Разделение переменных и квазиклассический расчет дваждывозбужденных состояний двухэлектронного атома в гиперсферических координатах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА -I-.И

ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР.

1.1. Ранннс вычисления для основных состояний двухэлектронных атомов.

1.2. Дважды возбужденные состояния: основная спектральная структура.

13. Дважды возбужденные состояния: вычислительные подходы.

1.4. Приближенные квантово-механическне методы в двухэлектрон-нон динамике.

1.4.1. Молекулярное адиабатическое приближение.

1.4.2. Алгебраический подход.

1.4.3. Гиперсферическое адиабатическое приближение.

1.5. Дипольнос приближение.

ГЛАВА -II-.

РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В ГИПЕРСФЕРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТЫ.

2.1. Постановка задачи и описания состояние Вапье.

2.2. Двухэлектроиный атом в представлении углов Эйлера.

2.3. Точное разделение динамических переменных.

ГЛАВА-III-.

РЕШЕНИЕ В СЛУЧАЕ Sc HD Р°-СОСТОЯНИЕ.

3.1. Основной подход решения.

3.2. Se- состояние.

3.2.1. Решение уравнения по угловой переменной.

3.2.2. Решение уравнения по гиперсферическому углу.

3.2.3. Квазиклассическое решение уравнения по гиперрадиусу.

3.3.1'"- состояние.

3.3.1. Решение уравнения по угловой переменной.

3.3.2. Решение уравнения по гиперсферическому углу.

3.3.3. Квазиклассическое решение уравнения по гиперрадиусу.

ГЛАВА -IV-.

Рс - н D-СОСТОЯНИЕ ВАНЬЕ.

4.1. Решение уравнения в случае Ре-состояния.

4.2. Решение уравнения в случае D-состояния.

4.3. Оценки точности нулевого приближения.

4.4. Результаты и обсуждение.

С тех пор, когда в рамках квантовой теории Бора-Зоммерфельда были сделаны первые попытки чтобы, вычислить энергию основного состояния атома гелия, двухэлсктронные атомы поставили теоретической физике ряд неожиданных вопросов. Несмотря на то, что проблема трех взаимодействующих заряженных частиц кажется простой, только спустя полвека с момента создания квантовой механики удалось удовлетворительно описать спектры двухэлектронных атомов. Квазиклассическое приближенное решение для двухэлектронного атома в состоянии Ванье приводится здесь, при этом двухэлектронный атом описывается с помощью трех внутренних координат и трех углов Эйлера, задающих вращение системы как целого.

Дваждывозбужденные состояния многоэлектронных атомов и ионов последние десятилетия традиционно являются одним из основных объектов теоретического и экспериментального исследований в атомной физике. Простейшим, но фундаментальным примером такой системы является двухэлектронный атом. Пока речь идет об однократно возбужденных состояниях такой системы, достаточно хорошим исходным приближением является приближение конфигураций. Ситуация радикально меняется при переходе к дваждывозбужденным состояниям, которые в отличие от дискретных однократно возбужденных состояний, лежат по энергии выше порога ионизации атома и поэтому нестабильны относительно автоионизации. Волновые функции дваждывозбу-жденных состояний представляют собой уже в первом приближении суперпозицию нескольких конфигураций со сравнимыми амплитудами, так что приближение эффективного центрального поля, в котором независимо движутся электроны, не применимо даже в качестве исходного. Именно здесь, по сравнению с одноэлектронной системой, приоритетными становятся проблемы учета угловых и радиальных корреляций электронов, оказывающихся определяющими при различных двухэлектронных процессах (автоионизация, двойная ионизация атомов, рассеяние заряженных частиц на водородоподобном атоме или ионе, уширение спектральных линий и т.д.). Особенности анализа корреляции электронов в двухэлектронном атоме определяются тем, что исходные одноэлектронные системы (атом водорода или водородо-подобный ион) обладают высокой симметрией (группа Фока 0(4)) и, следовательно, высоким вырождением исходных двухэлектронных состояний по энергии. Это существенно усложняет возможности численного расчета таких состояний, которые к тому же слабо проясняют физические особенности и закономерности формирования таких состояний. К настоящему времени создан ряд точных и приближенных аналитических методов анализа многоэлектронных атомов: разложение Фока для волновой функции связанного состояния двухэлектронного атома, метод гиперсферических координат, алгебраические методы теории групп, вариационные и квазиклассические методы. Однако, актуальной до сих пор является задача исследования двухэлектронного атома из первых принципов, основанная на разделении переменных в уравнении Шредингера для двухэлектронного атома, учитывающем точные интегралы движения и использующем коллективные переменные, позволяющие установить иерархию в межэлектронных корреляциях различного вида.

Объектом исследования явились дваждывозбужденные состояния двухэлектронного атома, в которых оба электрона возбуждены примерно одинаково и достаточно сильно. При этом расчет волновых функций и уровней энергии в квазиклассическом приближении проводился для связанных состояний, в которых оба электрона локализованы в области а-тг!4 , 0i2~/r, где и - arcig(i\ /г2) - гиперсферический угол, 0п- угол между радиус-векторами электронов/| и/-;. Угловые и радиальные корреляции в состояниях такого типа аналогичны динамике разлета электронов при предпороговой двойной ионизации атома. Поэтому их естественно назвать слабосвязанными состояниями Ванье.

Цель работы состояла в исследовании слабосвязанных состояний Ванье и квазиклассическом разлете уровней энергии таких состояний. Существование точных интегралов движения -полного арбитального момента атома I и четности я позволило использовать при разделении переменных углы Эйлера, описывающие вращение системы как целого. Это дает возможность свести задачу анализа уравнения Шредингера для двухэлектрон-ного атома при каждом определенном значении полного арбитального момента атома L к решению конечной системы дифференциальных уравнений по коллективным переменным задачи: гиперсферическому радиусу R = л/г,2 + г] , гиперсферическому углу а = tan-1 (;;/г2) и межэлектронному углу 0п. Введение этих переменных позволяет использовать в дальнейшем приближенное их разделение, основанное и подтвержденное численными и аналитическими расчетами на иерархии в скорости изменения введенных коллективных переменных. Наиболее быстрой является 012 , более медленной а и, наконец, самой медленной - R. Это обстоятельство, с учетом локализации рассматриваемых состояний в области а = л74 , 0п-к дает возможность провести приближенное адиабатическое разделение переменных 0l2, a, R и аналитически преквантовать двухэлектронное движение по переменным 012 и а. Окончательное решение задачи состоит в квазиклассическом по гиперрадиусу R квантований уровней энергии слабого связанных состояний Ванье двухэлектронного атома.

Работа начинается с исторического обзора достижении в измерении спектров двухэлектронных атомов и в вычислении их путем численного решения уравнения Шредингера, затем делается обзор результатов по современному состоянию теории и эксперимента в области двух электронного атома. Существенное место здесь уделено экспериментальным, численным и аналитическим методам исследования дважды возбужденных состоянии атомных систем. Дан подробный анализ квантово механических методов (адиабатическое приближение, теоретико- групповой подход, метод гиперсферических координат), квазиклассическое и классическое приближение, ридберговских дважды возбужденных состояний и двух электронных состояний в промежуточной области квантовых чисел.

Вторая часть работы посвящена разделению переменных в гиперсферической системе координаты. Двухэлектронного атома рассматривается в естественных переменных - углах Эйлера, описывающих вращение системы двух электронов как целого, и расстояниях электронов от ядра и друг от друга. Выбор Эйлер углов предложен с одной осью вращающейся системы, направленной по сумме электронных векторов радиуса , при таком выборе подвижная ось х' всегда проходит через центр масс электронов. Спектр дваждывозбужденных состояний двухэлектронного атома, характеризуемый главными квантовыми числами иi и п2, имеет две качественно разные асимптотические ветви. Первая из них описывает ситуацию, когда один из электронов возбужден значительно сильнее другого (iij » п2). Соответствующие двухэлектронные состояния естественно называть дипольными, поскольку основные особенности задачи этой области спектра двухэлегронного возбуждения (характер угловых и радиальных корреляций, классификация состояний, вид спектра) возникают и в основном правильно описываются уже в детальном приближении для межэлетронного взаимодействия ( see Nikilin и Os-Irovsky 1980, I-Ierrick 1978, Merrick и Poliak 1980) .

Второй асимптотической ветви спектра двухэлеткронных возбуждений соответствуют состояния с высоким и примерно одинаковым возбеждением каждого из электронов (ni ~ п2 » 1) — Ванье резонансы (1953). Последнее название в существенно связано с тем, что слабосвязанные состояния сплошного спектра вблизи порога двойной ионизации сказываются локализованными в о бл асти а = arclg (/; / г2) « ж /4 , 0t2 = arccos (/; ,r2 / i\r2) и /г

Разделение переменных в уравнении Шреденгера, связанных с отделением вращения как целого, осуществляется разложением двухэлектронной волновой функции \|/(гь г2) ио функциям Вигнера DL(X1).

Результаты разделения внутренних и внешних переменных приводит к системе дифференциальных уравнений. В которой только три уравнения связаны непосредственно.

Третья глава содержит Решение в случае 8е-состояния и

Р°- состояния. Вообще электронные корреляции подразделены в угловые и радиальные части. Радиальные корреляции связаны с изменением гиперсферическим угол а = tan"1 (/;/j-2), угловые корреляции соответствуют изменению угла 0. Большое количество численных расчетов для различных дваждывозбужденных состояний указывает на возможность приближенного адиабатического разделения переменных в гипер-сферической системе координат. Считая наиболее медленно меняющейся переменной гиперсферический радиус R = ф? + /;2 , более быстрой гиперсферический угол а - tan-1 (;; /г2) , и наиболее быстрыми -обычные угловые переменные, удается приближенно свести уравнение Шре-дингера для атома гелия к цепочке одномерных задач. Разделение переменных проводится следующим образом: сначала задача решается при фнксироанном значении R; получаемое собственное значение энергии зависит от R и входит в уравнеие по этой переменной в качестве эффективного потенциала. Можно ввести и еще один, промежуточний этап: решать задачу по угловым переменным при фиксированных R и а , что дает эффективный потенциал, зависящий от R и а . Затем решается уравнение по переменной а при фиксированном R и, наконец, на последнем шаге решается задача по R с помощью квазиклассического приближенного метода Бора-Зоммерфельда.

В четвертой главе рассматривается решение уравнение в случае Р° и D-состояния (в качестве нулевой порядка решения) , используем для этого приближение, которое позволяет получать решение в аналитической форме: предположим, что гамильтониан имеет вид Н = Но + Нх. Так как нас интересуют решения в окрестности 0 = 7i and а = л /4 . Таким образом, //, представляет собой малую поправку (возмущение) к (невозмущенному) оператору Пв. Использовались тех же самых шагов для решения как в случае S- состояние.

Результаты проведенного исследования определяется, прежде всего, тем, что на основе подхода, развитого ранее в работах Островского В.И. и Никитина С.И. (1985), получена конечная система дифференциальных уравнений относительно динамических переменных задачи 0n, a, R , описывающая двухэлектрон-ные состояния атома, имеющие определенное значение полного орбитального момента L, его проекции Lz и четности ж. Подробно анализируется случай S',P°,P' и D"состояний двухэлектронного атома, наиболее важный с точки зрения практических приложений полученных результатов. Предложена методика расчет расчета слабосвязанных состоянии Вапье. Она основана на выборе в качестве динамических переменных межэлектронного угла 012, гиперсферического угла а и гиперрадиуса R. Этот выбор определяется, во-первых, тем, что между введенными переменными существует указанный нами ранее приоритет в скорости их изменения, позволяющий проводить приближенное адиабатическое разделение этих переменных при расчете двухэлектронных состояний Ванье. Во-вторых слабосвязанные состояния Ванье, являющиеся объектом данного исследования , локализованы в окрестности а-к!4, (\г~п. Это дает возможность провести приближенное квантование движения электронов по соответствующим переменным. Анализ движения электронов по гиперрадиусу R проведен в квазиклассическом приближении, адекватным тому, что область локализации электронов в рассматри-ванных двухэлектронных состояниях определяется условии R»l. Это позволило провести квазиклассический расчет уровней энергии S',Р°,Р' и D° слабосвязанных состояний Ванье двух-электронного атома. Полученные результаты находятся в хорошим согласии с существующими численными расчетами на основе различных модификаций теории возмущений и свойств приближенной дополнительной симметрии состояний двухэлек-тронного атома.

Последняя часть посвящена обсуждению результатов квазиклассических расчетов уравнение энергии слабосвязанных состояний Ванье и сравнению их с результатами других авторов.

ГЛАВА -I-ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР 1.1. Ранние вычисления дли основных состояний двухэлектронных атомов.

Двухэлектронные атомы сыграли важную роль в развитии теоретической физики в этом столетии: они были катализатором для квантовой теории в середине 20-х годов. Поучительно, и не только с исторической точки зрения, рассмотреть причины неудачи, постигшей старую квантовую теорию при её применении к атому гелия. Этот подход, который скорее собрание эвристических правил, чем реальная теория, восходит к первой работе Бора но атому водорода. Исходя из своих постулатов квантования периодического кеплеровского движения, он представил формулу для уровней энергии водорода, показавшую значительное согласие с измерениями того времени. Отсюда было естественно применить подобный подход к гелию, с)

Рис. 1. Примеры периодических движений электронной пары в гелии, которые служат классическими моделями основного состояния. простейшему атому с более чем одним электроном. В первой Боровской модели гелия (Бор, 1913) два электрона вращаются напротив друг друга по одной орбите около ядра, как показано на рис. 1. Чтобы получить энергии уровней, он применил условие dq = nh (1) где (р, q) - обобщенные координата и импульс электронной пары, h - постоянная Планка, п - целое число. Полученный результат был обескураживающим: Энергия ионизации была 4 а. е. слишком высоко, по сравнению с тогдашними экспериментальными данными 24.5 eV. Следующие десять лет характеризовались большим числом попыток отыскать подходящую классическую периодическую конфигурацию для движения пары электронов в гелии и применить условия квантования типа уравнения (1).

Квазнклассический результат Квантовой - JiaGopai орнмй

Гол Мет од -K Год Метод -IS

913 lilior (а) 3.06 1927 1 order perl. Unsold 2.75

1921 Langmuir ( с ) 2.17 1927 moleeularlike. Slater 2.895

1921 Langmuir ( b ) 2.31 1927 variational, Kellner 2.873

1922 Van Vleek 2.765 1928 variational, llvllcrnns 2.895

1922 lleisenberg 2.904 1929 var. 38para Ilylleraas 2.9037

1923 Kramers ( d ) 2.762 1959 var. 38para Kinoslula 2.90372

1980 1 order per.Leopold 2.741 1959 perimcl. coor. Pekeris 2.90372

1980 variation л L Leopold 2.8407 1988 Hyller. basis. Drake 2.90372

1985 pert. Theory, solov'ev 3.05 1995 Permit, coor. Burgers 2.90372

1991 as.stretch orbit, Ezra 3.097 1993 Relative. Drake 2.90370

1991 cycle expansion, Ezra 2.932 1924 Exper. Lyman 2.9035

1998 Exper. Bergeson et al. 2.90369

Таблица 1: Энергии основного состояния (п а.с.) и гелии: слепа иолуклассичсскис вычисления, справа - квантово-механические и экспериментальные данные

Точное вычисление (см. табл. 1) энергии основного состояния гелия стало вызовом для лучших физиков-теоретиков того времени, включая Бора, Гейзенберга, Крамерса, Ланде, Зоммер-фельда и Ван Флека и других. Некоторые из предложенных периодических орбит для динамики пары электронов представлены на рис. 1. Все рассмотренные модели дали весьма неудовлетворительные результаты для основного состояния гелия. Например, в модели Ленгмюра (рис. 1 в) энергия ионизации получилась отрицательной, т.е. конфигурация нестабильна. Неудачи этих ранних квантовых подходов к гелию дополнились очень неудовлетворительным результатом, полученным Паули (1922) в его тезисах на соискание степени доктора философии, посвященным другой трехтельной кулоновской системе - молекуле иона водорода Н*: в приближении Борта-Оппенгеймера эта система сводится к (отделимый ) проблеме движения электрона в поле двух фиксированных кулоновских центров. Используя квантовое условие Бора-Зоммерфельда, он вычислил равновесное межъядерное расстояние, которое оказалось в три раза больше действительного расстояния ( 2 а.е.). Более того, он нашел, что система метастабильна вместо того, чтобы быть корот-коживущей. Подходы к описанию атома гелия, представленные выше, включают все принципиальные недостатки старой квантовой теории: вычисления были основаны на небольшом числе правил, носящих спекулятивный характер. В общем предполагалось, что:

I) Основное состояние гелия обусловлено простым периодическим движением пары электронов;

II) Электроны движутся по симметричным и расположенным на одинаковом расстоянии от ядра орбитам;

III) Орбиты электронов, пересекающие ядро («качающиеся орбиты», Борн, 1925) не допускались;

IV) Квантовые числа в квантовых условиях, подобных условию (уравнение 2 ) полагались целыми.

Те, кто не считал эти предположения не требующими доказательства, были Зоммерфельд и его студент Гейзенберг. Хотя он главным образом занимался проблемами турбулентности, в то же время интерес Гейзенберга к проблеме гелия был подобен как в 1922 у Бора, Зоммерфельд и Гейзенберг.

Придуманная как возможная классическая конфигурация основного состояния, модель, в которой электроны движутся по п разным кеплеровским эллипсам подобной формы, но ориентированным в противоположных направлениях: один электрон проходит через перигелий в то время, когда второй - через свой афелий. Рис. 2 показывает эту конфигурацию, придуманную Гей-зенбергом. Гейзенберг провел вычисление энергии основного состояния на основе такого движения пары электронов. Как важное достижение, с сегодняшней точки зрения он ввел в дополнение к квантовому условию для радиального движения, второе квантовое условие.

Рис. 2. Чертеж периодического движения пары электронов, предложенный Гейзенбергом и Зоммерфельдом, как кандидат для классической конфигурации основного состояния гелия. Рисунок взят из письма Гейзенбсрга к Зоммерфельду. Никогда не публиковался. для движения под углом между большими осями двух орбит под влиянием межэлектронного взаимодействия. Более того, он ввел полуцелые квантовые числа, т.е.п0-\!2 для состояния. Включив взаимодействие в пертурбативной форме, Гейзенберг получил потенциал ионизации 24.5 В, что сравнимо с лучшим экспериментальным результатом того времени 24.5 В. Однако, этот иод-ход сильно критиковался Паули и Бором. Они не признавали концепцию не целых квантовых чисел, но все-таки понимали, что классические законы движения должны быть модифицированы для того, чтобы достичь согласия с экспериментом.

Гейзенберг вместе с Борном пошел дальше и начал иссле

2) довать амбициозную проблему возбужденных состояний в гелии. Они рассмотрели разные типы асимметричной электронной конфигурации и эффективный гамильтониан, основанный на муль-типольном разложении для потенциала внешнего электрона в комбинированном иоле ядра и внутреннего электрона. С помощью этих средств они вывели формулу Ридберга

Я' (3) где п - главное квантовое число внешнего электрона. Квантовый дефект 5 отражает некулоновские, короткодействующие части центрального потенциала и зависит от оставшихся квантовых чисел и конфигурации, рассмотренной Борном и Гейзенбергом в 1923 году. Гейзенберговские и борновские вычисления асимметрично возбужденных состояний позже развивались разными авторами (например, Никитин и Островский, 1982; Белов и Кве-щенко, 1985).

Основные результаты изложенных в диссертации исследований состоят в следующем.

1. В заключении мы повторяем наиболее важные особенности нового выбора Эйлер углов; появление сингулярный пункт в Ванье области и математические аспекты этого пункта нуждаются в отдельном изучении.

2- Схема разделения переменных в уравнении Шредингера, основанная на специальном выборе углов Эйлера, позволила получить конечную систему дифференциальных уравнений относительно динамических переменных задачи 0п, а, R, описывающую состояния двухэлектронного атома.

3- Приближение адиабатического разделения динамических переменных 0п, a, R, связанное с приоритетом в скоростях их изменении, дало возможность решить системы дифференциальных уравнений для .VV'V и D" слабосвязанных состояний Ванье, локализованных в области а-я! 4 , 0п~ л:. ог»

4- Полученные результаты находятся в хорошем согласии с существующими численными расчетами на основе различных модификаций теории возмущений и свойств приближенной дополнительной симметрии состояний двухэлектронного атома.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Aurich R, Sieber M., Quantum Chaos of the Hadamard-Gutzwiller Model, Phys. Rev. Lett. 61, 483 (1988)4J Aymar M. Greene C., Multichannel Rydberg spectroscopy of complex atoms, Rev. Mod. Phys. 68, 1015 (1996)

2. Belov A. Khveshchenko D., Sov. Phys. JETP 62, 1138 (1985)6J Berry M., Keating J., A rule for quantizing chaos?, J. Phys. A 23, 4839 (1990)

3. Berry M., Tabor M., Closed orbits and the regular bound spectrum, Proc. R. Soc. London, Ser. A349, 101 (1976)

4. Bhatia A. K., Temkin A. Symmetric Euler — angle decomposition of the two-electron fixed-nucleus probleam. — Phys. Rev. Mod. Phys., vol.36, p. 1050-1064(1964).

5. Breil G. Separation of angles in the two—electron problem. -Phys. Rev. 1930, vol. 35, p.569-573.

6. Bathe H., Salpeter E., Quantum mechanics of one and two-electron atoms (Plenum, New York) (1977)

7. Bhatia A., Temkin A., Calculation of autoionization of He and H" using the projection-operator formalism , Phys. Rev. All, 2018 (1975)

8. Bhatia A., Temkin A., Line-shape parameters for lP Feshbach resonances in He and Li+ , Phys. Rev. A 29 , 1895 (1984)

9. Bogomolny E., Semiclassical quantization of multidimensional systems, Nonlinearily 5, 805 (1992)14JBohr N., о stroenii atomow i molekul, Philos. Mag. 26, 476 (1913)

10. Burgers A., Winlgen D., Highly doubly-excited S-states of the helium atom , J. Phys. В 28, 3163(1995)

11. Byron F., Joachin C., Theory of (e, 2e) reactions , Phys. Rep. 179, 212 (1989)

12. Dietz b., Smilansky U., A scattering approach to the quantization of billiards the inside-outside duality, Chaos 3, 581 (1993)

13. Doolen G., Nuttall, Electron-hydrogen resonance calculation by the coordinate-rotation method, J., Phys. Rev. A 10, 1612 (1974)

14. Doron E., Smilansky U., Semiclassical quantization of chaotic billiards: a scattering theory approach, Nonlinearity 5, 1055 (1992)

15. Eichmann U., Lange V., Positional correlation in laser-excited three-body Coulomb systems , Phys. Rev. Lett. 64, 272 (1990)

16. Фок В. А., Изв. АН СССР,сер. Физ. Т.18. N1. С2 (1954).29JFock V. А., К. Nor. Vidensk. Selsk. Fohr. 31, 138 (1958).

17. Froese-Fischer С., Indrees M., Spline methods for resonances in pholoionisation cross sections,J. Phs. В 23,679 (1990)

18. JGutzwiller M., Phase-Integral Approximation in Momentum Space and the bound States of an Atom, J. Math. Phys. 8, 1979 (1967)

19. Gutzwiller M., Gutzwiller. Periodic Orbits and Classical Quantization Conditions , J. Math. Phys. 12, 343 (1971)

20. Gutzwiller M., Chaos in classical and quantum mechanics (Springer, New York) (1990)

21. Hayes M., Scott P., Resonances in the simultaneous pholoionisation and excitation of He , J. Phys., В 21, 1499 (1988)

22. Herrick D., Resonance-channel quantum numbers in electron-hydrogen and proton-hydrogen scattering from group theory of Ihe long-range dipole interaction, Phys. Rev. A12, 413 (1975a)

23. Herrick D., Degeneracies in energy levels of quantum systems of variable dimensionality , J. Math. Phys. 16, 281 (1975b)

24. Herrick D., New symmetry properties of atoms and molecules ,Adv. Chem. Phys.52, 1 (1983)

25. Merrick D. R., Channel invariants and SU(3) classification for two-electron atoms, Phys. Rev. A 17,1-10 (1978).

26. Herrick D. R., Poliak R. D., Dipole channels of two-electron atoms J. Phys. B: Al. Mol. Phys. 13, 4533-49 (1980).

27. Herrick D. R., Keliman M.E. and Poliak R. D. Supermultiplet classification of higher intrashell doubly excited slates of H" and He,Phys. Rev. A 22, 1517-35 (1980).

28. Hunller g., Gray F., Born-Oppenheimer Separation for Three-Particle Systems , J.Chem. Phys. 45, 3806 (1986)

29. Koyama N. Fukuda H. , Doubly exciled 1SC states of H" and He below the N hydrogenic thresholds with N{PRIVATE}{PRIVATE "TYPE=PICT;ALT=leq"}6, J. Phys. В 19, L331(1986)

30. Koyama N., Takafuji A., High-lying doubly exciled states of H" and He II. 1P° states, J. Phys. В 22, 553(1989)

31. Lin C. D., Classification of Doubly Exciled Slates of Two-Electron Aloms, Phys. Rev. Lell. 51, 1348 (1983a)

32. Lin C. D., Classification and supermultiplet structure of doubly excited states Phys. Rev. A 29, 1019 (1984)

33. Lin C. D., Adv. At. Mol. Phys. 22, 77 (1986)

34. Lipsky L., Anania R and Conneely M. J., Energy levels and calculations of doubly excited states in two-electron systems with nuclear charge Z=l,2,3,4,5 below the N=2,3 thresholds At. Data Nucl. Data Tables 20,127-41(1977).

35. Makarewicz J., Phys. Lett. A 121, 83-6 (1987)

36. Maccek , Properties of autoionizing states of He ,J. Phys. В 1, 831 (1968 )

37. Madden R., Codling K., New Autoionizing Atomic Energy Levels in He, Ne, and Ar, Phys. Rev. Lett. 10, 516 (1963)

38. Nikitin S. I., Ostrovky V. N., Fizika Molekul No.8 (Kiev),3-30 (1980).

39. Nikitin S. I., Ostrovky V. N., Vibro-rotalional states of the two-electron atom. I. Euler angles coordinate basis J. Phys. B: At. Mol. Phys. 18, 4349-70(1985 a).

40. Nikilin S. I., Ostrovky V. N., Vibro-rotational states of the two-electron atom. II. Two interacting particles on the sphereJ. Phys. B: At. Mol. Phys. 18, 4371-82(1985 b).

41. JNikitin S. I., Ostrovky V. N.,Problemy teoreticheskoy fiziki , vol.3 (Leningrad : Leningrad University Press- p 64-79 ) (1988).l62.Nikitin S. I., Ostrovky V. N., Coulomb symmetry breaking in one- and two-electron atoms, J. Phys. В15, 1609 (1982)

42. Ojha P. C. and Berry R. S., Angular correlation of two electrons on a sphere, Phys. Rev. A 36 , 1575-85 (1987)64JOza D., Phase shifts and resonances for electron scattering by IIe+ below the N-2 threshold, Phys. Rev., A 33, 824 (1986)

43. Pauli W., ann. Phys. (Leipig) IV 68, 177(1922)

44. Pelikan E., Klar H., Z. Phys. A310, 153 (1983)

45. Rau A., The Wannier theory for two electrons escaping from a positive ionPhys. Rep. 110, 369 (1984)

46. Reed M. Simon В., Methods of modern mathematical physics(Academic Press, NY), Vol. I,IV (1972)

47. RiclUer K., Winlgen D., Atomic Physics 13 (American Institute of physics, NY) P. 388 ( 1992)

48. Robbins J., Maslov indices in the Gulzwiller trace formula, Nonlinearily 4, 343 (1991)

49. Rosl J., Schulz K., Resonance parameters of photo doubly excited helium, J. Phys. В 30, 4663 (1997)72JSadeghpour H., Greene C., Dominant photodetachmenl channels in H", Phys. Rev. Lett. 65,313 (1990)

50. Sadeghpour H., Greene C., Extensive eigenchannel Л-malrix study of the H" photodetachment spectrum, Phys. Rev. A 45, 1587 (1992)

51. Sanchez I. Martin F., Extensive L2 calculation of partial pholoionization cross sections of He in the 4/«/' resonance region , Phys. Rev. A 48, 1243 (1993)

52. Schiff L. 1., Quantum mechanics( Mc Graw-Hill, Singapore) (1968)

53. Schusler H., Deterministic Chaos (VCH, Weinheim)(l989)77jSeaton M., Rep. Prog. Phys. 64, 167(1983)

54. Sieber m. Sleniner., Quantization of chaos, Phys. Rev. Lett. 67, 1941(1991)1. Q7

55. Slater J. С., quantum theory of matter (ICrieger, Huntington)(l 977)tBOJSmith F. Generalized Angular Momentum in Many-Body Collisions,Phys. Rev., 120 , 1058-69 (1960).

56. Smith F. J. Math. Phys., 3, 735 (1960).

57. Tang J., Walannabe S., Lin D., Evidence of an excited angular correlation mode in high-lying He, Phys. Rev. Lett. 69, 1633 (1992b)

58. Варшалович Д. А., Москалев A. H., Херсонский В. К., Квантовая теория углового мемента. // Наука (1975).

59. Wannier G. Н., The Threshold Law for Single Ionization of Atoms or Ions by Electrons ,Phys. Rev. 90,817-25 ( 1953).85JWintgen D., Delande D., Double pholoexcitation of JP0 states in helium, J. Phys. В 26, L399(1993)

60. Wulfman C., Phys. Lett. A26, 397(1968) 87JWulfman C., Chem. Phys. Lett. 23, 370(1973)1. РОССИИ:''::/11. ГОСУЛЛ. ' БИБЛИОр:;у;/