокон вдоль линии разрыва решения (вдоль линии излома траекторий армирования), на основании чего поставлены сопряженная и контактная задачи РА плоских композитных конструкций с учетом теплового воздействия в классе разрывных функций.

2) за счет использования методов теории возмущений решена двумерная сопряженная термоупругая задача армирования (двумя семействами равнонапряженных волокон постоянного поперечного сечения) плоских композитных конструкций (нагруженных в своей плоскости) в классе разрывных функций и с учетом теплового воздействия (для некоторых типов жесткого или упругого закрепления); ре-иена контактная задача РА конструкций с изотропными включениями или подкреплениями.

3) поставлена задача РА пластин при поперечном изгибе (в рамках гипотез Кирхгофа-Лява) в классах гладких и разрывных функций.

4) выявлены некоторые типы закрепления изгибаемых квазиоднородных пластин, армированных равнодапряженными волокнами, при которых гладкие решения задачи РА вообще не могут существовать.

5) за счет использования методов теории возмущений решена двумерная задача армирования (одним семейством равнонапряженных волокон постоянного поперечного сечения) изгибаемых квазиоднородных пластин в классах гладких и разрывных функций при определенном типе закрепления.

6) показана возможность существования неединственного решения задачи РА плоских конструкций и изгибаемых пластин.

7) численным интегрированием с применением метода пристрелки

решена осесимметричная задача армирования (двумя семействами равнонапряженных волокон постоянного поперечного сечения, выполненными из одного и того же материала) изгибаемых квазиоднородных пластин в классах гладких и разрывных функций при четырех типах закрепления.

8) разработан метод приближенного интегрирования с высокой точностью задачи Коши для линейных и квазилинейных уравнений с частными производными, относящийся к явным схемам интегрирования и являющийся аналитическим обобщением классического метода Рун-ге-Кутта на многомерный случай. Этим методом были численно проинтегрированы двумерные задачи РА плоских композитных конструкций и изгибаемых пластин.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В РАБОТАХ:

1. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Рациональное армирование пластин при осесимметричном поперечном изгибе // Изв. вузов. Строительство. -1996, -Х2.. -С. 23-27.

2. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Проектирование композитных пластин с равнонапряженной арматурой // Тез. докл, на 2-м Сибирском Конгрессе по Прикладной и Индустриальной Математике (ИНПРШ-96). -Новосибирск, 1996. -С. 258-259.

3. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Пологие оболочки и изгибаемые пластины с равнонапряженной арматурой // Труды 17-ой Междунар. конф. по теории оболочек и пластин.-Казань, 1996. -Т.1 . -С. 77-87.

4. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Контактные и сопряженные термоупругие задачи рационального армирования плоских композитных конструкций // Междунар. конф. "Проблемы оптимиз. в мех. деформир. тверд, тела", Нижний Новгород, 16-20 окт., 1995: Тез. докл. -Н. Новгород, 1995. -С. 35-36.

5. Янковский А.П. Расчет ортотропной пластины с подкрепленным отверстием сложной формы на основе МГЭ // Проблемы повышения прочности элементов машиностроительных конструкций: Тез. докл. VI межреспубл. студенческой научно-тех. конф. -Брянск, 1988. -С. 9.