Размерные эффекты в мезоскопических квантовых системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.10 ВАК РФ

Введение

I Квантовые поправки к кинетическим коэффициентам в системах с пространственными ограничениями

1 Квантовые поправки к проводимости двумерных систем с антиточками

§1 Происхождение квантовых поправок к проводимости.

§2 Расчет квантовых поправок

§3 21? система с антиточками малого радиуса.

§4 2И система с антиточками большого радиуса.•.

§5 20 система с антиточками промежуточного радиуса. Результаты численного расчета.

Актуальность темы. Современное развитие технологии позволило существенно уменьшить размеры полупроводниковых приборов. В настоящее время наиболее используемыми являются элементы вычислительных схем с типичными размерами порядка тысячи ангстрем и имеется тенденция к переходу к масштабам вплоть до атомных размеров. При достижении этих масштабов возникает необходимость учитывать эффекты, обусловленные конечностью размера системы, когда существенными становятся процессы, связанные с электронной когерентностью и описываемые в рамках физики мезоскопических явлений.

Обычно термин " мезоскопика" применяется к системам, характерный размер которых много меньше длины сбоя фазы электронов (Ь <С Ь^). Для целей настоящей диссертации термин " мезоскопика" в расширенном смысле применяется также к системам конечных размеров, когда характерный масштаб системы много больше длины волны электронов (Ь Л), но в то же время существенны квантовые свойства.

В мезоскопических системах имеют место различные квантовые эффекты при низких температурах, связанные с интерференцией электронных волн, квантованием энергетических уровней и дискретностью электрического заряда.

Когда электронная система заключена в конечный объем, появляется существенно новый энергетический масштаб, который приводит к возникновению размерных поправок, к транспортным и термодинамическим величинам. Эти поправки были объектами различных теоретических, а также экспериментальных исследований последних лет как в чистых, так и в неупорядоченных системах.

В неупорядоченных мезоскопических системах, где из-за малости упругой длины свободного пробега I электроны двигаются диффузно, возникает вклад в среднее сопротивление за счет слабой локализации электронов из-за когерентного обратного рассеяния [1]. Этот вклад установлен во многих экспериментальных системах. Особенность слаболокализационного вклада заключается в том, что он "выживает" в результате усреднения по ансамблю [2].

Используя теорию слабой локализации, Альтшулер, Аронов и Спивак [23] показали, что магнетосопротивление цилиндрической пленки, сделанной из нормального металла, в продольном магнитном поле будет периодически осциллировать как функция приложенного магнитного поля. Период этих осцилляций соответствует кванту потока Фо = Не/2е через площадь цилиндра.

Помимо слаболокализационных эффектов, в мезоскопических образцах присутствуют также другие явления, которые не могут быть описаны простым использованием теоретических методов с усреднением по ансамблю. Эти явления включают в себя флуктуации кондактанса [2] с амплитудой флуктуаций порядка е2/Н, осцилляции Ааронова-Бома в магнетосопротивлении двусвязных структур (типа петли из одномерной проволоки) с периодом потока кс/е через петлю и нелокальное поведение магнетосопротивления [3,4]. Величина неусредненных по ансамблю эффектов увеличивается по мере уменьшения размера образца по сравнению с Ьч>.

В образцах малых размеров из-за конечности объема происходит квантование электронных уровней. В частности, из-за граничных условий на поверхности, переход от массивных объектов к образцам малых размеров сопровождается увеличением вклада поверхностного слагаемого в свободную энергию системы. При этом разделение энергии на объемную и поверхностную части удается ввести, разлагая свободную энергию по степеням Хр/Ь. В результате энергия малых частиц становится зависящей от размеров. Размерная зависимость энергии проявляется в самых разнообразных эффектах, таких как работа выхода из малых частиц, зависимость скоростей химических реакций на поверхности частиц и т.д. [33].

Термодинамические свойства электронного газа, заключенного в конечный объем, во внешнем магнитном поле представляет существенный интерес. В чистой бесконечной системе, как известно, имеет место диамагнетизм Ландау и восприимчивость системы дается выражением хь = —е2кр/(12'к2тес2), где кр - фермиевский импульс и те - масса электрона. Учет конечности объема приводит к возникновению размерных поправок к диамагнетизму Ландау (см., например, [48] и ссылки там). Интерес к этим поправкам обусловлен тем, что в конечных системах их типичная величина имеет порядок {крЬ)а\хь\ и может во много раз превышать восприимчивость Ландау. Показатель а определяется геометрией образца [57].

Размерные поправки к диамагнетизму Ландау конечных систем зависят также от того, находится ли система в контакте с резервуаром электронов (большая каноническая система; фиксирован химический потенциал) или изолирована (каноническая система; фиксировано число частиц). В большой канонической системе, в случае, когда в системе имеются примеси, электроны двигаются диффузно (Ь> /), восприимчивость, усредненная по конфигурации примесей, в главном порядке равна восприимчивости Ландау. Однако, для канонической системы усредненная восприимчивость содержит парамагнитный вклад, который зависит от размеров системы, и также может иметь большое значение [73].

Орбитальный магнетизм тесно связан с диамагнитными токами, текущими вдоль границы размерно-квантованной системы. Краевые состояния двумерного электронного газа изучались в работе [77] в режиме квантового эффекта Холла в квазиклассическом приближении. Распределение равновесного тока в двумерной системе с гармоническим потенциалом исследовалось в работе [48], где рассмотрены различные соотношения характеристической энергии гармонического потенциала и температуры с циклотронной частотой.

В настоящей работе рассмотрены различные мезоскопические системы, содержащие большое, но конечное число электронов. Подобные системы к настоящему времени недостаточно полно исследованы экспериментально и теоретически. Дальнейшее изучение систем с пространственными ограничениями позволило бы существенно дополнить физическую картину переноса заряда, а также возникновения орбитального магнетизма в этих системах.

Цель данной диссертационной работы состоит в теоретическом исследовании транспортных и термодинамических свойств систем конечных размеров, в том числе:

1. Квантовых поправок к проводимости двумерной системы с антиточками в стационарном магнитном поле, а также к кондактансу мезоскопического кольца в нестационарном магнитном поле.

2. Размерных поправок к термодинамическим функциям электронного газа в ограненных микрокристаллах.

3. Распределения диамагнитного тока и магнитного поля в системах с пространственными ограничениями.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы. По основным результатам диссертации в печати опубликовано 13 работ [80-92].

§8 Основные результаты и выводы главы

Получены аналитические выражения для распределения диа- и парамагнитного тока и наведенного магнитного поля в квантовой пленке и квантовой полосе в пределе слабого внешнего магнитного поля. Найдены аналогичные формулы при конечной температуре.

Численно изучено распределение краевого тока в случае полуплоскости в конечном магнитном поле.

Исследовано распределение диамагнитного тока в квантовом диске и квантовом кольце конечной ширины. Рассмотрены случаи слабого и сильного внешнего поля. В случае диска найдено распределение магнитного поля.

Показано, что плотность тока испытывает затухающие вдали от границ пространственные осцилляции, связанные с фермиевской длиной волны электронов. Помимо пространственных осцилляций ток, содержит компоненту, плавно меняющуюся с расстоянием, но осцилляционно зависящую от положения уровня Ферми относительно уровней Ландау.

Исследован переход от классических к квантующим магнитным полям. Показано, что увеличение магнитного поля приводит к сужению области, занятой токами. Изучено подавление осцилляций за счет температуры и примесного рассеяния.

-90-Заключение

В заключение перечислим основные результаты, полученные в работе.

1. Получены квантовые поправки к проводимости 2И системы, обусловленные наличием антиточек, в том числе, в присутствии магнитного поля, перпендикулярного плоскости системы. В приближении малой плотности антиточек исследованы пределы антиточек малого и большого размеров. Показано, что вклады в магнетопроводимость, связанные с наличием антиточек малого радиуса, в зависимости от магнитного поля меняют свой знак. В случае антиточек большого радиуса вклады антиточек в магнетопроводимость отрицательны и связаны с уменьшением доли траекторий с самопересечением при появлении антиточек.

2. Изучены осцилляции Ааронова-Бома кондактанса мезоскопического кольца в нестационарном магнитном поле с потоком Ф(£) = Ф£. Рассмотрено влияние туннельных контактов на кондактанс кольца в пределе слабого туннелирова-ния. Показано, что квантовые поправки состоят из периодических пиков. В случае быстрого изменения магнитного поля, когда характерное время изменения магнитного поля 7о(то = Фо/Ф) меньше времени сбоя фазы электронов т^ пики имеют асимметричную форму.

3. Разработан метод расчета реберного вклада в энергию электронного газа в ограненных микрокристаллах. Получено аналитическое выражение для поверхностной и реберной энергии газа свободных электронов с изотропным квадратичным энергетическим спектром на идеальной поверхности ограненного микрокристалла. Эта формула обобщена на случай анизотропной эффективной массы и произвольной ориентации двугранного угла. Изучена размерная зависимость осциллирующего вклада в О-потенциал, и влияние на него примесного рассеяния и конечной температуры.

4. Получены аналитические выражения для распределения диа- и парамагнитного тока и наведенного магнитного поля в квантовой пленке и квантовой полосе в пределе слабого внешнего магнитного поля. Показано, что плотность тока осциллирует как функция расстояния до границ. В пределе низких температур в толстой пленке или полосе распределение диамагнитного тока состоит из поверхностного вклада, осцилляции которого степенным образом затухают от границ, и добавки, линейно зависящей от поперечной координаты. При конечной температуре или включении рассеяния на примесях поверхностный ток начинает затухать экспоненциально от расстояния, а линейные добавки подавляются.

Численно изучено распределение краевого тока в случае полуплоскости в конечном магнитном поле. Показано, что краевые токи у границы полуплоскости испытывают затухающие вдали от границы пространственные осцилляции, связанные с фермиевской длиной волны электронов. В конечном магнитном поле ток оказывается локализованным в приграничной области размером в циклотронный диаметр, вне этой области падает экспоненциально. Помимо осцилля-ций, плотность тока содержит компоненту, плавно меняющуюся с расстоянием, но осцилляционно зависящую от положения уровня Ферми относительно уровней Ландау. Изучено подавление осцилляций за счет температуры.

Исследовано распределение диамагнитного тока в квантовом диске и квантовом кольце конечной ширины. Рассмотрены случаи слабого и сильного внешнего поля. Случай диска рассмотрен в приближении линейного отклика по внешнему магнитному полю; найдено также распределение магнитного поля. Показано, что в системах с круговой симметрией распределение тока существенно зависит от положения энергии Ферми относительно уровней системы.

1. P. A. Lee, Т. V. Ramakrishnan. Disordered electronic systems. Rev. Mod. Phys. 57, 287-337(1985).

2. P. A. Lee, A. D. Stone, and H. Fukuyama. Universal conductance fluctuations in metals: Effects of finite temperature, interactions, and magnetic field. Phys. Rev. В 35, 1039-1070 (1987).

3. A. Benoit, C. P. Umbach, R. B. Laibowitz, and R. A. Webb. Length-Independent Voltage Fluctuations in Small Devices. Phys. Rev. Lett. 58, 2343-2346(1987).

4. W. J. Skocpol, P. M. Mankiewich, R. E. Howard, L. D. Jackel, D. M. Tennant, and A. D. Stone. Nonlocal Potential Measurements of Quantum Conductors. Phys. Rev. Lett. 58, 2347-2350(1987).

5. Г. M. Гусев, В. Т. Долгополов, 3. Д. Квон, А. А. Шашкин, В. М. Кудряшов, JI. В. Литвин, Ю. В. Настаушев. Магнетоосцилляции в двумерной электронной системе с периодическим потенцалом антиточек. Письма в ЖЭТФ 54, 369-372(1991).

6. К. Ensslin and P. Petroff. Magnetotransport thorough antidot lattice in GaAs — AlxGai-xAs heterostructures. Phys. Rev. В 41, 12307-12310(1990).

7. D. Weiss, M. L. Roukes, A. Menschig, P. Grambow, K. von Klitzing and D. Weimann. Electron pinball, commensurate orbits in a periodic array of scatterers. Phys. Rev. Lett. 66, 2790-2793(1991).

8. Э. M. Баскин, Г. M. Гусев, 3. Д. Квон, А. Г. Погосов, М. В. Энтин. Стохастическая динамика двумерных электронов в периодической решетке антиточек. Письма в ЖЭТФ 55, 649-652(1992).

9. Э. М. Баскин, А. Г. Погосов, М. В. Энтин. Классическая хаотическая динамика двумерных электронов в периодической решетке антиточек. ЖЭТФ 110, 2061-2086(1996).

10. G. М. Gusev, P. Basmaji, Z. D. Kvon, L. V. Litvin, Yu. V. Nastaushev, A. I. Toropov. Negative magnetoresistance and anomalous diffusion of two-dimensional electrons in a disordered array of antidots. Surface Science 305, 443-447(1994).

11. Г. M. Гусев, 3. Д. Квон, Jl. В. Литвин, Ю. В. Настаушев, А. К. Калагин, А. И. Торопов. Осцилляции Ааронова-Бома в двумерном электронном газе с периодической решеткой рассеивателей. Письма в ЖЭТФ 55, 129-132(1992).

12. F. Nihey and К. Nakamura. Aharonov-Bohm effect in antidot structures. Physica В 184, 398-402(1993).

13. D. Weiss, K. Richter, A. Menschig, R. Bergmann, H. Schweizer, K. von Klitzing, and G. Weinmann. Quantized periodic orbits in large antidot arrays. Phys. Rev. Lett. 70, 4118-4121(1993).

14. Л. П. Горьков, А. И. Ларкин и Д. E. Хмельницкий. Проводимость частицы в двумерном случайном поле. Письма в ЖЭТФ 30, 248-252(1979).

15. D. J. Thouless. Maximum Metallic Resistance in Thin Wires. Phys. Rev. Lett. 39, 1167-1169(1977).

16. P. W. Anderson, E. Abrahams, and R. Ramakrishnan. Possible Explanation of Nonlinear Conductivity in Thin-Film Metal Wires. Phys. Rev. Lett. 43, 718-720(1979).

17. В. L. Altshuler, A. G. Aronov, D. E. Khmelnitskii, and A. I. Larkin, Quantum Theory of Solids, ed. I. M. Lifshitz. Moscow: Mir, 1982.

18. B. L. Altshuler, D. E. Khmelnitsky, A. I. Larkin, and P. A. Lee. Magnetoresistance and Hall effect in a disordered two-dimensional electron gas. Phys. Rev. B22, 5142-5153(1980).

19. I. L. Aleiner, A. I. Larkin. Divergence of classical trajectories and weak localization. Phys. Rev. B54, 14423-14444(1980).

20. Г. Бейтмен и А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, т.1. Москва: Наука, (1965).

21. М. Абрамович и И. Стиган. Справочник по специальным функциям. Москва: Наука, 321(1979).

22. Б.Л.Альтшулер, А.Г.Аронов, Б.З.Спивак. Эффект Ааронова-Бома в неупорядоченных проводниках. Письма в ЖЭТФ, 33, вып. 2, 101-103(1981).

23. Д. Ю. Шарвин, Ю. В. Шарвин. Квантование магнитного потока в цилиндрической пленке из нормального металла. Письма в ЖЭТФ 34, 285(1981).

24. В. Pannetier, J. Chaussy, R. Rammal, P. Gandit. Magnetic Flux Quantization in the Weak-Localization Regime of a Nonsuperconducting Metal. Phys. Rev. Lett. 53, 718-721 (1984).

25. J. В. Pieper, J. (С. Price. Frequency dependence of h/e conductance oscillations in mesoscopic Ag rings. Phys. Rev. Lett. 72, 3586-3589(1994).

26. P. Santhanam. Weak localization in normal-metal loops: Influence of boundary conditions. Phys. Rev. В 39, 2541-2547(1989).

27. V. I. Fal'ko. The Aharonov-Bohm effect in a mesoscopic ring of diluted magnetic alloy. J. Phys.: Condens. Matter 4, 3943-3954(1992).

28. A. Vourdas. Electron Interference in the Presence of AC Non-Classical Electromagnetic Fields. Europhys. Lett. 32, 289-294(1995).

29. A. Vourdas. Correlations in ac Aharonov-Bohm phenomena. Phys. Rev. A 56, 2408-2411(1997).

30. D. Maude, E. Olshanetsky, J. C. Portal, M. Baxendale, G. A. J. Amaratunga, A. Vourdas. Aharonov-Bohm rings in low frequency electromagnetic fields. Grenoble High Magnetic Field Laboratory. Annual Report, p. 19(1998).

31. JI. Горелик, С. Кулинич, Ю. Гальперин, Р. Шехтер, М. Джонсон. Накачка энергии в мезоскопическое кольцо. Точно решаемая модель. УФН 168, 192-196(1998).

32. Э. Л. Нагаев. Малые металлические частицы. УФН 162, 49-124(1992).

33. Э. М. Баскин, М. В. Энтин. Равновесный заряд малых металлических частиц и прыжковый транспорт в металл-диэлектрическом композите. Письма ЖЭТФ 70, 510-515(1999)

34. М. В. Энтин, Л. С. Брагинский. Поверхностная энергия электронного газа в модельных кристаллах. ЖЭТФ 97, 174-179(2003)

35. R. Balian, С. Bloch. Distribution of eigenfrequencies for the wave equation in a finite domain I. Three-dimensional problem with smooth boundary surface. Ann. of Phys., 60, 401-447(1970).

36. L. Chuan-Pu, J. M. Gibson, D. G. Cahill, Т. I. Kamins, D. P. Basile, R. S. Williams. Strain Evolution in Coherent Ge/Si Islands. Phys.Rev.Lett. 84, 1958-1962(2000).

37. А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Марычев. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983.

38. L. D. Landau. Diamagnetismus der Metalle. Z. Phys. 64, 629-637(1930).

39. R. Kubo. Wigner representation of quantum operators and its applications to electrons in a magnetic field. J. Phys. Soc. Jpn. 19, 2127-2139(1964).

40. R. Allen. Surface corrections to Landau diamagnetism. Phys. Rev. В 12, 2869-2870(1975).

41. D. Childers and P. Pincus. Size Effects on the Diamagnetic Susceptibility of a Free-Electron Gas. Phys. Rev. 177, 1036-1040(1969).

42. R. V. Denton. Thermodynamic Properties of Electrons in Small Metal Particles. Phys. Rev. В 7, 3589-3607(1973).

43. R. Nemeth. Diamagnetism in small metal particles. Z. Phys. В 81, 89-93(1990).

44. Y. Meir, O. Entin-Wohlmann and Y. Gefen. Magnetic-field and spin-orbit interaction in restricted geometries: Solvable models. Phys. Rev. В 42, 8351-8360(1990).

45. D. Yoshioka and H. Fukuyama. Orbital Magnetism of Two-Dimensional Electrons in Confining Potential. J. Phys. Soc. Jpn. 61, 2368-2381(1992).

46. J. Hajdu and B. Shapiro. Mesoscopic enhancement of orbital magnetism. Europhys. Lett 28, 61-64(1994).

47. Y. Ishikawa and H. Fukuyama. Orbital Magnetism and Current Distribution of Two-Dimensional Electrons under Confining Potential. J. Phys. Soc. Jpn. 68, 2405-2413(1999).

48. J. P. Gazeau, P. Y. Hsiao, and A. Jellal. Exact trace formulas for two-dimensional electron magnetism. Phys. Rev. В 65, 094427-1-094427-9(2002).

49. L. Friedman. Question of size corrections to the steady diamagnetic susseptibility of small systems. Phys. Rev. 134, A336-A344(1964).

50. Э. H. Богачек, Г. А. Гогадзе. Осцилляционные эффекты типа "квантования потока" в нормальном металле. ЖЭТФ 63, 1839-1848(1972).

51. D. В. Bivin and J. W. McClure. Orbital magnetic susceptibility of electrons confined in a rectangular box. Phys. Rev. В 16, 762-769(1977).

52. M. Robnik. Perimeter corrections to the Landau diamagnetism. J. Phys. A: Gen. Phys. 19, 3619-3630(1986).

53. F. Meier and P. Wyder. Magnetic moment of small Indium particles in the quantum size-effect regime. Phys. Rev. Lett. 30, 181-184(1973).

54. A. I. Buzdin, О. V. Dolgov and Yu. E. Lozovik. Anomalous magnetism of small metallic clusters in a weak magnetic field. Phys. Lett. 100A, 261-263(1984).

55. J. M. van Ruitenbeek and D. A. van Leeuwen. Model calculation of size effects in orbital magnetism. Phys. Rev. Lett. 67, 640-643(1991).

56. E. Gurevich and B. Shapiro. Orbital Magnetism in Two-Dimensional Integrable Systems. J. Phys. I France 7, 807-820(1997).

57. K. Nakamura and H. Thomas. Quantum Billiard in a Magnetic Field: Chaos and Diamagnetism. Phys. Rev. Lett. 30, 181-184(1973).

58. О. Agam. The magnetic response of chaotic mesoscopic systems. J. Phys. I France 4, 697-730(1994).

59. K. Richter, D. Ullmo, R. A. Jalabert. Orbital magnetism in the ballistic regime: geometrical effect. Phys. Reports 276, 1-83(1996).

60. F. von Oppen. Magnetic susceptibility of ballistic microstructures. Phys. Rev. В 50, 17151-17161(1994).

61. JI. Г. Асламазов, А. И. Ларкин. Флуктуационная магнитная восприимчивость сверхпроводников и нормальных металлов. ЖЭТФ 67, 647-660(1974).

62. Б. Л. Альтшулер, А. Г. Аронов. К теории неупорядоченных металлов и сильнолегированных полупроводников. ЖЭТФ 79, 2028-2044(1979).

63. Б. Л. Альтшулер, А. Г. Аронов, А. Ю. Зюзин. Термодинамические свойствач *неупорядоченных проводников. ЖЭТФ 84, 1525-1537(1983).

64. О. Д. Чеишвили. Флуктуации диамагнитной восприимчивости неупорядоченных металлов. Письма в ЖЭТФ 48, 206-208(1981).

65. Н. Fukuyama. Fluctuations of Landau Diamagnetism in Mesoscopic Systems. J. Phys. Soc. Jpn. 68, 47-49(1989).

66. E. Akkermans and B. Shapiro. Fluctuations in the Diamagnetic Response of Disordered Metals. Europhys. Lett 11, 467-472(1990).

67. R. A. Serota and S. Oh. Theory of Landau diamagnetism of dirty metals. Phys. Rev. В 41, 10523-10528(1990).

68. S. Oh, A. Yu. Zyuzin and R. A. Serota. Orbital magnetism of mesoscopic systems. Phys. Rev. В 44, 8858-8868(1991).

69. R. A. Serota, A. Yu. Zyuzin. Orbital magnetism of mesoscopic metals: Extension to the nonperturbative regime. Phys. Rev. В 47, 6399-6407(1993).

70. В. L. Altshuler, Y. Gefen, Y. Imry. Persistent Differences between Canonical and Grand Canonical Averages in Mesoscopic Ensembles: Large Paramagnetic Orbital Susseptibilities. Phys. Rev. Lett. 66, 88-91(1991).

71. A. Altland and Y. Gefen. Spectral statistics of nondiffusive disordered electron systems: A comprehensive approach. Phys. Rev. В 51, 10671-10690(1995).

72. В. L. Altshuler, Y. Gefen, Y. Imry, G. Montambaux. Nonlinear orbital magnetic response in isolated quantum dots. Phys. Rev. В 47, 10335-10341(1993).

73. D. Ullmo, K. Richter, H. U. Baranger, F. von Oppen, and R. A. Jalabert. Semiclassical Approach to Orbital Magnetism of Interacting Diffusive Quantum Systems. Physica E 1, 268-273(1998).

74. B. Shapiro. Orbital magnetism in disordered metals, cond-mat/9810330.

75. M. Ya. Azbel. Aharonov-В ohm-induced Meissner-type effect and orbital ferromag-netism in normal metals. Phys. Rev. В 48, 4592-4598(1993).

76. D. B. Chklovskii, В. I. Shklovskii, and L. I. Glazman. Electrostatics of edge channels. Phys. Rev. В 46, 4026-4034(1992).

77. JI. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц. Статистическая физика. М.: Наука, 1995.

78. А.А. Абрикосов. Основы теории металлов. М. Наука, 1987.

79. М. М. Махмудиан, М. В. Энтин. Квантовые поправки к проводимости 2D-системы с антиточками. Физика и техника полупроводников, том 32, No 12, 1461-1466(1998).

80. М. V. Entin, М. М. Mahmoodian. Aharonov-Bohm effect in a mesoscopic ring in a nonstationary magnetic field. J. Phys.: Condens.Matter 12, 6845-6850(2000).

81. M. В. Энтин, M. M. Махмудиан. Реберный вклад в электронную энергию ограненных микрокристаллов. Письма в ЖЭТФ 73, 167-169(2001).

82. JI. И. Магарилл, М. М. Махмудиан, М. В. Энтин. Фриделевские осцилляции проникновения магнитного поля в нормальный металл и размерно-квантованную систему. Письма в ЖЭТФ 75, 560-564(2002).

83. JI. И. Магарилл, М. М. Махмудиан, М. В. Энтин. Распределение равновесных токов намагничивания в системах с размерным квантованием в конечном магнитном поле. ЖЭТФ 124, 154-160(2003).

84. M. M. Махмудиан, M. В. Энтин. Эффект Ааронова-Бома в мезоскопическом кольце в переменном магнитном поле. 4-я Российская конференция no физике полупроводников, 25-29 октября 1999 года, Новосибирск, стр.234.

85. М. V. Entin, М. М. Mahmoodian. Surface and edge energy of electron gas in nanocrystals. 9th International symposium "Nanostructures: Physics and Technology", St Petersburg, Russia, June 18-22, 363-366(2001).

86. M. M. Махмудиан, M. В. Энтин. Поверхностная и реберная энергия электронного газа в ограненных микрокристаллах. 5-я Российская конференция по физике полупроводников, 10-14 сентября 2001 года, Нижний Новгород, 344(2001).

87. M. V. Entin, M. M. Mahmoodian. Distribution of persistent currents and magnetic field in quantum wire and disc. 10th International symposium "Nanostructures: Physics and Technology", St Petersburg, Russia, June 17-21, 290-291(2002).

88. M. V. Entin, M. M. Mahmoodian. The screening of magnetic field and persistent current distribution in quantum wires and discs. 26th International Conference on the Physics of Semiconductors, Edinburgh, United Kingdom, July 29 August 2, 261(2002).

89. L. I. Magarill, M. M. Mahmoodian, M. V. Entin. Distribution of equilibrium edge currents. 11th International symposium "Nanostructures: Physics and Technology", St Petersburg, Russia, June 23-28, 349-350(2003).